عدد حقيقي

في الرياضيات ، العدد الحقيقي هو عدد يُستخدم لقياس كمية أحادية البعد متصلة ، مثل الطول أو المدة أو درجة الحرارة . هنا، تعني كلمة "متصلة" أن أزواج القيم يمكن أن يكون بينها فروق صغيرة جدًا. ^{[ أ ]} يمكن تمثيل كل عدد حقيقي تقريبًا بشكل فريد باستخدام تمثيل عشري لانهائي . ^{[ ب ]}

تُعد الأعداد الحقيقية أساسية في حساب التفاضل والتكامل وفي العديد من فروع الرياضيات الأخرى، ولا سيما من خلال دورها في التعريفات الكلاسيكية للنهايات والاستمرارية والمشتقات . ^{[ ج ]}

تُرمز مجموعة الأعداد الحقيقية، والتي تُسمى أحيانًا "الأعداد الحقيقية"، عادةً بالحرف R الغامق أو بالخط العريض المستخدم في الكتابة على السبورة .${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ .

الصفة "حقيقي" ، التي استخدمها رينيه ديكارت في القرن السابع عشر ، تميز الأعداد الحقيقية عن الأعداد التخيلية مثل الجذور التربيعية للأعداد السالبة. ^{[ 1 ]}

تشمل الأعداد الحقيقية الأعداد النسبية ، مثل العدد الصحيح -5 والكسر 4/3 . أما الأعداد الحقيقية غير النسبية فتُسمى أعدادًا غير نسبية . وتُسمى الأعداد الحقيقية التي تُعد جذورًا لكثيرات الحدود ذات المعاملات النسبية بالأعداد الجبرية ، والتي تشمل جميع الأعداد النسبية، بالإضافة إلى الأعداد غير النسبية مثل √2 = 1.414... . أما الأعداد الحقيقية الأخرى، مثل π = 3.1415... ، فهي ليست جذورًا لكثيرات الحدود؛ وتُسمى هذه الأعداد بالأعداد المتسامية . ^{[ 1 ]}

يمكن اعتبار الأعداد الحقيقية بمثابة النقاط الموجودة على خط يسمى خط الأعداد أو الخط الحقيقي ، حيث تكون النقاط المقابلة للأعداد الصحيحة ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) متساوية التباعد.

لا تكفي الأوصاف غير الرسمية المذكورة أعلاه للأعداد الحقيقية لإجراء استدلال دقيق حولها. وقد شكّل تطوير تعريف رسمي مناسب إنجازًا بارزًا في الرياضيات خلال القرن التاسع عشر ، وهو أساس التحليل الحقيقي ، أي دراسة الدوال الحقيقية والمتتابعات ذات القيم الحقيقية . أحد التعريفات البديهية الحديثة هو أن الأعداد الحقيقية تُشكّل حقلًا مرتبًا كاملًا فريدًا ( حتى التشاكل ) من نوع ديديكيند . ^{[ د ]} تشمل التعريفات الشائعة الأخرى للأعداد الحقيقية فئات التكافؤ لمتتابعات كوشي (للأعداد النسبية)، وقطع ديديكيند ، والتمثيلات العشرية اللانهائية . جميع هذه التعريفات تُحقق التعريف البديهي، وبالتالي فهي متكافئة.

تُوصَف الأعداد الحقيقية تمامًا بخصائصها الأساسية التي يمكن تلخيصها بالقول إنها تُشكِّل حقلًا مُرتبًا كاملًا وفقًا لمعيار ديديكيند . هنا، تعني عبارة "مُوصَف تمامًا" وجود تماثل فريد بين أي حقلين مُرتبين كاملين وفقًا لمعيار ديديكيند، وبالتالي فإن عناصرهما لها نفس الخصائص تمامًا. هذا يعني أنه يُمكن التعامل مع الأعداد الحقيقية وإجراء العمليات الحسابية عليها دون معرفة كيفية تعريفها؛ وهذا ما فعله علماء الرياضيات والفيزياء لعدة قرون قبل وضع أولى التعريفات الرسمية في النصف الثاني من القرن التاسع عشر. انظر " بناء الأعداد الحقيقية" للاطلاع على تفاصيل هذه التعريفات الرسمية وإثبات تكافؤها.

تشكل الأعداد الحقيقية حقلاً مرتباً . وهذا يعني، بشكل بديهي، أن طرق وقواعد الحساب الابتدائي تنطبق عليها. وبشكل أدق، هناك عمليتان ثنائيتان ، الجمع والضرب ، وترتيب كلي له الخصائص التالية.

