جاذبية الكم الحلقية

تُحدد القيود سطحًا مقيدًا في فضاء الطور الأصلي. تنطبق حركات القياس للقيود على كامل فضاء الطور، ولكنها تتميز بأنها تُبقي سطح القيد في مكانه، وبالتالي فإن مدار نقطة في السطح الفائق تحت تحويلات القياس سيكون مدارًا يقع بالكامل داخله. تُعرَّف متغيرات ديراك كدوال في فضاء الطور .${\displaystyle O}$، وأن توزيع بواسون يتبادل مع جميع القيود عند فرض معادلات القيود، $${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}$$ أي أنها كميات معرفة على سطح القيد وتكون ثابتة تحت تحويلات القياس الخاصة بالنظرية.

ثم، حل القيد فقط${\displaystyle G_{j}=0}$ويؤدي تحديد متغيرات ديراك القابلة للرصد بالنسبة إليها إلى العودة إلى فضاء طور أرنويت-ديزر-ميسنر (ADM) مع القيود.${\displaystyle H,C_{a}}$تُستمد ديناميكيات النسبية العامة من القيود، ويمكن إثبات أنه يمكن الحصول على ست معادلات أينشتاين تصف التطور الزمني (وهي في الواقع تحويل قياسي) عن طريق حساب أقواس بواسون للمقياس الثلاثي وزخمه المرافق باستخدام توليفة خطية من التماثل المكاني وقيد هاميلتون. أما تلاشي القيود، الذي يُعطي فضاء الطور الفيزيائي، فيُمثل المعادلات الأربع الأخرى لأينشتاين. ^{[ 11 ]}

تتمحور العديد من المشكلات التقنية في نظرية الجاذبية الكمومية الكلاسيكية حول القيود. صيغت النسبية العامة الكلاسيكية في الأصل بدلالة متغيرات القياس، ولكن بدا أن هناك صعوبات رياضية بالغة في تطبيق هذه القيود على المؤثرات الكمومية نظرًا لاعتمادها غير الخطي الشديد على المتغيرات الكلاسيكية. وقد تم تبسيط المعادلات بشكل كبير مع إدخال متغيرات أشتيكار الجديدة. تصف متغيرات أشتيكار النسبية العامة الكلاسيكية بدلالة زوج جديد من المتغيرات الكلاسيكية أقرب إلى تلك المستخدمة في نظريات القياس. وتتمثل الخطوة الأولى في استخدام ثلاثيات مكثفة.${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$(ثلاثية)${\displaystyle E_{i}^{a}}$هي ببساطة ثلاثة حقول متجهة متعامدة مُصنَّفة بواسطة${\displaystyle i=1,2,3}$ويتم تعريف الثلاثية المكثفة بواسطة${\textstyle {\tilde {E}} _ {i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$) لترميز المعلومات المتعلقة بالمقياس المكاني، $${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_ {i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$$ (أين${\displaystyle \delta ^{ij}}$يمثل مقياس الفضاء المسطح، وتعبر المعادلة أعلاه عن ذلك.${\displaystyle q^{ab}}$عند كتابتها بدلالة الأساس${\displaystyle E_{i}^{a}}$(مسطحة محليًا). (لم يكن صياغة النسبية العامة باستخدام الثلاثيات بدلًا من المقاييس أمرًا جديدًا). ​​الثلاثيات المكثفة ليست فريدة، وفي الواقع يمكن إجراء دوران محلي في الفضاء بالنسبة للمؤشرات الداخلية.${\displaystyle i}$يرتبط المتغير المترافق بشكل قانوني بالانحناء الخارجي من خلال${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$لكن مشاكل مشابهة لاستخدام الصيغة المترية تظهر عند محاولة تكميم النظرية. تمثلت رؤية أشتيكار الجديدة في إدخال متغير تكوين جديد. $${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$$ الذي يتصرف كمركب${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$اتصال حيث${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$يرتبط ذلك بما يسمى بالوصلة الدورانية عبر${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$. هنا${\displaystyle A_{a}^{i}}$يُطلق عليه اسم اتصال الدوران الكيرالي. وهو يُعرّف مشتقًا متغايرًا.${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$اتضح أن${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$الزخم المترافق لـ${\displaystyle A_{a}^{i}}$وتشكل هذه معًا متغيرات أشتيكار الجديدة.

تكون تعابير القيود في متغيرات أشتيكار؛ نظرية جاوس، وقيد التماثل المكاني، وقيد هاميلتون (المكثف) كما يلي: $${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$$$${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}$$$${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$$ على التوالي، حيث${\displaystyle F_{ab}^{i}}$يمثل موتر شدة المجال للوصلة${\displaystyle A_{a}^{i}}$وأين${\displaystyle V_{a}}$يُشار إليه باسم قيد المتجه. إن الثبات الدوراني المحلي المذكور أعلاه في الفضاء هو الأصل لـ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$يُعبَّر عن ثبات القياس هنا بنظرية غاوس. تجدر الإشارة إلى أن هذه القيود متعددة الحدود في المتغيرات الأساسية، على عكس القيود في الصيغة المترية. وقد بدا أن هذا التبسيط الكبير قد فتح الطريق لتكميم القيود. (انظر مقالة " فعل بالاتيني ذاتي الازدواجية " للاطلاع على اشتقاق صيغة أشتيكار).

باستخدام متغيرات أشتيكار الجديدة، بالنظر إلى متغير التكوين${\displaystyle A_{a}^{i}}$من الطبيعي أن نأخذ في الاعتبار الدوال الموجية.${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$هذا هو تمثيل الاتصال. وهو مشابه لميكانيكا الكم العادية مع متغير التكوين${\displaystyle q}$والدوال الموجية${\displaystyle \psi (q)}$يتم تحويل متغير التكوين إلى عامل كمومي عبر: $${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$$ (على غرار${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$) والثلاثيات هي مشتقات (وظيفية)، $${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}.}$$ (على غرار${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$عند الانتقال إلى نظرية الكم، تصبح القيود عوامل مؤثرة على فضاء هيلبرت الحركي (الفضاء غير المقيد).${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$فضاء يانغ-ميلز هيلبرت). لاحظ أن الترتيب المختلف لـ${\displaystyle A}$'رمل${\displaystyle {\tilde {E}}}$عند استبدال${\displaystyle {\tilde {E}}}$تؤدي العمليات الحسابية التي تتضمن مشتقات إلى ظهور عوامل مختلفة - ويُطلق على الاختيار الذي يتم تحديده اسم ترتيب العوامل، ويجب اختياره من خلال التفكير الفيزيائي. ويمكن قراءتها رسميًا على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$$$${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$$$${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0.}$$

لا تزال هناك مشاكل في تحديد جميع هذه المعادلات وحلها بشكل صحيح. على سبيل المثال، كان قيد هاميلتوني الذي عمل عليه أشتيكار هو النسخة المكثفة بدلاً من هاميلتوني الأصلي، أي أنه عمل مع${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$واجهت عملية تحويل هذه الكمية إلى مؤثر كمومي صعوبات جمة. علاوة على ذلك، فرغم أن متغيرات أشتيكار تُبسط الهاميلتوني، إلا أنها معقدة. وعند تكميم النظرية، يصعب ضمان استعادة النسبية العامة الحقيقية بدلاً من النسبية العامة المعقدة.

