التكميم BRST

في الفيزياء النظرية ، يُشير مصطلح BRST ، أو تكميم BRST (حيث يُشير BRST إلى أسماء كارلو بيكي ، وآلان رويه ، وريموند ستورا، وإيغور تيوتين )، إلى منهج رياضي دقيق نسبيًا لتكميم نظرية حقل ذات تناظر قياسي . كانت قواعد التكميم في أطر نظرية الحقل الكمومي السابقة أقرب إلى "الوصفات" أو "الأساليب الاستدلالية" منها إلى البراهين، لا سيما في نظرية الحقل الكمومي غير التبادلية ، حيث يُعد استخدام " الحقول الوهمية " ذات الخصائص الغريبة ظاهريًا أمرًا لا مفر منه تقريبًا لأسباب تقنية تتعلق بإعادة التطبيع وإلغاء الشذوذ .

سرعان ما فُهمت نظرية التناظر الفائق العالمي BRST، التي طُرحت في منتصف سبعينيات القرن الماضي، على أنها تُبرر إدخال أشباح فاديف-بوبوف واستبعادها من الحالات التقاربية "الفيزيائية" عند إجراء حسابات نظرية الحقل الكمومي. والأهم من ذلك، أن هذا التناظر في تكامل المسار يُحفظ في ترتيب الحلقات، وبالتالي يمنع إدخال حدود معاكسة قد تُفسد قابلية إعادة تطبيع نظريات القياس. وقد ربطت أعمالٌ أخرى، أجراها باحثون آخرون بعد بضع سنوات، مُؤثر BRST بوجود بديل دقيق لتكاملات المسار عند تكميم نظرية القياس .

لم يتضح أن تحويل BRST ذو طبيعة هندسية جوهرية إلا في أواخر سبعينيات القرن الماضي، عندما أُعيدت صياغة نظرية الحقل الكمومي بلغة حزم الألياف لتطبيقها على مسائل طوبولوجيا المتشعبات منخفضة الأبعاد ( نظرية الحقل الكمومي الطوبولوجية ). في هذا السياق، يصبح "تكميم BRST" أكثر من مجرد طريقة بديلة للوصول إلى الأشباح التي تلغي الشذوذ. إنه منظور مختلف لما تمثله حقول الأشباح، ولماذا تنجح طريقة فاديف-بوبوف، وكيف يرتبط ذلك باستخدام ميكانيكا هاميلتون لبناء إطار اضطرابي. تفرض العلاقة بين ثبات القياس و"ثبات BRST" اختيار نظام هاميلتوني تتكون حالاته من "جسيمات" وفقًا للقواعد المألوفة من شكلية التكميم الكلاسيكية . وبالتالي ، يقترب شرط الاتساق الباطني هذا كثيرًا من تفسير كيفية نشوء الكمات والفيرميونات في الفيزياء من الأساس.

في بعض الحالات، ولا سيما الجاذبية والجاذبية الفائقة ، يجب استبدال BRST بصيغة أكثر عمومية، وهي صيغة باتالين-فيلكوفيسكي .

يُعدّ تكميم BRST منهجًا هندسيًا تفاضليًا لإجراء حسابات اضطرابية متسقة وخالية من الشذوذ في نظرية قياس غير أبيلية. وقد وصف كارلو ماريا بيكي ، وآلان رويه ، وريموند ستورا الشكل التحليلي لتحويل BRST وأهميته في إعادة التطبيع وإلغاء الشذوذ في سلسلة من الأبحاث التي تُوّجت ببحث "إعادة تطبيع نظريات القياس" عام 1976. واكتشف إيغور فيكتوروفيتش تيوتين التحويل المكافئ والعديد من خصائصه بشكل مستقل . وقد أوضح تايشيرو كوجو وإيزومي أوجيما أهميته للتكميم الكنسي الدقيق لنظرية يانغ-ميلز وتطبيقه الصحيح على فضاء فوك لتكوينات الحقول الآنية. وفي وقت لاحق، أوضحت أعمال العديد من المؤلفين، ولا سيما توماس شوكر وإدوارد ويتن ، الأهمية الهندسية لمؤثر BRST والحقول ذات الصلة، وأكدت أهميته لنظرية الحقل الكمومي الطوبولوجية ونظرية الأوتار .

في منهج BRST، يتم اختيار إجراء تثبيت قياس ملائم للاضطراب لمبدأ الفعل في نظرية القياس، وذلك باستخدام الهندسة التفاضلية لحزمة القياس التي تقوم عليها نظرية المجال. ثم تُكمّم النظرية للحصول على نظام هاميلتوني في صورة التفاعل ، بحيث تحل الحقول " غير الفيزيائية " الناتجة عن إجراء تثبيت القياس شذوذ القياس دون أن تظهر في الحالات التقاربية للنظرية. والنتيجة هي مجموعة من قواعد فاينمان لاستخدامها في توسيع اضطرابي لسلسلة دايسون لمصفوفة التشتت، مما يضمن أنها وحدوية وقابلة لإعادة التطبيع عند كل رتبة حلقة - باختصار، تقنية تقريب متماسكة لإجراء تنبؤات فيزيائية حول نتائج تجارب التشتت .

من الناحية العملية، تتألف نظرية الحقل الكمومي من مبدأ الفعل ومجموعة من الإجراءات لإجراء حسابات الاضطراب . وهناك أنواع أخرى من "التحقق من صحة" نظرية الحقل الكمومي لتحديد مدى توافقها مع الظواهر النوعية مثل حصر الكواركات والحرية التقاربية . ومع ذلك، فإن معظم النجاحات التنبؤية لنظرية الحقل الكمومي، من الديناميكا الكهربائية الكمومية إلى يومنا هذا، قد تم قياسها كميًا من خلال مطابقة حسابات مصفوفة التشتت (S-matrix) مع نتائج تجارب التشتت .

