مسرد مصطلحات نظرية الزمر

المجموعة هي مجموعة مع عملية تجميعية تقبل عنصرًا محايدًا بحيث يوجد معكوس لكل عنصر.

في جميع أنحاء هذا المعجم، نستخدم e للدلالة على العنصر المحايد للمجموعة.

مجموعة أبيلية

تكون المجموعة ( G , •) تبديلية إذا كانت • تبديلية، أي g • h = h • g لكل g و h ∈ G. وبالمثل، تكون المجموعة غير تبديلية إذا لم تتحقق هذه العلاقة لأي زوج g و h ∈ G.

المجموعة الفرعية الصاعدة

تُسمى المجموعة الجزئية H من المجموعة G مجموعةً صاعدة إذا وُجدت متسلسلة مجموعات جزئية صاعدة تبدأ من H وتنتهي عند G ، بحيث يكون كل حد في المتسلسلة مجموعة جزئية طبيعية من الحد الذي يليه. قد تكون المتسلسلة لانهائية. إذا كانت المتسلسلة منتهية، فإن المجموعة الجزئية تكون مجموعةً شبه طبيعية .

التماثل الذاتي

التشاكل الذاتي لمجموعة ما هو تشاكل المجموعة مع نفسها.

مركز المجموعة

مركز المجموعة G ، ويرمز له بـ Z( G ) ، هو مجموعة عناصر المجموعة التي تتبادل مع جميع عناصر G ، أي مجموعة جميع h ∈ G بحيث يكون hg = gh لكل g ∈ G. Z ( G ) هي دائمًا مجموعة جزئية طبيعية من G. تكون المجموعة G تبديلية إذا وفقط إذا كان Z( G ) = G. 

مجموعة بلا مركزية

تكون المجموعة G بلا مركز إذا كان مركزها Z ( G ) تافهاً .

المجموعة الفرعية المركزية

تعتبر المجموعة الفرعية من مجموعة ما مجموعة فرعية مركزية لتلك المجموعة إذا كانت تقع داخل مركز المجموعة .

مركزية

بالنسبة لمجموعة جزئية S من مجموعة G ، فإن المجموعة المركزية لـ S في G ، والتي يُرمز لها بـ C _G ( S ) ، هي المجموعة الجزئية من G المعرفة بواسطة  

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.}$

مجموعة فرعية مميزة

تُعتبر المجموعة الفرعية من مجموعة ما مجموعة فرعية مميزة لتلك المجموعة إذا تم تعيينها على نفسها بواسطة كل تشاكل ذاتي للمجموعة الأصلية.

مجموعة بسيطة مميزة

يقال إن المجموعة بسيطة بشكل مميز إذا لم يكن لديها مجموعات فرعية مميزة غير تافهة .

دالة الفئة

الدالة الصنفية على مجموعة G هي دالة تكون ثابتة على فئات الترافق لـ G.

رقم الفصل

رقم فئة المجموعة هو عدد فئات الترافق الخاصة بها .

المبدل

العنصر التبادلي لعنصرين g و h في زمرة G هو العنصر [ g , h ] = g⁻¹h⁻¹gh . ويُعرّف بعض المؤلفين العنصر التبادلي على أنه [ g , h ] = ghg⁻¹h⁻¹ ^. ويكون العنصر التبادلي لعنصرين ^g و h مساويًا للعنصر المحايد ^في الزمرة إذا وفقط إذا كان ^g و h تبادليين ، أي إذا وفقط إذا كان gh = hg . 

مجموعة فرعية للمبدل

إن المجموعة الفرعية المبدلة أو المجموعة الفرعية المشتقة لمجموعة ما هي المجموعة الفرعية المتولدة بواسطة جميع مبدلات المجموعة.

مجموعة كاملة

يقال إن المجموعة G كاملة إذا كانت بلا مركز وإذا كان كل تشاكل ذاتي لـ G تشاكلاً ذاتياً داخلياً .

سلسلة مؤلفات موسيقية

المتسلسلة التركيبية لمجموعة G هي متسلسلة شبه طبيعية ذات طول محدود

${\displaystyle 1=H_{0}\triangleleft H_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft H_{n}=G,}$

_{مع تضمينات صارمة} ، بحيث يكون كل Hᵢ زمرة جزئية طبيعية صارمة قصوى من Hᵢⱼ⁺¹ _{. وبصورة مكافئة، فإن} متسلسلة التركيب هي متسلسلة شبه طبيعية بحيث تكون كل _{زمرة عوامل Hᵢⱼ⁺¹} / Hᵢ بسيطة _. وتسمى زمر العوامل عوامل التركيب _.

