القسمة على صفر

التقسيم​​${\displaystyle N/D=Q}$يمكن تفسيرها من الناحية المفاهيمية بعدة طرق. ^{[ 1 ]}

في القسمة بالقسمة ، المقسوم ⁠${\displaystyle N}$يُتصور أن يتم تقسيمها إلى أجزاء ذات حجم معين .${\displaystyle D}$( المقسوم عليه)، وناتج القسمة${\displaystyle Q}$يمثل عدد الأجزاء الناتجة. على سبيل المثال، تخيل أن عشر شرائح من الخبز ستُصنع منها شطائر، كل شطيرة تتطلب شريحتين من الخبز. يمكن صنع خمس شطائر في المجموع (${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$والآن تخيل بدلاً من ذلك أنه لا حاجة لأي شريحة خبز لكل شطيرة (ربما لفافة خس ). يمكن صنع عدد لا نهائي من هذه الشطائر من عشر شرائح خبز، لأن الخبز غير مهم. ^{[ 2 ]}

يُسهّل مفهوم القسمة القائم على النسبة إجراء الحساب عن طريق الطرح المتكرر : فالقسمة تستلزم حساب عدد مرات طرح المقسوم عليه قبل نفاد المقسوم. ولأن أي عدد من عمليات طرح الصفر لن يُنهي المقسوم غير الصفري، فإن حساب القسمة على الصفر بهذه الطريقة لا ينتهي أبدًا . ^{[ 3 ]} وتُجسّد بعض الآلات الحاسبة الميكانيكية خوارزمية القسمة على الصفر التي لا تنتهي . ^{[ 4 ]}

في القسمة الجزئية ، المقسوم ⁠${\displaystyle N}$يُتصور أن ينقسم إلى${\displaystyle D}$الأجزاء ، والناتج${\displaystyle Q}$يمثل حجم كل جزء الناتج. على سبيل المثال، تخيل أن عشرة كعكات سيتم تقسيمها بين صديقين. سيحصل كل صديق على خمس كعكات (${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$والآن تخيل بدلاً من ذلك أن العشر قطع من الكعك ستُقسّم على صفر من الأصدقاء. كم قطعة كعك سيحصل عليها كل صديق؟ بما أنه لا يوجد أصدقاء، فهذا أمرٌ غير منطقي. ^{[ 5 ]}

وفي تفسير آخر، فإن الناتج ⁠${\displaystyle Q}$يمثل النسبة​​${\displaystyle N:D}$[ ^{6 ]} على سبيل المثال ،قد تتطلب وصفة كعكة عشرة أكواب من الدقيق وكوبين من السكر، وهي ^نسبة ⁠${\displaystyle 10:2}$أو ، بشكل متناسب ،${\displaystyle 5:1}$لتعديل هذه الوصفة لتناسب كميات أكبر أو أصغر من الكعكة، يجب أن تكون نسبة الدقيق إلى السكر متناسبة مع${\displaystyle 5:1}$يمكن الحفاظ على نسب مختلفة ، على سبيل المثال، كوب واحد من الدقيق وخُمس كوب من السكر، أو خمسين كوبًا من الدقيق وعشرة أكواب من السكر. ^{[ 7 ]} الآن تخيل وصفة كعكة خالية من السكر تتطلب عشرة أكواب من الدقيق وصفر كوب من السكر. النسبة${\displaystyle 10:0}$أو بشكل متناسب${\displaystyle 1:0}$هذا منطقي تمامًا: ^{[ 8 ]} فهو يعني ببساطة أن الكعكة لا تحتوي على سكر. ومع ذلك، لا يزال السؤال "كم جزء من الدقيق لكل جزء من السكر؟" بلا إجابة عددية ذات معنى.

