تخمين بوانكاريه

الموسوعة الحرة

في المجال الرياضي للطوبولوجيا الهندسية ، فإن حدسية بوانكاريه ( المملكة المتحدة : / ˈ p w æ̃ k ære eɪ / ، [ 2 ] الولايات المتحدة : / ˌ p w æ̃ k ɑː ˈ reɪ / ، [ 3 ] [ 4 ] الفرنسية: [ pwɛ̃kaʁe ] ) هي نظرية حول توصيف الكرة ثلاثية الأبعاد (الكرة الفائقة التي تحد الكرة رباعية الأبعاد في الفضاء رباعي الأبعاد ).

افترض هنري بوانكاريه، في عام 1904، نظريةً تتعلق بالفضاءات التي تبدو محليًا كفضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد عادي ، ولكنها محدودة الامتداد. افترض بوانكاريه أنه إذا كان لهذا الفضاء خاصية إضافية، وهي إمكانية تضييق كل حلقة فيه بشكل متواصل إلى نقطة، فإنه بالضرورة يكون كرة ثلاثية الأبعاد . وقد ساهمت محاولات حل هذه النظرية في إحراز تقدم كبير في مجال الطوبولوجيا الهندسية خلال القرن العشرين.

استند البرهان النهائي إلى برنامج ريتشارد إس. هاميلتون الذي استخدم تدفق ريتشي لحل المسألة. ومن خلال تطوير عدد من التقنيات والنتائج الجديدة في نظرية تدفق ريتشي، قام غريغوري بيرلمان بتعديل برنامج هاميلتون وإكماله. وفي أوراق بحثية نُشرت على موقع arXiv عامي 2002 و2003، عرض بيرلمان عمله الذي يُثبت حدسية بوانكاريه ( وحدسية الهندسة الأكثر قوة لويليام ثورستون ). وعلى مدى السنوات التالية، درس العديد من علماء الرياضيات أوراقه البحثية وقدموا صياغات تفصيلية لعمله.

يُعتبر عمل هاميلتون وبيرلمان على حدسية بوانكاريه إنجازًا بارزًا في البحث الرياضي. وقد نال هاميلتون جائزة شو عام 2011 وجائزة ليروي ب. ستيل للإسهام الرائد في البحث عام 2009. واختارت مجلة ساينس برهان بيرلمان على حدسية بوانكاريه كأهم إنجاز علمي للعام 2006. [ 5 ] وبعد أن أدرج معهد كلاي للرياضيات حدسية بوانكاريه ضمن قائمة مسائل جائزة الألفية الشهيرة ، عرض على بيرلمان جائزته البالغة مليون دولار أمريكي عام 2010 لحل هذه الحدسية. [ 6 ] إلا أنه رفض الجائزة، قائلاً إن إسهام هاميلتون كان مساويًا لإسهامه. [ 7 ] [ 8 ]

ملخص

لا يمكن تضييق أي من الحلقتين الملونتين على هذا الشكل الحلقي بشكل مستمر إلى نقطة. الشكل الحلقي ليس متماثلاً شكلياً مع الكرة.

كانت حدسية بوانكاريه مسألة رياضية في مجال الطوبولوجيا الهندسية . وبمصطلحات هذا المجال، تنص على ما يلي:

حدسية بوانكاريه . كل مشعب طوبولوجي ثلاثي الأبعاد مغلق ومتصل وله مجموعة أساسية تافهة يكون متماثلًا مع الكرة ثلاثية الأبعاد .

الأشكال المألوفة، مثل سطح الكرة (المعروفة في الرياضيات بالكرة ثنائية الأبعاد) أو سطح الطارة ، هي أشكال ثنائية الأبعاد. يتميز سطح الكرة بزمرة أساسية تافهة، مما يعني أن أي حلقة مرسومة على السطح يمكن تشويهها باستمرار إلى نقطة واحدة. في المقابل، يتميز سطح الطارة بزمرة أساسية غير تافهة، حيث توجد حلقات على السطح لا يمكن تشويهها بهذه الطريقة. كلاهما متعددات طوبولوجية مغلقة (أي ليس لها حدود وتشغل حيزًا محدودًا من الفضاء) ومتصلة (أي أنها تتكون من قطعة واحدة). يُقال إن متعددين مغلقين متماثلان طوبولوجيًا عندما يكون من الممكن إعادة توزيع نقاط أحدهما إلى الآخر بطريقة متصلة. ولأن تافهة (أو عدم تافهتها) الزمرة الأساسية ثابتة تحت التشاكل الطوبولوجي، فإنه يترتب على ذلك أن الكرة ثنائية الأبعاد والطارة ليستا متماثلتين طوبولوجيًا.

ينصّ النظير ثنائي الأبعاد لتخمين بوانكاريه على أن أي فضاء طوبولوجي ثنائي الأبعاد مغلق ومتصل ولكنه غير متماثل مع الكرة ثنائية الأبعاد، يجب أن يحتوي على حلقة لا يمكن تقليصها بشكل مستمر إلى نقطة. (يتضح هذا من خلال مثال الطارة، كما ذُكر سابقًا). من المعروف صحة هذا النظير من خلال تصنيف الفضاءات الطوبولوجية ثنائية الأبعاد المغلقة والمتصلة، والذي فُهم بأشكال مختلفة منذ ستينيات القرن التاسع عشر. في الأبعاد الأعلى، لا يوجد تصنيف مباشر للفضاءات الطوبولوجية المغلقة والمتصلة، مما يحول دون حل تخمين بوانكاريه بسهولة.