مجموعة فرعية مغلقة بالاقتران

يقال إن مجموعة فرعية من مجموعة ما مغلقة بالترافق إذا كان أي عنصرين من المجموعة الفرعية مترافقين في المجموعة مترافقين أيضًا في المجموعة الفرعية.

دروس التزاوج

فئات الترافق لمجموعة G هي تلك المجموعات الفرعية من G التي تحتوي على عناصر المجموعة المترافقة مع بعضها البعض.

العناصر المترافقة

يُقال عن عنصرين x و y في المجموعة G أنهما مترافقان إذا وُجد عنصر g ∈ G بحيث يكون g⁻¹xg = y . يُسمى العنصر g⁻¹xg ^، الذي يُرمز له بـ xg ^{، مرافق} x بواسطة ^g . يُعرّف بعض المؤلفين مرافق x بواسطة g على أنه gxg⁻¹ ^، ويُرمز له غالبًا بـ gx. الترافق علاقة تكافؤ ، ^وتُسمى فئات التكافؤ الخاصة به فئات الترافق . 

المجموعات الفرعية المترافقة

تعتبر مجموعتان فرعيتان H ₁ و H ₂ من مجموعة G مجموعات فرعية مترافقة إذا كان هناك g ∈ G بحيث يكون gH ₁ g ⁻¹ = H ₂ .

مجموعة فرعية معاكسة للطبيعة

تكون المجموعة الفرعية من المجموعة G مجموعة فرعية مضادة طبيعية من G إذا كان إغلاقها الطبيعي هو G نفسها.

المجموعة الحلقية

المجموعة الدورية هي مجموعة يتم توليدها بواسطة عنصر واحد، أي مجموعة بحيث يوجد عنصر g في المجموعة بحيث يمكن الحصول على كل عنصر آخر من المجموعة عن طريق تطبيق عملية المجموعة بشكل متكرر على g أو معكوسها. 

مجموعة فرعية مشتقة

مرادف لمجموعة التبديل الفرعية .

المنتج المباشر

الضرب المباشر لمجموعتين G و H ، ويرمز له بـ G × H ، هو الضرب الديكارتي للمجموعات الأساسية لـ G و H ، مزودًا بعملية ثنائية معرفة على مستوى كل عنصر: ( _{g1 ,} h1 ) _· ( g2 , h2 ) ₌ ( g1 _{⋅ g2} , h1 ⋅ h2 ₎ . بهذه العملية، تُشكّل G _× H نفسها مجموعة.

أس المجموعة

أسّ المجموعة G هو أصغر عدد صحيح موجب n بحيث يكون g ^_n = e لكل g ∈ G. وهو المضاعف المشترك الأصغر لرتب جميع عناصر المجموعة. إذا لم يوجد عدد صحيح موجب يحقق هذا الشرط، يُقال إن أسّ المجموعة لانهائي.

مجموعة العوامل

مرادف لمجموعة القسمة .

مجموعة FC

تُسمى المجموعة مجموعة FC إذا كانت كل فئة اقتران لعناصرها ذات عدد أصلي محدود.

المجموعة المنتهية

المجموعة المنتهية هي مجموعة ذات رتبة منتهية ، أي مجموعة ذات عدد منتهٍ من العناصر.

مجموعة مولدة نهائياً

تكون المجموعة G مولدة بشكل نهائي إذا كانت هناك مجموعة مولدة نهائية ، أي إذا كانت هناك مجموعة نهائية S من عناصر G بحيث يمكن كتابة كل عنصر من G على أنه مزيج من عدد نهائي من عناصر S ومعكوسات عناصر S.

مجموعة المولدات

المجموعة المولدة لمجموعة G هي مجموعة جزئية S من G بحيث يمكن التعبير عن كل عنصر من G كمزيج (تحت عملية المجموعة) من عدد محدود من عناصر S ومعكوسات عناصر S. إذا كانت لدينا مجموعة جزئية S من G ، فإننا نرمز بـ ⟨S⟩ إلى أصغر مجموعة جزئية من G تحتوي على S. وتُسمى ⟨S⟩ المجموعة الجزئية المولدة من G بواسطة S.

التماثل الذاتي للمجموعة

انظر إلى التماثل الذاتي .

تماثل المجموعة

انظر إلى التشاكل .

تماثل المجموعة

انظر إلى التشاكل .

التماثل

بالنظر إلى مجموعتين ( G ، •) و ( H ، ·) ، فإن التشاكل من G إلى H هو دالة h  : G → H بحيث يكون لكل a و b في G ، h ( a • b ) = h ( a ) · h ( b ) .

