الجبر البولياني المعرف بشكل أساسي

الجبر البولياني هو نماذج لنظرية المعادلات ذات القيمتين؛ هذا التعريف مكافئ لتعريفات الشبكة والحلقة.

الجبر البولياني فرعٌ غنيٌّ رياضيًا من الجبر المجرد . تُعرّف موسوعة ستانفورد للفلسفة الجبر البولياني بأنه "جبر المنطق الثنائي القيم الذي يقتصر على الروابط الجملية، أو ما يُكافئه: جبر المجموعات تحت الاتحاد والمُكمِّل". ^{[ 1 ]} وكما تتعامل نظرية الزمر مع الزمر ، والجبر الخطي مع الفضاءات المتجهة ، فإن الجبر البولياني هو نموذجٌ لنظرية المعادلات للقيمتين 0 و1 (والتي لا يشترط أن يكون تفسيرها عدديًا). ويشترك الجبر البولياني والزمر والفضاءات المتجهة في مفهوم البنية الجبرية ، وهي مجموعة مغلقة تحت عمليات معينة تُحقق معادلات محددة. ^{[ 2 ]}

وكما توجد أمثلة أساسية للمجموعات، مثل المجموعة${\displaystyle \mathbb {Z} }$بالإضافة إلى الأعداد الصحيحة والمجموعة المتناظرة S _n من تباديل n من العناصر، هناك أيضًا أمثلة أساسية للجبر البولياني مثل ما يلي.

• جبر الأرقام الثنائية أو البتات 0 و1 في ظل العمليات المنطقية بما في ذلك الفصل والوصل والنفي. تشمل تطبيقاته حساب القضايا ونظرية الدوائر الرقمية.
• جبر المجموعات تحت عمليات المجموعات ، بما في ذلك الاتحاد والتقاطع والمتممة . تطبيقاته واسعة النطاق لأن نظرية المجموعات هي الأسس المعيارية للرياضيات .

وبالتالي، يسمح الجبر البولياني بتطبيق أساليب الجبر المجرد على المنطق الرياضي والمنطق الرقمي .

بخلاف مجموعات الرتبة المحدودة ، التي تتسم بالتعقيد والتنوع، والتي لا يمكن حسم نظريتها من الرتبة الأولى إلا في حالات خاصة، فإن جميع الجبر البولياني المحدود يشترك في نفس النظريات، وله نظرية قابلة للحسم من الرتبة الأولى. بدلاً من ذلك، تتوزع تعقيدات الجبر البولياني بين بنية الجبر اللانهائي والتعقيد الخوارزمي لبنيته التركيبية .

يتناول الجبر البولياني النظرية المعادلاتية للجبر النهائي ذي العنصرين الأقصى ، والذي يسمى النموذج الأولي البولياني ، ونماذج تلك النظرية، والتي تسمى الجبر البولياني . ^{[ 3 ]} يتم تعريف هذه المصطلحات على النحو التالي.

الجبر هو مجموعة من العمليات على مجموعة، تسمى المجموعة الأساسية للجبر. نعتبر المجموعة الأساسية للنموذج البولياني هي {0،1}.

تكون الجبر منتهية عندما لا تتطلب كل عملية من عملياتها سوى عدد محدود من الوسائط. بالنسبة للنموذج الأولي، يكون كل وسيط للعملية إما 0 أو 1 ، وكذلك نتيجة العملية. يتكون الجبر الأقصى من هذا النوع من جميع العمليات المنتهية على المجموعة {0,1}.

يُطلق على عدد الوسائط التي تأخذها كل عملية اسم رتبة العملية. يمكن تطبيق عملية على المجموعة {0,1} ذات رتبة n ، أو عملية من الرتبة n ، على أي من 2^ ⁿ قيمة ممكنة لوسائطها n . لكل اختيار للوسائط، قد تُرجع العملية 0 أو 1 ، ومن ثمّ يوجد 2 ^{^ n} عملية من الرتبة n .

لذا، يحتوي النموذج الأولي على عمليتين لا تأخذان أي وسيط، تُسميان بالعمليات الصفرية أو العدمية ، وهما الصفر والواحد. كما يحتوي على أربع عمليات أحادية ، اثنتان منها ثابتتان، وواحدة هي عملية المحايد، والأكثر استخدامًا هي عملية النفي، التي تُرجع عكس وسيطها: 1 إذا كان 0 ، و 0 إذا كان 1. ويحتوي أيضًا على ست عشرة عملية ثنائية ؛ اثنتان منها ثابتتان، وواحدة تُرجع وسيطها الأول، وواحدة تُرجع وسيطها الثاني، وواحدة تُسمى عملية العطف وتُرجع 1 إذا كان كلا الوسيطين 1، وإلا 0، وواحدة تُسمى عملية الفصل وتُرجع 0 إذا كان كلا الوسيطين 0، وإلا 1، وهكذا. عدد العمليات من الرتبة ( n +1) في النموذج الأولي هو مربع عدد العمليات من الرتبة n ، لذا يوجد 16² = 256 ^عملية ثلاثية، و256² = 65536 ^عملية رباعية، وهكذا.

تُفهرس العائلة بمجموعة فهارس . في حالة عائلة من العمليات تُشكّل جبرًا، تُسمى الفهارس رموز العمليات ، وهي تُشكّل لغة ذلك الجبر. تُسمى العملية المفهرسة بكل رمز دلالة أو تفسير ذلك الرمز. يُحدد كل رمز عملية عدد عناصر تفسيره، وبالتالي فإن جميع التفسيرات الممكنة للرمز لها نفس العدد. بشكل عام، يُمكن للجبر تفسير رموز مختلفة بنفس العملية، ولكن هذا ليس هو الحال بالنسبة للنموذج الأولي، الذي تتطابق رموزه مع عملياته تطابقًا تامًا. لذلك، يحتوي النموذج الأولي على 2 ^{^ n} رمز عملية من النوع n ، تُسمى رموز العمليات البوليانية ، وهي تُشكّل لغة الجبر البولياني. عدد قليل فقط من العمليات له رموز اصطلاحية، مثل ¬ للنفي، و∧ للربط، و∨ للفصل. ^{[ 4 ]} من الملائم اعتبار الرمز n- الرقم i هو ⁿ f _i كما هو موضح أدناه في قسم جداول الحقيقة .

تتألف نظرية المعادلات في لغة معينة من معادلات بين حدود مبنية من متغيرات باستخدام رموز تلك اللغة. ومن المعادلات النموذجية في لغة الجبر البولياني: x ∧ y = y ∧ x ، و x ∧ x = x ، و x ∧ ¬ x = y ∧ ¬ y ، و x ∧ y = x .

