منحنى جبري

في الرياضيات ، يُعرف المنحنى الجبري المستوي الأفيني بأنه مجموعة أصفار متعددة الحدود في متغيرين. أما المنحنى الجبري المستوي الإسقاطي فهو مجموعة أصفار متعددة الحدود المتجانسة في ثلاثة متغيرات في المستوى الإسقاطي . ويمكن إكمال المنحنى الجبري المستوي الأفيني ليصبح منحنى جبريًا مستويًا إسقاطيًا بتجانس متعددة الحدود التي يُعرّفها. وعلى العكس، يمكن تقييد المنحنى الجبري المستوي الإسقاطي ذي المعادلة المتجانسة $h$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $t$ $) = 0$ إلى المنحنى الجبري المستوي الأفيني ذي المعادلة $h$ $($ $x$ $,$ $y$ $, 1) = 0.$ هاتان العمليتان معكوسة للأخرى ؛ لذا، يُستخدم مصطلح "المنحنى الجبري المستوي" غالبًا دون تحديد ما إذا كان المقصود هو المنحنى الأفيني أو الإسقاطي.

إذا كانت كثيرة الحدود المحددة لمنحنى جبري مستوٍ غير قابلة للاختزال ، فإن المنحنى الجبري المستوي يكون غير قابل للاختزال . وإلا، فإن المنحنى الجبري هو اتحاد منحنى واحد أو عدة منحنيات غير قابلة للاختزال، تُسمى مكوناته ، والتي تُحدد بواسطة العوامل غير القابلة للاختزال.

بشكلٍ أعم، المنحنى الجبري هو تنوع جبري ذو بُعد واحد. في بعض السياقات، تُسمى المجموعة الجبرية ذات البُعد الواحد أيضًا منحنىً جبريًا، ولكن لن نتناول هذا في هذه المقالة. وبالمثل، المنحنى الجبري هو تنوع جبري مكافئ ثنائيًا لمنحنى جبري مستوٍ غير قابل للاختزال. إذا كان المنحنى مُحتوى في فضاء أفيني أو فضاء إسقاطي ، فيمكن الحصول على إسقاط لهذا التكافؤ الثنائي.

تُختزل هذه المكافئات الثنائية النسبية معظم دراسة المنحنيات الجبرية إلى دراسة المنحنيات الجبرية المستوية. مع ذلك، لا تُحفظ بعض الخصائص في ظل هذه المكافئات، ويجب دراستها على منحنيات غير مستوية. وينطبق هذا بشكل خاص على الدرجة والنعومة . فعلى سبيل المثال، توجد منحنيات ناعمة من النوع صفر ودرجة أكبر من اثنين، ولكن أي إسقاط مستوٍ لهذه المنحنيات يحتوي على نقاط شاذة (انظر صيغة النوع والدرجة ).

يُطلق على المنحنى غير المستوي غالبًا اسم المنحنى الفضائي أو المنحنى المائل .

في الهندسة الإقليدية

المنحنى الجبري في المستوى الإقليدي هو مجموعة النقاط التي تمثل إحداثياتها حلولاً لمعادلة متعددة الحدود ثنائية المتغيرات $p (x, y) = 0.$ تُسمى هذه المعادلة غالبًا بالمعادلة الضمنية للمنحنى، وذلك على عكس المنحنيات التي تمثل رسمًا بيانيًا لدالة تُعرّف $y$ صراحةً كدالة لـ $x$ .

عند تمثيل منحنى بمعادلة ضمنية كهذه، تتمثل أولى المشكلات في تحديد شكل المنحنى ورسمه. ولا تُعدّ هذه المشكلات سهلة الحل كما هو الحال في تمثيل دالة بيانية، حيث يمكن حساب قيمة $y بسهولة لقيم مختلفة من$ $x$ . وكون المعادلة المحددة متعددة الحدود يعني أن للمنحنى بعض الخصائص البنيوية التي قد تُساعد في حل هذه المشكلات.

يمكن تحليل كل منحنى جبري بشكل فريد إلى عدد محدود من الأقواس الرتيبة الملساء ، والتي تسمىقد تتصل الفروع ، أحيانًا بنقاط تُسمى أحيانًا "نقاطًا مميزة"، وربما بعدد محدود من النقاط المنفردة تُسمىالعقد.القوس الأملس الرتيبهو تمثيلبياني لدالةأملسة مُعرَّفة ورتيبةعلىفترة مفتوحةمن $السيني$ . في كل اتجاه، يكون القوس إما غير محدود (يُسمى عادةًقوسًا لانهائيًا) أو له نقطة نهاية إما أن تكون نقطة شاذة (سيتم تعريفها لاحقًا) أو نقطة يكون مماسها موازيًا لأحد محاور الإحداثيات.

على سبيل المثال، بالنسبة لمعادلة تشيرنهاوزن التكعيبية ، يوجد قوسان لانهائيان لهما نقطة الأصل $(0,0)$ كنقطة نهاية. هذه النقطة هي النقطة الشاذة الوحيدة للمنحنى. كما يوجد قوسان آخران لهما هذه النقطة الشاذة كنقطة نهاية واحدة، ولهما نقطة نهاية ثانية بمماس أفقي. وأخيرًا، يوجد قوسان آخران لكل منهما إحدى هذه النقاط بمماس أفقي كنقطة نهاية أولى، وله النقطة الشاذة بمماس رأسي كنقطة نهاية ثانية. في المقابل، فإن الدالة الجيبية ليست منحنى جبريًا، إذ تحتوي على عدد لا نهائي من الأقواس الرتيبة.

لرسم منحنى جبري، من المهم معرفة النقاط المميزة ومماساتها، والفروع اللانهائية وخطوط تقاربها ( إن وجدت)، وكيفية اتصال الأقواس بينها. من المفيد أيضًا اعتبار نقاط الانعطاف نقاطًا مميزة. عند رسم كل هذه المعلومات على ورقة، يظهر شكل المنحنى عادةً بوضوح. وإن لم يكن كذلك، يكفي إضافة بعض النقاط الأخرى ومماساتها للحصول على وصف دقيق للمنحنى.

تم وصف طرق حساب النقاط المميزة ومماساتها أدناه في قسم النقاط المميزة لمنحنى مستو .

المنحنيات الإسقاطية المستوية

من المستحسن في كثير من الأحيان النظر في المنحنيات في الفضاء الإسقاطي . المنحنى الجبري في المستوى الإسقاطي أو المنحنى الإسقاطي المستوي هو مجموعة النقاط في المستوى الإسقاطي التي تكون إحداثياتها الإسقاطية أصفارًا لكثير حدود متجانس في ثلاثة متغيرات $P (x, y, z)$ .

