معادلة الحرارة

ثابت الانتشار${\displaystyle \alpha }$غالبًا ما يُغفل هذا العامل في الدراسات الرياضية لمعادلة الحرارة، بينما قد تكون قيمته بالغة الأهمية في الهندسة. وهذا ليس فرقًا جوهريًا، للأسباب التالية. لنفترض${\displaystyle u}$كن دالة مع

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u.}$

قم بتعريف دالة جديدة${\displaystyle v(t,x)=u\left({\frac {t}{\alpha }},x\right)}$ثم، وفقًا لقاعدة السلسلة ، يكون لدى المرء

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}v(t,x)={\frac {\partial }{\partial t}}u\left({\frac {t}{\alpha }},x\right)=\alpha ^{-1}{\frac {\partial u}{\partial t}}\left({\frac {t}{\alpha }},x\right)=\nabla ^{2}u\left({\frac {t}{\alpha }},x\right)=\nabla ^{2}v(t,x)}$

*

وبالتالي، توجد طريقة مباشرة للترجمة بين حلول معادلة الحرارة بقيمة عامة لـ${\displaystyle \alpha }$وحلول معادلة الحرارة مع${\displaystyle \alpha =1}$وبالتالي، ولأغراض التحليل الرياضي، غالباً ما يكفي النظر في الحالة فقط${\displaystyle \alpha =1}$.

منذ${\displaystyle \alpha >0}$هناك خيار آخر لتحديد${\displaystyle v}$مُرضٍ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v}$كما في ( * ) أعلاه عن طريق التعيين${\displaystyle v(t,x)=u\left(t,\alpha ^{\frac {1}{2}}x\right)}$لاحظ أن هناك وسيلتين محتملتين لتعريف الدالة الجديدة${\displaystyle v}$إن ما نوقش هنا يرقى، من الناحية الفيزيائية، إلى تغيير وحدة قياس الوقت أو وحدة قياس الطول.

معادلة الحرارة غير المتجانسة هي

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+f}$

لدالة معينة${\displaystyle f=f(x,t)}$والذي يُسمح له بالاعتماد على كليهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle t}$[ ^{2 ] تُستخدم معادلة الحرارة غير المتجانسة لنمذجة المسائل الحرارية التي يتم} فيها تشغيل مصدر حراري يُرمز له بالرمز f . على سبيل المثال، يمكن استخدامها لنمذجة درجة الحرارة في جميع أنحاء غرفة مع تشغيل سخان.${\displaystyle S\subset U}$هي المنطقة من الغرفة التي يوجد بها المدفأة، وهي التي تولد الحرارة باستمرار.${\displaystyle q}$وحدات الحرارة لكل وحدة حجم، ثم${\displaystyle f}$سيتم تقديمها بواسطة${\displaystyle f(x,t)=q1_{S}(x)}$.

حل لمعادلة الحرارة${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla ^{2}u}$يُقال إنها حل مستقر إذا لم تتغير مع مرور الوقت:

${\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u.}$

يؤدي تدفق u عبر معادلة الحرارة إلى اقترابها تدريجيًا مع مرور الوقت من حل الحالة المستقرة. عند فترات زمنية طويلة جدًا، يتم تقريب u بدقة بواسطة حل الحالة المستقرة. حل الحالة المستقرة لمعادلة الحرارة هو في المقابل حل لمعادلة لابلاس .

وبالمثل، فإن حل معادلة الحرارة غير المتجانسة${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla ^{2}u+f}$يُقال إنها حل مستقر إذا لم تتغير مع مرور الوقت:

${\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla ^{2}u+f.}$

وهذا يعادل حلاً لمعادلة بواسون .