النتيجة الكلاسيكية لقوس بواسون لقانون جاوس الملطخ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$مع الاتصالات $${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\جزئي _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$$

ينص قانون جاوس الكمي على ما يلي: $${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$$

إذا قام المرء بتشويه قانون جاوس الكمومي ودراسة تأثيره على الحالة الكمومية، فسيجد أن تأثير القيد على الحالة الكمومية يكافئ إزاحة وسيط${\displaystyle \Psi }$بواسطة قيمة متناهية الصغر (بمعنى المعلمة)${\displaystyle \lambda }$تحويل المقياس الصغير، $${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$$ وتأتي الهوية الأخيرة من حقيقة أن القيد يُفني الحالة. لذا، فإن القيد، كمؤثر كمومي، يفرض نفس التناظر الذي فرضه تلاشيه كلاسيكيًا: فهو يُخبرنا أن الدوال${\displaystyle \Psi [A]}$يجب أن تكون دوالًا ثابتة بالنسبة للوصلة بغض النظر عن القياس. وينطبق الأمر نفسه على القيود الأخرى.

لذلك، فإن عملية الخطوتين في النظرية الكلاسيكية لحل القيود${\displaystyle C_{I}=0}$(المكافئ لحل شروط القبول للبيانات الأولية) والبحث عن مدارات القياس (حل معادلات "التطور") يتم استبداله بعملية من خطوة واحدة في نظرية الكم، وهي البحث عن الحلول${\displaystyle \Psi }$من المعادلات الكمومية${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$وذلك لأنها تحل القيد على المستوى الكمومي، وفي الوقت نفسه تبحث عن حالات ثابتة القياس لأن${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$هو المولد الكمومي لتحويلات القياس (الدوال الثابتة للقياس ثابتة على طول مدارات القياس، وبالتالي تميزها). ^{[ 12 ]} تجدر الإشارة إلى أنه على المستوى الكلاسيكي، كان حل شروط القبول ومعادلات التطور مكافئًا لحل جميع معادلات أينشتاين للمجال، وهذا يؤكد الدور المحوري لمعادلات القيد الكمومي في الجاذبية الكمومية الكلاسيكية.

وعلى وجه الخصوص، كان عدم القدرة على التحكم الجيد في فضاء حلول قانون جاوس وقيود التماثل المكاني هو ما دفع روفيلي وسمولين إلى النظر في تمثيل الحلقة في نظريات القياس والجاذبية الكمومية . ^{[ 13 ]}

تتضمن نظرية الجاذبية الكمية الخطية مفهوم التماثل . التماثل هو مقياس لمدى اختلاف القيم الأولية والنهائية للمتجه الدوراني أو المتجه بعد النقل المتوازي حول حلقة مغلقة؛ ويرمز له بـ $${\displaystyle h_{\gamma }[A].}$$

إن معرفة الهولونوميات تعادل معرفة الاتصال، حتى تكافؤ القياس. ويمكن أيضًا ربط الهولونوميات بحافة؛ وبموجب قانون جاوس، تتحول هذه الهولونوميات كما يلي: $${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$$

لحلقة مغلقة${\displaystyle x=y}$وبافتراض${\displaystyle \alpha =\beta }$، ينتج $${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$$ أو $${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$$

يُكتب أثر التماثل حول حلقة مغلقة $${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$$ وتُسمى حلقة ويلسون. وبالتالي، فإن حلقات ويلسون ثابتة تحت التحويلات القياسية. الصيغة الصريحة للهولونومي هي $${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هو المنحنى الذي يتم على طوله تقييم التماثل، و${\displaystyle s}$هو مُعامل على طول المنحنى،${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يشير إلى عوامل ترتيب المسار للقيم الأصغر لـ${\displaystyle s}$يظهر على اليسار، و${\displaystyle T_{i}}$هي مصفوفات تحقق الشروط التالية${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$الجبر $${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}.}$$

تحقق مصفوفات باولي العلاقة المذكورة أعلاه. ويتضح أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأمثلة لمجموعات من المصفوفات التي تحقق هذه العلاقات، حيث تتألف كل مجموعة من${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$المصفوفات مع${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$وحيث لا يمكن اعتبار أي من هذه الأمثلة "قابلاً للتحلل" إلى مثالين أو أكثر من الأبعاد الأدنى. وتُسمى هذه الأمثلة تمثيلات غير قابلة للاختزال مختلفة لـ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$الجبر. التمثيل الأساسي هو مصفوفات باولي. يتم تمييز التماثل بنصف عدد صحيح${\displaystyle N/2}$وفقًا للتمثيل غير القابل للاختزال المستخدم.

يُسهم استخدام حلقات ويلسون في حل قيد مقياس غاوس بشكل صريح. ويتطلب تمثيل الحلقة التعامل مع قيد التشاكل المكاني. وباستخدام حلقات ويلسون كأساس، تتوسع أي دالة ثابتة تحت مقياس غاوس على النحو التالي: $${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$$

يُطلق على هذا اسم تحويل الحلقة، وهو مماثل لتمثيل الزخم في ميكانيكا الكم (انظر: فضاء الموضع والزخم ). يتكون تمثيل ميكانيكا الكم من أساس من الحالات.${\displaystyle \exp(ikx)}$مُرقّم${\displaystyle k}$ويتوسع مع $${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$$ ويعمل مع معاملات التوسع${\displaystyle \psi (k).}$

يُعرَّف تحويل الحلقة العكسي بواسطة $${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$$

هذا يحدد تمثيل الحلقة. بالنظر إلى عامل التشغيل${\displaystyle {\hat {O}}}$في تمثيل الاتصال، $${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$$ ينبغي تعريف العامل المقابل${\displaystyle {\hat {O}}'}$على${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$تمثيل الحلقة عبر، $${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$$ أين${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$يتم تعريفها بواسطة تحويل الحلقة العكسي المعتاد، $${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$$

صيغة تحويل توضح تأثير المؤثر${\displaystyle {\hat {O}}'}$على${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$فيما يتعلق بإجراءات المشغل${\displaystyle {\hat {O}}}$على${\displaystyle \Psi [A]}$ثم يتم الحصول على ذلك عن طريق مساواة الطرف الأيمن من${\displaystyle Eq\;2}$مع الجانب الأيمن من${\displaystyle Eq\;3}$مع${\displaystyle Eq\;1}$تم استبدالها بـ${\displaystyle Eq\;3}$، أي $${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$$ أو $${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$$ أين${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$يعني المشغل${\displaystyle {\hat {O}}}$لكن مع عكس ترتيب العوامل (تذكر من ميكانيكا الكم البسيطة حيث ينعكس حاصل ضرب المؤثرات عند الاقتران). يتم تقييم تأثير هذا المؤثر على حلقة ويلسون كحساب في تمثيل الاتصال، ويتم إعادة ترتيب النتيجة كمعالجة بحتة من حيث الحلقات (فيما يتعلق بالتأثير على حلقة ويلسون، فإن المؤثر المحوّل المختار هو المؤثر ذو ترتيب العوامل المعاكس مقارنةً بالمؤثر المستخدم لتأثيره على الدوال الموجية).${\displaystyle \Psi [A]}$وهذا يعطي المعنى المادي للمؤثر${\displaystyle {\hat {O}}'}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$إذا كان هذا يتوافق مع تحويل مكاني، فيمكن اعتباره بمثابة الاحتفاظ بحقل الاتصال.${\displaystyle A}$ل${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$حيث يكون أثناء إجراء تحويل تماثلي مكاني على${\displaystyle \gamma }$بدلاً من ذلك. لذلك، فإن معنى${\displaystyle {\hat {O}}'}$هو تحويل مكاني على${\displaystyle \gamma }$، حجة${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$.

في تمثيل الحلقة، يتم حل قيد التماثل المكاني من خلال النظر في دوال الحلقات.${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$التي تبقى ثابتة تحت التحويلات المكانية للحلقة${\displaystyle \gamma }$أي أن ثوابت العقد تُستخدم. وهذا يفتح صلة غير متوقعة بين نظرية العقد والجاذبية الكمومية.