تاريخ

سؤال بوانكاريه

في القرن التاسع عشر، بدأ برنارد ريمان وإنريكو بيتي دراسة الثوابت الطوبولوجية للمتشعبات . [ 9 ] [ 10 ] وقد قدّما أعداد بيتي ، التي تربط أي متشعب بقائمة من الأعداد الصحيحة غير السالبة. بيّن ريمان أن المتشعب ثنائي الأبعاد المغلق والمتصل يتميز تمامًا بأعداد بيتي الخاصة به. وكجزء من بحثه المنشور عام 1895 بعنوان "تحليل المواقع" (الذي أُعلن عنه عام 1892)، أوضح بوانكاريه أن نتيجة ريمان لا تنطبق على الأبعاد الأعلى. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] ولتحقيق ذلك، قدّم المجموعة الأساسية كثابت طوبولوجي جديد، وعرض أمثلة على متشعبات ثلاثية الأبعاد لها نفس أعداد بيتي ولكن مجموعات أساسية مختلفة. طرح سؤالاً حول ما إذا كانت المجموعة الأساسية كافية لتوصيف متعدد الشعب (ذي بُعد مُحدد) من الناحية الطوبولوجية، مع أنه لم يُحاول البحث عن إجابة، مُكتفياً بالقول إن ذلك "سيتطلب دراسة مُطولة وصعبة". [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

كان الهدف الرئيسي من ورقة بوانكاريه هو تفسير أعداد بيتي في ضوء مجموعات التماثل التي قدمها حديثًا ، بالإضافة إلى نظرية بوانكاريه للازدواجية حول تناظر أعداد بيتي. وبعد انتقادات وُجهت إلى اكتمال حججه، أصدر عددًا من "الملاحق" اللاحقة لتحسين عمله وتصحيحه. وجاء في الملاحظة الختامية لملحقه الثاني، الذي نُشر عام 1900: [ 15 ] [ 13 ]

ولتجنب إطالة هذا العمل، سأكتفي بذكر النظرية التالية، والتي سيتطلب إثباتها مزيداً من التطوير:

كل متعدد السطوح الذي تكون جميع أرقام بيتي الخاصة به مساوية لـ 1 وجميع جداولهتيq{\displaystyle T_{q}}قابل للتوجيه متصل ببساطة، أي أنه متماثل الشكل مع كرة فائقة.

(بلغة حديثة، مع ملاحظة أن بوانكاريه يستخدم مصطلحات الاتصال البسيط بطريقة غير مألوفة، [ 16 ] فإن هذا يعني أن أي مشعب مغلق متصل وموجه ، له تماثل كرة، يجب أن يكون متماثلًا شكليًا مع كرة. [ 14 ] ) وقد عدّل هذا تعميمه السلبي لعمل ريمان بطريقتين. أولًا، أصبح يستخدم الآن مجموعات التماثل الكاملة، وليس فقط أعداد بيتي. ثانيًا، ضيّق نطاق المسألة من السؤال عما إذا كان أي مشعب يتميز بثوابت طوبولوجية، إلى السؤال عما إذا كان من الممكن تمييز الكرة بهذه الثوابت.

مع ذلك، بعد النشر، اكتشف أن نظريته المعلنة غير صحيحة. في ملحقه الخامس والأخير، المنشور عام ١٩٠٤، برهن على ذلك بمثال مضاد هو كرة بوانكاريه الهومولوجية ، وهي فضاء ثلاثي الأبعاد مغلق ومتصل، له هومولوجيا الكرة، لكن مجموعته الأساسية تتكون من ١٢٠ عنصرًا. أوضح هذا المثال أن الهومولوجيا ليست كافية لتوصيف طوبولوجيا الفضاء. في الملاحظات الختامية للملحق الخامس، عدّل بوانكاريه نظريته الخاطئة ليستخدم المجموعة الأساسية بدلًا من الهومولوجيا: [ ١٧ ] [ ١٣ ]

يبقى سؤال واحد مطروحًا: هل من الممكن اختزال المجموعة الأساسية لـ V إلى المجموعة المحايد دون أن تكون V متصلة ببساطة؟ [...] ومع ذلك، فإن هذا السؤال سيأخذنا بعيدًا جدًا.

في هذه الملاحظة، كما في الملاحظة الختامية للملحق الثاني، استخدم بوانكاريه مصطلح "متصل ببساطة" بطريقة تتعارض مع الاستخدام الحديث، وكذلك مع تعريفه الخاص للمصطلح عام ١٨٩٥. [ ١٢ ] [ ١٦ ] (وفقًا للاستخدام الحديث، فإن سؤال بوانكاريه هو تحصيل حاصل ، إذ يسأل عما إذا كان من الممكن أن يكون متعدد الشعب متصلًا ببساطة دون أن يكون متصلًا ببساطة). ومع ذلك، وكما يمكن استنتاجه من السياق، [ ١٨ ] كان بوانكاريه يسأل عما إذا كانت تفاهة المجموعة الأساسية تميز الكرة بشكل فريد. [ ١٤ ]

في أعمال ريمان، وبيتي، وبوانكاريه، لم تُعرَّف المفاهيم الطوبولوجية المذكورة أو تُستخدم بطريقة تُعتبر دقيقة من منظور حديث. حتى المفهوم الأساسي لـ"المتشعب" لم يُستخدم بشكل متسق في أعمال بوانكاريه نفسه، وكان هناك خلط متكرر بين مفهوم المتشعب الطوبولوجي ، ومتشعب PL ، والمتشعب الأملس . [ 16 ] [ 19 ] لهذا السبب، لا يمكن قراءة أسئلة بوانكاريه بشكل قاطع. فقط من خلال الصياغة الرسمية ومصطلحات الطوبولوجيا التي طورها علماء الرياضيات اللاحقون، تم فهم سؤال بوانكاريه الختامي على أنه "تخمين بوانكاريه" كما ورد في القسم السابق.