في حالة الاستقرار، يكون التدرج الحراري المكاني غير صفري${\displaystyle \nabla u}$قد يكون موجودًا (أو غير موجود)، ولكن إن وُجد، فإنه لا يتغير بمرور الوقت. تصف معادلة الحالة المستقرة النتيجة النهائية في جميع المسائل الحرارية التي يتم فيها تشغيل مصدر حراري (على سبيل المثال، تشغيل محرك سيارة)، ويمر وقت كافٍ لتكوّن جميع تدرجات درجة الحرارة الدائمة في المكان، وبعد ذلك لا تتغير هذه التدرجات المكانية بمرور الوقت (كما هو الحال مع سيارة يعمل محركها لفترة كافية). الحل الآخر (البسيط) هو اختفاء جميع تدرجات درجة الحرارة المكانية، وفي هذه الحالة تصبح درجة الحرارة موحدة في المكان أيضًا. معادلات الحالة المستقرة أبسط، ويمكن أن تساعد في فهم فيزياء المواد بشكل أفضل دون التركيز على ديناميكيات انتقال الحرارة. وهي تُستخدم على نطاق واسع في المسائل الهندسية البسيطة بافتراض وجود توازن بين مجالات درجة الحرارة وانتقال الحرارة مع مرور الوقت.

يمكن صياغة النصف الأول من التفكير الفيزيائي المذكور أعلاه في شكل رياضي. يكمن جوهر الأمر في أنه، لأي قيمة ثابتة${\displaystyle x}$، لدى المرء

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\nabla ^{2}u(x)\end{aligned}}}$

حيث u _{( x )} ( r ) هي دالة ذات متغير واحد تشير إلى القيمة المتوسطة لـ${\displaystyle u}$على سطح كرة نصف قطرها r ومركزها x ؛ ويمكن تعريفها بواسطة

${\displaystyle u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},}$

في أي${\displaystyle \omega _{n-1}}$يرمز إلى مساحة سطح الكرة الوحدة في${\displaystyle n}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n . هذا يُضفي طابعًا رسميًا على العبارة السابقة التي مفادها أن قيمة${\displaystyle \nabla ^{2}u}$في نقطة${\displaystyle x}$يقيس الفرق بين قيمة${\displaystyle u(x)}$وقيمة u عند النقاط القريبة من${\displaystyle x}$، بمعنى أن الأخير مُشفّر بواسطة قيم${\displaystyle u_{(x)}(r)}$بالنسبة للقيم الموجبة الصغيرة لـ${\displaystyle r}$.

بناءً على هذه الملاحظة، يمكن تفسير معادلة الحرارة على أنها تفرض متوسطًا متناهيًا في الصغر لدالة ما. وبمعرفة حل معادلة الحرارة، فإن قيمة${\displaystyle u(x,t+\tau )}$لقيمة موجبة صغيرة من${\displaystyle \tau }$يمكن تقريبها على النحو التالي${\displaystyle {\frac {1}{2n}}}$مضروبًا في متوسط ​​قيمة الدالة${\displaystyle u(\cdot ,t)}$فوق كرة ذات نصف قطر صغير جدًا مركزها عند${\displaystyle x}$.

تشير معادلة الحرارة إلى أن قمم ( قيم عظمى محلية )${\displaystyle u}$ستتآكل تدريجيًا، بينما ستُملأ المنخفضات ( القيم الدنيا المحلية ). ستبقى القيمة عند نقطة ما مستقرة فقط طالما أنها تساوي متوسط ​​القيمة في محيطها المباشر. على وجه الخصوص، إذا كانت القيم في جوار ما قريبة جدًا من دالة خطية${\displaystyle Ax+By+Cz+D}$إذاً، فإن القيمة في مركز تلك المنطقة لن تتغير في ذلك الوقت (أي المشتقة).${\displaystyle {\dot {u}}}$(ستكون القيمة صفرًا).

ومن النتائج الأكثر دقة مبدأ الحد الأقصى ، الذي ينص على أن القيمة القصوى لـ${\displaystyle u}$في أي منطقة${\displaystyle R}$لن تتجاوز قيمة الوسط الحد الأقصى الذي حدث سابقًا في${\displaystyle R}$إلا إذا كان على حدود${\displaystyle R}$أي درجة الحرارة القصوى في منطقة ما${\displaystyle R}$لا يمكن أن تزداد الحرارة إلا إذا دخلت الحرارة من الخارج.${\displaystyle R}$هذه خاصية من خصائص المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة ، وليس من الصعب إثباتها رياضياً (انظر أدناه).

