قوس خط الزوال

في علم المساحة والملاحة ، يُعرف قوس الزوال بأنه المنحنى الواصل بين نقطتين قريبتين من سطح الأرض لهما نفس خط الطول . وقد يشير المصطلح إما إلى جزء من خط الزوال ، أو إلى طوله . وقد استمر البحث لسنوات عديدة في تحديد أقواس الزوال عمليًا (باستخدام أدوات القياس في الحملات الميدانية) وحسابها نظريًا (استنادًا إلى الهندسة والرياضيات المجردة).

يهدف قياس أقواس خطوط الطول إلى تحديد شكل الأرض . ويمكن استخدام قياس واحد أو أكثر لأقواس خطوط الطول لاستنتاج شكل القطع الناقص المرجعي الذي يُقارب شكل الجيود في منطقة القياسات. ويمكن دمج قياسات أقواس خطوط الطول عند خطوط عرض متعددة على امتداد العديد من خطوط الطول حول العالم لتقريب شكل القطع الناقص الجيومركزي الذي يُفترض أن يُغطي الكرة الأرضية بأكملها.

تطلّبت أولى عمليات تحديد حجم الأرض الكروية قياس قوس واحد. أما أعمال المسح الدقيقة التي بدأت في القرن التاسع عشر، فقد استلزمت قياسات أقواس متعددة في المنطقة المراد مسحها، مما أدى إلى انتشار واسع للأشكال الإهليلجية المرجعية حول العالم. وتستخدم أحدث عمليات التحديد القياسات الفلكية الجيوديسية وأساليب الجيوديسيا الفضائية لتحديد الأشكال الإهليلجية المرجعية، ولا سيما الأشكال الإهليلجية المتمركزة حول الأرض المستخدمة حاليًا في أنظمة الإحداثيات العالمية مثل WGS 84 (انظر التعبيرات العددية ).

انبثقت من الثورة الفرنسية عام 1789 جهودٌ لإصلاح معايير القياس، أفضت في نهاية المطاف إلى جهدٍ باذخ لقياس خط الزوال المار بباريس بهدف تعريف المتر . [ ^{7 ] : 52 وُضِعَت} مسألة إصلاح القياس على عاتق الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، التي عيّنت لجنةً برئاسة جان-شارل دي بوردا . وبدلاً من طريقة البندول بالثواني، قررت لجنة الأكاديمية الفرنسية للعلوم - التي ضمّت في عضويتها بوردا ، ولاغرانج ، ولابلاس ، ومونج ، وكوندورسيه - أن يكون المقياس الجديد مساوياً لجزءٍ من عشرة ملايين من المسافة بين القطب الشمالي وخط الاستواء (ربع محيط الأرض)، مقاسةً على طول خط الزوال المار بباريس عند خط طول بانثيون باريس ، الذي أصبح المحطة الجيوديسية المركزية في باريس. ^{[ 8 ] [ 9 ]} حصل جان بابتيست جوزيف ديلامبر على الإحداثيات الأساسية للبانثيون عن طريق التثليث لجميع المحطات الجيوديسية حول باريس من قبة البانثيون. ^{[ 9 ]}

إلى جانب الاعتبار الواضح لسلامة وصول المساحين الفرنسيين، كان خط زوال باريس خيارًا سليمًا لأسباب علمية أيضًا: إذ يمكن مسح جزء من الربع الممتد من دونكيرك إلى برشلونة (حوالي 1000  كيلومتر، أو عُشر المسافة الإجمالية) بنقاط بداية ونهاية عند مستوى سطح البحر، ^{[ 10 ]} وكان هذا الجزء يقع تقريبًا في منتصف الربع، حيث كان من المتوقع ألا يكون هناك حاجة إلى مراعاة تأثيرات تفلطح الأرض. ^{[ 11 ]}

