رباعي

في الشكل الرباعي المحدب، تكون جميع الزوايا الداخلية أقل من 180 درجة، ويقع القطران داخل الشكل الرباعي.

• الشكل الرباعي غير المنتظم ^{[ أ ]} : لا توجد أضلاع متوازية.
• شبه منحرف (بريطانيا) أو شبه منحرف (الولايات المتحدة): يكون فيه زوج واحد على الأقل من الأضلاع المتقابلة متوازياً . تشمل الأشكال شبه المنحرفة (بريطانيا) وشبه المنحرفات (الولايات المتحدة) متوازيات الأضلاع.
• شبه منحرف متساوي الساقين (في المملكة المتحدة) أو شبه منحرف متساوي الساقين (في الولايات المتحدة): يكون فيه زوج واحد من الأضلاع المتقابلة متوازياً، وتكون زوايا القاعدة متساوية في القياس. ومن التعريفات البديلة: شكل رباعي له محور تناظر ينصف زوجاً واحداً من الأضلاع المتقابلة، أو شبه منحرف قطراه متساويان في الطول.
• متوازي الأضلاع : شكل رباعي الأضلاع فيه زوجان من الأضلاع المتوازية. ومن الشروط المكافئة أن تكون الأضلاع المتقابلة متساوية في الطول، أو أن تكون الزوايا المتقابلة متساوية، أو أن يكون قطرا متوازي الأضلاع منصفين لبعضهما. يشمل متوازي الأضلاع المعينات (بما فيها المستطيلات التي تُسمى مربعات) وشبه المعينات (بما فيها المستطيلات التي تُسمى مستطيلات). بمعنى آخر، يشمل متوازي الأضلاع جميع المعينات وشبه المعينات، وبالتالي يشمل جميع المستطيلات.
• المعين : ^{[ 1 ]} جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول (متساوي الأضلاع). شرط مكافئ هو أن قطريه ينصف كل منهما الآخر عموديًا. بعبارة أخرى: "مربع مقلوب" (مع العلم أن المربع يشمل المربع أيضًا).
• المعين : متوازي أضلاع أضلاعه المتجاورة غير متساوية في الطول، وبعض زواياه مائلة (أي لا توجد به زوايا قائمة). يُطلق عليه بشكل غير رسمي: "مستطيل مقلوب". لا تتفق جميع المراجع على هذا التعريف؛ فبعضها يُعرّف المعين بأنه متوازي أضلاع ليس معينًا. ^{[ 4 ]}
• المستطيل : جميع زواياه الأربع قائمة (متساوية الزوايا). شرط مكافئ هو أن قطريه ينصف كل منهما الآخر، وأن يكونا متساويين في الطول. يشمل المستطيل المربعات والمستطيلات المستطيلة. بعبارة أخرى: "مكعب أو مستطيل" (بما في ذلك المربع).
• المربع (الشكل الرباعي المنتظم): جميع أضلاعه الأربعة متساوية في الطول (متساوي الأضلاع)، وجميع زواياه الأربع قائمة. وشرط مكافئ هو أن تكون الأضلاع المتقابلة متوازية (المربع متوازي أضلاع)، وأن يكون قطراه عموديين على بعضهما البعض ومتساويين في الطول. يكون الشكل الرباعي مربعًا إذا وفقط إذا كان معينًا ومستطيلًا في آن واحد (أي أن أضلاعه الأربعة متساوية وزواياه الأربع متساوية).
• مستطيل : أطول من عرضه، أو أعرض من طوله (أي مستطيل ليس مربعًا). ^{[ 5 ]}
• الطائرة الورقية : كل زوجين من الأضلاع المتجاورة متساويان في الطول. هذا يعني أن أحد الأقطار يقسم الطائرة الورقية إلى مثلثين متطابقين ، وبالتالي فإن الزوايا بين كل زوجين من الأضلاع المتساوية متساوية في القياس. كما يعني ذلك أن الأقطار متعامدة. تشمل الطائرات الورقية المعينات.