يمكن إكمال كل منحنى جبري أفيني ذي المعادلة $p$ $(x, y) = 0 إلى المنحنى الإسقاطي ذي المعادلة$ $hp (x, y, z) = 0$ ، حيث $^{h}p(x,y,z)=z^{\deg(p)}p\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)$ هي نتيجة تجانس p . $وعلى$ العكس، إذا كانت $P (x, y, z) = 0$ هي المعادلة المتجانسة لمنحنى إسقاطي، فإن $P (x, y, 1) = 0$ هي معادلة منحنى تآلفي، يتكون من نقاط المنحنى الإسقاطي التي لا يساوي إحداثيها الإسقاطي الثالث صفرًا. هاتان العمليتان متبادلتان، حيث $^{h}p(x,y,1)=p(x,y)$ وإذا عُرِّفت $p بالعلاقة$ $p (x, y) = P (x, y, 1)$ ، فإن $^{h}p(x,y,z)=P(x,y,z)$ بمجرد أن تصبح متعددة الحدود المتجانسة $P$ غير قابلة للقسمة على $z$ .

على سبيل المثال، المنحنى الإسقاطي للمعادلة $x^{2}+y^{2}-z^{2}$ هو الإكمال الإسقاطي لدائرة الوحدة للمعادلة $x^{2}+y^{2}-1=0.$

هذا يعني أن المنحنى الأفيني وإكماله الإسقاطي هما نفس المنحنى، أو بتعبير أدق، أن المنحنى الأفيني هو جزء من المنحنى الإسقاطي كبير بما يكفي لتحديد المنحنى "الكامل" بدقة . ويُعبَّر عن هذه الفكرة عادةً بتسمية "نقاط اللانهاية" للمنحنى الأفيني بالنقاط (ذات العدد المحدود) من الإكمال الإسقاطي التي لا تنتمي إلى الجزء الأفيني.

تُدرس المنحنيات الإسقاطية بشكل متكرر لذاتها. كما أنها مفيدة لدراسة المنحنيات الأفينية. على سبيل المثال، إذا كانت $p (x, y)$ هي متعددة الحدود التي تُعرّف منحنى أفيني، فإلى جانب المشتقات الجزئية $p'x$ و $p'y ،$ من المفيد النظر في المشتقة عند اللانهاية $.$ $p'_{\infty }(x,y)={^{h}p'_{z}(x,y,1)}.$

على سبيل المثال، معادلة المماس للمنحنى الأفيني ذي المعادلة $p (x, y) = 0$ عند النقطة $(a, b)$ هي $xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0.$

النقاط البارزة لمنحنى مستوٍ

في هذا القسم، ندرس منحنى جبريًا مستويًا مُعرَّفًا بواسطة متعدد حدود ثنائي المتغيرات p ( x , y ) وإكماله الإسقاطي، المُعرَّف بواسطة التجانس $P(x,y,z)={}^{h}p(x,y,z)$ من ص .

تقاطع مع خط

معرفة نقاط تقاطع منحنى مع خط معين أمرٌ مفيدٌ في كثير من الأحيان. يُفيد التقاطع مع محاور الإحداثيات والخطوط المقاربة في رسم المنحنى. كما يُتيح التقاطع مع خط موازٍ للمحاور إيجاد نقطة واحدة على الأقل في كل فرع من فروع المنحنى. في حال توفر خوارزمية فعّالة لإيجاد الجذور ، يُمكن رسم المنحنى بتحديد نقطة التقاطع مع جميع الخطوط الموازية للمحور الصادي والتي تمر بكل بكسل على المحور السيني .

إذا كانت درجة متعددة الحدود التي تُعرّف المنحنى هي d ، فإن أي خط يقطع المنحنى في d نقطة على الأكثر. تنص نظرية بيزو على أن هذا العدد هو d بالضبط ، إذا تم البحث عن النقاط في المستوى الإسقاطي فوق حقل مغلق جبريًا (مثل الأعداد المركبة )، وتم حسابها بتعددها . تُثبت طريقة الحساب التالية هذه النظرية مرة أخرى، في هذه الحالة البسيطة.

لحساب نقطة تقاطع المنحنى المعرّف بواسطة متعددة الحدود p مع الخط المستقيم ذي المعادلة ax + by + c = 0، تُحل معادلة الخط المستقيم لإيجاد قيمة x (أو y إذا كانت a = 0). وبتعويض النتيجة في p ، نحصل على معادلة أحادية المتغير q ( y ) = 0 (أو q ( x ) = 0 إذا تم حل معادلة الخط المستقيم في y )، حيث يمثل كل جذر من جذورها إحداثية نقطة تقاطع. ويُستنتج الإحداثي الآخر من معادلة الخط المستقيم. وتُعرف تعددية نقطة التقاطع بتعددية الجذر المقابل لها. توجد نقطة تقاطع عند اللانهاية إذا كانت درجة q أقل من درجة p ؛ وتعددية نقطة التقاطع عند اللانهاية هي الفرق بين درجتي p و q .

مماس عند نقطة

المماس عند النقطة ( أ ، ب ) من المنحنى هو خط المعادلة $(xa)p'_{x}(a,b)+(yb)p'_{y}(a,b)=0$ كما هو الحال بالنسبة لكل منحنى قابل للتفاضل مُعرَّف بمعادلة ضمنية. في حالة كثيرات الحدود، توجد صيغة أخرى للمماس تحتوي على حد ثابت أبسط وتكون أكثر تناظرًا.

$xp'_{x}(a,b)+yp'_{y}(a,b)+p'_{\infty }(a,b)=0,$

أين $p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1)$ هي المشتقة عند اللانهاية. وينتج تكافؤ المعادلتين من نظرية أويلر للدالة المتجانسة المطبقة على P.

لو $p'_{x}(a,b)=p'_{y}(a,b)=0,$ المماس غير معرف والنقطة هي نقطة شاذة .

وينطبق هذا مباشرةً على الحالة الإسقاطية: معادلة المماس عند النقطة ذات الإحداثيات الإسقاطية ( أ : ب : ج ) للمنحنى الإسقاطي ذي المعادلة P ( س ، ص ، ع ) = 0 هي

$xP'_{x}(a,b,c)+yP'_{y}(a,b,c)+zP'_{z}(a,b,c)=0,$

والنقاط المنفردة في المنحنيات هي النقاط التي تحقق ما يلي:

$P'_{x}(a,b,c)=P'_{y}(a,b,c)=P'_{z}(a,b,c)=0.$

( يُستنتج الشرط P ( a , b , c ) = 0 من هذه الشروط، وفقًا لنظرية أويلر للدالة المتجانسة.)

خطوط التقارب

كل فرع لانهائي لمنحنى جبري يُقابله نقطة عند اللانهاية على المنحنى، أي نقطة من الإكمال الإسقاطي للمنحنى لا تنتمي إلى جزئه الأفيني. الخط المقارب المقابل هو مماس المنحنى عند تلك النقطة. قد تنطبق الصيغة العامة للمماس لمنحنى إسقاطي، ولكن من المفيد توضيحها في هذه الحالة.