في بدايات نظرية الحقول الكمومية، كان من الممكن القول إن وصفات التكميم وإعادة التطبيع كانت جزءًا لا يتجزأ من النموذج، تمامًا ككثافة لاغرانج ، خاصةً عندما اعتمدت على صيغة التكامل المساري القوية ولكنها غير محددة رياضيًا . وسرعان ما اتضح أن الديناميكا الكهربائية الكمومية كانت أشبه بـ"سحرية" في سهولة معالجتها، وأن معظم الطرق التي يمكن تخيلها لتوسيعها لن تُنتج حسابات منطقية. ومع ذلك، ظل نوع واحد من نظريات الحقول واعدًا: نظريات القياس، حيث تمثل الكائنات في النظرية فئات تكافؤ لتكوينات حقول غير قابلة للتمييز فيزيائيًا، ويرتبط أي اثنين منها بتحويل قياس . وهذا يُعمم فكرة الديناميكا الكهربائية الكمومية عن التغير الموضعي في الطور إلى زمرة لي أكثر تعقيدًا .

تُعدّ نظرية الكهروديناميكا الكمية (QED) نفسها نظرية قياس، شأنها شأن النسبية العامة ، على الرغم من أن الأخيرة أثبتت مقاومتها للتكميم حتى الآن، لأسباب تتعلق بإعادة التطبيع. وقد أصبحت فئة أخرى من نظريات القياس ذات زمرة قياس غير أبيلية، بدءًا من نظرية يانغ-ميلز، قابلة للتكميم في أواخر الستينيات وأوائل السبعينيات، ويعود الفضل في ذلك إلى حد كبير إلى أعمال لودفيج د. فادييف ، وفيكتور بوبوف ، وبرايس ديويت ، وجيراردوس هوفت . ومع ذلك، ظلت هذه النظريات صعبة التعامل معها إلى حين ظهور طريقة BRST. وقد وفرت طريقة BRST تقنيات الحساب وبراهين قابلية إعادة التطبيع اللازمة لاستخلاص نتائج دقيقة من نظريات يانغ-ميلز "غير المكسورة" وتلك التي تؤدي فيها آلية هيغز إلى كسر التناظر التلقائي . تظهر ممثلات هذين النوعين من أنظمة يانغ-ميلز - الديناميكا اللونية الكمومية ونظرية الكهروضعيفة - في النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات .

لقد ثبت أن إثبات وجود نظرية حقل كمومي غير أبيلية بالمعنى الدقيق أصعب بكثير من الحصول على تنبؤات دقيقة باستخدام مخططات حسابية شبه استدلالية. ويعود ذلك إلى أن تحليل نظرية الحقل الكمومي يتطلب منظورين مترابطين رياضياً: نظام لاغرانجي قائم على دالة الفعل، يتألف من حقول ذات قيم مميزة عند كل نقطة في الزمكان ومؤثرات محلية تؤثر عليها، ونظام هاميلتوني في صورة ديراك ، يتألف من حالات تميز النظام بأكمله عند زمن معين ومؤثرات حقلية تؤثر عليها. ويكمن التحدي في نظرية القياس في أن عناصر النظرية ليست حقولاً محلية حقيقية على الزمكان، بل هي حقول محلية ثابتة يمينياً على حزمة القياس الرئيسية، وتنتج مقاطع محلية مختلفة عبر جزء من حزمة القياس، مرتبطة بتحويلات سلبية ، صور ديراك مختلفة.

علاوة على ذلك، فإن وصف النظام ككل بدلالة مجموعة من الحقول يتضمن العديد من درجات الحرية الزائدة؛ فالتكوينات المتميزة للنظرية هي فئات تكافؤ لتكوينات الحقول، بحيث يكون وصفان مرتبطان ببعضهما البعض عن طريق تحويل قياسي هما في الواقع نفس التكوين الفيزيائي. لا توجد "حلول" نظرية القياس الكمومية في فضاء مباشر من الحقول ذات قيم عند كل نقطة في الزمكان، بل في فضاء خارج القسمة (أو علم التماثل) عناصره هي فئات تكافؤ لتكوينات الحقول. يكمن في صيغة BRST نظام لمعاملة التغيرات المرتبطة بجميع تحويلات القياس النشطة الممكنة، مع مراعاة عدم أهميتها الفيزيائية بشكل صحيح أثناء تحويل نظام لاغرانجي إلى نظام هاميلتوني.

يُمكن فهم شكلية BRST بشكل بديهي من خلال وصفها هندسيًا، في سياق حزم الألياف . هذا السياق الهندسي يتناقض مع الصورة التقليدية القديمة، وهي صورة الحقول ذات القيم الجبرية على فضاء مينكوفسكي ، والتي وردت في نصوص نظرية الحقول الكمومية (السابقة)، ويُلقي الضوء عليها.

في هذا السياق، يمكن فهم حقل القياس بطريقتين مختلفتين. الأولى، حقل القياس هو مقطع محلي من حزمة الألياف. أما الثانية، فهي مجرد اتصال بين ألياف متجاورة، مُعرَّف على طول الليف بأكمله. وبناءً على هذين الفهمين، توجد طريقتان للنظر إلى تحويل القياس. في الحالة الأولى، يكون تحويل القياس مجرد تغيير في المقطع المحلي. في النسبية العامة ، يُشار إلى هذا بالتحويل السلبي . أما في الرؤية الثانية، فيكون تحويل القياس تغييرًا في الإحداثيات على طول الليف بأكمله (ناتجًا عن الضرب بعنصر المجموعة g ) مما يُحدث تماثلًا رأسيًا للحزمة الرئيسية .

تُوفّر هذه النظرة الثانية الأساس الهندسي لطريقة BRST. وعلى عكس التحويل السلبي، فهي مُعرّفة تعريفًا دقيقًا على مستوى الحزمة الرئيسية، مع أي زمرة هيكلية على أي مشعب. أي أنه يُمكن تطوير صيغة BRST لوصف تكميم أي حزمة رئيسية على أي مشعب. ولتوضيح الأمر وجعله ذا صلة بنظرية الحقول الكمومية التقليدية، يركز جزء كبير من هذه المقالة على حالة حزمة قياس رئيسية ذات ألياف مُدمجة على فضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد.

تُعتبر حزمة القياس الرئيسية P على فضاء رباعي الأبعاد M متماثلة محليًا مع U  × F ، حيث U ⊂ R⁴ ^، والليف F متماثل مع زمرة لي G ، وهي زمرة القياس لنظرية الحقل (هذا تماثل بين بنى الفضاءات، وليس بين بنى الزمر؛ لا يوجد سطح خاص في P يُقابل 1 في G ، لذا من الأنسب القول إن الليف F هو G - torsor ). الخاصية الأساسية لحزمة الليف هي "الإسقاط على الفضاء الأساسي" π : P → M ، الذي يُحدد الاتجاهات الرأسية على P (تلك الواقعة داخل الليف π ⁻¹ ( p ) فوق كل نقطة p في M ). كحزمة قياس، لها تأثير يساري من G على P يحافظ على بنية الليف، وكحزمة رئيسية، لها أيضًا تأثير يميني من G على P يحافظ أيضًا على بنية الليف ويتبادل مع التأثير اليساري.       