• الشكل الرباعي المماسي : أضلاعه الأربعة مماسة لدائرة محيطة به. يكون الشكل الرباعي المحدب مماسياً إذا وفقط إذا كان مجموع أضلاعه المتقابلة متساوياً.
• شبه منحرف مماس : شبه منحرف تكون أضلاعه الأربعة مماسة لدائرة محيطة به .
• الشكل الرباعي الدائري : تقع رؤوسه الأربعة على دائرة محيطة به . يكون الشكل الرباعي المحدب دائريًا إذا وفقط إذا كان مجموع الزوايا المتقابلة يساوي 180 درجة.
• الطائرة الورقية القائمة : هي طائرة ورقية ذات زاويتين قائمتين متقابلتين. وهي نوع من الأشكال الرباعية الدائرية.
• الشكل الرباعي التوافقي : هو شكل رباعي دائري بحيث تكون حاصل ضرب أطوال الأضلاع المتقابلة متساوية.
• الشكل الرباعي ثنائي المركز : إنه مماس ودوري في آن واحد.
• الشكل الرباعي المتعامد : تتقاطع الأقطار بزوايا قائمة .
• الشكل الرباعي متساوي الأقطار : أقطاره متساوية في الطول.
• الشكل الرباعي المنصف قطريًا: ينصف أحد قطريه الآخر إلى نصفين متساويين في الطول. كل شكل سهمي وشكل طائرة ورقية هو شكل رباعي منصف قطريًا. عندما ينصف كلا القطرين الآخر، يكون الشكل متوازي أضلاع.
• الشكل الرباعي المماسي الخارجي : امتدادات الأضلاع الأربعة مماسية لدائرة خارجية .
• الشكل الرباعي المتوازن له ضلعان متقابلان متساويان، وعند تمديدهما يلتقيان عند 60 درجة.
• الشكل الرباعي وات هو شكل رباعي له ضلعان متقابلان متساويان في الطول. ^{[ 6 ]}
• الشكل الرباعي المحدب هو شكل رباعي محدب تقع رؤوسه الأربعة جميعها على محيط مربع. ^{[ 7 ]}
• الشكل الرباعي القطري هو شكل رباعي دائري يكون أحد أضلاعه قطراً للدائرة المحيطة به. ^{[ 8 ]}
• الشكل الرباعي لهيلمسليف هو شكل رباعي يحتوي على زاويتين قائمتين عند رأسين متقابلين. ^{[ 9 ]}

في الشكل الرباعي المقعر، تكون إحدى الزوايا الداخلية أكبر من 180 درجة، ويقع أحد القطرين خارج الشكل الرباعي.

• السهم (أو رأس السهم) هو شكل رباعي مقعر ذو تناظر ثنائي مثل الطائرة الورقية، ولكن إحدى زواياه الداخلية منعكسة. انظر الطائرة الورقية .

يمكن التعبير عن المساحة بمصطلحات حساب المثلثات على النحو التالي ^{[ 14 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,}$

حيث طولا القطرين هما p و q والزاوية بينهما هي θ . ^{[ 15 ]} في حالة الشكل الرباعي ذي الأقطار المتعامدة (مثل المعين والمربع والطائرة الورقية)، تُختزل هذه الصيغة إلى${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$بما أن θ تساوي 90 درجة .

ويمكن التعبير عن المنطقة أيضًا من حيث ثنائيات الوسيط كما هو ^{[ 16 ]}

${\displaystyle K=mn\sin \varphi ,}$

حيث أن أطوال ثنائيات الوسط هي m و n والزاوية بينهما هي φ .

صيغة بريتشنايدر ^{[ 17 ] [ 14 ]} تعبر عن المساحة بدلالة الأضلاع وزاويتين متقابلتين:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(أ+ج)}}\end{محاذاة}}}$

حيث تكون أضلاع الشكل بالتسلسل a و b و c و d ، و s هو نصف المحيط، و A و C زاويتان متقابلتان (أو أي زاويتين متقابلتين). يُختزل هذا إلى صيغة براهمغوبتا لحساب مساحة الشكل الرباعي الدائري - عندما يكون مجموع A و C يساوي 180 درجة .

صيغة أخرى لحساب المساحة بدلالة الأضلاع والزوايا، حيث تقع الزاوية C بين الضلعين b و c ، وتقع الزاوية A بين الضلعين a و d ، هي

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.}$

في حالة الشكل الرباعي الدائري، تصبح الصيغة الأخيرة${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.}$

في متوازي الأضلاع، حيث تتساوى أطوال كل زوج من الأضلاع والزوايا المتقابلة، تُختزل هذه الصيغة إلى${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

بدلاً من ذلك، يمكننا كتابة المساحة بدلالة الأضلاع وزاوية التقاطع θ للأقطار، طالما أن θ ليست 90 درجة : ^{[ 18 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.}$

في حالة متوازي الأضلاع، تصبح الصيغة الأخيرة${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

صيغة أخرى لحساب المساحة تتضمن الأضلاع a و b و c و d هي ^{[ 16 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }}$

حيث x هي المسافة بين منتصفات الأقطار، و φ هي الزاوية بين ثنائيات الوسط .