• ينتج عن جمع عددين حقيقيين a و b عدد حقيقي يُرمز له بـ${\displaystyle a+b,}$وهو مجموع a و b .​
• ينتج عن ضرب عددين حقيقيين a و b عدد حقيقي يُرمز له بـ${\displaystyle ab,}$${\displaystyle a\cdot b}$أو${\displaystyle a\times b,}$وهو حاصل ضرب a و b .
• الجمع والضرب عمليتان تبادليتان ، مما يعني أن${\displaystyle a+b=b+a}$و${\displaystyle ab=ba}$لجميع الأعداد الحقيقية a و b .
• الجمع والضرب عمليتان تجميعيتان ، مما يعني أن${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$و${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$لجميع الأعداد الحقيقية a و b و c .
• الضرب عملية توزيعية على الجمع، مما يعني أن${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$و${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$لجميع الأعداد الحقيقية a و b و c .
• يوجد عدد حقيقي يُسمى الصفر ويُرمز له بـ 0، وهو عنصر محايد جمعي ، مما يعني أن${\displaystyle a+0=0+a=a}$لكل عدد حقيقي a .
• يوجد عدد حقيقي يُرمز له بـ 1 وهو عنصر محايد ضربي ، مما يعني أن${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$لكل عدد حقيقي a .
• لكل عدد حقيقي a معكوس جمعي يُرمز له بـ${\displaystyle -a.}$هذا يعني أن${\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0}$لكل عدد حقيقي a .
• لكل عدد حقيقي غير صفري a معكوس ضربي يُرمز له بـ${\displaystyle a^{-1}}$أو${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}.}$هذا يعني أن${\displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=1}$لكل عدد حقيقي غير صفري a .
• يُشار إلى الطلب الكلي بـ${\displaystyle a<b.}$كونها ترتيبًا كليًا يعني أنها تتمتع بالخاصيتين التاليتين:

1. لأي عددين حقيقيين a و b ، يكون واحد فقط من${\displaystyle a<b}$،${\displaystyle \;a=b}$،${\displaystyle \;b<a}$هذا صحيح.
2. لو${\displaystyle a<b}$و${\displaystyle b<c,}$ثم${\displaystyle a<c}$.

• هذا الترتيب متوافق مع الجمع والضرب، مما يعني أن${\displaystyle a<b}$يشير إلى${\displaystyle a+c<b+c}$لكل عدد حقيقي c ، و${\displaystyle 0<ab}$يُستدل على ذلك من خلال${\displaystyle 0<a}$و${\displaystyle 0<b.}$

يمكن استنتاج العديد من الخصائص الأخرى من الخصائص المذكورة أعلاه. على وجه الخصوص:

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$لكل عدد حقيقي أ
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$لكل عدد حقيقي غير صفري أ

لا تُفرّق الخصائص السابقة بين الأعداد الحقيقية والأعداد النسبية . ويُوفّر هذا التمييز من خلال اكتمال ديديكيند ، الذي ينص على أن كل مجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية ذات حد أعلى تقبل حدًا أعلى أصغر . وهذا يعني ما يلي:

• مجموعة من الأعداد الحقيقية${\displaystyle S}$تكون محدودة من الأعلى إذا كان هناك عدد حقيقي${\displaystyle u}$بحيث${\displaystyle s\leq u}$للجميع${\displaystyle s\in S}$؛ مثل هذا${\displaystyle u}$يُطلق عليه الحد الأعلى لـ${\displaystyle S.}$لذا، فإن اكتمال ديديكيند يعني أنه إذا كانت S غير فارغة ومحدودة من الأعلى، فإن لها حدًا أعلى أقل من أي حد أعلى آخر.

إن اكتمال ديديكيند يستلزم أنواعًا أخرى من الاكتمال (انظر أدناه)، ولكنه ينطوي أيضًا على بعض العواقب المهمة.

• خاصية أرخميدس : لكل عدد حقيقي x ، يوجد عدد صحيح n بحيث${\displaystyle x<n}$(يأخذ${\displaystyle n=u+1,}$أين${\displaystyle u}$هو الحد الأعلى الأدنى للأعداد الصحيحة الأقل من x ).
• بصورة مكافئة، إذا كان x عددًا حقيقيًا موجبًا، فإنه يوجد عدد صحيح موجب n بحيث${\displaystyle 0<{\tfrac {1}{n}}<x}$.
• كل عدد حقيقي موجب x له جذر تربيعي موجب ، أي أنه يوجد عدد حقيقي موجب${\displaystyle r}$بحيث${\displaystyle r^{2}=x.}$
• كل متعددة حدود أحادية المتغير من الدرجة الفردية ذات المعاملات الحقيقية لها جذر حقيقي واحد على الأقل (إذا كان المعامل الرئيسي موجبًا، فخذ الحد الأعلى الأدنى للأعداد الحقيقية التي تكون قيمة متعددة الحدود سالبة عندها).