يتمثل أحد المظاهر الهندسية لتفسير القسمة كنسبة في ميل الخط المستقيم في المستوى الديكارتي . ^{[ 9 ]} يُعرَّف الميل بأنه "الارتفاع" (التغير في الإحداثي الرأسي) مقسومًا على "المسافة الأفقية" (التغير في الإحداثي الأفقي) على طول الخط. وعند كتابة ذلك باستخدام رمز النسبة المتناظرة، يكون ميل الخط الأفقي ⁠${\displaystyle 0:1}$والخط العمودي له ميل${\displaystyle 1:0}$ومع ذلك، إذا اعتبرنا الميل عددًا حقيقيًا واحدًا ، فإن الخط الأفقي يكون له ميل ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$بينما يكون ميل الخط العمودي غير محدد، لأنه في حساب الأعداد الحقيقية يكون ناتج القسمة${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$غير مُعرَّف. ^{[ 10 ]} الميل ذو القيمة الحقيقية${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$إحداثيات الخط المار بنقطة الأصل هي الإحداثيات الرأسية لنقطة تقاطع هذا الخط مع خط رأسي عند الإحداثيات الأفقية .${\displaystyle 1}$الخط الأحمر المتقطع في الشكل. الخطان الأحمر والأسود المتقطعان متوازيان ، لذا لا يتقاطعان في المستوى. يُقال أحيانًا أنهما يتقاطعان عند نقطة في اللانهاية ، والنسبة بينهما هي ...${\displaystyle 1:0}$يتم تمثيلها برقم جديد${\displaystyle \infty }$; [ ^{11 ]} انظر §  الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا أدناه. يُقال أحيانًا أن للخطوط الرأسية ميلًا "شديدًا إلى ما لا نهاية" ^.

القسمة هي عكس الضرب ، بمعنى أن الضرب ثم القسمة على نفس الكمية غير الصفرية، أو العكس، لا يغير الكمية الأصلية؛ على سبيل المثال${\displaystyle (5\times 3)/3=(5/3)\times 3=5}$^{[ 12 ]} وبالتالي ،يمكن حل مسألة قسمة مثل "ما هو ناتج قسمة 6 على 3؟" عن طريق إعادة كتابتها كمعادلة مكافئة تتضمن الضرب، "ما هو العدد الذي إذا ضربناه في 3 يساوي 6؟"، ثم إيجاد القيمة التي تكون عندها العبارة صحيحة؛ ويمكن كتابة هذه المعادلات رمزياً على النحو التالي :${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$وبالمثل​​${\displaystyle {?}\times 3=6}$، حيث​${\displaystyle$ يمثل الرمز ?} نفس الكمية المجهولة في كل معادلة؛ في هذه الحالة، الكمية المجهولة هي${\displaystyle 2}$، لأن​${\displaystyle 2\times 3=6}$لذلك ،​${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2}$[ ¹³ ]^​​

مسألة مماثلة تتضمن القسمة على صفر ،${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?}}$يتطلب ذلك تحديد كمية مجهولة تحقق الشرط التالي :${\displaystyle {?}\times 0=6}$ومع ذلك، فإن أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا وليس ستة، لذلك لا يوجد عدد يمكن أن يحل محله .${\displaystyle$ ؟} ⁠ لتقديم بيان صحيح. ^{[ 14 ]}

عندما يتم تغيير المشكلة إلى${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?}}$، العبارة المكافئة للضرب هي${\displaystyle {?}\times 0=0}$في هذه الحالة، يمكن استبدال أي قيمة بالكمية المجهولة للحصول على عبارة صحيحة، لذلك لا يوجد رقم واحد يمكن تعيينه كناتج للقسمة .${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$⁠ .

بسبب هذه الصعوبات، تُعتبر نواتج القسمة التي يكون المقسوم عليه صفرًا غير مُعرّفة تقليديًا ، ولا يُسمح بالقسمة على صفر. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

أحد الأسباب المقنعة لعدم السماح بالقسمة على صفر هو أن السماح بها يؤدي إلى مغالطات .

عند التعامل مع الأرقام، يسهل تحديد القسمة غير القانونية على صفر. على سبيل المثال:

من​${\displaystyle 0\times 1=0}$و​​${\displaystyle 0\times 2=0}$يحصل المرء​${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$إلغاء​​${\displaystyle 0}$ينتج عن ذلك من كلا الجانبين${\displaystyle 1=2}$، تصريح كاذب.

تنشأ المغالطة هنا من افتراض أن الإلغاء أمر مشروع .${\displaystyle 0}$مثل أي رقم آخر، بينما في الواقع، القيام بذلك هو شكل من أشكال القسمة على${\displaystyle 0}$⁠ .

