History of algebra

Algebra can essentially be considered as doing computations similar to those of arithmetic but with non-numerical mathematical objects. However, until the 19th century, algebra consisted essentially of the theory of equations. For example, the fundamental theorem of algebra belongs to the theory of equations and is not considered as belonging to algebra (in fact, every proof must use the completeness of the real numbers, which is not an algebraic property).

This article describes the history of the theory of equations, referred to in this article as "algebra", from the origins to the emergence of algebra as a separate area of mathematics.

Etymology

The word "algebra" is derived from the Arabic word الجبرal-jabr, and this comes from the treatise written in the year 830 by the medieval Persian mathematician, Al-Khwārizmī, whose Arabic title, Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, can be translated as The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. The treatise provided for the systematic solution of linear and quadratic equations. According to one history, "[i]t is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the previous translation. The word 'al-jabr' presumably meant something like 'restoration' or 'completion' and seems to refer to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation; the word 'muqabalah' is said to refer to 'reduction' or 'balancing'—that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation. Arabic influence in Spain long after the time of al-Khwarizmi is found in Don Quixote, where the word 'algebrista' is used for a bone-setter, that is, a 'restorer'."^[1] The term is used by al-Khwarizmi to describe the operations that he introduced, "reduction" and "balancing", referring to the transposition of subtracted terms to the other side of an equation, that is, the cancellation of like terms on opposite sides of the equation.^[2]

Stages of algebra

Algebraic expression

لم تستخدم الجبر دائمًا الرموز الشائعة في الرياضيات اليوم؛ بل مرّت بثلاث مراحل متميزة. ويمكن تلخيص مراحل تطور الجبر الرمزي تقريبًا كما يلي: ^{[ 3 ]}

الجبر البلاغي ، حيث تُكتب المعادلات في جمل كاملة. على سبيل المثال، الشكل البلاغي لـ $x+1=2$ هي "الشيء زائد واحد يساوي اثنين" أو ربما "الشيء زائد 1 يساوي 2". طُوِّر الجبر البلاغي لأول مرة على يد البابليين القدماء وظل مهيمناً حتى القرن السادس عشر.

الجبر المقتضب ، الذي يستخدم بعض الرموز، ولكنه لا يتضمن جميع خصائص الجبر الرمزي. على سبيل المثال، قد يكون هناك قيدٌ يقضي باستخدام الطرح مرة واحدة فقط في أحد طرفي المعادلة، وهو ما لا ينطبق على الجبر الرمزي. ظهر التعبير الجبري المقتضب لأول مرة في كتاب " الحساب " لديوفانتوس (القرن الثالث الميلادي)، ثم في كتاب " براهما سفوتا سيدانتا" لبراهماغوبتا ( القرن السابع الميلادي).
الجبر الرمزي ، الذي يُستخدم فيه الرمز الكامل. يمكن ملاحظة الخطوات الأولى نحو هذا في أعمال العديد من علماء الرياضيات المسلمين مثل ابن البنا (القرنين الثالث عشر والرابع عشر) والقلصدي (القرن الخامس عشر)، على الرغم من أن فرانسوا فييت (القرن السادس عشر) هو من طور الجبر الرمزي الكامل. لاحقًا، قدم رينيه ديكارت (القرن السابع عشر) الترميز الحديث (على سبيل المثال، استخدام x - انظر أدناه ) وأظهر أن المسائل التي تظهر في الهندسة يمكن التعبير عنها وحلها باستخدام الجبر ( الهندسة الديكارتية ).

بقدر أهمية استخدام الرموز أو عدم استخدامها في الجبر، كانت درجة المعادلات التي يتم تناولها ذات أهمية بالغة. لعبت المعادلات التربيعية دورًا مهمًا في الجبر المبكر؛ وطوال معظم التاريخ، وحتى أوائل العصر الحديث، تم تصنيف جميع المعادلات التربيعية على أنها تنتمي إلى واحدة من ثلاث فئات.

$x^{2}+px=q$
$x^{2}=px+q$
$x^{2}+q=px$

أين $p$ و $q$ موجبة. وينشأ هذا التقسيم الثلاثي لأن المعادلات التربيعية من الشكل $x^{2}+px+q=0$ ، مع $p$ و $q$ موجب، ليس له جذور موجبة . ^{[ 4 ]}

بين المرحلتين البلاغية والمتقطعة للجبر الرمزي، طوّر علماء الرياضيات اليونانيون الكلاسيكيون والهنود الفيديون جبرًا هندسيًا بنائيًا، حيث تُحل المعادلات الجبرية من خلال الهندسة. على سبيل المثال، معادلة من الشكل $x^{2}=A$ تم حل المسألة عن طريق إيجاد طول ضلع مربع مساحته $A.$

المراحل المفاهيمية

إضافةً إلى المراحل الثلاث للتعبير عن الأفكار الجبرية، أقرّ بعض المؤلفين بأربع مراحل مفاهيمية في تطور الجبر، والتي حدثت بالتزامن مع التغيرات في التعبير. وهذه المراحل الأربع هي كما يلي: ^{[ 5 ]}

المرحلة الهندسية ، حيث تكون مفاهيم الجبر هندسية إلى حد كبير. يعود تاريخ هذه المرحلة إلى البابليين واستمرت مع الإغريق ، ثم أعاد إحياءها عمر الخيام .
مرحلة حل المعادلات الثابتة ، حيث يكون الهدف هو إيجاد أعداد تحقق علاقات معينة. يعود الانتقال من المرحلة الهندسية إلى ديوفانتوس وبراهماغوبتا ، لكن الجبر لم ينتقل بشكل حاسم إلى مرحلة حل المعادلات الثابتة إلا بعد أن قدم الخوارزمي عمليات حسابية معممة لحل المسائل الجبرية.
مرحلة الدالة الديناميكية ، حيث تكون الحركة فكرة أساسية. بدأت فكرة الدالة بالظهور مع شرف الدين الطوسي ، لكن الجبر لم ينتقل بشكل حاسم إلى مرحلة الدالة الديناميكية إلا مع غوتفريد لايبنتز .
المرحلة التجريدية ، حيث يلعب الهيكل الرياضي دورًا محوريًا. الجبر التجريدي هو إلى حد كبير نتاج القرنين التاسع عشر والعشرين.

بابل

يمكن تتبع أصول الجبر إلى البابليين القدماء ، ^{[ 6 ]} الذين طوروا نظامًا عدديًا موضعيًا ساعدهم بشكل كبير في حل معادلاتهم الجبرية البلاغية. لم يكن البابليون مهتمين بالحلول الدقيقة، بل بالتقريبات، ولذلك كانوا يستخدمون الاستيفاء الخطي لتقريب القيم المتوسطة. ^{[ 7 ]} من أشهر الألواح لوح بليمبتون 322 ، الذي أُنشئ حوالي 1900-1600 قبل الميلاد، والذي يحتوي على جدول لأثلاث فيثاغورس، ويمثل بعضًا من أكثر الرياضيات تقدمًا قبل الرياضيات اليونانية. ^{[ 8 ]}

Babylonian algebra was much more advanced than the Egyptian algebra of the time; whereas the Egyptians were mainly concerned with linear equations the Babylonians were more concerned with quadratic and cubic equations.^[7] The Babylonians had developed flexible algebraic operations with which they were able to add equals to equals and multiply both sides of an equation by like quantities so as to eliminate fractions and factors.^[7] They were familiar with many simple forms of factoring,^[7] three-term quadratic equations with positive roots,^[9] and many cubic equations,^[10] although it is not known if they were able to reduce the general cubic equation.^[10]

Ancient Egypt

Ancient Egyptian algebra dealt mainly with linear equations while the Babylonians found these equations too elementary, and developed mathematics to a higher level than the Egyptians.^[7]

The Rhind Papyrus, also known as the Ahmes Papyrus, is an ancient Egyptian papyrus written c. 1650 BC by Ahmes, who transcribed it from an earlier work that he dated to between 2000 and 1800 BC.^[11] It is the most extensive ancient Egyptian mathematical document known to historians.^[12] The Rhind Papyrus contains problems where linear equations of the form $x+ax=b$ and $x+ax+bx=c$ are solved, where $a,b,$ and $c$ are known and $x,$ which is referred to as "aha" or heap, is the unknown.^[13] The solutions were possibly, but not likely, arrived at by using the "method of false position", or regula falsi, where first a specific value is substituted into the left hand side of the equation, then the required arithmetic calculations are done, thirdly the result is compared to the right hand side of the equation, and finally the correct answer is found through the use of proportions. In some of the problems the author "checks" his solution, thereby writing one of the earliest known simple proofs.^[13]

Greek mathematics

يُزعم أحيانًا أن الإغريق لم يعرفوا الجبر، لكن هذا محل خلاف. ^{[ 15 ]} بحلول زمن أفلاطون ، شهدت الرياضيات اليونانية تحولًا جذريًا. فقد ابتكر الإغريق جبرًا هندسيًا تُمثَّل فيه الحدود بأضلاع الأشكال الهندسية، ^{[ 16 ]} عادةً ما تكون خطوطًا، مرتبطة بأحرف، ^{[ 17 ]} وبهذا الشكل الجديد من الجبر، تمكنوا من إيجاد حلول للمعادلات باستخدام عملية ابتكروها تُعرف باسم "تطبيق المساحات". ^{[ 16 ]} "تطبيق المساحات" ليس سوى جزء من الجبر الهندسي، وقد تم تناوله بالتفصيل في كتاب الأصول لإقليدس .

من أمثلة الجبر الهندسي حل المعادلة الخطية $ax=bc.$ كان الإغريق القدماء يحلون هذه المعادلة من خلال النظر إليها على أنها تساوي في المساحات بدلاً من كونها تساوياً في النسب. $a:b$ و $c:x.$ كان الإغريق يبنون مستطيلاً بأضلاع طولها $b$ و $c,$ ثم قم بتمديد أحد أضلاع المستطيل إلى الطول المطلوب $a,$ وأخيرًا، سيكملون المستطيل الممتد لإيجاد ضلع المستطيل الذي يمثل الحل. ^{[ 16 ]}

إزهار ثيماريداس

يذكر يامبليخوس في كتابه "مقدمة في الحساب" أن ثيماريداس (حوالي 400 ق.م. - حوالي 350 ق.م.) عمل على المعادلات الخطية الآنية. ^{[ 18 ]} وعلى وجه الخصوص، ابتكر القاعدة الشهيرة آنذاك والمعروفة باسم "زهرة ثيماريداس"، والتي تنص على ما يلي:

إذا كان مجموع $n$ إذا أعطيت كميات، وكذلك مجموع كل زوج يحتوي على كمية معينة، فإن هذه الكمية المعينة تساوي $1/(n-2)$ ^[¹⁹^] الفرق بين مجموع هذه الأزواج والمجموع الأول المعطى.

برهان من *كتاب الأصول* لإقليدس على أنه إذا أعطيت قطعة مستقيمة، فإنه يوجد مثلث متساوي الأضلاع يشمل تلك القطعة كأحد أضلاعه

أو باستخدام الترميز الحديث، حل النظام التالي من $n$ المعادلات الخطية في $n$ [ ¹⁸^]

$x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s$ $x+x_{1}=m_{1}$ $x+x_{2}=m_{2}$ $\vdots$ $x+x_{n-1}=m_{n-1}$

يكون،

$x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.$

ويستمر يامبليخوس في وصف كيفية تحويل بعض أنظمة المعادلات الخطية التي ليست على هذا الشكل إلى هذا الشكل. ^{[ 18 ]}

إقليدس الإسكندري

إقليدس ( باليونانية : Εὐκλείδης ) كان عالم رياضيات يونانيًا ازدهر في الإسكندرية بمصر ، على الأرجح خلال عهد بطليموس الأول (323-283 قبل الميلاد). ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} لم يُحدد بعد عام ولا مكان ميلاده ^{[ 20 ]} ، ولا ظروف وفاته.

يُعتبر إقليدس "أبو الهندسة ". وكتابه "الأصول " هو أنجح كتاب مدرسي في تاريخ الرياضيات . ^{[ 20 ]} ورغم أنه أحد أشهر علماء الرياضيات في التاريخ، إلا أنه لا تُنسب إليه اكتشافات جديدة؛ بل يُذكر بمهاراته التفسيرية الفائقة. ^{[ 22 ]} وكتاب "الأصول" ليس، كما يُظن أحيانًا، مجموعةً شاملةً للمعرفة الرياضية اليونانية حتى ذلك الحين؛ بل هو مدخلٌ تمهيديٌّ إليها. ^{[ 23 ]}

عناصر

لقد وفر العمل الهندسي لليونانيين، والذي تجسد في كتاب العناصر لإقليدس ، الإطار لتعميم الصيغ بما يتجاوز حل المشكلات الخاصة إلى أنظمة أكثر عمومية لصياغة وحل المعادلات.

يحتوي الكتاب الثاني من كتاب الأصول على أربعة عشر مبدأً، كانت ذات أهمية بالغة في زمن إقليدس في مجال الجبر الهندسي. تُعدّ هذه المبادئ ونتائجها المكافئ الهندسي للجبر الرمزي وعلم المثلثات الحديثين. ^{[ 15 ]} اليوم، باستخدام الجبر الرمزي الحديث، نرمز إلى المقادير المعروفة والمجهولة (أي الأعداد) بالرموز، ثم نطبق عليها العمليات الجبرية، بينما في زمن إقليدس، كانت المقادير تُنظر إليها على أنها قطع مستقيمة، ثم تُستنتج النتائج باستخدام بديهيات أو نظريات الهندسة. ^{[ 15 ]}

تتضمن كتاب الأصول العديد من القوانين الأساسية للجمع والضرب، أو تُثبت هندسيًا . على سبيل المثال، تنص القضية الأولى من الكتاب الثاني على ما يلي:

إذا كان هناك خطان مستقيمان، وتم تقسيم أحدهما إلى أي عدد من الأجزاء مهما كان، فإن المستطيل الموجود بين الخطين المستقيمين يساوي المستطيلات الموجودة بين الخط المستقيم غير المقطوع وكل جزء من الأجزاء.

لكن هذا ليس أكثر من النسخة الهندسية لقانون التوزيع (الأيسر) . $a(b+c+d)=ab+ac+ad$ وفي الكتابين الخامس والسابع من كتاب العناصر، تم ^توضيح قوانين التبادل والتجميع للضرب. [ ^{15 ]}

كما تم إثبات العديد من المعادلات الأساسية هندسيًا. على سبيل المثال، تثبت القضية رقم 5 في الكتاب الثاني أن $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),$ ^{[ 24 ]} وتثبت القضية 4 في الكتاب الثاني أن $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$ ^{[ 15 ]}

علاوة على ذلك، توجد حلول هندسية للعديد من المعادلات. على سبيل المثال، تقدم القضية السادسة من الكتاب الثاني حلاً للمعادلة التربيعية. $ax+x^{2}=b^{2},$ ويقدم الاقتراح 11 من الكتاب الثاني حلاً لـ $ax+x^{2}=a^{2}.$ ^{[ 25 ]}

بيانات

كتاب "البيانات" هو عملٌ كتبه إقليدس لاستخدامه في مدارس الإسكندرية، وكان يُقصد به أن يكون كتابًا مُكمِّلًا للكتب الستة الأولى من كتاب " الأصول" . يحتوي الكتاب على نحو خمسة عشر تعريفًا وخمسة وتسعين عبارة، منها نحو عشرين عبارة تُشكِّل قواعد أو صيغًا جبرية.^{[ 26 ]} بعض هذه العبارات هي مكافئات هندسية لحلول المعادلات التربيعية.^{[ 26 ]} على سبيل المثال، يحتوي كتاب "البيانات" على حلول المعادلات $dx^{2}-adx+b^{2}c=0$ والمعادلة البابلية المألوفة $xy=a^{2},x\pm y=b.$ ^{[ 26 ]}

القطوع المخروطية

القطع المخروطي هو منحنى ينتج عن تقاطع مخروط مع مستوى . توجد ثلاثة أنواع رئيسية من القطوع المخروطية: القطع الناقص (بما في ذلك الدوائر )، والقطع المكافئ ، والقطع الزائد . يُنسب اكتشاف القطوع المخروطية إلى مينايخمُس ^[²⁷^] (حوالي 380 ق.م. - حوالي 320 ق.م.)، ولأن التعامل مع القطوع المخروطية يُعادل التعامل مع معادلاتها، فقد لعبت أدوارًا هندسية تُضاهي المعادلات التكعيبية وغيرها من المعادلات ذات الرتب الأعلى.