يمكن تلخيص الخاصيتين الأخيرتين بالقول إن الأعداد الحقيقية تُشكّل حقلاً مغلقاً حقيقياً . وهذا يستلزم الصيغة الحقيقية للنظرية الأساسية في الجبر ، وهي أن كل متعددة حدود ذات معاملات حقيقية يمكن تحليلها إلى متعددات حدود ذات معاملات حقيقية من الدرجة الثانية على الأكثر.

الطريقة الأكثر شيوعًا لوصف عدد حقيقي هي تمثيله العشري، وهو عبارة عن سلسلة من الأرقام العشرية، يمثل كل رقم منها حاصل ضرب عدد صحيح بين الصفر والتسعة في قوة من قوى العدد عشرة ، وتمتد هذه السلسلة إلى عدد محدود من قوى العدد عشرة الموجبة إلى اليسار، وعدد لا نهائي من قوى العدد عشرة السالبة إلى اليمين. بالنسبة للعدد x الذي يمتد تمثيله العشري إلى k خانة إلى اليسار، فإن الترميز القياسي هو وضع الأرقام جنبًا إلى جنب.${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,}$مرتبة تنازليًا حسب قوى العدد عشرة، مع فصل القوى غير السالبة والسالبة للعدد عشرة بنقطة عشرية ، مما يمثل السلسلة اللانهائية

${\displaystyle x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .}$

على سبيل المثال، بالنسبة لثابت الدائرة${\displaystyle \pi =3.14159\cdots ,}$قيمة k تساوي صفرًا و${\displaystyle b_{0}=3,}$${\displaystyle a_{1}=1,}$${\displaystyle a_{2}=4,}$إلخ.

بصورة أكثر رسمية، يتكون التمثيل العشري لعدد حقيقي غير سالب x من عدد صحيح غير سالب k وأعداد صحيحة بين الصفر والتسعة في المتتالية اللانهائية.

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .}$

(لو${\displaystyle k>0,}$ثم بحسب العرف${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$)

يُحدد هذا التمثيل العشري العدد الحقيقي باعتباره الحد الأعلى الأدنى للكسور العشرية التي يتم الحصول عليها عن طريق اقتطاع المتتالية: بالنظر إلى عدد صحيح موجب n ، فإن اقتطاع المتتالية عند الموضع n هو المجموع الجزئي المحدود

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}}$

العدد الحقيقي x المحدد بواسطة المتتالية هو الحد الأعلى الأدنى لـ${\displaystyle D_{n},}$وهو موجود بحسب اكتمال ديديكيند.

وعلى العكس من ذلك، إذا أعطينا عددًا حقيقيًا غير سالب x ، فيمكننا تعريف تمثيل عشري لـ x بالاستقراء ، كما يلي:

يُعرِّف${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$كتمثيل عشري لأكبر عدد صحيح${\displaystyle D_{0}}$بحيث${\displaystyle D_{0}\leq x}$(يوجد هذا العدد الصحيح بسبب خاصية أرخميدس). ثم، بافتراض بالاستقراء أن الكسر العشري${\displaystyle D_{i}}$تم تحديده لـ${\displaystyle i<n,}$يُعرّف المرء${\displaystyle a_{n}}$باعتباره أكبر رقم بحيث${\displaystyle D_{n-1}+{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}\leq a,}$ومجموعة واحدة${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+{\tfrac {a_{n}}{10^{n}}}.}$

يمكن استخدام الخصائص المميزة للأعداد الحقيقية لإثبات أن x هو الحد الأعلى الأدنى لـ${\displaystyle D_{n}.}$لذا، فإن التسلسل الناتج من الأرقام يسمى التمثيل العشري لـ x .

يمكن الحصول على تمثيل عشري آخر عن طريق استبدال${\displaystyle \leq x}$مع${\displaystyle <x}$في البناء السابق. هذان التمثيلان متطابقان، إلا إذا كان x كسرًا عشريًا من الشكل${\textstyle {\tfrac {m}{10^{h}}}.}$في هذه الحالة، في التمثيل العشري الأول، الكل${\displaystyle a_{n}}$صفر لـ${\displaystyle n>h,}$وفي التمثيل الثاني، كل${\displaystyle a_{n}}$9. (انظر 0.999... لمزيد من التفاصيل).

باختصار، هناك تقابل بين الأعداد الحقيقية والتمثيلات العشرية التي لا تنتهي بعدد لا نهائي من الرقم 9 في النهاية.