مع ذلك، ورغم صياغته المعتادة على شكل تخمين، مقترحًا أن جميع المتشعبات من نوع معين متماثلة شكليًا مع الكرة، فإن بوانكاريه لم يطرح سوى سؤال مفتوح، دون أن يخوض في التخمين في أي اتجاه. علاوة على ذلك، لا يوجد دليل على الطريقة التي اعتقد أنها ستُجاب بها على سؤاله. [ 14 ]

الحلول

في ثلاثينيات القرن العشرين، ادعى جيه إتش سي وايتهيد وجود برهان، لكنه تراجع عنه لاحقًا. وفي خضم ذلك، اكتشف بعض الأمثلة على مشعبات ثلاثية الأبعاد غير متراصة بسيطة الاتصال (بل قابلة للانكماش، أي مكافئة طوبولوجيًا لنقطة) وغير متماثلة طوبولوجيًا معR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}، والتي يُطلق على النموذج الأولي منها الآن اسم مشعب وايتهيد .

في خمسينيات وستينيات القرن العشرين، حاول رياضيون آخرون إثبات حدسية بوانكاريه، لكنهم اكتشفوا لاحقًا وجود ثغرات في محاولاتهم. وقد سعى رياضيون بارزون، مثل جورج دي رام ، وآر إتش بينغ ، وولفغانغ هاكن ، وإدوين إي. مويس ، وكريستوس باباكيرياكوبولوس، إلى إثبات هذه الحدسية. في عام ١٩٥٨، أثبت آر إتش بينغ صيغةً ضعيفةً من حدسية بوانكاريه: إذا كان كل منحنى مغلق بسيط في فضاء ثلاثي الأبعاد مضغوط مُحتوىً في كرة ثلاثية الأبعاد، فإن هذا الفضاء يكون متماثلًا شكليًا مع الكرة ثلاثية الأبعاد. [ ٢٠ ] كما وصف بينغ بعضًا من مآزق محاولة إثبات حدسية بوانكاريه. [ ٢١ ]

أظهر فلودزيميرز ياكوبش في عام 1978 أنه إذا كانت حدسية بينغ-بورسوك صحيحة في البعد 3، فإن حدسية بوانكاريه يجب أن تكون صحيحة أيضًا. [ 22 ]

بمرور الوقت، اكتسبت هذه الفرضية سمعةً بأنها بالغة الصعوبة. علّق جون ميلنور قائلاً إن الأخطاء في البراهين الخاطئة قد تكون أحيانًا "دقيقة للغاية ويصعب اكتشافها". [ 23 ] وقد ساهم العمل على هذه الفرضية في تحسين فهمنا للمتشعبات ثلاثية الأبعاد. غالبًا ما كان الخبراء في هذا المجال يترددون في الإعلان عن البراهين، ويميلون إلى النظر إلى أي إعلان من هذا القبيل بعين الشك. شهدت ثمانينيات وتسعينيات القرن العشرين بعض البراهين المغلوطة التي حظيت بتغطية إعلامية واسعة (والتي لم تُنشر في الواقع في شكل مُحكّم من قِبل النظراء ). [ 24 ] [ 25 ]

يمكن الاطلاع على عرض لمحاولات إثبات هذه الفرضية في كتاب " جائزة بوانكاريه" غير التقني لجورج سزبيرو . [ 26 ]

أبعاد

يُقدّم تصنيف الأسطح المغلقة إجابةً إيجابيةً للسؤال المُماثل في بُعدين. أما في الأبعاد الأكبر من ثلاثة، فيُمكن طرح حدسية بوانكاريه المُعمّمة: هل الكرة المتماثلة من الرتبة n متماثلةٌ تماثليًا مع الكرة من الرتبة n ؟ يتطلب ذلك افتراضًا أقوى من مجرد الاتصال البسيط؛ ففي الأبعاد الأربعة وما فوق، توجد مشعبات مغلقة متصلة ببساطة، ولكنها ليست مكافئة تماثليًا للكرة من الرتبة n .

تاريخيًا، بينما بدت الفرضية في البعد الثالث معقولة، كان يُعتقد أن الفرضية المعممة خاطئة. في عام ١٩٦١، فاجأ ستيفن سميل علماء الرياضيات بإثباته لفرضية بوانكاريه المعممة للأبعاد الأكبر من أربعة، ووسع نطاق تقنياته لإثبات نظرية التماثل-h الأساسية . في عام ١٩٨٢، أثبت مايكل فريدمان فرضية بوانكاريه في أربعة أبعاد. ترك عمل فريدمان الباب مفتوحًا أمام إمكانية وجود متعدد شعب رباعي أملس متماثل الشكل مع الكرة الرباعية، ولكنه ليس متماثلًا تباينيًا معها. لا تزال هذه الفرضية، المسماة بفرضية بوانكاريه الملساء، في البعد الرابع، مفتوحة ويُعتقد أنها بالغة الصعوبة. تُظهر كرات ميلنور الغريبة ، على سبيل المثال، أن فرضية بوانكاريه الملساء خاطئة في البعد السابع.

تركت هذه النجاحات السابقة في الأبعاد الأعلى حالة الأبعاد الثلاثة في طي النسيان. كانت حدسية بوانكاريه صحيحة بشكل أساسي في البعد الرابع وفي جميع الأبعاد الأعلى لأسباب مختلفة جوهريًا. في البعد الثالث، اكتسبت الحدسية سمعة غير مؤكدة إلى أن وضعتها حدسية الهندسة في إطار يحكم جميع المتشعبات ثلاثية الأبعاد. كتب جون مورغان : [ 27 ]

أرى أنه قبل أعمال ثورستون حول المشعبات الزائدية ثلاثية الأبعاد وفرضية الهندسة، لم يكن هناك إجماع بين الخبراء حول صحة فرضية بوانكاريه من عدمها. بعد أعمال ثورستون، ورغم أنها لم تكن ذات صلة مباشرة بفرضية بوانكاريه، فقد ساد إجماع على صحة فرضية بوانكاريه (وفرضية الهندسة).