يُقابل التأثير الأيسر لمجموعة البنية G على P تغييرًا في نظام الإحداثيات على ليف منفرد. أما التأثير الأيمن (العام) R _g  : P → P لقيمة g ثابتة في G، فيُقابل تشاكلًا ذاتيًا فعليًا لكل ليف، وبالتالي خريطة من P إلى نفسها. ولكي تُعتبر P حزمة رئيسية على G ، يجب أن يكون التأثير الأيمن العام لكل g في G تشاكلًا ذاتيًا بالنسبة لبنية P المتشعبة ، مع اعتماد سلس على g ، أي تشاكلًا تفاضليًا P × G → P.       

إن وجود الفعل الأيمن العالمي لمجموعة البنية يُبرز فئة خاصة من الكائنات الهندسية الثابتة يمينًا على P، وهي تلك التي لا تتغير عند سحبها للخلف على طول R _g لجميع قيم g في G. أهم الكائنات الثابتة يمينًا على حزمة رئيسية هي حقول المتجهات الثابتة يمينًا ، والتي تُشكل مثاليًا.${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$من جبر لي للتشاكلات التفاضلية المتناهية الصغر على P. تشكل حقول المتجهات على P التي تكون ثابتة من اليمين وعمودية مثالًا مثاليًا${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ل ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$، والتي لها علاقة بالحزمة الكاملة P مماثلة لتلك الخاصة بجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$من مجموعة القياس G إلى ألياف الالتواء الفردية G F.

تُعرَّف "نظرية الحقول" محل الاهتمام بدلالة مجموعة من "الحقول" (الخرائط الملساء إلى فضاءات متجهة مختلفة) المعرفة على حزمة قياس رئيسية P. تحمل الحقول المختلفة تمثيلات مختلفة لمجموعة القياس G ، وربما لمجموعات تناظر أخرى للمتشعب مثل مجموعة بوانكاريه . يمكن تعريف الفضاء${\displaystyle Pl}$من كثيرات الحدود المحلية في هذه الحقول ومشتقاتها. يُفترض أن الكثافة اللاغرانجية الأساسية لنظرية المرء تقع في الفضاء الجزئي${\displaystyle Pl_{0}}$من كثيرات الحدود ذات القيم الحقيقية والثابتة تحت أي زمر تناظر غير قياسية غير مكسورة. يُفترض أيضًا أنها ثابتة ليس فقط تحت الفعل الأيسر (تحويلات الإحداثيات السلبية) والفعل الأيمن الشامل لزمرة القياس، ولكن أيضًا تحت تحويلات القياس المحلية - السحب العكسي على طول التشاكل التفاضلي المتناهي الصغر المرتبط باختيار عشوائي لحقل متجه رأسي ثابت من اليمين${\displaystyle \epsilon \in V{\mathfrak {E}}}$.

يُوفّر تحديد تحويلات القياس المحلية باستخدام فضاء فرعي مُحدد من حقول المتجهات على المتشعب P إطارًا أفضل للتعامل مع الكميات المتناهية الصغر ذات الأبعاد اللانهائية: الهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل الخارجي . يُجسّد التغير في حقل قياسي تحت السحب العكسي على طول تشاكل متناهي الصغر في مشتقة لي ، ويتم تطبيق مفهوم الاحتفاظ بالحد الخطي فقط في حقل المتجهات بفصله إلى مشتقة داخلية ومشتقة خارجية . في هذا السياق، تشير "الأشكال" وحساب التفاضل والتكامل الخارجي حصريًا إلى درجات الحرية المُزدوجة لحقول المتجهات على حزمة القياس ، وليس إلى درجات الحرية المُعبّر عنها بمؤشرات الموتر (اليونانية) على المتشعب الأساسي أو مؤشرات المصفوفة (الرومانية) على جبر القياس.

مشتقة لي على مشعب هي عملية مُعرَّفة عالميًا بشكل جيد، على عكس المشتقة الجزئية . يُعطى التعميم الصحيح لنظرية كليروت على بنية المشعب غير التافهة لـ P بواسطة قوس لي لحقول المتجهات وانعدام قوة المشتقة الخارجية . يوفر هذا أداة أساسية للحساب: نظرية ستوكس المعممة ، التي تسمح بالتكامل بالتجزئة ثم حذف حد السطح، طالما أن الدالة المُكاملة تتلاشى بسرعة كافية في الاتجاهات التي توجد فيها حدود مفتوحة. (هذا ليس افتراضًا بديهيًا، ولكن يمكن معالجته بتقنيات إعادة التطبيع مثل التنظيم البُعدي طالما أمكن جعل حد السطح ثابتًا تحت التحويلات القياسية).

يُعدّ مُعامل BRST عنصرًا أساسيًا في صيغة BRST${\displaystyle s_{B}}$، ويُعرَّف بأنه المماس لمؤثر وارد${\displaystyle W(\delta \lambda )}$يمكن تحديد عامل وارد على كل حقل (حتى اصطلاح الإشارة) مع مشتق لي على طول حقل المتجه الرأسي المرتبط بتحويل القياس المحلي${\displaystyle \delta \lambda }$يظهر كمعامل لمعامل وارد. معامل BRST${\displaystyle s_{B}}$يشبه تطبيق هذه الطريقة على الحقول المشتقة الخارجية على حزمة القياس، أو بالأحرى تقييدها على فضاء مُختزل من الأشكال المتناوبة المُعرَّفة فقط على حقول المتجهات الرأسية. وترتبط معاملات وارد وBRST (حتى اصطلاح طوري قدمه كوجو وأوجيما، والذي سنتبعه في معالجة متجهات الحالة لاحقًا) بالعلاقة التالية:${\displaystyle W(\delta \lambda )X=\delta \lambda \;s_{B}X}$. هنا،${\displaystyle X\in {Pl}_{0}}$هو شكل صفري (كمية قياسية). الفضاء${\displaystyle {Pl}_{0}}$هو فضاء كثيرات الحدود ذات القيم الحقيقية في الحقول ومشتقاتها التي تكون ثابتة تحت أي مجموعات تناظر غير قياسية (غير مكسورة).

