قوانين كبلر لحركة الكواكب

استغرق الأمر قرابة قرنين من الزمان حتى استقرّت صياغة أعمال كبلر بالشكل الحالي. وكان كتاب فولتير " عناصر فلسفة نيوتن" ( Eléments de la philosophie de Newton ) الصادر عام 1738 أول منشور يستخدم مصطلح "القوانين". ^{[ 17 ] [ 18 ]} وتشير الموسوعة البيوغرافية لعلماء الفلك، في مقالتها عن كبلر (ص 620)، إلى أن مصطلحات القوانين العلمية لهذه الاكتشافات كانت شائعة على الأقل منذ عهد جوزيف دي لالاند . ^{[ 19 ]} وقد شكّل شرح روبرت سمول ، في كتابه "سرد للاكتشافات الفلكية لكبلر " (1804)، مجموعة القوانين الثلاثة، بإضافة القانون الثالث. ^{[ 20 ]} كما ادّعى سمول، خلافًا للتاريخ، أن هذه قوانين تجريبية ، تستند إلى الاستدلال الاستقرائي . ^{[ 18 ] [ 21 ]} 

ينص قانون كبلر الأول على ما يلي: ^{[ 22 ] : 3}

مدار كل كوكب هو شكل بيضاوي تقع الشمس في إحدى بؤرتيه .

رياضياً، يمكن تمثيل القطع الناقص بالصيغة التالية $${\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }},}$$ أين${\displaystyle p}$يمثل r نصف الوتر البؤري المستقيم ، وε هو انحراف القطع الناقص، وr هي المسافة من الشمس إلى الكوكب، و θ هي الزاوية بين موقع الكوكب الحالي وأقرب نقطة له، كما تُرى من الشمس. إذن، ( r , θ ) هي إحداثيات قطبية . 

بالنسبة للقطع الناقص، 0 < ε < 1 ؛ في الحالة الحدية ε  =  0، يكون المدار دائرة مع وجود الشمس في المركز (أي حيث يكون الانحراف المركزي صفراً).

عند θ = 0°، نقطة الحضيض ، تكون المسافة في حدها الأدنى: $${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}$$

عند الزاوية θ = 90° وعند الزاوية θ = 270°، تكون المسافة مساوية لـ${\displaystyle p}$.

عند θ = 180°، الأوج ، تكون المسافة في أقصى حد لها (بحسب التعريف، الأوج هو - دائمًا - الحضيض زائد 180°):   $${\displaystyle r_{\text{max}}={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}$$

المحور شبه الرئيسي a هو المتوسط ​​الحسابي بين r _min و r _max : $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}},\\a&={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.\end{aligned}}}$$

المحور شبه الأصغر b هو المتوسط ​​الهندسي بين r _min و r _max : $${\displaystyle {\begin{aligned}b&={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}},\\b&={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.\end{aligned}}}$$

نصف العضلة المستقيمة الكبيرة p هو المتوسط ​​التوافقي بين r _min و r _max : $$\displaystyle \begin{aligned}p&=\left({\frac {r_{\text{max}}^{-1}+r_{\text{min}}^{-1}}{2}}\right)^{-1},\\pa&=r_{\text{max}}r_{\text{min}}=b^{2}.\end{aligned}}}$$

الانحراف المركزي ε هو معامل التباين بين r _min و r _max : $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\text{max}}-r_{\text{min}}}{r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}}.}$$

مساحة القطع الناقص هي$${\displaystyle A=\pi ab.}$$

الحالة الخاصة للدائرة هي ε = 0، مما ينتج عنه r  = p  = r _min  = r _max  = a  = b و A = πr ² .

ينص قانون كبلر الثاني على ما يلي: ^{[ 22 ] : 3}

يمسح الخط الواصل بين الكوكب والشمس مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية. ^{[ 23 ]}

سيتغير نصف قطر مدار الكوكب وسرعته الزاوية في مداره الإهليلجي. يظهر ذلك في الرسوم المتحركة: يتحرك الكوكب بسرعة أكبر عندما يكون أقرب إلى الشمس، ثم يتباطأ عندما يكون أبعد عنها. ينص قانون كبلر الثاني على أن القطاع الأزرق له مساحة ثابتة.