برنامج وحل هاميلتون

مراحل متعددة من تدفق ريتشي على مشعب ثنائي الأبعاد

بدأ برنامج هاميلتون في بحثه المنشور عام ١٩٨٢، حيث قدّم فيه تدفق ريتشي على متعدد الشعب، وبيّن كيفية استخدامه لإثبات بعض الحالات الخاصة من حدسية بوانكاريه. [ ٢٨ ] وفي السنوات اللاحقة، وسّع هاميلتون هذا العمل، لكنه لم يتمكن من إثبات الحدسية. ولم يُعثر على الحل الفعلي إلا بعد أن نشر غريغوري بيرلمان أبحاثه.

في أواخر عامي 2002 و2003، نشر بيرلمان ثلاث أوراق بحثية على موقع arXiv . [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] في هذه الأوراق، قدم برهانًا على حدسية بوانكاريه وحدسية أكثر عمومية، وهي حدسية ثورستون الهندسية ، مكملاً بذلك برنامج تدفق ريتشي الذي حدده ريتشارد إس. هاميلتون سابقًا .

في الفترة من مايو إلى يوليو 2006، قدمت عدة مجموعات أوراقًا بحثية أوضحت تفاصيل برهان بيرلمان على حدسية بوانكاريه، على النحو التالي:

  • نشر بروس كلاينر وجون دبليو لوت ورقة بحثية على موقع arXiv في مايو 2006، أوضحا فيها تفاصيل برهان بيرلمان لتخمين الهندسة، وذلك بعد نسخ جزئية كانت متاحة للجمهور منذ عام 2003. [ 32 ] نُشرت مخطوطتهما في مجلة الهندسة والطوبولوجيا عام 2008. أُجري عدد قليل من التصحيحات في عامي 2011 و2013؛ على سبيل المثال، استخدمت النسخة الأولى من ورقتهما المنشورة صيغة غير صحيحة لنظرية هاميلتون للتراص لتدفق ريتشي.
  • نشر هواي دونغ كاو وشي بينغ تشو بحثًا في عدد يونيو 2006 من المجلة الآسيوية للرياضيات، تضمن شرحًا للبرهان الكامل لتخمينات بوانكاريه والهندسة. [ 33 ] وجاء في الفقرة الافتتاحية من بحثهما ما يلي:

سنقدم في هذه الورقة نظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي. وانطلاقًا منها، سنقدم أول عرض مكتوب لبرهان كامل لتخمين بوانكاريه وتخمين ثورستون الهندسي. ورغم أن هذا العمل الكامل هو ثمرة جهود متراكمة للعديد من المحللين الهندسيين، إلا أن المساهمين الرئيسيين فيه بلا شك هما هاميلتون وبيرلمان.

فسّر بعض المراقبين قيام كاو وتشو بنسب الفضل لأنفسهما في عمل بيرلمان. وقد نشرا لاحقًا نسخة منقحة، بصياغة جديدة، على موقع arXiv. [ 34 ] إضافةً إلى ذلك، كانت إحدى صفحات عرضهما مطابقةً تقريبًا لصفحة في إحدى المسودات المبكرة المتاحة للجمهور لكلاينر ولوت؛ وقد عُدّل هذا أيضًا في النسخة المنقحة، إلى جانب اعتذار من هيئة تحرير المجلة.
  • نشر جون مورغان وجانغ تيان ورقة بحثية على موقع arXiv في يوليو 2006، قدمت برهانًا مفصلًا لتخمين بوانكاريه فقط (وهو أسهل نوعًا ما من تخمين الهندسة الكاملة) [ 35 ] ، ثم توسعا في هذا البرهان ليصبح كتابًا. [ 36 ] [ 37 ]

وجدت المجموعات الثلاث أن الثغرات في أوراق بيرلمان كانت طفيفة ويمكن سدها باستخدام تقنياته الخاصة.

في 22 أغسطس/آب 2006، منحت اللجنة الدولية للرياضيات (ICM) بيرلمان ميدالية فيلدز لعمله على تدفق ريتشي، لكن بيرلمان رفض الميدالية. [ 38 ] [ 39 ] وفي 24 أغسطس/آب 2006، تحدث جون مورغان في اللجنة الدولية للرياضيات عن حدسية بوانكاريه، مصرحًا بأن "بيرلمان قد حل حدسية بوانكاريه في عام 2003". [ 40 ]

في ديسمبر 2006، كرّمت مجلة ساينس إثبات حدسية بوانكاريه باعتباره الإنجاز الأبرز لهذا العام، وعرضته على غلافها. [ 5 ]

تدفق ريتشي مع الجراحة

يتضمن برنامج هاميلتون لإثبات حدسية بوانكاريه وضع مقياس ريماني أولًا على متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد المغلق والمتصل ببساطة المجهول. وتتمثل الفكرة الأساسية في محاولة "تحسين" هذا المقياس؛ فعلى سبيل المثال، إذا أمكن تحسين المقياس بما يكفي بحيث يكون له انحناء موجب ثابت، فإنه وفقًا للنتائج الكلاسيكية في الهندسة الريمانية، يجب أن يكون كرة ثلاثية الأبعاد. وقد حدد هاميلتون " معادلات تدفق ريتشي " لتحسين المقياس.

∂تزأناج=-2Rأناج{\displaystyle \partial _{t}g_{ij}=-2R_{ij}}

حيث g هي المقياس و R هي انحناء ريتشي، ويُؤمل أن يصبح فهم المتشعب أسهل مع ازدياد الزمن t . يعمل تدفق ريتشي على توسيع الجزء ذي الانحناء السالب من المتشعب وتقليص الجزء ذي الانحناء الموجب.