باستخدام الجبر ، من الممكن إخفاء عملية القسمة على صفر ^{[ 17 ]} للحصول على برهان غير صحيح . على سبيل المثال: ^{[ 18 ]}

دع​${\displaystyle x=1}$اضرب كلا الطرفين في${\displaystyle x}$للحصول على​${\displaystyle \textstyle x=x^{2}}$. اطرح​${\displaystyle 1}$من كل جانب للحصول على$${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$يمكن تحليل الجانب الأيمن،$${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$بقسمة كلا الطرفين على${\displaystyle x-1}$⁠ ينتج$${\displaystyle 1=x+1.}$$استبدال​${\displaystyle x=1}$⁠ ينتج$${\displaystyle 1=2.}$$

هذا في الأساس نفس الحساب الخاطئ للنسخة العددية السابقة، ولكن تم إخفاء القسمة على صفر لأننا كتبنا ⁠${\displaystyle 0}$كما​​${\displaystyle x-1}$⁠ .

تُستخلص الأعداد الحقيقية الممتدة خطيًا من الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$بإضافة رقمين جديدين${\displaystyle +\infty }$و​​${\displaystyle -\infty }$تُقرأ ⁠ على أنها "اللانهاية الموجبة" و"اللانهاية السالبة" على التوالي، وتمثلان نقاطًا عند اللانهاية . مع إضافة ⁠${\displaystyle \pm \infty }$يمكن تطبيق مفهوم "النهاية عند اللانهاية" ليعمل كنهاية محدودة. عند التعامل مع الأعداد الحقيقية الممتدة الموجبة والسالبة، فإن التعبير${\displaystyle 1/0}$عادةً ما يُترك ⁠ غير مُعرَّف. ومع ذلك، في السياقات التي تُؤخذ فيها القيم غير السالبة فقط في الاعتبار، فمن الملائم غالبًا تعريف ⁠${\displaystyle 1/0=+\infty }$⁠ .

المجموعة​${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$⁠ هو الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا ، وهو عبارة عن تكثيف أحادي النقطة للخط الحقيقي. هنا ⁠${\displaystyle \infty }$تعني اللانهاية غير الموقعة أو نقطة عند اللانهاية ، وهي كمية لا نهائية ليست موجبة ولا سالبة. هذه الكمية تحقق ⁠${\displaystyle -\infty =\infty }$وهو أمر ضروري في هذا السياق. في هذا التركيب ،${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=\infty }$يمكن تعريفها لقيم غير صفرية${\displaystyle a}$و​​${\displaystyle {\tfrac {a}{\infty }}=0}$عندما​​${\displaystyle a}$⁠ ليس ⁠${\displaystyle \infty }$إنها الطريقة الطبيعية لعرض نطاق دالتي الظل والظل التمام في علم المثلثات :${\displaystyle \tan x}$يقترب من النقطة الوحيدة عند اللانهاية عندما${\displaystyle x}$⁠ الأساليب إما ⁠${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}\pi }$أو​​${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$من أي اتجاه.

يؤدي هذا التعريف إلى العديد من النتائج المثيرة للاهتمام. ومع ذلك، فإن البنية الجبرية الناتجة ليست حقلاً ، ولا ينبغي توقع أن تتصرف كحقل. على سبيل المثال ،${\displaystyle \infty +\infty }$⁠ غير معرف في هذا الامتداد لخط الأعداد الحقيقية.

يطبق موضوع التحليل المركب مفاهيم التفاضل والتكامل على الأعداد المركبة . ومن أهم ما يميز هذا الموضوع الأعداد المركبة الموسعة .${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$، مجموعة الأعداد المركبة مع إضافة عدد واحد إضافي إليها، ويرمز لها عادةً برمز اللانهاية${\displaystyle \infty }$وتمثيل نقطة عند اللانهاية ، والتي تُعرَّف بأنها موجودة في كل مجال خارجي ، مما يجعل تلك الجوارات الطوبولوجية لها.

يمكن تصور ذلك بشكل بديهي على أنه لفّ الحواف اللانهائية للمستوى المركب وتثبيتها معًا عند نقطة واحدة .${\displaystyle \infty }$، وهو تكثيف بنقطة واحدة ، يجعل الأعداد المركبة الموسعة مكافئة طوبولوجيًا للكرة . يمكن توسيع هذا التكافؤ إلى تكافؤ متري عن طريق ربط كل عدد مركب بنقطة على الكرة عبر الإسقاط المجسم العكسي، مع تطبيق المسافة الكروية الناتجةكتعريف جديد للمسافة بين الأعداد المركبة؛ وبشكل عام، يمكن دراسة هندسة الكرة باستخدام الحساب المركب، وعلى العكس من ذلك، يمكن تفسير الحساب المركب من حيث الهندسة الكروية . ونتيجة لذلك، غالبًا ما تُسمى مجموعة الأعداد المركبة الموسعة بكرة ريمان . يُرمز إلى المجموعة عادةً برمز الأعداد المركبة مزينًا بعلامة النجمة أو الخط العلوي أو علامة التلدة أو علامة التشكيل، على سبيل المثال ⁠${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$⁠ .