مؤشر مجموعة فرعية

دليل المجموعة الجزئية H من المجموعة G ، ويرمز له بـ | G : H | أو [ G : H ] أو ( G : H ) ، هو عدد المجموعات المشاركة لـ H في G. بالنسبة لمجموعة جزئية طبيعية N من المجموعة G ، فإن دليل N في G يساوي رتبة المجموعة الخارجة G / N . أما بالنسبة لمجموعة جزئية منتهية H من مجموعة منتهية G ، فإن دليل H في G يساوي حاصل قسمة رتبتي G و H.   

التماثل

إذا كان لدينا مجموعتان ( G , •) و ( H , ·) ، فإن التشاكل بين G و H هو تشاكل تقابلي من G إلى H ، أي تطابق أحادي بين عناصر المجموعتين بطريقة تحافظ على عمليات المجموعة المعطاة. تكون مجموعتان متماثلتين إذا وُجد تشاكل بين مجموعتين يُسقط إحداهما على الأخرى. يمكن اعتبار المجموعات المتماثلة متطابقة جوهريًا، مع اختلاف تسميات عناصرها فقط.

شبكة من المجموعات الفرعية

شبكة المجموعات الفرعية لمجموعة ما هي الشبكة المحددة بواسطة مجموعاتها الفرعية ، مرتبة جزئيًا عن طريق احتواء المجموعة .

مجموعة حلقية محلية

تكون المجموعة دورية محلياً إذا كانت كل مجموعة جزئية مولدة نهائياً دورية . كل مجموعة دورية دورية محلياً، وكل مجموعة دورية محلياً مولدة نهائياً دورية. كل مجموعة دورية محلياً هي مجموعة تبديلية . كل مجموعة جزئية ، وكل مجموعة خارج قسمة ، وكل صورة متماثلة لمجموعة دورية محلياً هي دورية محلياً.

لا توجد مجموعة فرعية صغيرة

لا تحتوي المجموعة الطوبولوجية على مجموعة فرعية صغيرة إذا وُجدت جوار لعنصر المحايد لا يحتوي على أي مجموعة فرعية غير تافهة.

إغلاق طبيعي

الإغلاق الطبيعي لمجموعة جزئية S من مجموعة G هو تقاطع جميع المجموعات الجزئية الطبيعية لـ G التي تحتوي على S.    

النواة الطبيعية

النواة الطبيعية لمجموعة فرعية H من مجموعة G هي أكبر مجموعة فرعية طبيعية من G موجودة في H.

سلسلة عادية

السلسلة الطبيعية لمجموعة G هي سلسلة من المجموعات الجزئية الطبيعية لـ G بحيث يكون كل عنصر من عناصر السلسلة مجموعة جزئية طبيعية للعنصر التالي:  

${\displaystyle 1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G}$

مع

${\displaystyle A_{i}\triangleleft G}$.

المجموعة الفرعية الطبيعية

تُسمى الزمرة الجزئية N من الزمرة G زمرةً طبيعيةً في G (ويرمز لها بـ N ◅ G ) إذا كان مرافق العنصر n من N بالعنصر g من G ينتمي دائمًا إلى N ، أي إذا كان لكل g ∈ G و n ∈ N ، فإن gng ⁻¹ ∈ N. ويمكن استخدام الزمرة الجزئية الطبيعية N من الزمرة G لإنشاء زمرة القسمة G / N.

مُعَدِّل

بالنسبة لمجموعة جزئية S من مجموعة G ، فإن المجموعة المعيارية لـ S في G ، والتي يُرمز لها بـ N _G ( S ) ، هي المجموعة الجزئية من G المعرفة بواسطة  

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.}$

مدار

لنفترض مجموعة G تؤثر على مجموعة X. مدار العنصر x في X هو مجموعة العناصر في X التي يمكن نقل x إليها بواسطة عناصر G. يُرمز لمدار x بالرمز G ⋅ x

ترتيب المجموعة

رتبة المجموعة ( G , •) هي عدد عناصرها (أي عدد عناصرها) . وتسمى المجموعة ذات الرتبة المحدودة مجموعة منتهية .

ترتيب عنصر المجموعة

رتبة العنصر g في المجموعة G هي أصغر عدد صحيح موجب n بحيث يكون g ⁼ n . إذا لم يوجد عدد صحيح يحقق هذا الشرط، فإن رتبة g تُعتبر لانهائية. رتبة المجموعة المنتهية قابلة للقسمة على رتبة كل عنصر فيها .

قلب مثالي

النواة المثالية لمجموعة ما هي أكبر مجموعة فرعية مثالية فيها .

مجموعة مثالية

المجموعة الكاملة هي مجموعة تساوي مجموعتها الجزئية التبادلية .

