تفرد BKL

في دراستهما عام 1970، ^{[ 2 ]} ذكر BKL أنه مع اقترابنا من نقطة تفرد، تطغى الحدود التي تحتوي على مشتقات زمنية في معادلات أينشتاين على تلك التي تحتوي على مشتقات مكانية . عُرف هذا منذ ذلك الحين باسم حدسية BKL ، ويشير إلى أن المعادلات التفاضلية الجزئية لأينشتاين تُقارب جيدًا بالمعادلات التفاضلية العادية ، ومن ثم تصبح ديناميكيات النسبية العامة محلية وتذبذبية بشكل فعلي. ويُقارب التطور الزمني للحقول عند كل نقطة مكانية جيدًا بواسطة النماذج الكونية المتجانسة في تصنيف بيانكي.

بفصل مشتقات الزمان والمكان في معادلات أينشتاين، على سبيل المثال، بالطريقة المستخدمة في تصنيف الفضاءات المتجانسة ، ثم جعل الحدود التي تحتوي على مشتقات مكانية تساوي صفرًا، يمكن تعريف ما يُسمى بالنظرية المبتورة للنظام (المعادلات المبتورة). ^{[ 20 ]} عندئذٍ، يمكن جعل فرضية BKL أكثر تحديدًا:

الفرضية الضعيفة : عند الاقتراب من نقطة التفرد، تصبح الحدود التي تحتوي على مشتقات مكانية في معادلات أينشتاين ضئيلة مقارنةً بالحدود التي تحتوي على مشتقات زمنية. وبالتالي، عند الاقتراب من نقطة التفرد، تقترب معادلات أينشتاين من تلك التي تم التوصل إليها بجعل حدود المشتقات تساوي صفرًا. وعليه، تنص الفرضية الضعيفة على أنه يمكن تقريب معادلات أينشتاين بشكل جيد بواسطة المعادلات المقتطعة في جوار نقطة التفرد. تجدر الإشارة إلى أن هذا لا يعني أن حلول معادلات الحركة الكاملة ستقترب من حلول المعادلات المقتطعة عند الاقتراب من نقطة التفرد. هذا الشرط الإضافي مُضمّن في الصيغة القوية كما يلي.

تخمين قوي : مع اقتراب التفرد، تقترب معادلات أينشتاين من معادلات النظرية المقتطعة، بالإضافة إلى أن حلول المعادلات الكاملة يتم تقريبها بشكل جيد بواسطة حلول المعادلات المقتطعة.

في البداية، بدت فرضية BKL معتمدة على الإحداثيات وغير معقولة إلى حد ما. فعلى سبيل المثال، أشار بارو وتيبلر ^{[ 21 ] [ 22 ]} ، ضمن عشرة انتقادات لدراسات BKL، إلى عدم ملاءمة (برأيهما) اختيار الإطار المتزامن كوسيلة لفصل مشتقات الزمان والمكان. وقد أُعيدت صياغة فرضية BKL أحيانًا في الأدبيات العلمية على أنها تنص على أن مشتقات الزمان فقط هي المهمة بالقرب من التفرد. إلا أن هذا الادعاء، إذا أُخذ حرفيًا، خاطئ أو مضلل في أحسن الأحوال، إذ كما هو موضح في تحليل BKL نفسه، لا يمكن إهمال التدرجات المكانية لموتر القياس في الحلول العامة لجاذبية أينشتاين الخالصة في أربعة أبعاد مكانية-زمانية، بل إنها تلعب دورًا حاسمًا في ظهور النظام التذبذبي. مع ذلك، توجد صياغات جديدة لنظرية أينشتاين بدلالة متغيرات جديدة تتضمن التدرجات ذات الصلة، كما في متغيرات أشتيكار، والتي يكون فيها القول حول الدور المهيمن للمشتقات الزمنية صحيحًا. ^{[ 20 ]} صحيح أنه عند كل نقطة مكانية نحصل على وصف فعال للتفرد بدلالة نظام ديناميكي محدود الأبعاد موصوف بمعادلات تفاضلية عادية بالنسبة للزمن، لكن التدرجات المكانية تدخل هذه المعادلات بشكل غير بديهي.

أظهرت تحليلات لاحقة أجراها عدد كبير من الباحثين إمكانية تحديد فرضية BKL بدقة، ويوجد الآن كمٌّ هائل من الأدلة العددية والتحليلية التي تدعمها. ^{[ 23 ]} من الإنصاف القول إننا ما زلنا بعيدين عن إثبات هذه الفرضية القوية. ولكن تم إحراز تقدم ملحوظ في النماذج الأبسط. على وجه الخصوص، بيّن بيرغر، وغارفينكل، ومونكريف، وإيزنبرغ، وويفر، وآخرون أنه في فئة من النماذج، مع اقترابنا من التفرد، تقترب حلول معادلات أينشتاين الكاملة للمجال من الحلول "المُهيمن عليها حد السرعة" (المُقتطعة) التي تم الحصول عليها بإهمال المشتقات المكانية. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]} أظهر أندرسون وريندال ^{[ 28 ]} أنه بالنسبة للجاذبية المقترنة بحقل قياسي عديم الكتلة أو مائع صلب، فإنه لكل حل للمعادلات المقتطعة يوجد حل لمعادلات الحقل الكاملة يتقارب مع الحل المقتطع عند الاقتراب من التفرد، حتى في غياب التناظرات. وقد عُممت هذه النتائج لتشمل أيضًا حقول القياس من النوع p . ^{[ 29 ]} في هذه النماذج المقتطعة، تكون الديناميكيات أبسط، مما يسمح بصياغة دقيقة للفرضية التي يمكن إثباتها. في الحالة العامة، يأتي أقوى دليل حتى الآن من التطورات العددية. بدأ بيرغر ومونكريف ^{[ 30 ]} برنامجًا لتحليل التفردات الكونية العامة. بينما ركز العمل الأولي على حالات التناظر المختزل، ^{[ 31 ]} قام غارفينكل مؤخرًا ^{[ 32 ]} بإجراء تطور عددي لزمكانات بلا تناظرات، حيث يظهر سلوك الميكس ماستر بوضوح. أخيرًا، جاء دعم إضافي للفرضية من دراسة عددية لسلوك حقول الاختبار بالقرب من تفرد ثقب أسود شوارزشيلد. ^{[ 33 ]}

يبدأ منهج BKL للفضاءات المتجانسة غير المتناحية (على عكس المتناحية) بتعميم حل خاص دقيق اشتقه كاسنر ^{[ 34 ]} لحقل في الفراغ، حيث يكون الفضاء متجانسًا وله مقياس إقليدي يعتمد على الزمن وفقًا لمقياس كاسنر.