أي مجموعة من حلقات ويلسون غير المتقاطعة تحقق قيد هاميلتوني الكمومي لأشتيكار. باستخدام ترتيب معين للحدود واستبدال${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$وباستخدام مشتق، يكون تأثير قيد هاميلتوني الكمومي على حلقة ويلسون هو $${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A].}$$

عند حساب المشتقة، يتم إنزال متجه المماس إلى الأسفل.${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$، من الحلقة،${\displaystyle \gamma }$. لذا، $${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}.}$$

ومع ذلك، كما${\displaystyle F_{ab}^{i}}$متناظر عكسيًا في المؤشرات${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هذا يختفي (بافتراض أن${\displaystyle \gamma }$(ليست غير متصلة في أي مكان، وبالتالي فإن متجه المماس فريد).

فيما يتعلق بتمثيل الحلقة، فإن الدوال الموجية${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$تتلاشى هذه الدوال عندما تحتوي الحلقة على انقطاعات، وتكون ثابتة عند العقد. تحل هذه الدوال قانون غاوس، وقيد التشاكل المكاني، وقيد هاميلتون (شكليًا). ينتج عن ذلك مجموعة لانهائية من الحلول الدقيقة (وإن كانت شكلية فقط) لجميع معادلات النسبية العامة الكمومية! ^{[ 13 ]} وقد أثار هذا اهتمامًا كبيرًا بهذا النهج، وأدى في النهاية إلى نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG).

أبسط كمية هندسية هي المساحة. لنختر إحداثيات بحيث يكون السطح${\displaystyle \Sigma }$يتميز بـ${\displaystyle x^{3}=0}$مساحة متوازي الأضلاع الصغير من السطح${\displaystyle \Sigma }$هو حاصل ضرب طول كل ضلع في${\displaystyle \sin \theta }$أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين الضلعين. لنفترض أن أحد الأضلاع مُعطى بالمتجه${\displaystyle {\vec {u}}}$والآخر بواسطة${\displaystyle {\vec {v}}}$ثم، $${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$$

في المساحة التي تمتد عليها${\displaystyle x^{1}}$و${\displaystyle x^{2}}$يوجد متوازي أضلاع متناهي الصغر موصوف بـ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$و${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$. استخدام${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$(حيث المؤشرات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$(يتراوح من 1 إلى 2)، ينتج عنه مساحة السطح${\displaystyle \Sigma }$مقدم من $${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det \left(q^{(2)}\right)}}}$$ أين${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$وهو المحدد للمقياس المستحث على${\displaystyle \Sigma }$ويمكن إعادة كتابة الأخير.${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$حيث المؤشرات${\displaystyle A\dots D}$انتقل من 1 إلى 2. ويمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$$

الصيغة القياسية للمصفوفة العكسية هي $${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}.}$$

ثمة تشابه بين هذا والتعبير عن${\displaystyle \det(q^{(2)})}$لكن في متغيرات أشتيكار،${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$. لذلك، $${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$$

وفقًا لقواعد التكميم المتعارف عليه، فإن الثلاثيات${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$ينبغي ترقيتهم إلى مشغلين كميين، $${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$$

المنطقة${\displaystyle A_{\Sigma }}$يمكن ترقيته إلى مؤثر كمومي محدد جيدًا على الرغم من احتوائه على حاصل ضرب مشتقين وظيفيين وجذر تربيعي. ^{[ 14 ]} بوضع${\displaystyle N=2J}$(${\displaystyle J}$التمثيل رقم -th)، $${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}$$

تُعد هذه الكمية مهمة في الصيغة النهائية لمساحة الطيف. والنتيجة هي $${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$$ حيث يكون المجموع على جميع الحواف${\displaystyle I}$من حلقة ويلسون التي تخترق السطح${\displaystyle \Sigma }$.

صيغة حساب حجم منطقة ما${\displaystyle R}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$$

تتم عملية تكميم الحجم بنفس طريقة تكميم المساحة. في كل مرة يتم فيها حساب المشتقة، يتم إنزال متجه المماس.${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$وعندما يؤثر عامل الحجم على حلقات ويلسون غير المتقاطعة، تتلاشى النتيجة. لذا، يجب أن تتضمن الحالات الكمومية ذات الحجم غير الصفري تقاطعات. وبما أن الجمع غير المتناظر يُستخدم في صيغة الحجم، فإنه يحتاج إلى تقاطعات مع ثلاثة خطوط غير مستوية على الأقل . كما يلزم وجود رؤوس ذات أربعة تكافؤات على الأقل لكي يكون عامل الحجم غير صفري.

بافتراض التمثيل الحقيقي حيث تكون مجموعة القياس${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$تُعتبر حلقات ويلسون أساسًا مكتملًا، إذ توجد متطابقات تربط بين حلقات ويلسون المختلفة. ويحدث هذا لأن حلقات ويلسون مبنية على المصفوفات (الهولونومية)، وهذه المصفوفات تحقق متطابقات. بفرض أي حلقتين${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$المصفوفات${\displaystyle \mathbb {A} }$و${\displaystyle \mathbb {B} }$، $${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$$

وهذا يعني أنه بالنظر إلى حلقتين${\displaystyle \gamma }$و${\displaystyle \eta }$التي تتقاطع، $${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$$ حيث${\displaystyle \eta ^{-1}}$نقصد الحلقة${\displaystyle \eta }$اجتاز في الاتجاه المعاكس و${\displaystyle \gamma \circ \eta }$يعني الحلقة التي يتم الحصول عليها من خلال الدوران حول الحلقة${\displaystyle \gamma }$ثم على طول${\displaystyle \eta }$انظر الشكل أدناه. بما أن المصفوفات وحدوية، فإن${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$ونظرًا أيضًا للخاصية الدورية لآثار المصفوفة (أي${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$) لدى المرء ذلك${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$يمكن دمج هذه المتطابقات مع بعضها البعض لتكوين متطابقات أخرى ذات تعقيد متزايد، وذلك بإضافة المزيد من الحلقات. تُعرف هذه المتطابقات باسم متطابقات ماندلستام. تُعدّ شبكات الدوران تركيبات خطية من حلقات ويلسون المتقاطعة، وهي مصممة لمعالجة مشكلة الاكتمال الزائد التي تُسببها متطابقات ماندلستام (إذ تُزيل هذه الشبكات مشكلة الاكتمال الزائد تمامًا في حالة التقاطعات الثلاثية)، وتشكل في الواقع أساسًا لجميع الدوال الثابتة تحت المقياس.

كما ذُكر سابقًا، تُحدد عملية التماثل كيفية انتشار جسيمات نصف اللف المغزلي الاختبارية. تُحدد حالة شبكة اللف المغزلي سعةً لمجموعة من جسيمات نصف اللف المغزلي التي ترسم مسارًا في الفضاء، وتندمج وتنقسم. ويتم وصف هذه الجسيمات بواسطة شبكات اللف المغزلي.${\displaystyle \gamma }$تُسمى الحواف باللف المغزلي، بالإضافة إلى "الوصلات المتشابكة" عند الرؤوس، والتي تُحدد كيفية جمع اللف المغزلي عبر الطرق المختلفة لإعادة توجيهه. وقد تم اختيار مجموع إعادة التوجيه بحيث يكون شكل الوصلة المتشابكة ثابتًا تحت تحويلات غاوس القياسية.