الصيغة المثلثية الأخيرة لحساب المساحة بما في ذلك الأضلاع a و b و c و d والزاوية α (بين a و b ) هي: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha}+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},}$

والتي يمكن استخدامها أيضًا لحساب مساحة الشكل الرباعي المقعر (الذي يكون الجزء المقعر فيه مقابل الزاوية α )، وذلك ببساطة عن طريق تغيير الإشارة الأولى من + إلى - .

تعبر الصيغتان التاليتان عن المساحة بدلالة الأضلاع a و b و c و d ، ونصف المحيط s ، والأقطار p و q :

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},}$^{[ 20 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.}$^{[ 21 ]}

يختزل الأول إلى صيغة براهمغوبتا في حالة الشكل الرباعي الدائري، لأنه عندئذٍ pq = ac + bd .

ويمكن التعبير عن المساحة أيضاً بدلالة الوسيطين m و n والقطرين p و q :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},}$^{[ 22 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.}$^{[ 23 ] : نظرية 7}

في الواقع، تكفي أي ثلاث من القيم الأربع m و n و p و q لتحديد المساحة، لأن القيم الأربع في أي شكل رباعي مرتبطة بـ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$^{[ 24 ] : ص 126}التعبيرات المقابلة هي: ^{[ 25 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},}$

إذا تم إعطاء أطوال اثنين من ثنائيات الوسط وقطر واحد، و ^{[ 25 ]}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},}$

إذا تم إعطاء أطوال قطرين ومتوسط ​​ثنائي.

يمكن حساب مساحة الشكل الرباعي ABCD باستخدام المتجهات . لنفترض أن المتجهين AC و BD يشكلان قطري الشكل من A إلى C ومن B إلى D على التوالي. عندئذٍ تكون مساحة الشكل الرباعي هي

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,}$

وهو نصف مقدار حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين AC و BD . في الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد، إذا عبرنا عن المتجه _AC كمتجه حر في الفضاء الديكارتي يساوي ( x1 _, y1 ₎ وعن BD كمتجه يساوي ( x2 , y2 ) ، فيمكن إعادة كتابة ذلك على النحو _التالي :

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.}$

يوضح الجدول التالي ما إذا كانت أقطار بعض الأشكال الرباعية الأساسية تنصف بعضها البعض، وما إذا كانت أقطارها متعامدة ، وما إذا كانت أقطارها متساوية في الطول . ^{[ 26 ]} تنطبق القائمة على الحالات العامة، وتستثني المجموعات الفرعية المسماة.

• ملاحظة 1: لا تحتوي أشباه المنحرفات العامة وأشباه المنحرفات متساوية الساقين على أقطار متعامدة، ولكن هناك عدد لا نهائي من أشباه المنحرفات (غير المتشابهة) وأشباه المنحرفات متساوية الساقين التي تحتوي على أقطار متعامدة وليست أي شكل رباعي آخر مسمى.
• ملاحظة 2: في شكل الطائرة الورقية، ينصف أحد القطرين الآخر. أكثر أشكال الطائرات الورقية عمومية لها أقطار غير متساوية، ولكن يوجد عدد لا نهائي من أشكال الطائرات الورقية (غير المتشابهة) التي تكون فيها الأقطار متساوية في الطول (ولا تكون هذه الأشكال أي شكل رباعي آخر مسمى).

يمكن حساب أطوال الأقطار في الشكل الرباعي المحدب ABCD باستخدام قانون جيب التمام على كل مثلث يتكون من قطر واحد وضلعين من الشكل الرباعي.

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}}$

و

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.}$

وهناك صيغ أخرى أكثر تناظرًا لأطوال الأقطار، وهي ^{[ 27 ]}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

و

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

في أي شكل رباعي محدب ABCD ، يكون مجموع مربعات الأضلاع الأربعة مساوياً لمجموع مربعي القطرين بالإضافة إلى أربعة أضعاف مربع القطعة المستقيمة الواصلة بين منتصفي القطرين.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

حيث x هي المسافة بين منتصفات الأقطار. ^{[ 24 ] : ص 126} يُعرف هذا أحيانًا باسم نظرية أويلر للرباعيات وهو تعميم لقانون متوازي الأضلاع .