${\displaystyle dl^{2}=t^{2p_{1}}dx^{2}+t^{2p_{2}}dy^{2}+t^{2p_{3}}dz^{2}}$

المعادلة 2

( dl هو عنصر الخط ؛ dx و dy و dz هي إزاحات متناهية الصغر في الأبعاد المكانية الثلاثة ، و t هو الفترة الزمنية المنقضية منذ لحظة ابتدائية t₀ = ₀ ). هنا، p₁ و p₂ _و p₃ _هي أي ثلاثة _أعداد تحقق شروط كاسنر التالية

${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=1.}$

المعادلة 3

بسبب هذه العلاقات، يكون عدد واحد فقط من الأعداد الثلاثة مستقلاً ( معادلتان بثلاثة مجاهيل ). لا تتطابق الأعداد الثلاثة أبدًا؛ يتطابق عددان فقط في مجموعات القيم.${\textstyle (-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{3}})}$و(0، 0، 1). ^{[ ملاحظة 4 ]} في جميع الحالات الأخرى، تكون الأرقام مختلفة، أحدها سالب والآخران موجبان. وقد تم إثبات ذلك جزئيًا بتربيع طرفي المعادلة 3 ( الشرط الأول ) ثم فك التربيع.

${\displaystyle \left(p_{1}+p_{2}+p_{3}\right)^{2}=\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\left(2p_{1}p_{2}+2p_{2}p_{3}+2p_{1}p_{3}\right)=1}$

على المدى${\displaystyle \left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)}$يساوي 1 وفقًا للشرط الثاني في المعادلة 3، _{وبالتالي} يجب أن يكون الحد الذي يحتوي على نواتج مختلطة مساويًا للصفر. وهذا ممكن إذا كان أحد الحدود p1 أو p2 _أو p3 _على الأقل سالبًا.

إذا تم ترتيب الأرقام بترتيب تصاعدي، p ₁ < p ₂ < p ₃ ، فإنها تتغير في الفترات (الشكل 4).

${\displaystyle {\begin{matrix}-{\tfrac {1}{3}}\leq p_{1}\leq 0,\\\ 0\leq p_{2}\leq {\tfrac {2}{3}},\\{\frac {2}{3}}\leq p_{3}\leq 1.\end{matrix}}}$

المعادلة 4

تُقابل معادلة كاسنر ( 2) فضاءً مسطحًا متجانسًا ولكنه غير متناحٍ، حيث تزداد جميع الأحجام مع الزمن بحيث تزداد المسافات الخطية على طول المحورين y و z بينما تتناقص المسافة على طول المحور x . تُسبب اللحظة t = 0 حالةً شاذةً في الحل؛ ولا يمكن تجنب هذه الحالة الشاذة في المقياس عند t = 0 بأي تحويل إطار مرجعي. عند هذه الحالة الشاذة، تؤول ثوابت موتر الانحناء رباعي الأبعاد إلى اللانهاية. ويُستثنى من ذلك الحالة p₁ = p₂ = 0، _p₃ = 1؛ إذ تُقابل هذه القيم فضاءً زمكانيًا مسطحًا: يُحوّل التحويل t = _sh z = ζ، t = _ch z = τ مقياس كاسنر ( المعادلة 2 ) إلى مقياس غاليلي .

تُحدد BKL الأعداد p1 _و p2 _و p3 بدلالة مُعامل واحد مستقل ( _{حقيقي )} u (معامل Lifshitz-Khalatnikov [ ^{35 ] )} على النحو التالي

${\displaystyle p_{1}(u)={\frac {-u}{1+u+u^{2}}},\ p_{2}(u)={\frac {1+u}{1+u+u^{2}}},\ p_{3}(u)={\frac {u(1+u)}{1+u+u^{2}}}}$

المعادلة 5

تبدو معلمات مؤشر كاسنر غامضة حتى نتأمل في القيدين المفروضين على المؤشرات (المعادلة 3) . يحدد هذان القيدان المقياس الكلي للمؤشرات بحيث لا تتغير إلا نسبها _. من الطبيعي اختيار إحدى هذه النسب كمعلمة جديدة، وهو ما يمكن فعله بست طرق مختلفة. على سبيل المثال، باختيار _u = u₃² = p₃ / p₂ ، _يصبح من السهل التعبير عن جميع النسب الست الممكنة بدلالة هذه النسبة. بحذف p₃ = u₂² أولًا _، ثم باستخدام القيد الخطي لحذف _{p₁ = 1} − _p₂ − _u₂² = 1 − (1 + u ₎ p₂ ، يختزل القيد التربيعي إلى معادلة تربيعية _في p₂

${\displaystyle \left[1-\left(1+u\right)p_{2}\right]^{2}+p_{2}^{2}+\left(up_{2}\right)^{2}=1}$

المعادلة 5أ

بجذور p₂ = 0 (بديهي) و _{p₂ =} ( 1 + u) / (1 + u + u₂)، ومنها يتم الحصول على p₁ و p₃ بالتعويض العكسي . يمكن تعريف ستة ^{معاملات} من هذا النوع uₑ ₌ pₐ / pₑ ، حيث pₑ ≤ pₑ _{≤ pₐ} عندما يكون ( _c , b _, a ) تبديلاً دورياً لـ ( 1 _, 2 , 3 ₎ ^. _[ ^{36 ]}

يتم الحصول على جميع القيم المختلفة لـ p1 _و p2 _و p3 ، مرتبة كما سبق _{، عندما تكون} قيمة u ضمن النطاق u ≥ 1. أما القيم u < 1 فتُوضع ضمن هذا النطاق وفقًا لـ

${\displaystyle p_{1}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{1}(u),\ p_{2}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{3}(u),\ p_{3}\left({\frac {1}{u}}\right)=p_{2}(u)}$

المعادلة 6

في الحل المعمم، ينطبق الشكل المقابل للمعادلة 2 فقط على المقياس التقاربي (المقياس القريب من النقطة الشاذة t = 0)، وعلى الحدود الرئيسية لتوسيع متسلسلته بدلالة قوى t . في إطار المرجع المتزامن، يُكتب على شكل المعادلة 1 مع عنصر مسافة مكانية .