لطالما شكّل صياغة قيد هاميلتون كمؤثر كمومي ( معادلة ويلر-ديويت ) بطريقة رياضية دقيقة تحديًا كبيرًا في تاريخ نظرية الجاذبية الكمومية الكلاسيكية . وفي عام 1996، تمّت صياغة قيد هاميلتون مُعرّف رياضيًا بدقة ضمن تمثيل الحلقة. ^{[ 10 ]} وسنترك تفاصيل بنائه لمقال " قيد هاميلتون في نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية" . ويُشكّل هذا القيد، إلى جانب الصيغ الكمومية لقانون غاوس وقيود التشاكل المكاني المكتوبة بتمثيل الحلقة، المعادلات الأساسية لنظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (النسبية العامة الكمومية الكلاسيكية الحديثة).

إن إيجاد الحالات التي يتم إفناؤها بواسطة هذه القيود (الحالات الفيزيائية)، وإيجاد المنتج الداخلي الفيزيائي المقابل، والكميات القابلة للملاحظة هو الهدف الرئيسي للجانب التقني من LQG.

من أهم خصائص مؤثر هاميلتون أنه لا يؤثر إلا على الرؤوس (ونتيجة لذلك، فإن مؤثر هاميلتون لثيمان، مثل مؤثر أشتيكار، يُلغي الحلقات غير المتقاطعة، إلا أن هذا التأثير ليس شكليًا فحسب، بل له معنى رياضي دقيق). وبشكل أدق، يكون تأثيره غير صفري على الأقل على رؤوس ذات تكافؤ ثلاثة فأكثر، وينتج عنه توليفة خطية من شبكات دوران جديدة، حيث تم تعديل الرسم البياني الأصلي بإضافة خطوط عند كل رأس وتغيير تسميات الروابط المجاورة للرأس.

يُعدّ توحيد نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG)، وهي نظرية الزمكان الكمومي، مع النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات، الذي يصف القوى والجسيمات الأساسية، تحديًا كبيرًا في الفيزياء النظرية. وتتمثل إحدى العقبات الرئيسية في هذا المسعى في مشكلة تضاعف الفرميونات ، التي تنشأ عند دمج الفرميونات الكيرالية في إطار نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية.

تُعدّ الفرميونات الكيرالية، كالإلكترونات والكواركات، جسيمات أساسية تتميز بخاصية "اليدوية" أو الكيرالية. وتفرض هذه الخاصية أن الجسيم وصورته المرآوية يتصرفان بشكل مختلف في ظل التفاعلات الضعيفة. ويُعدّ هذا التباين أساسيًا لنجاح النموذج القياسي في تفسير العديد من الظواهر الفيزيائية.

مع ذلك، غالبًا ما تؤدي محاولات دمج الفرميونات الكيرالية في نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية إلى ظهور جسيمات زائفة معكوسة. فبدلًا من وجود فرميون واحد يساري، على سبيل المثال، تتنبأ النظرية بوجود نسخة يسارية وأخرى يمينية. ^{[ 15 ]} هذا "الازدواج" يتعارض مع الكيرالية المرصودة في النموذج القياسي، ويُضعف قدرته التنبؤية.

تُشكّل مشكلة تضاعف الفرميونات عقبةً كبيرةً أمام بناء نظرية متسقة للجاذبية الكمومية. وتعتمد دقة النموذج القياسي في وصف الكون على أصغر المقاييس اعتمادًا كبيرًا على الخصائص الفريدة للفرميونات الكيرالية. وبدون حلٍّ لهذه المشكلة، يبقى دمج المادة وتفاعلاتها في إطار موحد للجاذبية الكمومية تحديًا كبيرًا.

لذلك، فإن حل مشكلة مضاعفة الفرميون أمر بالغ الأهمية لتعزيز فهمنا للكون على مستواه الأساسي وتطوير نظرية كاملة توحد الجاذبية مع عالم الكم.

يُولد قيد هاميلتون تطورًا زمنيًا. ويُفترض أن يُبين لنا حل هذا القيد كيفية تطور الحالات الكمومية زمنيًا من حالة شبكة الدوران الأولية إلى حالة شبكة الدوران النهائية. يبدأ أحد مناهج حل قيد هاميلتون بما يُسمى دالة ديراك دلتا . ويمكن تصور مجموع هذه الدالة على تسلسلات مختلفة من التأثيرات كمجموع لتاريخ مختلف لـ"رؤوس التفاعل" في التطور الزمني الذي يُرسل شبكة الدوران الأولية إلى شبكة الدوران النهائية. وفي كل مرة يؤثر فيها عامل هاميلتون، فإنه يفعل ذلك بإضافة حافة جديدة عند الرأس. ^{[ 16 ]}

يؤدي هذا بطبيعة الحال إلى ظهور المركب الثنائي (مجموعة توافقية من الأوجه المتصلة على طول الحواف، والتي بدورها تتصل عند الرؤوس) الذي يقوم عليه وصف رغوة الدوران؛ حيث نقوم بتطوير شبكة دوران أولية تمسح سطحًا، ويتمثل عمل عامل قيد هاميلتون في إنتاج سطح مستوٍ جديد يبدأ من الرأس. نستطيع استخدام عمل قيد هاميلتون على رأس حالة شبكة الدوران لربط سعة بكل "تفاعل" (قياسًا على مخططات فاينمان ). انظر الشكل أدناه. يفتح هذا المجال لمحاولة ربط نظرية الجاذبية الكمومية الخطية الكلاسيكية مباشرةً بوصف التكامل المساري. فكما تصف شبكات الدوران الفضاء الكمومي، فإن كل تكوين يساهم في هذه التكاملات المسارية، أو المجاميع عبر التاريخ، يصف "الزمكان الكمومي". ونظرًا لتشابهها مع رغوة الصابون وطريقة تسميتها، أطلق جون بايز على هذه "الأزمنة الكمومية" اسم "رغوة الدوران".

مع ذلك، توجد صعوبات بالغة في هذا النهج تحديدًا، فعلى سبيل المثال، ليس المؤثر الهاميلتوني ذاتيًا، بل إنه ليس حتى مؤثرًا عاديًا (أي أن المؤثر لا يتبادل مع مرافقه)، وبالتالي لا يمكن استخدام نظرية الطيف لتعريف الدالة الأسية بشكل عام. وتكمن المشكلة الأشد خطورة في أن${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$إذا لم تكن الكميات 's تتبادل فيما بينها، فيمكن حينها إثبات الكمية الرسمية${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$لا يمكن حتى تعريف مُسقط (معمّم). أما القيد الرئيسي (انظر أدناه) فلا يعاني من هذه المشاكل، وبالتالي فهو يوفر طريقة لربط النظرية الأساسية بصياغة التكامل المساري.