تنطبق الاعتبارات السابقة مباشرة على كل أساس عددي${\displaystyle B\geq 2,}$ببساطة عن طريق استبدال 10 بـ${\displaystyle B}$و9 مع${\displaystyle B-1.}$

أحد الأسباب الرئيسية لاستخدام الأعداد الحقيقية هو أن العديد من المتتاليات لها نهايات . وبشكل أكثر دقة، فإن الأعداد الحقيقية كاملة (بمعنى الفضاءات المترية أو الفضاءات المنتظمة ، وهو معنى مختلف عن اكتمال ديديكيند للترتيب في القسم السابق):

تسلسل​${\displaystyle (x_{n})}$تُسمى مجموعة الأعداد الحقيقية متتالية كوشي إذا كان لأي${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle N}$(ربما يعتمد على${\displaystyle \varepsilon }$) بحيث تكون المسافة${\displaystyle |x_{n}-x_{m}|}$أقل من${\displaystyle \varepsilon }$للجميع${\displaystyle n}$و${\displaystyle m}$كلاهما أكبر من${\displaystyle N}$هذا التعريف، الذي قدمه كوشي في الأصل ، يضفي طابعًا رسميًا على حقيقة أن${\displaystyle x_{n}}$في النهاية، يتقاربون ويظلون قريبين من بعضهم البعض بشكل عشوائي.

تسلسل${\displaystyle (x_{n})}$يتقارب إلى النهاية${\displaystyle x}$إذا ما اقتربت عناصرها في نهاية المطاف وبقيت قريبة بشكل تعسفي من${\displaystyle x}$أي، إن كان ذلك لأي سبب${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle N}$(ربما يعتمد على${\displaystyle \varepsilon }$) بحيث تكون المسافة${\displaystyle |x_{n}-x|}$أقل من${\displaystyle \varepsilon }$ل${\displaystyle n}$أكبر من${\displaystyle N}$.

كل متتالية متقاربة هي متتالية كوشي، والعكس صحيح بالنسبة للأعداد الحقيقية، وهذا يعني أن الفضاء الطوبولوجي للأعداد الحقيقية كامل.

مجموعة الأعداد النسبية غير مكتملة. على سبيل المثال، المتتالية (1؛ 1.4؛ 1.41؛ 1.414؛ 1.4142؛ 1.41421؛ ...)، حيث يضيف كل حد رقمًا من التمثيل العشري للجذر التربيعي الموجب للعدد 2، هي متتالية كوشي، لكنها لا تتقارب إلى عدد نسبي (في مجموعة الأعداد الحقيقية، على النقيض من ذلك، تتقارب إلى الجذر التربيعي الموجب للعدد 2).

تُعدّ خاصية اكتمال الأعداد الحقيقية الأساس الذي يقوم عليه علم التفاضل والتكامل ، وبشكل أعم التحليل الرياضي . وعلى وجه الخصوص، يسمح اختبار كون متتالية ما متتالية كوشي بإثبات أن للمتتالية نهاية، دون حسابها، بل وحتى دون معرفتها.

على سبيل المثال، المتسلسلة القياسية للدالة الأسية

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

يتقارب إلى عدد حقيقي لكل${\displaystyle x}$لأن المجاميع

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

يمكن تصغيرها بشكل تعسفي (بشكل مستقل عن${\displaystyle M}$) عن طريق الاختيار${\displaystyle N}$كبيرة بما يكفي. وهذا يثبت أن المتتالية من نوع كوشي، وبالتالي فهي متقاربة، مما يدل على أن${\displaystyle e^{x}}$محدد جيدًا لكل${\displaystyle x}$.

مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد ، بمعنى أنه بينما تُعتبر كل من مجموعة الأعداد الطبيعية {1، 2، 3، 4، ...} ومجموعة الأعداد الحقيقية مجموعات غير منتهية ، لا توجد دالة تقابلية من الأعداد الحقيقية إلى الأعداد الطبيعية. يُطلق على عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية اسم عدد عناصر المتصل ، ويُرمز له عادةً بـ${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$وهو أكبر بكثير من عدد عناصر مجموعة جميع الأعداد الطبيعية، والتي يُرمز لها بـ${\displaystyle \aleph _{0}}$وتسمى ألف-صفر أو ألف-لا شيء . عدد عناصر المتصل يساوي عدد عناصر مجموعة القوى للأعداد الطبيعية، أي مجموعة جميع المجموعات الجزئية للأعداد الطبيعية.

