نظرية كوشي (نظرية المجموعة)

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري متناوب نوع الكذب متقطع
المجموعات المنفصلة شبكات الأعداد الصحيحة (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة مجانية المجموعات المعيارية بي اس ال(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة حسابية شعرية المجموعة الزائدية
المجموعات الطوبولوجية والمجموعات الكاذبة الملف اللولبي دائرة الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) متعامد O( n ) إقليدية E( n ) متعامد خاص SO( n ) وحدة U( n ) وحدة خاصة SU( n ) سمبلكتيك سب( ن ) ج 2 ف 4 هـ 6 هـ 7 هـ 8 لورنتز بوانكاريه مطابق التماثل التفاضلي حلقة مجموعة لاي ذات أبعاد لا نهائية أو(∞) سو(∞) س(∞)
المجموعات الجبرية المجموعة الجبرية الخطية المجموعة الاختزالية صنف أبيليان المنحنى الإهليلجي
ف ت هـ

في الرياضيات ، وتحديدًا نظرية المجموعات ، تنص نظرية كوشي على أنه إذا كانت G مجموعة منتهية وكان p عددًا أوليًا يقسم رتبة G (عدد العناصر في G )، فإن G تحتوي على عنصر من رتبة p . أي أن هناك x في G بحيث يكون p أصغر عدد صحيح موجب مع x ^p = e ، حيث e هو العنصر المحايد لـ G. سميت على اسم أوغستين لويس كوشي ، الذي اكتشفها في عام 1845. ^{[1] [2]}

النظرية هي عكس جزئي لنظرية لاغرانج ، والتي تنص على أن رتبة أي مجموعة فرعية من مجموعة منتهية G تقسم رتبة G. بشكل عام، لا ينشأ كل قاسم لـ كرتبة لمجموعة فرعية لـ . ^[3] تنص نظرية كوشي على أنه لأي قاسم أولي p من رتبة G ، توجد مجموعة فرعية من G رتبتها p - المجموعة الدورية التي يولدها العنصر في نظرية كوشي. ${\displaystyle |G|}$${\displaystyle G}$

يمكن تعميم نظرية كوشي بواسطة نظرية سايلو الأولى ، والتي تعني أنه إذا كانت p ⁿ هي القوة القصوى لـ p التي تقسم رتبة G ، فإن G لديها مجموعة فرعية من رتبة p ⁿ (وباستخدام حقيقة أن مجموعة p قابلة للحل ، يمكن للمرء أن يثبت أن G لديها مجموعات فرعية من رتبة p ^r لأي r أقل من أو يساوي n ).

تثبت العديد من النصوص النظرية باستخدام الاستدلال القوي ومعادلة الفئة ، على الرغم من أن الأمر يتطلب قدرًا أقل بكثير من الآلات لإثبات النظرية في الحالة الإبلية . يمكن للمرء أيضًا الاستعانة بأفعال المجموعة لإثبات ذلك. ^[4]

نثبت أولاً الحالة الخاصة حيث G هي أبيلية ، ثم الحالة العامة؛ كلا الدليلين بالاستقراء على n  = | G |، ويكون لدينا كحالة بداية n  =  p وهي تافهة لأن أي عنصر غير متماثل له الآن رتبة p . افترض أولاً أن G أبيلية. خذ أي عنصر غير متماثل a ، وليكن H هي المجموعة الدورية التي يولدها. إذا قسم p | H |، فإن a ^{| H |/ p} هو عنصر من رتبة p . إذا لم يقسم p | H |، فإنه يقسم رتبة [ G : H ] لمجموعة الحاصل G / H ، والتي تحتوي بالتالي على عنصر من رتبة p حسب الفرضية الاستقرائية. هذا العنصر هو فئة xH لبعض x في G ، وإذا كان m هو رتبة x في G ، فإن x ^m  =  e في G يعطي ( xH ) ^m  =  eH في G / H ، لذا فإن p يقسم m ؛ كما في السابق، أصبح x ^{m / p} الآن عنصرًا من الدرجة p في G ، مما يكمل الإثبات للحالة الإبلية.

في الحالة العامة، دع Z يكون مركز G ، وهي مجموعة فرعية أبيلية. إذا قسم p | Z |، فإن Z تحتوي على عنصر من رتبة p حسب حالة المجموعات الأبلية، وهذا العنصر يعمل لـ G أيضًا. لذا يمكننا أن نفترض أن p لا يقسم رتبة Z. بما أن p يقسم | G |، و G هو الاتحاد المنفصل لـ Z وفئات الاقتران للعناصر غير المركزية، توجد فئة اقتران لعنصر غير مركزي a لا يقبل حجمه القسمة على p . لكن معادلة الفئة تظهر أن الحجم هو [ G  : C _G ( a )]، لذا فإن p يقسم رتبة المركزي C _G ( a ) لـ a في G ، وهي مجموعة فرعية مناسبة لأن a ليست مركزية. تحتوي هذه المجموعة الفرعية على عنصر من رتبة p حسب الفرضية الاستقرائية، وقد انتهينا.