${\displaystyle dl^{2}=\left(a^{2}l_{\alpha }l_{\beta }+b^{2}m_{\alpha }m_{\beta }+c^{2}n_{\alpha }n_{\beta }\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }}$

المعادلة 7

أين

${\displaystyle a=t^{p_{l}},\ b=t^{p_{m}},\ c=t^{p_{n}}}$

المعادلة 8

تُحدد المتجهات ثلاثية الأبعاد l و m و n الاتجاهات التي تتغير بها المسافة المكانية مع الزمن وفقًا لقوانين القوى في المعادلة 8. هذه المتجهات ، بالإضافة إلى الأعداد p_{_l} و p_{_m} و p_{_n}، المرتبطة، كما في السابق، بالمعادلة 3 ، هي دوال لإحداثيات المكان. لا تُرتَّب القوى p_{_l} و p_{_m} و p_{_n} بترتيب تصاعدي، مع الاحتفاظ بالرموز p _₁ و p_₂ و p_₃ للأعداد في المعادلة 5 التي تبقى مرتبة بترتيب تصاعدي. مُحدِّد المقياس في المعادلة 7 هو

${\displaystyle -g=a^{2}b^{2}c^{2}v^{2}=t^{2}v^{2}}$

المعادلة 9

حيث v = l [ mn ]. من الملائم إدخال الكميات التالية ^{[ ملاحظة 5 ]}

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {l} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {l} }{v}},\ \mu ={\frac {\mathbf {m} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {m} }{v}},\ \nu ={\frac {\mathbf {n} \ \mathrm {curl} \ \mathbf {n} }{v}}.}$

المعادلة 10

إن المقياس المكاني في المعادلة 7 غير متناحٍ لأن قوى t في المعادلة 8 لا يمكن أن تتساوى قيمها. عند الاقتراب من نقطة التفرد عند t = 0، تتناقص المسافات الخطية في كل عنصر مكاني في اتجاهين وتزداد في الاتجاه الثالث. ويتناقص حجم العنصر بما يتناسب مع t .

يتم إدخال مقياس كاسنر في معادلات أينشتاين عن طريق استبدال موتر المقياس γ _αβ من المعادلة 7 دون تحديد مسبق لاعتماد a و b و c على t : ^{[ ملاحظة 2 ]}

${\displaystyle \varkappa _{\alpha }^{\beta }={\frac {2{\dot {a}}}{a}}l_{\alpha }l^{\beta }+{\frac {2{\dot {b}}}{b}}m_{\alpha }m^{\beta }+{\frac {2{\dot {c}}}{c}}n_{\alpha }n^{\beta }}$

حيث تشير النقطة فوق الرمز إلى التفاضل بالنسبة للزمن. تأخذ معادلة أينشتاين (المعادلة 11) الشكل التالي:

${\displaystyle -R_{0}^{0}={\frac {\ddot {a}}{a}}+{\frac {\ddot {b}}{b}}+{\frac {\ddot {c}}{c}}=0.}$

المعادلة 14

جميع حدودها من الرتبة الثانية بالنسبة للكمية الكبيرة (عند t → 0) 1/ t . في معادلات أينشتاين (المعادلة 12) ، لا تظهر الحدود من هذه الرتبة إلا من الحدود المشتقة زمنيًا. إذا لم تتضمن مركبات P _{αβ حدودًا من رتبة أعلى من الثانية، فإن}

${\displaystyle -R_{l}^{l}={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{m}^{m}={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}=0,\ -R_{n}^{n}={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}=0}$

المعادلة 15

حيث تشير المؤشرات l و m و n إلى مكونات الموتر في الاتجاهات l و m و n . ^{[ 12 ]} هذه المعادلات بالإضافة إلى المعادلة 14 تعطي التعبيرات المعادلة 8 مع قوى تحقق المعادلة 3 .

مع ذلك، فإن وجود قوة سالبة واحدة بين القوى الثلاث p _{_l} و p_{_m} و p_{_n} يؤدي إلى ظهور حدود من P _{_αβ} برتبة أكبر من t ^{^-2} . إذا كانت القوة السالبة هي p _{_l} ( حيث p _{_l} = p _₁ < 0)، فإن P _{_αβ} تحتوي على دالة الإحداثيات λ، وتصبح المعادلة 12 كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}-R_{l}^{l}&={\frac {({\dot {a}}bc){\dot {}}}{abc}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{m}^{m}&={\frac {(a{\dot {b}}c){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0,\\-R_{n}^{n}&={\frac {(ab{\dot {c}}){\dot {}}}{abc}}-{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{2b^{2}c^{2}}}=0.\\\end{aligned}}}$

المعادلة 16

هنا، الحدود الثانية من الرتبة t ^{−2( p _m + p _n − p _l )} حيث p _m + p _n − p _l = 1 + 2 | p _l | > 1. ^{[ ملاحظة 6 ]} لإزالة هذه الحدود واستعادة المعادلة المترية 7 ، من الضروري فرض الشرط λ = 0 على دوال الإحداثيات.

تحتوي معادلات أينشتاين الثلاث المتبقية (المعادلة 13) على مشتقات زمنية من الرتبة الأولى فقط لموتر القياس. وهي تُعطي ثلاث علاقات مستقلة عن الزمن يجب فرضها كشروط ضرورية على دوال الإحداثيات في المعادلة 7. هذا، بالإضافة إلى الشرط λ = 0، يُشكّل أربعة شروط. تربط هذه الشروط عشر دوال إحداثيات مختلفة: ثلاثة مركبات لكل من المتجهات l و m و n ، ودالة واحدة في قوى t (أي من الدوال p _{_l} و p_{_m} و p_{_n} ، والتي تُقيّدها الشروط في المعادلة 3 ). عند حساب عدد الدوال الفيزيائية العشوائية، يجب مراعاة أن النظام المتزامن المستخدم هنا يسمح بتحويلات عشوائية مستقلة عن الزمن للإحداثيات المكانية الثلاث. لذلك، يحتوي الحل النهائي على 10 - 4 - 3 = 3 دوال فيزيائية عشوائية، وهو أقل بواحدة مما هو مطلوب للحل العام في الفراغ.