تحقق الجبر معادلةً ما عندما تكون هذه المعادلة صحيحة لجميع القيم الممكنة لمتغيراته في ذلك الجبر، وذلك عند تفسير رموز العمليات وفقًا لما هو محدد في ذلك الجبر. قوانين الجبر البولياني هي المعادلات المكتوبة بلغة الجبر البولياني والتي يحققها النموذج الأولي. الأمثلة الثلاثة الأولى المذكورة أعلاه هي قوانين بوليانية، بينما المثال الرابع ليس كذلك لأن 1 ∧ 0 ≠ 1 .

تُعرَّف نظرية المعادلات في الجبر بأنها مجموعة جميع المعادلات التي يحققها هذا الجبر. ولذلك، تُشكِّل قوانين الجبر البولياني نظرية المعادلات للنموذج البولياني الأصلي.

نموذج النظرية هو جبر يفسر رموز العمليات بلغة النظرية ويحقق معادلات النظرية.

الجبر البولياني هو أي نموذج لقوانين الجبر البولياني.

أي أن الجبر البولياني عبارة عن مجموعة ومجموعة من العمليات عليها تفسر رموز العمليات البوليانية وتفي بنفس القوانين التي يفي بها النموذج البولياني الأولي.

إذا عرفنا أن التماثل لجبر ما هو نموذج لنظرية المعادلات لهذا الجبر، فيمكن تعريف الجبر البولياني على أنه أي تماثل للنموذج الأولي.

مثال 1. النموذج الأولي المنطقي هو جبر منطقي، لأنه يحقق قوانينه الخاصة بشكل بديهي. لذا فهو الجبر المنطقي النموذجي. لم نطلق عليه هذا الاسم في البداية لتجنب أي تلميح إلى التكرار في التعريف.

لا يشترط ذكر جميع العمليات صراحةً. الأساس هو أي مجموعة يمكن من خلالها الحصول على العمليات المتبقية عن طريق التركيب. يمكن تعريف "الجبر البولياني" من أي من عدة أسس مختلفة. ثلاثة أسس شائعة الاستخدام في الجبر البولياني هي: أساس الشبكة، وأساس الحلقة، وأساس شيفر أو أساس NAND. تُضفي هذه الأسس على الموضوع، على التوالي، طابعًا منطقيًا وحسابيًا واقتصاديًا.

• نشأت قاعدة الشبكة في القرن التاسع عشر مع أعمال بول وبيرس وآخرين سعوا إلى صياغة جبرية لعمليات التفكير المنطقي .
• ظهر أساس الحلقة في القرن العشرين مع أعمال زيغالكين وستون ، وأصبح الأساس المفضل لعلماء الجبر القادمين إلى هذا المجال من خلفية في الجبر المجرد . تفترض معظم معالجات الجبر البولياني أساس الشبكة، باستثناء ملحوظ لهالموس [1963] الذي من الواضح أن خلفيته في الجبر الخطي جعلته يفضل أساس الحلقة. ^{[ 5 ]}
• بما أن جميع العمليات النهائية على {0,1} يمكن تعريفها من حيث بوابة شيفر ستروتش NAND (أو بوابة NOR المزدوجة الخاصة بها)، فقد أصبح الأساس الاقتصادي الناتج هو الأساس المختار لتحليل الدوائر الرقمية ، وخاصة مصفوفات البوابات في الإلكترونيات الرقمية .

تتشارك كل من قاعدة الشبكة وقاعدة الحلقة في عنصرين أساسيين هما الثابتان 0 و1، وعملية ثنائية تبادلية تجميعية تُسمى " التقاء x ∧ y" في قاعدة الشبكة، و " الضرب xy" في قاعدة الحلقة. هذا التمييز مصطلحي فقط. تحتوي قاعدة الشبكة على عمليتي " الضم " x ∨ y و " المكمل " ¬x . أما قاعدة الحلقة، فتحتوي على عملية الجمع x ⊕ y (يُفضل استخدام الرمز ⊕ بدلاً من + لأن الأخير يُفسر أحيانًا على أنه " ضم" منطقيًا).

أن يكون أساسًا يعني أن جميع العمليات الأخرى تُنتج بالتركيب، ومن ثم يجب أن يكون أي أساسين قابلين للتحويل المتبادل. يُحوّل أساس الشبكة x ∨ y إلى أساس الحلقة على النحو التالي: x ⊕ y ⊕ xy ، و¬ x على النحو التالي: x ⊕ 1. وبالعكس، يُحوّل أساس الحلقة x ⊕ y إلى أساس الشبكة على النحو التالي: ( x ∨ y ) ∧ ¬( x ∧ y ) .

تُتيح كلتا القاعدتين تعريف الجبر البولياني عبر مجموعة فرعية من الخصائص المعادلة للعمليات البوليانية. بالنسبة لقاعدة الشبكة، يكفي تعريف الجبر البولياني كشبكة توزيعية تحقق x ∧¬ x = 0 و x ∨¬ x = 1 ، وتُسمى شبكة توزيعية مُكمّلة . أما قاعدة الحلقة، فتحوّل الجبر البولياني إلى حلقة بوليانية ، أي حلقة تحقق x ^∧¬ x .

قدّم إميل بوست شرطًا ضروريًا وكافيًا لكي تُشكّل مجموعة من العمليات أساسًا للعمليات المنطقية غير الصفرية. الخاصية غير التافهة هي خاصية تشترك فيها بعض العمليات المكونة للأساس، وليس جميعها. سرد بوست خمس خصائص غير تافهة للعمليات، يمكن تحديدها بفئات بوست الخمس ، وكل منها محفوظة بالتركيب، وبيّن أن مجموعة من العمليات تُشكّل أساسًا إذا احتوت، لكل خاصية، على عملية تفتقر إلى تلك الخاصية. (عكس نظرية بوست ، بتوسيع "إذا" إلى " إذا وفقط إذا "، هو الملاحظة البسيطة بأن خاصية من بين هذه الخصائص الخمس التي تنطبق على كل عملية في أساس مرشح، تنطبق أيضًا على كل عملية مُشكّلة بالتركيب من ذلك الأساس المرشح، وبالتالي، نظرًا لعدم تفاهية تلك الخاصية، فإن الأساس المرشح لن يكون أساسًا). خصائص بوست الخمس هي:

• رتيب ، لا يمكن أن يتسبب انتقال الإدخال من 0 إلى 1 في انتقال الإخراج من 1 إلى 0؛
• affine ، قابلة للتمثيل باستخدام كثيرات حدود Zhegalkin التي تفتقر إلى الحدود الثنائية الخطية أو الأعلى، على سبيل المثال x ⊕ y ⊕1 ولكن ليس xy ؛
• ذاتي مزدوج ، بحيث أن استكمال جميع المدخلات يكمل المخرجات، كما هو الحال مع x ، أو عامل الوسيط xy ⊕ yz ⊕ zx ، أو نفيها؛
• صارم (يحول المدخلات التي تحتوي على جميع الأصفار إلى الصفر)؛
• costrict (ربط جميع القيم التي تساوي واحدًا بواحد).