يترك $p=p_{d}+\cdots +p_{0}$ ليكن تحليل متعددة الحدود التي تحدد المنحنى إلى أجزائها المتجانسة، حيث يمثل pᵢ مجموع أحاديات p من الدرجة i . ويترتب على ذلك _أن $P={^{h}p}=p_{d}+zp_{d-1}+\cdots +z^{d}p_{0}$ و $P'_{z}(a,b,0)=p_{d-1}(a,b).$

النقطة الواقعة عند اللانهاية على المنحنى هي صفر للدالة p على الصورة ( a , b , 0). وبصورة مكافئة، ( a , b ) هي صفر للدالة p _d . تنص النظرية الأساسية للجبر على أنه، على حقل مغلق جبريًا (عادةً حقل الأعداد المركبة)، تتحلل الدالة p _d إلى حاصل ضرب عوامل خطية. يُحدد كل عامل نقطة عند اللانهاية على المنحنى: إذا كان bx - ay عاملًا من هذا القبيل، فإنه يُحدد النقطة عند اللانهاية ( a , b , 0). على الأعداد الحقيقية، تتحلل الدالة p _d إلى عوامل خطية وعوامل تربيعية. تُحدد العوامل التربيعية غير القابلة للاختزال نقاطًا غير حقيقية عند اللانهاية، بينما تُحدد العوامل الخطية النقاط الحقيقية. إذا كانت ( a , b , 0) نقطة عند اللانهاية على المنحنى، يُقال إن ( a , b ) اتجاه تقاربي . بوضع q = p _d، تكون معادلة الخط التقاربي المقابل هي $xq'_{x}(a,b)+yq'_{y}(a,b)+p_{d-1}(a,b)=0.$

لو $q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=0$ و $p_{d-1}(a,b)\neq 0,$ الخط المقارب هو الخط عند اللانهاية، وفي الحالة الحقيقية، يكون للمنحنى فرع يشبه القطع المكافئ . في هذه الحالة، يُقال إن للمنحنى فرعًا مكافئًا . $q'_{x}(a,b)=q'_{y}(a,b)=p_{d-1}(a,b)=0,$ للمنحنى نقطة شاذة عند اللانهاية، وقد يحتوي على عدة خطوط تقارب. ويمكن حسابها بطريقة حساب المخروط المماس لنقطة شاذة.

النقاط الشاذة

النقاط الشاذة لمنحنى من الدرجة d المعرف بواسطة متعدد الحدود p ( x , y ) من الدرجة d هي حلول نظام المعادلات: $p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p(x,y)=0.$ في الخاصية الصفرية ، يكون هذا النظام مكافئًا لـ $p'_{x}(x,y)=p'_{y}(x,y)=p'_{\infty }(x,y)=0,$ حيث، مع مراعاة تدوين القسم السابق، $p'_{\infty }(x,y)=P'_{z}(x,y,1).$ النظامان متكافئان بسبب نظرية أويلر للدوال المتجانسة . يتميز النظام الأخير بأن دالته الثالثة من الدرجة d -1 بدلاً من d .

وبالمثل، بالنسبة لمنحنى إسقاطي مُعرَّف بواسطة متعدد حدود متجانس P ( x , y , z ) من الدرجة d ، فإن النقاط الشاذة لها حلول النظام $P'_{x}(x,y,z)=P'_{y}(x,y,z)=P'_{z}(x,y,z)=0$ كإحداثيات متجانسة . (في الخاصية الموجبة، المعادلة $P(x,y,z)$ يجب إضافته إلى النظام.

هذا يعني أن عدد النقاط الشاذة محدود طالما أن p ( x , y ) أو P ( x , y , z ) خالية من المربعات . وبالتالي، تنص نظرية بيزو على أن عدد النقاط الشاذة لا يتجاوز ( d - 1) ^² ، لكن هذا الحد ليس دقيقًا تمامًا لأن نظام المعادلات مُفرط التحديد . إذا سُمح باستخدام كثيرات الحدود القابلة للاختزال ، فإن الحد الدقيق هو d ( d - 1)/2، وتُتحقق هذه القيمة عندما تُحلل كثيرة الحدود إلى عوامل خطية، أي إذا كان المنحنى اتحاد d من الخطوط. أما بالنسبة للمنحنيات وكثيرات الحدود غير القابلة للاختزال، فإن عدد النقاط الشاذة لا يتجاوز ( d - 1)( d - 2)/2، وذلك بسبب الصيغة التي تُعبر عن الجنس بدلالة النقاط الشاذة (انظر أدناه). يتم الوصول إلى الحد الأقصى بواسطة المنحنيات من النوع صفر التي يكون لجميع نقاطها الشاذة تعدد اثنين ومماسات مميزة (انظر أدناه).

معادلة المماسات عند نقطة شاذة تُعطى بالجزء المتجانس غير الصفري من أدنى درجة في متسلسلة تايلور لكثير الحدود عند تلك النقطة. عند تغيير الإحداثيات لوضع النقطة الشاذة عند نقطة الأصل، تصبح معادلة المماسات عند تلك النقطة هي الجزء المتجانس غير الصفري من أدنى درجة لكثير الحدود، وتكون درجة هذا الجزء المتجانس هي درجة النقطة الشاذة.

البنية التحليلية

تُوفّر دراسة البنية التحليلية لمنحنى جبري في جوار نقطة شاذة معلومات دقيقة عن طوبولوجيا النقاط الشاذة. في الواقع، بالقرب من نقطة شاذة، يكون المنحنى الجبري الحقيقي عبارة عن اتحاد عدد محدود من الفروع التي تتقاطع فقط عند تلك النقطة، وتظهر إما على شكل قمة حادة أو كمنحنى أملس.

بالقرب من نقطة منتظمة، يمكن التعبير عن أحد إحداثيات المنحنى كدالة تحليلية للإحداثي الآخر. هذه نتيجة طبيعية لنظرية الدالة الضمنية التحليلية ، وتدل على أن المنحنى أملس بالقرب من تلك النقطة. أما بالقرب من نقطة شاذة، فالوضع أكثر تعقيدًا ويتضمن متسلسلات بويزو ، التي توفر معادلات بارامترية تحليلية للفروع.

لوصف نقطة تفرد، يجدر إزاحة المنحنى بحيث تكون نقطة التفرد عند نقطة الأصل. ويتكون هذا من تغيير في المتغير على النحو التالي: $X=x-a,Y=y-b,$ أين $a,b$ تمثل هذه إحداثيات النقطة الشاذة. وفيما يلي، يُفترض دائمًا أن النقطة الشاذة قيد الدراسة تقع عند نقطة الأصل.

معادلة المنحنى الجبري هي $f(x,y)=0,$ حيث $f$ دالة كثيرة الحدود في $x$ و $y$ . يمكن اعتبار هذه الدالة كثيرة حدود في $y$ ، بمعاملات تنتمي إلى الحقل المغلق جبريًا لمتسلسلة بويزو في $x$ . وبالتالي، يمكن تحليل $f إلى عوامل من الشكل التالي:$ $y-P(x),$ حيث $P$ هي متسلسلة بويزو. تختلف هذه العوامل جميعها إذا كانت $f$ متعددة حدود غير قابلة للاختزال ، لأن هذا يعني أن $f$ خالية من المربعات ، وهي خاصية مستقلة عن حقل المعاملات.