ومن الخصائص الأخرى المثيرة للاهتمام أنه حتى لو${\displaystyle u}$في البداية، يحدث قفزة حادة (انقطاع) في القيمة عبر سطح ما داخل الوسط، ثم يتم تنعيم هذه القفزة فورًا بواسطة تدفق حراري لحظي، قصير للغاية ولكنه كبير جدًا، عبر ذلك السطح. على سبيل المثال، إذا كان لدينا جسمان معزولان، في البداية عند درجات حرارة موحدة ولكن مختلفة${\displaystyle u_{0}}$و ${\displaystyle u_{1}}$إذا تم وضعهما على بعضهما البعض، فإن درجة الحرارة عند نقطة التلامس ستتخذ على الفور قيمة متوسطة، وستتشكل منطقة حول تلك النقطة حيث${\displaystyle u}$سيتغير تدريجياً بين${\displaystyle u_{0}}$و${\displaystyle u_{1}}$.

إذا سُلِّطت كمية معينة من الحرارة فجأة على نقطة في الوسط، فإنها ستنتشر في جميع الاتجاهات على شكل موجة انتشار . وعلى عكس الموجات المرنة والكهرومغناطيسية ، فإن سرعة موجة الانتشار تتناقص مع مرور الوقت: فمع انتشارها على مساحة أكبر، يقل تدرج درجة الحرارة، وبالتالي يقل تدفق الحرارة أيضًا.

بالنسبة لتدفق الحرارة، فإن معادلة الحرارة تتبع من القوانين الفيزيائية لتوصيل الحرارة وحفظ الطاقة ( كانون 1984 ) .

بحسب قانون فورييه للوسط المتجانس، فإن معدل تدفق الطاقة الحرارية لكل وحدة مساحة عبر سطح ما يتناسب مع تدرج درجة الحرارة السالب عبره:

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u}$

أين${\displaystyle k}$هي الموصلية الحرارية للمادة،${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$هي درجة الحرارة، و${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$هو حقل متجه يمثل مقدار واتجاه تدفق الحرارة عند النقطة${\displaystyle \mathbf {x} }$من المكان والزمان${\displaystyle t}$.

إذا كان الوسط عبارة عن قضيب رفيع ذي مقطع ومادة منتظمين، فإن الموضع x يكون إحداثيًا واحدًا وتدفق الحرارة${\displaystyle q=q(t,x)}$تجاه${\displaystyle x}$هو حقل قياسي . تصبح المعادلة

${\displaystyle q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}}$

يترك${\displaystyle Q=Q(x,t)}$لتكن الطاقة الداخلية (الحرارة) لكل وحدة حجم من القضيب عند كل نقطة وزمن. معدل تغير الحرارة لكل وحدة حجم في المادة،${\displaystyle \partial Q/\partial t}$، يتناسب مع معدل تغير درجة حرارته،${\displaystyle \partial u/\partial t}$. إنه،

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

أين${\displaystyle c}$هي السعة الحرارية النوعية (عند ضغط ثابت، في حالة الغاز) و${\displaystyle \rho }$تمثل الكثافة (الكتلة لكل وحدة حجم) للمادة. ويفترض هذا الاشتقاق أن للمادة كثافة كتلة وسعة حرارية ثابتة في المكان والزمان.

بتطبيق قانون حفظ الطاقة على عنصر صغير من الوسط متمركز عند${\displaystyle x}$ويستنتج المرء أن معدل تغير الحرارة عند نقطة معينة${\displaystyle x}$يساوي مشتق تدفق الحرارة عند تلك النقطة (الفرق بين تدفقات الحرارة على جانبي الجسيم). أي،

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}}$

من المعادلات المذكورة أعلاه يتبين أن

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

وهي معادلة الحرارة في بُعد واحد، مع معامل الانتشار

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c\rho }}}$

تُسمى هذه الكمية الانتشارية الحرارية للوسط.

بشكل عام، تستند دراسة التوصيل الحراري إلى عدة مبادئ. يُعد تدفق الحرارة شكلاً من أشكال تدفق الطاقة ، ولذلك من المهم الحديث عن معدل تدفق الحرارة إلى منطقة معينة في الفضاء.