في الأعداد المركبة الموسعة، لأي عدد مركب غير صفري${\displaystyle z}$يتم توسيع نطاق الحساب المركب العادي من خلال القواعد الإضافية .${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty }$،​​${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0}$،​​${\displaystyle \infty +0=\infty }$،​​${\displaystyle \infty +z=\infty }$،​​${\displaystyle \infty \cdot z=\infty }$ومع ذلك ،${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$و​​${\displaystyle 0\cdot \infty }$تُترك غير محددة.

في الأعداد الفائقة الحقيقية ، لا تزال القسمة على الصفر مستحيلة، لكن القسمة على أعداد متناهية الصغر غير صفرية ممكنة. ^{[ 27 ]} وينطبق الأمر نفسه على الأعداد السريالية . ^{[ 28 ]}

في نظرية التوزيع، يمكن توسيع الدالة${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$إلى توزيع على كامل فضاء الأعداد الحقيقية (باستخدام قيم كوشي الرئيسية فعليًا ). ومع ذلك، ليس من المنطقي طلب "قيمة" لهذا التوزيع عند${\displaystyle x=0}$⁠ ; تشير الإجابة المتطورة إلى الدعم الفردي للتوزيع.

في جبر المصفوفات ، تُعامل مجموعات الأعداد المربعة أو المستطيلة كما لو كانت أعدادًا بحد ذاتها: يمكن جمع المصفوفات وضربها ، وفي بعض الحالات، توجد أيضًا عملية قسمة. القسمة على مصفوفة تعني، بتعبير أدق، الضرب في معكوسها . ليس لكل المصفوفات معكوس. ^{[ 29 ]} على سبيل المثال، المصفوفة التي تحتوي على أصفار فقط ليست قابلة للعكس.

يمكن تعريف قسمة زائفة، عن طريق تحديد ⁠${\displaystyle \textstyle a/b=ab^{+}}$، حيث​${\displaystyle \textstyle b^{+}}$يمثل المعكوس الزائف لـ​${\displaystyle b}$يمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$موجود ، إذن${\displaystyle \textstyle b^{+}=b^{-1}}$إذا​​${\displaystyle b=0}$ثم​​${\displaystyle \textstyle b^{+}=0}$⁠ .

في الجبر المجرد ، يمكن تجريد الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد الحقيقية والأعداد المركبة إلى بنى جبرية أكثر عمومية، مثل الحلقة التبديلية ، وهي بنية رياضية تتصرف فيها عمليات الجمع والطرح والضرب كما في أنظمة الأعداد المألوفة، ولكن قد لا تكون القسمة مُعرَّفة. يُطلق على إلحاق معكوس ضربي بحلقة تبديلية اسم التوطين . ومع ذلك، فإن توطين أي حلقة تبديلية عند الصفر هو الحلقة التافهة ، حيث${\displaystyle 0=1}$لذلك ، فإن الحلقات التبادلية غير التافهة ليس لها معكوسات عند الصفر، وبالتالي فإن القسمة على الصفر غير معرفة بالنسبة للحلقات التبادلية غير التافهة.

مع ذلك، يمكن توسيع أي نظام عددي يشكل حلقة تبديلية إلى بنية تُسمى عجلة ، حيث يكون القسمة على صفر ممكنًا دائمًا. ^{[ 30 ]} إلا أن البنية الرياضية الناتجة لم تعد حلقة تبديلية، إذ لم يعد الضرب يتوزع على الجمع. علاوة على ذلك، في العجلة، لم تعد قسمة عنصر على نفسه تُنتج العنصر المحايد الضربي .${\displaystyle 1}$وإذا كان النظام الأصلي مجالًا تكامليًا ، فإن الضرب في العجلة لم يعد ينتج عنه شبه مجموعة قابلة للإلغاء .

