معادلة تفاضلية عشوائية

المعادلات التفاضلية
نِطَاق
الحقول العلوم الطبيعية هندسة علم الفلك الفيزياء كيمياء علم الأحياء الجيولوجيا الرياضيات التطبيقية ميكانيكا المتصل نظرية الفوضى الأنظمة الديناميكية العلوم الاجتماعية الاقتصاد ديناميكيات السكان قائمة المعادلات التفاضلية المسماة
تصنيف
أنواع عادي جزئي التفاضلية الجبرية التكامل التفاضلي كسري خطي غير خطي حسب نوع المتغير المتغيرات التابعة والمستقلة مستقل مقترن / غير مقترن بالضبط Homogeneous / Nonhomogeneous Features Order Operator Notation
Relation to processes Difference (discrete analogue) Stochastic Stochastic partial Delay
Solution
Existence and uniqueness Picard–Lindelöf theorem Peano existence theorem Carathéodory's existence theorem Cauchy–Kowalevski theorem
General topics Initial conditions Boundary values Dirichlet Neumann Robin Cauchy problem Wronskian Phase portrait Lyapunov / Asymptotic / Exponential stability Rate of convergence Series / Integral solutions Numerical integration Dirac delta function
Solution methods Inspection Method of characteristics Euler Exponential response formula Finite difference (Crank–Nicolson) Finite element Infinite element Finite volume Galerkin Petrov–Galerkin Green's function Integrating factor Integral transforms Perturbation theory Runge–Kutta Separation of variables Undetermined coefficients Variation of parameters
People
List Isaac Newton Gottfried Leibniz Jacob Bernoulli Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Józef Maria Hoene-Wroński Joseph Fourier Augustin-Louis Cauchy George Green Carl David Tolmé Runge Martin Kutta Rudolf Lipschitz Ernst Lindelöf Émile Picard Phyllis Nicolson John Crank
v t e

المعادلة التفاضلية العشوائية ( SDE ) هي معادلة تفاضلية يكون فيها أحد أو أكثر من الحدود عبارة عن عملية عشوائية ، ^[1] مما يؤدي إلى حل هو أيضًا عملية عشوائية. المعادلة التفاضلية العشوائية لها العديد من التطبيقات في الرياضيات البحتة وتستخدم لنمذجة سلوكيات مختلفة للنماذج العشوائية مثل أسعار الأسهم ، ^[2] نماذج النمو العشوائي ^[3] أو الأنظمة الفيزيائية التي تخضع لتقلبات حرارية .

تحتوي المعادلات التفاضلية العشوائية على تفاضل عشوائي يكون في أبسط حالاته ضوضاء بيضاء عشوائية محسوبة كمشتق لحركة براونية أو بشكل عام شبه مارتينجال . ومع ذلك، هناك أنواع أخرى من السلوك العشوائي ممكنة، مثل عمليات القفز مثل عمليات ليفي ^[4] أو شبه مارتينجال مع القفزات. المعادلات التفاضلية العشوائية مترافقة مع معادلات تفاضلية عشوائية. يمكن أيضًا توسيع المعادلات التفاضلية العشوائية لتشمل متعددات تفاضلية . ^{[5] [6] [7] [8]}

نشأت المعادلات التفاضلية العشوائية في نظرية الحركة البراونية ، في عمل ألبرت أينشتاين وماريان سمولوخوفسكي في عام 1905، على الرغم من أن لويس باشيلييه كان أول شخص يُنسب إليه الفضل في نمذجة الحركة البراونية في عام 1900، مما أعطى مثالًا مبكرًا جدًا لمعادلة تفاضلية عشوائية تُعرف الآن باسم نموذج باشيلييه . كانت بعض هذه الأمثلة المبكرة معادلات تفاضلية عشوائية خطية، تسمى أيضًا معادلات لانجفين على اسم الفيزيائي الفرنسي لانجفين ، تصف حركة المذبذب التوافقي الخاضع لقوة عشوائية. تم تطوير النظرية الرياضية للمعادلات التفاضلية العشوائية في الأربعينيات من القرن العشرين من خلال العمل الرائد لعالم الرياضيات الياباني كيوسي إيتو ، الذي قدم مفهوم التكامل العشوائي وبدأ دراسة المعادلات التفاضلية العشوائية غير الخطية. اقترح الفيزيائي الروسي ستراتونوفيتش لاحقًا نهجًا آخر ، مما أدى إلى حساب التفاضل والتكامل مماثل لحساب التفاضل والتكامل العادي.