لا ينقص إدخال المادة من درجة العمومية التي تم التوصل إليها عند هذه النقطة؛ إذ تُدرج المادة في المعادلة المترية 7 ، وتُضيف أربع دوال إحداثية جديدة ضرورية لوصف التوزيع الأولي لكثافتها ومكونات سرعتها الثلاثة. وهذا يُتيح تحديد تطور المادة انطلاقًا من قوانين حركتها في مجال جاذبية مُعطى مسبقًا، وهي المعادلات الهيدروديناميكية .

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\sqrt {-g}}\sigma u^{i}\right)=0,}$

المعادلة 17

${\displaystyle (p+\varepsilon )u^{k}\left\{{\frac {\partial u_{i}}{\partial x^{k}}}-{\frac {1}{2}}u^{l}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{i}}}\right\rbrace =-{\frac {\partial p}{\partial x^{i}}}-u_{i}u^{k}{\frac {\partial p}{\partial x^{k}}},}$

المعادلة 18

حيث uᵢ هي السرعة رباعية الأبعاد، ^و ε وσ هما كثافتا الطاقة والإنتروبيا للمادة (انظر ^{[ 37 ]} و ^{[ 38 ]} ، وكذلك ^{[ 39 ]} ، وللمزيد من التفاصيل انظر ^{[ 40 ]} ). بالنسبة لمعادلة الحالة النسبية الفائقة p = ε/3، فإن الإنتروبيا σ ~ ε ^1/4 . الحدود الرئيسية في المعادلتين 17 و 18 هي تلك التي تحتوي على مشتقات زمنية . من المعادلة 17 والمكونات المكانية للمعادلة 18، ​​نحصل على

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\sqrt {-g}}u_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}\right)=0,\ 4\varepsilon \cdot {\frac {\partial u_{\alpha }}{\partial t}}+u_{\alpha }\cdot {\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=0,}$

مما أدى إلى

${\displaystyle abcu_{0}\varepsilon ^{\frac {3}{4}}=\mathrm {const} ,\ u_{\alpha }\varepsilon ^{\frac {1}{4}}=\mathrm {const} ,}$

المعادلة 19

حيث تمثل 'const' كميات مستقلة عن الزمن. بالإضافة إلى ذلك، من المتطابقة u _i u ⁱ = 1، نحصل على (لأن جميع المكونات المتغيرة لـ u _α من نفس الرتبة)

${\displaystyle u_{0}^{2}\approx u_{n}u^{n}={\frac {u_{n}^{2}}{c^{2}}},}$

حيث يمثل u _{_n} مركبة السرعة على طول اتجاه n المرتبطة بأعلى قوة (موجبة) لـ t (بافتراض أن p _{_n} = p_₃). من العلاقات المذكورة أعلاه، يتبين أن

${\displaystyle \varepsilon \sim {\frac {1}{a^{2}b^{2}}},\ u_{\alpha }\sim {\sqrt {ab}}}$

المعادلة 20

أو

${\displaystyle \varepsilon \sim t^{-2(p_{1}+p_{2})}=t^{-2(1-p_{3})},\ u_{\alpha }\sim t^{\frac {(1-p_{3})}{2}}.}$

المعادلة 21

يمكن استخدام المعادلات المذكورة أعلاه للتأكد من أن مكونات موتر الإجهاد والطاقة والزخم للمادة الموجودة في الجانب الأيمن من المعادلات

${\displaystyle R_{0}^{0}=T_{0}^{0}-{\frac {1}{2}}T,\ R_{\alpha }^{\beta }=T_{\alpha }^{\beta }-{\frac {1}{2}}\delta _{\alpha }^{\beta }T,}$

في الواقع، هي أقل رتبة بمقدار 1/ t من الحدود الرئيسية في طرفيها الأيسر. في المعادلات${\displaystyle R_{\alpha }^{0}=T_{\alpha }^{0}}$إن وجود المادة لا يؤدي إلا إلى تغيير العلاقات المفروضة على وظائف الإحداثيات المكونة لها. ^{[ 12 ]}

إن حقيقة أن قيمة ε تصبح لانهائية وفقًا للمعادلة 21 تؤكد أنه في حل المعادلة 7، نتعامل مع حالة شاذة فيزيائية عند جميع قيم القوى p1 و p2 و p3 باستثناء ( 0 ، 0 _، 1 ₎ . _{بالنسبة} لهذه القيم الأخيرة، تكون الحالة الشاذة غير فيزيائية ويمكن إزالتها بتغيير الإطار المرجعي.

تنشأ النقطة الشاذة الوهمية الموافقة للقوى (0، 0، 1) نتيجةً لعبور إحداثيات خط الزمن فوق سطح بؤري ثنائي الأبعاد . وكما أشير في المرجع ^{[ 12 ]} ، يمكن دائمًا اختيار إطار مرجعي متزامن بحيث يحدث هذا العبور الحتمي لخط الزمن تحديدًا على هذا السطح (بدلًا من سطح كاوستيك ثلاثي الأبعاد). لذلك، يجب أن يوجد حلٌّ يتضمن هذه النقطة الشاذة الوهمية المتزامنة للفضاء بأكمله، مع مجموعة كاملة من الدوال الاختيارية اللازمة للحل العام. بالقرب من النقطة t = 0، يسمح ذلك بتوسع منتظم بقوى صحيحة لـ t . لتحليل هذه الحالة، انظر المرجع ^{[ 41 ] .}

لنفترض حقبة زمنية طويلة، تشهد خلالها دالتان a و b و c (لنفترض أنهما a و b ) تذبذبات طفيفة، بينما تتناقص الدالة الثالثة ( c ) بشكل رتيب. سرعان ما تصبح الدالة الأخيرة صغيرة؛ لننظر في الحل ضمن المنطقة التي يمكن فيها إهمال c مقارنةً بـ a و b . تُجرى الحسابات أولًا لنموذج الفضاء من النوع التاسع بالتعويض وفقًا لذلك λ = μ = ν = 1. ^{[ 43 ]}

بعد إهمال الدالة c ، تعطي المعادلتان الأوليان (المعادلة 26)

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }=0,\,}$

المعادلة 44

${\displaystyle \alpha _{\tau \tau }-\beta _{\tau \tau }=e^{4\beta }-e^{4\alpha },\,}$

المعادلة 45

ويمكن استخدام المعادلة 28 كمعادلة ثالثة، تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle \gamma _{\tau \tau }\left(\alpha _{\tau \tau }+\beta _{\tau \tau }\right)=-\alpha _{\tau }\beta _{\tau }+{\frac {1}{4}}\left(e^{2\alpha }-e^{2\beta }\right)^{2}.}$

المعادلة 46

يُكتب حل المعادلة 44 على الصورة التالية:

${\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)+2\ln a_{0},}$

حيث α₀ _و ξ₀ _ثابتان موجبان، و τ₀ _هي الحد الأعلى للعصر للمتغير τ. ومن الملائم إدخال متغير جديد (بدلاً من τ).