من حيث المعاملات الإهليلجية

في وقت قصير${\displaystyle dt}$يمسح الكوكب مثلثًا صغيرًا له خط أساس${\displaystyle r}$والارتفاع${\displaystyle r\,d\theta }$والمنطقة${\displaystyle dA={\tfrac {1}{2}}\cdot r\cdot r\,d\theta }$إذن، السرعة السطحية الثابتة هي $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}.}$$

المساحة المحصورة داخل المدار الإهليلجي هي${\displaystyle \pi ab}$إذن، الفترة${\displaystyle T}$يرضي $${\displaystyle T\cdot {\frac {r^{2}}{2}}{\frac {d\theta }{dt}}=\pi ab,}$$ ومتوسط ​​حركة الكوكب حول الشمس $${\displaystyle n={\frac {2\pi }{T}}}$$ يرضي $${\displaystyle r^{2}\,d\theta =abn\,dt.}$$ وهكذا، $${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {abn}{2}}={\frac {\pi ab}{T}}.}$$

في الرسوم المتحركة التوضيحية التالية، يدور الشعاع الأحمر بسرعة زاوية ثابتة وبنفس الفترة الزمنية المدارية للكوكب.${\displaystyle T=1}$S : الشمس في البؤرة الرئيسية، C : مركز القطع الناقص، S ′: البؤرة الثانوية. في كل حالة ، تكون مساحة جميع القطاعات الموضحة متطابقة.

مدارات الكواكب ذات الانحرافات المدارية المتفاوتة

انخفاض ε	ε عالي
كوكب يدور حول الشمس في مدار دائري (ε  =  0.0)	كوكب يدور حول الشمس في مدار ذي ثابت عزل كهربائي ε  =  0.5
كوكب يدور حول الشمس في مدار ذي قيمة ε  =  0.2	كوكب يدور حول الشمس في مدار ذي قيمة ε  =  0.8

ينص قانون كبلر الثالث على ما يلي: ^{[ 22 ] : 3}

نسبة مربع الفترة المدارية لجسم ما إلى مكعب نصف المحور الأكبر لمداره هي نفسها لجميع الأجسام التي تدور حول نفس النجم الأساسي.

أو بشكل رمزي:${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

أين${\displaystyle T}$هي الفترة المدارية للجسم و${\displaystyle a}$هو المحور شبه الرئيسي لمداره.

وهذا يوضح العلاقة بين بُعد الكواكب عن الشمس وفترات دورانها حولها.

وضع كيبلر في عام 1619 ^{[ 14 ]} هذا القانون الثالث في محاولة مضنية لتحديد ما اعتبره " موسيقى الأفلاك " وفقًا لقوانين دقيقة، والتعبير عنها باستخدام التدوين الموسيقي. ^{[ 25 ]} ولذلك عُرف باسم القانون التوافقي . ^{[ 26 ]} لا تنطبق الصيغة الأصلية لهذا القانون (التي لا تشير إلى المحور شبه الرئيسي، بل إلى "المسافة المتوسطة") إلا على الكواكب ذات الانحرافات المدارية الصغيرة القريبة من الصفر. ^{[ 27 ]}

باستخدام قانون نيوتن للجاذبية (الذي نُشر عام 1687)، يمكن إيجاد هذه العلاقة في حالة المدار الدائري عن طريق جعل القوة المركزية مساوية لقوة الجاذبية: $${\displaystyle mr\omega ^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}.}$$ ثم، يتم التعبير عن السرعة الزاوية ω بدلالة الفترة المدارية${\displaystyle T}$وبعد إعادة الترتيب، نحصل على قانون كبلر الثالث: $${\displaystyle mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}=G{\frac {mM}{r^{2}}}\implies T^{2}=\left({\frac {4\pi ^{2}}{GM}}\right)r^{3}\implies T^{2}\propto r^{3}.}$$