القول بأنه لا يوجد عدد أكبر من عدد معين${\displaystyle \aleph _{0}}$وأصغر من ذلك بكثير${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$تُعرف هذه الفرضية بفرضية الاستمرارية (CH). نظام البديهيات الأكثر شيوعًا في الرياضيات، وهو نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC)، غير كافٍ لتحديد ما إذا كانت فرضية الاستمرارية صحيحة أم لا: بافتراض أن نظرية زيرميلو-فرانكل متسقة، لا يمكن إثبات فرضية الاستمرارية أو دحضها ضمن نظرية زيرميلو-فرانكل، لأن بعض نماذج نظرية زيرميلو-فرانكل تحقق فرضية الاستمرارية، بينما يخالفها البعض الآخر. ^{[ 2 ]}

باعتبارها فضاءً طوبولوجيًا، فإن الأعداد الحقيقية قابلة للفصل . ويعود ذلك إلى أن مجموعة الأعداد النسبية، وهي مجموعة قابلة للعد، كثيفة في الأعداد الحقيقية. أما الأعداد غير النسبية فهي أيضًا كثيفة في الأعداد الحقيقية، إلا أنها غير قابلة للعد ولها نفس عدد عناصر الأعداد الحقيقية.

تشكل الأعداد الحقيقية فضاءً متريًا : المسافة بين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يُعرَّف بأنه القيمة المطلقة${\displaystyle |x-y|}$نظرًا لكونها مجموعة مرتبة كليًا، فإنها تحمل أيضًا طوبولوجيا ترتيبية ؛ فالطوبولوجيا الناشئة عن المقياس والطوبولوجيا الناشئة عن الترتيب متطابقتان، لكنهما تُقدمان تمثيلات مختلفة للطوبولوجيا - في طوبولوجيا الترتيب كفترات مرتبة، وفي طوبولوجيا المقياس ككرات إبسيلون. يستخدم بناء قطوع ديديكيند تمثيل طوبولوجيا الترتيب، بينما يستخدم بناء متتاليات كوشي تمثيل طوبولوجيا المقياس. تُشكل الأعداد الحقيقية فضاءً متريًا قابلًا للانكماش (وبالتالي متصلًا ومتصلًا ببساطة )، وقابلًا للفصل ، وكاملًا، ذو بُعد هاوسدورف  1. الأعداد الحقيقية متراصة محليًا ولكنها ليست متراصة . هناك خصائص مختلفة تُحددها بشكل فريد؛ على سبيل المثال، جميع طوبولوجيات الترتيب غير المحدودة والمتصلة والقابلة للفصل متماثلة بالضرورة مع الأعداد الحقيقية.

كل عدد حقيقي غير سالب له جذر تربيعي في${\displaystyle \mathbb {R} }$، على الرغم من أن أي عدد سالب لا يفعل ذلك. وهذا يدل على أن الترتيب على${\displaystyle \mathbb {R} }$يتحدد ذلك من خلال بنيته الجبرية. كذلك، فإن كل متعددة حدود من الدرجة الفردية تقبل جذرًا حقيقيًا واحدًا على الأقل: هاتان الخاصيتان تجعلان${\displaystyle \mathbb {R} }$المثال الأبرز لحقل مغلق حقيقي . إثبات ذلك هو النصف الأول من أحد براهين النظرية الأساسية في الجبر .

تحمل الأعداد الحقيقية مقياسًا قانونيًا ، وهو مقياس ليبيغ ، وهو مقياس هار على بنيتها كمجموعة طوبولوجية مُعَيَّرة بحيث تكون الفترة 1${\displaystyle [0;1]}$لها قياس 1. توجد مجموعات من الأعداد الحقيقية غير قابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ، على سبيل المثال مجموعات فيتالي .

تُشير بديهية القيمة العليا للأعداد الحقيقية إلى مجموعات جزئية من الأعداد الحقيقية، ولذلك فهي عبارة منطقية من الدرجة الثانية. لا يُمكن وصف الأعداد الحقيقية باستخدام منطق الدرجة الأولى وحده: إذ تُشير نظرية لوفنهايم-سكوليم إلى وجود مجموعة جزئية كثيفة قابلة للعد من الأعداد الحقيقية تُحقق نفس الجمل المنطقية من الدرجة الأولى التي تُحققها الأعداد الحقيقية نفسها. تُحقق مجموعة الأعداد الفائقة الحقيقية نفس الجمل المنطقية من الدرجة الأولى.${\displaystyle \mathbb {R} }$الحقول المرتبة التي تحقق نفس جمل الرتبة الأولى مثل${\displaystyle \mathbb {R} }$تُسمى هذه النماذج غير القياسية بـ${\displaystyle \mathbb {R} }$هذا ما يجعل التحليل غير القياسي فعالاً؛ من خلال إثبات عبارة من الدرجة الأولى في نموذج غير قياسي (والذي قد يكون أسهل من إثباتها في${\displaystyle \mathbb {R} }$نعلم أن العبارة نفسها يجب أن تكون صحيحة أيضًا بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