المجموعة الدورية

تكون المجموعة دورية إذا كان لكل عنصر من عناصرها رتبة منتهية . كل مجموعة منتهية دورية.

مجموعة التبديل

مجموعة التبديلات هي مجموعة عناصرها تبديلات لمجموعة معينة M (أي الدوال التقابلية من المجموعة M إلى نفسها)، وعملية المجموعة هي تركيب هذه التبديلات. المجموعة التي تتكون من جميع تبديلات المجموعة M هي المجموعة المتناظرة لـ M.

مجموعة p

إذا كان p عددًا أوليًا ، فإن الزمرة p هي زمرة يكون فيها ترتيب كل عنصر قوةً من قوى p . وتكون الزمرة المنتهية زمرة p إذا وفقط إذا كان ترتيبها قوةً من قوى p .

المجموعة الفرعية p

مجموعة جزئية هي أيضاً مجموعة من الرتبة p . وتُعد دراسة المجموعات الجزئية من الرتبة p الموضوع الرئيسي لنظريات سيلو .

مجموعة القسمة

بفرض وجود زمرة G وزمرة جزئية طبيعية N من G ، فإن زمرة القسمة هي مجموعة G / N من المشاركات اليسرى { aN  : a ∈ G } بالإضافة إلى العملية aN • bN = abN . وتُلخص العلاقة بين الزمر الجزئية الطبيعية والتشاكلات وزمر العوامل في النظرية الأساسية للتشاكلات .

العنصر الحقيقي

يُسمى العنصر g في المجموعة G عنصرًا حقيقيًا في G إذا كان ينتمي إلى نفس فئة الترافق مع معكوسه، أي إذا وُجد عنصر h في G بحيث يكون g ^h = g ⁻¹ ، حيث يُعرَّف g ^h على أنه h ⁻¹ gh . يكون العنصر في المجموعة G حقيقيًا إذا وفقط إذا كان أثر المصفوفة المقابلة له عددًا حقيقيًا لجميع تمثيلات G. 

مجموعة فرعية متسلسلة

تُسمى المجموعة الجزئية H من المجموعة G مجموعة جزئية متسلسلة من G إذا وُجدت سلسلة C من المجموعات الجزئية من G من H إلى G بحيث يكون لكل زوج من المجموعات الجزئية المتتالية X و Y في C ، تكون X مجموعة جزئية طبيعية من Y. إذا كانت السلسلة منتهية، فإن H تكون مجموعة جزئية شبه طبيعية من G.

مجموعة بسيطة

المجموعة البسيطة هي مجموعة غير تافهة تكون مجموعاتها الفرعية الطبيعية الوحيدة هي المجموعة التافهة والمجموعة نفسها.

مجموعة فرعية

الزمرة الجزئية من الزمرة G هي مجموعة جزئية H من عناصر G تُشكّل بدورها زمرةً عند تطبيق عملية الزمرة على G وتقييدها بـ H × H. تكون المجموعة الجزئية H من الزمرة G زمرة جزئية من G إذا وفقط إذا كانت غير فارغة ومغلقة تحت الضرب والمعكوس، أي إذا وفقط إذا كان لكل a و b في H ، ^فإن ab و a⁻¹ ينتميان أيضًا إلى H.

سلسلة المجموعات الفرعية

سلسلة الزمر الجزئية لمجموعة G هي سلسلة من الزمر الجزئية من G بحيث يكون كل عنصر في السلسلة زمرة جزئية للعنصر التالي:

${\displaystyle 1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G.}$

مجموعة فرعية دون المستوى الطبيعي

تكون المجموعة الفرعية H من المجموعة G مجموعة فرعية شبه طبيعية من G إذا كانت هناك سلسلة منتهية من المجموعات الفرعية للمجموعة، كل واحدة منها طبيعية في المجموعة التالية، تبدأ من H وتنتهي عند G.

مجموعة متناظرة

بفرض وجود مجموعة M ، فإن المجموعة المتناظرة لـ M هي مجموعة جميع تباديل M (أي مجموعة جميع الدوال التقابلية من M إلى M ) مع اعتبار تركيب هذه التباديل عملية زمرة. ويُرمز للمجموعة المتناظرة لمجموعة منتهية حجمها n بالرمز S_{_n} . (المجموعات المتناظرة لأي مجموعتين من نفس الحجم متماثلة ).

مجموعة الالتواء

مرادف للمجموعة الدورية .

مجموعة فرعية طبيعية متعدية

يقال إن مجموعة فرعية من مجموعة ما تكون طبيعية بشكل متعدٍ في المجموعة إذا كانت كل مجموعة فرعية طبيعية من المجموعة الفرعية طبيعية أيضًا في المجموعة بأكملها.