الشكل الأكثر شيوعًا لمعادلات التفاضل العشوائية في الأدبيات هو معادلة تفاضلية عادية مع اضطراب الجانب الأيمن بمصطلح يعتمد على متغير ضوضاء بيضاء . في معظم الحالات، تُفهم معادلات التفاضل العشوائية على أنها حد زمني مستمر لمعادلات الفرق العشوائية المقابلة . هذا الفهم لمعادلات التفاضل العشوائية غامض ويجب استكماله بتعريف رياضي مناسب للتكامل المقابل. ^{[1] [3]} اقترح كيوزي إيتو هذا التعريف الرياضي لأول مرة في الأربعينيات من القرن الماضي، مما أدى إلى ما يُعرف اليوم بحساب إيتو . واقترح الفيزيائي الروسي ستراتونوفيتش لاحقًا بناء آخر ، مما أدى إلى ما يُعرف بتكامل ستراتونوفيتش . تكامل إيتو وتكامل ستراتونوفيتش هما كائنان مرتبطان، لكنهما مختلفان، ويعتمد الاختيار بينهما على التطبيق المعتبر. يعتمد حساب إيتو على مفهوم عدم التوقع أو السببية، وهو أمر طبيعي في التطبيقات حيث يكون المتغير هو الوقت. من ناحية أخرى، فإن حساب ستراتونوفيتش له قواعد تشبه حساب التفاضل والتكامل العادي وله خصائص هندسية جوهرية تجعله أكثر طبيعية عند التعامل مع المشكلات الهندسية مثل الحركة العشوائية على متعددات الشعب ، على الرغم من أنه من الممكن وفي بعض الحالات يفضل نمذجة الحركة العشوائية على متعددات الشعب من خلال SDEs Itô، ^[6] على سبيل المثال عند محاولة التقريب الأمثل لـ SDEs على متعددات الشعب الجزئية. ^[9]

هناك وجهة نظر بديلة حول معادلات التوزيع الاحتمالي وهي التدفق العشوائي للتماثلات التفاضلية. هذا الفهم لا لبس فيه ويتوافق مع نسخة ستراتونوفيتش للحد الزمني المستمر لمعادلات الفرق العشوائية. ترتبط معادلات التوزيع الاحتمالي بمعادلة سمولوخوفسكي أو معادلة فوكر بلانك ، وهي معادلة تصف التطور الزمني لوظائف توزيع الاحتمالات . يتم توفير تعميم تطور فوكر بلانك إلى التطور الزمني للأشكال التفاضلية من خلال مفهوم عامل التطور العشوائي .

في العلوم الفيزيائية، هناك غموض في استخدام مصطلح "SDEs Langevin" . في حين أن SDEs Langevin يمكن أن تكون ذات شكل أكثر عمومية ، يشير هذا المصطلح عادةً إلى فئة ضيقة من SDEs مع حقول متجه التدفق المتدرج. هذه الفئة من SDEs شائعة بشكل خاص لأنها نقطة بداية لإجراء التكميم العشوائي Parisi-Sourlas، ^[10] مما يؤدي إلى نموذج فائق التناظر N = 2 وثيق الصلة بميكانيكا الكم الفائقة التناظر . ومع ذلك، من وجهة نظر فيزيائية، فإن هذه الفئة من SDEs ليست مثيرة للاهتمام للغاية لأنها لا تظهر أبدًا انهيارًا تلقائيًا للتناظر الفائق الطوبولوجي، أي أن SDEs Langevin (المخمدة) ليست فوضوية أبدًا .

تم اكتشاف أن الحركة البراونية أو عملية وينر معقدة رياضيًا بشكل استثنائي. من المؤكد تقريبًا أن عملية وينر لا يمكن اشتقاقها في أي مكان؛ ^{[1] [3]} وبالتالي، فهي تتطلب قواعد حساب خاصة بها. هناك نسختان مهيمنتان من الحساب العشوائي، حساب إيتو العشوائي وحساب ستراتونوفيتش العشوائي . لكل منهما مزايا وعيوب، وغالبًا ما يرتبك الوافدون الجدد فيما إذا كان أحدهما أكثر ملاءمة من الآخر في موقف معين. توجد إرشادات (على سبيل المثال Øksendal، 2003) ^[3] ومن الملائم أن يتمكن المرء بسهولة من تحويل SDE إيتو إلى SDE ستراتونوفيتش المكافئ والعكس. ^{[1] [3]} ومع ذلك، يجب على المرء أن يكون حذرًا بشأن الحساب الذي يجب استخدامه عند كتابة SDE في البداية.