كان مينايخموس يعلم أن المعادلة في القطع المكافئ $y^{2}=lx$ يحجز، حيث $l$ هو ثابت يُسمى الوتر البؤري المستقيم ، مع أنه لم يكن على دراية بأن أي معادلة بمجهولين تحدد منحنى. ^{[ 28 ]} ويبدو أنه استنتج هذه الخصائص للقطوع المخروطية وغيرها أيضًا. وباستخدام هذه المعلومات، أصبح من الممكن الآن إيجاد حل لمسألة مضاعفة المكعب عن طريق إيجاد نقاط تقاطع قطعين مكافئين، وهو حل مكافئ لحل معادلة تكعيبية. ^{[ 28 ]}

يُخبرنا يوتوسيوس أن الطريقة التي استخدمها لحل المعادلة التكعيبية تعود إلى ديونيسودوروس (250 ق.م. - 190 ق.م.). حلّ ديونيسودوروس المعادلة التكعيبية عن طريق تقاطع قطع زائد قائم مع قطع مكافئ. وقد ارتبط هذا بمسألة في كتاب أرخميدس " في الكرة والأسطوانة ". دُرست القطوع المخروطية واستُخدمت لآلاف السنين من قِبل علماء الرياضيات اليونانيين، ولاحقًا المسلمين والأوروبيين. وعلى وجه الخصوص، يتناول كتاب أبولونيوس البرغي الشهير " القطوع المخروطية " القطوع المخروطية، إلى جانب مواضيع أخرى.

الصين

يعود تاريخ الرياضيات الصينية إلى ما لا يقل عن 300 قبل الميلاد مع كتاب "تشوبي سوانجينغ" ، الذي يعتبر عمومًا أحد أقدم الوثائق الرياضية الصينية. ^{[ 29 ]}

تسعة فصول في الفن الرياضي

يُعد كتاب "تشيو تشانغ سوان شو" أو "الفصول التسعة في فن الرياضيات" ، الذي كُتب حوالي عام 250 قبل الميلاد، أحد أكثر كتب الرياضيات الصينية تأثيرًا، ويتألف من حوالي 246 مسألة. يتناول الفصل الثامن حل المعادلات الخطية الآنية المحددة وغير المحددة باستخدام الأعداد الموجبة والسالبة، مع مسألة واحدة تتناول حل أربع معادلات بخمسة مجاهيل. ^{[ 29 ]}

قياسات مرآة البحر للدائرة

كتاب "تسي يوان هاي تشينغ" أو "مرآة البحر لقياسات الدائرة " هو مجموعة تضم حوالي 170 مسألة كتبها لي تشي (أو لي يي) (1192-1279 م). استخدم لي تشي طريقة "فان فا" أو طريقة هورنر لحل المعادلات من الدرجة السادسة، على الرغم من أنه لم يصف طريقته في حل المعادلات. ^{[ 30 ]}

رسالة رياضية في تسعة أقسام

كتاب "شو شو تشيو تشانغ" (Shu-shu chiu-chang) ، أو "رسالة رياضية في تسعة أقسام" ، من تأليف الحاكم والوزير الثري تشين تشيو شاو (حوالي 1202 - حوالي 1261). وبتقديمه طريقة لحل التطابقات الآنية ، والتي تُعرف الآن بنظرية الباقي الصينية ، يُعد هذا الكتاب ذروة التحليل غير المحدد في اللغة الصينية . ^{[ 30 ]}

المربعات السحرية

ظهرت أقدم المربعات السحرية المعروفة في الصين. ^{[ 31 ]} في كتاب "الفصول التسعة"، يحلّ المؤلف نظامًا من المعادلات الخطية الآنية بوضع معاملات وحدود الثوابت في مربع سحري (أي مصفوفة) وإجراء عمليات اختزال الأعمدة على هذا المربع. ^{[ 31 ]} تُنسب أقدم المربعات السحرية المعروفة من رتبة أكبر من ثلاثة إلى يانغ هوي (نشط حوالي 1261-1275 )، الذي عمل على مربعات سحرية من رتبة تصل إلى عشرة. ^{[ 32 ]}

مرآة العناصر الأربعة الثمينة

كتاب "المرآة الثمينة للعناصر الأربعة " ( Ssy-yüan yü-chien ) من تأليف تشو شيه جيه عام 1303، ويُعدّ ذروة تطور الجبر الصيني. تمثل العناصر الأربعة ، وهي السماء والأرض والإنسان والمادة، الكميات المجهولة الأربعة في معادلاته الجبرية. يتناول كتاب "المرآة الثمينة للعناصر الأربعة" المعادلات الآنية، ومعادلات تصل درجتها إلى الدرجة الرابعة عشرة. يستخدم المؤلف طريقة " فان فا" ، المعروفة اليوم باسم طريقة هورنر ، لحل هذه المعادلات. ^{[ 33 ]}

يبدأ كتاب " المرآة الثمينة" برسم تخطيطي للمثلث الحسابي ( مثلث باسكال ) باستخدام رمز الصفر الدائري، لكن تشو شيه-تشيه ينكر أنه صاحب هذا الرسم. ويظهر مثلث مشابه في عمل يانغ هوي، لكن بدون رمز الصفر. ^{[ 34 ]}

توجد العديد من معادلات الجمع الواردة في كتاب " المرآة الثمينة" دون برهان . ومن بين هذه المعادلات: ^{[ 34 ]}

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}

1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}

ديوفانتوس

كان ديوفانتوس عالم رياضيات هلنستيًا عاش حوالي عام 250 ميلاديًا، إلا أن عدم اليقين بشأن هذا التاريخ كبير لدرجة أنه قد يكون خاطئًا بأكثر من قرن. يُعرف بتأليفه كتاب "الحساب" (Arithmetica )، وهو رسالة كانت في الأصل تتألف من ثلاثة عشر كتابًا، ولكن لم يبقَ منها سوى الكتب الستة الأولى. ^{[ 35 ]} يُعد كتاب "الحساب" أقدم عمل موجود حاليًا يحل مسائل حسابية باستخدام الجبر. مع ذلك، لم يخترع ديوفانتوس طريقة الجبر، فقد كانت موجودة قبله. ^{[ 36 ]} كان الجبر يُمارس ويُنشر شفهيًا بين الممارسين، وقد اكتسب ديوفانتوس تقنيات لحل مسائل حسابية. ^{[ 37 ]}

في الجبر الحديث، تُعرَّف متعددة الحدود بأنها توليفة خطية للمتغير x، تتكون من الأسس والضرب القياسي والجمع والطرح. أما جبر ديوفانتوس، المشابه للجبر العربي في العصور الوسطى، فهو عبارة عن تجميع لأشياء من أنواع مختلفة دون وجود عمليات حسابية ^{[ 38 ].}

على سبيل المثال، في ديوفانتوس، متعددة الحدود "6 4 ′ قوى معكوسة، 25 قوى ناقصة 9 وحدات"، والتي في التدوين الحديث هي $6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9$ هي مجموعة من $6{\tfrac {1}{4}}$ كائن من نوع واحد مع 25 كائنًا من النوع الثاني، وينقصه 9 كائنات من النوع الثالث، ولا توجد أي عملية. ^{[ 39 ]}

على غرار الجبر العربي في العصور الوسطى، يستخدم ديوفانتوس ثلاث مراحل لحل المسألة بالجبر:

1) يتم تسمية المجهول ويتم وضع معادلة

2) يتم تبسيط المعادلة إلى شكل قياسي (الجبر والمقابلة باللغة العربية).

3) يتم حل المعادلة المبسطة ^{[ 40 ]}

لم يُصنِّف ديوفانتوس المعادلات إلى ستة أنواع كما فعل الخوارزمي في الأجزاء المتبقية من كتابه الحسابي. لكنه ذكر أنه سيقدم حلولاً لمعادلات ذات ثلاثة حدود لاحقاً، لذا فمن المحتمل أن يكون هذا الجزء من العمل قد فُقد ^{[ 37 ].}

في كتاب الحساب ، كان ديوفانتوس أول من استخدم رموزًا للأعداد المجهولة، بالإضافة إلى اختصارات لقوى الأعداد والعلاقات والعمليات الحسابية؛ ^{[ 41 ]} وبذلك استخدم ما يُعرف الآن بالجبر المتقطع . ويكمن الفرق الرئيسي بين الجبر المتقطع الديوفانتي والتدوين الجبري الحديث في أن الأول كان يفتقر إلى رموز خاصة للعمليات والعلاقات والأسس. ^{[ 42 ]}

على سبيل المثال، ما سنكتبه على النحو التالي:

x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,

ستُكتب هذه العبارة باستخدام تدوين ديوفانتوس المتزامن على النحو التالي:

\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;

ἴ

\sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}

حيث تمثل الرموز ما يلي: ^{[ 43 ]}^{[ 44 ]}

رمز	ما يمثله
${\overline {\alpha }}$	1
${\overline {\beta }}$	2
${\overline {\varepsilon }}$	5
${\overline {\iota }}$	10
ἴσ	"يساوي" (اختصار لـ ἴσος )
$\pitchfork$	يمثل طرح كل ما يلي $\pitchfork$ حتى ἴσ
$\mathrm {M}$	القوة الصفرية (أي الحد الثابت)
$\zeta$	الكمية المجهولة (لأنها عدد) $x$ مرفوعًا للأس الأول هو مجرد $x,$ يمكن اعتبار هذا بمثابة "القوة الأولى".
$\Delta ^{\upsilon }$	القوة الثانية، من الكلمة اليونانية δύναμις ، وتعني القوة أو السلطة
$\mathrm {K} ^{\upsilon }$	القوة الثالثة، من الكلمة اليونانية κύβος ، وتعني مكعبًا
$\Delta ^{\upsilon }\Delta$	القوة الرابعة
$\Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }$	القوة الخامسة
$\mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K}$	القوة السادسة

بخلاف الترميز الحديث، تأتي المعاملات بعد المتغيرات، ويتم تمثيل عملية الجمع بتجاور الحدود. والترجمة الحرفية لمعادلة ديوفانتوس المتقطعة إلى معادلة رمزية حديثة هي كما يلي: ^{[ 43 ]}

{x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5

للتوضيح، إذا تم استخدام الأقواس الحديثة وعلامة الجمع، فيمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي: ^{[ 43 ]}

\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5

مع ذلك، يعتبر جيفري أوكس وجان كريستيانيديس التمييز بين "الجبر البلاغي" و"الجبر المتقطع" و"الجبر الرمزي" تمييزًا قديمًا. فقد كانت المسائل تُحل على ألواح ورقية باستخدام بعض الرموز، بينما كانت الحلول في الكتب تُكتب بأسلوب بلاغي. ^{[ 45 ]}

تستخدم Arithmetica أيضًا الهويات: ^{[ 46 ]}

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$	$=(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}$
	$=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}$

الهند

كان علماء الرياضيات الهنود نشطين في دراسة أنظمة الأعداد. وتعود أقدم الوثائق الرياضية الهندية المعروفة إلى منتصف الألفية الأولى قبل الميلاد تقريبًا (حوالي القرن السادس قبل الميلاد). ^{[ 47 ]}

من بين المواضيع المتكررة في الرياضيات الهندية، المعادلات الخطية والتربيعية المحددة وغير المحددة، والقياس البسيط، والثلاثيات الفيثاغورية. ^{[ 48 ]}

أريابهاتا

كان أرياباتا (476–550) عالم رياضيات هندي قام بتأليف أرياباتيا . وأعطى فيه القواعد، ^{[ 49 ]}

1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}

و

1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}

براهما سفوتا سيدانتا

كان براهمغوبتا (ازدهر عام 628) عالم رياضيات هنديًا، وهو مؤلف كتاب "براهما سفوتا سيدانتا" . في هذا العمل، يحل براهمغوبتا المعادلة التربيعية العامة للجذور الموجبة والسالبة. ^{[ 50 ]} وفي التحليل غير المحدد، يقدم براهمغوبتا ثلاثيات فيثاغورس. $m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),$ ${\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),$ لكن هذا شكل مُعدَّل لقاعدة بابلية قديمة ربما كان براهماغوبتا على دراية بها. ^{[ 51 ]} كان أول من قدم حلاً عامًا للمعادلة الديوفانتية الخطية $ax+by=c,$ أين $a,b,$ و $c$ هي أعداد صحيحة . على عكس ديوفانتوس الذي قدم حلاً واحداً فقط لمعادلة غير محددة، قدم براهماغوبتا جميع الحلول الصحيحة؛ ولكن استخدام براهماغوبتا لبعض الأمثلة نفسها التي استخدمها ديوفانتوس دفع بعض المؤرخين إلى التفكير في إمكانية وجود تأثير يوناني على عمل براهماغوبتا، أو على الأقل مصدر بابلي مشترك. ^{[ 52 ]}

على غرار جبر ديوفانتوس، كان جبر براهماغوبتا متقطعًا. وكان الجمع يُشار إليه بوضع الأرقام جنبًا إلى جنب، والطرح بوضع نقطة فوق المطروح، والقسمة بوضع المقسوم عليه أسفل المقسوم، على غرار نظامنا الحديث ولكن بدون الخط الفاصل. أما الضرب والتطور والكميات المجهولة فكانت تُمثل باختصارات المصطلحات المناسبة. ^{[ 52 ]} إن مدى التأثير اليوناني على هذا التقطع، إن وُجد، غير معروف، ومن المحتمل أن يكون التقطع اليوناني والهندي مشتقًا من مصدر بابلي مشترك. ^{[ 52 ]}

بهاسكارا ٢

كان بهاسكارا الثاني (1114 - حوالي 1185) أبرز علماء الرياضيات في القرن الثاني عشر. في كتابه "الجبر"، قدّم الحل العام لمعادلة بيل . ^{[ 52 ]} وهو مؤلف كتابي "ليلافاتي" و "فيجا-غانيتا" ، اللذين يتضمنان مسائل تتناول المعادلات الخطية والتربيعية المحددة وغير المحددة، بالإضافة إلى ثلاثيات فيثاغورس. ^{[ 48 ]} وقد أغفل التمييز بين العبارات الدقيقة والتقريبية. ^{[ 53 ]} العديد من المسائل في "ليلافاتي" و "فيجا-غانيتا" مستمدة من مصادر هندوسية أخرى، ولذا يُظهر بهاسكارا براعته في التعامل مع التحليل غير المحدد. ^{[ 53 ]}

تستخدم لغة بهاسكارا الرموز الأولية لأسماء الألوان كرموز للمتغيرات المجهولة. على سبيل المثال، ما نكتبه اليوم هو

(-x-1)+(2x-8)=x-9

كان بهاسكارا سيكتب على النحو التالي:

. _ .

يا 1 رو 1

.

يا 2 رو 8

.

Sum ya 1 ru 9

حيث تشير "يا" إلى المقطع الأول من كلمة " أسود" ، و "رو" مأخوذة من كلمة "أنواع" . تشير النقاط فوق الأرقام إلى عملية الطرح.