ومثل المشتق الخارجي، فإن عامل BRST هو عامل عديم القوة من الدرجة الثانية، أي${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$. اختلاف أي "BRST- الشكل الدقيق "${\displaystyle s_{B}X}$فيما يتعلق بتحويل القياس المحلي${\displaystyle \delta \lambda }$يُعطى بواسطة المشتقة الداخلية${\displaystyle \iota _{\delta \lambda }.}$إنها

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\iota _{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X&=\iota _{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\\&=s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\end{aligned}}}$

لاحظ أن هذا دقيق أيضاً.

لا تُجرى الصيغة الهاميلتونية الاضطرابية على حزمة الألياف، بل على مقطع محلي. في هذه الصيغة، تحافظ إضافة حد دقيق من نوع BRST إلى كثافة لاغرانجية ثابتة القياس على العلاقة${\displaystyle s_{B}X=0.}$وهذا يعني وجود عامل ذي صلة${\displaystyle Q_{B}}$في فضاء الحالة الذي${\displaystyle [Q_{B},{\mathcal {H}}]=0.}$أي أن مؤثر BRST على حالات فوك هو شحنة محفوظة لنظام هاميلتوني . وهذا يعني أن مؤثر التطور الزمني في حساب متسلسلة دايسون لن يُطوّر تكوينًا للمجال يخضع لـ${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0}$إلى تكوين لاحق مع${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0}$(أو العكس).

يمكن فهم خاصية انعدام قوة مؤثر BRST على أنها تعني أن صورته (فضاء الأشكال الدقيقة لـ BRST ) تقع بالكامل داخل نواته (فضاء الأشكال المغلقة لـ BRST ). إن لاغرانجيان "الحقيقي"، المفترض ثباته تحت تحويلات القياس المحلية، يقع في نواة مؤثر BRST وليس في صورته. هذا يعني أن نطاق الشروط الابتدائية والنهائية يمكن حصره في "حالات" أو تكوينات حقلية تقاربية عند اللانهاية الزمنية، حيث يكون لاغرانجيان التفاعل "معطلاً". تقع هذه الحالات في نواة${\displaystyle Q_{B},}$ولكن بما أن البنية ثابتة، فإن مصفوفة التشتت تظل وحدوية. تُعرَّف الحالات المغلقة والدقيقة وفقًا لنظرية BRST بشكل مشابه للحقول المغلقة والدقيقة وفقًا لنظرية BRST؛ وتُفنى الحالات المغلقة بواسطة${\displaystyle Q_{B},}$بينما الحالات الدقيقة هي تلك التي يمكن الحصول عليها من خلال تطبيق${\displaystyle Q_{B}}$إلى بعض تكوينات الحقول العشوائية.

عند تعريف الحالات التقاربية، فإن الحالات التي تقع داخل صورة${\displaystyle Q_{B}}$يمكن أيضًا كبحها، لكن المنطق أكثر دقة. بافتراض أن لاغرانجيان النظرية "الحقيقي" ثابت تحت التحويل القياسي، فإن "حالات" النظام الهاميلتوني الحقيقية هي فئات تكافؤ تحت التحويل القياسي المحلي؛ بعبارة أخرى، حالتان ابتدائيتان أو نهائيتان في الصورة الهاميلتونية تختلفان فقط بحالة دقيقة وفقًا لـ BRST متكافئتان فيزيائيًا. مع ذلك، فإن استخدام وصفة كسر القياس الدقيقة وفقًا لـ BRST لا يضمن أن يحافظ هاميلتونيان التفاعل على أي فضاء فرعي معين من تكوينات المجال المغلقة المتعامدة مع فضاء التكوينات الدقيقة. هذه نقطة حاسمة، غالبًا ما تُساء معالجتها في كتب نظرية الحقول الكمومية. لا يوجد جداء داخلي مسبق على تكوينات المجال مُدمج في مبدأ الفعل؛ يُبنى هذا الجداء الداخلي كجزء من جهاز الاضطراب الهاميلتوني.

تتمثل وصفة التكميم في صورة التفاعل في بناء فضاء متجهي للتكوينات المغلقة وفقًا لنظرية BRST عند لحظة زمنية محددة، بحيث يمكن تحويل هذا الفضاء إلى فضاء فوك للحالات الوسيطة المناسبة لاضطراب الهاميلتوني. وكما هو متعارف عليه في التكميم الثاني ، يُزود فضاء فوك بمؤثرات سلمية لتكوينات الطاقة والزخم الذاتية (الجسيمات) لكل حقل، مع قواعد التبادل (المضادة) المناسبة، بالإضافة إلى جداء داخلي شبه موجب . ويُشترط أن يكون الجداء الداخلي شاذًا حصريًا على طول الاتجاهات التي تتوافق مع الحالات الذاتية الدقيقة وفقًا لنظرية BRST للهاميلتوني غير المضطرب. وهذا يضمن إمكانية اختيار أي زوج من حالات فوك المغلقة وفقًا لنظرية BRST بحرية من بين فئتي التكافؤ لتكوينات الحقل التقاربية التي تتوافق مع حالات ذاتية ابتدائية ونهائية محددة للهاميلتوني ذي الحقل الحر (غير المكسور).

تُوفّر وصفات التكميم المطلوبة فضاء فوك خارج القسمة المتماثل مع علم التماثل BRST ، حيث تُمثَّل كل فئة تكافؤ مغلقة BRST من الحالات الوسيطة (التي تختلف فقط بحالة دقيقة) بحالة واحدة فقط لا تحتوي على أي كمات من حقول BRST الدقيقة. هذا هو فضاء فوك المناسب للحالات التقاربية للنظرية. تضمن تفردية الضرب الداخلي على طول درجات حرية BRST الدقيقة أن مصفوفة التشتت الفيزيائية لا تحتوي إلا على حقول فيزيائية. وهذا على النقيض من ديناميكيات لاغرانج (الساذجة، ذات القياس الثابت)، حيث تنتشر الجسيمات غير الفيزيائية إلى الحالات التقاربية. من خلال العمل في علم التماثل، يُضمن أن يكون لكل حالة تقاربية حالة فيزيائية واحدة (وواحدة فقط) مقابلة (خالية من الأشباح).