تفتقر عملية NAND (NOR المزدوجة) إلى كل هذه العناصر، وبالتالي تشكل أساسًا قائمًا بذاته.

يمكن تمثيل العمليات المنتهية على المجموعة {0,1} بجداول الصواب ، مع اعتبار 0 و1 قيمتي الصواب : خطأ وصواب . ^{[ 6 ]} يمكن ترتيبها بطريقة موحدة ومستقلة عن التطبيق، مما يسمح لنا بتسميتها، أو على الأقل ترقيمها بشكل فردي. توفر هذه الأسماء اختصارًا مناسبًا للعمليات المنطقية. أسماء العمليات من الرتبة n هي أعداد ثنائية مكونة من 2 ^{^n} بت. وبما أن هناك 2 ^{^ 2n} عملية من هذا النوع، فلا يمكن طلب تسمية أكثر إيجازًا. تجدر الإشارة إلى أن كل عملية منتهية يمكن تسميتها دالة تبديل .

يتم توضيح هذا التخطيط وتسمية العمليات المرتبطة به هنا بالكامل لعدد المعاملات من 0 إلى 2.

جداول الحقيقة للعمليات المنطقية ذات عدد معاملات يصل إلى 2

الثوابت ${\displaystyle {}^{0}\!f_{0}}$ ${\displaystyle {}^{0}\!f_{1}}$ 0 1

العمليات الأحادية ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {}^{1}\!f_{0}}$ ${\displaystyle {}^{1}\!f_{1}}$ ${\displaystyle {}^{1}\!f_{2}}$ ${\displaystyle {}^{1}\!f_{3}}$ 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1

العمليات الثنائية ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{0}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{1}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{2}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{3}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{4}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{5}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{6}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{7}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{8}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{9}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{10}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{11}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{12}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{13}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{14}}$ ${\displaystyle {}^{2}\!f_{15}}$ 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

تستمر هذه الجداول عند مستويات أعلى، حيث تحتوي على 2 ^ ⁿ صفًا عند المستوى n ، ويُعطي كل صف قيمة أو ربطًا للمتغيرات n ، _x₀ ، ... _{، xₙ₋₁} ، ويُعطي كل عمود بعنوان ⁿ fᵢ قيمة ⁿ _fᵢ ( x₀ _، ...، xₙ₋₁ ₎ للعملية n - ary رقم i عند تلك القيمة. تشمل العمليات المتغيرات، على سبيل المثال _{، 1} ^f₂ هو x₀ ، _بينما 2 ^f₁₀ _هو x₀ ₍ كنسختين من نظيره الأحادي)، _{و 2 f₁₂} ^هو x₁ ( بدون _نظير أحادي ) . يظهر النفي أو المكمل ¬ x _{0 على شكل} ¹ f ₁ ومرة ​​أخرى على شكل ² f ₅ ، إلى جانب ² f ₃ ( ¬ x ₁ ، الذي لم يظهر في الرتبة 1)، والفصل أو الاتحاد x ₀ ∨ x ₁ على شكل ² f ₁₄ ، والاقتران أو التقاطع x ₀ ∧ x ₁ على شكل ² f ₈ ، والاستلزام x ₀ → x ₁ على شكل ² f ₁₃ ، والفرق الحصري أو المتناظر x ₀ ⊕ x ₁ على شكل ² f ₆ ، وفرق المجموعة x ₀ − x ₁ على شكل ² f ₂ ، وهكذا.

كإحدى التفاصيل الثانوية المهمة لشكلها أكثر من مضمونها، تُنظَّم عمليات الجبر تقليديًا على شكل قائمة. مع أننا هنا نفهرس عمليات الجبر البولياني بالعمليات النهائية على المجموعة {0,1}، فإن عرض جدول الحقيقة أعلاه يرتب العمليات بشكل غير متوقع، أولًا حسب عدد المعاملات، وثانيًا حسب تخطيط الجداول لكل عدد معاملات. هذا يسمح بتنظيم مجموعة جميع العمليات البوليانية في شكل القائمة التقليدي. ويُحدد ترتيب القائمة لعمليات عدد معاملات معين وفقًا للقاعدتين التاليتين.

(i) الصف i في النصف الأيسر من الجدول هو التمثيل الثنائي لـ i مع البت الأقل أهمية أو البت 0 على اليسار ("ترتيب النهاية الصغيرة"، الذي اقترحه آلان تورينج في الأصل ، لذلك لن يكون من غير المعقول تسميته ترتيب تورينج).

(ii) يُمثل العمود j في النصف الأيمن من الجدول التمثيل الثنائي لـ j ، بترتيب النهاية الصغرى. في الواقع، يُعدّ دليل العملية جدول الحقيقة لتلك العملية. قياسًا على ترقيم غودل للدوال القابلة للحساب، يُمكن تسمية هذا الترقيم للعمليات المنطقية بترقيم بول.

عند البرمجة بلغة C أو Java، يُشار إلى الفصل الثنائي بالرمز التالي:س | ص، اِقتِرانس و ص، والنفي~ xوبالتالي، يمكن للبرنامج أن يمثل، على سبيل المثال، العملية x ∧( y ∨ z ) في هذه اللغات على النحو التالي:x &( y | z )بعد أن حدد سابقًاx  =  0xaa،y  = 0xcc، وz  = 0xf0(ال "0xيشير الرمز " إلى أنه يجب قراءة الثابت التالي بالنظام الست عشري (الأساس 16)، إما عن طريق إسناده إلى متغيرات أو تعريفه كوحدات ماكرو. تتوافق هذه الثوابت أحادية البايت (ثمانية بتات) مع أعمدة متغيرات الإدخال في امتداد الجداول المذكورة أعلاه إلى ثلاثة متغيرات. تُستخدم هذه التقنية على نطاق واسع في أجهزة الرسومات النقطية لتوفير مجموعة متنوعة ومرنة من طرق دمج الصور وإخفائها، وتكون العمليات النموذجية ثلاثية وتعمل في آنٍ واحد على بتات المصدر والوجهة والقناع.