يمكن إجراء اشتقاق أكثر تفصيلاً باستخدام مدارات إهليلجية عامة، بدلاً من الدوائر، وكذلك الدوران حول مركز الكتلة، بدلاً من الكتلة الكبيرة فقط. وينتج عن ذلك استبدال نصف قطر دائري.${\displaystyle r}$مع المحور شبه الرئيسي${\displaystyle a}$الحركة الإهليلجية النسبية لكتلة بالنسبة للأخرى، بالإضافة إلى استبدال الكتلة الكبيرة${\displaystyle M}$مع${\displaystyle M+m}$ومع ذلك، نظرًا لأن كتل الكواكب أصغر بكثير من كتلة الشمس، فغالبًا ما يتم تجاهل هذا التصحيح. الصيغة الكاملة المقابلة هي $${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}={\frac {G(M+m)}{4\pi ^{2}}}\approx {\frac {GM}{4\pi ^{2}}}\approx 7.496\times 10^{-6}{\frac {{\text{AU}}^{3}}{{\text{days}}^{2}}}{\text{ is constant}},}$$ أين${\displaystyle M}$كتلة الشمس ،${\displaystyle m}$كتلة الكوكب،${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية ،${\displaystyle T}$هي الفترة المدارية و${\displaystyle a}$يمثل المحور شبه الرئيسي للشكل الإهليلجي، و${\displaystyle {\text{AU}}}$هي الوحدة الفلكية - متوسط ​​المسافة من الأرض إلى الشمس. 

طاولة

يوضح الجدول التالي البيانات التي استخدمها كيبلر لاستخلاص قانونه تجريبياً:

البيانات التي استخدمها كيبلر (1618)

كوكب	متوسط ​​المسافة إلى الشمس (وحدة فلكية)	الفترة (بالأيام)	${\displaystyle {\frac {R^{3}}{T^{2}}}}$ (10 −6  AU 3 /day 2 )
الزئبق	0.389	000 87.77	7.64
الزهرة	0.724	00 224.70	7.52
أرض	1	00 365.25	7.50
المريخ	1.524	00 686.95	7.50
كوكب المشتري	5.20	0 4332.62	7.49
زحل	9.510	10759.2	7.43

أدرك كيبلر اختراع جون نابيير الأخير للوغاريتمات ورسوم بيانية لوغاريتمية-لوغاريتمية قبل أن يكتشف النمط. ^{[ 28 ]}

بعد اكتشاف هذا النمط، كتب كيبلر: ^{[ 29 ]}

في البداية اعتقدت أنني كنت أحلم ... لكن من المؤكد تمامًا أن النسبة الموجودة بين فترات دوران أي كوكبين هي بالضبط نسبة القوة 3/2 للمسافة المتوسطة.

— مترجم من كتاب "تناغمات العالم" لكيبلر (1619)

للمقارنة، إليكم التقديرات الحديثة:

البيانات الحديثة

كوكب	المحور شبه الرئيسي (AU)	الفترة (بالأيام)	${\displaystyle {\frac {a^{3}}{T^{2}}}}$ (10 −6  AU 3 /day 2 )
الزئبق	0 0.38710	000 87.9693	7.496
الزهرة	0 0.72333	00 224.7008	7.496
أرض	0 1	00 365.2564	7.496
المريخ	0 1.52366	00 686.9796	7.495
كوكب المشتري	0 5.20336	0 4332.8201	7.504
زحل	0 9.53707	10775.599	7.498
أورانوس	19.1913	30687.153	7.506
نبتون	30.0690	60190.03	7.504

من وجهة نظر مركزية الشمس ، ضع في اعتبارك المتجه إلى الكوكب${\displaystyle \mathbf {r} =r{\hat {\mathbf {r} }},}$أين${\displaystyle r}$هي المسافة إلى الكوكب، و${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$هو متجه وحدة يشير نحو الكوكب. $${\displaystyle {\frac {d{\hat {\mathbf {r} }}}{dt}}={\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\qquad {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}={\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ أين${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$هو متجه الوحدة الذي يكون اتجاهه 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة من${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$، و${\displaystyle \theta }$هي الزاوية القطبية، والنقطة الموجودة أعلى المتغير تشير إلى التفاضل بالنسبة للوقت.