المشغل${\displaystyle Q_{B}}$هيرميتية وغير صفرية، ومع ذلك فإن مربعها يساوي صفرًا. هذا يعني أن فضاء فوك لجميع الحالات قبل الاختزال الكوهومولوجي له معيار غير محدد ، وبالتالي فهو ليس فضاء هيلبرت. يتطلب هذا وجود فضاء كرين لحالات فوك الوسيطة المغلقة وفقًا لـ BRST، حيث يلعب عامل انعكاس الزمن دور "التناظر الأساسي" الذي يربط بين الجداءات الداخلية الثابتة لورنتز وشبه الموجبة المحددة. فضاء الحالة التقاربي هو فضاء هيلبرت الناتج عن قسمة الحالات الدقيقة وفقًا لـ BRST من فضاء كرين.

باختصار: لن يظهر أي حقل مُدخل كجزء من إجراء تثبيت مقياس BRST في الحالات التقاربية لنظرية تثبيت المقياس. مع ذلك، لا يعني هذا غياب هذه الحقول "غير الفيزيائية" في الحالات الوسيطة للحسابات الاضطرابية! ذلك لأن الحسابات الاضطرابية تُجرى في إطار التفاعل ، وهي تتضمن ضمنيًا الحالات الابتدائية والنهائية لهاملتونيان عدم التفاعل.${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$تتحول هذه الحالات تدريجيًا إلى حالات الهاميلتوني الكامل وفقًا لنظرية التغير الأديباتي عن طريق "تفعيل" هاميلتوني التفاعل (اقتران القياس). سيشمل توسيع متسلسلة دايسون بدلالة مخططات فاينمان رؤوسًا تربط الجسيمات "الفيزيائية" (تلك التي يمكن أن تظهر في الحالات التقاربية للهاميلتوني الحر) بالجسيمات "غير الفيزيائية" (حالات الحقول التي تقع خارج نواة الهاميلتوني ).${\displaystyle s_{B}}$أو داخل صورة${\displaystyle s_{B}}$) والرؤوس التي تربط الجسيمات "غير المادية" ببعضها البعض.

يُنسب الفضل عادةً إلى تي. كوجو وإي. أوجيما في اكتشاف معيار الحصر اللوني الرئيسي في نظرية الكروموديناميكا الكمية . ويبدو أن دورهما في الحصول على صيغة صحيحة لصيغة BRST في إطار لاغرانجي أقل تقديرًا. ومن المفيد دراسة صيغتهما لتحويل BRST، التي تُبرز الخصائص الهرميتية للحقول المُستحدثة، قبل الخوض في الجانب الهندسي البحت.

ال${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تُعتبر شروط تثبيت المقياس ذات القيم - هي${\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu },}$أين${\displaystyle \xi }$هو عدد موجب يحدد المقياس. توجد قيم أخرى محتملة لتحديد المقياس، لكنها خارج نطاق هذا البحث. الحقول الظاهرة في دالة لاغرانج هي:

• أي مجال ألوان QCD${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$نموذج اتصال ذو قيمة${\displaystyle A_{\mu }.}$
• شبح فاديف- بوبوف${\displaystyle c^{i}}$، وهو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$حقل قياسي ذو قيم مع إحصائيات فرميونية.
• مضاد الأشباح${\displaystyle b_{i}={\bar {c}}_{i}}$، وأيضًا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$حقل قياسي ذو قيم مع إحصائيات فرميونية.
• المجال المساعد${\displaystyle B_{i}}$وهو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$حقل قياسي ذو قيم مع إحصائيات بوزونية.

المجال${\displaystyle c}$يُستخدم للتعامل مع تحويلات القياس، بينما${\displaystyle b}$و${\displaystyle B}$تناول موضوع تثبيتات المقياس. في الواقع، توجد بعض التفاصيل الدقيقة المرتبطة بتثبيت المقياس بسبب غموض غريبوف، لكن لن يتم التطرق إليها هنا.

كثافة لاغرانج BRST هي

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

هنا،${\displaystyle D_{\mu }}$هي المشتقة المتغيرة بالنسبة لحقل القياس (الوصلة).${\displaystyle A_{\mu }.}$حقل الأشباح فادييف-بوبوف${\displaystyle c}$له تفسير هندسي باعتباره نسخة من شكل ماورر-كارتان على${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$، والتي تربط كل حقل متجه رأسي ثابت من اليمين${\displaystyle \delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}}$إلى تمثيلها (حتى مرحلة معينة) كـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$حقل ذو قيمة. يجب أن يدخل هذا الحقل في صيغ تحويلات القياس المتناهية الصغر على الأجسام (مثل الفرميونات).${\displaystyle \psi }$بوزونات القياس${\displaystyle A_{\mu }}$والشبح${\displaystyle c}$(نفسها) والتي تحمل تمثيلاً غير تافه لمجموعة القياس.

على الرغم من أن كثافة لاغرانج ليست ثابتة تحت تحويل BRST، إلا أن تكاملها على كامل الزمكان ثابت. تحويل الحقول تحت تحويل قياسي متناهي الصغر${\displaystyle \delta \lambda }$يُعطى بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=\delta \lambda {\tfrac {i}{2}}[c,c]\\\delta b=\delta {\bar {c}}&=\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}}$

لاحظ أن${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$يمثل قوس لي ، وليس المبدل . يمكن كتابة هذه الرموز بصيغة مكافئة باستخدام عامل الشحنة.${\displaystyle Q_{B}}$بدلاً من${\displaystyle \delta \lambda }$. مشغل شحن BRST${\displaystyle Q_{B}}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle Q_{B}=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)}$

أين${\displaystyle L_{i}}$هي المولدات المتناهية الصغر لمجموعة لي ، و${\displaystyle f_{ij}{}^{k}}$وهي ثوابت بنيتها . وباستخدام ذلك، يُعطى التحويل على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}A_{\mu }&=D_{\mu }c\\Q_{B}c&={i \over 2}[c,c]\\Q_{B}b&=B\\Q_{B}B&=0\end{aligned}}}$