العالم الإسلامي

صفحة من *كتاب "الكتاب الموجز عن الحساب بالإكمال والموازنة"*

لم يشهد القرن الأول من عمر الدولة العربية الإسلامية أي إنجازات علمية أو رياضية تُذكر، إذ لم يكن العرب، بعدُ، قد اكتسبوا زخمًا فكريًا يُذكر في إمبراطوريتهم المفتوحة حديثًا، كما تراجع البحث العلمي في أنحاء أخرى من العالم. وفي النصف الثاني من القرن الثامن، شهد الإسلام نهضة ثقافية، وازداد البحث في الرياضيات والعلوم. ^[⁵⁴^] ويُروى أن الخليفة العباسي المأمون ( 809-833) رأى في منامه أرسطو، فأمر بترجمة أكبر قدر ممكن من الأعمال اليونانية إلى اللغة العربية، ومنها كتاب المجسطي لبطليموس وكتاب الأصول لإقليدس . وكانت الإمبراطورية البيزنطية تُهدي المسلمين أعمالًا يونانية مقابل معاهدات، نظرًا للسلام الهش الذي كان يسود بين الإمبراطوريتين. ^[⁵⁴^] وقد ترجم ثابت بن قرة (826-901) العديد من هذه الأعمال اليونانية، إذ ترجم كتبًا لإقليدس وأرخميدس وأبولونيوس وبطليموس وإيوتوكيوس. ^[⁵⁵^]

أسس علماء الرياضيات العرب علم الجبر كفرع مستقل، وأطلقوا عليه اسم "الجبر" . وكانوا أول من درّس الجبر في صورته الأولية ولغايته الخاصة. ^{[ 56 ]} توجد ثلاث نظريات حول أصول الجبر العربي. تُرجّح الأولى التأثير الهندوسي، والثانية التأثير الميزوبوتامي أو الفارسي السرياني، والثالثة التأثير اليوناني. ويعتقد كثير من الباحثين أنه نتاج مزيج من هذه المصادر الثلاثة. ^{[ 57 ]}

طوال فترة حكمهم، استخدم العرب جبرًا بلاغيًا بالكامل، حيث كانت الأرقام تُكتب غالبًا بالأحرف. وفي نهاية المطاف، استبدل العرب الأرقام المكتوبة بالأحرف (مثل 22) بالأرقام العربية (مثل 22)، لكنهم لم يتبنوا أو يطوروا جبرًا رمزيًا أو متزامنًا ^{[ 55 ]} إلا مع عمل ابن البنا ، الذي طور جبرًا رمزيًا في القرن الثالث عشر، تبعه أبو الحسن بن علي القلاسادي في القرن الخامس عشر.

الجبر والمقابلة

على اليسار: المخطوطة العربية الأصلية المطبوعة لكتاب الجبر للخوارزمي . على اليمين: صفحة من كتاب الجبر للخوارزمي بقلم فريدريك روزن، باللغة الإنجليزية .

كان عالم الرياضيات الفارسي المسلم محمد بن موسى الخوارزمي ، ^الذي وصفه البعض بأنه أبو ^الجبر^، عضوًا في هيئة التدريس ^ببيت الحكمة في بغداد ^،^الذي أسسه المأمون. [58] توفي الخوارزمي حوالي عام 850 ^ميلادي^{، وله أكثر} من ^ستة^مؤلفات^في^{الرياضيات}^والفلك . [ ⁵⁴ ] ^ومن^أشهر^كتبه كتاب " الجبر والمقابلة " ، ^الذي^يقدم شرحًا وافيًا لحل كثيرات الحدود حتى الدرجة الثانية . ^[⁶⁴^] كما قدّم الكتاب المفهوم الأساسي لـ " الاختزال " و"الموازنة"، مشيرًا إلى نقل الحدود المطروحة إلى الطرف الآخر من المعادلة، أي حذف الحدود المتشابهة من طرفي المعادلة. وهذه هي العملية التي وصفها الخوارزمي في الأصل بالجبر . ^[⁶⁵^] اسم "الجبر" مشتق من كلمة " الجبر " في عنوان كتابه.

كتب ر. راشد وأنجيلا أرمسترونغ:

يمكن ملاحظة أن نص الخوارزمي يختلف ليس فقط عن الألواح البابلية ، بل أيضاً عن كتاب الحساب لديوفانتوس . فهو لم يعد يتعلق بسلسلة من المسائل المطلوب حلها، بل بشرح يبدأ بمصطلحات أولية، حيث يجب أن تُعطي تركيباتها جميع النماذج الأولية الممكنة للمعادلات، التي تُشكل من الآن فصاعداً موضوع الدراسة الحقيقي. من ناحية أخرى، تظهر فكرة المعادلة لذاتها منذ البداية، ويمكن القول إنها تظهر بشكل عام، إذ لا تنشأ ببساطة أثناء حل مسألة ما، بل تُستدعى تحديداً لتعريف فئة لا نهائية من المسائل. ^[⁶⁶^]

ينقسم كتاب الجبر إلى ستة أبواب، يتناول كل منها نوعًا مختلفًا من الصيغ. يتناول الباب الأول من كتاب الجبر المعادلات التي تساوي مربعاتها جذورها. $\left(ax^{2}=bx\right),$ يتناول الفصل الثاني المربعات التي تساوي عددًا $\left(ax^{2}=c\right),$ يتناول الفصل الثالث الجذور التي تساوي عددًا $\left(bx=c\right),$ يتناول الفصل الرابع المربعات والجذور التي تساوي عددًا $\left(ax^{2}+bx=c\right),$ يتناول الفصل الخامس المربعات والجذور المتساوية في العدد $\left(ax^{2}+c=bx\right),$ أما الفصل السادس والأخير فيتناول الجذور والأعداد التي تساوي مربعات $\left(bx+c=ax^{2}\right).$ ^{[ 67 ]}

في كتاب الجبر ، يستخدم الخوارزمي البراهين الهندسية، ^{[ 17 ]} وهو لا يعترف بالجذر $x=0,$ ^{[ 67 ]} وهو يتعامل فقط مع الجذور الموجبة.^{[ 68 ]} كما أنه يُقرّ بأنالمميزيجب أن يكون موجبًا، وقد وصف طريقةإكمال المربع، مع أنه لم يُبرر الإجراء.^{[ 69 ]} ويتجلى التأثير اليوناني فيالأسس الهندسيةللجبر^{[ 57 ]}^{[ 70 ]} وفي مسألة واحدة مأخوذة من هيرون.^{[ 71 ]} وهو يستخدم الرسوم البيانية المُرمّزة، لكن جميع المعاملات في جميع معادلاته هي أعداد محددة، إذ لم يكن لديه طريقة للتعبير عن ما يمكن التعبير عنه هندسيًا باستخدام المعاملات؛ مع أن الهدف هو عمومية الطريقة.^{[ 17 ]}

على الأرجح لم يكن الخوارزمي على دراية بكتاب ديوفانتوس في الحساب ، ^{[ 72 ]} الذي عرفه العرب قبل القرن العاشر الميلادي. ^{[ 73 ]} ومع أن الخوارزمي كان على الأرجح على دراية بمؤلفات براهماغوبتا ، فإن كتاب الجبر يتميز بأسلوبه البلاغي البحت، حتى أنه يذكر الأرقام كتابةً. ^{[ 72 ]} فعلى سبيل المثال، ما نكتبه نحن هو

x^{2}+10x=39

كان ديوفانتوس سيكتب على النحو التالي ^{[ 74 ]}

\Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;

ἴ

\sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}

وكان الخوارزمي سيكتب على النحو التالي ^{[ 74 ]}

مربع واحد وعشرة جذور لنفس الكمية يساوي تسعة وثلاثين درهمًا ؛ أي ما هو المربع الذي إذا زاد بعشرة من جذوره الخاصة، يصبح الناتج تسعة وثلاثين؟

الضرورات المنطقية في المعادلات المختلطة

ألف عبد الحميد بن ترك مخطوطة بعنوان "الضرورات المنطقية في المعادلات المختلطة" ، وهي شديدة الشبه بكتاب "الجبر" للخوارزمي ، ونُشرت في نفس الفترة الزمنية تقريبًا، أو ربما قبلها . ^[⁷³^] تقدم المخطوطة نفس البرهان الهندسي الموجود في "الجبر" ، وفي إحدى الحالات نفس المثال الوارد فيه ، بل وتتجاوزه بتقديمها برهانًا هندسيًا على أنه إذا كان المميز سالبًا، فإن المعادلة التربيعية ليس لها حل. ^[⁷³^] وقد دفع هذا التشابه بين العملين بعض المؤرخين إلى استنتاج أن الجبر العربي ربما كان متطورًا بشكل جيد في زمن الخوارزمي وعبد الحميد. ^[⁷³^]

أبو كامل والكرجي

تعامل علماء الرياضيات العرب مع الأعداد غير النسبية ككائنات جبرية. ^{[ 75 ]} وكان عالم الرياضيات المصري أبو كامل شجاع بن أسلم (حوالي 850-930) أول من قبل الأعداد غير النسبية في صورة جذر تربيعي أو جذر رابع كحلول للمعادلات التربيعية أو كمعاملات في معادلة. ^{[ 76 ]} كما كان أول من حل ثلاث معادلات غير خطية آنية بثلاثة متغيرات مجهولة . ^{[ 77 ]}

كان الكرجي (953-1029)، المعروف أيضًا باسم الكرخي، خليفة أبي الوفاء البوزجاني (940-998)، وقد اكتشف أول حل عددي لمعادلات من الشكل $ax^{2n}+bx^{n}=c.$ ^{[ 78 ]} اقتصرت دراسة الكرجي على الجذور الموجبة فقط.^{[ 78 ]} ويُعتبر أيضًا أول من حرّر الجبر منالهندسيةواستبدلها بالعملياتالحسابيةالتي تُشكّل جوهر الجبر اليوم. وقد أرست أعماله في الجبر وكثيرات الحدود قواعد العمليات الحسابية اللازمة لمعالجة كثيرات الحدود.مؤرخ الرياضياتف. ووبكه، فيكتابه "مقتطفات من الفخري، معجم الجبر لأبو بكر محمد بن الحكان الكرخي"(باريس، 1853)، بالكرجي لكونه "أول من وضع نظرية التفاضل والتكامل الجبري". وانطلاقًا من ذلك، بحث الكرجي فيمعاملات ذات الحدينومثلثباسكال.^{[ 79 ]}

عمر الخيام، وشرف الدين الطوسي، والكاشي

{\displaystyle x^{3}+a^{2}x=b} — لحل معادلة من الدرجة الثالثة $x^{3}+a^{2}x=b$ قام الخيام ببناء القطع المكافئ $x^{2}=ay,$ دائرة قطرها $b/a^{2},$ وخط عمودي يمر بنقطة التقاطع. يُعطى الحل بطول القطعة المستقيمة الأفقية من نقطة الأصل إلى نقطة تقاطع الخط العمودي مع الخط الأفقي. $x$ -محور.

كتب عمر الخيام (حوالي ١٠٥٠ - ١١٢٣) كتابًا في الجبر تجاوز كتاب الجبر ليشمل معادلات الدرجة الثالثة. ^{[ ٨٠ ]} قدّم عمر الخيام حلولًا حسابية وهندسية للمعادلات التربيعية، لكنه اقتصر على الحلول الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة لاعتقاده الخاطئ باستحالة الحلول الحسابية. ^{[ ٨٠ ]} وقد سبق أن استخدم مناحيم وأرخميدس وابن الهيثم (الحسن) طريقته في حل المعادلات التكعيبية باستخدام القطوع المخروطية المتقاطعة ، لكن عمر الخيام عمّم هذه الطريقة لتشمل جميع المعادلات التكعيبية ذات الجذور الموجبة. ^[^٨٠^] واقتصرت دراسته على الجذور الموجبة فقط، ولم يتجاوز الدرجة الثالثة. ^[^٨٠^] كما لاحظ وجود علاقة وثيقة بين الهندسة والجبر. ^[^٨٠^]

في القرن الثاني عشر الميلادي، ألّف شرف الدين الطوسي (1135-1213) كتاب "المعادلات " ، الذي تناول فيه ثمانية أنواع من المعادلات التكعيبية ذات الحلول الموجبة، وخمسة أنواع أخرى قد لا يكون لها حلول موجبة. وقد استخدم ما عُرف لاحقًا باسم " طريقة روفيني - هورنر " لتقريب جذر المعادلة التكعيبية عدديًا . كما طوّر مفهومي القيم العظمى والصغرى للمنحنيات لحل المعادلات التكعيبية التي قد لا يكون لها حلول موجبة. ^[⁸¹^] أدرك الطوسي أهمية مميز المعادلة التكعيبية، واستخدم نسخة مبكرة من صيغة كاردانو ^[⁸²^] لإيجاد حلول جبرية لأنواع معينة من المعادلات التكعيبية. يرى بعض العلماء، مثل رشدي راشد، أن شرف الدين هو من اكتشف مشتقة كثيرات الحدود التكعيبية وأدرك أهميتها، بينما يربط باحثون آخرون حله بأفكار إقليدس وأرخميدس. ^[⁸³^]

كما طور شرف الدين مفهوم الدالة . [ ^{84 ] في} تحليله للمعادلة $x^{3}+d=bx^{2}$ فعلى سبيل المثال، يبدأ بتغيير شكل المعادلة إلى $x^{2}(b-x)=d$ ثم يذكر أن مسألة وجود حل للمعادلة تعتمد على ما إذا كانت "الدالة" على الجانب الأيسر تصل إلى القيمة أم لا. $d$ ولتحديد ذلك، وجد قيمة عظمى للدالة. وأثبت أن القيمة العظمى تحدث عندما $\textstyle x={\frac {2b}{3}}$ ، مما يعطي القيمة الوظيفية $\textstyle {\frac {4b^{3}}{27}}$ ثم يذكر شرف الدين أنه إذا كانت هذه القيمة أقل من $d$ لا توجد حلول موجبة؛ إذا كانت تساوي $d$ إذن، هناك حل واحد في $\textstyle x={\frac {2b}{3}}$ وإذا كان أكبر من $d$ إذن، هناك حلان، أحدهما بينهما. $0$ و $\textstyle {\frac {2b}{3}}$ وواحد بين $\textstyle {\frac {2b}{3}}$ و $b$ [ ⁸⁵^]

في أوائل القرن الخامس عشر، طور جمشيد الكاشي شكلاً مبكراً من طريقة نيوتن لحل المعادلة عددياً $x^{P}-N=0$ إيجاد جذور $N$ [ ^{86 ]} طوّر الكاشي أيضًا الكسور العشرية وادّعى اكتشافها بنفسه. ومع ذلك، يشير ج. لينارت بيرغرين إلى أنه كان مخطئًا، إذ استُخدمت الكسور العشرية لأول مرة قبل خمسة قرون من ذلك على يد ^عالم الرياضيات البغدادي أبو الحسن الإقليدي في وقت مبكر من القرن العاشر. ^{[ 77 ]}

الحصار، وابن البنا، والقلقدي

قام الحسار ، وهو عالم رياضيات مغربي متخصص في فقه الميراث الإسلامي خلال القرن الثاني عشر، بتطوير الترميز الرياضي الرمزي الحديث للكسور ، حيث يفصل بين البسط والمقام خط أفقي. وقد ظهر هذا الترميز الكسري نفسه بعد ذلك بوقت قصير في أعمال فيبوناتشي في القرن الثالث عشر. ^[⁸⁷^]

كان أبو الحسن بن علي القلاسادي (1412-1486) آخر علماء الجبر العرب البارزين في العصور الوسطى ، وهو أول من حاول ابتكار تدوين جبري منذ ابن البنا قبل قرنين من الزمان، والذي كان بدوره أول من حاول ذلك منذ ديوفانتوس وبراهماغوبتا في العصور القديمة. ^[⁸⁸^] إلا أن التدوينات المتقطعة التي استخدمها أسلافه كانت تفتقر إلى رموز العمليات الرياضية . ^[⁴²^] وقد خطا القلاسادي "الخطوات الأولى نحو إدخال الرمزية الجبرية باستخدام الحروف بدلًا من الأرقام" ^[⁸⁸^] و"باستخدام كلمات عربية قصيرة، أو حروفها الأولى فقط، كرموز رياضية". ^[⁸⁸^]

أوروبا ومنطقة البحر الأبيض المتوسط

كان ثيون الإسكندري وابنته هيباتيا آخر علماء الرياضيات النشطين في الإسكندرية خلال أواخر العصور القديمة ، ومثّل موت بوثيوس نهاية الرياضيات في الإمبراطورية الرومانية الغربية . ورغم وجود بعض الأعمال التي أُنجزت في أثينا ، إلا أنها توقفت عندما أغلق الإمبراطور البيزنطي جستنيان المدارس الفلسفية الوثنية عام 529. ويُعتبر عام 529 الآن بداية العصور الوسطى. فرّ العلماء من الغرب نحو الشرق الأكثر ملاءمة، ولا سيما نحو بلاد فارس ، حيث وجدوا ملاذًا آمنًا في ظل حكم الملك كسرى، وأسسوا ما يُمكن تسميته "الأكاديمية الأثينية في المنفى". ^{[ 89 ]} وبموجب معاهدة مع جستنيان، أعاد كسرى العلماء في نهاية المطاف إلى الإمبراطورية الشرقية . خلال العصور المظلمة، كانت الرياضيات الأوروبية في أدنى مستوياتها، حيث اقتصر البحث الرياضي بشكل رئيسي على شروح الرسائل القديمة؛ وتركز معظم هذا البحث في الإمبراطورية البيزنطية . تم تحديد نهاية العصر الوسيط بسقوط القسطنطينية في يد الأتراك عام 1453.