${\displaystyle \xi =\xi _{0}\exp \left[{\frac {2a_{0}^{2}}{\xi _{0}}}\left(\tau -\tau _{0}\right)\right].}$

المعادلة 47

ثم

${\displaystyle \alpha +\beta =\ln {\frac {\xi }{\xi _{0}}}+2\ln a_{0}.}$

المعادلة 48

يتم تحويل المعادلتين 45 و 46 عن طريق إدخال المتغير χ = α − β:

${\displaystyle \chi _{\xi \xi }={\frac {\chi _{\xi }}{\xi }}+{\frac {1}{2}}\operatorname {sh} 2\chi =0,}$

المعادلة 49

${\displaystyle \gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\operatorname {ch} 2\chi -1\right).}$

المعادلة 50

انخفاض قيمة τ من τ₀ _إلى −∞ يقابله انخفاض قيمة ξ من ξ₀ _إلى 0. وتُحقق الفترة الطويلة ذات القيمتين a و b المتقاربتين (أي ذات قيمة χ صغيرة)، التي نتناولها هنا، إذا كانت _ξ₀ قيمة كبيرة جدًا. في الواقع، عند قيم ξ الكبيرة، يكون حل المعادلة 49 في التقريب الأول باستخدام 1/ξ هو

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta ={\frac {2A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right),}$

المعادلة 51

حيث A ثابت؛ المضاعف${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$يجعل χ كمية صغيرة بحيث يمكن استبدالها في المعادلة 49 بـ sh 2χ ≈ 2χ. ^{[ ملاحظة 11 ]}

من المعادلة 50 نحصل على

${\displaystyle \gamma _{\xi }={\frac {1}{4}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\chi ^{2}\right)=A^{2},\ \gamma =A^{2}\left(\xi -\xi _{0}\right)+\mathrm {const} .}$

بعد تحديد α و β من المعادلة 48 والمعادلة 51 وتوسيع e ^α و e ^β في سلسلة وفقًا للتقريب أعلاه، نحصل في النهاية على: ^{[ ملاحظة 12 ]}

${\displaystyle {\begin{cases}a\\b\end{cases}}=a_{0}{\sqrt {\frac {\xi }{\xi _{0}}}}\left[1\pm {\frac {A}{\sqrt {\xi }}}\sin \left(\xi -\xi _{0}\right)\right],}$

المعادلة 52

${\displaystyle c=c_{0}e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.}$

المعادلة 53

تُستنتج العلاقة بين المتغير ξ والزمن t من خلال تكامل التعريف dt = abc d τ والذي يعطي

${\displaystyle {\frac {t}{t_{0}}}=e^{-A^{2}\left(\xi _{0}-\xi \right)}.}$

المعادلة 54

يجب أن تكون قيمة الثابت c₀ ₍ قيمة c عند ξ = _{ξ₀ )} الآن c₀${\displaystyle \ll }$α ₀ ·

لننظر الآن في المجال ξ${\displaystyle \ll }$1. فيما يلي أهم الحدود في حل المعادلة 49 :

${\displaystyle \chi =\alpha -\beta =k\ln \xi +\mathrm {const} ,\,}$

حيث k ثابت في النطاق −1 < k < 1؛ يضمن هذا الشرط أن يكون الحد الأخير في المعادلة 49 صغيرًا (sh 2χ يحتوي على ξ ^{2 k} و ξ ^{−2 k} ). بعد ذلك، وبعد تحديد α و β و t ، نحصل على

${\displaystyle a\sim \xi ^{\frac {1+k}{2}},\ b\sim \xi ^{\frac {1-k}{2}},\ c\sim \xi ^{-{\frac {1-k^{2}}{4}}},\ t\sim \xi ^{\frac {3+k^{2}}{4}}.}$

المعادلة 55

هذا نمط كاسنر آخر مع وجود الأس السالب t في الدالة c ( t ). ^{[ ملاحظة 13 ]}

تُصوّر هذه النتائج تطورًا مشابهًا نوعيًا لما وُصف أعلاه. خلال فترة زمنية طويلة تتوافق مع انخفاض كبير في قيمة ξ، تتذبذب الدالتان a و b ، وتبقى قيمتاهما متقاربتين في المقدار.${\displaystyle {\tfrac {a-b}{a}}\sim {\tfrac {1}{\sqrt {\xi }}}}$في الوقت نفسه، تتحرك كلتا الدالتين أ و ب ببطء (${\displaystyle \sim {\sqrt {\xi }}}$تتناقص الدالة. دورة التذبذبات ثابتة بالنسبة للمتغير ξ  : Δξ = 2π (أو، وهو نفسه، بدورة ثابتة بالنسبة للزمن اللوغاريتمي: Δ ln t = 2π Α ² ). الدالة الثالثة، c ، تتناقص بشكل رتيب وفقًا لقانون قريب من c = c ₀ t / t ₀ .

يستمر هذا التطور حتى تصبح قيمة ξ ≈ 1، وعندها _{لا تعود} المعادلتان 52 و 53 قابلتين للتطبيق. وتتوافق مدته الزمنية مع تغير قيمة t من t₀ إلى القيمة t₁ ، المرتبطة بـ ξ₀ _وفقًا لـ

${\displaystyle A^{2}\xi _{0}=\ln {\frac {t_{0}}{t_{1}}}.}$

المعادلة 56

يمكن تمثيل العلاقة بين ξ و t خلال هذه الفترة بالشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {\xi }{\xi _{0}}}={\frac {\ln {\tfrac {t}{t_{1}}}}{\ln {\tfrac {t_{0}}{t_{1}}}}}.}$

المعادلة 57

بعد ذلك، وكما هو موضح في المعادلة 55 ، تبدأ الدالة المتناقصة c بالزيادة بينما تبدأ الدالتان a و b بالتناقص. تستمر هذه المرحلة من كاسنر حتى تصبح الحدود ^c² / a²b² في المعادلة 22 ^قريبة من ^t² ، ^وتبدأ سلسلة جديدة من التذبذبات.