تتضمن الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العشوائية ^[11] طريقة أويلر-ماروياما ، وطريقة ميلشتاين ، وطريقة رونج-كوتا (SDE) ، وطريقة روزنبروك، ^[12] والطرق القائمة على تمثيلات مختلفة للتكاملات العشوائية المتكررة. ^{[13] [14]}

في الفيزياء، تتمتع SDEs بإمكانيات تطبيق واسعة تتراوح من الديناميكيات الجزيئية إلى الديناميكا العصبية وديناميكيات الأجسام الفيزيائية الفلكية. وبشكل أكثر تحديدًا، تصف SDEs جميع الأنظمة الديناميكية، حيث تكون التأثيرات الكمومية غير مهمة أو يمكن أخذها في الاعتبار كاضطرابات. يمكن النظر إلى SDEs باعتبارها تعميمًا لنظرية الأنظمة الديناميكية على النماذج ذات الضوضاء. وهذا تعميم مهم لأن الأنظمة الحقيقية لا يمكن عزلها تمامًا عن بيئاتها ولهذا السبب تتعرض دائمًا لتأثير عشوائي خارجي.

توجد تقنيات قياسية لتحويل المعادلات ذات الدرجة الأعلى إلى عدة معادلات مقترنة من الدرجة الأولى عن طريق إدخال مجهولات جديدة. وبالتالي، فإن الفئة التالية هي الأكثر عمومية من المعادلات التفاضلية:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=F(x(t))+\sum _{\alpha =1}^{n}g_{\alpha }(x(t))\xi ^{\alpha }(t),\,}$

حيث هو الموضع في النظام في فضاء الطور (أو الحالة) الخاص به ، ، يُفترض أنه متعدد الشعب قابل للاشتقاق، هو حقل متجه تدفق يمثل قانون التطور الحتمي، و هو مجموعة من حقول المتجهات التي تحدد اقتران النظام بالضوضاء البيضاء الغاوسية، . إذا هو فضاء خطي و هما ثابتان، يُقال إن النظام يخضع لضوضاء إضافية، وإلا يُقال إنه يخضع لضوضاء مضاعفة. هذا المصطلح مضلل إلى حد ما لأنه أصبح يعني الحالة العامة على الرغم من أنه يبدو أنه يشير إلى الحالة المحدودة التي يكون فيها . ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F\in TX}$${\displaystyle g_{\alpha }\in TX}$${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g(x)\propto x}$

بالنسبة لتكوين ثابت للضوضاء، فإن SDE له حل فريد قابل للاشتقاق فيما يتعلق بالشرط الأولي. ^[15] تظهر عدم تفاهات الحالة العشوائية عندما يحاول المرء حساب متوسط ​​أشياء مختلفة ذات أهمية على تكوينات الضوضاء. بهذا المعنى، فإن SDE ليس كيانًا محددًا بشكل فريد عندما تكون الضوضاء مضاعفة وعندما يُفهم SDE على أنه حد زمني مستمر لمعادلة الفرق العشوائية . في هذه الحالة، يجب استكمال SDE بما يُعرف باسم "تفسيرات SDE" مثل تفسيرات Itô أو Stratonovich لـ SDEs. ومع ذلك، عندما يُنظر إلى SDE على أنه تدفق عشوائي مستمر للزمن من التماثلات التفاضلية، فهو كائن رياضي محدد بشكل فريد يتوافق مع نهج Stratonovich لحد زمني مستمر لمعادلة الفرق العشوائية.

في الفيزياء، الطريقة الرئيسية للحل هي إيجاد دالة توزيع الاحتمالات كدالة للزمن باستخدام معادلة فوكر بلانك المكافئة (FPE). معادلة فوكر بلانك هي معادلة تفاضلية جزئية حتمية . وهي تخبرنا كيف تتطور دالة توزيع الاحتمالات في الزمن على نحو مماثل لكيفية إعطاء معادلة شرودنجر للتطور الزمني لدالة الموجة الكمومية أو كيف تعطي معادلة الانتشار التطور الزمني لتركيز المواد الكيميائية. بدلاً من ذلك، يمكن الحصول على حلول عددية من خلال محاكاة مونت كارلو . تشمل التقنيات الأخرى تكامل المسار الذي يعتمد على التشابه بين الفيزياء الإحصائية وميكانيكا الكم (على سبيل المثال، يمكن تحويل معادلة فوكر بلانك إلى معادلة شرودنجر عن طريق إعادة قياس عدد قليل من المتغيرات) أو عن طريق كتابة معادلات تفاضلية عادية للعزوم الإحصائية لدالة توزيع الاحتمالات. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