• يُعطى معدل تدفق الحرارة إلى منطقة V بالزمن بواسطة كمية تعتمد على الزمن q ( V ). نفترض أن q لها كثافة Q _، بحيث$${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad }$$
• يُعدّ تدفق الحرارة دالة متجهة تعتمد على الزمن H ( x )، وتتميز بما يلي: معدل تدفق الحرارة عبر عنصر سطحي متناهي الصغر مساحته dS ومتجه الوحدة العمودي n هو$${\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS.}$$وبالتالي، فإن معدل تدفق الحرارة إلى V يُعطى أيضًا بواسطة التكامل السطحي$${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$$حيث n ( x ) هو متجه العمودي المتجه للخارج عند x .
• ينص قانون فورييه على أن تدفق الطاقة الحرارية يعتمد خطياً على تدرج درجة الحرارة.$${\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}$$حيث A ( x ) هي مصفوفة حقيقية 3  ×  3 متناظرة وموجبة التحديد .
• بحسب نظرية التباعد ، يمكن تحويل التكامل السطحي السابق لتدفق الحرارة إلى V إلى التكامل الحجمي$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}}$$
• معدل تغير درجة الحرارة عند النقطة x يتناسب طرديًا مع كمية الحرارة المتدفقة إلى عنصر حجم متناهي الصغر ، حيث يعتمد ثابت التناسب على ثابت κ$${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)}$$

بجمع هذه المعادلات معًا نحصل على المعادلة العامة لتدفق الحرارة:

${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}}$

ملاحظات

• المعامل κ ( x ) هو مقلوب الحرارة النوعية للمادة عند x × كثافة المادة عند x :${\displaystyle \kappa =1/(\rho c_{p})}$.
• في حالة الوسط المتجانس، تكون المصفوفة A مصفوفة قياسية تساوي الموصلية الحرارية k .
• في الحالة غير المتناحية حيث لا تكون مصفوفة المعاملات A كمية قياسية و/أو إذا كانت تعتمد على x ، فنادرًا ما يمكن كتابة صيغة صريحة لحل معادلة الحرارة، على الرغم من أنه من الممكن عادةً النظر في مسألة كوشي المجردة المرتبطة بها وإثبات أنها مسألة محددة جيدًا و/أو إظهار بعض الخصائص النوعية (مثل الحفاظ على البيانات الأولية الموجبة، وسرعة الانتشار اللانهائية، والتقارب نحو حالة التوازن، وخصائص التنعيم). ويتم ذلك عادةً باستخدام نظرية أنصاف الزمر ذات المعامل الواحد : على سبيل المثال، إذا كانت A مصفوفة متناظرة ، فإن المؤثر الإهليلجي المعرف بـ$${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}$$هو ذاتي الترافق ومبدد للطاقة، وبالتالي، وفقًا لنظرية الطيف، فإنه يولد شبه مجموعة ذات معلمة واحدة .

في الحالات الخاصة لانتشار الحرارة في وسط متجانس ومتساوي الخواص في فضاء ثلاثي الأبعاد ، تكون هذه المعادلة

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$${\displaystyle =\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)}$

أين:

• ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$درجة الحرارة كدالة للمكان والزمان؛
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}}$هو معدل تغير درجة الحرارة عند نقطة معينة مع مرور الوقت؛
• ${\displaystyle u_{xx}}$،${\displaystyle u_{yy}}$، و${\displaystyle u_{zz}}$هي المشتقات المكانية الثانية ( التوصيل الحراري ) لدرجة الحرارة في${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، و${\displaystyle z}$الاتجاهات، على التوالي؛
• ${\displaystyle \alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}}$هي الانتشارية الحرارية ، وهي كمية خاصة بالمادة تعتمد على الموصلية الحرارية${\displaystyle k}$، السعة الحرارية النوعية${\displaystyle c_{p}}$وكثافة الكتلة${\displaystyle \rho }$.

معادلة الحرارة هي نتيجة لقانون فورييه للتوصيل (انظر توصيل الحرارة ).