تُشكّل العمليات المنطقية من الرتبة n مجموعة جبرية للقوى 2W ^، وذلك عندما تُعتبر W مجموعة 2^ ⁿ من قيم المدخلات n . وباستخدام نظام تسمية العمليات ⁿ f _i، حيث يُمثّل i في النظام الثنائي عمودًا في جدول الحقيقة، يُمكن دمج هذه الأعمدة مع عمليات منطقية من أي رتبة لإنتاج أعمدة أخرى موجودة في الجدول. أي، يُمكننا تطبيق أي عملية منطقية من الرتبة m على m عملية منطقية من الرتبة n للحصول على عملية منطقية من الرتبة n ، وذلك لأي قيمتين m و n .

تكمن الأهمية العملية لهذا الاصطلاح، سواءً للبرمجيات أو الأجهزة، في إمكانية تمثيل العمليات المنطقية من الرتبة n بكلمات ذات طول مناسب. فعلى سبيل المثال، يمكن تمثيل كل عملية من العمليات المنطقية الثلاثية البالغ عددها 256 عملية ببايت غير مُوَقَّع. ويمكن بعد ذلك استخدام العمليات المنطقية المتاحة، مثل AND و OR، لتكوين عمليات جديدة. إذا اعتبرنا x و y و z (مع الاستغناء عن المتغيرات ذات الرموز السفلية في الوقت الحالي) هي 10101010 و 11001100 و 11110000 على التوالي (170 و 204 و 240 بالنظام العشري، و 0xaa و 0xcc و 0xf0 بالنظام الست عشري)، فإن اقتراناتها الزوجية هي x ∧ y  = 10001000 و y ∧ z  = 11000000 و z ∧ x  = 10100000 ، بينما فصلاتها الزوجية هي x ∨ y  = 11101110 و y ∨ z  = 11111100 و z ∨ x  = 11111010 . الفصل بين الوصلات الثلاث هو 11101000 ، وهو أيضًا وصلة بين ثلاث فواصل. وبذلك، حسبنا، باستخدام نحو اثنتي عشرة عملية منطقية على البايتات، أن العمليتين الثلاثيتين

${\displaystyle (x\land y)\lor (y\land z)\lor (z\land x)}$

و

${\displaystyle (x\lor y)\land (y\lor z)\land (z\lor x)}$

هما في الواقع نفس العملية. أي أننا أثبتنا التطابق المعادلة.

${\displaystyle (x\land y)\lor (y\land z)\lor (z\land x)=(x\lor y)\land (y\lor z)\land (z\lor x)}$،

بالنسبة للجبر البولياني ذي العنصرين. وبحسب تعريف "الجبر البولياني"، يجب أن تتحقق هذه المتطابقة في كل جبر بولياني.

شكلت هذه العملية الثلاثية، بالمناسبة، أساسًا لجبر بول الثلاثي الذي وضعه غراو [1947]، والذي اعتمده في وضع بديهياته باستخدام هذه العملية والنفي. العملية متناظرة، أي أن قيمتها مستقلة عن أي من التباديل الستة (3!  = 6) لمتغيراتها. يمثل نصفا جدول الصواب الخاص بها (11101000) جدولي الصواب للعمليتين ∨ ( 1110) و∧ ( 1000) ، لذا يمكن صياغة العملية على النحو التالي: إذا كان z، فإن x ∨ y، وإلا فإن x ∧ y . ولأنها متناظرة، يمكن صياغتها أيضًا على النحو التالي: إذا كان x، فإن y ∨ z، وإلا فإن y ∧ z ، أو إذا كان y، فإن z ∨ x، وإلا فإن z ∧ x . إذا نظرنا إلى الأمر على أنه تسمية للمكعب الثلاثي ذي 8 رؤوس، فإن النصف العلوي يُسمى 1 والنصف السفلي 0؛ ولهذا السبب أطلق عليه اسم عامل الوسيط ، مع التعميم الواضح لأي عدد فردي من المتغيرات (فردي لتجنب التعادل عندما يكون نصف المتغيرات بالضبط 0).

يمكن تعميم الأسلوب الذي استخدمناه لإثبات متطابقة في الجبر البولياني ليشمل جميع المتطابقات بطريقة منهجية تُعتبر بمثابة نظام بديهي سليم وكامل لقوانين المعادلات في المنطق البولياني . يتألف النظام البديهي عادةً من مجموعة من البديهيات التي تُهيئ النظام ببعض المتطابقات الأولية، بالإضافة إلى مجموعة من قواعد الاستدلال لاستنتاج المتطابقات المتبقية من البديهيات والمتطابقات التي تم إثباتها سابقًا. من حيث المبدأ، يُفضل أن يكون عدد البديهيات محدودًا؛ إلا أنه عمليًا ليس ضروريًا، إذ يكفي وجود مخطط بديهي محدود يحتوي على عدد لا نهائي من الأمثلة، يمكن التحقق بسهولة من صحة كل مثال عند استخدامه في البرهان، وهو النهج الذي نتبعه هنا.

المتطابقات المنطقية هي عبارات على الصورة s  = t _، حيث s و t مصطلحات من الرتبة n _، ونقصد هنا المصطلحات التي تقتصر متغيراتها على x₀ إلى xₙ₋₁ . المصطلح _من الرتبة n إما أن _يكون ذرة أو تطبيقًا. التطبيق ^m f _i ( t₀ _, ... , tₘ₋₁ ) هو زوج يتكون من عملية _من الرتبة ^m f _i وقائمة أو مجموعة من m مصطلحات من الرتبة _n تسمى _{المعاملات} .

يرتبط بكل مصطلح عدد طبيعي يُسمى ارتفاعه . الذرات لها ارتفاع صفري، بينما التطبيقات لها ارتفاع يساوي واحدًا زائد ارتفاع أعلى معامل لها.

ما هي الذرة؟ عادةً، تُعرَّف الذرة إما بأنها ثابت (0 أو 1) أو متغير xᵢ حيث 0 ≤ i < n . ولأغراض البرهان هنا، من الملائم تعريف الذرات على أنها _عمليات n-ary nᵢ ، ^والتي _{على الرغم من أنها تُعامل هنا كذرات ،} إلا أنها تعني نفس معنى الحدود العادية من الشكل الدقيق nᵢ ⁽ x₀ _{, ...} , xₙ₋₁ ) ( دقيقة بمعنى أنه يجب سرد المتغيرات بالترتيب الموضح دون تكرار أو حذف) _. هذا ليس قيدًا لأن الذرات من هذا الشكل تشمل جميع الذرات العادية، أي الثوابت 0 و1، والتي تظهر هنا كعمليات n -ary ⁿ f ₀ و ⁿ f ₋₁ لكل n (اختصار 2 ^{2 n} −1 إلى −1 )، والمتغيرات x ₀ ,..., x _{n -1} كما يمكن رؤيته من جداول الحقيقة حيث يظهر x ₀ كعملية أحادية ¹ f ₂ وعملية ثنائية ² f ₁₀ بينما يظهر x _{1 كـ} ² f ₁₂ .