تختلف طريقة الترميز المستخدمة في نظرية الاحتمالات (وفي العديد من تطبيقات نظرية الاحتمالات، على سبيل المثال في معالجة الإشارات باستخدام مشكلة التصفية وفي التمويل الرياضي ) قليلاً. وهي أيضًا طريقة الترميز المستخدمة في المنشورات حول الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية العشوائية. تجعل طريقة الترميز هذه الطبيعة الغريبة للدالة العشوائية للزمن في صياغة الفيزياء أكثر وضوحًا. وبمصطلحات رياضية صارمة، لا يمكن اختيارها كدالة عادية، ولكن فقط كدالة معممة . تعالج الصيغة الرياضية هذا التعقيد بقدر أقل من الغموض من صياغة الفيزياء. ${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$

المعادلة النموذجية هي من الشكل

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t},}$

حيث يشير إلى عملية وينر (حركة براونية قياسية). يجب تفسير هذه المعادلة كطريقة غير رسمية للتعبير عن المعادلة التكاملية المقابلة${\displaystyle B}$

${\displaystyle X_{t+s}-X_{t}=\int _{t}^{t+s}\mu (X_{u},u)\mathrm {d} u+\int _{t}^{t+s}\sigma (X_{u},u)\,\mathrm {d} B_{u}.}$

المعادلة أعلاه تصف سلوك العملية العشوائية المستمرة X _t كمجموع تكامل ليبيج العادي وتكامل إيتو . التفسير الاستدلالي (ولكنه مفيد للغاية) لمعادلة التفاضل العشوائية هو أنه في فترة زمنية صغيرة بطول δ، تغير العملية العشوائية X _t قيمتها بمقدار يتم توزيعه بشكل طبيعي مع التوقع μ ( X _t ،  t )  δ والتباين σ ( X _t ،  t ) ² δ ولا يعتمد على السلوك الماضي للعملية. وذلك لأن زيادات عملية وينر مستقلة وموزعة بشكل طبيعي. يشار إلى الدالة μ باسم معامل الانجراف، بينما تسمى σ معامل الانتشار. تسمى العملية العشوائية X _t عملية انتشار ، وتلبي خاصية ماركوف . ^[1]  

يتم تقديم التفسير الرسمي لـ SDE من حيث ما يشكل حلاً لـ SDE. هناك تعريفان رئيسيان لحل SDE، الحل القوي والحل الضعيف ^[1] يتطلب كلاهما وجود عملية X _t تحل نسخة المعادلة التكاملية لـ SDE. يكمن الاختلاف بين الاثنين في مساحة الاحتمال الأساسية ( ). يتكون الحل الضعيف من مساحة احتمال وعملية تلبي المعادلة التكاملية، بينما الحل القوي هو عملية تلبي المعادلة ويتم تعريفه على مساحة احتمالية معينة. تربط نظرية يامادا-واتانابي بين الاثنين.${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$

ومن الأمثلة المهمة على ذلك معادلة الحركة البراونية الهندسية

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu X_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

وهي المعادلة الخاصة بديناميكيات سعر السهم في نموذج تسعير الخيارات بلاك-شولز ^[2] للرياضيات المالية.

بتعميم الحركة البراونية الهندسية، من الممكن أيضًا تعريف SDEs التي تقبل حلولاً قوية ويكون توزيعها عبارة عن مزيج محدب من الكثافات القادمة من الحركات البراونية الهندسية المختلفة أو نماذج بلاك شولز، والحصول على SDE واحد يتم توزيع حلوله كمزيج ديناميكي من التوزيعات الطبيعية اللوغاريتمية لنماذج بلاك شولز المختلفة. ^{[2] [16] [17] [18]} وهذا يؤدي إلى نماذج يمكنها التعامل مع ابتسامة التقلب في الرياضيات المالية.

أبسط SDE يسمى الحركة البراونية الحسابية ^[3]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu \,\mathrm {d} t+\sigma \,\mathrm {d} B_{t}}$

تم استخدامه بواسطة لويس باشيلير كأول نموذج لأسعار الأسهم في عام 1900، والمعروف اليوم باسم نموذج باشيلير .