تفاصيل قطاع المادة${\displaystyle \psi }$غير محددة، كما هو الحال مع شكل مؤثر وارد عليها؛ هذه غير مهمة طالما أن تمثيل جبر القياس على حقول المادة متسق مع اقترانها بـ${\displaystyle \delta A_{\mu }}$إن خصائص المجالات الأخرى تحليلية في جوهرها وليست هندسية. وينصب التركيز على الروابط مع${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$يعتمد على المقياس وليس له دلالة هندسية محددة. الشبح المضاد${\displaystyle b={\bar {c}}}$ليس سوى مُضاعِف لاغرانج لمصطلح تثبيت القياس، وخصائص الحقل القياسي${\displaystyle B}$تُملى بالكامل من خلال العلاقة${\displaystyle \delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B}$جميع هذه الحقول هيرميتية وفقًا لاتفاقيات كوجو-أوجيما، ولكن المعلمة${\displaystyle \delta \lambda }$هو عدد مضاد للهرميتية "مضاد للتبديل c ". ينتج عن ذلك بعض التعقيدات غير الضرورية فيما يتعلق بالأطوار وتمرير المعاملات المتناهية الصغر عبر المؤثرات؛ ويمكن حل ذلك بتغيير الاصطلاحات.

نعلم بالفعل، من علاقة مؤثر BRST بالمشتق الخارجي وعلاقة شبح فادييف-بوبوف بصيغة ماورر-كارتان، أن الشبح${\displaystyle c}$يتوافق (حتى مرحلة واحدة) مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued 1-form on${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$من أجل دمج مصطلح مثل${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$لكي يكون ذا معنى، مضاد الأشباح${\displaystyle {\bar {c}}}$يجب أن تحمل تمثيلات لهذين الجبرين لي - المثالي الرأسي${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$وجبر القياس${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$—مُعاكسة لتلك التي يحملها الشبح. من الناحية الهندسية،${\displaystyle {\bar {c}}}$يجب أن يكون ثنائيًا ليفيًا لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وينقصه مرتبة واحدة فقط ليصبح من أفضل اللاعبين في${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$وبالمثل، المجال المساعد${\displaystyle B}$يجب أن تحمل نفس تمثيل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(حتى مرحلة واحدة) كـ${\displaystyle {\bar {c}}}$بالإضافة إلى تمثيل${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$على عكس تمثيلها التافه${\displaystyle A_{\mu }.}$إنه،${\displaystyle B}$هو فايبر وايز${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$- شكل علوي مزدوج على${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$.

تُناقش حالات الجسيم الواحد في النظرية في حالة الحدّ المُنفصل أديباتيًا g  →  0. يوجد نوعان من الكمّات في فضاء فوك لهاملتونيان ثابت القياس، يقعان بالكامل خارج نواة مُؤثر BRST: كمّات مضادّات الأشباح من نوع فادييف-بوبوف.${\displaystyle {\bar {c}}}$وبوزون القياس المستقطب للأمام. وذلك لأنه لا يوجد أي توليفة من الحقول التي تحتوي على${\displaystyle {\bar {c}}}$يتم إبادته بواسطة${\displaystyle s_{B}}$ويحتوي لاغرانجيان على حد كسر القياس الذي يساوي، حتى التباعد، إلى

${\displaystyle s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\xi s_{B}{\bar {c}}\right)\right).}$

وبالمثل، هناك نوعان من الكمات التي تقع بالكامل على صورة عامل BRST: تلك الخاصة بشبح فادييف-بوبوف${\displaystyle c}$والحقل القياسي${\displaystyle B}$، والذي يُستهلك بإكمال المربع في التكامل الوظيفي ليصبح بوزون قياس مستقطب عكسيًا. هذه هي الأنواع الأربعة من الكمات "غير الفيزيائية" التي لا تظهر في الحالات التقاربية لحساب اضطرابي.

يُعتبر مضاد الشبح كمية لورنتز قياسية من أجل ثبات بوانكاريه في${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$ومع ذلك، فإن قانون التبادل (أو عدم التبادل) الخاص به بالنسبة إلى${\displaystyle c}$أي أن وصفة التكميم، التي تتجاهل نظرية الإحصاء الدوراني بإعطاء إحصاءات فيرمي-ديراك لجسيم ذي دوران صفري، ستُحدد باشتراط أن يكون الجداء الداخلي على فضاء فوك للحالات التقاربية شاذًا على طول الاتجاهات الموافقة لمؤثرات الرفع والخفض لبعض توليفات الحقول غير المغلقة وفقًا لنظرية BRST والحقول الدقيقة وفقًا لها. هذه العبارة الأخيرة هي مفتاح "تكميم BRST"، على عكس مجرد "تناظر BRST" أو "تحويل BRST".

(يجب إكمالها بلغة علم التماثل BRST، مع الإشارة إلى معالجة Kugo–Ojima لفضاء Fock التقاربي.)

بينما يُجسّد تناظر BRST، بشحنته Q المقابلة ، جوهر ثبات القياس بشكلٍ أنيق، فإنه يُشكّل تحديًا لتكميم التكامل المساري. يُبالغ التكامل المساري البسيط، الذي يجمع جميع تكوينات القياس، في حساب الحالات المتميزة فيزيائيًا بسبب التكرار الناتج عن تحويلات القياس. ويتجلى هذا الإفراط في الحساب على شكل تباعد في التكامل المساري ناتج عن التكامل على مدارات القياس. ولمعالجة هذه المشكلة، نقدم إجراءً لتثبيت القياس ضمن إطار عمل BRST.

تتمثل الفكرة الأساسية في حصر التكامل المساري في مجموعة تمثيلية من تكوينات القياس، مما يؤدي إلى إزالة درجات حرية القياس الزائدة. ويتحقق ذلك من خلال إدخال دالة تثبيت القياس ، يُرمز لها بـ f(A) ، حيث يمثل A حقل القياس. ويحدد الاختيار المحدد لـ f(A) القياس. وتؤدي الاختيارات المختلفة إلى تمثيلات مختلفة لنفس النظرية الفيزيائية، مع أن النتائج الفيزيائية النهائية يجب أن تكون مستقلة عن هذا الاختيار.

تُنفَّذ عملية تثبيت المقياس ضمن تكميم BRST بإضافة حدٍّ إلى كثافة لاغرانج يعتمد على كلٍّ من دالة تثبيت المقياس والحقول الوهمية. يُصمَّم هذا الحد ليكون دقيقًا وفقًا لـ BRST، أي أنه يُمكن كتابته كتغير BRST لكمية ما. وهذا يضمن احتفاظ الفعل المُعدَّل بتناظر BRST.