إذا لم يكن الوسط هو الفضاء بأكمله، فمن أجل حل معادلة الحرارة بشكل فريد، نحتاج أيضًا إلى تحديد الشروط الحدية لـ u . ولتحديد تفرد الحلول في الفضاء بأكمله، من الضروري افتراض شروط إضافية، على سبيل المثال حد أسي على نمو الحلول ^{[ 7 ]} أو شرط الإشارة (الحلول غير السالبة فريدة وفقًا لنتيجة ديفيد ويدر ). ^{[ 8 ]}

تتميز حلول معادلة الحرارة بتنعيم تدريجي لتوزيع درجة الحرارة الابتدائية نتيجة لتدفق الحرارة من المناطق الأكثر سخونة إلى المناطق الأبرد في الجسم. عمومًا، تميل العديد من الحالات والظروف الابتدائية المختلفة نحو حالة توازن مستقرة واحدة . ونتيجة لذلك، فإن عكس الحل واستخلاص استنتاجات حول الأزمنة السابقة أو الظروف الابتدائية من توزيع الحرارة الحالي غير دقيق للغاية إلا على فترات زمنية قصيرة جدًا.

تُعد معادلة الحرارة مثالاً نموذجياً لمعادلة تفاضلية جزئية مكافئة .

باستخدام مؤثر لابلاس ، يمكن تبسيط معادلة الحرارة، وتعميمها على معادلات مماثلة على فضاءات ذات عدد أبعاد عشوائي، كما

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,}$

حيث يتم أخذ عامل لابلاس، المشار إليه إما بـ Δ أو بـ ∇ ² (تباعد التدرج)، في المتغيرات المكانية.

تحكم معادلة الحرارة انتشار الحرارة، بالإضافة إلى عمليات انتشارية أخرى، مثل انتشار الجسيمات أو انتشار جهد الفعل في الخلايا العصبية. ورغم أنها ليست عمليات انتشارية بطبيعتها، فإن بعض مسائل ميكانيكا الكم تخضع أيضًا لمعادلة رياضية مماثلة لمعادلة الحرارة (انظر أدناه). ويمكن استخدامها أيضًا لنمذجة بعض الظواهر الناشئة في مجال التمويل ، مثل عملية بلاك-شولز أو عملية أورنستين-أولينبيك . كما استُخدمت هذه المعادلة، ونظائرها غير الخطية المختلفة، في تحليل الصور.

من الناحية الفنية، تُخالف معادلة الحرارة النسبية الخاصة ، لأن حلولها تتضمن انتشارًا فوريًا للاضطراب. عادةً ما يُمكن إهمال جزء الاضطراب خارج مخروط الضوء الأمامي بأمان، ولكن إذا لزم الأمر تحديد سرعة معقولة لانتقال الحرارة، فينبغي النظر في مسألة زائدية - مثل معادلة تفاضلية جزئية تتضمن مشتقة زمنية من الرتبة الثانية . بعض نماذج التوصيل الحراري غير الخطي (وهي أيضًا معادلات مكافئة) لها حلول بسرعة انتقال حرارة محدودة. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

تمثل الدالة u أعلاه درجة حرارة الجسم. وبدلاً من ذلك، قد يكون من الملائم أحيانًا تغيير الوحدات وتمثيل u بكثافة الحرارة في الوسط. وبما أن كثافة الحرارة تتناسب طرديًا مع درجة الحرارة في وسط متجانس، فإن معادلة الحرارة تظل سارية في الوحدات الجديدة.

لنفترض أن جسمًا ما يخضع لمعادلة الحرارة، بالإضافة إلى أنه يُولّد حرارة خاصة به لكل وحدة حجم (مثلًا، بالواط/لتر - W/L) بمعدل يُعطى بدالة معلومة q تتغير في المكان والزمان. ^{[ 11 ]} عندئذٍ، تُحقق الحرارة لكل وحدة حجم u معادلةً

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.}$

على سبيل المثال، يُولّد فتيل مصباح التنجستن حرارة، لذا ستكون له قيمة موجبة غير صفرية لـ q عند تشغيله. أما عند إطفاء المصباح، فستكون قيمة q لفتيل التنجستن صفرًا.