قم بتفاضل متجه الموضع مرتين للحصول على متجه السرعة ومتجه التسارع: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\dot {r}}{\dot {\hat {\mathbf {r} }}}\right)+\left({\dot {r}}{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\ddot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r{\dot {\theta }}{\dot {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}\right)=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.\end{aligned}}}$$

لذا $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=a_{r}{\hat {\boldsymbol {r}}}+a_{\theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$$ حيث يكون التسارع القطري$${\displaystyle a_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},}$$ والتسارع العرضي هو $${\displaystyle a_{\theta }=r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}.}$$

ينص قانون كبلر الثاني على أن $${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=nab}$$ ثابت.

التسارع العرضي${\displaystyle a_{\theta }}$يساوي صفرًا: $${\displaystyle {\frac {d\left(r^{2}{\dot {\theta }}\right)}{dt}}=r\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}\right)=ra_{\theta }=0.}$$ لذا فإن تسارع الكوكب الذي يخضع لقانون كبلر الثاني يكون موجهاً نحو الشمس.

التسارع الشعاعي${\displaystyle a_{\text{r}}}$يكون $${\displaystyle a_{\text{r}}={\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}={\ddot {r}}-r\left({\frac {nab}{r^{2}}}\right)^{2}={\ddot {r}}-{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}.}$$

ينص قانون كبلر الأول على أن المدار يوصف بالمعادلة $${\displaystyle {\frac {p}{r}}=1+\varepsilon \cos(\theta ).}$$ يؤدي التفاضل بالنسبة للزمن إلى $${\displaystyle -{\frac {p{\dot {r}}}{r^{2}}}=-\varepsilon \sin(\theta )\,{\dot {\theta }},}$$ أو $${\displaystyle p{\dot {r}}=nab\,\varepsilon \sin(\theta ).}$$

وبالتفريق مرة أخرى، $${\displaystyle p{\ddot {r}}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\dot {\theta }}=nab\varepsilon \cos(\theta )\,{\frac {nab}{r^{2}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta ).}$$

التسارع الشعاعي${\displaystyle a_{\text{r}}}$يرضي $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\varepsilon \cos(\theta )-p{\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{3}}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left(\varepsilon \cos(\theta )-{\frac {p}{r}}\right).}$$

بتعويض معادلة القطع الناقص نحصل على $${\displaystyle pa_{\text{r}}={\frac {n^{2}a^{2}b^{2}}{r^{2}}}\left({\frac {p}{r}}-1-{\frac {p}{r}}\right)=-{\frac {n^{2}a^{2}}{r^{2}}}b^{2}.}$$

العلاقة${\displaystyle b^{2}=pa}$يعطي النتيجة النهائية البسيطة $${\displaystyle a_{\text{r}}=-{\frac {n^{2}a^{3}}{r^{2}}}.}$$ هذا يعني أن متجه التسارع${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$أي كوكب يخضع لقانون كبلر الأول والثاني يحقق قانون التربيع العكسي$${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ أين $${\displaystyle \alpha =n^{2}a^{3}}$$ ثابت،${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$هو متجه الوحدة الذي يشير من الشمس نحو الكوكب، و${\displaystyle r}$هي المسافة بين الكوكب والشمس.

بما أن الحركة المتوسطة${\displaystyle n=2\pi /T}$، أين${\displaystyle T}$هي الفترة، وفقًا لقانون كبلر الثالث،${\displaystyle \alpha }$لها نفس القيمة لجميع الكواكب. لذا فإن قانون التربيع العكسي لتسارع الكواكب ينطبق على كامل النظام الشمسي.

قانون التربيع العكسي هو معادلة تفاضلية . تشمل حلول هذه المعادلة التفاضلية الحركات الكبلرية، كما هو موضح، ولكنها تشمل أيضًا الحركات التي يكون فيها المدار قطعًا زائدًا أو قطعًا مكافئًا أو خطًا مستقيمًا (انظر مدار كبلر ).

بحسب قانون نيوتن الثاني ، فإن قوة الجاذبية التي تؤثر على الكوكب هي $${\displaystyle \mathbf {F} =m_{\text{planet}}{\ddot {\mathbf {r} }}=-m_{\text{planet}}\alpha r^{-2}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ أين${\displaystyle m_{\text{planet}}}$كتلة الكوكب، و${\displaystyle \alpha }$لها نفس القيمة لجميع الكواكب في المجموعة الشمسية. وفقًا لقانون نيوتن الثالث ، تنجذب الشمس إلى الكوكب بقوة متساوية في المقدار. وبما أن القوة تتناسب طرديًا مع كتلة الكوكب، فإنه في ظل مبدأ التناظر، ينبغي أن تتناسب أيضًا طرديًا مع كتلة الشمس.${\displaystyle m_{\text{Sun}}}$. لذا $${\displaystyle \alpha =Gm_{\text{Sun}},}$$ أين${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية .

