مبدأ هاملتون

جزء من سلسلة عن
الميكانيكا الكلاسيكية
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ القانون الثاني للحركة
تاريخ الخط الزمني الكتب المدرسية
الفروع مُطبَّق سماوي استمرارية ديناميكيات نظرية المجال علم الحركة الحركية الإحصائيات الميكانيكا الإحصائية
الأساسيات تسريع الزخم الزاوي زوج مبدأ دالمبيرت طاقة حركي محتمل قوة إطار مرجعي الإطار المرجعي بالقصور الذاتي دفعة القصور الذاتي  / عزم القصور الذاتي كتلة القوة الميكانيكية العمل الميكانيكي لحظة دَفعَة فضاء سرعة وقت عزم الدوران سرعة العمل الافتراضي
تركيبات قوانين نيوتن للحركة الميكانيكا التحليلية ميكانيكا لاغرانج ميكانيكا هاملتونية ميكانيكا روثيان معادلة هاملتون-جاكوبي معادلة آبل للحركة ميكانيكا كوبمان-فون نيومان
المواضيع الأساسية التخميد النزوح معادلات الحركة قوانين أويلر للحركة قوة وهمية احتكاك المذبذب التوافقي إطار مرجعي بالقصور الذاتي  / غير بالقصور الذاتي ميكانيكا حركة الجسيمات المستوية الحركة  ( الخطية ) قانون نيوتن للجاذبية الكونية قوانين نيوتن للحركة السرعة النسبية جسم صلب ديناميكيات معادلات أويلر الحركة التوافقية البسيطة اهتزاز
تناوب الحركة الدائرية إطار مرجعي دوار القوة المركزية قوة الطرد المركزي تفاعلي قوة كوريوليس البندول السرعة المماسية التردد الدوراني التسارع الزاوي  / الإزاحة  / التردد  / السرعة
العلماء كيبلر جاليليو هويجنز نيوتن هوروكس هالي موبيرتويس دانييل برنولي يوهان برنولي أويلر دالمبيرت كليروت لاغرانج لابلاس سمكة هاملتون جاكوبي كوشي روث ليوفيل نداء جيبس كوبمان فون نيومان
بوابة الفيزياء  فئة
ف ت هـ

في الفيزياء ، مبدأ هاملتون هو صياغة ويليام روان هاملتون لمبدأ الفعل الثابت . ينص على أن ديناميكيات النظام الفيزيائي تتحدد من خلال مشكلة تغيرية لدالة تعتمد على دالة واحدة، وهي دالة لاغرانج ، والتي قد تحتوي على جميع المعلومات الفيزيائية المتعلقة بالنظام والقوى المؤثرة عليه. مشكلة التغير تعادل وتسمح باشتقاق معادلات الحركة التفاضلية للنظام الفيزيائي. على الرغم من صياغته في الأصل للميكانيكا الكلاسيكية ، فإن مبدأ هاملتون ينطبق أيضًا على المجالات الكلاسيكية مثل المجالات الكهرومغناطيسية والجاذبية ، ويلعب دورًا مهمًا في ميكانيكا الكم ونظرية المجال الكمومي ونظريات الحرجة.

تنص قاعدة هاملتون على أن التطور الحقيقي q ( t ) لنظام موصوف بواسطة إحداثيات معممة N q = ( q ₁ ، q ₂ ، ...، q _N ) بين حالتين محددتين q ₁ = q ( t ₁ ) و q ₂ = q ( t ₂ ) في وقتين محددين t ₁ و t ₂ هو نقطة ثابتة (نقطة يكون فيها التباين صفرًا) للدالة الفعلية حيث هي دالة لاغرانج للنظام . بعبارة أخرى، أي اضطراب من الدرجة الأولى للتطور الحقيقي يؤدي إلى (على الأكثر) تغييرات من الدرجة الثانية في . والفعل دالة ، أي شيء يأخذ كمدخل له دالة ويعيد رقمًا واحدًا، وهو عدد قياسي . من حيث التحليل الوظيفي ، تنص قاعدة هاملتون على أن التطور الحقيقي للنظام الفيزيائي هو حل للمعادلة الوظيفية $${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt}$$${\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

وهذا يعني أن النظام يتخذ مسارًا في مساحة التكوين حيث يكون الإجراء ثابتًا، مع وجود شروط حدودية ثابتة في بداية ونهاية المسار.