يمكن توسيع نطاق أسلوب الحل المستخدم أعلاه ليشمل أنواعًا أخرى كثيرة من المعادلات. وتتلخص الفكرة في إمكانية تمثيل المؤثر u _xx ذي الشروط الحدية الصفرية بدلالة دواله الذاتية . وهذا يقودنا بشكل طبيعي إلى إحدى الأفكار الأساسية في النظرية الطيفية للمؤثرات الخطية ذاتية الترافق .

لنعتبر المؤثر الخطي Δu = u _xx . المتتالية اللانهائية من الدوال

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

بالنسبة لـ n ≥ 1، تكون الدوال الذاتية لـ Δ. في الواقع،

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.}$

علاوة على ذلك، فإن أي دالة ذاتية f للمثلث Δ مع الشروط الحدية f (0) = f ( L ) = 0 تكون على الصورة e _{_n} لبعض n ≥ 1. تشكل الدوال e _{_n} لـ n ≥ 1 متتالية متعامدة بالنسبة لجداء داخلي معين على فضاء الدوال الحقيقية على [0, L ]. هذا يعني

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}}$

وأخيرًا، فإن المتتالية { e _n } _{n ∈ N} تمتد على فضاء جزئي خطي كثيف من L ² ((0, L )). وهذا يدل على أننا في الواقع قمنا بقطرنة المؤثر Δ.

حلول معادلات الحرارة

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

تحقق خاصية القيمة المتوسطة المشابهة لخصائص القيمة المتوسطة للدوال التوافقية ، وهي حلول لـ

${\displaystyle \Delta u=0,}$

مع أنها أكثر تعقيدًا بعض الشيء. تحديدًا، إذا كان u يحل

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

و

${\displaystyle (x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)}$

ثم

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,}$

أين${\displaystyle E_{\lambda }}$هي كرة حرارية ، أي مجموعة فائقة المستوى للحل الأساسي لمعادلة الحرارة:

${\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},}$

${\displaystyle \Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).}$

لاحظ أن

${\displaystyle \mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)}$

مثل${\displaystyle \lambda \to \infty }$لذا فإن الصيغة المذكورة أعلاه تنطبق على أي${\displaystyle (x,t)}$في المجموعة (المفتوحة)${\displaystyle \mathrm {dom} (u)}$ل${\displaystyle \lambda }$كبيرة بما يكفي. ^{[ 12 ]}

تم تسجيل مجموعة متنوعة من حلول دالة غرين الأولية في بُعد واحد هنا؛ والعديد منها متاح في مصادر أخرى. ^{[ 13 ]} في بعض هذه الحلول، يكون المجال المكاني (−∞,∞). وفي حلول أخرى، يكون المجال المكاني هو الفترة شبه اللانهائية (0,∞) مع شروط حدودية من نوع نيومان أو ديريشليه . ومن الاختلافات الأخرى أن بعض هذه الحلول تحل المعادلة غير المتجانسة.

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.}$

حيث f هي دالة معينة لـ x و t .

معادلة الحرارة المتجانسة

مسألة القيمة الابتدائية على (−∞,∞)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{Initial condition}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}$

تعليق . هذا الحل هو التفاف الحل الأساسي بالنسبة للمتغير x

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),}$

والدالة g ( x ). ( رقم دالة غرين للحل الأساسي هو X00).

لذلك، ووفقًا للخصائص العامة للالتفاف بالنسبة للتفاضل، فإن u = g ∗ Φ هو حل لمعادلة الحرارة نفسها، لـ

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.}$

علاوة على ذلك،

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,}$

وبناءً على الحقائق العامة المتعلقة بتقريب المتطابقة ، فإن Φ(⋅, t ) ∗ g → g عندما t → 0 بمعانٍ مختلفة، وفقًا لـ g المحددة . على سبيل المثال، إذا افترضنا أن g محدودة ومتصلة على R، فإن Φ(⋅, t ) ∗ g تتقارب بانتظام إلى g عندما t → 0، مما يعني أن u ( x , t ) متصلة على R × [0, ∞) حيث u ( x , 0) = g ( x ).