كان من المقرر أن تتم الرحلة الاستكشافية بعد المسح الأنجلو-فرنسي ، وبالتالي فإن قوس خط الزوال الفرنسي، الذي كان سيمتد شمالًا عبر المملكة المتحدة ، كان سيمتد أيضًا جنوبًا إلى برشلونة ، ثم لاحقًا إلى جزر البليار . وفي عام 1821، نشر جان باتيست بيو وفرانسوا أراغو ملاحظاتهما، مكملين بذلك ملاحظات ديلامبر وميشان. وقد تضمنت هذه الملاحظات وصفًا لتغيرات طول أجزاء من قوس خط الزوال، كل جزء منها بسعة درجة واحدة، على طول خط زوال باريس، بالإضافة إلى وصف لتغير طول بندول الثواني على طول خط الزوال نفسه بين شتلاند وجزر البليار . ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

أُسندت مهمة مسح قوس خط الزوال إلى بيير ميشان وجان بابتيست ديلامبر ، واستغرقت أكثر من ست سنوات (1792-1798). لم تكن الصعوبات التقنية هي المشاكل الوحيدة التي واجهها المساحون في الفترة المضطربة التي أعقبت الثورة: فقد سُجن ميشان وديلامبر، ولاحقًا فرانسوا أراغو ، عدة مرات أثناء عمليات المسح، وتوفي ميشان عام 1804 بمرض الحمى الصفراء ، الذي أصيب به أثناء محاولته تحسين نتائجه الأصلية في شمال إسبانيا. ^{[ 18 ]}

قُسِّم المشروع إلى جزأين: القسم الشمالي الذي يمتد على مسافة 742.7  كيلومترًا من برج أجراس كنيسة سانت إيلوي في دونكيرك إلى كاتدرائية روديز، والذي قام ديلامبر بمسحه؛ والقسم الجنوبي الذي يمتد على مسافة 333  كيلومترًا من روديز ​​إلى قلعة مونتجويك في برشلونة، والذي قام ميشان بمسحه. وعلى الرغم من أن قطاع ميشان كان نصف طول قطاع ديلامبر، إلا أنه شمل جبال البرانس وأجزاءً من إسبانيا لم تكن قد خضعت للمسح من قبل. ^{[ 19 ]}

قاس ديلامبر خط أساس بطول 10  كيلومترات تقريبًا (6075.90 تويز ) على طول طريق مستقيم بين ميلون وليوزان . وفي عملية استغرقت ستة أسابيع، تم قياس خط الأساس بدقة باستخدام أربعة قضبان من البلاتين، طول كل منها تويزان ( التواز الواحد يساوي حوالي 1.949  مترًا). ^{[ 19 ]} بعد ذلك، استخدم، حيثما أمكن، نقاط التثليث التي استخدمها نيكولا لويس دي لاكايل في مسحه الذي أجراه عامي 1739-1740 لقوس خط الزوال الفرنسي من دونكيرك إلى كوليور . ^{[ 20 ]} كان خط أساس ميشان بطول مماثل (6006.25 تويز )، وكان أيضًا على جزء مستقيم من الطريق بين فيرنيه (في منطقة بيربينيان ) وسالس ( سالس لو شاتو حاليًا ). ^{[ 21 ]}

تطبيقًا لقرار المؤتمر الوطني الصادر في 1 أغسطس 1793، بنشر وحدات النظام المتري العشري الجديدة ، ^{[ 24 ]} تقرر تحديد طول المتر بناءً على جزء من خط الزوال قيد القياس. وقد تم اعتماد طول المتر المؤقت (بالفرنسية: mètre provisoire ) بناءً على قياس خط زوال فرنسا من دونكيرك إلى كوليور ، والذي أجراه نيكولا لويس دي لاكايل وسيزار فرانسوا كاسيني دي ثوري عام 1740. وتم تحديد طول المتر، نسبةً إلى التويز الأكاديمي (المعروف أيضًا باسم تويز بيرو)، عند 3 أقدام و11.44 خطًا، مأخوذة عند 13 درجة من مقياس درجة الحرارة لرينيه أنطوان فيرشولت دي ريومور المستخدم آنذاك. تم تحديد هذه القيمة بموجب تشريع صدر في 7 أبريل 1795. ^{[ 24 ]} ولذلك، تم توزيع قضبان معدنية بطول 443.44 خطًا في فرنسا خلال الفترة 1795-1796. ^{[ 18 ]} وكان هذا هو المتر الذي تم تركيبه تحت أروقة شارع فوغيرار ، مقابل مدخل مجلس الشيوخ تقريبًا . ^{[ 20 ]} 