في بعض الحالات، أثبت هاميلتون أن هذا الأمر ناجح؛ على سبيل المثال، كان إنجازه الأصلي هو إثبات أنه إذا كان للمتشعب الريماني انحناء ريتشي موجب في كل مكان، فلا يمكن اتباع الإجراء المذكور أعلاه إلا لفترة محدودة من قيم المعلمات.ت∈[0،تي){\displaystyle t\in [0,T)}معتي<∞{\displaystyle T<\infty }والأهم من ذلك، أن هناك أرقاماًجت{\displaystyle c_{t}}بحيث يكونت↗تي{\displaystyle t\nearrow T}، المقاييس الريمانيةجتز(ت){\displaystyle c_{t}g(t)}تتقارب بسلاسة إلى فضاء ذي انحناء موجب ثابت. وفقًا للهندسة الريمانية الكلاسيكية، فإن الفضاء المتراص البسيط الاتصال الوحيد الذي يمكنه دعم مقياس ريماني ذي انحناء موجب ثابت هو الكرة. لذا، في الواقع، أثبت هاميلتون حالة خاصة من حدسية بوانكاريه: إذا كان فضاء ثلاثي الأبعاد متراص بسيط الاتصال يدعم مقياس ريماني ذي انحناء ريتشي موجب، فإنه يجب أن يكون متماثلًا مع الكرة ثلاثية الأبعاد.

أما إذا اقتصر الأمر على مقياس ريماني عشوائي، فإن معادلات تدفق ريتشي ستؤدي حتماً إلى حالات شاذة أكثر تعقيداً. وقد تمثل إنجاز بيرلمان الرئيسي في إثبات أنه من منظور معين، إذا ظهرت هذه الحالات الشاذة في زمن محدود، فإنها لا تبدو إلا ككرات أو أسطوانات متقلصة. وبفهمه الكمي لهذه الظاهرة، قام بتقطيع الفضاء المتشعب على طول هذه الحالات الشاذة، مقسماً إياه إلى عدة أجزاء، ثم تابع تطبيق تدفق ريتشي على كل جزء منها. يُعرف هذا الإجراء بتدفق ريتشي الجراحي.

قدّم بيرلمان حجةً منفصلةً تستند إلى تدفق تقصير المنحنى لإثبات أنه على مشعب ثلاثي الأبعاد بسيط الاتصال ومضغوط، فإن أي حل لتدفق ريتشي مع الجراحة ينقرض في زمن محدود. وقدّم توبياس كولدينغ وويليام مينيكوزي حجةً بديلةً تستند إلى نظرية الحد الأدنى والحد الأقصى للأسطح الدنيا ونظرية القياس الهندسي. وبالتالي، في سياق الاتصال البسيط، فإن ظاهرة الزمن المحدود المذكورة أعلاه لتدفق ريتشي مع الجراحة هي كل ما هو ذو صلة. في الواقع، هذا صحيح حتى لو كانت المجموعة الأساسية ناتجًا حرًا لمجموعات منتهية ومجموعات دورية.

يتبين أن هذا الشرط على المجموعة الأساسية ضروري وكافٍ للانقراض في زمن محدود. وهو يكافئ القول بأن التفكيك الأولي للمتشعب لا يحتوي على مكونات غير دورية، ويتبين أنه يكافئ الشرط القائل بأن جميع الأجزاء الهندسية للمتشعب لها هندسات مبنية على هندستي ثورستون.S2×R{\displaystyle S^{2}\times \mathbf {R} }وS3{\displaystyle S^{3}}في سياق عدم افتراض أي شيء عن المجموعة الأساسية، أجرى بيرلمان دراسة تقنية إضافية لنهاية المتشعب عند أزمنة لانهائية، وبذلك أثبت حدسية ثورستون الهندسية: عند الأزمنة الطويلة، يمتلك المتشعب تجزئة سميكة-رقيقة ، حيث يمتلك الجزء السميك بنية زائدية، بينما يكون الجزء الرقيق متشعبًا بيانيًا . مع ذلك، وبفضل نتائج بيرلمان وكولدينغ ومينيكوزي، فإن هذه النتائج الإضافية غير ضرورية لإثبات حدسية بوانكاريه.

حل

غريغوري بيرلمان

في 11 نوفمبر/تشرين الثاني 2002، نشر عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان أولى ثلاث مقالات إلكترونية على موقع arXiv ، موضحًا فيها حلًا لتخمين بوانكاريه. ويعتمد برهان بيرلمان على نسخة معدلة من برنامج تدفق ريتشي الذي طوره ريتشارد إس. هاميلتون . في أغسطس/آب 2006، مُنح بيرلمان ميدالية فيلدز (بقيمة 15,000 دولار كندي) تقديرًا لعمله على تدفق ريتشي، لكنه رفضها. وفي 18 مارس/آذار 2010، منح معهد كلاي للرياضيات بيرلمان جائزة الألفية وقيمتها  مليون دولار أمريكي ، تقديرًا لبرهانه. [ 41 ] [ 42 ] ورفض بيرلمان هذه الجائزة أيضًا. [ 7 ] [ 43 ]

أثبت بيرلمان صحة الفرضية بتشويه المتشعب باستخدام تدفق ريتشي (الذي يشبه في سلوكه معادلة الحرارة التي تصف انتشار الحرارة عبر جسم ما). عادةً ما يشوه تدفق ريتشي المتشعب نحو شكل أكثر استدارة، باستثناء بعض الحالات التي يمدد فيها المتشعب بعيدًا عن نفسه باتجاه ما يُعرف بالنقاط الشاذة . ثم قام بيرلمان وهاملتون بتقطيع المتشعب عند النقاط الشاذة (وهي عملية في علم الطوبولوجيا تُسمى "الجراحة"، والتي استخدمها ماكس دين سابقًا لصنع كرة بوانكاريه المتجانسة من كرة ثنائية الأبعاد)، مما أدى إلى تشكيل الأجزاء المنفصلة على هيئة كرات. تتضمن الخطوات الرئيسية في البرهان توضيح كيفية تصرف المتشعبات عند تشويهها بواسطة تدفق ريتشي، ودراسة أنواع النقاط الشاذة التي تتشكل، وتحديد ما إذا كان من الممكن إكمال عملية الجراحة هذه، وإثبات أن الجراحة لا تحتاج إلى التكرار عددًا لا نهائيًا من المرات.