المجال​${\displaystyle \mathbb {R} }$حقل الأعداد الحقيقية هو حقل امتداد للحقل${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية، و${\displaystyle \mathbb {R} }$وبالتالي يمكن اعتبارها فضاءً متجهيًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$تضمن نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، مع بديهية الاختيار، وجود أساس لهذا الفضاء المتجهي: توجد مجموعة B من الأعداد الحقيقية بحيث يمكن كتابة كل عدد حقيقي بشكل فريد كتركيبة خطية منتهية لعناصر هذه المجموعة، باستخدام معاملات نسبية فقط، وبحيث لا يوجد عنصر من B كتركيبة خطية نسبية للعناصر الأخرى. مع ذلك، فإن نظرية الوجود هذه نظرية بحتة، إذ لم يتم وصف مثل هذا الأساس بشكل صريح.

تنص نظرية الترتيب الجيد على أنه يمكن ترتيب الأعداد الحقيقية ترتيبًا جيدًا إذا افترضنا بديهية الاختيار: يوجد ترتيب كلي على${\displaystyle \mathbb {R} }$مع الخاصية التي تكون فيها كل مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle \mathbb {R} }$يحتوي على عنصر أصغر في هذا الترتيب. (الترتيب القياسي)${\displaystyle \leq }$لا يُعدّ ترتيب الأعداد الحقيقية ترتيبًا جيدًا، إذ على سبيل المثال، لا تحتوي الفترة المفتوحة على أصغر عنصر في هذا الترتيب. ومرة ​​أخرى، فإن وجود مثل هذا الترتيب الجيد هو أمر نظري بحت، لأنه لم يُوصف صراحةً. إذا افترضنا بديهية قابلية الإنشاء بالإضافة إلى بديهيات ZF، فيمكن إثبات إمكانية تعريف ترتيب جيد للأعداد الحقيقية صراحةً بصيغة رياضية. ^{[ 3 ]}

قد يكون العدد الحقيقي قابلاً للحساب أو غير قابل للحساب؛ إما عشوائياً خوارزمياً أو لا؛ وإما عشوائياً حسابياً أو لا.

استخدم المصريون الكسور البسيطة حوالي عام 1000  قبل الميلاد؛ وتضمنت " شولبا سوتراس " الفيدية ("قواعد الأوتار")، التي تعود إلى حوالي عام 600 قبل الميلاد، ما قد يكون أول استخدام للأعداد غير النسبية. وقد تقبّل علماء الرياضيات الهنود الأوائل ، مثل مانافا ( حوالي 750-690 قبل الميلاد) ، مفهوم اللاعقلانية ضمنيًا ، إذ كان يدرك أن الجذور التربيعية لبعض الأعداد، مثل 2 و61، لا يمكن تحديدها بدقة. ^{[ 4 ]}

في حوالي عام 500  قبل الميلاد، أدرك علماء الرياضيات اليونانيون بقيادة فيثاغورس أيضًا أن الجذر التربيعي للعدد 2 هو عدد غير نسبي.

بالنسبة للرياضيين اليونانيين، كانت الأعداد تقتصر على الأعداد الطبيعية . أما الأعداد الحقيقية فكانت تُسمى "نسبًا"، وهي نسب طولين، أو بعبارة أخرى، قياسات طول بدلالة طول آخر يُسمى وحدة الطول. ويُقال إن طولين "متناسبان" إذا وُجدت وحدة قياس يُقاس بها كلاهما بأعداد صحيحة، أي، بلغة العصر الحديث، إذا كانت نسبتهما عددًا نسبيًا . وقدّم إيدوكسوس الكنيدي (حوالي 390-340 قبل الميلاد) تعريفًا لتساوي نسبتين غير نسبيتين بطريقة مشابهة لتقسيمات ديديكيند (التي طُرحت بعد أكثر من 2000 عام)، إلا أنه لم يستخدم أي عملية حسابية سوى ضرب طول في عدد طبيعي (انظر إيدوكسوس الكنيدي ). ويمكن اعتبار هذا التعريف أول تعريف للأعداد الحقيقية.

