التناظر الترجمي

في الفيزياء والرياضيات ، التناظر الترجمي المستمر هو ثبات نظام المعادلات تحت أي ترجمة (بدون دوران ). التناظر الترجمي المنفصل يكون ثابتًا تحت الترجمة المنفصلة .

على نحو مماثل، يُقال عن عامل A على الدوال أنه ثابت ترجميًا فيما يتعلق بعامل الترجمة إذا لم تتغير النتيجة بعد تطبيق A إذا تمت ترجمة دالة الوسيطة. وبشكل أكثر دقة، يجب أن يكون الأمر كما يلي: ${\displaystyle T_{\delta }}$$${\displaystyle \forall \delta \ Af=A(T_{\delta }f).}$$

قوانين الفيزياء لا تتغير انتقاليًا في ظل انتقال مكاني إذا لم تميز بين نقاط مختلفة في الفضاء. وفقًا لنظرية نوثر ، فإن التماثل الانتقالي المكاني لنظام فيزيائي يعادل قانون الحفاظ على الزخم .

تعني التماثل الترجمي لجسم ما أن الترجمات المحددة لا تغير الجسم. بالنسبة لجسم معين، تشكل الترجمات التي ينطبق عليها هذا مجموعة، وهي مجموعة التماثل للجسم، أو إذا كان للجسم أنواع أكثر من التماثل، تشكل مجموعة فرعية من مجموعة التماثل.

مجموعات الكذب وجبر الكذب
المجموعات الكلاسيكية الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

تعني الثبات الترجمي أنه في اتجاه واحد على الأقل، يكون الجسم لانهائيًا: لأي نقطة معينة p ، تشكل مجموعة النقاط التي لها نفس الخصائص بسبب التناظر الترجمي المجموعة المنفصلة اللانهائية { p + n a | n ∈ Z } = p + Z a . المجالات الأساسية هي على سبيل المثال H + [0, 1] a لأي مستوى فائق H يكون لـ a اتجاه مستقل. هذا في 1D قطعة مستقيمة ، وفي 2D شريط لا نهائي، وفي 3D لوح، بحيث ينتهي المتجه الذي يبدأ من جانب واحد عند الجانب الآخر. لاحظ أن الشريط واللوح لا يلزم أن يكونا عموديين على المتجه، وبالتالي يمكن أن يكونا أضيق أو أنحف من طول المتجه.

في المساحات ذات البعد الأكبر من 1، قد تكون هناك تناظرات ترجمية متعددة. لكل مجموعة من متجهات الترجمة المستقلة k ، تكون مجموعة التناظر متماثلة مع Z ^k . على وجه الخصوص، قد يكون التعدد مساويًا للبعد. وهذا يعني أن الكائن لا نهائي في جميع الاتجاهات. في هذه الحالة، تشكل مجموعة جميع الترجمات شبكة . تولد قواعد مختلفة لمتجهات الترجمة نفس الشبكة إذا وفقط إذا تم تحويل أحدهما إلى الآخر بواسطة مصفوفة من معاملات الأعداد الصحيحة التي تكون القيمة المطلقة لمحددها 1. القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي تشكلها مجموعة من متجهات الترجمة هي الحجم الفائق لمتوازي السطوح ذي الأبعاد n الذي تقابله المجموعة (يُسمى أيضًا الحجم المشترك للشبكة). هذا المتوازي السطوح هو منطقة أساسية للتناظر: أي نمط عليه أو فيه ممكن، وهذا يحدد الكائن بالكامل. انظر أيضًا الشبكة (المجموعة) .

على سبيل المثال في ثنائي الأبعاد، بدلًا من a و b يمكننا أيضًا أخذ a و a − b ، وهكذا. بشكل عام في ثنائي الأبعاد، يمكننا أخذ p a + q b و r a + s b للأعداد الصحيحة p و q و r و s بحيث يكون ps − qr يساوي 1 أو −1. وهذا يضمن أن a و b أنفسهما تركيبات خطية صحيحة للمتجهين الآخرين. وإذا لم يكن الأمر كذلك، فلن تكون جميع الترجمات ممكنة مع الزوج الآخر. يحدد كل زوج a و b متوازي أضلاع، وكلها بنفس المساحة، أي مقدار حاصل الضرب الاتجاهي . يحدد متوازي الأضلاع الواحد الجسم بالكامل. وبدون مزيد من التناظر، يكون متوازي الأضلاع هذا مجالًا أساسيًا. يمكن تمثيل المتجهين a و b بأعداد مركبة. بالنسبة لنقطتي الشبكة المعطاة، يتم تمثيل تكافؤ اختيارات نقطة ثالثة لتوليد شكل الشبكة بالمجموعة المعيارية ، انظر الشبكة (المجموعة) .

وبدلاً من ذلك، على سبيل المثال، قد يحدد المستطيل الكائن بأكمله، حتى لو لم تكن متجهات الترجمة متعامدة، إذا كان له جانبان متوازيان مع متجه ترجمة واحد، بينما ينتهي متجه الترجمة الآخر الذي يبدأ من أحد جانبي المستطيل عند الجانب المقابل.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك بلاطًا به بلاطات مستطيلة متساوية بنمط غير متماثل عليها، وكلها موجهة بنفس الطريقة، في صفوف، مع إزاحة جزء من البلاطة لكل صف، وليس نصفها، دائمًا بنفس الطريقة، عندها يكون لدينا فقط تماثل انتقالي، مجموعة ورق الحائط p 1 (ينطبق نفس الشيء بدون إزاحة). مع التماثل الدوراني من الدرجة الثانية للنمط على البلاطة يكون لدينا p 2 (لا يغير المزيد من تماثل النمط على البلاطة ذلك، بسبب ترتيب البلاط). المستطيل هو وحدة أكثر ملاءمة للنظر إليها كمجال أساسي (أو مجموعة من اثنين منها) من متوازي الأضلاع يتكون من جزء من بلاطة وجزء من بلاطة أخرى.

في الأبعاد الثنائية قد يكون هناك تماثل ترجمي في اتجاه واحد للمتجهات من أي طول. خط واحد، ليس في نفس الاتجاه، يحدد الكائن بالكامل. وبالمثل، في الأبعاد الثلاثية قد يكون هناك تماثل ترجمي في اتجاه واحد أو اتجاهين للمتجهات من أي طول. مستوى واحد ( مقطع عرضي ) أو خط واحد، على التوالي، يحدد الكائن بالكامل بالكامل.

• تتمتع جميع أنماط الإفريز بتناظرات ترجمية، وأحيانًا أنواع أخرى.
• تحويل فورييه مع الحساب اللاحق للقيم المطلقة هو عامل ثابت الترجمة.
• إن التعيين من دالة متعددة الحدود إلى درجة متعددة الحدود هو دالة ثابتة الترجمة.
• مقياس ليبيج هو مقياس ثابت تمامًا للترجمة .

• انعكاس الانزلاق
• النزوح
• الدالة الدورية
• الشبكة (المجموعة)
• عامل الترجمة (ميكانيكا الكم)
• التماثل الدوراني
• تماثل لورنتز
• التبليط
• قائمة الدورات § رياضيات الموجات والدورات

• ستينجر، فيكتور جيه. (2000) وماهو شيرو يو إس إيه (2007). الواقع الخالد . كتب بروميثيوس. وخاصة الفصل الثاني عشر. غير التقني.