أواخر العصور الوسطى

قدّم عالم الرياضيات الإيطالي فيبوناتشي أفكار وتقنيات الخوارزمي إلى أوروبا في أعماله، وأبرزها كتابه "ليبر أباتشي" . ^{[ 90 ]} وفي عام 1545، نشر العالم الإيطالي الموسوعي جيرولامو كاردانو كتابه "آرس ماجنا" ، الذي تناول العديد من المواضيع في الجبر، وناقش الأعداد التخيلية ، وكان أول من قدّم طرقًا عامة لحل المعادلات التكعيبية والرباعية . ^[⁹¹^]

بينما كان العالم الإسلامي يتراجع بعد القرن الخامس عشر، كان العالم الأوروبي يزدهر. وهنا تطور علم الجبر بشكل أكبر.

الجبر الرمزي

ظهرت الرموز الحديثة للعمليات الحسابية بين أواخر القرن الخامس عشر وبداية القرن السادس عشر على يد يوهانس ويدمان ومايكل ستيفل . وفي أواخر القرن السادس عشر، قدّم فرانسوا فييت رموزًا، تُعرف الآن بالمتغيرات ، لتمثيل الأعداد غير المحددة أو المجهولة. وقد أدى ذلك إلى نشوء جبر جديد يقوم على الحساب باستخدام تعابير رمزية كما لو كانت أعدادًا. ^{[ 92 ]}^{[ 93 ]}

ومن الأحداث الرئيسية الأخرى في تطور علم الجبر، الحل الجبري العام للمعادلات التكعيبية والرباعية ، الذي طُوِّر في منتصف القرن السادس عشر. وقد طوّر عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي فكرة المحدد في القرن السابع عشر، ثم تبعه غوتفريد لايبنتز بعد عشر سنوات، وذلك بهدف حل أنظمة المعادلات الخطية الآنية باستخدام المصفوفات . كما أنجز غابرييل كرامر بعض الأعمال المتعلقة بالمصفوفات والمحددات في القرن الثامن عشر. ^[⁹⁴^]

الرمز x

بحسب التقاليد، يُرمز إلى المتغير المجهول الأول في المسألة الجبرية حاليًا بالرمز ${\mathit {x}}$ وإذا كان هناك مجهول ثانٍ أو ثالث، فسيتم تصنيفهما. ${\mathit {y}}$ و ${\mathit {z}}$ على التوالي. جبري $x$ تُطبع عادةً بخط مائل لتمييزها عن علامة الضرب.

يتفق مؤرخو الرياضيات ^{[ 95 ]} عمومًا على أن استخدام $x$ تم تقديم مفهوم الجبر من قبل رينيه ديكارت ونُشر لأول مرة في كتابه "الهندسة" (1637). ^{[ 96 ]}^{[ 97 ]} في ذلك العمل، استخدم حروفًا من بداية الأبجدية. $(a,b,c,\ldots )$ بالنسبة للكميات المعروفة، والحروف من نهاية الأبجدية $(z,y,x,\ldots )$ للمجهولين. ^{[ 98 ]} وقد أشير إلى أنه استقر لاحقًا على $x$ (بدلاً من $z$ ) لأول مرة غير معروف بسبب وفرته النسبية الأكبر في الخطوط الطباعية الفرنسية واللاتينية في ذلك الوقت. ^{[ 99 ]}

ثلاث نظريات بديلة لأصل الجبر $x$ تم اقتراحها في القرن التاسع عشر: (1) رمز استخدمه علماء الجبر الألمان ويُعتقد أنه مشتق من حرف مكتوب بخط اليد $r,$ تم الخلط بينه وبين $x$ [ ^{100 ]} (2) الرقم 1 مع خط مائل عليه ؛ ^{[ 101 ]} و(3) مصدر عربي/إسباني (انظر أدناه). لكن المؤرخ السويسري الأمريكي للرياضيات فلوريان كاجوري فحص هذه المصادر الثلاثة ووجد ^أنها تفتقر إلى أدلة ملموسة؛ ونسب كاجوري الفضل إلى ديكارت باعتباره صاحب الفكرة، ووصف... $x,y,$ و $z$ باعتبارها "خالية من التقاليد، واختيارهم تعسفي تمامًا". ^{[ 102 ]}

ومع ذلك، لا تزال فرضية اللغة الإسبانية العربية حاضرة في الثقافة الشعبية اليوم. ^{[ 103 ]} وهي الادعاء بأن الجبر $x$ هي اختصار لكلمة يُفترض أنها دخيلة من العربية في الإسبانية القديمة. نشأت هذه النظرية عام 1884 على يد المستشرق الألماني بول دي لاغارد ، بعد فترة وجيزة من نشره طبعته من معجم ثنائي اللغة إسباني/عربي يعود لعام 1505 ^{[ 104 ]} ، حيث قُرنت الكلمة الإسبانية cosa ("شيء") بنظيرتها العربية، شا ( shayʔ )، المكتوبة بـ xei . (كان صوت "sh" في الإسبانية القديمة يُكتب بشكل روتيني) ^. $x.$ من الواضح أن لاغارد كان على دراية بأن علماء الرياضيات العرب، في المرحلة "البلاغية" من تطور الجبر، كانوا يستخدمون هذه الكلمة غالبًا لتمثيل الكمية المجهولة. وقد افترض أنه "لا شيء يمكن أن يكون أكثر طبيعية" ("Nichts war also natürlicher...") من الحرف الأول من الكلمة العربية - المكتوبة بالحروف اللاتينية كما في الإسبانية القديمة $x$ — ليتم اعتمادها للاستخدام في الجبر. ^{[ 105 ]} أعاد قارئ لاحق تفسير حدسية لاغارد على أنها "أثبتت" هذه النقطة. ^{[ 106 ]} لم تكن لاغارد على دراية بأن علماء الرياضيات الإسبان الأوائل لم يستخدموا، ليس نسخًا صوتيًا للكلمة العربية، بل ترجمتها في لغتهم، "cosa". ^{[ 107 ]} لا يوجد أي مثال على xei أو أشكال مماثلة في العديد من المعاجم التاريخية المجمعة للغة الإسبانية. ^{[ 108 ]}^{[ 109 ]}

غوتفريد لايبنتز

على الرغم من أن المفهوم الرياضي للدالة كان ضمنيًا في جداول الدوال المثلثية واللوغاريتمية التي كانت موجودة في عصره، إلا أن غوتفريد لايبنتز كان أول من استخدمه صراحةً في عامي 1692 و1694 للدلالة على أي من المفاهيم الهندسية العديدة المشتقة من منحنى، مثل الإحداثي السيني ، والإحداثي الصادي ، والمماس ، والوتر ، والعمودي . [ ¹¹⁰^]^في القرن الثامن عشر، فقدت كلمة "دالة" هذه الدلالات الهندسية.

أدرك لايبنتز أن معاملات نظام المعادلات الخطية يمكن ترتيبها في مصفوفة، تُعرف الآن بالمصفوفة ، والتي يمكن معالجتها لإيجاد حل النظام، إن وُجد. عُرفت هذه الطريقة لاحقًا باسم طريقة غاوس للحذف . كما اكتشف لايبنتز الجبر البولياني والمنطق الرمزي ، وهما مجالان مرتبطان أيضًا بالجبر.

حديث

في القرنين السابع عشر والثامن عشر، بُذلت محاولات عديدة لإيجاد حلول عامة لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة فما فوق، لكنها باءت جميعها بالفشل. ^{[ 111 ]} في نهاية القرن الثامن عشر، أثبت عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش غاوس النظرية الأساسية في الجبر ، التي تُبين وجود أصفار لكثيرات الحدود من أي درجة دون تقديم حل عام. ^{[ 112 ]} في بداية القرن التاسع عشر، تمكن عالم الرياضيات الإيطالي باولو روفيني وعالم الرياضيات النرويجي نيلز هنريك أبيل من إثبات عدم وجود حل عام لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة فما فوق. ^{[ 111 ]} استجابةً لنتائجهما وبعدها بفترة وجيزة، طور عالم الرياضيات الفرنسي إيفاريست غالوا ما عُرف لاحقًا بنظرية غالوا ، التي قدمت تحليلًا أكثر تعمقًا لحلول كثيرات الحدود، ووضعت في الوقت نفسه أسس نظرية الزمر . ^{[ 113 ]}

ابتداءً من منتصف القرن التاسع عشر، تحوّل الاهتمام بالجبر من دراسة كثيرات الحدود المرتبطة بالجبر الابتدائي إلى بحثٍ أعمّ في البنى الجبرية، مما شكّل بداية الجبر المجرد . استكشف هذا النهج الأسس البديهية للعمليات الجبرية المختلفة. ^{[ 114 ]} ورافق هذا التطور ابتكار أنظمة جبرية جديدة قائمة على عمليات وعناصر مختلفة، مثل الجبر البولياني ، وجبر المتجهات ، وجبر المصفوفات . ^{[ 115 ]} وقد أسهم علماء الرياضيات الألمان ديفيد هيلبرت ، وإرنست شتاينيتز ، وإيمي نوثر ، بالإضافة إلى عالم الرياضيات النمساوي إميل آرتين ، في التطورات المبكرة المؤثرة في الجبر المجرد. بحثوا في أشكال مختلفة من البنى الجبرية وصنفوها بناءً على بديهياتها الأساسية إلى أنواع، مثل الزمر، والحلقات، والحقول. ^{[ 116 ]}

طُورت فكرة المنهج الأكثر عمومية المرتبط بالجبر الشامل على يد عالم الرياضيات الإنجليزي ألفريد نورث وايتهيد في كتابه "رسالة في الجبر الشامل" الصادر عام ١٨٩٨. وابتداءً من ثلاثينيات القرن العشرين، وسّع عالم الرياضيات الأمريكي غاريت بيركوف هذه الأفكار وطوّر العديد من المفاهيم الأساسية لهذا المجال. ^{[ ١١٧ ]} أدى ابتكار الجبر الشامل إلى ظهور مجالات جديدة متنوعة تركز على جبرنة الرياضيات ، أي تطبيق الأساليب الجبرية على فروع أخرى من الرياضيات. ظهر الجبر الطوبولوجي في أوائل القرن العشرين، حيث درس البنى الجبرية مثل الزمر الطوبولوجية وزمر لي . ^{[ ١١٨ ]} وفي أربعينيات وخمسينيات القرن العشرين، ظهر الجبر الهومولوجي ، الذي وظّف التقنيات الجبرية لدراسة الهومولوجيا . ^{[ ١١٩ ]} وفي نفس الفترة تقريبًا، طُوّرت نظرية الفئات ، والتي لعبت منذ ذلك الحين دورًا محوريًا في أسس الرياضيات . ^{[ 120 ]} ومن التطورات الأخرى صياغة نظرية النموذج ودراسة الجبر الحر . ^{[ 121 ]}

أبو الجبر

يُنسب لقب "أبو الجبر" أحيانًا إلى عالم الرياضيات الفارسي الخوارزمي ، ^{[ 122 ]}^{[ 123 ]}^{[ 124 ]} وهو ما يؤيده مؤرخو الرياضيات ، مثل كارل بنيامين بوير ، ^{[ 122 ]} وسولومون غاندز وبارتل ليندرت فان دير فاردن . ^{[ 125 ]} ومع ذلك، فإن هذه النقطة محل نقاش، ويُنسب اللقب أحيانًا إلى عالم الرياضيات الهلنستي ديوفانتوس . ^{[ 122 ]}^{[ 126 ]} ويشير مؤيدو ديوفانتوس إلى أن الجبر الوارد في كتاب "الجبر" أبسط من الجبر الوارد في كتاب "الحساب" ، وأن كتاب "الحساب" يتسم بالاختصار بينما كتاب "الجبر" بلاغي بالكامل. ^{[ 122 ]} ومع ذلك، يجادل مؤرخ الرياضيات كورت فوغل ضد أحقية ديوفانتوس بهذا اللقب، ^{[ 127 ]} لأن رياضياته لم تكن أكثر جبرية بكثير من رياضيات البابليين القدماء . ^{[ 128 ]}

يشير مؤيدو الخوارزمي إلى أنه قدم شرحًا وافيًا للحل الجبري للمعادلات التربيعية ذات الجذور الموجبة، ^{[ 129 ]} وكان أول من درّس الجبر بصورة أولية لذاته، بينما انصب اهتمام ديوفانتوس بالدرجة الأولى على نظرية الأعداد . ^{[ 56 ]} كما أدخل الخوارزمي المفهوم الأساسي لـ "الاختزال" و"الموازنة" (الذي استخدم مصطلح " الجبر " للإشارة إليه في الأصل)، مشيرًا إلى نقل الحدود المطروحة إلى الطرف الآخر من المعادلة، أي حذف الحدود المتشابهة من طرفي المعادلة. ^{[ 65 ]} ويشير مؤيدون آخرون للخوارزمي إلى أن جبره لم يعد معنيًا "بسلسلة من المسائل التي يتعين حلها، بل بعرض يبدأ بحدود أولية يجب أن تُعطي تركيباتها جميع النماذج الأولية الممكنة للمعادلات، التي تُشكل من الآن فصاعدًا موضوع الدراسة الحقيقي". ويشيرون أيضًا إلى معالجته للمعادلة لذاتها، وبطريقة عامة، بحيث لا تظهر ببساطة أثناء حل مسألة ما، بل تُستدعى تحديدًا لتعريف فئة لا نهائية من المسائل. ^{[ 66 ]} يعتبر فيكتور ج. كاتز كتاب الجبر أول نص حقيقي في الجبر لا يزال موجودًا. ^{[ 130 ]}