تتمثل الخطوة الأولى في تشويه المتشعب باستخدام تدفق ريتشي . وقد عرّف ريتشارد س. هاميلتون تدفق ريتشي كطريقة لتشويه المتشعبات. صيغة تدفق ريتشي هي محاكاة لمعادلة الحرارة ، التي تصف كيفية تدفق الحرارة في جسم صلب. ومثل تدفق الحرارة، يميل تدفق ريتشي نحو سلوك منتظم. ولكن على عكس تدفق الحرارة، قد يصطدم تدفق ريتشي بنقاط تفرد ويتوقف عن العمل. نقطة التفرد في المتشعب هي موضع لا يمكن فيه التفاضل: مثل الزاوية أو الحدبة أو الانضغاط. وقد عُرّف تدفق ريتشي فقط للمتشعبات الملساء القابلة للتفاضل. استخدم هاميلتون تدفق ريتشي لإثبات أن بعض المتشعبات المدمجة متماثلة شكليًا مع الكرات، وكان يأمل في تطبيقه لإثبات حدسية بوانكاريه. وكان بحاجة إلى فهم نقاط التفرد. [ 44 ]

وضع هاميلتون قائمةً بالنقاط الشاذة المحتملة، لكنه كان قلقًا من أن بعضها قد يُسبب صعوبات. أراد هاميلتون قطع الفضاء المتشعب عند هذه النقاط، ثم لصق أطرافها، وإعادة تشغيل تدفق ريتشي، لذا كان عليه فهم هذه النقاط وإثبات أن أنواعًا معينة منها لا تحدث. اكتشف بيرلمان أن هذه النقاط الشاذة بسيطة للغاية: تخيّل أن أسطوانةً تتشكل بتمديد دائرة على طول خط في بُعد آخر، وتكرار هذه العملية باستخدام كرات بدلًا من الدوائر يُعطي شكل النقاط الشاذة. أثبت بيرلمان ذلك باستخدام ما يُسمى "الحجم المُختزل"، وهو مُرتبط ارتباطًا وثيقًا بقيمة ذاتية لمعادلة إهليلجية مُعينة .

أحيانًا، تُختزل عملية معقدة إلى ضرب في عدد قياسي . تُسمى هذه الأعداد بالقيم الذاتية لتلك العملية. ترتبط القيم الذاتية ارتباطًا وثيقًا بترددات الاهتزاز، وتُستخدم في تحليل مسألة شهيرة: هل يمكنك سماع شكل الطبل؟ في جوهرها، تُشبه القيمة الذاتية نغمة تُعزفها متشعبة. أثبت بيرلمان أن هذه النغمة ترتفع مع تشوه المتشعبة بفعل تدفق ريتشي. ساعده هذا في التخلص من بعض الحالات الشاذة الأكثر إشكالية التي شغلت هاملتون، ولا سيما حل السوليتون الأسطواني، الذي بدا كخيط بارز من متشعبة دون وجود شيء على الجانب الآخر. باختصار، أظهر بيرلمان أنه يمكن قطع جميع الخيوط المتشكلة وإغلاقها، ولا يبرز أي منها من جانب واحد فقط.

لإتمام البرهان، يأخذ بيرلمان أي فضاء ثلاثي الأبعاد مضغوط، بسيط الاتصال، وبدون حدود، ويبدأ بتطبيق تدفق ريتشي. يؤدي هذا إلى تشويه الفضاء إلى قطع دائرية متصلة بخيوط. يقطع الخيوط ويستمر في تشويه الفضاء حتى يتبقى لديه في النهاية مجموعة من الكرات ثلاثية الأبعاد. ثم يعيد بناء الفضاء الأصلي بربط الكرات معًا بأسطوانات ثلاثية الأبعاد، ويحولها إلى شكل دائري، ويرى أنه على الرغم من كل الارتباك الأولي، كان الفضاء في الواقع متماثلًا شكليًا مع كرة.