يقوم مخطط البديهيات التالي وثلاث قواعد استدلالية بتحديد بديهيات الجبر البولياني للمصطلحات ذات n -ary.

A1 . ^m f _i ( ⁿ f _{j 0} ,..., ⁿ f _{j m -1} )  = ⁿ f _{i o ĵ} حيث ( i o ĵ ) _v  = i _{ĵ v} ، مع كون ĵ هو منقول j ، معرف بواسطة ( ĵ _v ) _u  = ( j _u ) _v .

R1 . بدون مقدمات، استنتج أن t  = t .

R2 . من s  = u و t  = u نستنتج s  = t حيث s و t و u هي حدود n -ary.

R3 . من s ₀  = t ₀  ,  ...  , s _{m -1} = t _{m -1}   نستنتج ^m f _i ( s ₀ ,..., s _{m -1} )  = ^m f _i ( t ₀ ,..., t _{m ​​-1} ) ، حيث أن جميع الحدود s _i , t _i هي حدود n.

معنى الشرط الجانبي على A1 هو أن i o ĵ هو العدد المكون من 2n ^بت ، والذي يكون بتّه v هو البت ĵ _v من i ، حيث نطاقات كل كمية هي u : m ، v : 2n ^، j u _: 2 ^{2 n} ، و ĵ _v : 2m ^. (إذن j عبارة عن مجموعة من m بت مكونة من 2n ^بت ، بينما ĵ، باعتباره منقول j ، عبارة عن مجموعة من 2n ^بت مكونة من m بت. وبالتالي، يحتوي كل من j و ĵ على m 2n ^بت .)

A1 عبارة عن مخطط بديهي وليس بديهية بحد ذاته، وذلك لاحتوائه على متغيرات فوقية _{، وهي m و i و n و j₀ إلى jₘ₋₁} . تُستخلص البديهيات الفعلية لهذا المخطط البديهي بتعيين قيم محددة للمتغيرات _{الفوقية} . على سبيل المثال، إذا افترضنا أن m = n = i = j₀ = 1 ، _{فيمكننا} حساب البتّين لـ ioĵ من i₁ = 0 _و i₀ = 1 _، وبالتالي ioĵ = 2 ⁽ _أو 10 عند كتابتها كعدد ثنائي). والنتيجة هي 1f₁ ⁽ 1f₁ ) = 1f₂ _، وهي تُعبّر ^عن البديهية المعروفة x = x للنفي _{المزدوج} . ثم تسمح لنا القاعدة R3 باستنتاج ¬¬¬ x = ¬ x من خلال اعتبار s ₀ هو ¹ f ₁ ( ¹ f ₁ ) أو ¬¬ x ₀ ، و t ₀ هو ¹ f ₂ أو x ₀ ، و ^m f _i هو ¹ f ₁ أو ¬ .          

لكل من m و n، يوجد عدد محدود فقط من البديهيات التي تُجسد A1 ، وهي 2 ^{2 m} × (2 ^{2 n} ) ^m . يتم تحديد كل حالة بواسطة 2 ^m + m 2 ⁿ بت.

نتعامل مع القاعدة R1 كقاعدة استدلال، رغم أنها تشبه البديهية في كونها بلا مقدمات، لأنها قاعدة مستقلة عن المجال، إلى جانب القاعدتين R2 و R3، وهي قواعد مشتركة بين جميع البديهيات المعادلاتية، سواء أكانت خاصة بالمجموعات أو الحلقات أو أي نوع آخر. الكيان الوحيد الخاص بالجبر البولياني هو مخطط البديهية A1 . وبهذه الطريقة، عند الحديث عن نظريات المعادلات المختلفة، يمكننا استبعاد القواعد باعتبارها مستقلة عن النظريات المحددة، والتركيز على البديهيات باعتبارها الجزء الوحيد من نظام البديهيات الذي يميز نظرية المعادلات قيد الدراسة.

هذه البديهية كاملة، ما يعني أن كل قانون منطقي s  = t قابل للإثبات في هذا النظام. يُبرهن أولًا بالاستقراء على ارتفاع s أن كل قانون منطقي يكون فيه t ذريًا قابل للإثبات، باستخدام R1 للحالة الأساسية (لأن الذرات المختلفة لا تتساوى أبدًا) و A1 و R3 لخطوة الاستقراء ( حيث s تطبيق). تُشكل استراتيجية الإثبات هذه إجراءً تكراريًا لتقييم s للحصول على ذرة. ثم لإثبات s  = t في الحالة العامة عندما يكون t تطبيقًا، يُستخدم حقيقة أنه إذا كان s  = t عنصرًا محايدًا، فإن s و t يجب أن يُقيّما إلى نفس الذرة، ولنسمها u . لذا، يُثبت أولًا s  = u و t  = u كما سبق، أي يُقيّم s و t باستخدام A1 و R1 و R3 ، ثم يُستدعى R2 لاستنتاج s  = t .

في A1 ، إذا اعتبرنا العدد n _^m دالة من النوع m → n، وmn تطبيقًا للدالة m(n)، فيمكننا إعادة تفسير الأعداد i وj وĵ وioĵ كدوال من النوع i : ( m → 2 ) → 2 ، و j : m → ( ( n  → 2 ) → 2 ) ، و ĵ : (  n → 2) → (m → 2)، وioĵ : (  n → 2 ) → 2. وبالتالي ، يُترجم تعريف ( ioĵ )  v = iĵv في A1 إلى ( ioĵ ) ( _v ) =  i ( ĵ ( v ) ) ، أي أن ioĵ يُعرَّف على أنه  _{تركيب i} و ĵ كدالتين . إذن ، يُختزل محتوى A1 في تعريف مصطلح التطبيق على أنه تركيب في جوهره، مع مراعاة ضرورة تبديل المجموعة m- الثلاثية j لجعل الأنواع متوافقة بشكل مناسب للتركيب. هذا التركيب هو التركيب الموجود في فئة مجموعات القوى ووظائفها التي ذكرها لوفير سابقًا. وبهذه الطريقة، قمنا بترجمة مخططات التبادل لتلك الفئة، باعتبارها النظرية المعادلاتية للجبر البولياني، إلى النتائج المعادلاتية لـ A1 باعتبارها التمثيل المنطقي لقانون التركيب المحدد هذا.