بحسب جيفري أوكس وجان كريستيانيديس، لا ينبغي تسمية ديوفانتوس ولا الخوارزمي بـ"أبو الجبر". ^{[ 131 ]}^{[ 132 ]} فقد طُوّر الجبر في العصور ما قبل الحديثة واستُخدم من قِبل التجار والمساحين كجزء مما أسماه ينس هويروب "التقاليد شبه العلمية". استخدم ديوفانتوس هذه الطريقة في الجبر في كتابه، ولا سيما في المسائل غير المحددة، بينما كتب الخوارزمي أحد أوائل الكتب باللغة العربية حول هذه الطريقة. ^{[ 37 ]}

انظر أيضاً

المنصور – الخليفة العباسي الثاني (حكم 754–775)
التسلسل الزمني للجبر – أحداث بارزة في تاريخ الجبر

مراجع

↑ بوير (1991 : 229)
↑ جيفري أ. أوكس؛ هيثم م. الخطيب (2007). "تبسيط المعادلات في الجبر العربي". هيستوريا ماثيماتيكا . 34 : 45-61 . doi : 10.1016/j.hm.2006.02.006 . ISSN 0315-0860 .
↑ ( بوير، 1991 ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية"، ص 180) "قيل إنه يمكن تمييز ثلاث مراحل في التطور التاريخي للجبر: (1) المرحلة البلاغية أو المبكرة، حيث يُكتب كل شيء بالكامل بالكلمات؛ (2) مرحلة متقطعة أو وسيطة، حيث تُعتمد بعض الاختصارات؛ و(3) مرحلة رمزية أو نهائية. إن هذا التقسيم التعسفي لتطور الجبر إلى ثلاث مراحل هو، بطبيعة الحال، تبسيط مفرط؛ ولكنه يمكن أن يكون بمثابة تقريب أولي فعال لما حدث."
↑ ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين"، ص 32) "حتى العصر الحديث، لم يكن هناك أي تفكير في حل معادلة تربيعية من الشكل $x^{2}+px+q=0$ ، أين $p$ و $q$ تكون موجبة، لأن المعادلة ليس لها جذر موجب. ونتيجة لذلك، صُنفت المعادلات التربيعية في العصور القديمة والوسطى - وحتى في أوائل العصر الحديث - إلى ثلاثة أنواع: (1) $x^{2}+px=q$ (2) $x^{2}=px+q$ (3) $x^{2}+q=px$ "
↑ كاتز، فيكتور جيه؛ بارتون، بيل (أكتوبر 2007)، "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس"، دراسات تربوية في الرياضيات ، 66 (2): 185-201 ، doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 ، S2CID 120363574
↑ ستريك، ديرك ج. (1987). تاريخ موجز للرياضيات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-60255-4.
1 2 3 4 5 ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين"، ص 30) "لم يتردد علماء الرياضيات البابليون في استخدام الاستيفاء بالأجزاء النسبية لتقريب القيم الوسيطة. ويبدو أن الاستيفاء الخطي كان إجراءً شائعًا في بلاد ما بين النهرين القديمة، وقد سهّل الترميز الموضعي تطبيق قاعدة الثلاثة. [...] جدول أساسي في الجبر البابلي؛ وقد بلغ هذا الموضوع مستوى أعلى بكثير في بلاد ما بين النهرين منه في مصر. تُظهر العديد من نصوص المسائل من العصر البابلي القديم أن حل المعادلة التربيعية الكاملة ذات الثلاثة حدود لم يُمثل صعوبة كبيرة للبابليين، نظرًا لتطويرهم عمليات جبرية مرنة. فقد كان بإمكانهم تبديل الحدود في المعادلات عن طريق جمع المتساويات، وكان بإمكانهم ضرب كلا الطرفين بكميات متشابهة لإزالة الكسور أو التخلص من العوامل. $4ab$ ل $(a-b)^{2}$ بإمكانهم الحصول $(a+b)^{2}$ لأنهم كانوا على دراية بالعديد من أشكال التحليل البسيطة. [...] كان الجبر المصري يهتم كثيرًا بالمعادلات الخطية، لكن البابليين وجدوا هذه المعادلات بدائية للغاية بحيث لا تستحق الكثير من الاهتمام. [...] في مسألة أخرى في نص بابلي قديم، نجد معادلتين خطيتين آنيتين في كميتين مجهولتين، تُسميان على التوالي "الخاتم الفضي الأول" و"الخاتم الفضي الثاني".
↑ جويس، ديفيد إي. (1995). "بليمبتون 322" . قد يكون اللوح الطيني الذي يحمل الرقم 322 في مجموعة جي إيه بليمبتون بجامعة كولومبيا أشهر لوح رياضي، وبالتأكيد أكثرها تصويرًا، ولكنه يستحق شهرة أكبر. نُقش هذا اللوح في العصر البابلي القديم بين عامي 1900 و1600 قبل الميلاد، ويُظهر أكثر الرياضيات تقدمًا قبل تطور الرياضيات اليونانية.
↑ ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين" ص 31) "يبدو أن حل معادلة تربيعية من ثلاثة حدود قد تجاوز بكثير القدرات الجبرية للمصريين، لكن نويغباور في عام 1930 كشف أن البابليين قد تعاملوا مع مثل هذه المعادلات بفعالية في بعض أقدم نصوص المسائل."
1 2 ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين"، ص 33) "لا يوجد سجل في مصر لحل المعادلات التكعيبية، ولكن توجد أمثلة عديدة على ذلك بين البابليين. [...] لا يُعرف ما إذا كان البابليون قادرين على اختزال المعادلة التكعيبية العامة ذات الأربعة حدود،^ax³⁺bx² + cx = d ، إلى شكلها الطبيعي أم لا."
↑ ( بوير 1991 ، "مصر"، ص 11) "تم شراؤها عام 1959 في مدينة ساحلية على النيل من قبل عالم الآثار الاسكتلندي هنري رايند؛ ومن ثم، تُعرف غالبًا باسم بردية رايند أو، بشكل أقل شيوعًا، باسم بردية أحمس تكريمًا للكاتب الذي نسخها بيده حوالي عام 1650 قبل الميلاد. ويخبرنا الكاتب أن المادة مستمدة من نموذج أولي من المملكة الوسطى التي تعود إلى حوالي 2000 إلى 1800 قبل الميلاد."
↑ ( بوير 1991 ، "مصر" ص 19) "لقد تم استخلاص الكثير من معلوماتنا حول الرياضيات المصرية من بردية ريند أو أحمس، وهي الوثيقة الرياضية الأكثر شمولاً من مصر القديمة؛ ولكن هناك مصادر أخرى أيضًا."
1 2 ( بوير 1991 ، "مصر"، ص 15-16) "إن المسائل المصرية التي وُصفت حتى الآن تُصنف على أفضل وجه ضمن مسائل الحساب، ولكن هناك مسائل أخرى تندرج ضمن فئة يُمكن تطبيق مصطلح الجبر عليها بشكل مناسب. هذه المسائل لا تتعلق بأشياء ملموسة محددة مثل الخبز والبيرة، ولا تتطلب عمليات على أعداد معلومة. بل تتطلب ما يُعادل حلول المعادلات الخطية من الشكل $x+ax=b$ أو $x+ax+bx=c$ حيث a و b و c معلومتان، و x مجهول. يُشار إلى المجهول بـ "ها" أو الكومة. [...] الحل الذي قدمه أحمس ليس من الحلول الموجودة في الكتب الدراسية الحديثة، بل هو إحدى الخصائص المقترحة لإجراء يُعرف الآن باسم "طريقة الوضع الخاطئ" أو "قاعدة الخطأ". اقترح علماء عشرينيات القرن الماضي قيمة خاطئة محددة، وتُجرى العمليات الموضحة على الجانب الأيسر من علامة المساواة على هذا العدد المفترض. تُظهر الدراسات الحديثة أن الكتبة لم يكونوا يخمنون في هذه الحالات. لقد أربكت إجابات الأعداد النسبية الدقيقة المكتوبة بسلاسل الكسور المصرية علماء عشرينيات القرن الماضي. تُظهر النتيجة الموثقة أن أحمس "تحقق" من النتيجة بإثبات أن 16 + 1/2 + 1/8 مضافًا إليه سُبع هذا العدد (وهو 2 + 1/4 + 1/8)، يُعطي 19. هنا نرى خطوة مهمة أخرى في تطور الرياضيات، لأن التحقق هو مثال بسيط على البرهان.
↑ بيل كاسلمان . "أحد أقدم المخططات الموجودة من إقليدس" . جامعة كولومبيا البريطانية . تم الاسترجاع في 26-09-2008 .
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٩) "الكتاب الثاني من الأصول كتاب قصير، يحتوي على أربعة عشر قضية فقط، لا يلعب أي منها دورًا في الكتب المدرسية الحديثة؛ ومع ذلك، كان لهذا الكتاب أهمية كبيرة في زمن إقليدس. يمكن تفسير هذا التباين الحاد بين وجهات النظر القديمة والحديثة بسهولة - لدينا اليوم الجبر الرمزي وعلم المثلثات الذي حل محل المكافئات الهندسية من اليونان. على سبيل المثال، تنص القضية ١ من الكتاب الثاني على أنه "إذا كان هناك خطان مستقيمان، وقُطع أحدهما إلى أي عدد من القطع المستقيمة، فإن المستطيل الذي يحتويه الخطان المستقيمان يساوي المستطيلات التي يحتويها الخط المستقيم غير المقطوع وكل قطعة من القطع المستقيمة." هذه النظرية، التي تؤكد (الشكل ٧.٥) أن AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB، ليست سوى بيان هندسي لأحد القوانين الأساسية للحساب المعروفة اليوم باسم قانون التوزيع: $a(b+c+d)=ab+ac+ad.$ في الكتب اللاحقة من كتاب الأصول (الخامس والسابع)، نجد برهانًا على قانوني التبادل والتجميع في الضرب. فبينما تُمثَّل المقادير في عصرنا بأحرف تُفهم على أنها أعداد (معروفة أو مجهولة) نتعامل معها بقواعد جبرية حسابية، كان الإغريق في زمنهم يصوّرونها كقطع مستقيمة تُحقق المحاور ونظريات الهندسة. يُزعم أحيانًا أن الإغريق لم يكن لديهم جبر، لكن هذا زعم باطل. فقد كان لديهم الكتاب الثاني من الأصول ، وهو جبر هندسي، وكان يؤدي الغرض نفسه الذي يؤديه جبرنا الرمزي. لا شك أن الجبر الحديث يُسهّل كثيرًا التعامل مع العلاقات بين المقادير. ولكن من المؤكد أيضًا أن عالم الهندسة الإغريقي المُلمّ بنظريات إقليدس الأربعة عشر في "الجبر" كان أكثر براعة في تطبيق هذه النظريات على القياس العملي من عالم الهندسة المُحنّك في عصرنا. لم تكن "الجبر" الهندسي القديم أداة مثالية، لكنها لم تكن عديمة الفائدة. إن عبارة إقليدس (القضية 4)، "إذا قُطِعَ خط مستقيم عشوائيًا، فإن مربعه الكلي يساوي مربعي القطعتين وضعف المستطيل الذي تحتويه القطعتان"، هي طريقة مطولة للتعبير عن ذلك. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ "
١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "العصر البطولي"، ص ٧٧-٧٨) "سواءً أكان الاستدلال قد دخل الرياضيات في القرن السادس قبل الميلاد أو الرابع، وسواءً أكان اكتشاف عدم التناسب قد تم قبل أو بعد ٤٠٠ قبل الميلاد، فلا شك أن الرياضيات اليونانية قد شهدت تغييرات جذرية بحلول زمن أفلاطون. [...] كان لا بد من أن يحل "الجبر الهندسي" محل "الجبر الحسابي" الأقدم، وفي هذا الجبر الجديد لم يكن من الممكن جمع الخطوط لحساب المساحات أو المساحات لحساب الأحجام. من الآن فصاعدًا، كان لا بد من وجود تجانس صارم للحدود في المعادلات، والشكل الطبيعي لبلاد ما بين النهرين، $xy=A,x\pm y=b,$ = b، وكان ينبغي تفسيرها هندسيًا. [...] وبهذه الطريقة، بنى الإغريق حل المعادلات التربيعية من خلال عملية تُعرف باسم "تطبيق المساحات"، وهو جزء من الجبر الهندسي الذي غطته بالكامل أصول إقليدس . [...] المعادلة الخطية $ax=bc,$ على سبيل المثال، كان يُنظر إلى ذلك على أنه مساواة بين المناطق $ax$ و $bc,$ بدلاً من أن تكون نسبة - أي تساوي بين النسبتين $a:b$ و $c:x.$ وبالتالي، عند بناء النسبة الرابعة $x$ في هذه الحالة، كان من المعتاد إنشاء مستطيل OCDB بأضلاع b = OB و c = OC (الشكل 5.9)، ثم رسم خط OA = a على طول OC . بعد إكمال المستطيل OCDB، يُرسم القطر OE الذي يقطع CD في النقطة P. يتضح الآن أن CP هو الخط المطلوب. $x,$ "المستطيل OARS يساوي في مساحته المستطيل OCDB"
١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "أوروبا في العصور الوسطى"، ص ٢٥٨) "في النظريات الحسابية في كتاب الأصول لإقليدس، الأجزاء من السابع إلى التاسع، مُثِّلت الأعداد بقطع مستقيمة مُلحقة بها حروف، واستخدمت البراهين الهندسية في كتاب الخوارزمي للجبر مخططات مُرمَّزة؛ لكن جميع المعاملات في المعادلات المستخدمة في الجبر هي أعداد محددة، سواء مُثِّلت بالأرقام أو كُتِبت بالكلمات. إن فكرة العمومية مُضمَّنة في شرح الخوارزمي، لكن لم يكن لديه مخطط للتعبير جبريًا عن القضايا العامة المُتاحة بسهولة في الهندسة."
1 2 3 ( هيث 1981أ ، "ازدهار ثيماريداس"، ص 94-96) كان ثيماريداس الباروسي، وهو فيثاغورسي قديم سبق ذكره (ص 69)، مؤلف قاعدة لحل مجموعة معينة من $n$ معادلات بسيطة متزامنة تربط $n$ كميات مجهولة. من الواضح أن القاعدة كانت معروفة جيدًا، إذ سُميت بالاسم الخاص [...] "زهرة" أو "تفتح" ثيماريداس. [...] القاعدة مُصاغة بأسلوب غامض للغاية، لكنها تنص في جوهرها على أنه إذا كان لدينا ما يلي $n$ المعادلات التي تربط $n$ كميات غير معروفة $x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},$ أي [...] يمضي يامبليخوس، مصدر معلوماتنا حول هذا الموضوع، ليُبين أن أنواعًا أخرى من المعادلات يمكن اختزالها إلى هذا الشكل، بحيث لا تتركنا القاعدة في مأزق في تلك الحالات أيضًا.
↑ ( فليج 1983 ، "الأعداد المجهولة"، ص 205) "يقال إن ثيماريداس (القرن الرابع) كان لديه هذه القاعدة لحل مجموعة معينة من $n$ المعادلات الخطية في $n$ المجاهيل: إذا كان مجموع $n$ إذا أعطيت كميات، وكذلك مجموع كل زوج يحتوي على كمية معينة، فإن هذه الكمية المعينة تساوي $1/(n-2)$ الفرق بين مجموع هذه الأزواج والمجموع الأول المعطى."
١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٠) "ولكن بحلول عام ٣٠٦ قبل الميلاد، كانت السيطرة على الجزء المصري من الإمبراطورية راسخة في يد بطليموس الأول، وتمكن هذا الحاكم المستنير من توجيه اهتمامه نحو الجهود البناءة. ومن بين أعماله المبكرة إنشاء مدرسة أو معهد في الإسكندرية، عُرف باسم المتحف، لم يكن له مثيل في عصره. وقد استعان بمجموعة من كبار العلماء كمدرسين في المدرسة، وكان من بينهم مؤلف كتاب الرياضيات الأكثر نجاحًا على الإطلاق - كتاب الأصول ( Stoichia ) لإقليدس. وبالنظر إلى شهرة المؤلف وكتابه الأكثر مبيعًا، فمن المثير للدهشة أن القليل جدًا معروف عن حياة إقليدس. لقد كانت حياته غامضة لدرجة أنه لا يوجد مكان ميلاد مرتبط باسمه."