توجد أيضًا معادلات تفاضلية عشوائية أكثر عمومية حيث تعتمد المعاملات μ و σ ليس فقط على القيمة الحالية للعملية X _t ، ولكن أيضًا على القيم السابقة للعملية وربما على القيم الحالية أو السابقة لعمليات أخرى أيضًا. في هذه الحالة، لا تكون عملية الحل، X ، عملية ماركوف، وتسمى عملية Itô وليست عملية انتشار. عندما تعتمد المعاملات فقط على القيم الحالية والماضية لـ X ، تسمى المعادلة المحددة معادلة تفاضلية تأخير عشوائية.

التعميم على المعادلات التفاضلية العشوائية باستخدام تكامل فيسك-ستراتونوفيتش لشبه مارتينجال مع القفزات هو معادلات التفاضل العشوائية من نوع ماركوس . تكامل ماركوس هو امتداد لحساب ماكشين العشوائي. ^[19]

ينشأ تطبيق مبتكر في التمويل العشوائي من استخدام معادلة عملية أورنشتاين-أولينبيك

${\displaystyle \mathrm {d} R_{t}=\mu R_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}.}$

وهي المعادلة الخاصة بديناميكيات عائد سعر السهم تحت فرضية أن العائدات تعرض توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا . وتحت هذه الفرضية، تحدد المنهجيات التي طورها مارسيلو مينينا فترة التنبؤ القادرة على تحديد العائد غير الطبيعي الذي قد يخفي ظاهرة إساءة استخدام السوق . ^{[20] [21]}

بشكل عام، يمكن للمرء أن يوسع نظرية حساب التفاضل العشوائي على المتشعبات التفاضلية ولهذا الغرض يستخدم تكامل فيسك-ستراتونوفيتش. لنفترض أن المتشعب عبارة عن مساحة متجهية محدودة الأبعاد ، ومساحة احتمالية مفلترة مع تلبية الشروط المعتادة وليكن ضغط النقطة الواحدة ويكون قابلاً للقياس. معادلة تفاضلية عشوائية مكتوبة ${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}},P)}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}}$${\displaystyle {\widehat {M}}=M\cup \{\infty \}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {d} X=A(X)\circ dZ}$

هو زوج ، بحيث ${\displaystyle (A,Z)}$

• ${\displaystyle Z}$هو نصف مارتينجال مستمر القيمة،${\displaystyle E}$
• ${\displaystyle A:M\times E\to TM,(x,e)\mapsto A(x)e}$هو تماثل الحزم المتجهة على .${\displaystyle M}$

لكل خريطة خطية ولكل . ${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle A(x):E\to T_{x}M}$${\displaystyle A(\cdot )e\in \Gamma (TM)}$${\displaystyle e\in E}$

الحل لـ SDE مع الشرط الأولي هو عملية مستمرة ذات قيمة متكيفة حتى عمر افتراضي، لكل دالة اختبار تكون العملية عبارة عن شبه مارتينجال ذات قيمة حقيقية ولكل وقت توقف مع المعادلة ${\displaystyle M}$${\displaystyle X_{0}=x_{0}}$${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (X_{t})_{t<\zeta }}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle 0\leq \tau <\zeta }$

${\displaystyle f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z}$

ينطبق ذلك - على الأرجح، حيث يكون التفاضل عند . وهو حل أقصى إذا كان عمر الحياة أقصى، أي، ${\displaystyle P}$${\displaystyle (df)_{X}:T_{x}M\to T_{f(x)}M}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{\zeta <\infty \}\subset \left\{\lim \limits _{t\nearrow \zeta }X_{t}=\infty {\text{ in }}{\widehat {M}}\right\}}$

${\displaystyle P}$- بالتأكيد تقريبًا. ويترتب على ذلك أن كل دالة اختبار هي شبه مارتينجال، أي شبه مارتينجال على . وبالنظر إلى الحل الأقصى، يمكننا تمديد زمن على كامل وبعد استمرار على نحصل على ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(M)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {M}}}$

${\displaystyle f(X_{t})=f(X_{0})+\int _{0}^{t}(\mathrm {d} f)_{X}A(X)\circ \mathrm {d} Z,\quad t\geq 0}$