الصيغة العامة لكثافة لاغرانج التي تثبت المقياس هي:

${\displaystyle L_{gf}=-iQ(f(A)*{\bar {c}})}$

أين${\displaystyle {\bar {c}}}$يمثل الحقل المضاد للأشباح. العامل -i هو اصطلاح. بما أن Q² = 0 ، فإن تغير BRST لـ L _gf يساوي صفرًا، مما يحافظ على ثبات BRST للفعل الكلي.

دعونا نوضح ذلك بمثالين شائعين:

1. مقياس غوبتا-بلولر (لورنز) في الكهرومغناطيسية:

في هذا المقياس، تكون وظيفة تثبيت المقياس هي${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu }}$تصبح كثافة لاغرانجية تثبيت المقياس كما يلي:

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu })*{\bar {c}})=-i((\partial _{\mu }\partial ^{\mu }c)*{\bar {c}}-(\partial _{\mu }A^{\mu })*B)}$

حيث B هو حقل ناكانيشي-لاوتروب مساعد تم إدخاله لإعادة كتابة شرط القياس. بعد إجراء التكامل على B في التكامل المساري، نحصل على الشكل المألوف:

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu })^{2}+(\partial _{\mu }{\bar {c}})(\partial ^{\mu }c)}$

حيث ξ هو معامل قياس. يتوافق مقياس لورنز مع مقياس فاينمان ( ξ = 1 ). تجدر الإشارة إلى أن الحقول الوهمية تظل مرتبطة بحقل القياس من خلال تغير BRST.

2. مقاييس ξ في نظريات يانغ-ميلز:

بالنسبة لنظريات القياس غير الأبيلية، يمكن تعريف فئة معممة من قياسات ξ باستخدام دالة تثبيت القياس${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a}}$حيث يمثل a دليل مجموعة القياس. وتصبح كثافة لاغرانجية تثبيت القياس عندئذٍ:

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a})*{\bar {c}}^{a})=B^{a}(\partial _{\mu }A^{\mu a})+(\xi /2)B^{a}B^{a}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

حيث Dμ هي المشتقة المتغيرة. يمكن تكامل الحقل المساعد ^Ba ، مما ينتج عنه ^:

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu a})^{2}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

مرة أخرى، ξ هو معامل قياس، والاختيارات المختلفة لـ ξ تتوافق مع مقاييس مختلفة ضمن هذه العائلة.

يُؤدي إدخال حد تثبيت المقياس L _gf إلى تعديل الفعل، وبالتالي تعديل تكامل المسار. والأهم من ذلك، الحفاظ على تناظر BRST، مما يضمن بقاء الكميات الفيزيائية القابلة للرصد مستقلة عن اختيار المقياس. علاوة على ذلك، يُخلّ إجراء تثبيت المقياس بتناظر المقياس الأصلي للفعل الكلاسيكي، مما يجعل تكامل المسار مُعرّفًا بدقة. أما الحقول الوهمية، التي أُدخلت في الأصل للتعويض عن درجات الحرية غير الفيزيائية، فتلعب الآن دورًا حاسمًا في الحفاظ على وحدة النظرية في نسختها الكمومية.

ينطبق هذا القسم فقط على نظريات القياس الكلاسيكية، أي تلك التي يمكن وصفها بقيود من الدرجة الأولى . أما الصيغة الأكثر عمومية فتُشرح باستخدام صيغة باتالين-فيلكوفيسكي .

ينطبق بناء BRST ^{[ 5 ]} على حالة فعل هاميلتوني لمجموعة قياس${\displaystyle G}$في فضاء الطور${\displaystyle M}$. يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي لـ${\displaystyle G}$و${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$خريطة القيمة المنتظمة للعزم${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. يترك${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$افترض${\displaystyle G}$- إجراء بشأن${\displaystyle M_{0}}$حر ومناسب، وخذ المساحة بعين الاعتبار${\displaystyle {\tilde {M}}}$ل${\displaystyle G}$- مدارات على${\displaystyle M_{0}}$.

تُوصَف ميكانيكا هاميلتون لنظرية القياس بواسطة${\displaystyle r}$قيود من الدرجة الأولى${\displaystyle \Phi _{i}}$التأثير على فضاء سيمبليكتيكي${\displaystyle M}$.${\displaystyle M_{0}}$هي الفضاء الفرعي الذي يحقق قيود الدرجة الأولى. تأثير تقسيمات تناظر القياس${\displaystyle M_{0}}$إلى مدارات قياس . الاختزال التبسيطي هو خارج قسمة${\displaystyle M_{0}}$بواسطة مدارات القياس.

وفقًا للهندسة الجبرية ، فإن مجموعة الدوال الملساء على فضاء ما هي حلقة. يصف مُركَّب كوزول-تيت (قيود الدرجة الأولى ليست منتظمة بشكل عام) الجبر المرتبط بالاختزال التبسيطي بدلالة الجبر.${\displaystyle C^{\infty }(M)}$.

أولاً، باستخدام المعادلات التي تحدد${\displaystyle M_{0}}$داخل${\displaystyle M}$قم ببناء مجمع كوزول

${\displaystyle ...\to K^{1}(\Phi )\to C^{\infty }(M)\to 0}$

لهذا السبب.${\displaystyle H^{0}(K(\Phi ))=C^{\infty }(M_{0})}$و${\displaystyle H^{p}(K(\Phi ))=0}$ل${\displaystyle p\neq 0}$.

ثم، بالنسبة للتليف${\displaystyle M_{0}\to {\tilde {M}}}$ينظر المرء إلى مجموعة الأشكال الخارجية العمودية${\displaystyle (\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0}),d_{vert})}$محلياً،${\displaystyle \Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0})}$متماثل مع${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}\otimes C^{\infty }({\tilde {M}})}$، أين${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}}$الجبر الخارجي للفضاء الثنائي للفضاء المتجهي${\displaystyle V}$باستخدام حل كوزول المحدد سابقًا، نحصل على مركب ثنائي التدرج

${\displaystyle K^{i,j}=\Lambda ^{i}V^{*}\otimes \Lambda ^{j}V\otimes C^{\infty }(M).}$

وأخيرًا (وهذه هي الخطوة الأكثر تعقيدًا)، التفاضل${\displaystyle s_{B}}$يتم تعريفها على${\displaystyle K=\oplus _{i,j}K^{i,j}}$الذي يرفع${\displaystyle d_{vert}}$ل${\displaystyle K}$ومثل ذلك${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$و

${\displaystyle H_{s_{B}}^{0}=C^{\infty }({\tilde {M}})}$

فيما يتعلق بالتقييم باستخدام الرقم الوهمي  :${\displaystyle K^{n}=\oplus _{i-j=n}K^{i,j}}$.