↑ ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري" ص 101) "تتكرر الحكاية المذكورة أعلاه فيما يتعلق بطلب الإسكندر الأكبر للحصول على مقدمة سهلة للهندسة في حالة بطليموس، الذي ورد أن إقليدس أكد له أنه "لا يوجد طريق ملكي للهندسة"."
↑ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٤) "ربما برع بعض أعضاء هيئة التدريس في البحث العلمي، بينما كان آخرون أكثر ملاءمةً للإدارة، وبرز آخرون بقدراتهم التدريسية. ويبدو، من التقارير المتوفرة لدينا، أن إقليدس ينتمي بوضوح إلى الفئة الأخيرة. لا يُنسب إليه أي اكتشاف جديد، لكنه اشتهر بمهاراته التفسيرية."
↑ ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري" ص 104) "لم يكن كتاب الأصول ، كما يُعتقد أحيانًا، خلاصة لجميع المعارف الهندسية؛ بل كان كتابًا تمهيديًا يغطي جميع الرياضيات الابتدائية ."
↑ ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري"، ص 110) "وينطبق الشيء نفسه على كتاب العناصر 2.5، الذي يحتوي على ما يجب أن نعتبره تعبيرًا ملتويًا غير عملي لـ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ "
↑ ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري"، ص 111) "بطريقة مماثلة تمامًا، المعادلة التربيعية $ax+x^{2}=b^{2}$ يُحلّ هذا باستخدام الفقرة II.6: إذا نُصِّف خط مستقيم وأُضيف إليه خط مستقيم آخر، فإن المستطيل الذي يحتويه الخط المستقيم الكامل (مع الخط المضاف) والخط المضاف، بالإضافة إلى المربع الموجود على النصف، يساوي المربع الموجود على الخط المستقيم المكون من النصف والخط المضاف. [...] مع كون الفقرة II.11 حالة خاصة مهمة من الفقرة II.6. هنا يحل إقليدس المعادلة $ax+x^{2}=a^{2}$ "
١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٣) " بيانات إقليدس، وهو عمل وصل إلينا عبر اليونانية والعربية. ويبدو أنه أُلِّف للاستخدام في مدارس الإسكندرية، ليكون بمثابة كتاب مُكمِّل للكتب الستة الأولى من كتاب الأصول ، تمامًا كما يُكمِّل دليل الجداول كتابًا دراسيًا. [...] يبدأ الكتاب بخمسة عشر تعريفًا تتعلق بالمقادير والمواضع. ويتألف متن النص من خمسة وتسعين عبارة تتعلق بدلالات الشروط والمقادير التي قد تُعطى في مسألة ما. [...] وهناك نحو عشرين عبارة مماثلة تُستخدم كقواعد أو صيغ جبرية. [...] بعض هذه العبارات هي مكافئات هندسية لحل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال [...] حذف $y$ لدينا $(a-x)dx=b^{2}c$ أو $dx^{2}-adx+b^{2}c=0,$ منها $x={\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-b^{2}\left({\frac {c}{d}}\right)}}.$ الحل الهندسي الذي قدمه إقليدس مكافئ لهذا الحل، باستثناء استخدام الإشارة السالبة قبل الجذر. العبارتان 84 و85 في البيانات هما استبدالان هندسيان للحلول الجبرية البابلية المألوفة للأنظمة $xy=a^{2},x\pm y=b,$ والتي تُعادل بدورها حلول المعادلات الآنية.
↑ ( بوير ١٩٩١ ، "التوليف الإقليدي"، ص ١٠٣) "ينسب كل من يوتوسيوس وبروكلس اكتشاف القطوع المخروطية إلى مينايخموس، الذي عاش في أثينا في أواخر القرن الرابع قبل الميلاد. ويشير بروكلس، نقلاً عن إراتوستينس، إلى "ثلاثيات القطوع المخروطية لمينايخموس". وبما أن هذا الاقتباس يأتي مباشرة بعد مناقشة "مقطع المخروط القائم الزاوية" و"مقطع المخروط الحاد الزاوية"، يُستنتج أن القطوع المخروطية نتجت عن قطع مخروط بمستوى عمودي على أحد عناصره. فإذا كانت زاوية رأس المخروط حادة، يكون المقطع الناتج (المسمى أوكسيتوم ) قطعًا ناقصًا. وإذا كانت الزاوية قائمة، يكون المقطع ( أورثوتوم ) قطعًا مكافئًا، وإذا كانت الزاوية منفرجة، يكون المقطع ( أمبليتوم ) قطعًا زائدًا (انظر الشكل ٥.٧)."
1 2 ( بوير 1991 ، "عصر أفلاطون وأرسطو"، ص 94-95) "إذا كانت OP = y و OD = x إحداثيات النقطة P، فإننا نحصل على $y^{2}=R$ ).OV، أو بالتعويض بعلامة المساواة، y² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC² ^/ AB² ^. x بما أن القطع المستقيمة AR' ^و BC وAB متطابقة لجميع النقاط P على المنحنى EQDPG، يمكننا كتابة معادلة المنحنى، وهو "مقطع من مخروط قائم الزاوية"، على النحو التالي: $y^{2}=lx,$ أين $l$ هو ثابت، عُرف لاحقًا باسم الوتر البؤري للمنحنى. [...] يبدو أن مينايخموس قد استنتج هذه الخصائص للقطوع المخروطية وغيرها أيضًا. ولأن هذه المادة تشبه إلى حد كبير استخدام الإحداثيات، كما هو موضح أعلاه، فقد قيل أحيانًا أن مينايخموس كان لديه هندسة تحليلية. هذا الحكم مبرر جزئيًا فقط، لأنه من المؤكد أن مينايخموس لم يكن على دراية بأن أي معادلة في كميتين مجهولتين تحدد منحنى. في الواقع، كان المفهوم العام للمعادلة في الكميات المجهولة غريبًا على الفكر اليوناني. [...] لقد توصل إلى القطوع المخروطية في بحث ناجح عن منحنيات ذات خصائص مناسبة لمضاعفة المكعب. من حيث الترميز الحديث، يمكن التوصل إلى الحل بسهولة. عن طريق تحريك المستوى المنحني (الشكل 6.2)، يمكننا إيجاد قطع مكافئ بأي وتر بؤري. إذاً، إذا أردنا مضاعفة مكعب طول ضلعه $a,$ نحدد على مخروط قائم الزاوية قطعين مكافئين، أحدهما ذو وتر بؤري مستقيم $a$ وآخر مصاب بالعضلة المستقيمة العريضة $2a.$ [...] من المحتمل أن مينايخموس كان يعلم أنه يمكن تحقيق التكرار أيضًا باستخدام القطع الزائد المستطيل والقطع المكافئ.
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ١٩٥-١٩٧) " تختلفالتقديرات المتعلقة بكتاب تشو باي سوان تشينغ ، الذي يُعتبر عمومًا أقدم الكتب الكلاسيكية في الرياضيات، بما يقارب ألف عام. [...] يبدو تاريخ حوالي ٣٠٠ قبل الميلاد معقولًا، مما يضعه في منافسة وثيقة مع كتاب آخر، هو تشيو تشانغ سوان شو ، الذي أُلِّف حوالي ٢٥٠ قبل الميلاد، أي قبل عهد أسرة هان بقليل (٢٠٢ قبل الميلاد). [...] يكاد يكون كتاب تشوي تشانغ سوان شو ، أو الفصول التسعة في الفن الرياضي ، بنفس قدم كتاب تشو باي ، وربما يكون الأكثر تأثيرًا بين جميع كتب الرياضيات الصينية. يتضمن هذا الكتاب ٢٤٦ مسألة في المساحة والزراعة والشراكات والهندسة والضرائب والحساب وحل المعادلات وخصائص المثلثات القائمة. [...] يُعد الفصل الثامن من الفصول التسعة مهمًا لحله مسائل المعادلات الخطية الآنية، باستخدام الأعداد الموجبة والسالبة. تتضمن المسألة الأخيرة في الفصل أربع معادلات بخمسة مجاهيل، وظل موضوع المعادلات غير المحددة موضوعًا مفضلًا لدى شعوب الشرق.
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ٢٠٤) "لي تشيه (أو لي ييه، ١١٩٢-١٢٧٩)، عالم رياضيات من بكين، عُرض عليه منصب حكومي من قبل قوبلاي خان عام ١٢٠٦، لكنه اعتذر بأدب. يتضمن كتابه " تسي يوان هاي تشينغ" ( مرآة قياسات الدائرة ) ١٧٠ مسألة تتعلق ببعض المسائل التي تؤدي إلى معادلات من الدرجة الرابعة. على الرغم من أنه لم يصف طريقته في حل المعادلات، بما في ذلك بعض المعادلات من الدرجة السادسة، يبدو أنها لم تكن مختلفة كثيرًا عن تلك التي استخدمها تشو شيه تشيه وهورنر. من بين الذين استخدموا طريقة هورنر أيضًا تشين تشيو شاو (حوالي ١٢٠٢ - حوالي ١٢٦١) ويانغ هوي (نشط حوالي ١٢٦١ - ١٢٧٥). كان الأول حاكمًا ووزيرًا عديم المبادئ، جمع ثروة طائلة في غضون مئة يوم. من توليه منصبه. يمثل كتابه "شو شو تشيو تشانغ " ( رسالة رياضية في تسعة أقسام ) ذروة التحليل الصيني غير المحدد، مع ابتكار إجراءات لحل التطابقات المتزامنة.
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ١٩٧) "كان الصينيون مولعين بالأنماط بشكل خاص؛ لذا، ليس من المستغرب أن يظهر أول سجل (قديم الأصل ولكنه غير معروف) للمربع السحري هناك. [...] دفع الاهتمام بهذه الأنماط مؤلف الفصول التسعة إلى حل نظام المعادلات الخطية الآنية [...] عن طريق إجراء عمليات عمودية على المصفوفة [...] لتقليلها إلى [...] يمثل الشكل الثاني المعادلات $36z=99,5y+z=24,$ = 24، و $3x+2y+z=39$ ومنها قيم $z,y,$ و $x$ يتم العثور عليها تباعاً بسهولة.
↑ ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 204-205) "استُخدمت نفس أداة "هورنر" من قِبل يانغ هوي، الذي لا يُعرف عنه شيء تقريبًا، ولم يبقَ من أعماله إلا جزءٌ منها. ومن بين إسهاماته الباقية أقدم المربعات السحرية الصينية من رتبة أكبر من ثلاثة، بما في ذلك مربعان من الرتب من الرابعة إلى الثامنة، ومربع واحد من كل من الرتبتين التاسعة والعاشرة."
↑ ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 203) "كان تشو تشي تشيه ( نشط بين عامي 1280 و1303) آخر وأعظم علماء الرياضيات في عهد أسرة سونغ، ومع ذلك لا نعرف عنه إلا القليل، [...] ومن الأمور ذات الأهمية التاريخية والرياضية الأكبر كتاب " مرآة العناصر الأربعة الثمينة " ( Ssy-yüan yü-chien ) الذي صدر عام 1303. في القرن الثامن عشر، اختفى هذا الكتاب أيضًا في الصين، ليُعاد اكتشافه في القرن التالي. العناصر الأربعة، المسماة السماء والأرض والإنسان والمادة، هي تمثيلات لأربع كميات مجهولة في المعادلة نفسها. يُمثل هذا الكتاب ذروة تطور الجبر الصيني، لأنه يتناول المعادلات الآنية ومعادلات من درجات تصل إلى أربعة عشر. يصف المؤلف فيه طريقة تحويل يُطلق عليها اسم " فان فا" ، والتي ظهرت عناصرها قبل ذلك بكثير في الصين، ولكنها تُنسب عمومًا إلى هورنر، الذي عاش بعد ذلك بنصف ألفية."
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ٢٠٥) "بعض من مجاميع المتسلسلات العديدة الموجودة في كتاب المرآة الثمينة هي التالية: [...] ومع ذلك، لم تُقدَّم أي براهين، ولا يبدو أن الموضوع قد استُكمل مرة أخرى في الصين حتى القرن التاسع عشر تقريبًا. [...] يبدأ كتاب المرآة الثمينة برسم تخطيطي للمثلث الحسابي، المعروف خطأً في الغرب باسم "مثلث باسكال". (انظر الرسم التوضيحي.) [...] يتنصل تشو من الفضل في ابتكار المثلث، مشيرًا إليه على أنه "رسم تخطيطي للطريقة القديمة لإيجاد القوى الثامنة وما دونها". وقد ظهر ترتيب مماثل للمعاملات حتى القوة السادسة في عمل يانغ هوي، ولكن بدون رمز الصفر الدائري."
↑ ( بوير ١٩٩١ ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية"، ص ١٧٨) إن الغموض يكتنف حياة ديوفانتوس لدرجة أننا لا نعرف على وجه اليقين في أي قرن عاش. يُفترض عمومًا أنه ازدهر حوالي عام ٢٥٠ ميلادي، ولكن تُقترح أحيانًا تواريخ أقدم أو أحدث بقرن أو أكثر [...] إذا كان هذا اللغز دقيقًا تاريخيًا، فقد عاش ديوفانتوس حتى بلغ الرابعة والثمانين من عمره. [...] إن أهم أعمال ديوفانتوس المعروفة لدينا هو كتاب الحساب (Arithmetica) ، وهو رسالة كانت في الأصل تتألف من ثلاثة عشر كتابًا، لم يبقَ منها سوى الكتب الستة الأولى.
^ أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان. حساب ديوفانتوس: ترجمة وتعليق كاملين . ص. 80.
1 2 3 أوكس، جيفري؛ كريستيانيديس، جان (2013). "ممارسة الجبر في العصور القديمة المتأخرة: حل مشكلة ديوفانتوس السكندري" . تاريخ الرياضيات . 40 (2): 158-160 . دوى : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .
^ أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان (2013). "ممارسة الجبر في العصور القديمة المتأخرة: حل مشكلة ديوفانتوس السكندري" . تاريخ الرياضيات . 40 : 150.
^ أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان (2023). حساب ديوفانتوس: ترجمة وتعليق كاملين . ص 51 – 52.
^ أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان (2021). حساب ديوفانتوس: ترجمة وتعليق كاملين . ص 53 – 66.
↑ ( بوير 1991 ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية"، ص 180-182) "في هذا الصدد، يمكن مقارنتها بالكلاسيكيات العظيمة للعصر الإسكندري المبكر ؛ ومع ذلك، لا تشترك عمليًا في أي شيء مع هذه الكلاسيكيات، أو في الواقع، مع أي من الرياضيات اليونانية التقليدية. إنها تمثل في جوهرها فرعًا جديدًا وتستخدم نهجًا مختلفًا. نظرًا لانفصالها عن الأساليب الهندسية، فإنها تشبه الجبر البابلي إلى حد كبير. ولكن بينما كان علماء الرياضيات البابليون مهتمين في المقام الأولبالحلول التقريبية للمعادلات المحددة حتى الدرجة الثالثة، فإن كتاب الحساب لديوفانتوس (كما هو متوفر لدينا) مكرس بالكامل تقريبًا للحل الدقيق للمعادلات، سواء كانت محددة أو غير محددة . [...] في جميع الكتب الستة الباقية من كتاب الحساب، هناك استخدام منهجي للاختصارات لقوى الأعداد وللعلاقات والعمليات. يتم تمثيل العدد المجهول برمز يشبه الحرف اليوناني ζ (ربما للحرف الأخير من الحساب). [...] بل هو بالأحرى مجموعة من حوالي 150 مسألة، تم حلها جميعًا من خلال أمثلة عددية محددة، على الرغم من أن الهدف ربما كان عمومية المنهج. لا يوجد تطوير للفرضيات، ولا يُبذل أي جهد لإيجاد جميع الحلول الممكنة. في حالة المعادلات التربيعية ذات الجذرين الموجبين، يُعطى الجذر الأكبر فقط، ولا تُؤخذ الجذور السالبة في الاعتبار. لا يوجد تمييز واضح بين المسائل المحددة وغير المحددة، وحتى بالنسبة للأخيرة التي يكون عدد حلولها غير محدود عمومًا، لا يُعطى سوى إجابة واحدة. حلّ ديوفانتوس مسائل تتضمن عدة أعداد مجهولة من خلال التعبير بمهارة عن جميع الكميات المجهولة، حيثما أمكن، بدلالة أحدها فقط.