إن اشتراط أن يكون المسار الحقيقي q ( t ) نقطة ثابتة للدالة الفعلية يعادل مجموعة من المعادلات التفاضلية لـ q ( t ) ( معادلات أويلر-لاجرانج )، والتي يمكن اشتقاقها على النحو التالي. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ليكن q ( t ) يمثل التطور _{الحقيقي} للنظام بين حالتين محددتين q1 = _q ( t1 ) و q2 = q ( t2 ₎ في وقتين محددين t1 و t2 _، وليكن ε ( t ) اضطرابًا صغيرًا _{يساوي صفرًا} عند _نقاط نهاية المسار. $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$$

من أجل الترتيب الأول في الاضطراب ε ( t ) ، فإن التغيير في دالة الفعل سيكون حيث قمنا بتوسيع لاجرانج L إلى الترتيب الأول في الاضطراب ε ( t ) . ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$$${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

يؤدي تطبيق التكامل بالأجزاء على الحد الأخير إلى $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

تتسبب الشروط الحدودية في اختفاء المصطلح الأول ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}$$${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}$$

يتطلب مبدأ هاملتون أن يكون هذا التغيير من الدرجة الأولى صفرًا لجميع الاضطرابات المحتملة ε ( t ) ، أي أن المسار الحقيقي هو نقطة ثابتة للدالة الفعلية (إما نقطة الحد الأدنى أو الحد الأقصى أو نقطة السرج). يمكن تلبية هذا المطلب إذا وفقط إذا ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

وتسمى هذه المعادلات بمعادلات أويلر-لاجرانج لمشكلة التغير.

يتم تعريف الزخم المترافق p _k لإحداثي معمم q _{k بالمعادلة}$${\displaystyle p_{k}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}.}$$

تحدث حالة خاصة مهمة لمعادلة أويلر-لاغرانج عندما لا تحتوي L على إحداثي معمم q _k صراحةً، أي أن الزخم المترافق هو ثابت للحركة . $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dp_{k}}{dt}}=0\,,}$$

في مثل هذه الحالات، يُطلق على الإحداثي q _k اسم الإحداثي الدوري . على سبيل المثال، إذا استخدمنا الإحداثيات القطبية t و r و θ لوصف الحركة المستوية لجسيم، وإذا لم تعتمد L على θ ، فإن الزخم المترافق هو الزخم الزاوي المحفوظ.

تساعد الأمثلة البسيطة على تقدير استخدام مبدأ الفعل عبر معادلات أويلر-لاجرانج. يتحرك الجسيم الحر (الكتلة m والسرعة v ) في الفضاء الإقليدي في خط مستقيم. باستخدام معادلات أويلر-لاجرانج، يمكن إظهار ذلك في الإحداثيات القطبية على النحو التالي. في حالة عدم وجود جهد، يكون لاجرانج مساويًا ببساطة للطاقة الحركية في إحداثيات عمودية ( x ، y )، حيث تمثل النقطة التمايز فيما يتعلق بمعامل المنحنى (عادةً الوقت، t ). لذلك، عند تطبيق معادلات أويلر-لاجرانج، $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0\qquad \Rightarrow \qquad m{\ddot {x}}=0}$$

وبالمثل بالنسبة لـ y . وبالتالي، يمكن استخدام صيغة أويلر-لاغرانج لاستنتاج قوانين نيوتن.

في الإحداثيات القطبية ( r ، φ ) تصبح الطاقة الحركية وبالتالي اللاجرانجية $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).}$$

تصبح مكونات r و φ الشعاعية لمعادلات أويلر-لاجرانج، على التوالي $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.}$$

تذكر أن r تعتمد أيضًا على الزمن وأن قاعدة الضرب ضرورية لحساب المشتق الزمني الإجمالي . ${\textstyle {\frac {d}{dt}}mr^{2}{\dot {\varphi }}}$

الحل لهاتين المعادلتين يعطى بواسطة لمجموعة من الثوابت a و b و c و d التي تحددها الظروف الأولية. وبالتالي، فإن الحل هو خط مستقيم معطى بالإحداثيات القطبية: a هي السرعة، c هي مسافة أقرب اقتراب من الأصل، و d هي زاوية الحركة. $${\displaystyle r={\sqrt {(at+b)^{2}+c^{2}}}}$$ $${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left({\frac {at+b}{c}}\right)+d}$$

مبدأ هاملتون هو مبدأ تغيري مهم في الديناميكا المرنة . على عكس النظام المكون من أجسام صلبة، فإن الأجسام القابلة للتشوه لها عدد لا نهائي من درجات الحرية وتشغل مناطق متصلة من الفضاء؛ وبالتالي، يتم وصف حالة النظام باستخدام وظائف متصلة من المكان والزمان. يُعطى مبدأ هاملتون الموسع لمثل هذه الأجسام من خلال حيث T هي الطاقة الحركية، وU هي الطاقة المرنة، و W _e هو العمل الذي تقوم به الأحمال الخارجية على الجسم، و t ₁ و t ₂ الأوقات الأولية والنهائية. إذا كان النظام محافظًا، فيمكن اشتقاق العمل الذي تقوم به القوى الخارجية من جهد قياسي V. في هذه الحالة، يُسمى هذا مبدأ هاملتون وهو ثابت تحت تحويلات الإحداثيات. $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\delta W_{e}+\delta T-\delta U\right]dt=0}$$$${\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[T-(U+V)\right]dt=0.}$$

أحيانًا ما يتم الخلط بين مبدأ هاملتون ومبدأ موبيرتويس، ويُطلق على كليهما اسم مبدأ أقل فعل . ويختلفان في ثلاثة جوانب مهمة:

• تعريفهم للفعل ...
  يستخدم مبدأ موبيرتويس تكاملاً على الإحداثيات المعممة المعروفة باسم الفعل المختصر أو الفعل المختزل حيث p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _N ) هي الزخم المترافق المحدد أعلاه. وعلى النقيض من ذلك، يستخدم مبدأ هاملتون ، تكامل لاغرانج على مدى الزمن.$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {q} }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• الحل الذي يحددونه...
  يحدد مبدأ هاملتون المسار q ( t ) كدالة للزمن، بينما يحدد مبدأ موبرتوي فقط شكل المسار في الإحداثيات المعممة. على سبيل المثال، يحدد مبدأ موبرتوي شكل القطع الناقص الذي يتحرك عليه الجسيم تحت تأثير قوة مركزية مربعة عكسية مثل الجاذبية ، لكنه لا يصف في حد ذاته كيف يتحرك الجسيم على طول هذا المسار. (ومع ذلك، يمكن تحديد معلمة الوقت هذه من المسار نفسه في الحسابات اللاحقة باستخدام قانون الحفاظ على الطاقة ). على النقيض من ذلك، يحدد مبدأ هاملتون بشكل مباشر الحركة على طول القطع الناقص كدالة للزمن.
• ...والقيود المفروضة على التباين.
  يتطلب مبدأ موبيرتويس أن تكون حالتي النهاية q ₁ و q ₂ معطى وأن تكون الطاقة محفوظة على طول كل مسار (نفس الطاقة لكل مسار). وهذا يجبر أوقات النهاية على أن تكون متغيرة أيضًا. وعلى النقيض من ذلك، لا يتطلب مبدأ هاملتون الحفاظ على الطاقة، ولكنه يتطلب تحديد أوقات النهاية t ₁ و t ₂ بالإضافة إلى حالات النهاية q ₁ و q ₂ .

يمكن توسيع مبدأ الفعل للحصول على معادلات الحركة للحقول ، مثل المجال الكهرومغناطيسي أو الجاذبية .

تستخدم معادلة أينشتاين فعل أينشتاين-هيلبرت كما هو مقيد بمبدأ التغير .

يمكن العثور على مسار الجسم في مجال الجاذبية (أي السقوط الحر في الزمكان، وهو ما يسمى بالمسار الجيوديسي) باستخدام مبدأ الفعل.

في ميكانيكا الكم ، لا يتبع النظام مسارًا واحدًا يكون فعله ثابتًا، لكن سلوك النظام يعتمد على جميع المسارات التي يمكن تخيلها وقيمة فعلها. يتم استخدام الفعل المقابل للمسارات المختلفة لحساب تكامل المسار ، الذي يعطي سعات احتمالية النتائج المختلفة.

على الرغم من أن مبدأ الفعل يعادل في الميكانيكا الكلاسيكية قوانين نيوتن ، إلا أنه أكثر ملاءمة للتعميمات ويلعب دورًا مهمًا في الفيزياء الحديثة. في الواقع، يعد هذا المبدأ أحد التعميمات العظيمة في العلوم الفيزيائية. على وجه الخصوص، يتم تقديره بشكل كامل وفهمه بشكل أفضل في ميكانيكا الكم . تعتمد صياغة ريتشارد فاينمان للتكامل المساري لميكانيكا الكم على مبدأ الفعل الثابت، باستخدام تكاملات المسار. يمكن اشتقاق معادلات ماكسويل كشروط للفعل الثابت.

• الميكانيكا التحليلية
• مساحة التكوين
• معادلة هاملتون-جاكوبي
• مساحة الطور
• الجيوديسيا كتدفقات هاملتونية

• WR Hamilton, "On a General Method in Dynamics"، Philosophical Transactions of the Royal Society Part II (1834) pp. 247–308؛ Part I (1835) pp. 95–144. ( من مجموعة السير ويليام روان هاملتون (1805–1865): أوراق رياضية حررها ديفيد ر. ويلكنز، كلية الرياضيات، ترينيتي كوليدج، دبلن 2، أيرلندا. (2000)؛ تمت مراجعتها أيضًا باسم On a General Method in Dynamics )
• جولدشتاين هـ. (1980) الميكانيكا الكلاسيكية ، الطبعة الثانية، أديسون ويسلي، ص 35-69.
• لاندو إل دي وليفشيتز إي إم (1976) الميكانيكا ، الطبعة الثالثة، دار بيرغامون للنشر. رقم ISBN 0-08-021022-8 (غلاف مقوى) ورقم ISBN 0-08-029141-4 (غلاف ورقي)، ص 2-4.  
• أرنولد السادس. (1989) الأساليب الرياضية في الميكانيكا الكلاسيكية ، الطبعة الثانية، دار نشر سبرينغر، ص 59-61.
• كاسل، كيفن دبليو: الأساليب التباينية مع التطبيقات في العلوم والهندسة، مطبعة جامعة كامبريدج، 2013.
• Bedford A.: مبدأ هاملتون في ميكانيكا المتصل. Pitman، 1985. Springer 2001، ISBN 978-3-030-90305-3 ISBN 978-3-030-90306-0 (كتاب إلكتروني)، https://doi.org/10.1007/978-3-030-90306-0