اتضح أن هناك طرقًا بديلة لصياغة التكامل المساري، إلا أن صلتها بالصيغة الهاميلتونية أقل وضوحًا. إحدى هذه الطرق هي البدء بنظرية المجال القاعدي (BF) . هذه نظرية أبسط من النسبية العامة، إذ لا تحتوي على درجات حرية محلية، وبالتالي تعتمد فقط على الجوانب الطوبولوجية للحقول. تُعرف نظرية المجال القاعدي بنظرية الحقل الطوبولوجي . والمثير للدهشة أنه يمكن الحصول على النسبية العامة من نظرية المجال القاعدي بفرض قيد، ^{[ 17 ]} تتضمن نظرية المجال القاعدي حقلًا${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$وإذا اختار المرء هذا المجال${\displaystyle B}$أن يكون ناتج ضرب (غير متماثل) لمجموعتين رباعيتين $${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}\left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)}$$ (الرباعيات تشبه الثلاثيات ولكن في أربعة أبعاد للزمكان)، عندها نستعيد النسبية العامة. الشرط الذي يكون${\displaystyle B}$يُطلق على تعريف المجال بضرب رباعيتين اسم قيد التبسيط. ديناميكيات رغوة الدوران لنظرية المجال الطوبولوجية مفهومة جيدًا. بمعرفة سعات "تفاعل" رغوة الدوران لهذه النظرية البسيطة، يُحاول المرء تطبيق شروط التبسيط للحصول على تكامل مسار للنسبية العامة. تُختزل مهمة بناء نموذج رغوة الدوران، وهي مهمة غير بديهية، إلى مسألة كيفية فرض قيد التبسيط هذا في نظرية الكم. كانت المحاولة الأولى في هذا الصدد هي نموذج باريت-كرين الشهير . ^{[ 18 ]} ومع ذلك، فقد تبين أن هذا النموذج إشكالي، فعلى سبيل المثال، لم تكن هناك درجات حرية كافية لضمان الحد الكلاسيكي الصحيح. ^{[ 19 ]} وقد جادل البعض بأن قيد التبسيط فُرض بقوة مفرطة على المستوى الكمي، وأنه ينبغي فرضه فقط بمعنى القيم المتوقعة، تمامًا كما هو الحال مع شرط لورنز القياسي.${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$في إطار صيغة غوبتا-بلولر للديناميكا الكهربائية الكمومية . وقد تم الآن طرح نماذج جديدة، مدفوعة أحيانًا بفرض شروط البساطة بمعنى أضعف.

تكمن صعوبة أخرى هنا في أن رغوات الدوران تُعرَّف على أساس تجزئة الزمكان. في حين أن هذا لا يُشكِّل مشكلة لنظرية الحقل الطوبولوجية لعدم وجود درجات حرية محلية، فإنه يُشكِّل مشكلة للنسبية العامة. تُعرف هذه المشكلة باسم مشكلة الاعتماد على التثليث.

وكما أن فرض قيد البساطة الكلاسيكية يعيد النسبية العامة من نظرية BF، فمن المتوقع أن يؤدي فرض قيد البساطة الكمومية المناسب إلى استعادة الجاذبية الكمومية من نظرية BF الكمومية.

لقد تم إحراز تقدم فيما يتعلق بهذه المسألة من قبل إنجل، وبيريرا، وروفيلي، ^{[ 20 ]} فريدل وكراسنوف ^{[ 21 ]} وليفين وسبيزيال ^{[ 22 ]} في تحديد سعات تفاعل رغوة الدوران بسلوك أفضل.

وقد جرت محاولة للربط بين رغوة الدوران EPRL-FK والتركيبة الكلاسيكية لـ LQG. ^{[ 23 ]}

انظر أدناه.

هناك عدد من الصعوبات في محاولة إثبات نظرية الجاذبية الكمية الخطية (LQG) التي تعطي نظرية أينشتاين للنسبية العامة في الحد شبه الكلاسيكي:

1. لا يوجد مؤثرٌ يُقابل التشاكلات المكانية المتناهية الصغر (ليس من المستغرب أن النظرية لا تحتوي على مولدٍ لـ"إزاحات" مكانية متناهية الصغر، إذ تتنبأ بأن الهندسة المكانية ذات طبيعة منفصلة، ​​مقارنةً بالوضع في المادة المكثفة). بدلاً من ذلك، يجب تقريبها بتشاكلات مكانية محدودة، وبالتالي لا يُعاد إنتاج بنية قوس بواسون للنظرية الكلاسيكية بدقة. يمكن تجاوز هذه المشكلة بإدخال ما يُسمى بالقيد الرئيسي (انظر أدناه). ^{[ 26 ]}
2. تكمن المشكلة في التوفيق بين الطبيعة التوافقية المنفصلة للحالات الكمومية والطبيعة المستمرة لحقول النظرية الكلاسيكية.
3. تنشأ صعوباتٌ بالغةٌ من بنية أقواس بواسون التي تتضمن التشاكل المكاني والقيود الهاميلتونية. وعلى وجه الخصوص، فإن جبر القيود الهاميلتونية (المُشَوَّهة) لا يُغلق: فهو يتناسب مع مجموع التشاكلات المكانية المتناهية الصغر (والتي، كما ذُكر سابقًا، غير موجودة في نظرية الكم) حيث معاملات التناسب ليست ثوابت، بل لها اعتماد غير تافه على فضاء الطور – وبالتالي، فهو لا يُشكِّل جبر لي . ومع ذلك، يتحسن الوضع بإدخال القيد الرئيسي. ^{[ 26 ]}
4. إن الآلية شبه الكلاسيكية التي طُوِّرت حتى الآن مناسبة فقط للمؤثرات غير المُغيِّرة للرسم البياني، ومع ذلك، فإن قيد هاميلتونيان ثيمان هو مؤثر مُغيِّر للرسم البياني - فالرسم البياني الجديد الذي يُولِّده له درجات حرية لا تعتمد عليها الحالة المتماسكة، وبالتالي لا يتم قمع تقلباتها الكمومية. وهناك أيضًا قيد، حتى الآن، يتمثل في أن هذه الحالات المتماسكة مُعرَّفة فقط على المستوى الحركي، والآن يجب رفعها إلى مستوى${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$و${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$يمكن إثبات أن قيد هاميلتوني ثيمان يتطلب أن يكون مُغيِّرًا للرسم البياني لحل المسألة الثالثة بشكلٍ ما. مع ذلك، فإن جبر القيد الرئيسي بسيط، وبالتالي يمكن رفع شرط كونه مُغيِّرًا للرسم البياني، وقد تم بالفعل تعريف عوامل قيد رئيسي لا تُغيِّر الرسم البياني. وحسب ما هو معروف حاليًا، لا تزال هذه المسألة بعيدة المنال.
5. يُعدّ صياغة الكميات القابلة للرصد في النسبية العامة الكلاسيكية مشكلةً عويصةً نظرًا لطبيعتها غير الخطية وثباتها تحت تأثير التشاكل التفاضلي للزمكان. وقد طُوِّرت مؤخرًا طريقة تقريبية منهجية لحساب هذه الكميات. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

لا ينبغي الخلط بين الصعوبات التي تواجه محاولة فحص الحد شبه الكلاسيكي للنظرية وبين وجود حد شبه كلاسيكي خاطئ.

فيما يتعلق بالمسألة رقم ٢ أعلاه، لننظر إلى ما يُسمى بحالات النسيج . تُعتبر القياسات العادية للكميات الهندسية قياساتٍ عيانية، ويتم تنعيم التقطيع البلانكي. يُشابه نسيج القميص هذا الأمر: فهو يبدو من بعيد سطحًا ثنائي الأبعاد منحنيًا أملسًا، ولكن عند التدقيق فيه نرى أنه يتكون في الواقع من آلاف الخيوط المتصلة أحادية البعد. صورة الفضاء في نظرية الجاذبية الكمية الخطية (LQG) مماثلة. لنفترض شبكة دوران كبيرة تتكون من عدد كبير من العقد والروابط، كل منها بمقياس بلانك . عند فحصها على مستوى عياني، تظهر كهندسة مترية ثلاثية الأبعاد متصلة.

للتواصل مع فيزياء الطاقة المنخفضة، من الضروري تطوير مخططات تقريبية لكل من المنتج الداخلي الفيزيائي وللمتغيرات القابلة للرصد من نوع ديراك؛ ويمكن اعتبار نماذج رغوة الدوران التي تمت دراستها بشكل مكثف بمثابة طرق نحو مخططات تقريبية للمنتج الداخلي الفيزيائي المذكور.