تتخذ سلسلة بويزو التي تظهر هنا الشكل التالي $P(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}x^{n/d},$ حيث $d$ عدد صحيح موجب، و $n_{0}$ هو عدد صحيح يمكن افتراض أنه موجب أيضًا، لأننا لا نأخذ في الاعتبار سوى فروع المنحنى التي تمر بنقطة الأصل. وبدون فقدان للعمومية ، يمكننا افتراض أن $d$ عدد أولي نسبيًا مع القاسم المشترك الأكبر لـ $n$ بحيث $a_{n}\neq 0$ ( وإلا، يمكن للمرء اختيار مقام مشترك أصغر للأسس).

دع $\omega _{d}$ ليكن جذرًا أوليًا من الرتبة $d$ للوحدة . إذا ظهرت متسلسلة بويزو المذكورة أعلاه في تحليل ⁠ $f(x,y)=0$ ثم سلسلة $د$ $P_{i}(x)=\sum _{n=n_{0}}^{\infty }a_{n}\omega _{d}^{i}x^{n/d}$ تظهر هذه السلاسل أيضًا في التحليل (نتيجة لنظرية غالوا ). وتسمى هذه السلاسل $المترافقة$ ، وتُعتبر فرعًا واحدًا من المنحنى ذي مؤشر التفرع $d$ .

في حالة المنحنى الحقيقي، أي المنحنى المعرف بواسطة متعددة حدود ذات معاملات حقيقية، قد تحدث ثلاث حالات. إذا لم يحدث أي منها $P_{i}(x)$ إذا كانت المعاملات حقيقية ، فإن الفرع يكون غير حقيقي. $P_{i}(x)$ إذا كانت المعاملات حقيقية، فيمكن اختيارها على النحو التالي : $P_{0}(x)$ إذا $كان d$ فرديًا ، فإن كل قيمة حقيقية لـ $x$ تعطي قيمة حقيقية لـ $P_{0}(x)$ ويكون لدينا فرع حقيقي يبدو منتظمًا، على الرغم من أنه شاذ إذا كان $d > 1.$ إذا $كان d$ زوجيًا، فإن $P_{0}(x)$ و $P_{d/2}(x)$ لها قيم حقيقية، ولكن فقط لـ $x \geq 0.$ في هذه الحالة، يبدو الفرع الحقيقي كنقطة تقاطع (أو هو نقطة تقاطع، اعتمادًا على تعريف نقطة التقاطع المستخدم).

فعلى سبيل المثال، لا يحتوي الحدبة العادية إلا على فرع واحد. إذا تم تعريفها بالمعادلة $y^{2}-x^{3}=0,$ ثم يكون التحليل إلى عوامل هو $(y-x^{3/2})(y+x^{3/2});$ مؤشر التفرع هو 2، والعاملان حقيقيان ويحدد كل منهما نصف فرع. إذا تم تدوير نقطة التفرع، تصبح معادلتها $y^{3}-x^{2}=0,$ والتحليل إلى عوامل هو $(y-x^{2/3})(y-j^{2}x^{2/3})(y-(j^{2})^{2}x^{2/3}),$ مع $j=(1+{\sqrt {-3}})/2$ (المعامل ⁠ $(j^{2})^{2}$ لم يتم تبسيط ⁠ $إلى j$ لإظهار كيفية تعريف ⁠ أعلاه $P_{i}(x)$ ( متخصص). هنا يكون مؤشر التفرع 3، وعامل واحد فقط حقيقي؛ وهذا يدل على أنه في الحالة الأولى، يجب اعتبار العاملين بمثابة تعريف لنفس الفرع.

المنحنيات الجبرية غير المستوية

المنحنى الجبري هو تنوع جبري ذو بُعد واحد. وهذا يعني أن المنحنى الأفيني في فضاء أفيني ذي بُعد n يُعرَّف، على الأقل، بـ n − 1 متعددة حدود في n متغيرًا. ولتعريف منحنى، يجب أن تُولِّد هذه المتعددات مثاليًا أوليًا ذا بُعد كرول 1. يصعب اختبار هذا الشرط عمليًا. لذا، قد يُفضَّل استخدام الطريقة التالية لتمثيل المنحنيات غير المستوية.

يترك $f,g_{0},g_{3},\ldots ,g_{n}$ لتكن n كثيرات حدود في متغيرين x1 و _x2 بحيث تكون f غير قابلة للاختزال. النقاط _في الفضاء الأفيني ذي البعد n التي تحقق إحداثياتها المعادلات والمتباينات

${\begin{aligned}&f(x_{1},x_{2})=0\\&g_{0}(x_{1},x_{2})\neq 0\\x_{3}&={\frac {g_{3}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\\&{}\ \vdots \\x_{n}&={\frac {g_{n}(x_{1},x_{2})}{g_{0}(x_{1},x_{2})}}\end{aligned}}$

تمثل جميع نقاط منحنى جبري أُزيل منه عدد محدود من النقاط. يُعرَّف هذا المنحنى بواسطة نظام مولدات مثالي كثيرات الحدود h بحيث يوجد عدد صحيح k يحقق $g_{0}^{k}h$ ينتمي إلى المثال الذي تم إنشاؤه بواسطة $f,x_{3}g_{0}-g_{3},\ldots ,x_{n}g_{0}-g_{n}$ هذا التمثيل هو تكافؤ ثنائي نسبي بين المنحنى والمنحنى المستوي المعرف بالدالة f . يمكن تمثيل أي منحنى جبري بهذه الطريقة. مع ذلك، قد يلزم تغيير خطي للمتغيرات لجعل الإسقاط على المتغيرين الأولين أحاديًا في أغلب الأحيان. عند الحاجة إلى تغيير المتغيرات، يكون أي تغيير مناسبًا تقريبًا، طالما أنه معرف على حقل لانهائي.

يسمح لنا هذا التمثيل باستنتاج أي خاصية بسهولة لمنحنى جبري غير مستو، بما في ذلك تمثيله البياني، من الخاصية المقابلة لإسقاطه المستوي.

بالنسبة لمنحنى مُعرَّف بمعادلاته الضمنية، يمكن استنتاج التمثيل المذكور أعلاه للمنحنى بسهولة من أساس غروبنر لترتيب كتلي بحيث تكون كتلة المتغيرات الأصغر هي ( x1 , x2 ). متعددة الحدود f هي متعددة الحدود الوحيدة في الأساس التي تعتمد فقط على _x1 و _x2 . يتم الحصول على الكسور g _i / g _0 باختيار، من أجل i = 3، ...، n ، متعددة حدود في الأساس تكون خطية في x _i وتعتمد فقط على x _1 _ و x  ₂_ و x _i . إذا لم تكن هذه الخيارات ممكنة، فهذا يعني إما أن المعادلات تُعرِّف مجموعة جبرية ليست تنوعًا، أو أن التنوع ليس من البعد الواحد، أو أنه يجب تغيير الإحداثيات. تحدث الحالة الأخيرة عندما تكون f موجودة ووحيدة، ومن أجل i = 3، ...، n ، توجد متعددات حدود يعتمد حدها الرئيسي فقط على x _1 و x ₂ و x _i .