وبالتالي، فإن عامل BRST أو تفاضل BRST${\displaystyle s_{B}}$يحقق على مستوى الدوال ما يفعله الاختزال التبسيطي على مستوى المتشعبات.

هناك نوعان من الاشتقاقات المضادة،${\displaystyle \delta }$و${\displaystyle d}$والتي تتبادل فيما بينها. مشتق BRST المضاد${\displaystyle s_{B}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \delta +d+\mathrm {more} }$المشغل${\displaystyle s_{B}}$هو عديم القوة ؛${\displaystyle s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0}$

لنفترض الجبر الفائق التبادلي المتولد بواسطة${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ومولدات غراسمان الفردية${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$أي حاصل الضرب الموتري لجبر غراسمان و${\displaystyle C^{\infty }(M)}$يوجد نوع فريد من الاشتقاق المضاد${\displaystyle \delta }$مُرضٍ${\displaystyle \delta {\mathcal {P}}_{i}=-\Phi _{i}}$و${\displaystyle \delta f=0}$للجميع${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$يُعطى التماثل الصفري بواسطة${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$.

حقل متجه طولي على${\displaystyle M_{0}}$هو حقل متجهي على${\displaystyle M_{0}}$وهو مماس في كل مكان لمدارات القياس. قوس لي لحقلين متجهين طوليين هو نفسه حقل متجهي طولي آخر. طولي${\displaystyle p}$الأشكال ثنائية للجبر الخارجي لـ${\displaystyle p}$المتجهات.${\displaystyle d}$وهي في الأساس المشتقة الخارجية الطولية المحددة بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=&\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\end{aligned}}}$

إن التماثل الصفري للمشتق الخارجي الطولي هو جبر الدوال الثابتة المقياس.

ينطبق بناء BRST عندما يكون لدينا فعل هاميلتوني لمجموعة لي مدمجة ومتصلة${\displaystyle G}$في فضاء الطور${\displaystyle M}$[ ^{6 ] [ 7 ]} ليكن^​${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليكن جبر لي لـ${\displaystyle G}$(عن طريق تناظر زمرة لي مع جبر لي ) و${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$( مزدوج​${\displaystyle {\mathfrak {g}})}$قيمة منتظمة لخريطة الزخم${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$. يترك${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$افترض${\displaystyle G}$- إجراء بشأن${\displaystyle M_{0}}$حر ومناسب، وخذ المساحة بعين الاعتبار${\displaystyle {\widetilde {M}}=M_{0}/G}$ل${\displaystyle G}$- مدارات على${\displaystyle M_{0}}$، والذي يُعرف أيضًا باسم حاصل الاختزال التبسيطي${\displaystyle {\widetilde {M}}=M/\!\!/G}$.

أولاً، باستخدام التسلسل المنتظم للدوال التي تحدد${\displaystyle M_{0}}$داخل${\displaystyle M}$قم ببناء مجمع كوزول

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

التفاضلي ،​${\displaystyle \delta }$يوجد في هذا المجمع شيء غريب${\displaystyle C^{\infty }(M)}$الاشتقاق الخطي ( الجبر التفاضلي) للمتدرج${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-الجبر${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$يُعرَّف هذا الاشتقاق الغريب بتوسيع تماثل جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$من فعل هاميلتوني. مركب كوزول الناتج هو مركب كوزول لـ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$-وحدة${\displaystyle C^{\infty }(M)}$، أين${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$هو الجبر المتناظر لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وتأتي بنية الوحدة من تماثل الحلقة${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)}$ناتج عن فعل هاميلتوني${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$.

يُعدّ مجمع كوزول هذا حلاً لـ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$-وحدة${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$، إنه،

${\displaystyle H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}}$

ثم، ضع في اعتبارك مُركّب شيڤالي-إيلنبرغ لمُركّب كوزول${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$يُعتبر وحدة تفاضلية متدرجة على جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$:

${\displaystyle K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

التفاضل "الأفقي"${\displaystyle d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }}$يتم تعريفها بناءً على المعاملات

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$

بفعل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وعلى${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$باعتبارها المشتقة الخارجية للأشكال التفاضلية الثابتة من اليمين على زمرة لي${\displaystyle G}$، الذي جبر لي الخاص به هو${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

ليكن Tot( K ) مركباً بحيث

${\displaystyle \operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}}$

مع تفاضل D  = d + δ. يتم حساب مجموعات التماثل لـ (Tot( K ), D ) باستخدام تسلسل طيفي مرتبط بالمركب المزدوج    ${\displaystyle (K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )}$.

يحسب الحد الأول من المتتالية الطيفية تماثل التفاضل "الرأسي".${\displaystyle \delta }$:

${\displaystyle E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}$، إذا كانت قيمة j تساوي 0، وصفر في غير ذلك.

يمكن تفسير الحد الأول من المتتالية الطيفية على أنه مجموعة من الأشكال التفاضلية الرأسية

${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })}$

لحزمة الألياف${\displaystyle M_{0}\to {\widetilde {M}}}$.

يحسب الحد الثاني من المتتالية الطيفية علم التماثل للتفاضل "الأفقي"${\displaystyle d}$على${\displaystyle E_{1}^{\bullet ,\bullet }}$:

${\displaystyle E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$، لو${\displaystyle i=j=0}$وصفر فيما عدا ذلك.

ينهار التسلسل الطيفي عند الحد الثاني، بحيث${\displaystyle E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}}$، والتي تتركز في الدرجة الصفرية.

لذلك،

${\displaystyle H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$، إذا كانت قيمة p تساوي 0، وإلا فإن قيمة p تساوي 0.

• شكلية باتالين – فيلكوفيسكي
• الديناميكا اللونية الكمومية

• أول دراسة تماثلية على موقع arxiv.org