استنتج عالم الرياضيات الألماني كارل أنطون بريتشنايدر في عام 1842 التعميم التالي لنظرية بطليموس ، فيما يتعلق بضرب الأقطار في شكل رباعي محدب ^{[ 28 ].}

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

يمكن اعتبار هذه العلاقة قانونًا لجيب التمام للرباعي. في الرباعي الدائري ، حيث A + C = 180° ، تُختزل إلى pq = ac + bd . وبما أن cos ( A + C ) ≥ −1 ، فإنها تُقدّم أيضًا برهانًا لمتباينة بطليموس.

إذا كان X و Y هما نقطتا وصول العمودين من B و D إلى القطر AC = p في شكل رباعي محدب ABCD بأضلاع a = AB و b = BC و c = CD و d = DA ، فإن ^{[ 29 ] : ص 14}

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

في شكل رباعي محدب ABCD بأضلاع a = AB و b = BC و c = CD و d = DA ، حيث تتقاطع الأقطار عند النقطة E ،

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

حيث e = AE و f = BE و g = CE و h = DE . ^{[ 30 ]}

يتحدد شكل وحجم الشكل الرباعي المحدب بشكل كامل من خلال أطوال أضلاعه بالتسلسل وطول أحد أقطاره الواصلة بين رأسين محددين. ويرتبط القطران p و q وأطوال الأضلاع الأربعة a و b و c و d للشكل الرباعي ^{[ 14 ]} بمحدد كايلي-مينجر ، كما يلي:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

إذا كان للشكل الرباعي المحدب الأضلاع المتتالية a و b و c و d والأقطار p و q ، فإن مساحته K تحقق ^{[ 37 ]}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$مع المساواة فقط بالنسبة للمستطيل .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$مع المساواة فقط بالنسبة للمربع .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$تتحقق المساواة فقط إذا كانت الأقطار متعامدة ومتساوية.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$مع المساواة فقط بالنسبة للمستطيل. ^{[ 16 ]}

من صيغة بريتشنايدر، يتبين مباشرة أن مساحة الشكل الرباعي تحقق الشرط التالي:

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

مع المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي دائريًا أو منحلًا بحيث يكون أحد أضلاعه مساويًا لمجموع الأضلاع الثلاثة الأخرى (لقد انهار إلى قطعة مستقيمة ، وبالتالي فإن المساحة تساوي صفرًا).

أيضًا،

${\displaystyle K\leq {\sqrt {abcd}},}$

مع المساواة بالنسبة للشكل الرباعي ثنائي المركز أو المستطيل.

مساحة أي شكل رباعي تحقق أيضًا المتباينة ^{[ 38 ]}

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

إذا رمزنا للمحيط بالرمز L ، فسنحصل على ^{[ 38 ] : ص 114}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

مع المساواة فقط في حالة المربع.

مساحة الشكل الرباعي المحدب تحقق أيضًا

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

بالنسبة للأطوال القطرية p و q ، مع المساواة إذا وفقط إذا كانت الأقطار متعامدة.

لنفترض أن a و b و c و d هي أطوال أضلاع الشكل الرباعي المحدب ABCD الذي مساحته K وقطراه AC = p و BD = q . إذن ^{[ 39 ]}

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)}$مع المساواة فقط بالنسبة للمربع.

إذا كانت a و b و c و d هي أطوال أضلاع الشكل الرباعي المحدب ABCD الذي تبلغ مساحته K ، فإن المتباينة التالية صحيحة: ^{[ 40 ]}

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$مع المساواة فقط بالنسبة للمربع.

إحدى نتائج نظرية أويلر للرباعي هي المتباينة

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

حيث تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع .

عمّم أويلر أيضًا نظرية بطليموس ، وهي مساواة في شكل رباعي دائري ، إلى متباينة في شكل رباعي محدب. وتنص على أن

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

حيث تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان الشكل الرباعي دائريًا. ^{[ 24 ] : ص 128-129.} وهذا ما يسمى غالبًا بمتباينة بطليموس .

في أي شكل رباعي محدب، ترتبط ثنائيات المتوسط ​​m و n والأقطار p و q بالمتباينة التالية:

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

يتحقق التساوي إذا وفقط إذا كانت الأقطار متساوية. ^{[ 41 ] : الخاصية 1.} هذا يتبع مباشرة من متطابقة الشكل الرباعي${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

الأضلاع a و b و c و d لأي شكل رباعي تحقق ^{[ 42 ] : ص 228، رقم 275}

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}}$

و ^{[ 42 ] : ص 234، #466}

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.}$