حتى العمليات غير المميزة. ^[22] على الرغم من أن SDEs Stratonovich هي الخيار الطبيعي لـ SDEs على متعددات الشعب، نظرًا لأنها تلبي قاعدة السلسلة وأن معاملات الانجراف والانتشار الخاصة بها تتصرف كحقول متجهة تحت تغييرات الإحداثيات، فهناك حالات يكون فيها حساب Ito على متعددات الشعب مفضلًا. تم تطوير نظرية حساب Ito على متعددات الشعب لأول مرة بواسطة Laurent Schwartz من خلال مفهوم مورفيزم شوارتز، ^[6] انظر أيضًا التفسير ذي النفاثتين المرتبطين بـ SDEs Ito على متعددات الشعب استنادًا إلى حزمة النفاثة. ^[8] هذا التفسير مفيد عند محاولة التقريب الأمثل لحل SDE المعطى على مساحة كبيرة مع حلول SDE المعطى على متعدد شعب فرعي من تلك المساحة، ^[9] حيث لا ينتج عن الإسقاط القائم على Stratonovich أن يكون مثاليًا. تم تطبيق هذا على مشكلة الترشيح ، مما أدى إلى مرشحات إسقاط مثالية. ^[9]

عادةً ما يتطلب حل معادلة التفاضل والتكامل (SDE) إعدادًا احتماليًا، حيث إن التكامل الضمني في الحل هو تكامل عشوائي. وإذا كان من الممكن التعامل مع مسار المعادلة التفاضلية تلو الآخر، فلن نحتاج إلى تعريف تكامل عشوائي ويمكننا تطوير نظرية مستقلة عن نظرية الاحتمالات. وهذا يشير إلى النظر في معادلة التفاضل والتكامل (SDE)

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}(\omega )=\mu (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t}(\omega ),t)\,\mathrm {d} B_{t}(\omega )}$

كمعادلة تفاضلية حتمية واحدة لكل ، حيث تكون مساحة العينة في مساحة الاحتمالية المحددة ( ). ومع ذلك، فإن التفسير المباشر لمسار SDE غير ممكن، حيث أن مسارات الحركة البراونية لها تباين غير محدود ولا يمكن اشتقاقها بأي حال من الأحوال مع الاحتمال واحد، وبالتالي لا توجد طريقة ساذجة لإعطاء معنى لمصطلحات مثل ، مما يمنع أيضًا التعريف الساذج للتكامل العشوائي على أنه تكامل مقابل كل واحد . ومع ذلك، بدافع من نتيجة Wong-Zakai ^[23] لحدود حلول SDEs مع الضوضاء المنتظمة واستخدام نظرية المسارات الخشنة ، مع إضافة تعريف مختار للتكاملات المتكررة للحركة البراونية، من الممكن تعريف تكامل تقريبي حتمي لكل واحد يتزامن على سبيل المثال مع تكامل Ito مع الاحتمال واحد لاختيار معين للتكامل البراوني المتكرر. ^[23] تؤدي التعريفات الأخرى للتكامل المتكرر إلى مكافئات مسارية حتمية لتكاملات عشوائية مختلفة، مثل تكامل ستراتونوفيتش. وقد تم استخدام هذا على سبيل المثال في الرياضيات المالية لتسعير الخيارات دون احتمالية. ^[24]${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega ,\,{\mathcal {F}},\,P}$${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$${\displaystyle \mathrm {d} B_{t}(\omega )}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

كما هو الحال مع المعادلات التفاضلية العادية والجزئية الحتمية، من المهم معرفة ما إذا كان SDE معين له حل، وما إذا كان فريدًا أم لا. فيما يلي نظرية وجود وتفرد نموذجية لمعادلات SDE Itô التي تأخذ قيمًا في فضاء إقليدي ذي أبعاد n R ⁿ وتتحرك بواسطة حركة براونية ذات أبعاد m B ؛ يمكن العثور على الدليل في Øksendal (2003، §5.2). ^[3]

دع T  > 0، ودع

${\displaystyle \mu :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n};}$

${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\times [0,T]\to \mathbb {R} ^{n\times m};}$

تكون وظائف قابلة للقياس حيث يوجد لها ثوابت C و D بحيث

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t){\big |}\leq C{\big (}1+|x|{\big )};}$

${\displaystyle {\big |}\mu (x,t)-\mu (y,t){\big |}+{\big |}\sigma (x,t)-\sigma (y,t){\big |}\leq D|x-y|;}$

لجميع t  ∈ [0,  T ] وجميع x و y  ∈  R ⁿ ، حيث

${\displaystyle |\sigma |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}|\sigma _{ij}|^{2}.}$

ليكن Z متغيرًا عشوائيًا مستقلًا عن جبر σ الناتج عن B _s و s  ≥ 0، وله عزم ثانٍ محدود :