مجموعة تافهة

الزمرة التافهة هي زمرة تتكون من عنصر واحد فقط، وهو العنصر المحايد للزمرة. جميع هذه الزمر متماثلة ، وكثيراً ما يُشار إليها بالزمرة التافهة.

تشكل كل من المجموعات الفرعية والمجموعات الفرعية العادية لمجموعة معينة شبكة كاملة تحت تضمين المجموعات الفرعية؛ يتم وصف هذه الخاصية وبعض النتائج ذات الصلة بواسطة نظرية الشبكة .

نواة تشاكل الزمر . هي الصورة العكسية للعنصر المحايد في المجال المقابل لتشاكل الزمر. كل زمرة جزئية طبيعية هي نواة تشاكل الزمر، والعكس صحيح.

الضرب المباشر ، والمجموع المباشر ، والضرب شبه المباشر للمجموعات. هذه طرق لدمج المجموعات لتكوين مجموعات جديدة؛ يرجى الرجوع إلى الروابط ذات الصلة لمزيد من التوضيح.

الزمرة المولدة نهائيًا . إذا وُجدت مجموعة منتهية S بحيث ⟨S⟩ = G ، فإن G تُسمى زمرة مولدة نهائيًا . إذاأمكن اعتبار S مجموعة تحتوي على عنصر واحد فقط، فإن G تكون زمرة دورية منتهية الرتبة، أو زمرة دورية غير منتهية ، أو ربما زمرة { e } تحتوي على عنصر واحد فقط.

الزمرة البسيطة . الزمر البسيطة هي تلك الزمر التي لا تحتوي إلا على e ونفسها كزمر جزئية عادية . قد يكون الاسم مُضللاً، لأن الزمرة البسيطة قد تكون في الواقع معقدة للغاية. مثال على ذلك زمرة الوحش ، التي تبلغ رتبتها حوالي ^10⁵⁴ . تُبنى كل زمرة منتهية من زمر بسيطة عبر امتدادات الزمر ، لذا فإن دراسة الزمر البسيطة المنتهية أساسية لدراسة جميع الزمر المنتهية. الزمر البسيطة المنتهية معروفة ومصنفة .

إن بنية أي زمرة أبيلية منتهية بسيطة نسبيًا؛ فكل زمرة أبيلية منتهية هي مجموع مباشر لزمر دورية من الرتبة p. ويمكن تعميم ذلك ليشمل تصنيفًا كاملًا لجميع الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا ، أي جميع الزمر الأبيلية المولدة بواسطة مجموعة منتهية.

الوضع أكثر تعقيداً بكثير بالنسبة للمجموعات غير الأبيلية.

الزمرة الحرة . لأي مجموعة A ، يمكن تعريف الزمرة بأنها أصغر زمرة تحتوي على شبه الزمرة الحرة لـ A. تتكون الزمرة من السلاسل (الكلمات) المنتهية التي يمكن تركيبها من عناصر A ، بالإضافة إلى العناصر الأخرى اللازمة لتكوين الزمرة. يُعرَّف ضرب السلاسل بالتسلسل، على سبيل المثال ( abb ) • ( bca ) = abbbca .

كل مجموعة ( G , •) هي في الأساس مجموعة عوامل لمجموعة حرة مولدة بواسطة G. راجع قسم "عرض المجموعة" لمزيد من التوضيح. يمكن بعد ذلك طرح أسئلة خوارزمية حول هذه العروض، مثل:

• هل يحدد هذان العرضان مجموعات متماثلة؟
• هل يحدد هذا العرض التقديمي المجموعة التافهة؟

الحالة العامة لهذا هي مسألة الكلمات ، والعديد من هذه الأسئلة في الواقع لا يمكن حلها بواسطة أي خوارزمية عامة.

المجموعة الخطية العامة ، التي يرمز لها بـ GL( n , F ) ، هي مجموعة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n ، حيث يتم أخذ عناصر المصفوفات من حقل F مثل الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة.

تمثيل المجموعة (لا يُخلط بينه وبين عرض المجموعة). تمثيل المجموعة هو تشاكل من مجموعة إلى مجموعة خطية عامة. بمعنى آخر، يُحاول المرء "تمثيل" مجموعة مجردة معينة كمجموعة ملموسة من المصفوفات القابلة للعكس ، وهو ما يُسهّل دراستها.

• مسرد مصطلحات زمر لي وجبر لي
• مسرد مصطلحات نظرية الحلقات
• سلسلة مؤلفات موسيقية
• سلسلة عادية