شهدت العصور الوسطى قبول الصفر والأعداد السالبة والأعداد الصحيحة والأعداد الكسرية ، أولًا على يد علماء الرياضيات الهنود والصينيين ، ثم على يد علماء الرياضيات العرب ، الذين كانوا أيضًا أول من تعامل مع الأعداد غير النسبية ككائنات جبرية (وقد أصبح ذلك ممكنًا بفضل تطور علم الجبر). ^{[ 5 ]} دمج علماء الرياضيات العرب مفهومي " العدد " و" المقدار " في فكرة أعمّ للأعداد الحقيقية. ^{[ 6 ]} كان عالم الرياضيات المصري أبو كامل شجاع بن أسلم ( حوالي 850-930) أول من قبل الأعداد غير النسبية كحلول للمعادلات التربيعية ، أو كمعاملات في معادلة (غالبًا في صورة جذور تربيعية، وجذور تكعيبية ، وجذور رابعة ). ^{[ 7 ]} في أوروبا، كانت هذه الأعداد، التي لا تتناسب مع الوحدة العددية، تُسمى أعدادًا غير نسبية أو أصماء .

في القرن السادس عشر، وضع سيمون ستيفن الأساس للتدوين العشري الحديث ، وأصر على أنه لا يوجد فرق بين الأعداد النسبية وغير النسبية في هذا الصدد.

في القرن السابع عشر، قدم ديكارت مصطلح "الحقيقي" لوصف جذور كثير الحدود ، وتمييزها عن الأعداد "التخيلية".

في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، بُذلت جهودٌ حثيثةٌ لدراسة الأعداد غير النسبية والمتسامية. قدّم لامبرت (1761) برهانًا معيبًا يُثبت أن π لا يمكن أن يكون عددًا نسبيًا؛ ^أكمل ليجندر (1794) البرهان ^{[ 8 ]} وأظهر أن π ليس الجذر التربيعي لعدد نسبي. ^{[ 9 ]} بيّن ليوفيل (1840) أن e و e² لا يمكن أن يكونا جذرًا لمعادلة تربيعية صحيحة ، ثم أثبت وجود الأعداد المتسامية؛ وسّع كانتور (1873) هذا البرهان وبسّطه بشكل كبير. ^{[ 10 ]} أثبت هيرميت (1873) أن e عدد متسامٍ، وأظهر ليندمان (1882) أن π عدد متسامٍ. وقد بسّط فايرشتراس (1885 ⁾ وهيلبرت (1893) وهورويتز [ ^{11 ]} وجوردان برهان ليندمان بشكل كبير . ^{[ 12 ]}

كان مفهوم وجود نقاط متعددة بين الأعداد النسبية، مثل الجذر التربيعي للعدد 2، معروفًا جيدًا لدى الإغريق القدماء. واعتُبر وجود خط أعداد متصل أمرًا بديهيًا، لكن طبيعة هذا الاتصال، الذي يُسمى حاليًا بالاكتمال ، لم تكن مفهومة. ولم ينتقل الصرامة التي طُوّرت في الهندسة إلى مفهوم الأعداد إلا في القرن التاسع عشر الميلادي. ^{[ 13 ]}

نظام الأعداد الحقيقية${\displaystyle (\mathbb {R}$ يمكن تعريف ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})} بديهيًا حتى التشاكل ، والذي سيتم شرحه لاحقًا. توجد أيضًا طرق عديدة لبناء نظام الأعداد الحقيقية، ومن الطرق الشائعة البدء بالأعداد الطبيعية، ثم تعريف الأعداد النسبية جبريًا، وأخيرًا تعريف الأعداد الحقيقية كفئات تكافؤ لمتتاليات كوشي الخاصة بها أو كقطاعات ديديكيند، وهي مجموعات جزئية معينة من الأعداد النسبية. ^{[ 16 ]} وهناك طريقة أخرى تتمثل في البدء ببعض البديهيات الدقيقة للهندسة الإقليدية (مثل هندسة هيلبرت أو تارسكي )، ثم تعريف نظام الأعداد الحقيقية هندسيًا. وقد ثبت أن جميع هذه الطرق لبناء الأعداد الحقيقية متكافئة، بمعنى أن أنظمة الأعداد الناتجة متماثلة .

يُرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الحقيقية بالرمز التالي:${\displaystyle \mathbb {R} }$( خط غامق للسبورة ) أو R (خط غامق عمودي). ^{[ 22 ]}

وبما أنه يتمتع بشكل طبيعي ببنية الحقل ، فإن مصطلح حقل الأعداد الحقيقية يستخدم بشكل متكرر عند دراسة خصائصه الجبرية.