كان أحد الأسئلة المطروحة فورًا هو كيفية التأكد من عدم الحاجة إلى عدد لا نهائي من القطع. وقد طُرح هذا السؤال نظرًا لاحتمالية استمرار عملية القطع إلى ما لا نهاية. أثبت بيرلمان استحالة ذلك باستخدام الأسطح الدنيا على المتشعب. السطح الأدنى هو سطح تزيد مساحته مع أي تشوه موضعي؛ ومن الأمثلة الشائعة على ذلك غشاء الصابون الذي يغطي حلقة سلكية مثنية. كان هاميلتون قد بيّن أن مساحة السطح الأدنى تتناقص مع خضوع المتشعب لتدفق ريتشي. تحقق بيرلمان مما يحدث لمساحة السطح الأدنى عند تقطيع المتشعب. وأثبت أنه في النهاية، تصبح المساحة صغيرة جدًا لدرجة أن أي قطع بعد بلوغ المساحة هذا الصغر لا يمكن أن يؤدي إلا إلى قطع كرات ثلاثية الأبعاد، وليس أجزاءً أكثر تعقيدًا. وقد وصف سورماني هذا الأمر بأنه أشبه بمعركة مع هيدرا في كتاب سزبيرو المذكور أدناه. ظهر هذا الجزء الأخير من البرهان في ورقة بيرلمان الثالثة والأخيرة حول هذا الموضوع.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ماتفييف، سيرجي (2007). "1.3.4 حدسية زيمان المنهارة". الطوبولوجيا الخوارزمية وتصنيف المتشعبات ثلاثية الأبعاد . الخوارزميات والحساب في الرياضيات. المجلد  9. سبرينغر. الصفحات 46-58 . ISBN  978-3540458999.
  2. ↑ "بوانكاريه، جول هنري" . قاموس ليكسيكو الإنجليزي البريطاني . مطبعة جامعة أكسفورد . مؤرشف من الأصل في 2022-09-02.
  3. ↑ "بوانكاريه" . قاموس التراث الأمريكي للغة الإنجليزية ( الطبعة الخامسة). هاربر كولينز . ​​تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 أغسطس 2019 . 
  4. ↑ "بوانكاريه" . قاموس Merriam-Webster.com . Merriam-Webster. OCLC 1032680871. تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 أغسطس 2019 . 
  5. 1 2 ماكنزي، دانا (22-12-2006). "فرضية بوانكاريه - تم إثباتها" . مجلة ساينس . 314 (5807): 1848-1849 . doi : 10.1126/science.314.5807.1848 . PMID 17185565. S2CID 121869167 .  
  6. ↑ «جائزة حل حدسية بوانكاريه تُمنح للدكتور غريغوري بيرلمان» ( بيان صحفي). معهد كلاي للرياضيات . 18 مارس 2010. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 مارس 2010. تم الاطلاع عليه في 13 نوفمبر 2015. أعلن معهد كلاي للرياضيات (CMI) اليوم أن الدكتور غريغوري بيرلمان من سانت بطرسبرغ، روسيا، هو الفائز بجائزة الألفية لحله حدسية بوانكاريه.
  7. 1 2 "بعد دكتوراه بيرلمان" [ آخر "لا" دكتور بيرلمان ] . انترفاكس (بالروسية). 1 يوليو 2010 . تم الاسترجاع في 5 أبريل 2016 . رابط مؤرشف مترجم من جوجل على(تمت الأرشفة في 20 أبريل 2014)
  8. ↑ ريتر، مالكولم (1 يوليو 2010). "عالم رياضيات روسي يرفض جائزة المليون" . صحيفة بوسطن غلوب .
  9. ^ ريمان ، بيرنهارد (1851). Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen (أطروحة). جامعة غوتنغن .الترجمة الإنجليزية: ريمان، برنارد (2004). "أسس نظرية عامة لدوال المتغير المركب". أوراق بحثية مجمعة: برنارد ريمان . ترجمة: روجر بيكر؛ تشارلز كريستنسون؛ هنري أوردي. هيبر سيتي، يوتا: دار نشر كندريك. الصفحات 1-41 . ISBN  0-9740427-2-2. السيد 2121437 . زبل 1101.01013 .  
  10. ^ بيتي، إنريكو (1870). """"""""""""""""""""""""""""""""" " Annali di Matematica Pura ed Applicata . 4 : 140– 158. دوى : 10.1007/BF02420029 . جي اف ام 03.0301.01 . 
  11. ^ بوانكاريه، هـ. (1892). "موقع التحليل" . Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences . جي اف ام 24.0506.02 . 
  12. 1 2 3 بوانكاريه، هـ. (1895). "مكان التحليل" . مجلة مدرسة البوليتكنيك . 2e الدوري. 1 : 1– 121. جي اف ام 26.0541.07 . 
  13. ١ ٢ ٣ ٤ بوانكاريه، هنري (٢٠١٠). أوراق بحثية في الطوبولوجيا: تحليل المواقع وملحقاته الخمسة . تاريخ الرياضيات. المجلد ٣٧. ترجمة جون ستيلويل . الجمعية الرياضية الأمريكية وجمعية لندن الرياضية . doi : 10.1090/hmath/037 . ISBN  978-0-8218-5234-7. السيد 2723194 . زبل 1204.55002 .  
  14. 1 2 3 4 غراي، جيريمي (2013). هنري بوانكاريه: سيرة علمية . برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-15271-4. جستور j.ctt1r2fwt . السيد 2986502 . زبل 1263.01002 .   
  15. ^ بوانكاريه، هـ. (1900). "المكمل الثاني لتحليل الموقع" . وقائع جمعية لندن للرياضيات . 32 (1): 277-308 . دوى : 10.1112/plms/s1-32.1.277 . جي اف ام 31.0477.10 . السيد 1576227 .  
  16. 1 2 3 انظر تعليق ستيلويل في كتاب بوانكاريه (2010)
  17. ^ بوانكاريه، هـ. (1904). "Cinquième تكملة للتحليل الموقعي" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 18 : 45 – 110. دوى : 10.1007 / bf03014091 . جي اف ام 35.0504.13 . 
  18. ↑ تشير الفقرات الافتتاحية لكتاب بوانكاريه (1904) إلى "متصل ببساطة بالمعنى الحقيقي للكلمة" كشرط للتماثل مع الكرة.