${\displaystyle \mathbb {E} {\big [}|Z|^{2}{\big ]}<+\infty .}$

ثم معادلة التفاضل العشوائية/مشكلة القيمة الأولية

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t},t)\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t},t)\,\mathrm {d} B_{t}{\mbox{ for }}t\in [0,T];}$

${\displaystyle X_{0}=Z;}$

يحتوي على حل مستمر t فريد من نوعه تقريبًا ( t ،  ω ) ↦  X _t ( ω ) بحيث يتكيف X مع الترشيح F _t ^Z الناتج عن Z و B s _، s ≤  t  ، و

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{T}|X_{t}|^{2}\,\mathrm {d} t\right]<+\infty .}$

المعادلة التفاضلية العشوائية أعلاه ليست سوى حالة خاصة لشكل أكثر عمومية

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha (t,Y_{t})\mathrm {d} X_{t}}$

أين

• ${\displaystyle X}$هو شبه مارتينجال مستمر في وهو شبه مارتينجال مستمر في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$
• ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} _{+}\times U\to \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$هي خريطة من مجموعة مفتوحة غير فارغة ، حيث أن مساحة جميع الخرائط الخطية من إلى .${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \operatorname {Lin} (\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

وبشكل عام يمكننا أيضًا أن ننظر إلى المعادلات التفاضلية العشوائية على المتشعبات .

يعتمد ما إذا كان حل هذه المعادلة ينفجر على اختيار . افترض أنه يلبي بعض شروط Lipschitz المحلية، أي بالنسبة إلى و بعض المجموعة المدمجة وبعض الثوابت الشرط ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle K\subset U}$${\displaystyle L(t,K)}$

${\displaystyle |\alpha (s,y)-\alpha (s,x)|\leq L(t,K)|y-x|,\quad x,y\in K,\;0\leq s\leq t,}$

حيث هو المعيار الإقليدي. هذا الشرط يضمن وجود وتفرد ما يسمى بالحل الأقصى . ${\displaystyle |\cdot |}$

افترض أن تكون متصلة وتلبي شرط ليبشيتز المحلي أعلاه وليكن شرطًا أوليًا، بمعنى أنها دالة قابلة للقياس بالنسبة إلى جبر سيجما الأولي. وليكن وقت توقف يمكن التنبؤ به مع اليقين تقريبًا. يُطلق على نصف مارتينجال ذي القيمة - الحل الأقصى لـ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle F:\Omega \to U}$${\displaystyle \zeta :\Omega \to {\overline {\mathbb {R} }}_{+}}$${\displaystyle \zeta >0}$${\displaystyle U}$${\displaystyle (Y_{t})_{t<\zeta }}$

${\displaystyle dY_{t}=\alpha (t,Y_{t})dX_{t},\quad Y_{0}=F}$

مع مدة الحياة إذا ${\displaystyle \zeta }$

• بالنسبة لأحد (ومن ثم للجميع) فإن الإعلان عن توقف العملية هو حل لمعادلة التفاضل العشوائية المتوقفة${\displaystyle \zeta _{n}\nearrow \zeta }$${\displaystyle Y^{\zeta _{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y=\alpha (t,Y)\mathrm {d} X^{\zeta _{n}}}$

• في المجموعة لدينا بالتأكيد ذلك مع . ^[25]${\displaystyle \{\zeta <\infty \}}$${\displaystyle Y_{t}\to \partial U}$${\displaystyle t\to \zeta }$

${\displaystyle \zeta }$وهو أيضًا ما يسمى بوقت الانفجار .

تتضمن مشكلات SDE القابلة للحل صراحةً ما يلي: ^[11]

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=(a(t)X_{t}+c(t))\mathrm {d} t+(b(t)X_{t}+d(t))\mathrm {d} W_{t}}$

${\displaystyle X_{t}=\Phi _{t,t_{0}}\left(X_{t_{0}}+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}(c(s)-b(s)\mathrm {d} (s))\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}\Phi _{s,t_{0}}^{-1}\mathrm {d} (s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

أين

${\displaystyle \Phi _{t,t_{0}}=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\left(a(s)-{\frac {b^{2}(s)}{2}}\right)\mathrm {d} s+\int _{t_{0}}^{t}b(s)\mathrm {d} W_{s}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}={\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق معينة تكون مكافئة لـ Stratonovich SDE ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=f(X_{t})\circ W_{t}}$