غالباً ما يُشار إلى مجموعات الأعداد الحقيقية الموجبة والأعداد الحقيقية السالبة${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$، ^{[ 23 ]} على التوالي؛${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$و${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$تُستخدم أيضًا. ^{[ 24 ]} يمكن الإشارة إلى الأعداد الحقيقية غير السالبة.${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$لكن غالباً ما نرى هذه المجموعة مُشار إليها${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$^{[ 23 ]}

الترميز${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يشير إلى مجموعة العناصر المكونة من n عنصرًا من${\displaystyle \mathbb {R} }$( الفضاء الإحداثي الحقيقي )، والذي يمكن تحديده على أنه حاصل الضرب الديكارتي لعدد n من نسخ${\displaystyle \mathbb {R} .}$هو فضاء متجهي ذو بُعد n على حقل الأعداد الحقيقية، ويُسمى غالبًا فضاء الإحداثيات ذي البُعد n ؛ ويمكن مطابقة هذا الفضاء مع الفضاء الإقليدي ذي البُعد n بمجرد اختيار نظام إحداثيات ديكارتية فيه. في هذه المطابقة، تُعرَّف نقطة في الفضاء الإقليدي بمجموعة إحداثياتها الديكارتية .

في الرياضيات ، تُستخدم كلمة "حقيقي" كصفة، بمعنى أن الحقل الأساسي هو حقل الأعداد الحقيقية (أو الحقل الحقيقي ). على سبيل المثال، المصفوفة الحقيقية ، ومتعددة الحدود الحقيقية ، وجبر لي الحقيقي . كما تُستخدم الكلمة أيضًا كاسم ، بمعنى عدد حقيقي (كما في "مجموعة جميع الأعداد الحقيقية").

يمكن تعميم الأعداد الحقيقية وتوسيعها في عدة اتجاهات مختلفة:

• تحتوي الأعداد المركبة على حلول لجميع المعادلات متعددة الحدود، وبالتالي فهي حقل مغلق جبريًا على عكس الأعداد الحقيقية. ومع ذلك، فإن الأعداد المركبة ليست حقلًا مرتبًا.
• يجمع نظام الأعداد الحقيقية الممتد خطيًا عنصرين +∞ و −∞ . وهو فضاء متراص . لم يعد حقلًا، ولا حتى زمرة جمعية، ولكنه لا يزال يتمتع بترتيب كلي؛ علاوة على ذلك، فهو شبكة كاملة .
• لا يضيف الخط الإسقاطي الحقيقي سوى قيمة واحدة ∞ . وهو أيضًا فضاء متراص. ومرة ​​أخرى، لم يعد حقلًا، ولا حتى زمرة جمعية. ومع ذلك، فهو يسمح بقسمة عنصر غير صفري على صفر. وله ترتيب دوري، وتُوصَف طوبولوجيته بفصل أزواج النقاط .
• الخط الحقيقي الطويل يلتصق ببعضه${\displaystyle \aleph _{1}^{*}+\aleph _{1}}$نسخ من الخط الحقيقي بالإضافة إلى نقطة واحدة (هنا)${\displaystyle \aleph _{1}^{*}}$يشير إلى الترتيب المعكوس لـ${\displaystyle \aleph _{1}}$) لإنشاء مجموعة مرتبة مطابقة "محليًا" للأعداد الحقيقية، ولكنها أطول بطريقة ما؛ على سبيل المثال، يوجد تضمين يحافظ على الترتيب لـ${\displaystyle \aleph _{1}}$تقع هذه المجموعة في خط الأعداد الحقيقية الطويل، ولكنها لا تقع في مجموعة الأعداد الحقيقية. خط الأعداد الحقيقية الطويل هو أكبر مجموعة مرتبة كاملة ومحلية أرخميدية. وكما هو الحال في المثالين السابقين، فإن هذه المجموعة لم تعد حقلاً أو زمرة جمعية.
• الحقول المرتبة التي تمتد إلى الأعداد الحقيقية هي الأعداد الفائقة الحقيقية والأعداد السريالية ؛ كلاهما يحتوي على أعداد متناهية الصغر وأعداد كبيرة بشكل لا نهائي، وبالتالي فهما حقول مرتبة غير أرخميدية .
• تُعمم المؤثرات ذاتية الترافق على فضاء هيلبرت (مثل المصفوفات المركبة المربعة ذاتية الترافق ) الأعداد الحقيقية من نواحٍ عديدة: فهي قابلة للترتيب (وإن لم تكن مرتبة ترتيبًا تامًا)، وهي كاملة، وجميع قيمها الذاتية حقيقية، وتشكل جبرًا ترابطيًا حقيقيًا . وتُقابل المؤثرات الموجبة المحددة الأعداد الحقيقية الموجبة، بينما تُقابل المؤثرات العادية الأعداد المركبة.

• اكتمال الأعداد الحقيقية
• الكسر المستمر
• أعداد حقيقية قابلة للتحديد
• الأعداد الحقيقية الموجبة
• التحليل الحقيقي

• "الأعداد الحقيقية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]