يكمن أساس كل جبر بولياني B مجموعة مرتبة جزئيًا أو مجموعة جزئية ( B , ≤) . تُعرَّف علاقة الترتيب الجزئي بـ x ≤ y عندما x  = x ∧ y ، أو بصورة مكافئة عندما y  = x ∨ y . بالنسبة لمجموعة X من عناصر جبر بولياني، فإن الحد الأعلى لـ X هو عنصر y بحيث يكون x ≤ y لكل عنصر x من X ، بينما الحد الأدنى لـ X هو عنصر y بحيث يكون y ≤ x لكل عنصر x من X.

الحد الأعلى لـ X هو أصغر حد أعلى لـ X ، أي حد أعلى لـ X أصغر من أو يساوي أي حد أعلى لـ X. وبالمثل، الحد الأدنى لـ X هو أكبر حد أدنى لـ X. يوجد دائمًا الحد الأعلى لـ x و y في المجموعة الجزئية المرتبة الأساسية للجبر البولياني، وهو x ∨ y ، وكذلك يوجد حد أدنى لهما، وهو x ∧ y . الحد الأعلى الفارغ هو 0 (العنصر السفلي) والحد الأدنى الفارغ هو 1 (العنصر العلوي). يترتب على ذلك أن كل مجموعة منتهية لها حد أعلى وحد أدنى. قد تحتوي المجموعات الجزئية غير المنتهية للجبر البولياني على حد أعلى و/أو حد أدنى، أو قد لا تحتوي عليهما؛ أما في جبر مجموعات القوى، فهي تحتوي عليهما دائمًا.

أي مجموعة جزئية مرتبة ( B , ≤) بحيث يكون لكل زوج من العناصر x و y حد أعلى وحد أدنى يُسمى شبكة . نكتب x ∨ y للحد الأعلى و x ∧ y للحد الأدنى. تُشكل المجموعة الجزئية المرتبة الأساسية للجبر البولياني دائمًا شبكة. يُقال إن الشبكة توزيعية عندما يكون x ∧ ( y ∨ z )  = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ) ، أو بصورة مكافئة عندما يكون x ∨ ( y ∧ z )  = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) ، لأن أيًا من القانونين يستلزم الآخر في الشبكة. هذه قوانين الجبر البولياني، ومن ثم تُشكل المجموعة الجزئية المرتبة الأساسية للجبر البولياني شبكة توزيعية.

بالنظر إلى شبكة ذات عنصر سفلي 0 وعنصر علوي 1، يُطلق على زوج العناصر x و y اسم "مكمل" عندما يكون x ∧ y  = 0 و x ∨ y  = 1 ، ونقول حينها أن y مكمل لـ x والعكس صحيح. أي عنصر x في شبكة توزيعية ذات عنصر علوي وسفلي يمكن أن يكون له مكمل واحد على الأكثر. عندما يكون لكل عنصر في الشبكة مكمل، تُسمى الشبكة "مكملة". يترتب على ذلك أنه في الشبكة التوزيعية المكملة، يكون مكمل أي عنصر موجودًا دائمًا وفريدًا، مما يجعل عملية المكمل عملية أحادية. علاوة على ذلك، تُشكل كل شبكة توزيعية مكملة جبرًا بوليانيًا، والعكس صحيح، فكل جبر بولياني يُشكل شبكة توزيعية مكملة. هذا يُقدم تعريفًا بديلًا للجبر البولياني، وهو أنه أي شبكة توزيعية مكملة. يمكن وضع بديهيات لكل من هذه الخصائص الثلاث باستخدام عدد محدود من المعادلات، ومن ثم تشكل هذه المعادلات مجتمعة بديهيات محدودة لنظرية المعادلات للجبر البولياني.

في فئة من الجبر تُعرَّف بأنها جميع نماذج مجموعة من المعادلات، عادةً ما تُحقق بعض أنواع الجبر في هذه الفئة معادلات أكثر من تلك اللازمة لتصنيفها ضمن هذه الفئة. وتتميز فئة الجبر البولياني بكونها، باستثناء واحد، تُحقق جميع أنواع الجبر البولياني فيها متطابقات بوليانية فقط، ولا تُحقق أي متطابقات أخرى. هذا الاستثناء هو الجبر البولياني ذو العنصر الواحد، الذي يُحقق بالضرورة جميع المعادلات، حتى المعادلة x  = y ، ولذلك يُشار إليه أحيانًا بالجبر البولياني غير المتسق.

التشاكل البولياني هو دالة h : A → B بين الجبر البولياني A و B بحيث يكون لكل عملية بوليانية ^m f _i :

$${\displaystyle h(^{m}\!f_{i}(x_{0},...,x_{m-1}))={}^{m}\!f_{i}(h(x_{0},...,x_{m-1}))}$$

تحتوي فئة Bool من الجبر البولياني على جميع الجبر البولياني ككائنات وعلى التشاكلات البوليانية بينها كتشاكلات.

يوجد تشاكل وحيد من الجبر البولياني ذي العنصرين 2 إلى أي جبر بولياني، لأن التشاكلات يجب أن تحافظ على الثابتين وهما العنصران الوحيدان في 2. يُسمى الجبر البولياني الذي يتمتع بهذه الخاصية جبرًا بوليانيًا ابتدائيًا . يمكن إثبات أن أي جبرين بوليانيين ابتدائيين متماثلان، لذا فإن 2 هو الجبر البولياني الابتدائي حتى التشاكل .

في الاتجاه الآخر، قد توجد العديد من التشاكلات من جبر بولياني B إلى 2. أي تشاكل من هذا القبيل يقسم B إلى عناصر مُرتبطة بالقيمة 1 وعناصر مُرتبطة بالقيمة 0. تُسمى المجموعة الجزئية من B التي تتكون من العناصر المُرتبطة بالقيمة 1 مرشحًا فائقًا لـ B. عندما تكون B محدودة، تتزاوج مرشحاتها الفائقة مع ذراتها؛ حيث تُرتبط ذرة واحدة بالقيمة 1 والباقي بالقيمة 0. بالتالي، يتكون كل مرشح فائق لـ B من ذرة من B وجميع العناصر التي تعلوها؛ ومن ثم، فإن نصف عناصر B بالضبط موجودة في المرشح الفائق، وعدد المرشحات الفائقة يساوي عدد الذرات.