حقول الدوال الجبرية

يمكن اختزال دراسة المنحنيات الجبرية إلى دراسة المنحنيات الجبرية غير القابلة للاختزال : وهي المنحنيات التي لا يمكن كتابتها كاتحاد لمنحنيين أصغر. وبشرط التكافؤ الثنائي النسبي ، فإن المنحنيات غير القابلة للاختزال على حقل F تُكافئ فئويًا حقول الدوال الجبرية في متغير واحد على F. ويُعرف حقل الدوال الجبرية هذا بأنه امتداد K للحقل F يحتوي على عنصر x متسامٍ على F ، بحيث يكون K امتدادًا جبريًا منتهيًا لـ F ( x )، وهو حقل الدوال النسبية في المتغير x غير المحدد على F.

على سبيل المثال، لننظر إلى حقل الأعداد المركبة C ، الذي يمكننا تعريف حقل الدوال الكسرية C ( x ) عليه . إذا كان $y²$ $=$ $x³$ $-$ $x$ $-$ $1$ $،$ فإن الحقل C ( x , y ) هو حقل دوال إهليلجية . العنصر x غير محدد بشكل فريد؛ ويمكن اعتبار الحقل، على سبيل المثال $،$ امتدادًا لـ C ( y ). المنحنى الجبري المقابل لحقل الدوال هو ببساطة مجموعة النقاط ( x , y ) في C² ^التي تحقق $y²$ $=$ $x³$ $-$ $x$ $-$ $1$ .

إذا لم يكن الحقل F مغلقًا جبريًا، فإن منظور حقول الدوال يكون أكثر عمومية من مجرد دراسة موضع النقاط، إذ يشمل، على سبيل المثال، "المنحنيات" التي لا تحتوي على نقاط. فعلى سبيل المثال، إذا كان الحقل الأساسي F هو حقل الأعداد الحقيقية R ، فإن $المعادلة x²$ $+ y² = -1 تُعرّف$ حقل امتداد جبري لـ R ( x )، لكن المنحنى المقابل، عند اعتباره مجموعة جزئية من R² ^{، لا يحتوي على نقاط.} $مع$ ذلك ، تُعرّف المعادلة $x² + y² = -1 منحنى جبريًا غير قابل للاختزال على$ R بمعنى المخطط ( مخططات أحادية البعد متكاملة ومنفصلة من النوع المحدود على R ). وبهذا المعنى، فإن التناظر الأحادي بين المنحنيات الجبرية غير القابلة للاختزال على F (حتى التكافؤ الثنائي النسبي) وحقول الدوال الجبرية في متغير واحد على F يبقى قائمًا بشكل عام.

يمكن أن يكون منحنيان متكافئين ثنائيًا (أي أن لهما حقول دوال متماثلة ) دون أن يكونا متماثلين كمنحنيات. يصبح الأمر أسهل عند التعامل مع المنحنيات غير الشاذة ، أي تلك التي تفتقر إلى أي نقاط شاذة. يكون منحنيان إسقاطيان غير شاذين على حقل متماثلين إذا وفقط إذا كانت حقول دوالهما متماثلة.

تتعلق نظرية تسين بحقل الدوال لمنحنى جبري فوق حقل مغلق جبريًا.

المنحنيات المعقدة والأسطح الحقيقية

يوجد منحنى جبري إسقاطي معقد في فضاء إسقاطي معقد ذي n بُعد ^، CPₙ . لهذا الفضاء بُعد معقد n ، لكن بُعده الطوبولوجي، كمتشعب حقيقي ، هو 2ⁿ ، وهو فضاء متراص ومتصل وقابل للتوجيه . وبالمثل، فإن للمنحنى الجبري فوق C بُعدًا طوبولوجيًا يساوي اثنين؛ أي أنه سطح .

الجنس الطوبولوجي لهذا السطح، أي عدد نقاط التلامس أو الثقوب الدائرية، يساوي الجنس الهندسي للمنحنى الجبري الذي يمكن حسابه بالوسائل الجبرية. باختصار، إذا اعتبرنا إسقاطًا مستويًا لمنحنى غير شاذ من الدرجة d وله نقاط شاذة عادية فقط (نقاط شاذة من الرتبة الثانية ذات مماسات مختلفة)، فإن الجنس هو $(d - 1)(d - 2)/2 - k$ ، حيث k هو عدد هذه النقاط الشاذة.

أسطح ريمان المدمجة

سطح ريمان هو فضاء تحليلي عقدي متصل ذو بُعد عقدي واحد، مما يجعله فضاءً حقيقياً متصلاً ذو بُعدين. وهو متراص إذا كان متراصاً كفضاء طوبولوجي.

توجد تكافؤات ثلاثية بين فئات المنحنيات الجبرية الإسقاطية الملساء غير القابلة للاختزال على C (مع تطبيقات منتظمة غير ثابتة كتشاكلات)، وفئة أسطح ريمان المدمجة (مع تطبيقات هولومورفية غير ثابتة كتشاكلات)، ونقيض فئة حقول الدوال الجبرية في متغير واحد على C (مع تشاكلات الحقول التي تثبت C كتشاكلات). هذا يعني أن دراسة هذه المواضيع الثلاثة تعني، بمعنى ما، دراسة شيء واحد. يسمح هذا باستخدام أساليب التحليل العقدي في الهندسة الجبرية، والأساليب الجبرية الهندسية في التحليل العقدي، واستخدام أساليب نظرية الحقول في كليهما. وهذا ما يميز فئة أوسع بكثير من المسائل في الهندسة الجبرية.

انظر أيضًا إلى الهندسة الجبرية والهندسة التحليلية للحصول على نظرية أكثر عمومية.

التفردات

باستخدام المفهوم الجوهري للفضاء المماسي ، تُصنف النقاط P على منحنى جبري C إلى نقاط ملساء (مرادف: غير شاذة )، أو شاذة . بفرض وجود n − 1 من كثيرات الحدود المتجانسة في n + 1 من المتغيرات، يمكننا إيجاد مصفوفة جاكوبي على أنها مصفوفة ( n − 1)×( n + 1) للمشتقات الجزئية. إذا كانت رتبة هذه المصفوفة n − 1، فإن كثيرات الحدود تُعرّف منحنى جبريًا (وإلا فإنها تُعرّف صنفًا جبريًا ذا بُعد أعلى). إذا بقيت الرتبة n − 1 عند حساب مصفوفة جاكوبي عند نقطة P على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة ملساء أو منتظمة؛ وإلا فهي نقطة شاذة . على وجه الخصوص، إذا كان المنحنى منحنى جبريًا إسقاطيًا مستويًا، مُعرَّفًا بمعادلة متعددة الحدود متجانسة واحدة f ( x , y , z ) = 0، فإن النقاط الشاذة هي تحديدًا النقاط P التي تكون فيها رتبة المصفوفة 1×( n + 1) صفرًا، أي حيث ${\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)={\frac {\partial f}{\partial z}}(P)=0.$

بما أن f دالة متعددة الحدود، فإن هذا التعريف جبري بحت ولا يفترض أي شيء عن طبيعة الحقل F ، الذي لا يشترط أن يكون مجموعة الأعداد الحقيقية أو المركبة. ويجدر التذكير بأن النقطة (0,0,0) ليست نقطة على المنحنى، وبالتالي فهي ليست نقطة شاذة.