  19. ↑ ديودونيه، جان (1989). تاريخ الطوبولوجيا الجبرية والتفاضلية، 1900-1960 . بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، المحدودة. doi : 10.1007/978-0-8176-4907-4 . ISBN 0-8176-3388-X. السيد 0995842 . زبل 0673.55002 .  
  20. ↑ بينغ، ر. هـ. (1958). "الشروط اللازمة والكافية لكي يكون متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد S 3 ". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 68 (1): 17-37 . doi : 10.2307/1970041 . JSTOR 1970041 . 
  21. ↑ بينغ، ر. هـ. (1964). "بعض جوانب طوبولوجيا الفضاءات ثلاثية الأبعاد المتعلقة بتخمين بوانكاريه". محاضرات في الرياضيات الحديثة . المجلد الثاني. نيويورك: وايلي. الصفحات 93-128 .  
  22. ↑ هالفيرسون، دينيس م.؛ دوسان، ريبوفش (23 ديسمبر 2008). "تخمينات بينغ-بورسوك وبوسمان" . الاتصالات الرياضية . 13 (2). arXiv : 0811.0886 .
  23. ↑ ميلنور، جون (2004). "تخمين بوانكاريه بعد 99 عامًا: تقرير مرحلي" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 مايو 2007 .
  24. ↑ تاوبس، غاري (يوليو 1987). "ماذا يحدث عندما يلتقي الغرور بالهزيمة؟". ديسكفر . 8 : 66-77 .
  25. ↑ ماثيوز، روبرت (9 أبريل 2002). "حل لغز رياضي بقيمة مليون دولار"" . NewScientist.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2007-05-05 . "
  26. ↑ سزبيرو، جورج (2008). جائزة بوانكاريه: رحلة المئة عام لحل أحد أعظم ألغاز الرياضيات . بلوم . ISBN 978-0-452-28964-2.
  27. ↑ مورغان، جون دبليو، التقدم الأخير في حدسية بوانكاريه وتصنيف المشعبات ثلاثية الأبعاد. نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات (سلسلة جديدة) 42 (2005)، العدد 1، 57-78
  28. ↑ هاميلتون، ريتشارد (1982). " المتشعبات الثلاثية ذات انحناء ريتشي الموجب" . مجلة الهندسة التفاضلية . 17 (2): 255-306 . doi : 10.4310/jdg/1214436922 . MR 0664497. Zbl 0504.53034 .  أُعيد طبعه في: Cao, HD ; Chow, B.; Chu, SC; Yau, S.-T. ، محرران (2003). أوراق بحثية مُجمّعة حول تدفق ريتشي . سلسلة في الهندسة والطوبولوجيا. المجلد 37. سومرفيل، ماساتشوستس: دار النشر الدولية. الصفحات 119-162 . ISBN   1-57146-110-8.
  29. ↑ بيرلمان، غريغوري (2002). "صيغة الإنتروبيا لتدفق ريتشي وتطبيقاتها الهندسية". arXiv : math.DG/0211159 .
  30. ↑ بيرلمان، غريغوري (2003). "تدفق ريتشي مع الجراحة على مشعبات ثلاثية". arXiv : math.DG/0303109 .
  31. ↑ بيرلمان، غريغوري (2003). "زمن انقراض محدود لحلول تدفق ريتشي على بعض المشعبات ثلاثية الأبعاد". arXiv : math.DG/0307245 .
  32. ↑ كلاينر، بروس ؛ جون دبليو. لوت (2008). "ملاحظات على أوراق بيرلمان". الهندسة والطوبولوجيا . 12 (5): 2587-2855 . arXiv : math.DG/0605667 . doi : 10.2140/gt.2008.12.2587 . S2CID 119133773 . 
  33. ↑ كاو، هواي دونغ ؛ شي بينغ تشو (يونيو 2006). "برهان كامل لتخمينات بوانكاريه والهندسة - تطبيق نظرية هاميلتون-بيرلمان لتدفق ريتشي" (ملف PDF) . المجلة الآسيوية للرياضيات . 10 (2). مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 14 مايو 2012. 
  34. ↑ كاو، هواي دونغ وتشو، شي بينغ (3 ديسمبر 2006). "برهان هاميلتون-بيرلمان لتخمين بوانكاريه وتخمين الهندسة". arXiv : math.DG/0612069 .
  35. ↑ مورغان، جون ؛ غانغ تيان (2006). "تدفق ريتشي وتخمين بوانكاريه". arXiv : math.DG/0607607 .
  36. ↑ مورغان، جون ؛ غانغ تيان (2007). تدفق ريتشي وتخمين بوانكاريه . معهد كلاي للرياضيات. ISBN 978-0-8218-4328-4.
  37. ↑ مورغان، جون؛ تيان، غانغ (2015). "تصحيح للقسم 19.2 من تدفق ريتشي وتخمين بوانكاريه". arXiv : 1512.00699 [ math.DG ].
  38. ↑ ناصر، سيلفيا ؛ ديفيد غروبر (28 أغسطس 2006). "مصير متعدد الأوجه" . مجلة نيويوركر . ص 44-57 . النسخة الإلكترونية متوفرة على موقع مجلة نيويوركر الإلكتروني .
  39. ↑ تشانغ، كينيث (22 أغسطس 2006). "رفض أعلى وسام في الرياضيات" . صحيفة نيويورك تايمز .
  40. ↑ تقرير عن حدسية بوانكاريه. محاضرة خاصة لجون مورغان.
  41. ↑ «جائزة حل حدسية بوانكاريه تُمنح للدكتور غريغوري بيرلمان» . معهد كلاي للرياضيات. 18 مارس 2010. مؤرشف من الأصل بتاريخ 22 مارس 2010.
  42. ↑ "تخمين بوانكاريه" . معهد كلاي للرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 أكتوبر 2018 .
  43. ↑ مالكولم ريتر (2010-07-01). "عالم رياضيات روسي يرفض جائزة مليون دولار" . Phys.Org . تاريخ الاسترجاع: 2011-05-15 .
  44. ↑ أوشيا، دونال (2018). "الحل المفاجئ لتخمين بوانكاريه". الحل المفاجئ لتخمين بوانكاريه. في: رو، د.، ساور، ت.، والتر، س. (محررون) ما وراء أينشتاين . دراسات أينشتاين. المجلد 14. نيويورك، نيويورك: بيركهاوزر. الصفحات 401-415 . doi : 10.1007/978-1-4939-7708-6_13 . ISBN   978-1-4939-7708-6.

للمزيد من القراءة