في الجبر البولياني اللانهائي، يصبح مفهوم المرشح الفائق أكثر تعقيدًا. تشكل العناصر الأكبر من أو تساوي ذرةً مرشحًا فائقًا دائمًا، وكذلك العديد من المجموعات الأخرى؛ على سبيل المثال، في الجبر البولياني للمجموعات المنتهية والمنتهية جزئيًا من الأعداد الصحيحة، تشكل المجموعات المنتهية جزئيًا مرشحًا فائقًا على الرغم من أن أيًا منها ليس ذرة. وبالمثل، تحتوي مجموعة قوى الأعداد الصحيحة، من بين مرشحاتها الفائقة، على مجموعة جميع المجموعات الجزئية التي تحتوي على عدد صحيح معين؛ يوجد عدد قابل للعد من هذه المرشحات الفائقة "القياسية"، والتي يمكن تعريفها بالأعداد الصحيحة نفسها، ولكن يوجد عدد غير قابل للعد من المرشحات الفائقة "غير القياسية". تشكل هذه المرشحات أساس التحليل غير القياسي ، حيث توفر تمثيلات لأشياء غير متسقة كلاسيكيًا مثل المتناهيات في الصغر ودوال دلتا.

تذكر تعريف الحد الأعلى والحد الأدنى من القسم السابق حول الترتيب الجزئي الأساسي للجبر البولياني. الجبر البولياني الكامل هو الذي تمتلك كل مجموعة جزئية منه حدًا أعلى وحدًا أدنى، حتى المجموعات الجزئية اللانهائية. وقد أثبت كل من غايفمان [1964] وهيلز [1964] بشكل مستقل عدم وجود جبر بولياني كامل حر لانهائي . يشير هذا إلى أن المنطق الذي يحتوي على عمليات لا نهائية بحجم المجموعة قد يحتوي على عدد كبير من الحدود، تمامًا كما قد يحتوي المنطق الذي يحتوي على عمليات منتهية على عدد لا نهائي من الحدود.

مع ذلك، ثمة نهج آخر لإدخال العمليات البوليانية اللانهائية: ببساطة، حذف كلمة "نهائية" من تعريف الجبر البولياني. يُطلق على نموذج النظرية المعادلة لجبر جميع العمليات على المجموعة {0,1}، ذات عدد عناصر يصل إلى عدد عناصر النموذج، اسم الجبر البولياني الذري الكامل، أو CABA . (بدلاً من هذا القيد غير العملي على عدد العناصر، يمكننا السماح بأي عدد، مما يؤدي إلى مشكلة أخرى، وهي أن يكون التوقيع أكبر من أي مجموعة، أي فئة حقيقية. إحدى فوائد هذا النهج الأخير هي أنه يُبسط تعريف التشاكل بين CABAs ذات أعداد عناصر مختلفة ). يمكن تعريف هذا الجبر بشكل مكافئ على أنه جبر بولياني كامل ذري ، أي أن كل عنصر فيه هو أعلى مجموعة من الذرات. توجد جبريات منطقية حرة لجميع أعداد مجموعة مولدات V ، وتحديدًا جبر مجموعة القوى 2 ^{2 V} ، وهو تعميم بديهي للجبر البولياني الحر المحدود. وهذا يُنقذ المنطق البولياني اللانهائي من المصير الذي بدا أن نتيجة غايفمان-هيلز قد حكمت عليه به.

يمكن إرجاع عدم وجود جبر بولياني كامل حر إلى عدم توسيع معادلات المنطق البولياني لتشمل جميع القوانين التي ينبغي أن تنطبق على الاقتران والفصل اللانهائيين، ولا سيما إهمال التوزيعية في تعريف الجبر البولياني الكامل. يُسمى الجبر البولياني الكامل توزيعيًا تمامًا عندما تتوزع الاقترانات العشوائية على الفصلات العشوائية والعكس صحيح. يكون الجبر البولياني جبرًا بوليانيًا كاملًا توزيعيًا تمامًا (CABA) إذا وفقط إذا كان كاملًا وتوزيعيًا تمامًا، مما يُعطي تعريفًا ثالثًا للجبر البولياني الكامل التوزيعي تمامًا. أما التعريف الرابع فهو أي جبر بولياني متماثل مع جبر مجموعة القوى.

التشاكل التام هو الذي يحافظ على جميع القيم العليا الموجودة، وليس فقط القيم العليا المحدودة، وينطبق الأمر نفسه على القيم الدنيا. تُعتبر فئة CABA، التي تضم جميع فئات CABA وتشاكلاتها التامة، ثنائية لفئة المجموعات ودوالها، أي أنها مكافئة لعكس تلك الفئة (الفئة الناتجة عن عكس جميع التشاكلات). لكن الأمر ليس بهذه البساطة بالنسبة لفئة Bool، التي تضم الجبر البولياني وتشاكلاتها، والتي أثبت مارشال ستون (على الرغم من افتقاره إلى اللغة والإطار المفاهيمي اللازمين لتوضيح الثنائية) أنها ثنائية لفئة فضاءات هاوسدورف المدمجة المنفصلة تمامًا ، والتي سُميت لاحقًا بفضاءات ستون .

يُعد مفهوم جبر سيجما فئةً وسيطةً أخرى بين الجبر البولياني والجبر البولياني الكامل . يُعرَّف هذا الجبر بشكلٍ مشابهٍ للجبر البولياني الكامل، ولكن مع تقييد قيمتي sup و inf إلى عددٍ قابلٍ للعد. أي أن جبر سيجما هو جبر بولياني بجميع قيم sup وinf قابلةٍ للعد. ولأن قيم sup وinf ذات عددٍ محدود ، على عكس الجبر البولياني الكامل ، فإن نتيجة غايفمان-هيلز لا تنطبق، وبالتالي توجد جبر سيجما حرة . مع ذلك، وعلى عكس جبر سيجما القابل للعد، فإن جبر سيجما الحر ليس جبر مجموعة قوى.

لقد صادفنا بالفعل عدة تعريفات للجبر البولياني، كنموذج لنظرية المعادلات للجبر ذي العنصرين، وكشبكة توزيعية مكملة، وكحلقة بوليانية، وكدالة حافظة للضرب من فئة معينة (لاوفير). وهناك تعريفان آخران جديران بالذكر:

ستون (1936)

الجبر البولياني هو مجموعة جميع المجموعات المفتوحة المغلقة في فضاء طوبولوجي . ولا يُشترط أن يكون الفضاء فضاء هاوسدورف مضغوطًا منفصلًا تمامًا ، أو فضاء ستون ، أي أن كل جبر بولياني ينشأ بهذه الطريقة، حتى التشاكل . علاوة على ذلك، إذا كان الجبران البوليانيان المُشكَّلان من المجموعات المفتوحة المغلقة لفضاءي ستون متماثلين، فإن فضاءي ستون أنفسهما متماثلان أيضًا، وهو ما لا ينطبق على أي فضاء طوبولوجي. هذا هو الاتجاه المعاكس للازدواجية المذكورة سابقًا من الجبر البولياني إلى فضاءي ستون . ويتضح هذا التعريف أكثر في التعريف التالي.