وبالمثل، بالنسبة لمنحنى جبري أفيني مُعرَّف بمعادلة متعددة الحدود f ( x , y ) = 0، فإن النقاط الشاذة هي تحديدًا النقاط P على المنحنى حيث تكون رتبة مصفوفة جاكوبي 1× n تساوي صفرًا، أي حيث

$f(P)={\frac {\partial f}{\partial x}}(P)={\frac {\partial f}{\partial y}}(P)=0.$

لا تُعدّ نقاط التفرد في المنحنى ثوابت ثنائية نسبية. مع ذلك، يُعدّ تحديد نقاط التفرد في المنحنى وتصنيفها إحدى طرق حساب جنس المنحنى ، وهو ثابت ثنائي نسبي. ولتحقيق ذلك، ينبغي النظر إلى المنحنى إسقاطيًا، مع اشتراط أن تكون F مغلقة جبريًا، بحيث تُؤخذ جميع نقاط التفرد التي تنتمي إلى المنحنى في الاعتبار.

تصنيف النقاط الشاذة

تشمل النقاط المفردة نقاطًا متعددة حيث يتقاطع المنحنى مع نفسه، وكذلك أنواعًا مختلفة من النقاط الحادة ، على سبيل المثال تلك التي يظهرها المنحنى ذو المعادلة x ³ = y ² عند (0,0).

يحتوي المنحنى C على عدد محدود على الأكثر من النقاط الشاذة. إذا لم يكن له أي نقاط شاذة، فيمكن تسميته أملسًا أو غير شاذ . يُفهم هذا التعريف عادةً على حقل مغلق جبريًا، وعلى منحنى C في فضاء إسقاطي (أي كامل بالمعنى الهندسي الجبري). على سبيل المثال، المنحنى المستوي ذو المعادلة $y-x^{3}=0$ يعتبر متفرداً، حيث أن له نقطة متفردة (نقطة حادة) عند اللانهاية.

في الجزء المتبقي من هذا القسم، سنتناول منحنىً مستوياً $C$ يُعرَّف بأنه مجموعة أصفار متعددة الحدود ثنائية المتغيرات $f (x, y)$ . يمكن تعميم بعض النتائج، وليس كلها، على المنحنيات غير المستوية.

تُصنَّف النقاط الشاذة باستخدام عدة ثوابت. يُعرَّف التعدد $m$ بأنه أكبر عدد صحيح بحيث تتلاشى مشتقات الدالة $f$ لجميع الرتب حتى $m - 1$ (وهو أيضًا أقل عدد نقاط تقاطع بين المنحنى وخط مستقيم عند $النقطة P$ ). وبشكل بديهي، تتميز النقطة الشاذة بـثابت دلتا $δ$ إذا كان يركز $δ$ نقطة مزدوجة عادية عند $النقطة P.$ ولتوضيح ذلك بدقة،التفجيرما يُسمىبالنقاط القريبة جدًا، وينتج عن جمع $m (m - 1)/2$ على هذه النقاط، حيثmهو تعددها، قيمة $δ$ . بالنسبة لمنحنى غير قابل للاختزال ومختزل ونقطة $P،$ يمكننا تعريف $δ$ جبريًا على أنه طول ${\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}/{\mathcal {O}}_{P}$ أين ${\mathcal {O}}_{P}$ هي الحلقة المحلية عند النقطة P و ${\widetilde {\mathcal {O}}}_{P}$ وهو إغلاقها المتكامل. ^{[ 1 ]}

عدد ميلنور μ $لنقطة$ شاذة هو درجة التطبيق $⁠ grad f (x, y) / |grad f (x, y)| ⁠$ على الكرة الصغيرة ذات نصف القطر ε، بمعنى الدرجة الطوبولوجية للتطبيق المتصل ، حيث $grad f$ هو حقل متجه التدرج (المركب) للدالة f . ويرتبط هذا العدد بـ δ و r من خلال صيغة ميلنور-يونغ .

μ = 2δ − r + 1.

هنا، يُمثل عدد التفرعات r للنقطة P عدد الفروع غير القابلة للاختزال محليًا عند P. على سبيل المثال، r = 1 عند نقطة حدبة عادية، و r = 2 عند نقطة مزدوجة عادية. التعددية m أكبر من أو تساوي r ، وتكون P نقطة شاذة إذا وفقط إذا كانت m أكبر من أو تساوي 2. علاوة على ذلك، فإن δ أكبر من أو تساوي m ( m -1)/2.

يُتيح حساب ثوابت دلتا لجميع النقاط الشاذة تحديد جنس المنحنى g ؛ إذا كانت d هي الدرجة، فإن

$g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)-\sum _{P}\delta _{P},$

حيث يتم حساب المجموع على جميع النقاط الشاذة P لمنحنى المستوى الإسقاطي المركب. وتسمى هذه الصيغة صيغة الجنس .

نُعيّن الثوابت [ m , δ, r ] لنقطة شاذة، حيث m هي التعددية، وδ هو الثابت دلتا، و r هو عدد التفرع. عندئذٍ، تكون النقطة المدببة العادية هي نقطة ذات ثوابت [2,1,1]، وتكون النقطة المزدوجة العادية هي نقطة ذات ثوابت [2,1,2]، وتكون النقطة المتعددة m العادية هي نقطة ذات ثوابت [ m , m ( m - 1)/2, m ].

أمثلة على المنحنيات

المنحنيات العقلانية

المنحنى الكسري ، أو المنحنى أحادي المسار، هو أي منحنى مكافئ ثنائيًا لخط مستقيم، والذي يمكننا اعتباره خطًا إسقاطيًا؛ وبناءً على ذلك، يمكننا تعريف حقل الدوال لهذا المنحنى بحقل الدوال الكسرية في متغير واحد F ( x ). إذا كان F مغلقًا جبريًا، فإن هذا يكافئ منحنى من الرتبة الصفرية ؛ ومع ^ذلك ، فإن حقل جميع الدوال الجبرية الحقيقية المعرفة على التنوع الجبري الحقيقي x² ⁺y² = -1 هو حقل من الرتبة الصفرية وليس حقل دوال كسرية.

بصورةٍ ملموسة، يمكن تمثيل منحنى كسري مُضمّن في فضاء أفيني ذي بُعد n على F (باستثناء النقاط الاستثنائية المعزولة) باستخدام n دالة كسرية ذات مُعامل واحد t ؛ وباختزال هذه الدوال الكسرية إلى مُقام واحد، تُحدد كثيرات الحدود الناتجة n +1 تمثيلًا متعدد الحدود للإكمال الإسقاطي للمنحنى في الفضاء الإسقاطي. ومن الأمثلة على ذلك المنحنى الطبيعي الكسري ، حيث تكون جميع كثيرات الحدود هذه أحادية الحد .

أي قطع مخروطي مُعرَّف على المجال F بنقطة نسبية فيه هو منحنى نسبي. ويمكن تمثيله برسم خط مستقيم ميله t يمر بالنقطة النسبية، ويتقاطع مع المنحنى التربيعي المستوي؛ وهذا يُعطي متعددة حدود بمعاملات نسبية على F وجذر نسبي واحد على F ، وبالتالي فإن الجذر الآخر نسبي على F أيضًا (أي ينتمي إلى F ).