1 2 ( بوير 1991 ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية" ص 178) "الفرق الرئيسي بين التزامن الديوفانتي والتدوين الجبري الحديث هو عدم وجود رموز خاصة للعمليات والعلاقات، وكذلك التدوين الأسي."
1 2 3 ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 35-36)
↑ ( كوك 1997 ، "الرياضيات في الإمبراطورية الرومانية" ص 167-168)
↑ أوكس، جيفري؛ كريستيانيديس، جان (2023). حساب ديوفانتوس: ترجمة كاملة وشرح . ص 78-79 . ثمة عيبان رئيسيان في هذا التقسيم الثلاثي. أولًا، اللغة المستخدمة في الكتب ليست دائمًا هي اللغة التي حُلت بها المسائل. ففي اللغة العربية، كانت المسائل تُحل غالبًا باستخدام رموز مكتوبة على لوح أو أي سطح مؤقت آخر، ثم تُصاغ نسخة بلاغية لإدراجها في كتاب. ثانيًا، نظرًا لطبيعة الرموز العربية ثنائية الأبعاد، فقد كانت تُكتب وتُقرأ بصريًا، بمعزل عن الكلام الحقيقي أو المتخيل. ولذلك فهي تندرج ضمن فئة "الرمزية" عند نيسلمان. أما النسخة البلاغية من العمل نفسه، فقد صُنفت على أنها "بلاغية". لا تعكس هاتان الطريقتان في كتابة الجبر مرحلتين من مراحل تطور الجبر، بل هما طريقتان مختلفتان للتعبير عن الأفكار نفسها. ثانياً، لم يكن نيسلمان على دراية بالاختلافات المفاهيمية بين الجبر ما قبل الحداثة والجبر الحديث، وبالتالي، لم يكن بإمكانه تقدير القفزة التي حدثت في زمن فييت وديكارت والتي تضمنت تحولاً جذرياً في كيفية تفسير الرموز.
↑ ( بوير 1991 ، "أوروبا في العصور الوسطى" ص 257) "يستخدم الكتاب بشكل متكرر الهويات [...] التي ظهرت في ديوفانتوس والتي استخدمها العرب على نطاق واسع."
↑ ( بوير 1991 ، "رياضيات الهندوس"، ص 197) "أقدم الوثائق الباقية عن الرياضيات الهندوسية هي نسخ من أعمال كُتبت في منتصف الألفية الأولى قبل الميلاد، وهي الفترة الزمنية التي عاش فيها طاليس وفيثاغورس تقريبًا. [...] من القرن السادس قبل الميلاد"
1 2 ( بوير 1991 ، "الصين والهند" ص 222) "يحتوي كتاب Livavanti ، مثل Vija-Ganita ، على العديد من المسائل التي تتناول المواضيع الهندوسية المفضلة؛ المعادلات الخطية والتربيعية، المحددة وغير المحددة، والقياس البسيط، والمتتابعات الحسابية والهندسية، والجذور الصماء، والثلاثيات الفيثاغورية، وغيرها."
↑ ( بوير ١٩٩١ ، "رياضيات الهندوس"، ص ٢٠٧) "قدّم قواعد أكثر أناقة لمجموع مربعات ومكعبات جزء أولي من الأعداد الصحيحة الموجبة. الجزء السادس من حاصل ضرب ثلاث كميات تتكون من عدد الحدود، وعدد الحدود زائد واحد، وضعف عدد الحدود زائد واحد هو مجموع المربعات. مربع مجموع المتسلسلة هو مجموع المكعبات."
↑ ( بوير 1991 ، "الصين والهند" ص 219) "براهماجوبتا (ازدهر عام 628)، الذي عاش في وسط الهند بعد أكثر من قرن بقليل من أريابهاتا [...] في حساب المثلثات في أشهر أعماله، براهمسفوتا سيدانتا ، [...] نجد هنا حلولاً عامة للمعادلات التربيعية، بما في ذلك جذرين حتى في الحالات التي يكون فيها أحدهما سالبًا."
↑ ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 220) "يُعدّ الجبر الهندوسي جديرًا بالذكر بشكل خاص لتطويره التحليل غير المحدد، والذي أسهم فيه براهمغوبتا إسهامات عديدة. فعلى سبيل المثال، نجد في أعماله قاعدة لتكوين ثلاثيات فيثاغورس مُعبَّر عنها بالشكل التالي: $m,1/2\left(m^{2}/n-n\right),1/2\left(m^{2}/n+n\right)$ لكن هذا ليس سوى شكل معدل من الحكم البابلي القديم، والذي ربما يكون قد أصبح على دراية به.
1 2 3 4 ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 221) "كان أول من قدم حلاً عاماً للمعادلة الديوفانتية الخطية $ax+by=c,$ أين $a,b,$ و $c$ هي أعداد صحيحة. [...] يُحسب لبراهماغوبتا أنه قدّم جميع الحلول الصحيحة للمعادلة الديوفانتية الخطية، بينما اكتفى ديوفانتوس نفسه بتقديم حلٍّ واحدٍ لمعادلة غير محددة. وبما أن براهماغوبتا استخدم بعض الأمثلة نفسها التي استخدمها ديوفانتوس، فإننا نرى مرة أخرى احتمال وجود تأثير يوناني في الهند، أو احتمال استخدامهما مصدرًا مشتركًا، ربما من بابل. ومن المثير للاهتمام أيضًا ملاحظة أن جبر براهماغوبتا، مثل جبر ديوفانتوس، كان مُختصرًا. كان الجمع يُشار إليه بالتجاور، والطرح بوضع نقطة فوق المطروح، والقسمة بوضع المقسوم عليه أسفل المقسوم، كما هو الحال في تدويننا الكسري ولكن بدون الخط. أما عمليات الضرب والتطور (أخذ الجذور)، بالإضافة إلى الكميات المجهولة، فكانت تُمثَّل باختصارات الكلمات المناسبة. [...] بهاسكارا (1114 - حوالي 1185)، عالم الرياضيات البارز في القرن الثاني عشر. هو من سدّ بعض الثغرات في عمل براهمغوبتا، كما فعل من خلال تقديم حل عام لمعادلة بيل، ومن خلال دراسة مسألة القسمة على صفر.
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ٢٢٢-٢٢٣) "عند تناولها للدائرة والكرة، تفشل ليلافاتي أيضًا في التمييز بين العبارات الدقيقة والتقريبية. [...] من الواضح أن العديد من مشاكل بهاسكارا في ليفافاتي وفيجا -غانيتا مستمدة من مصادر هندوسية سابقة؛ لذا، ليس من المستغرب أن نلاحظ أن المؤلف في أفضل حالاته عند التعامل مع التحليل غير المحدد."
١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٧) "كان القرن الأول من عمر الإمبراطورية الإسلامية خاليًا من الإنجازات العلمية. بل ربما كانت هذه الفترة (من حوالي ٦٥٠ إلى ٧٥٠) هي أدنى نقطة في تطور الرياضيات، لأن العرب لم يكونوا قد بلغوا بعدُ ذروة التقدم الفكري، وتلاشى الاهتمام بالمعرفة في أجزاء أخرى من العالم. ولولا الصحوة الثقافية المفاجئة في الإسلام خلال النصف الثاني من القرن الثامن، لضاعت كميات أكبر بكثير من العلوم والرياضيات القديمة. [...] إلا أنه خلال خلافة المأمون (٨٠٩-٨٣٣)، انغمس العرب تمامًا في شغفهم بالترجمة. ويُقال إن الخليفة رأى في منامه أرسطو، ونتيجة لذلك قرر المأمون ترجمة جميع الأعمال اليونانية التي استطاع الحصول عليها إلى العربية، بما في ذلك كتاب المجسطي لبطليموس ونسخة كاملة من كتاب الأصول لإقليدس. من في ظل الإمبراطورية البيزنطية، التي حافظ العرب معها على سلام هش، تم الحصول على المخطوطات اليونانية من خلال معاهدات السلام. أنشأ المأمون في بغداد "بيت الحكمة" الذي يُضاهي متحف الإسكندرية القديم. وكان من بين أعضاء هيئة التدريس عالم الرياضيات والفلك محمد بن موسى الخوارزمي، الذي اشتهر اسمه، مثل اسم إقليدس، في أوروبا الغربية. وقد ألّف هذا العالم، الذي توفي قبل عام 850، أكثر من ستة مؤلفات في علم الفلك والرياضيات، يُرجّح أن أقدمها استند إلى كتاب السندهاد الهندي.
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٤) "لكن عمل الخوارزمي كان يعاني من نقصٍ خطيرٍ كان لا بد من إزالته قبل أن يُؤدّي غرضه بفعالية في العالم الحديث: كان لا بد من تطوير تدوين رمزي ليحل محل الشكل البلاغي. لم يُقدم العرب على هذه الخطوة قط، باستثناء استبدال الكلمات العددية بعلامات عددية. [...] كان ثابت مؤسس مدرسة للمترجمين، وخاصة من اليونانية والسريانية، ونحن مدينون له بدينٍ عظيمٍ لترجماته إلى العربية أعمال إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس وبطليموس وإيوتوكيوس."
1 2 غاندز وسالومان (1936)، مصادر جبر الخوارزمي ، أوزيريس الأول، ص 263-277: "بمعنى ما، فإن الخوارزمي أكثر استحقاقًا لأن يُطلق عليه "أبو الجبر" من ديوفانتوس لأن الخوارزمي هو أول من قام بتدريس الجبر في شكل ابتدائي، أما ديوفانتوس، فهو مهتم في المقام الأول بنظرية الأعداد".
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٠) "تابع الخوارزمي: "لقد قلنا ما يكفي فيما يتعلق بالأعداد، عن الأنواع الستة للمعادلات. ولكن الآن، من الضروري أن نبرهن هندسيًا على صحة المسائل نفسها التي شرحناها بالأعداد." من الواضح أن هذا المقطع ذو طابع يوناني وليس بابليًا أو هنديًا. ولذلك، توجد ثلاث مدارس فكرية رئيسية حول أصل الجبر العربي: إحداها تؤكد على التأثير الهندوسي، وأخرى تُشدد على التراث الميزوبوتامي، أو السرياني الفارسي، والثالثة تُشير إلى الإلهام اليوناني. ولعلنا نقترب من الحقيقة إذا جمعنا النظريات الثلاث."
↑ ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية" ص 228-229) "قدم المؤلف في مقدمته باللغة العربية مديحًا كبيرًا لمحمد النبي، وللأمون، "أمير المؤمنين".
↑ كوربين، هنري (1998). الرحلة والرسول: إيران والفلسفة . منشورات نورث أتلانتيك. ص 44. ISBN 978-1-55643-269-9أُرشف من الأصل بتاريخ 28 مارس 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أكتوبر 2020 .
↑ بوير، كارل ب.، 1985. تاريخ الرياضيات ، ص 252. مطبعة جامعة برينستون. "يُطلق على ديوفانتوس أحيانًا لقب أبو الجبر، لكن هذا اللقب يليق بالخوارزمي أكثر..."، "...يُعدّ كتاب الجبر أقرب إلى الجبر الابتدائي في عصرنا الحالي من أعمال ديوفانتوس أو براهماغوبتا..."
↑ إس. غاندز، مصادر جبر الخوارزمي، أوزيريس، الجزء الأول (1936)، 263-277، "يُعتبر جبر الخوارزمي أساسًا وركنًا أساسيًا للعلوم. بمعنى ما، يستحق الخوارزمي لقب "أبو الجبر" أكثر من ديوفانتوس، لأن الخوارزمي هو أول من علّم الجبر بصورة أولية، بينما يهتم ديوفانتوس في المقام الأول بنظرية الأعداد."
↑ كاتز، فيكتور ج. "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس" (ملف PDF) . فيكتور ج. كاتز، جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة : 190. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 27 مارس 2019. تم الاطلاع عليه في 7 أكتوبر 2017 - عبر جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية. أول نص حقيقي في الجبر لا يزال موجودًا هو كتاب الجبر والمقابلة لمحمد بن موسى الخوارزمي، الذي كُتب في بغداد حوالي عام 825.
↑ إسبوزيتو، جون ل. (2000). تاريخ أكسفورد للإسلام . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 188. ISBN 978-0-19-988041-6أُرشف من الأصل في 28 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 29 سبتمبر 2020. يُعتبر الخوارزمي مؤسس علم الجبر، وقد اشتُقّ مصطلح الخوارزمية من اسمه.
↑ ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية" ص 228) "كان العرب عموماً يحبون الحجة الجيدة والواضحة من المقدمة إلى النتيجة، فضلاً عن التنظيم المنهجي - وهي جوانب لم يتفوق فيها لا ديوفانتوس ولا الهندوس".
1 2 ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 229) "ليس من المؤكد تمامًا معنى مصطلحي الجبر والمقابلة ، لكنالتفسير الشائع مشابه لما هو مُضمَّن في الترجمة أعلاه. يُفترض أن كلمة الجبر تعني شيئًا مثل "الاستعادة" أو "الإكمال"، ويبدو أنها تشير إلى نقل الحدود المطروحة إلى الجانب الآخر من المعادلة، وهو ما يتضح في الرسالة؛ ويُقال إن كلمة المقابلة تشير إلى "الاختزال" أو "الموازنة"، أي إلغاء الحدود المتشابهة على جانبي المعادلة."
1 2 راشد، ر.؛ أرمسترونغ، أنجيلا (1994)، تطور الرياضيات العربية ، سبرينغر ، ص 11-12 ، ISBN 978-0-7923-2565-9، OCLC 29181926
1 2 ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 229) "في ستة فصول قصيرة، من الأنواع الستة للمعادلات المكونة من الأنواع الثلاثة للكميات: الجذور، والمربعات، والأعداد (أي $x,x^{2},$ والأعداد). يتناول الفصل الأول، في ثلاث فقرات قصيرة، حالة المربعات التي تساوي الجذور، معبرًا عنها بالترميز الحديث على النحو التالي: $x^{2}=5x,x^{2}/3=4x,$ و $5x^{2}=10x,$ تقديم الإجابات $x=5,x=12,$ و $x=2$ على التوالي. (الجذر) $x=0$ (لم يتم التعرف عليه). يتناول الفصل الثاني حالة المربعات التي تساوي أعدادًا، بينما يحل الفصل الثالث حالات الجذور التي تساوي أعدادًا، مع ثلاثة أمثلة توضيحية لكل فصل لتغطية الحالات التي يكون فيها معامل الحد المتغير مساويًا للواحد، أو أكبر منه، أو أصغر منه. أما الفصول الرابع والخامس والسادس فهي أكثر إثارة للاهتمام، لأنها تتناول بدورها الحالات الكلاسيكية الثلاث للمعادلات التربيعية ذات الثلاثة حدود: (1) المربعات والجذور التي تساوي أعدادًا، (2) المربعات والأعداد التي تساوي جذورًا، و(3) الجذور والأعداد التي تساوي مربعات.
↑ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٩-٢٣٠) "الحلول عبارة عن قواعد "وصفات جاهزة" لإكمال المربع، تُطبق على حالات محددة. [...] في كل حالة، يُعطى الجواب الموجب فقط. [...] مرة أخرى، يُعطى جذر واحد فقط لأن الآخر سالب. [...] الحالات الست للمعادلات المذكورة أعلاه تستنفد جميع الاحتمالات للمعادلات الخطية والتربيعية ذات الجذور الموجبة."