وفقًا لقوانين نيوتن، فإن تسارع الجسم رقم i في النظام الشمسي هو:$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=G\sum _{j\neq i}m_{j}r_{ij}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{ij},}$$ أين${\displaystyle m_{j}}$كتلة الجسم j ،${\displaystyle r_{ij}}$هي المسافة بين الجسم i والجسم j ،${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{ij}}$يمثل متجه الوحدة من الجسم i باتجاه الجسم j ، ويكون مجموع المتجهات على جميع الأجسام في النظام الشمسي، باستثناء الجسم i نفسه.

في الحالة الخاصة التي لا يوجد فيها سوى جسمين في النظام الشمسي (الأرض والشمس)، يصبح التسارع $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}},}$$ وهذا هو تسارع حركة كبلر. إذن، تدور الأرض حول الشمس وفقًا لقوانين كبلر.

إذا كان الجسمان في النظام الشمسي هما القمر والأرض، فإن تسارع القمر يصبح $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.}$$ لذا، في هذا التقريب، يتحرك القمر حول الأرض وفقًا لقوانين كبلر.

في حالة الأجسام الثلاثة، تكون التسارعات $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Sun}}&=Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Earth}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Sun}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Earth}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Moon}}r_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Earth}},{\text{Moon}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\text{Moon}}&=Gm_{\text{Sun}}r_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Sun}}}+Gm_{\text{Earth}}r_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}^{-2}{\hat {\mathbf {r} }}_{{\text{Moon}},{\text{Earth}}}.\end{aligned}}}$$ هذه التسارعات ليست تسارعات مدارات كبلر، ومسألة الأجسام الثلاثة معقدة. لكن تقريب كبلر هو أساس حسابات الاضطراب (انظر نظرية القمر ).

تفترض مسألة كبلر مدارًا إهليلجيًا ، النقاط الأربع

الشمس (في إحدى بؤرتي القطع الناقص)،

z ، نقطة الحضيض ،

ج ، مركز القطع الناقص،

الكوكب ( p )

والمعايير

${\displaystyle a=|cz|,}$المسافة بين المركز والحضيض، المحور شبه الرئيسي،

${\displaystyle \varepsilon =|cs|/a,}$الغرابة،

${\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}},}$المحور شبه الأصغر،

${\displaystyle r=|sp|,}$المسافة بين الشمس والكوكب.

${\displaystyle \theta =\angle zsp,}$الاتجاه إلى الكوكب كما يُرى من الشمس، الشذوذ الحقيقي .

تكمن المشكلة في حساب الإحداثيات القطبية ( r ، θ ) للكوكب من الوقت منذ نقطة الحضيض، t .  

يتم حلها على مراحل. اعتبر كبلر الدائرة التي يمثل محورها الأكبر قطراً، و

${\displaystyle x,}$إسقاط الكوكب على الدائرة المساعدة،

${\displaystyle y,}$النقطة على الدائرة التي تتساوى فيها مساحتا القطاعين | zcy | و | zsx |

${\displaystyle M=\angle zcy,}$الشذوذ المتوسط .

ترتبط مجالات القطاع بـ${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|.}$

منطقة القطاع الدائري${\displaystyle |zcy|={\frac {a^{2}M}{2}}.}$

المنطقة التي تم مسحها منذ نقطة الحضيض، $${\displaystyle |zsp|={\frac {b}{a}}\cdot |zsx|={\frac {b}{a}}\cdot |zcy|={\frac {b}{a}}\cdot {\frac {a^{2}M}{2}}={\frac {abM}{2}},}$$ بحسب قانون كبلر الثاني، يتناسب متوسط ​​الشذوذ M مع الزمن منذ لحظة الحضيض. لذا، فإن متوسط ​​الشذوذ M يتناسب مع الزمن t منذ لحظة الحضيض. $${\displaystyle M=nt,}$$ حيث n هي الحركة المتوسطة .