يستخدم هذا الإثبات حقيقة أنه بالنسبة لأي فعل لمجموعة (دورية) من الدرجة الأولية p ، فإن أحجام المدارات الممكنة الوحيدة هي 1 و p ، والتي تأتي مباشرة من نظرية مثبت المدار .

المجموعة التي ستعمل عليها مجموعتنا الدورية هي المجموعة

${\displaystyle X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\}}$

من مجموعات p من عناصر G التي يعطي حاصل ضربها (بالترتيب) الهوية. يتم تحديد مثل هذه المجموعة p بشكل فريد من خلال جميع مكوناتها باستثناء العنصر الأخير، حيث يجب أن يكون العنصر الأخير هو معكوس حاصل ضرب تلك العناصر السابقة. نرى أيضًا أنه يمكن اختيار عناصر p − 1 بحرية، لذلك فإن X لديها | G | ^{p −1} عناصر، والتي يمكن قسمتها على p .

الآن من حقيقة أنه في المجموعة إذا كان ab = e فإن ba = e أيضًا ، يتبع ذلك أن أي تبديل دوري لمكونات عنصر X يعطي مرة أخرى عنصر X. لذلك يمكن للمرء أن يحدد فعل المجموعة الدورية C _p من الرتبة p على X من خلال تبديلات دورية للمكونات، بعبارة أخرى حيث يرسل مولد C _{p المختار}

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})}$.

كما ذكرنا، فإن المدارات في X تحت هذا الإجراء لها إما حجم 1 أو حجم p . يحدث الأول على وجه التحديد لتلك الثنائيات التي . عند حساب عناصر X حسب المدارات، والاختزال بمعامل p ، نرى أن عدد العناصر التي تحقق الشرط قابل للقسمة على p . لكن x = e هو أحد هذه العناصر، لذلك يجب أن يكون هناك على الأقل p − 1 حلول أخرى لـ x ، وهذه الحلول هي عناصر من رتبة p . هذا يكمل الإثبات. ${\displaystyle (x,x,\ldots ,x)}$${\displaystyle x^{p}=e}$${\displaystyle x^{p}=e}$

تتضمن نظرية كوشي تصنيفًا تقريبيًا لجميع المجموعات الإبيلية الأولية (المجموعات التي تحتوي جميع عناصرها غير المتطابقة على ترتيب متساوٍ ومحدود). إذا كانت هذه المجموعة، ولها ترتيب ، فيجب أن تكون أولية، لأنه بخلاف ذلك فإن نظرية كوشي المطبقة على المجموعة الفرعية (المحدودة) الناتجة عن تنتج عنصرًا من رتبة أقل من . علاوة على ذلك، فإن كل مجموعة فرعية محدودة من لها رتبة قوة (بما في ذلك نفسها، إذا كانت محدودة). تنطبق هذه الحجة بالتساوي على المجموعات p ، حيث يكون ترتيب كل عنصر قوة (ولكن ليس بالضرورة أن تكون كل الرتب متماثلة). ${\displaystyle G}$${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$

من الممكن استخدام الحالة الإبلية لنظرية كوشي في إثبات استقرائي ^[5] للنظرية الأولى من نظريات سيلاو، على غرار الإثبات الأول أعلاه، على الرغم من وجود أدلة تتجنب القيام بهذه الحالة الخاصة بشكل منفصل.

• كوشي، أوغستين-لويس (1845)، “Mémoire sur les الترتيبات التي يمكن أن تكون سابقة مع رسائل البيانات، وsur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un ترتيب à un autre”، تمارين د' تحليل وفيزياء الرياضيات ، 3 ، باريس: 151-252
• كوشي ، أوغستين لويس (1932)، “Oeuvres complètes” (PDF) ، ليلياد – جامعة ليل – العلوم والتكنولوجيا ، السلسلة الثانية، 13 (أعيد طبعه)، باريس: غوتييه فيلار: 171–282
• جاكوبسون، ناثان (2009) [1985]، الجبر الأساسي ، كتب دوفر عن الرياضيات، المجلد الأول (الطبعة الثانية)، منشورات دوفر ، ص 80، رقم ISBN 978-0-486-47189-1
• ماكاي، جيمس هـ. (1959)، "إثبات آخر لنظرية مجموعة كوشي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 66 (2): 119، CiteSeerX  10.1.1.434.3544 ، doi :10.2307/2310010، JSTOR  2310010، MR  0098777، Zbl  0082.02601
• ميو، م. (2004)، "الحياة الرياضية لنظرية مجموعة كوشي"، تاريخ الرياضيات ، 31 (2): 196-221، doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X

• "نظرية كوشي". PlanetMath .
• "إثبات نظرية كوشي". PlanetMath .