تبنّت ماركوبولو وآخرون فكرة الأنظمة الفرعية عديمة الضوضاء في محاولة لحل مشكلة حد الطاقة المنخفضة في نظريات الجاذبية الكمومية المستقلة عن الخلفية. ^{[ 29 ] [ 30 ]} وقد أدت هذه الفكرة إلى إمكانية تحديد مادة النموذج القياسي بدرجات حرية ناشئة من بعض إصدارات نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (انظر القسم أدناه: نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية وبرامج البحث ذات الصلة ).

كما أكد وايتمان في خمسينيات القرن العشرين، في نظريات مينكوفسكي الكمومية${\displaystyle n-}$دوال النقطة $${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle ,}$$ يُحدد هذا الأمر النظرية بشكل كامل. وعلى وجه الخصوص، يمكن حساب سعات التشتت من هذه الكميات. وكما هو موضح أدناه في قسم سعات التشتت المستقلة عن الخلفية ، في سياق الاستقلال عن الخلفية، فإن${\displaystyle n-}$تشير الدوال النقطية إلى حالة معينة، وفي الجاذبية، يمكن لهذه الحالة أن تُشفّر بشكل طبيعي معلومات حول هندسة محددة، والتي يمكن أن تظهر بعد ذلك في تعابير هذه الكميات. وقد أظهرت حسابات نظرية الجاذبية الكمية الخطية، في الرتبة الأولى، توافقًا مناسبًا مع...${\displaystyle n-}$دوال نقطية محسوبة في النسبية العامة الكمومية الفعالة ذات الطاقة المنخفضة.

تم اقتراح برنامج ثيمان للقيود الرئيسية لنظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG) كطريقة مكافئة كلاسيكيًا لفرض عدد لا نهائي من معادلات قيود هاميلتون من خلال قيد رئيسي واحد.${\displaystyle M}$وهذا يتضمن مربع القيود المعنية. كان الاعتراض الأولي على استخدام القيد الرئيسي هو أنه لا يبدو للوهلة الأولى أنه يُشفّر معلومات حول الكميات القابلة للرصد؛ لأن القيد الرئيسي تربيعي بالنسبة للقيد، فعند حساب قوس بواسون الخاص به مع أي كمية، تكون النتيجة متناسبة مع القيد، وبالتالي تتلاشى عند فرض القيود، وعلى هذا النحو لا يختار دوال فضاء طور معينة. ومع ذلك، فقد أُدرك أن الشرط $${\displaystyle \{O,\{O,M\}\}_{M=0}=0,}$$ هذا هو المكان${\displaystyle O}$الدالة التي يمكن اشتقاقها مرتين على الأقل في فضاء الطور مكافئة لـ${\displaystyle O}$باعتبارها كمية قابلة للرصد ضعيفة من نوع ديراك بالنسبة للقيود المذكورة. لذا، فإن القيد الرئيسي يلتقط معلومات حول الكميات القابلة للرصد. ونظرًا لأهميته، يُعرف هذا بالمعادلة الرئيسية. ^{[ 31 ]}

إن كون جبر بواسون للقيود الرئيسية جبر لي صادق يفتح إمكانية استخدام طريقة تُعرف باسم المتوسط ​​الجماعي، من أجل بناء حلول لعدد لا نهائي من قيود هاميلتون، والضرب الداخلي الفيزيائي عليها، ومتغيرات ديراك القابلة للرصد من خلال ما يُعرف باسم التكميم الجبري المُحسَّن ، أو RAQ. ^{[ 32 ]}

عرّف القيد الرئيسي الكمومي (بغض النظر عن مسائل التنظيم) على النحو التالي: $${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x).}$$

بوضوح، $${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$$ للجميع${\displaystyle x}$يشير إلى${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$ثم $${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$$ يشير إلى $${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0.}$$

أولاً، احسب عناصر المصفوفة للمؤثر المطلوب${\displaystyle {\hat {M}}}$أي الشكل التربيعي${\displaystyle Q_{M}}$.${\displaystyle Q_{M}}$هي شكل تربيعي متغير للرسم البياني، وثابت تحت التحويلات التفاضلية، ولا يمكن أن يوجد على فضاء هيلبرت الحركي.${\displaystyle H_{Kin}}$ويجب تحديدها على${\displaystyle H_{Diff}}$بما أن عامل القيد الرئيسي${\displaystyle {\hat {M}}}$يتم تعريفها بشكل مكثف على${\displaystyle H_{Diff}}$، ثم${\displaystyle {\hat {M}}}$هو عامل موجب ومتماثل في${\displaystyle H_{Diff}}$لذلك، فإن الشكل التربيعي${\displaystyle Q_{M}}$مرتبط بـ${\displaystyle {\hat {M}}}$يمكن إغلاقه . إغلاق${\displaystyle Q_{M}}$هي الصيغة التربيعية لمؤثر ذاتي الترافق فريد${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$، والتي تُسمى امتداد فريدريش لـ${\displaystyle {\hat {M}}}$نعيد تسمية${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$مثل${\displaystyle {\hat {M}}}$لتبسيط الأمور.

لاحظ أن وجود الضرب الداخلي، أي المعادلة 4، يعني عدم وجود حلول زائدة، أي لا توجد حلول زائدة.${\displaystyle \Psi }$بحيث $${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$$ لولا ذلك${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$.

من الممكن أيضًا إنشاء شكل تربيعي${\displaystyle Q_{M_{E}}}$بالنسبة لما يسمى بالقيد الرئيسي الموسع (المناقش أدناه) على${\displaystyle H_{Kin}}$والذي يتضمن أيضًا التكامل الموزون لمربع قيد التماثل المكاني (وهذا ممكن لأن${\displaystyle Q_{M_{E}}}$(لا يتغير الرسم البياني).

قد لا يحتوي طيف القيد الرئيسي على الصفر بسبب تأثيرات الترتيب الطبيعي أو العاملي، وهي تأثيرات محدودة ولكنها مشابهة في طبيعتها لطاقات الفراغ اللانهائية لنظريات الحقل الكمومي المعتمدة على الخلفية. في هذه الحالة، يتبين أنه من الصحيح فيزيائيًا استبدال${\displaystyle {\hat {M}}}$مع${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$بشرط أن يتلاشى "ثابت الترتيب الطبيعي" في الحد الكلاسيكي، أي $${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$$ لهذا السبب.${\displaystyle {\hat {M}}'}$يُعدّ هذا تكميمًا صحيحًا لـ${\displaystyle M}$.

تُعدّ القيود في صيغتها الأولية فريدةً نوعًا ما، ولذلك تمّ دمجها على دوال الاختبار للحصول على قيود مُوزّعة. مع ذلك، يبدو أن معادلة القيد الرئيسي، المذكورة أعلاه، أكثر فرادةً، إذ تتضمن حاصل ضرب قيدين أوليين (مع أنها مُدمجة على الفضاء). يُعدّ تربيع القيد أمرًا خطيرًا، لأنه قد يؤدي إلى تفاقم سلوك الأشعة فوق البنفسجية للمُشغّل المُقابل، ولذا يجب التعامل مع برنامج القيد الرئيسي بحذر.

وبذلك، تم اختبار برنامج القيد الرئيسي بنجاح في عدد من الأنظمة النموذجية ذات جبر القيود غير التافه، ونظريات الحقول الحرة والمتفاعلة. ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]} وقد تم إثبات أن القيد الرئيسي لنظرية النسبية العامة الكمومية الحلقية (LQG) هو مؤثر ذاتي مرافق موجب حقيقي، كما تم إثبات أن فضاء هيلبرت الفيزيائي لنظرية LQG غير فارغ، ^{[ 38 ]} وهو اختبار اتساق يجب أن تجتازه نظرية LQG لتكون نظرية قابلة للتطبيق في النسبية العامة الكمومية.