الذي له حل عام

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(W_{t}+h(X_{0}))}$

أين

${\displaystyle h(x)=\int ^{x}{\frac {\mathrm {d} s}{f(s)}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\left(\alpha f(X_{t})+{\frac {1}{2}}f(X_{t})f'(X_{t})\right)\mathrm {d} t+f(X_{t})\mathrm {d} W_{t}}$

بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق معينة تكون مكافئة لـ Stratonovich SDE ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\alpha f(X_{t})\mathrm {d} t+f(X_{t})\circ W_{t}}$

والتي يمكن اختزالها إلى

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}=\alpha \mathrm {d} t+\mathrm {d} W_{t}}$

حيث يتم تعريف حيث كما هو موضح سابقًا. الحل العام هو ${\displaystyle Y_{t}=h(X_{t})}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle X_{t}=h^{-1}(\alpha t+W_{t}+h(X_{0}))}$

في نظرية التناظر الفائق لـ SDEs، يتم تعريف الديناميكيات العشوائية من خلال عامل التطور العشوائي الذي يعمل على الأشكال التفاضلية في فضاء الطور للنموذج. في هذه الصيغة الدقيقة للديناميكيات العشوائية، تمتلك جميع SDEs تناظرًا فائقًا طوبولوجيًا يمثل الحفاظ على استمرارية فضاء الطور من خلال تدفق الوقت المستمر. إن الانهيار التلقائي لهذا التناظر الفائق هو الجوهر الرياضي للظاهرة الديناميكية الشاملة المعروفة عبر التخصصات باسم الفوضى والاضطراب والحرجية المنظمة ذاتيًا وما إلى ذلك، وتشرح نظرية جولدستون السلوك الديناميكي طويل المدى المرتبط، أي تأثير الفراشة و 1/f والضوضاء المتقطعة والإحصاءات الخالية من المقاييس للزلازل والانهيارات العصبية والتوهجات الشمسية وما إلى ذلك.

• معادلة تفاضلية عشوائية عكسية
• ديناميكيات لانغفين
• التقلبات المحلية
• عملية عشوائية
• التقلب العشوائي
• المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية
• عملية الانتشار
• معادلة الفرق العشوائية

• إيفانز، لورانس سي (2013). مقدمة إلى المعادلات التفاضلية العشوائية، الجمعية الرياضية الأمريكية.
• أدوميان، جورج (1983). الأنظمة العشوائية . الرياضيات في العلوم والهندسة (169). أورلاندو، فلوريدا: أكاديميك بريس إنك.
• أدوميان، جورج (1986). معادلات المشغل العشوائي غير الخطي . أورلاندو، فلوريدا: أكاديميك بريس إنك. رقم ISBN 978-0-12-044375-8.
• أدوميان، جورج (1989). نظرية الأنظمة العشوائية غير الخطية وتطبيقاتها في الفيزياء . الرياضيات وتطبيقاتها (46). دوردرخت: مجموعة الناشرين الأكاديميين كلوير.
• كالين، أوفيديو (2015). مقدمة غير رسمية لحساب التفاضل والتكامل العشوائي مع التطبيقات . سنغافورة: دار النشر العلمية العالمية. ص 315. رقم ISBN 978-981-4678-93-3.
• Teugels, J.; Sund, B., eds. (2004). موسوعة العلوم الاكتوارية . تشيتشيستر: وايلي. ص 523-527.
• سي دبليو جاردينر (2004). دليل الطرق العشوائية: للفيزياء والكيمياء والعلوم الطبيعية . سبرينغر. ص 415.
• توماس ميكوش (1998). حساب التفاضل والتكامل العشوائي الأولي: مع مراعاة التمويل . سنغافورة: دار النشر العلمية العالمية. ص 212. رقم ISBN 981-02-3543-7.
• سيف الدين قدري (2007). "حل المعادلة التفاضلية العشوائية الخطية". مجلة معاملات WSEAS في الرياضيات . الولايات المتحدة الأمريكية: مجلة معاملات WSEAS في الرياضيات، أبريل 2007: 618. ISSN  1109-2769.
• هايغام، ديزموند جيه (يناير 2001). "مقدمة خوارزمية للمحاكاة العددية للمعادلات التفاضلية العشوائية". مراجعة سيام . 43 (3): 525-546. رمز Bibcode : 2001SIAMR..43..525H. CiteSeerX  10.1.1.137.6375 . doi : 10.1137/S0036144500378302.
• ديزموند هيغام وبيتر كلودين: "مقدمة إلى المحاكاة العددية للمعادلات التفاضلية العشوائية"، SIAM، ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).