عند حساب متوسط ​​الشذوذ M ، يكون الهدف هو حساب الشذوذ الحقيقي θ . إلا أن الدالة θ  = f ( M ) ليست دالة أولية. ^{[ 33 ]} يتمثل حل كيبلر في استخدام  $${\displaystyle E=\angle zcx,}$$ باعتبار x كما يُرى من المركز، والشذوذ اللامركزي متغيرًا وسيطًا، يتم أولًا حساب E كدالة لـ M عن طريق حل معادلة كبلر أدناه، ثم يتم حساب الشذوذ الحقيقي θ من الشذوذ اللامركزي E. إليكم التفاصيل: $${\displaystyle {\begin{aligned}|zcy|&=|zsx|=|zcx|-|scx|,\\{\text{with}}\ |scx|&={\frac {|cs|\cdot |dx|}{2}},\\{\frac {a^{2}M}{2}}&={\frac {a^{2}E}{2}}-{\frac {a\varepsilon \cdot a\sin E}{2}}.\end{aligned}}}$$

القسمة على ^2/2 تعطي معادلة كبلر$${\displaystyle M=E-\varepsilon \sin E.}$$ تُعطي هذه المعادلة قيمة M كدالة لـ E. وتحديد قيمة E لقيمة M معينة هو المسألة العكسية. وتُستخدم عادةً الخوارزميات العددية التكرارية.

بعد حساب الشذوذ اللامركزي E ، فإن الخطوة التالية هي حساب الشذوذ الحقيقي θ . 

لاحظ أن إحداثيات الموقع الديكارتية بالنسبة لمركز القطع الناقص هي ( a  cos E , b sin E ). وبالنسبة للشمس (بإحداثيات ( c , 0) = ( ae , 0))، فإن r = ( a cos E − ae , b sin E ).          

الشذوذ الحقيقي سيكون arctan( r _y / r _x )، ومقدار r سيكون √ r  · r  .

لاحظ من الشكل أن $${\displaystyle |cd|=|cs|+|sd|,}$$ لهذا السبب. $${\displaystyle a\cos E=a\varepsilon +r\cos \theta .}$$

القسمة على${\displaystyle a}$وبإضافة من قانون كبلر الأول $${\displaystyle {\frac {r}{a}}={\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}}$$ أعطِ $${\displaystyle \cos E=\varepsilon +{\frac {1-\varepsilon ^{2}}{1+\varepsilon \cos \theta }}\cos \theta ={\frac {\varepsilon (1+\varepsilon \cos \theta )+\left(1-\varepsilon ^{2}\right)\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}={\frac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}.}$$ والنتيجة هي علاقة قابلة للاستخدام بين الشذوذ اللامركزي E والشذوذ الحقيقي θ . 

ينتج شكل أكثر ملاءمة من الناحية الحسابية عن طريق استبدال E في المتطابقة المثلثية$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}$$ للحصول على $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan ^{2}{\frac {E}{2}}&={\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1-{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}{1+{\dfrac {\varepsilon +\cos \theta }{1+\varepsilon \cos \theta }}}}\\&={\frac {(1+\varepsilon \cos \theta )-(\varepsilon +\cos \theta )}{(1+\varepsilon \cos \theta )+(\varepsilon +\cos \theta )}}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\cdot {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }}\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

بضرب الناتج في 1  + ε نحصل على النتيجة  $${\displaystyle (1-\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}=(1+\varepsilon )\tan ^{2}{\frac {E}{2}}.}$$ هذه هي الخطوة الثالثة في الربط بين الوقت والموقع في المدار.

الخطوة الرابعة هي حساب المسافة الشمسية المركزية r من الشذوذ الحقيقي θ وفقًا لقانون كبلر الأول: $${\displaystyle r(1+\varepsilon \cos \theta )=a(1-\varepsilon ^{2}),}$$ باستخدام العلاقة المذكورة أعلاه بين θ و E ، تكون المعادلة النهائية للمسافة r هي $${\displaystyle r=a(1-\varepsilon \cos E).}$$