استُخدم القيد الرئيسي في محاولات لتقريب الضرب الداخلي الفيزيائي وتحديد تكاملات المسار الأكثر دقة. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}

إن نهج التقطيع المتسق لـ LQG، ^{[ 43 ] [ 44 ]} هو تطبيق لبرنامج القيد الرئيسي لبناء فضاء هيلبرت الفيزيائي للنظرية الأساسية.

يمكن تعميم القيد الرئيسي بسهولة ليشمل القيود الأخرى. ويُشار إليه حينها بالقيد الرئيسي الموسع، ويُرمز له بـ${\displaystyle M_{E}}$يمكننا تعريف القيد الرئيسي الموسع الذي يفرض كلاً من قيد هاميلتون وقيد التماثل المكاني كمؤثر واحد، $${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$$

إن ضبط هذا القيد الوحيد على الصفر يعادل ما يلي:${\displaystyle H(x)=0}$و${\displaystyle V_{a}(x)=0}$للجميع${\displaystyle x}$في${\displaystyle \Sigma }$يُطبّق هذا القيد كلاً من التماثل المكاني وقيد هاميلتون في آنٍ واحد على فضاء هيلبرت الحركي. ويُعرَّف الضرب الداخلي الفيزيائي على النحو التالي: $${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$$ (مثل${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$يتم الحصول على تمثيل رغوة الدوران لهذا التعبير عن طريق تقسيم${\displaystyle t}$-معامل في خطوات منفصلة وكتابة $${\displaystyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$$

ثم يتبع وصف رغوة الدوران من تطبيق${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$على شبكة دوران ينتج عنها توليفة خطية من شبكات دوران جديدة تم تعديل رسمها البياني وتصنيفاتها. من الواضح أنه يتم إجراء تقريب عن طريق اقتطاع قيمة${\displaystyle n}$إلى عدد صحيح محدود. من مزايا القيد الرئيسي الموسع أننا نعمل على المستوى الحركي، وهو المستوى الوحيد الذي نملك فيه حتى الآن إمكانية الوصول إلى الحالات المتماسكة شبه الكلاسيكية. علاوة على ذلك، يمكن إيجاد نسخ من هذا القيد الرئيسي لا تُغير الرسم البياني، وهي النوع الوحيد من المؤثرات المناسبة لهذه الحالات المتماسكة.

تطوّر برنامج القيد الرئيسي إلى معالجة توافقية كاملة للجاذبية تُعرف باسم الجاذبية الكمومية الجبرية (AQG). ^{[ 45 ]} تمّ تكييف مُعامل القيد الرئيسي غير المُغيّر للرسم البياني في إطار الجاذبية الكمومية الجبرية. في حين أن الجاذبية الكمومية الجبرية مُستوحاة من الجاذبية الكمومية الخطية (LQG)، إلا أنها تختلف عنها اختلافًا جذريًا، إذ لا يوجد في الجاذبية الكمومية الجبرية أساسًا أي بنية طوبولوجية أو تفاضلية - فهي مستقلة عن الخلفية بمعنى أكثر عمومية، وقد يكون لها دور في فهم تغيير الطوبولوجيا. في هذه الصياغة الجديدة للجاذبية الكمومية، تتحكم الحالات شبه الكلاسيكية في الجاذبية الكمومية الجبرية دائمًا في تقلبات جميع درجات الحرية الموجودة. هذا ما يجعل التحليل شبه الكلاسيكي للجاذبية الكمومية الجبرية متفوقًا على تحليل الجاذبية الكمومية الخطية، وقد أُحرز تقدم في إثبات أن لها الحد شبه الكلاسيكي الصحيح، وتوفير اتصال مع فيزياء الطاقة المنخفضة المألوفة. ^{[ 46 ] [ 47 ]}

الديناميكا الحرارية للثقوب السوداء هي مجال دراسة يسعى إلى التوفيق بين قوانين الديناميكا الحرارية ووجود آفاق حدث الثقوب السوداء . تنص فرضية انعدام الشعر في النسبية العامة على أن الثقب الأسود يتميز فقط بكتلته وشحنته وعزمه الزاوي ؛ وبالتالي، ليس له إنتروبيا . يبدو إذن أنه يمكن انتهاك القانون الثاني للديناميكا الحرارية بإسقاط جسم ذي إنتروبيا غير صفرية في ثقب أسود. [ ^{48 ] أظهرت} دراسة ستيفن هوكينج وجاكوب بيكنشتاين أنه يمكن الحفاظ على القانون الثاني للديناميكا الحرارية عن طريق إسناد إنتروبيا الثقب الأسود لكل ثقب أسود.$${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$$ أين${\displaystyle A}$هي مساحة أفق الحدث للثقب،${\displaystyle k_{\text{B}}}$هو ثابت بولتزمان ، و${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$هو طول بلانك. ^{[ 49 ]} إن حقيقة أن إنتروبيا الثقب الأسود هي أيضًا أقصى إنتروبيا يمكن الحصول عليها من خلال حد بيكنشتاين (حيث يصبح حد بيكنشتاين معادلة) كانت الملاحظة الرئيسية التي أدت إلى مبدأ الهولوغرافيا . ^{[ 48 ]}

يتمثل أحد أوجه القصور في تطبيق نظرية انعدام الشعر في افتراض أن درجات الحرية ذات الصلة التي تُفسر إنتروبيا الثقب الأسود يجب أن تكون كلاسيكية بطبيعتها؛ ماذا لو كانت كمومية بحتة ولها إنتروبيا غير صفرية؟ هذا ما يتحقق في اشتقاق نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية (LQG) لإنتروبيا الثقب الأسود، ويمكن اعتباره نتيجة لاستقلاليته عن الخلفية - ينشأ زمكان الثقب الأسود الكلاسيكي من الحد شبه الكلاسيكي للحالة الكمومية لحقل الجاذبية، ولكن هناك العديد من الحالات الكمومية التي لها نفس الحد شبه الكلاسيكي. على وجه التحديد، في نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية ^{[ 50 ]،} من الممكن ربط تفسير هندسي كمومي بالحالات الميكروية: هذه هي الهندسات الكمومية للأفق المتوافقة مع المساحة.${\displaystyle A}$، فيما يتعلق بالثقب الأسود وطوبولوجيا أفق الحدث (أي كروي). تقدم نظرية الجاذبية الكمية الحلقية تفسيراً هندسياً لمحدودية الإنتروبيا وتناسب مساحة أفق الحدث. ^{[ 51 ] [ 52 ]} وقد عُممت هذه الحسابات لتشمل الثقوب السوداء الدوارة. ^{[ 53 ]}

من الممكن استخلاص العلاقة الصحيحة بين الطاقة والمساحة (القانون الأول) ودرجة حرارة أونرو والتوزيع الذي ينتج عنه إنتروبيا هوكينغ، وذلك من خلال الصياغة المتغيرة لنظرية الكم الكاملة ( Spinfoam ). ^{[ 54 ]} تعتمد الحسابات على مفهوم الأفق الديناميكي وتُجرى للثقوب السوداء غير المتطرفة.

من بين النجاحات الحديثة لهذه النظرية في هذا الاتجاه، حساب إنتروبيا جميع الثقوب السوداء غير المنفردة مباشرةً من النظرية وبشكل مستقل عن معامل إميرزي . ^{[ 54 ] [ 55 ]} والنتيجة هي الصيغة المتوقعة.${\displaystyle S=A/4}$، أين${\displaystyle S}$هي الإنتروبيا و${\displaystyle A}$مساحة الثقب الأسود، التي استنتجها بيكنشتاين وهوكينغ استنادًا إلى أسس تجريبية. هذا هو الاشتقاق الوحيد المعروف لهذه الصيغة من نظرية أساسية، في حالة الثقوب السوداء غير الشاذة العامة. واجهت المحاولات السابقة لهذا الحساب صعوبات. تكمن المشكلة في أنه على الرغم من أن نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية تنبأت بأن إنتروبيا الثقب الأسود تتناسب طرديًا مع مساحة أفق الحدث، إلا أن النتيجة كانت تعتمد على مُعامل حر حاسم في النظرية، وهو مُعامل إميرزي المذكور آنفًا. مع ذلك، لا توجد حسابات معروفة لمُعامل إميرزي، لذا تم تحديده باشتراط التوافق مع حساب بيكنشتاين وهوكينغ لإنتروبيا الثقب الأسود .