في نهاية نوفمبر 1798، عاد ديلامبر ومشين إلى باريس ببياناتهما، بعد أن أكملا المسح للقاء لجنة أجنبية مكونة من ممثلي جمهورية باتافيان : هنريكوس إينيا وجان هنري فان سويندن ، جمهورية كيسالب : لورنزو ماسكيروني ، مملكة الدنمارك : توماس بوج ، مملكة إسبانيا : غابرييل سيسكار وأغوستين دي بيدراس، جمهورية هلفتيك : يوهان جورج تراليس. ، الجمهورية الليغورية : أمبروجيو مولتيدو، مملكة سردينيا : بروسبيرو بالبو، أنطونيو فاسالي إياندي، الجمهورية الرومانية : بيترو فرانشيني، جمهورية توسكان : جيوفاني فابروني الذي تمت دعوته من قبل تاليران . تتألف اللجنة الفرنسية من جان شارل دي بوردا ، وبارنابي بريسون ، وتشارلز أوغسطين دي كولومب ، وجان دارسيه ، ورينيه جوست هوي ، وجوزيف لويس لاغرانج ، وبيير سيمون لابلاس ، ولويس لوفيفر جينو ، وبيير ميشان، وجاسبار دي بروني . ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]}

في عام ١٧٩٩، قامت لجنة تضم يوهان جورج ترالي ، وجان هنري فان سويندن ، وأدريان ماري ليجندر ، وبيير سيمون لابلاس ، وغابرييل سيسكار، وبيير ميشان، وجان باتيست ديلامبر، بحساب المسافة بين دونكيرك وبرشلونة باستخدام بيانات التثليث بين هاتين المدينتين، وحددت الجزء من المسافة بين القطب الشمالي وخط الاستواء الذي تمثله. وقد جُمعت قياسات بيير ميشان وجان باتيست ديلامبر مع نتائج البعثة الجيوديسية الفرنسية إلى خط الاستواء، وتم التوصل إلى قيمة ١/٣٣٤ لتسطح الأرض . ^{[ 26 ] [ 10 ]} كان بيير سيمون لابلاس يأمل في الأصل حل مشكلة شكل الأرض الإهليلجي من خلال قياس القوس الممتد من دونكيرك إلى برشلونة فقط، إلا أن هذا الجزء من قوس خط الزوال أدى إلى قيمة تسطح بلغت 1/150 ، وهي قيمة غير مقبولة. ^{[ 23 ] [ 26 ] [ 28 ]} وقد نتجت هذه القيمة عن تخمين مبني على بيانات محدودة للغاية. وقد حسب ديلامبر تسطحًا آخر للأرض، مستبعدًا أيضًا نتائج البعثة الجيوديسية الفرنسية إلى لابلاند، ووجد قيمة قريبة من 1/300 ، وذلك بدمج نتائج قياسات ديلامبر وميشان للقوس مع نتائج البعثة الجيوديسية الإسبانية الفرنسية، مع الأخذ في الاعتبار تصحيح القوس الفلكي. ^{[ 29 ] [ 26 ] [ 13 ] [ 30 ]} ثم تم استقراء المسافة من القطب الشمالي إلى خط الاستواء من قياس قوس خط زوال باريس بين دونكيرك وبرشلونة، وتم تحديدها على النحو التالي:٥,١٣٠,٧٤٠  تويس. ولأن المتر كان يجب أن يساوي جزءًا من عشرة ملايين من هذه المسافة، فقد تم تعريفه على أنه ٠.٥١٣٠٧٤ تويس  أو ٣  أقدام و١١.٢٩٦  خطًا من تويس بيرو، الذي تم إنشاؤه عام ١٧٣٥ للبعثة الجيوديسية الفرنسية إلى بيرو . ^{[ ٢٥} ] ^{[ ١٠ ] عندما عُرفت النتيجة النهائية، تم اختيار شريط طوله الأقرب إلى التعريف الزوالي للمتر ووضع في الأرشيف الوطني في ٢٢ يونيو ١٧٩٩ (٤ ميسيدور في السنة السابعة حسب} التقويم الجمهوري) كسجل دائم للنتيجة. ^{[ ٢٠ ]}

على سطح الكرة، يكون طول قوس خط الزوال هو نفسه طول القوس الدائري . أما على سطح القطع الناقص الدوراني، فيمكن تقريب طول أقواس خط الزوال القصيرة باستخدام نصف قطر انحناء الأرض عند خط الزوال وصيغة القوس الدائري.