جونستون (1982)

الجبر البولياني هو حد مشترك مُصفّى للجبر البولياني المحدود.

(يمكن إزالة التكرار في هذا التعريف عن طريق استبدال "الجبر البولياني المحدود" بـ "مجموعة القوى المحدودة" المزودة بالعمليات البوليانية التي يتم تفسيرها بشكل قياسي لمجموعات القوى.)

لتوضيح ذلك، تنشأ المجموعات اللانهائية كنهايات مشتركة مُرشّحة للمجموعات المنتهية، وتنشأ جبريات CABA اللانهائية كنهايات مُرشّحة لجبريات مجموعات القوى المنتهية، وتنشأ فضاءات ستون اللانهائية كنهايات مُرشّحة للمجموعات المنتهية. بالتالي، إذا بدأنا بالمجموعات المنتهية وتساءلنا عن كيفية تعميمها على الكائنات اللانهائية، فهناك طريقتان: "جمعها" يُعطي مجموعات عادية أو استقرائية، بينما "ضربها" يُعطي فضاءات ستون أو مجموعات شبه منتهية . وينطبق الخيار نفسه على جبريات مجموعات القوى المنتهية باعتبارها ثنائية المجموعات المنتهية: فالجمع يُنتج جبريات منطقية ككائنات استقرائية، بينما الضرب يُنتج جبريات CABA أو جبريات مجموعات القوى ككائنات شبه منتهية.

من السمات المميزة أن البنية الطوبولوجية الأساسية للكائنات المُنشأة بهذه الطريقة، عند تعريفها لتكون هاوسدورف ، تكون منفصلة للكائنات الاستقرائية ومتراصة للكائنات شبه المنتهية. وتكون طوبولوجيا فضاءات هاوسدورف المنتهية منفصلة ومتراصة دائمًا، بينما في الفضاءات غير المنتهية، تكون "المنفصلة" و"المتراصة" متنافية. لذا، عند تعميم الجبر المنتهي (من أي نوع، وليس فقط الجبر البولياني) إلى الجبر غير المنتهي، تنفصل "المنفصلة" و"المتراصة"، ويجب اختيار أي منهما للاحتفاظ به. القاعدة العامة، لكل من الجبر المنتهي وغير المنتهي، هي أن الجبر المنتهي منفصل، بينما نظائره متراصة وتتميز بعمليات غير منتهية. وبين هذين النقيضين، توجد العديد من الجبر البولياني غير المنتهي الوسيطة التي لا تكون طوبولوجيتها منفصلة ولا متراصة.

• بيركوف، غاريت (1935). "حول بنية الجبر المجرد". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج الرياضية . 31 (4): 433-454 . Bibcode : 1935PCPS...31..433B . doi : 10.1017/s0305004100013463 .
• بول، جورج (2003) [1854]. بحث في قوانين الفكر . كتب بروميثيوس. ISBN 978-1-59102-089-9.
• دوينجر ، فيليب (1971). مقدمة في الجبر البوليني . فورتسبورغ: دار الفيزياء.
• جيفمان، حاييم (1964). "كثيرات الحدود المنطقية اللانهائية، I" . أساسيات الرياضيات . 54 (3): 229-250 . دوى : 10.4064/fm-54-3-229-250 .
• جيفانت، ستيفن؛ هالموس، بول (2009). مقدمة في الجبر البولياني . نصوص جامعية في الرياضيات . سبرينغر. ISBN 978-0-387-40293-2.
• جراو، أ.أ. (1947). "الجبر البولياني الثلاثي" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 33 ( 6): 567-572 . doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08834-0 .
• هيلز، ألفريد دبليو. (1964). "حول عدم وجود جبر بولياني كامل حر" . فوندامينتا ماتيماتيكا . 54 : 45-66 . doi : 10.4064/fm-54-1-45-66 .
• هالموس ، بول (1963). محاضرات عن الجبر البولي . فان نوستراند. رقم ISBN 0-387-90094-2.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• جيفانت، ستيفن؛ هالموس، بول (1998). المنطق كجبر . سلسلة دولسياني للعرض الرياضي. الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-883-85327-6.
• جونستون، بيتر ت. (1982). مساحات حجرية . كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-33779-3.
• كيتونين، جوسي (1978). "بنية الجبر البولياني القابل للعد". حوليات الرياضيات . 108 (1): 41-89 . doi : 10.2307/1970929 . JSTOR 1970929 . 
• كوبلبرغ، سابين (1989) "النظرية العامة للجبر البولياني" في مونك، ج. دونالد، وبونيه، روبرت، محرران، دليل الجبر البولياني، المجلد 1. نورث هولاند. ISBN 978-0-444-70261-6.
• بيرس، سي إس (1989) كتابات تشارلز إس. بيرس: طبعة زمنية: 1879-1884 . كلوزيل، سي جيه دبليو، محرر. إنديانابوليس: مطبعة جامعة إنديانا. ISBN 978-0-253-37204-8.
• لوفير، ف. ويليام ( 1963). "الدلالات الوظيفية للنظريات الجبرية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 50 (5): 869-873 . Bibcode : 1963PNAS...50..869L . doi : 10.1073/pnas.50.5.869 . PMC 221940. PMID 16591125 .  
• شرودر، إرنست (1890–1910). Vorlesungen über die Algebra der Logik (المنطق الدقيق)، I–III . لايبزيغ: بي جي تيوبنر.
• سيكورسكي، رومان (1969). الجبر البوليني (الطبعة الثالثة  ). برلين: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-0-387-04469-9.
• ستون، إم إتش (1936). "نظرية التمثيل للجبر البولياني". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 40 (1): 37-111 . doi : 10.2307/1989664 . JSTOR 1989664 . 
• تارسكي، ألفريد (1983). المنطق، الدلالات، ما وراء الرياضيات ، كوركوران، ج.، محرر. هاكيت. 1956 الطبعة الأولى حررها وترجمها ج. هـ. وودجر، مطبعة جامعة أكسفورد. تتضمن ترجمات إنجليزية للمقالين التاليين:
  • تارسكي، ألفريد (1929). "Sur les Classes تغلق على قدم المساواة مع بعض العمليات الأساسية". أساسيات الرياضيات . 16 : 195 - 97.
  • تارسكي ، ألفريد (1935). "Zur Grundlegung der Booleschen Algebra، I" . أساسيات الرياضيات . 24 : 177– 98. دوى : 10.4064/fm-24-1-177-198 .
• فلاديميروف، د.أ (1969). булевы алгебры (الجبر البوليني، بالروسية، الترجمة الألمانية Boolesche Algebren 1974) . ناوكا (الترجمة الألمانية Akademie-Verlag).