مسألة القيمة الابتدائية على (0,∞) مع شروط حدودية متجانسة من نوع ديريشليه

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

تعليق. يُستنتج هذا الحل من الصيغة السابقة عند تطبيقها على البيانات g ( x ) المُمتدة بشكل مناسب إلى R ، بحيث تكون دالة فردية ، أي بوضع g ( −x )  := −g ( x ) لجميع قيم x . وبالمثل، فإن حل مسألة القيمة الابتدائية على (−∞,∞) هو دالة فردية بالنسبة للمتغير x لجميع قيم t ، وعلى وجه الخصوص، فإنه يحقق شروط حدود ديريشليه المتجانسة u (0, t ) = 0. رقم دالة غرين لهذا الحل هو X10.

مسألة القيمة الابتدائية على (0,∞) مع شروط حدودية متجانسة من نوع نيومان

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

تعليق. يُستنتج هذا الحل من صيغة الحل الأولى المطبقة على البيانات g ( x ) بعد توسيعها بشكل مناسب إلى R لتكون دالة زوجية ، أي بوضع g (−x ) :  = g ( x ) لجميع قيم x . وبالمثل، فإن حل مسألة القيمة الابتدائية على R هو دالة زوجية بالنسبة للمتغير x لجميع قيم t > 0، وعلى وجه الخصوص، لكونها دالة سلسة، فإنها تحقق شروط نيومان الحدودية المتجانسة u( _x (0, t )) = 0. رقم دالة غرين لهذا الحل هو X20.

مسألة على (0,∞) بشروط ابتدائية متجانسة وشروط حدودية غير متجانسة من نوع ديريشليه

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0}$

تعليق . هذا الحل هو عملية الالتفاف بالنسبة للمتغير t لـ

${\displaystyle \psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

والدالة h ( t ). بما أن Φ( x , t ) هي الحل الأساسي لـ

${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2},}$

الدالة ψ ( x , t ) هي أيضاً حل لمعادلة الحرارة نفسها، وكذلك u  := ψ ∗ h ، وذلك بفضل الخصائص العامة للالتفاف بالنسبة للتفاضل. علاوة على ذلك،

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,}$

وبناءً على الحقائق العامة المتعلقة بتقريب المتطابقة ، فإن ψ ( x , ⋅) ∗ h → h عندما x → 0 بمعانٍ مختلفة، وفقًا لقيمة h المحددة . على سبيل المثال، إذا افترضنا أن h دالة متصلة على R ولها مجال في [0, ∞)، فإن ψ ( x , ⋅) ∗ h تتقارب بانتظام على الأعداد المدمجة إلى h عندما x → 0، مما يعني أن u ( x , t ) دالة متصلة على [0, ∞) × [0, ∞) حيث u (0, t ) = h ( t ).

يمكن نمذجة انتشار الجسيمات بواسطة معادلة تتضمن إما:

• التركيز الحجمي للجسيمات، ويرمز له بـ c ، في حالة الانتشار الجماعي لعدد كبير من الجسيمات، أو
• دالة كثافة الاحتمال المرتبطة بموقع جسيم واحد، ويرمز لها بـ P.

في كلتا الحالتين، يتم استخدام معادلة الحرارة

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,}$

أو

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.}$

كل من c و P دالتان للموقع والزمن. D هو معامل الانتشار الذي يتحكم في سرعة عملية الانتشار، ويُعبر عنه عادةً بوحدة متر مربع في الثانية. إذا لم يكن معامل الانتشار D ثابتًا، بل يعتمد على التركيز c (أو P في الحالة الثانية)، فسنحصل على معادلة الانتشار غير الخطية .

لنفترض العملية العشوائية${\displaystyle X}$ليكن حل المعادلة التفاضلية العشوائية

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}}$

أين${\displaystyle B}$هي عملية وينر (الحركة البراونية القياسية). دالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle X}$يُعطى في أي وقت${\displaystyle t}$بواسطة

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

وهو حل مسألة القيمة الابتدائية

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}}$

أين${\displaystyle \delta }$هي دالة ديراك دلتا .