بالنسبة للأقواس الأطول، يتبع الطول من طرح مسافتين من خط الزوال ، وهي المسافة من خط الاستواء إلى نقطة عند خط عرض φ .

هذه مشكلة مهمة في نظرية إسقاطات الخرائط، وخاصة إسقاط ميركاتور المستعرض .

تتمثل المعلمات الإهليلجية الرئيسية في a و b و f ، ولكن من المفيد في العمل النظري تعريف معلمات إضافية، ولا سيما اللامركزية e والتسطيح الثالث n . اثنان فقط من هذه المعلمات مستقلان، وهناك العديد من العلاقات بينهما .

$\begin{aligned}f=\frac{ab}{a}\,\qquad e^2=f(2-f)=\frac{4n}{(1+n)^2}\,\qquad n=\frac{ab}{a+b}=\frac{f}{2-f}\,\\b=a(1-f)=a\sqrt{1-e^2}\,\qquad a+b=a(2-f)=\frac{2a}{1+n}}.\end{aligned}}}$

المسافة من خط الاستواء إلى القطب، ربع خط الزوال (المماثل لربع الدائرة )، والمعروف أيضًا باسم ربع الأرض ، هي

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

كان ذلك جزءًا من التعريف التاريخي للمتر والميل البحري ، واستُخدم في تعريف مقياس الأسبوع .

يمكن التعبير عن ربع خط الزوال بدلالة التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني ،

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

أين${\displaystyle e,e'}$هما الغرابة الأولى والثانية .

يُعطى ربع خط الزوال أيضًا بواسطة السلسلة المعممة التالية:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

(للاطلاع على صيغة c ₀ ، انظر القسم #المتسلسلات المعممة أعلاه.) تم الحصول على هذه النتيجة لأول مرة بواسطة جيمس إيفوري . ^{[ 49 ]}

الصيغة العددية لربع خط الزوال على سطح الإهليلج WGS84 هي

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {p} }&=0.9983242984312529\ {\frac {\pi }{2}}\ a\\&=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}\end{aligned}}}$

في بعض المسائل، نحتاج إلى حل المسألة العكسية: بمعلومية طول القوس m ، أوجد خط العرض φ . يمكن حل هذه المسألة باستخدام طريقة نيوتن ، بالتكرار.

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

حتى التقارب. يتم إعطاء تخمين ابتدائي مناسب بواسطة φ ₀ = μ حيث

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

هي خط العرض المصحح . لاحظ أنه لا حاجة لتفاضل المتسلسلة لـ m ( φ ) ، حيث يمكن استخدام صيغة نصف قطر انحناء خط الزوال M ( φ ) بدلاً من ذلك.

بدلاً من ذلك، يمكن عكس سلسلة هيلمرت لمسافة خط الزوال للحصول على ^{[ 50 ] [ 51 ]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

وبالمثل، يمكن عكس سلسلة بيسل لـ m بدلالة β لإعطاء ^{[ 52 ]}

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

أثبت أدريان ماري ليجندر أن المسافة على طول خط جيوديسي على سطح كروي مفلطح تساوي المسافة على طول محيط قطع ناقص. ^{[ 53 ]} ولهذا السبب، فإن صيغة m بدلالة β ومعكوسها المذكورين أعلاه يلعبان دورًا محوريًا في حل مسألة الخط الجيوديسي ، حيث يُستبدل m بـ s ، وهي المسافة على طول الخط الجيوديسي، ويُستبدل β بـ σ ، وهو طول القوس على الكرة المساعدة. ^{[ 46 ] [ 54 ]} وقد قدم تشارلز كارني ^{[ 55 ]} المتسلسلات اللازمة الممتدة إلى الرتبة السادسة ، في المعادلتين (17) و(21)، حيث يلعب ε دور n و τ دور μ .

• حساب أقواس خط الزوال عبر الإنترنت على أشكال بيضاوية مرجعية جيوديسية مختلفة