تتشابه المفاهيم المطبقة على الحساب القياسي مع تلك الموجودة في البنى الجبرية الأكثر عمومية، مثل الحلقات والحقول . في الحقل، يكون كل عنصر غير صفري قابلاً للعكس تحت عملية الضرب؛ وكما ذكرنا سابقًا، لا تُشكل القسمة مشكلة إلا عند محاولة القسمة على صفر. وينطبق هذا أيضًا على الحقل المائل (الذي يُسمى لهذا السبب حلقة القسمة ). مع ذلك، في حلقات أخرى، قد تُشكل القسمة على عناصر غير صفرية مشكلة أيضًا. على سبيل المثال، الحلقة ⁠${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$باقي قسمة الأعداد الصحيحة على 6. معنى التعبير${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$ينبغي أن يكون هذا هو الحل${\displaystyle x}$من المعادلة​${\displaystyle 2x=2}$لكن في الحلبة${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$،​​${\displaystyle 2}$⁠ قاسم للصفر . لهذه المعادلة حلان مختلفان، ⁠${\displaystyle x=1}$و​​${\displaystyle x=4}$، لذا فإن التعبير${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$غير مُعرَّف.​

في نظرية المجال، التعبير ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$⁠ هو اختصار للتعبير الرسمي ⁠${\displaystyle \textstyle ab^{-1}}$، حيث​${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$⁠ هو المعكوس الضربي لـ ⁠${\displaystyle b}$⁠. Since the field axioms only guarantee the existence of such inverses for nonzero elements, this expression has no meaning when ⁠${\displaystyle b}$⁠ is zero. Modern texts, which define fields as a special type of ring, include the axiom ⁠${\displaystyle 0\neq 1}$⁠ for fields (or its equivalent) so that the zero ring is excluded from being a field. In the zero ring, division by zero is possible, which shows that the other field axioms alone are not sufficient to exclude division by zero in defining a field.

In computing, most numerical calculations are done with floating-point arithmetic, which since the 1980s has been standardized by the IEEE 754 specification. In IEEE floating-point arithmetic, numbers are represented using a sign (positive or negative), a fixed-precision significand and an integer exponent. Numbers whose exponent is too large to represent instead "overflow" to positive or negative infinity (+∞ or −∞), while numbers whose exponent is too small to represent instead "underflow" to positive or negative zero (+0 or −0). A NaN (not a number) value represents undefined results.

In IEEE arithmetic, division of 0/0 or ∞/∞ results in NaN, but otherwise division always produces a well-defined result. Dividing any non-zero number by positive zero (+0) results in an infinity of the same sign as the dividend. Dividing any non-zero number by negative zero (−0) results in an infinity of the opposite sign as the dividend. This definition preserves the sign of the result in case of arithmetic underflow.^[31]

For example, using single-precision IEEE arithmetic, if ⁠${\displaystyle \textstyle x=-2^{-149}}$⁠, then ⁠${\displaystyle x/2}$⁠ underflows to ⁠${\displaystyle -0}$⁠, and dividing ⁠${\displaystyle 1}$⁠ by this result produces ⁠${\displaystyle 1/(x/2)=-\infty }$⁠. The exact result ⁠${\displaystyle \textstyle -2^{150}}$⁠ is too large to represent as a single-precision number, so an infinity of the same sign is used instead to indicate overflow.

تُعالج عملية القسمة على صفر عادةً بشكل مختلف عن القسمة على عدد عشري، لعدم وجود تمثيل عددي صحيح للنتيجة. وتختلف المعالجات المركزية في سلوكها: فمعالجات x86، على سبيل المثال ، تُطلق استثناءً متعلقًا بالأجهزة ، بينما تُنتج معالجات PowerPC نتيجة غير صحيحة للقسمة دون أي تنبيه وتستمر في المعالجة، أما معالجات ARM فقد تُطلق استثناءً متعلقًا بالأجهزة أو تُعيد القيمة صفر. ^{[ 32 ]} وبسبب هذا التباين بين المنصات، تعتبر لغتا البرمجة C و C++ نتيجة القسمة على صفر سلوكًا غير مُعرَّف . ^{[ 33 ]} في لغات البرمجة عالية المستوى الشائعة ، مثل بايثون ، ^{[ 34 ]} يُطلق استثناء عند محاولة القسمة على صفر، ويمكن معالجة هذا الاستثناء في جزء آخر من البرنامج.

تُعرّف العديد من برامج المساعدة في البرهان ، مثل Rocq و Lean ، المقسوم 1/0 = 0. وذلك لجعل جميع الدوال كلية . ولا يُؤدي هذا التعريف إلى تناقضات، إذ أن أي عمليات لاحقة (مثل الحذف ) لا تزال تتطلب قاسمًا غير صفري. ^{[ 35 ] [ 36 ]}