على سبيل المثال، لننظر إلى القطع الناقص ^x²+ xy + y² = 1 ^، حيث (−1, 0) نقطة نسبية. برسم خط مستقيم ميله t من (−1, 0)، أي y = t ( x + 1)، ثم تعويضه في معادلة القطع الناقص، وتحليله، وحل المعادلة لإيجاد قيمة x ، نحصل على

$x={\frac {1-t^{2}}{1+t+t^{2}}}.$

إذن، معادلة y هي

$y=t(x+1)={\frac {t(t+2)}{1+t+t^{2}}}\,,$

وهذا يُحدد تمثيلاً منطقياً للقطع الناقص، وبالتالي يُبين أن القطع الناقص منحنى منطقي. جميع نقاط القطع الناقص مُعطاة، باستثناء النقطة (−1,1) التي تُقابل t = ∞؛ لذلك، يُمثل المنحنى بأكمله بواسطة الخط الإسقاطي الحقيقي.

يمكن النظر في هذا النوع من المعامل المنطقي في الفضاء الإسقاطي بمساواة الإحداثيات الإسقاطية الأولى ببسط المعامل، والأخير بالمقام المشترك. وبما أن المعامل مُعرَّف على خط إسقاطي، فيجب تجانس كثيرات الحدود فيه . على سبيل المثال، المعامل الإسقاطي للقطع الناقص المذكور أعلاه هو

$X=U^{2}-T^{2},\quad Y=T\,(T+2\,U),\quad Z=T^{2}+TU+U^{2}.$

وبحذف T و U بين هاتين المعادلتين، نحصل مرة أخرى على المعادلة الإسقاطية للقطع الناقص $X^{2}+X\,Y+Y^{2}=Z^{2},$ والتي يمكن الحصول عليها بسهولة مباشرة عن طريق تجانس المعادلة أعلاه.

العديد من المنحنيات الموجودة في قائمة المنحنيات على ويكيبيديا هي منحنيات نسبية، وبالتالي لها معلمات نسبية مماثلة.

منحنيات مستوية منطقية

المنحنيات المستوية العقلانية هي منحنيات عقلانية مضمنة في $\mathbb {P} ^{2}$ . بالنظر إلى الأقسام العامة $s_{1},s_{2},s_{3}\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))$ درجة علمية $d$ كثيرات الحدود المتجانسة في إحداثيين، $x,y$ توجد خريطة $s:\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{2}$ مقدم من $s([x:y])=[s_{1}([x:y]):s_{2}([x:y]):s_{3}([x:y])]$ تعريف منحنى مستوٍ عقلاني من الدرجة $d$ [ ²^] توجد فضاءات معيارية مرتبطة ^بها ${\mathcal {M}}={\overline {\mathcal {M}}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d\cdot [H])$ (أين $[H]$ (فئة المستوى الفائق) التي تُحدد معلمات جميع هذه المنحنيات المستقرة . يمكن إجراء عد الأبعاد لتحديد بُعد فضاءات المعاملات: هناك $d+1$ المعلمات في $\Gamma (\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(d))$ أعطِ $3d+3$ مجموع المعاملات لكل قسم. ثم، بما أنها تُعتبر حتى حاصل قسمة إسقاطي في $\mathbb {P} ^{2}$ هنالك $1$ معلمات أقل في ${\mathcal {M}}$ علاوة على ذلك، توجد مجموعة ثلاثية الأبعاد من التشاكلات الذاتية لـ $\mathbb {P} ^{1}$ ، لذلك ${\mathcal {M}}$ له أبعاد $3d+3-1-3=3d-1$ يمكن استخدام مساحة المعاملات هذه لحساب العدد $N_{d}$ درجة علمية $d$ منحنيات مستوية عقلانية متقاطعة $3d-1$ تُحسب النقاط باستخدام نظرية غروموف-ويتن . ^{[ 3 ]} ويتم تحديدها من خلال العلاقة التكرارية. $N_{d}=\sum _{d_{A}+d_{B}=d}N_{d_{A}}N_{d_{B}}d_{A}^{2}d_{B}\left(d_{B}{\binom {3d-4}{3d_{A}-2}}-d_{A}{\binom {3d-4}{3d_{A}-1}}\right)$ أين $N_{1}=N_{2}=1$ .

المنحنيات الإهليلجية

يمكن تعريف المنحنى الإهليلجي بأنه أي منحنى من الرتبة الأولى له نقطة نسبية : النموذج الشائع هو منحنى تكعيبي غير شاذ ، وهو ما يكفي لنمذجة أي منحنى من الرتبة الأولى. في هذا النموذج، تُعتبر النقطة المميزة عادةً نقطة انعطاف عند اللانهاية؛ وهذا يعني اشتراط إمكانية كتابة المنحنى بصيغة تيت-فايرشتراس، والتي في صيغتها الإسقاطية هي $y^{2}z+a_{1}xyz+a_{3}yz^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}z+a_{4}xz^{2}+a_{6}z^{3}.$

إذا كانت خصائص الحقل مختلفة عن 2 و3، فإن التغيير الخطي للإحداثيات يسمح بوضع $a_{1}=a_{2}=a_{3}=0,$ مما يعطي شكل فايرشتراس الكلاسيكي $y^{2}=x^{3}+px+q.$

تحمل المنحنيات الإهليلجية بنية زمرة أبيلية ، حيث تمثل النقطة المميزة عنصرًا محايدًا في قانون الزمرة. في نموذج مكعب مستوٍ، يكون مجموع ثلاث نقاط في الزمرة مساويًا للصفر إذا وفقط إذا كانت على استقامة واحدة . بالنسبة لمنحنى إهليلجي مُعرَّف على الأعداد المركبة، تكون الزمرة متماثلة مع الزمرة الجمعية للمستوى المركب بتردد شبكة دورات الدوال الإهليلجية المناظرة .

إن تقاطع سطحين تربيعيين ، بشكل عام، يكون منحنى غير شاذ من النوع الأول والدرجة الرابعة، وبالتالي منحنى إهليلجي إذا كان له نقطة نسبية. في حالات خاصة، قد يكون التقاطع منحنى تربيعيًا شاذًا نسبيًا، أو قد يتحلل إلى منحنيات ذات درجات أصغر، والتي لا تكون دائمًا متميزة (إما منحنى تكعيبي وخط مستقيم، أو قطعين مخروطيين، أو قطع مخروطي وخطين مستقيمين، أو أربعة خطوط مستقيمة).