يتم الحصول على قانون تغير الكثافة خلال الحقبة الطويلة قيد المناقشة عن طريق استبدال المعادلة 52 في المعادلة 20 :

${\displaystyle \varepsilon \sim \left({\frac {\xi _{0}}{\xi }}\right)^{2}.}$

المعادلة 58

عندما تتغير قيمة ξ من ξ ₀ إلى ξ ≈1، تزداد الكثافة${\displaystyle \xi _{0}^{2}}$مرات.

يجب التأكيد على أنه على الرغم من أن الدالة c ( t ) تتغير وفقًا لقانون قريب من c ~ t ، فإن المقياس في المعادلة 52 لا يتوافق مع مقياس كاسنر ذي القوى (0، 0، 1). يتوافق هذا الأخير مع حل دقيق وجده تاوب ^{[ 47 ]} وهو مسموح به في المعادلتين 26 و 27 ، وفيه

${\displaystyle a^{2}=b^{2}={\frac {p}{2}}{\frac {\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}{\mathrm {ch} ^{2}(p\tau +\delta _{2})}},\;c^{2}={\frac {2p}{\mathrm {ch} (2p\tau +\delta _{1})}},}$

المعادلة 59

حيث p _و δ1 و δ2 _ثوابت . في المنطقة التقاربية τ → −∞، يمكن الحصول من هنا على a = b = ثابت، c = ثابت. t بعد التعويض е ^рτ = t . في هذا المقياس، تكون النقطة الشاذة عند t = 0 غير فيزيائية.

لنصف الآن الدراسة المماثلة لنموذج النوع الثامن، مع استبدال المعادلات 26 – 28 λ = −1، μ = ν = 1. ^{[ 44 ]}

^{إذا كانت الدالة المتناقصة بشكل رتيب هي} a خلال الفترة الطويلة، فلن يتغير شيء في التحليل السابق: بتجاهل a² في الطرف الأيمن من المعادلتين 26 و 28 ، نعود إلى المعادلتين 49 و 50 نفسيهما (مع تغيير في الترميز). مع ذلك، تحدث بعض التغييرات إذا كانت الدالة المتناقصة بشكل رتيب هي b أو c ؛ لنفترض أنها c .

كما في السابق، لدينا المعادلة 49 بنفس الرموز، وبالتالي، التعبيرات السابقة في المعادلة 52 للدالتين a (ξ) و b (ξ)، ولكن يتم استبدال المعادلة 50 بـ

${\displaystyle \gamma _{\xi }=-{\frac {1}{4}}\xi +{\frac {1}{8}}\xi \left(2\chi _{\xi }^{2}+\mathrm {ch} 2\chi +1\right).}$

المعادلة 60

يصبح الحد الرئيسي عند ξ الكبير الآن

${\displaystyle \gamma _{\xi }\approx {\frac {1}{8}}\xi \cdot 2,\quad \gamma \approx {\frac {1}{8}}\left(\xi ^{2}-\xi _{0}^{2}\right),}$

لهذا السبب.

${\displaystyle {\frac {c}{c_{0}}}={\frac {t}{t_{0}}}=e^{-{\frac {1}{8}}\left(\xi _{0}^{2}-\xi ^{2}\right)}.}$

المعادلة 61

قيمة c كدالة للزمن t هي c = c₀t / t₀ _{، لكن اعتماد ξ على الزمن يتغير} . يعتمد طول الحقبة الطويلة على ξ₀ _وفقًا لـ

${\displaystyle \xi _{0}={\sqrt {8\ln {\frac {t}{t_{0}}}}}.}$

المعادلة 62

من جهة أخرى، تحدد القيمة ξ₀ _عدد تذبذبات الدالتين a و b خلال حقبة زمنية (تساوي ξ₀ _/ 2π). وبالنظر إلى طول الحقبة الزمنية باللوغاريتم الطبيعي (أي بنسبة t₀ / t₁ المعطاة )، فإن عدد التذبذبات للنوع الثامن سيكون، عمومًا، أقل من النوع التاسع. أما بالنسبة لدورة التذبذبات، فنحصل الآن على Δln _t = πξ/2؛ وعلى عكس النوع التاسع، فإن الدورة ليست ثابتة طوال الحقبة الزمنية الطويلة، بل تتناقص تدريجيًا مع تناقص قيمة ξ _.

تُخالف الحقب الطويلة المسار "المنتظم" للتطور، مما يُصعّب دراسة تطور الفترات الزمنية الممتدة عبر عدة حقب. ومع ذلك، يمكن إثبات أن هذه الحالات "الشاذة" تظهر في التطور التلقائي للنموذج إلى نقطة فريدة في الأزمنة الصغيرة t عند مسافات كبيرة كافية من نقطة بداية ذات شروط ابتدائية عشوائية. حتى في الحقب الطويلة، تظل الدالتان التذبذبيتان خلال الانتقالات بين حقب كاسنر مختلفتين لدرجة أن الانتقال يحدث تحت تأثير اضطراب واحد فقط. جميع النتائج في هذا القسم تنطبق بالتساوي على نماذج النوعين الثامن والتاسع. ^{[ 48 ]}

خلال كل حقبة من حقب كاسنر، يكون abc = Λ t ، أي α + β + γ = ln Λ + ln t . عند الانتقال من حقبة (بقيمة معينة للمعامل u ) إلى الحقبة التالية، يُضرب الثابت Λ في 1 + 2 p ₁ = (1 – u + u ² )/(1 + u + u ² ) < 1. وبالتالي، يحدث انخفاض منتظم في Λ. ولكن من الضروري أن تكون القيمة المتوسطة (بالنسبة لأطوال الحقب k ) للتغير الكلي لـ ln Λ خلال الحقبة محدودة. في الواقع، قد يكون تباعد القيمة المتوسطة ناتجًا فقط عن زيادة سريعة جدًا لهذا التغير مع زيادة k . بالنسبة لقيمة كبيرة للمعامل u ، يكون ln(1 + 2 p ₁ ) ≈ −2/ u . بالنسبة لقيمة كبيرة لـ k، تكون القيمة القصوى u ^(max) = k + x ≈ k. وبالتالي، فإن التغير الكلي لـ ln Λ خلال حقبة زمنية معينة يُعطى بمجموع على الصورة التالية