أُجريت دراسة تفصيلية للهندسة الكمومية لأفق الثقب الأسود باستخدام نظرية الجاذبية الكمومية الحلقية. ^{[ 52 ]} لا تُعيد نظرية التكميم الحلقي إنتاج نتيجة إنتروبيا الثقب الأسود التي اكتشفها بيكنشتاين وهاوكينغ في الأصل، إلا إذا تم اختيار قيمة معامل إميرزي لإلغاء ثابت آخر يظهر في الاشتقاق. ومع ذلك، فقد أدت هذه النظرية إلى حساب تصحيحات من الرتبة العليا لإنتروبيا وإشعاع الثقوب السوداء.

استنادًا إلى تقلبات منطقة الأفق، يُظهر الثقب الأسود الكمومي انحرافات عن طيف هوكينغ، وهي انحرافات يُمكن رصدها لو تم رصد الأشعة السينية المنبعثة من إشعاع هوكينغ للثقوب السوداء البدائية المتبخرة. ^{[ 56 ]} تتركز التأثيرات الكمومية عند مجموعة من الترددات المنفصلة وغير المتداخلة، والتي تبرز بشكل واضح فوق طيف إشعاع هوكينغ. ^{[ 57 ]}

في عام ٢٠١٤، اقترح كارلو روفيلي وفرانشيسكا فيدوتو وجود نجم بلانك داخل كل ثقب أسود. ^{[ ٥٨ ]} استنادًا إلى نظرية الجاذبية الكمية الحلقية، تنص النظرية على أنه عندما تنهار النجوم لتتحول إلى ثقوب سوداء، تصل كثافة الطاقة إلى كثافة طاقة بلانك، مما يُسبب قوة تنافر تُنشئ نجمًا. علاوة على ذلك، فإن وجود مثل هذا النجم من شأنه أن يحل معضلة جدار النار في الثقب الأسود ومفارقة معلومات الثقب الأسود .

تُشير الأدبيات الشعبية والتقنية بشكلٍ مُستفيض إلى موضوع علم الكون الكمي الحلقي، وهو موضوعٌ مُرتبط بنظرية الجاذبية الكمية الحلقية (LQG). وقد طُوِّرَت نظرية الجاذبية الكمية الحلقية (LQC) بشكلٍ رئيسي على يد مارتن بوجوالد، واشتهرت في مجلة ساينتفك أمريكان لتنبؤها بحدوث ارتدادٍ كبير قبل الانفجار العظيم . ^{[ 59 ]} يُعدّ علم الكون الكمي الحلقي (LQC) نموذجًا مُختزلًا للتناظر للنسبية العامة الكلاسيكية، مُكمَّمًا باستخدام أساليب تُحاكي أساليب الجاذبية الكمية الحلقية (LQG)، ويتنبأ بوجود "جسر كمي" بين فرعي الكون المُنكمش والمُتوسع.

تمثلت إنجازات نظرية الكم المحدودة في حل مشكلة التفرد في الانفجار العظيم ، والتنبؤ بحدوث ارتداد كبير، وآلية طبيعية للتضخم .

تتشابه نماذج LQC مع نماذج LQG في بعض الخصائص، مما يجعلها نموذجًا مبسطًا مفيدًا. مع ذلك، تخضع النتائج المُتحصل عليها للقيد المعتاد، وهو أن النظرية الكلاسيكية المُختزلة، ثم المُكمّمة، قد لا تُظهر السلوك الحقيقي للنظرية الكاملة بسبب الكبت الاصطناعي لدرجات الحرية التي قد تُحدث تقلبات كمومية كبيرة في النظرية الكاملة. وقد طُرحت فكرة أن تجنب التفرد في LQC يتم عبر آليات متاحة فقط في هذه النماذج المُقيدة، وأنه لا يزال من الممكن تجنب التفرد في النظرية الكاملة، ولكن من خلال خاصية أكثر دقة في LQG. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

يصعب قياس تأثيرات الجاذبية الكمومية نظرًا لصغر طول بلانك. مع ذلك، بدأ علماء الفيزياء مؤخرًا، مثل جاك بالمر، بدراسة إمكانية قياس هذه التأثيرات، لا سيما من خلال الرصد الفلكي وأجهزة الكشف عن موجات الجاذبية. تتسبب طاقة هذه التقلبات على هذه المقاييس الصغيرة في اضطرابات فضائية يمكن رصدها على مقاييس أكبر.

تُصاغ جاذبية الكم الحلقية بلغة مستقلة عن الخلفية. لا يُفترض وجود زمكان مسبقًا، بل يُبنى من حالات النظرية نفسها – ومع ذلك، تُستمد سعات التشتت من${\displaystyle n}$دوال النقاط ( دالة الارتباط )، وهذه الدوال، المصاغة في نظرية الحقل الكمومي التقليدية، هي دوال لنقاط في فضاء-زمن خلفي. العلاقة بين الصيغة المستقلة عن الخلفية والصيغة التقليدية لنظرية الحقل الكمومي على فضاء-زمن معين ليست واضحة، وليس من الواضح كيفية استخلاص كميات الطاقة المنخفضة من النظرية الكاملة المستقلة عن الخلفية. يرغب المرء في اشتقاق${\displaystyle n}$- دوال النقطة للنظرية من الشكلية المستقلة عن الخلفية، من أجل مقارنتها بالتوسع الاضطرابي القياسي للنسبية العامة الكمومية، وبالتالي التحقق من أن جاذبية الكم الحلقية تعطي الحد الصحيح للطاقة المنخفضة.

تم اقتراح استراتيجية لمعالجة هذه المشكلة؛ ^{[ 62 ]} من خلال دراسة سعة الحد، أي التكامل المساري على منطقة محدودة من الزمكان، باعتباره دالةً لقيمة الحد للحقل. ^{[ 63 ] [ 64 ]} في نظرية الحقل الكمومي التقليدية، تكون سعة الحد هذه محددة جيدًا ^{[ 65 ] [ 66 ]} وتُشفّر المعلومات الفيزيائية للنظرية؛ وهي تفعل ذلك أيضًا في الجاذبية الكمومية، ولكن بطريقة مستقلة تمامًا عن الخلفية. ^{[ 67 ]} تعريف متغاير بشكل عام لـ${\displaystyle n}$يمكن بعد ذلك أن تستند دوال النقاط إلى فكرة أن المسافة بين النقاط الفيزيائية - وسيطات${\displaystyle n}$يتم تحديد دالة النقطة بواسطة حالة مجال الجاذبية على حدود منطقة الزمكان المعتبرة.

لقد أُحرز تقدم في حساب سعات التشتت المستقلة عن الخلفية باستخدام رغوة الدوران. هذه طريقة لاستخلاص معلومات فيزيائية من النظرية. وقد زُعم أنه تم إعادة إنتاج السلوك الصحيح لسعات تشتت الجرافيتون واستعادة الجاذبية الكلاسيكية. يقول كارلو روفيللي: "لقد حسبنا قانون نيوتن انطلاقًا من عالم بلا مكان ولا زمان".