منحنيات من جنس أكبر من واحد

تختلف المنحنيات ذات الجنس الأكبر من واحد اختلافًا ملحوظًا عن كل من المنحنيات الكسرية والقطع الناقص. هذه المنحنيات المعرفة على الأعداد الكسرية، وفقًا $لنظرية$ فالتينغز ، لا يمكن أن تحتوي إلا على عدد محدود من النقاط الكسرية، ويمكن اعتبارها ذات بنية هندسية زائدية . من الأمثلة على ذلك $المنحنيات$ القطع الناقص الزائدية ، ومنحنى كلاين الرباعي ، ومنحنى فيرما $xⁿ + yⁿ = zⁿ$ عندما يكون $n$ أكبر من ثلاثة. وكذلك منحنيات المستوى الإسقاطي $في$ $\mathbb {P} ^{2}$ والمنحنيات في $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ قدّم العديد من الأمثلة المفيدة.

منحنيات المستوى الإسقاطي

المنحنيات المستوية $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ درجة علمية $k$ ، والتي يمكن بناؤها كموضع تلاشي لقطاع عام $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(k))$ ، لها جنس ${\frac {(k-1)(k-2)}{2}}$ والتي يمكن حسابها باستخدام علم التماثل المتماسك للحزم . إليك ملخص موجز لأنواع المنحنيات نسبةً إلى درجتها.

درجة	1	2	3	4	5	6	7
جنس	0	0	1	3	6	10	15

على سبيل المثال، المنحنى $x^{4}+y^{4}+z^{4}$ يُحدد منحنى الجنس $3$ وهو سلس لأن التفاضلات $4x^{3},4y^{3},4z^{3}$ لا توجد أصفار مشتركة مع المنحنى. المنحنى ليس مثالاً على مقطع عام $x(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ والتي، بحسب نظرية بيزو ، يجب أن تتقاطع على الأكثر $2$ النقاط؛ إنها اتحاد منحنيين عقلانيين $C_{1}\cup C_{2}$ يتقاطعان عند نقطتين. ملاحظة $C_{1}$ يُعطى بواسطة موضع التلاشي لـ $x$ و $C_{2}$ يُعطى بواسطة موضع التلاشي لـ $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ويمكن إيجاد هذه النقاط بشكل صريح: تقع النقطة في كليهما إذا $x=0$ إذن، الحلان هما النقطتان $[0:y:z]$ بحيث $y^{2}+z^{2}=0$ ، وهي $[0:1:-{\sqrt {-1}}]$ و $[0:1:{\sqrt {-1}}]$ .

المنحنيات في حاصل ضرب الخطوط الإسقاطية

منحنى $C\subset \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ معطى بواسطة موضع التلاشي لـ $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(a,b))$ ، ل $a,b\geq 2$ ، أعطِ منحنيات الجنس $ab-a-b+1$ ويمكن التحقق من ذلك باستخدام علم التماثل المتماسك للحزم . إذا $a=2$ ثم يقومون بتحديد منحنيات الجنس $2b-2-b+1=b-1$ وبالتالي، يمكن إنشاء منحنى من أي جنس كمنحنى في $\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}$ يمكن تلخيص أجناسها في الجدول

شهادة جامعية متوسطة	$(2,2)$	$(2,3)$	$(2,4)$	$(2,5)$
جنس	1	2	3	4

ولـ $a=3$ ، هذا هو

شهادة جامعية متوسطة	$(3,2)$	$(3,3)$	$(3,4)$	$(3,5)$
جنس	2	4	6	8

انظر أيضاً

الهندسة الجبرية الكلاسيكية

الهندسة الجبرية الحديثة

هندسة أسطح ريمان

ملحوظات

↑ هارتشورن، الهندسة الجبرية، الجزء الرابع، مثال 1.8.
↑ كازاريان، ماكسيم إي.؛ لاندو، سيرجي ك.؛ براسولوف، فيكتور (2018). المنحنيات الجبرية: نحو فضاءات المعاملات . محاضرات موسكو. دار نشر سبرينغر الدولية. ص 213-214 . ISBN 978-3-030-02942-5.
↑ "صيغة كونتسيفيتش للمنحنيات المستوية العقلانية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 26 فبراير 2020.

مراجع

بريسكورن، إيغبرت ؛ كنورر، هورست (2013). المنحنيات الجبرية المستوية . ترجمة: ستيلويل، جون. بيركهاوزر. ISBN 978-3-0348-5097-1.
شيڤالي، كلود (1951). مقدمة في نظرية الدوال الجبرية لمتغير واحد . دراسات رياضية. المجلد 6. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-1506-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
كوليدج، جوليان ل. (2004) [1931]. رسالة في المنحنيات المستوية الجبرية . دوفر. ISBN 978-0-486-49576-7.
فاركاس، إتش إم؛ كرا، آي. (2012) [1980]. أسطح ريمان . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 71. سبرينغر. ISBN 978-1-4684-9930-8.
فولتون، ويليام (1989). المنحنيات الجبرية: مقدمة في الهندسة الجبرية . سلسلة محاضرات الرياضيات. المجلد 30 ( الطبعة الثالثة). أديسون-ويسلي. ISBN 978-0-201-51010-2.
جيبسون، سي جي (1998). الهندسة الأولية للمنحنيات الجبرية: مقدمة لطلاب المرحلة الجامعية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-64641-3.
غريفيث، فيليب أ. (1985). مقدمة في المنحنيات الجبرية . ترجمة من سلسلة الدراسات الرياضية. المجلد 70 ( الطبعة الثالثة). الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 9780821845370.
هارتشورن، روبن (2013) [1977]. الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 52. سبرينغر. ISBN 978-1-4757-3849-0.
إيتاكا، شيغيرو (2011) [1982]. الهندسة الجبرية: مقدمة في الهندسة الثنائية النسبية للمتنوعات الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 76. سبرينغر نيويورك. ISBN 978-1-4613-8121-1.
ميلنور، جون (1968). النقاط الشاذة للأسطح الفائقة المعقدة . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 0-691-08065-8.
سير، جان بيير (2012) [1988]. الزمر الجبرية وحقول الفئات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 117. سبرينغر. ISBN 978-1-4612-1035-1.
كوتر، إرنست (1887). "Grundzüge einer rein Geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven" [ أساسيات النظرية الهندسية البحتة لمنحنيات المستوى الجبرية ] . معاملات الأكاديمية الملكية في برلين .— حصل على جائزة الأكاديمية عام 1886 ^{[ 1 ]}

↑ نورمان فريزر (فبراير 1888). "هندسة كوتر التركيبية للمنحنيات الجبرية" . وقائع جمعية إدنبرة الرياضية . 7 : 46-61 ، انظر الصفحة 46.

[1] هارتشورن، الهندسة الجبرية، الجزء الرابع، مثال 1.8.

[2] كازاريان، ماكسيم إي.؛ لاندو، سيرجي ك.؛ براسولوف، فيكتور (2018). المنحنيات الجبرية: نحو فضاءات المعاملات . محاضرات موسكو. دار نشر سبرينغر الدولية. ص 213-214 . ISBN 978-3-030-02942-5.

[3] "صيغة كونتسيفيتش للمنحنيات المستوية العقلانية" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 26 فبراير 2020.

[4] نورمان فريزر (فبراير 1888). "هندسة كوتر التركيبية للمنحنيات الجبرية" . وقائع جمعية إدنبرة الرياضية . 7 : 46-61 ، انظر الصفحة 46.

[ 1 ]

2

[ 3 ]

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