باستخدام عملية قسمة بسيطة، يمكن إعادة كتابة معادلة شرودنغر لجسيم واحد كتلته m في غياب أي مجال قوة مطبق بالطريقة التالية:

${\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi }$،

حيث i هي الوحدة التخيلية ، وħ هو ثابت بلانك المختزل ، و ψ هي الدالة الموجية للجسيم.

هذه المعادلة تشبه شكليًا معادلة انتشار الجسيمات، والتي يمكن الحصول عليها من خلال التحويل التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}}$

بتطبيق هذا التحويل على تعبيرات دوال غرين المحددة في حالة انتشار الجسيمات، نحصل على دوال غرين لمعادلة شرودنغر ، والتي بدورها يمكن استخدامها للحصول على الدالة الموجية في أي وقت من خلال التكامل على الدالة الموجية عند t = 0:

${\displaystyle \psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},}$

مع

${\displaystyle G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.}$

ملاحظة: هذا التشبيه بين ميكانيكا الكم والانتشار هو تشبيه شكلي بحت. من الناحية الفيزيائية، قد يكون لتطور الدالة الموجية التي تحقق معادلة شرودنغر أصل آخر غير الانتشار .

يُعدّ التنبؤ بملامح انتقال الحرارة وقياس الانتشارية الحرارية في البوليمرات تطبيقًا عمليًا مباشرًا لمعادلة الحرارة، بالاقتران مع نظرية فورييه ، في الإحداثيات الكروية (أنسورث ودوارته ). هذه الطريقة المزدوجة النظرية والتجريبية قابلة للتطبيق على المطاط، والعديد من المواد البوليمرية الأخرى ذات الأهمية العملية، والموائع الدقيقة. وقد استنتج هذان الباحثان تعبيرًا لدرجة الحرارة في مركز الكرة T_{_C}

${\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)}$

حيث T ₀ هي درجة الحرارة الابتدائية للكرة و T _S هي درجة الحرارة على سطح الكرة، بنصف قطر L. وقد وجدت هذه المعادلة أيضًا تطبيقات في نقل طاقة البروتين والنمذجة الحرارية في الفيزياء الحيوية.

تظهر معادلة الحرارة في عدد من الظواهر ، وتُستخدم بكثرة في الرياضيات المالية لنمذجة الخيارات . يمكن تحويل المعادلة التفاضلية لنموذج بلاك-شولز لتسعير الخيارات إلى معادلة الحرارة، مما يُتيح حلولًا سهلة نسبيًا باستخدام مجموعة مألوفة من الرياضيات. لا تمتلك العديد من التوسعات لنماذج الخيارات البسيطة حلولًا مغلقة، وبالتالي يجب حلها عدديًا للحصول على سعر الخيار المُنمذج. تتطابق معادلة انتشار الضغط في وسط مسامي في شكلها مع معادلة الحرارة. أما مسائل الانتشار التي تتعامل مع شروط حدودية من نوع ديريشليه ، ونيومان ، وروبن ، فلها حلول تحليلية مغلقة ( ثامبيناياغام، 2011 ) .

تُستخدم معادلة الحرارة على نطاق واسع في تحليل الصور ( بيرونا ومالك ، 1990 ) وفي التعلّم الآلي باعتبارها النظرية الأساسية وراء طرق لابلاس في فضاء المقياس أو طرق لابلاس في الرسم البياني . ويمكن حلّ معادلة الحرارة بكفاءة عددية باستخدام طريقة كرانك-نيكلسون الضمنية ( كرانك ونيكلسون ، 1947 ) . ويمكن توسيع نطاق هذه الطريقة لتشمل العديد من النماذج التي لا يوجد لها حلّ مغلق، انظر على سبيل المثال ( ويلموت، هاويسون ، وديوين، 1995 ) .

يوفر الشكل المجرد لمعادلة الحرارة على المشعبات نهجًا رئيسيًا لنظرية مؤشر أتياس-سينجر ، وقد أدى إلى المزيد من العمل على معادلات الحرارة في الهندسة الريمانية .