${\displaystyle \sum \ln \left(1+2p_{1}\right)=\dots +{\frac {1}{k-2}}+{\frac {1}{k-1}}+{\frac {1}{k}}}$

مع كتابة الحدود التي تُقابل قيمًا كبيرة لـ u فقط. عندما تزداد قيمة k، يزداد هذا المجموع بمقدار ln k . لكن احتمال ظهور حقبة ذات طول كبير k يتناقص بمقدار 1/ k² وفقًا للمعادلة 76 _؛ وبالتالي فإن متوسط ​​قيمة المجموع أعلاه محدود. ونتيجة لذلك، فإن التغير المنتظم للكمية ln Λ على مدى عدد كبير من الحقب سيكون متناسبًا مع هذا العدد. ولكن يُلاحظ في المعادلة 85 أنه مع t → 0، يزداد العدد s بمقدار ln |ln t | فقط. وهكذا، في الحد التقاربي لـ t الصغيرة جدًا ، يمكن بالفعل إهمال الحد ln Λ مقارنةً بـ ln t . في هذا التقريب ^{[ ملاحظة 14 ]}

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =-\Omega ,\,}$

المعادلة 63

حيث تشير Ω إلى "الزمن اللوغاريتمي"

${\displaystyle \Omega =-\ln t.\,}$

المعادلة 64

ويمكن اعتبار عملية انتقال الحقب بمثابة سلسلة من ومضات زمنية قصيرة. كما تخضع مقادير القيم القصوى لدوال المقياس المتذبذبة لتغير منتظم. من المعادلة 39، بالنسبة لـ u ≫ 1، يتبين أن${\displaystyle a_{\max }^{\prime }-a_{\max }\approx -1/2u}$بنفس الطريقة التي تم بها سابقًا بالنسبة للكمية ln Λ، يمكن استنتاج أن متوسط ​​انخفاض ارتفاع القيم العظمى خلال حقبة زمنية محددة محدود، وأن الانخفاض الكلي على مدى عدد كبير من الحقب الزمنية يزداد مع اقتراب t من الصفر تمامًا مثل ln Ω. في الوقت نفسه، فإن انخفاض القيم الصغرى، وبالتالي زيادة سعة التذبذبات ، يتناسب ( المعادلة 77 ) مع Ω. وفقًا للتقريب المعتمد، يُهمل انخفاض القيم العظمى مقارنةً بزيادة السعات، لذا فإن α _max = 0، β _max = 0، γ _max = 0 للقيم العظمى لجميع الدوال المتذبذبة، وتمر الكميات α، β، γ بقيم سالبة فقط، وترتبط هذه القيم ببعضها البعض في كل لحظة زمنية بالعلاقة الموضحة في المعادلة 63 .

بالنظر إلى هذا التغير الفوري في الحقب، تُهمل فترات الانتقال لصغرها مقارنةً بطول الحقبة؛ وهذا الشرط مُتحقق بالفعل. ^{[ ملاحظة 15 ]} يتطلب استبدال القيم القصوى لـ α و β و γ بأصفار أن تكون الكميات ln (| p ₁ |Λ) صغيرة مقارنةً بسعات تذبذبات الدوال المعنية. كما ذُكر سابقًا ، خلال الانتقالات بين الحقب، قد تصبح قيم | p ₁ | صغيرة جدًا، بينما لا يرتبط مقدارها واحتمالية حدوثها بسعات التذبذب في اللحظة المعنية. لذلك، من حيث المبدأ، من الممكن الوصول إلى قيم صغيرة جدًا لـ | p ₁ | بحيث يُنتهك الشرط المذكور أعلاه (القيم القصوى الصفرية). يمكن أن يؤدي هذا الانخفاض الحاد في α _max إلى حالات خاصة مختلفة يصبح فيها الانتقال بين حقب كاسنر وفقًا للقاعدة المذكورة في المعادلة 37 غير صحيح (بما في ذلك الحالات الموصوفة أعلاه ). قد تُخالف هذه الحالات "الخطيرة" القوانين المستخدمة في التحليل الإحصائي أدناه. كما ذكرنا، فإن احتمال حدوث مثل هذه الانحرافات يتقارب بشكل مقارب إلى الصفر؛ وسيتم مناقشة هذه المسألة أدناه.

لنفترض حقبة زمنية تحتوي على k من حقب كاسنر مع وجود مُعامل u يمر عبر القيم

${\displaystyle u_{n}=k+x-1-n,\quad n=0,1,\cdots ,k-1,}$

المعادلة 65

ولنفترض أن α و β هما الدالتان المتذبذبتان خلال هذه الحقبة (الشكل 4). ^{[ ملاحظة 16 ]}

اللحظات الابتدائية لحقب كاسنر ذات المعاملات u _n هي Ω _n . في كل لحظة ابتدائية، تكون إحدى القيمتين α أو β تساوي صفرًا، بينما تكون الأخرى عند قيمة دنيا. القيمتان α أو β في القيم الدنيا المتتالية، أي في اللحظات Ω _n، هما

${\displaystyle \alpha _{n}=-\delta _{n}\Omega _{n}\,}$

المعادلة 66

(دون تمييز بين القيمتين الصغريتين α و β). تتراوح قيم _{δn التي تقيس هاتين القيمتين الصغريتين بوحدات Ωn} المقابلة بين 0 و1. تتناقص الدالة γ بشكل رتيب خلال هذه الفترة؛ ووفقًا للمعادلة 63، فإن قيمتها في اللحظة _Ωn هي

${\displaystyle \gamma _{n}=-\Omega _{n}(1-\delta _{n}).\,}$

المعادلة 67

خلال الحقبة التي تبدأ عند اللحظة Ω _n وتنتهي عند اللحظة Ω _{n +1} ، تزداد إحدى الدالتين α أو β من −δ _n Ω _n إلى الصفر بينما تنخفض الأخرى من 0 إلى −δ _{n +1} Ω _{n +1} وفقًا لقوانين خطية، على التوالي:

${\displaystyle \mathrm {const} +|p_{1}(u_{n})|\Omega \,}$و${\displaystyle \mathrm {const} -p_{2}(u_{n})\Omega \,}$

مما يؤدي إلى علاقة تكرارية

${\displaystyle \delta _{n+1}\Omega _{n+1}={\frac {1+u_{n}}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {1+u_{0}}{u_{n}}}\delta _{0}\Omega _{0}}$

المعادلة 68

وبالنسبة لطول الحقبة اللوغاريتمية

${\displaystyle \Delta _{n+1}\equiv \Omega _{n+1}-\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})}{u_{n}}}\delta _{n}\Omega _{n}={\frac {f(u_{n})(1+u_{n-1})}{f(u_{n-1})u_{n}}}\Delta _{n},}$

المعادلة 69

حيث، باختصار، f ( u ) = 1 + u + u² . ويُحسب مجموع أطوال n حقبة زمنية باستخدام الصيغة التالية ^:

${\displaystyle \Omega _{n}-\Omega _{0}=\left[n(n-1)+{\frac {nf(u_{n-1})}{u_{n-1}}}\right]\delta _{0}\Omega _{0}.}$

المعادلة 70

يتضح من المعادلة 68 أن |α _n+1 | > |α _n |، أي أن سعة تذبذب الدالتين α و β تزداد خلال الحقبة بأكملها، حتى وإن كانت العوامل δ _n صغيرة. إذا كان الحد الأدنى في بداية الحقبة عميقًا، فلن تصبح الحدود الدنيا التالية أقل عمقًا؛ بعبارة أخرى، يبقى الباقي |α  — β| عند لحظة الانتقال بين حقب كاسنر كبيرًا. لا يعتمد هذا على طول الحقبة k، لأن الانتقالات بين الحقب تُحدد بالقاعدة العامة في المعادلة 37 حتى بالنسبة للحقب الطويلة.

ترتبط سعة التذبذب الأخير للدالتين α أو β في حقبة زمنية معينة بسعة التذبذب الأول بالعلاقة |α _{k −1} | = |α ₀ | ( k + x ) / (1 + x ). حتى عند قيم k الصغيرة جدًا، يمكن إهمال x مقارنةً بـ k، بحيث تصبح الزيادة في سعة تذبذب α و β متناسبة مع طول الحقبة الزمنية. بالنسبة للدالتين a = e ^α و b = e ^β، هذا يعني أنه إذا كانت سعة تذبذبهما في بداية حقبة زمنية ما هي A ₀ ، فستصبح في نهاية هذه الحقبة A 0.${\displaystyle A_{0}^{k/(1+x)}}$.

يزداد طول حقب كاسنر (بالزمن اللوغاريتمي) أيضًا داخل الحقبة الواحدة؛ ومن السهل حساب ذلك من المعادلة 69، حيث أن Δn _{+ 1} > Δn _. [ ^{ملاحظة 17 ]} إجمالي طول الحقبة هو

${\displaystyle \Omega _{0}^{\prime }-\Omega _{0}\equiv \Omega _{k}-\Omega _{0}=k\left(k+x+{\frac {1}{x}}\right)\delta _{0}\Omega _{0}}$

المعادلة 71

(ينشأ الحد الذي يحتوي على 1/ x من الحقبة الأخيرة، الحقبة k ، التي يكون طولها كبيرًا عند قيم x الصغيرة ؛ انظر الشكل 2). اللحظة Ωn _التي تنتهي عندها الحقبة k من حقبة معينة هي في نفس اللحظة Ω'0 _لبداية الحقبة التالية.

_{في حقبة كاسنر الأولى من العصر الجديد ،} تكون الدالة γ هي أول ما يرتفع من القيمة الدنيا γk ₌ −Ωk (1 − δk _{) التي} بلغتها في الحقبة السابقة؛ وتلعب هذه القيمة دور سعة البداية δ'0 _Ω'0 لسلسلة التذبذبات الجديدة. ومن السهل استنتاج ما يلي:

${\displaystyle \delta _{0}^{\prime }\Omega _{0}^{\prime }=\left(\delta _{0}^{-1}+k^{2}+kx-1\right)\delta _{0}\Omega _{0}.}$

المعادلة 72

من الواضح أن δ' ₀ Ω' ₀ > δ ₀ Ω _{0. حتى عند قيم} k غير الكبيرة جدًا، يكون ازدياد السعة كبيرًا جدًا: تبدأ الدالة c = e ^γ بالتذبذب من السعة${\displaystyle A_{0}'\sim A_{0}^{k^{2}}}$. يتم تأجيل مسألة الحالات "الخطيرة" المذكورة أعلاه لخفض حد التذبذب العلوي بشكل كبير في الوقت الحالي.

وفقًا للمعادلة 40، فإن الزيادة في كثافة المادة خلال الحقب الأولى ( k - 1) تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{n+1}}{\varepsilon _{n}}}\right)=2\left[1-p_{3}(u_{n})\right]\Delta _{n+1}.}$

بالنسبة لآخر k حقبة من حقبة معينة، عند u = x < 1 _، تكون أعلى قيمة للقوة هي p2 ( x ) (وليس p3 ( x )). لذلك، بالنسبة لزيادة الكثافة على مدار الحقبة بأكملها، نحصل _على

${\displaystyle \ln \left({\frac {\varepsilon _{k}}{\varepsilon _{0}}}\right)\equiv \ln \left({\frac {\varepsilon _{0}'}{\varepsilon _{0}}}\right)=2(k-1+x)\delta _{0}\Omega _{0}.}$

المعادلة 73

لذلك، حتى عند قيم k غير الكبيرة جدًا ،${\displaystyle \varepsilon _{0}'/\varepsilon _{0}\sim A_{0}^{2k}}$خلال الحقبة التالية (بطول k ' ) ستزداد الكثافة بشكل أسرع بسبب زيادة السعة الابتدائية A ₀ ':${\displaystyle \varepsilon _{0}''/\varepsilon _{0}'\sim A_{0}'^{2k''}\sim A_{0}^{2k^{2}k'}}$إلخ. توضح هذه الصيغ الزيادة الحادة في كثافة المادة.