↑ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٠) "يلفت الخوارزمي الانتباه هنا إلى حقيقة أن ما نسميه المميز يجب أن يكون موجبًا: "يجب أن تفهم أيضًا أنه عندما تأخذ نصف الجذور في هذا الشكل من المعادلة ثم تضرب النصف في نفسه؛ إذا كان الناتج أو ما ينتج عن الضرب أقل من الوحدات المذكورة أعلاه المصاحبة للمربع، فإن لديك معادلة." [...] مرة أخرى، يتم توضيح خطوات إكمال المربع بدقة، دون تبرير."
↑ ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية" ص 231) " يكشف كتاب الخوارزمي عن عناصر يونانية لا لبس فيها".
↑ ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 233) "تقدم بعض مسائل الخوارزمي دليلاً واضحاً على اعتماد العرب على التيار البابلي-الهيروني في الرياضيات. ومن المفترض أن إحداها مأخوذة مباشرة من هيرون، لأن الشكل والأبعاد متطابقة."
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٨) "إن جبر الخوارزمي بلاغي تمامًا، يخلو من الإيقاع المتقطع الموجود في كتاب الحساب اليوناني أو في عمل براهماغوبتا. حتى الأعداد كانت تُكتب بالكلمات لا بالرموز! من غير المرجح أن يكون الخوارزمي على دراية بعمل ديوفانتوس، لكن لا بد أنه كان ملمًا على الأقل بالأجزاء الفلكية والحسابية من كتاب براهماغوبتا؛ ومع ذلك، لم يستخدم الخوارزمي ولا غيره من علماء العرب الإيقاع المتقطع أو الأعداد السالبة."
١ ٢ ٣ ٤ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٤) " يُعتبر كتاب الجبر للخوارزمي عادةً أول عمل في هذا الموضوع، لكن منشورًا حديثًا في تركيا يثير بعض التساؤلات حول هذا الأمر. فقد كانت مخطوطة لكتاب عبد الحميد بن ترك، بعنوان "الضرورات المنطقية في المعادلات المختلطة"، جزءًا من كتاب عن الجبر والمقابلة ، والذي كان على ما يبدو مطابقًا إلى حد كبير لكتاب الخوارزمي، ونُشر في نفس الفترة تقريبًا، وربما حتى قبل ذلك. وتقدم الفصول المتبقية من كتاب "الضرورات المنطقية" نفس نوع البرهان الهندسي الذي يقدمه كتاب الخوارزمي في الجبر ، وفي إحدى الحالات نفس المثال التوضيحي." $x^{2}+21=10x.$ من ناحيةٍ ما، يُعدّ شرح عبد الحمد أكثر شمولًا من شرح الخوارزمي، إذ يُقدّم أشكالًا هندسية لإثبات أنه إذا كان المميز سالبًا، فلا يوجد حل للمعادلة التربيعية. ويبدو أن أوجه التشابه في أعمال الرجلين والتنظيم المنهجي فيها تُشير إلى أن الجبر في عصرهما لم يكن تطورًا حديثًا كما يُفترض عادةً. فعندما تظهر كتبٌ مدرسيةٌ ذات شرحٍ تقليديٍّ ومنظمٍ جيدًا في آنٍ واحد، فمن المرجح أن يكون الموضوع قد تجاوز مرحلة التكوين بشكلٍ كبير. [...] لاحظ إغفال ديوفانتوس وبابوس، وهما مؤلفان لم يكونا معروفين في الجزيرة العربية في البداية، على الرغم من أن كتاب " الحساب الديوفانتي " أصبح شائعًا قبل نهاية القرن العاشر.
1 2 ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 49)
↑ أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (1999)، "الرياضيات العربية: تألق منسي؟" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز "كان علم الجبر نظرية موحدة سمحت بمعاملة الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية والمقادير الهندسية وما إلى ذلك على أنها "كائنات جبرية".
↑ جاك سيسيانو، "الرياضيات الإسلامية"، ص. 148, في سيلين, هيلين ; دامبروسيو، أوبيراتان ، محرران. (2000)، الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية ، سبرينغر ، ISBN 978-1-4020-0260-1
1 2 بيرغرين، ج. لينارت (2007). "الرياضيات في الإسلام في العصور الوسطى". رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مصادر . مطبعة جامعة برينستون. ص 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٩) "كان أبو الوفاء عالم جبر بارعًا، بالإضافة إلى كونه عالمًا في علم التريون. [...] من الواضح أن خليفته الكرخي استخدم هذه الترجمة ليصبح تلميذًا عربيًا لديوفانتوس - ولكن دون التحليل الديوفانتي! [...] على وجه الخصوص، يُنسب إلى الكرخي أول حل عددي لمعادلات من الشكل $ax^{2n}+bx^{n}=c$ (تم النظر فقط في المعادلات ذات الجذور الموجبة)،"
^ أوكونور، جون ج. إدموند ف. روبرتسون ، “أبو بكر بن محمد بن الحسين الكرجي” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٤١-٢٤٢) "كتب عمر الخيام (حوالي ١٠٥٠ - ١١٢٣)، الملقب بـ"صانع الخيام"، كتابًا في الجبر تجاوز كتاب الخوارزمي ليشمل معادلات الدرجة الثالثة. وكما فعل أسلافه العرب، قدم عمر الخيام حلولًا حسابية وهندسية للمعادلات التربيعية؛ أما بالنسبة للمعادلات التكعيبية العامة، فقد اعتقد (خطأً، كما تبين لاحقًا في القرن السادس عشر) أن الحلول الحسابية مستحيلة؛ ولذلك قدم حلولًا هندسية فقط. وقد سبق استخدام مخطط استخدام القطوع المخروطية المتقاطعة لحل المعادلات التكعيبية من قبل مناحيموس وأرخميدس والحزان، لكن عمر الخيام اتخذ خطوة جديرة بالثناء بتعميم هذه الطريقة لتشمل جميع معادلات الدرجة الثالثة (ذات الجذور الموجبة). .. بالنسبة للمعادلات من درجات أعلى من ثلاثة، من الواضح أن عمر الخيام لم يتصور حلولًا هندسية مماثلة الأساليب، لأن الفضاء لا يحتوي على أكثر من ثلاثة أبعاد، [...] كان من أبرز إسهامات الانتقائية العربية الميل إلى سد الفجوة بين الجبر العددي والجبر الهندسي. وجاءت الخطوة الحاسمة في هذا الاتجاه لاحقًا مع ديكارت، لكن عمر الخيام كان يسير في هذا الاتجاه حين كتب: "من يظن أن الجبر حيلةٌ لإيجاد المجاهيل فقد ظنها عبثًا. لا ينبغي الالتفات إلى اختلاف الجبر والهندسة في المظهر. فالجبر حقائق هندسية مثبتة."
^ أوكونور، جون ج. إدموند ف. روبرتسون ، “شرف الدين المظفر الطوسي” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ راشد، رشدي؛ أرمسترونغ، أنجيلا (1994)، تطور الرياضيات العربية ، سبرينغر ، ص 342-343 ، ISBN 978-0-7923-2565-9
↑ بيرغرين، جيه إل (1990). " الابتكار والتقاليد في معالاط شرف الدين الطوسي". مجلة الجمعية الشرقية الأمريكية . 110 (2): 304-309 . doi : 10.2307/604533 . JSTOR 604533. جادل راشد بأن شرف الدين اكتشف مشتقة كثيرات الحدود التكعيبية وأدرك أهميتها في دراسة الشروط التي يمكن في ظلها حل المعادلات التكعيبية؛ ومع ذلك، اقترح باحثون آخرون تفسيرات مختلفة تمامًا لفكر شرف الدين، تربطه بالرياضيات الموجودة عند إقليدس أو أرخميدس.
↑ ناصحبور، بيمان (2018). "تاريخ موجز للجبر مع التركيز على قانون التوزيع ونظرية الحلقات شبهية". arXiv : 1807.11704 [ math.HO ].
↑ فيكتور ج. كاتز، بيل بارتون (أكتوبر 2007)، "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس"، دراسات تربوية في الرياضيات ، 66 (2): 185-201 [192]، doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 ، S2CID 120363574
↑ تجالينج ج. يبما (1995)، "التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون"، مجلة SIAM Review 37 (4): 531-551، doi : 10.1137/1037125
↑ "أرقام فيبوناتشي: الرجل وراء الرياضيات" . NPR . 16 يوليو 2011.
1 2 3 أوكونور، جون ج.؛ إدموند ف. روبرتسون ، “أبو الحسن بن علي القلسادي” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٩٢-١٩٣) "يمكن اعتبار وفاة بوثيوس بمثابة نهاية للرياضيات القديمة في الإمبراطورية الرومانية الغربية، كما مثّلت وفاة هيباتيا نهاية الإسكندرية كمركز رياضي؛ لكن العمل استمر لبضع سنوات أخرى في أثينا. [...] عندما أصبح جستنيان إمبراطورًا في الشرق عام ٥٢٧، شعر بوضوح أن المعرفة الوثنية للأكاديمية والمدارس الفلسفية الأخرى في أثينا تُشكّل تهديدًا للمسيحية الأرثوذكسية؛ ولذلك، في عام ٥٢٩، أُغلقت المدارس الفلسفية وتشتت العلماء. لم تكن روما في ذلك الوقت بيئة مضيافة للعلماء، وتطلع سيمبليكيوس وبعض الفلاسفة الآخرين إلى الشرق بحثًا عن ملاذ. وجدوا هذا الملاذ في بلاد فارس، حيث أسسوا في عهد الملك كسرى ما يُمكن تسميته "الأكاديمية الأثينية في المنفى". (سارتون ١٩٥٢، ص ٤٠٠)."
↑
- واردن 2013 ، الصفحات 32-35
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، ص 293
↑
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، ص 293
- كوري 2024 ، § كاردانو وحل المعادلات التكعيبية والرباعية
- مياكي 2002 ، ص 268
↑ كلاين، جاكوب (1992-01-01). الفكر الرياضي اليوناني وأصل الجبر . شركة كورير. ISBN 978-0-486-27289-4.
↑ بوس، هـ. ج. م. (2001). إعادة تعريف الدقة الهندسية: تحويل ديكارت لمفهوم البناء في أوائل العصر الحديث . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-95090-7.
↑ إيفز، هوارد (1990). مدخل إلى تاريخ الرياضيات . منشورات كلية سوندرز. رقم ISBN 978-0-03-029558-4.
^ على سبيل المثال باشماكوفا وسميرنوفا (2000 :78) ، بوير (1991 :180) ، بيرتون (1995 :319) ، ديربيشاير (2006 :93) ، كاتز وبارشال (2014 :238) ، سيسيانو (1999 :125) ، وسويتز (2013 :110)
↑ ديكارت (1637 : 301-303)
↑ ديكارت (1925 : 9-14)
^ كاجوري (1919 :698) ؛ كاجوري (1928 :381–382)
↑ إنستروم (1905 : 317)
↑ انظر على سبيل المثال تروبفكه (1902 : 150) . لكن غوستاف إنستروم (1905: 316-317) أظهر أن ديكارت، في رسالة كتبها عام 1619، استخدم الرمز الألماني في تناقض واضح مع رمزه الخاص. $x.$
↑ استخدم بيترو كاتالدي الرقم 1 المتقاطع للدلالة على القوة الأولى للمجهول. العلاقة بين هذا الاصطلاح و $x$ ينسبها كاجوري إلى جوستاف فيرتهايم ، لكن كاجوري (1919:699؛ 1928:382) لم يجد أي دليل يدعم ذلك.
↑ كاجوري (1919 : 699)
↑ انظر، على سبيل المثال، محاضرة TED التي ألقاها تيري مور، بعنوان "لماذا يعتبر 'س' هو المجهول؟" ، والتي صدرت في عام 2012.
↑ ألكالا (1505)
↑ لاغارد (1884) .
↑ جاكوب (1903 : 519) .
يذكر رايدر (1982) خمسة كتب في الجبر نُشرت بالإسبانية في القرن السادس عشر، جميعها تستخدم كلمة "cosa": أوريل (1552) ، أورتيغا (1552) ، دييز (1556) ، بيريز دي مويا (1562) ، ونونيس (1567) . ويختصر العملان الأخيران كلمة "cosa " إلى " co. " - كما يفعل بويغ (1672) .
↑ هذه الأشكال غائبة عن Alonso (1986) و Kasten & Cody (2001) و Oelschläger (1940) ومجموعة النصوص التاريخية الإسبانية على الإنترنت التابعةللأكاديمية الملكية الإسبانية ( CORDE ) ومجموعة النصوص الإسبانية لديفيز .
↑ "لماذا س؟" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-05-2019 .
↑ ستريك (1969)، 367.
1 2
- تانتون 2005 ، ص 10
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- كوري 2024 ، § مأزق مع الأساليب الجذرية
↑
- تانتون 2005 ، ص 10
- كفاس 2006 ، ص 308
- كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر
↑
- كفاس 2006 ، الصفحات 314-345
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- كوري 2024 ، § نظرية غالوا، § تطبيقات نظرية الزمر
↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- تانتون 2005 ، ص 10
- كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74
↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- تانتون 2005 ، ص 10
- كوري 2024 ، § المصفوفات، § الكواترنيونات والمتجهات
↑
- ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
- كوري 2024 ، § هيلبرت وستينيتز، § نوثر وأرتين
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74
↑
- غراتزر 2008 ، ص. 7
- تشانغ وكايسلر 1990 ، ص 603
- كنوبل 2011 ، ص 5
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
↑
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
- كلاينر 2007 ، ص 100
- كارلسون 2024 ، § تاريخ الطوبولوجيا
↑
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
- ويبل 1995 ، ص. 11، 4
↑
- كرومر 2007 ، ص 61
- لاوس 1998 ، ص 100
↑
- هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
- برات 2022 ، § 6. الجبر الحر
١ ٢ ٣ ٤ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٨) "يُطلق على ديوفانتوس أحيانًا لقب "أبو الجبر"، لكن هذا اللقب أنسب لأبي عبد الله بن مرسمي الخوارزمي. صحيح أن عمل الخوارزمي مثّل تراجعًا عن عمل ديوفانتوس من ناحيتين. أولًا، هو على مستوى أبسط بكثير من مستوى مسائل ديوفانتوس، وثانيًا، جبر الخوارزمي بلاغي تمامًا، خالٍ من الإيقاع المتقطع الموجود في كتاب الحساب اليوناني أو في عمل براهماغوبتا. حتى الأعداد كانت تُكتب بالكلمات لا بالرموز! من غير المرجح أن يكون الخوارزمي على دراية بعمل ديوفانتوس، لكن لا بد أنه كان ملمًا على الأقل بالجوانب الفلكية والحسابية من كتاب براهماغوبتا؛ ومع ذلك، لم يكن الخوارزمي ولم يستخدم علماء اللغة العربية الآخرون الإيقاع المتقطع أو الأعداد السالبة.
↑ هيرسكوفيتش ، نيكولاس؛ لينشيفسكي، ليورا (1 يوليو 1994). "فجوة معرفية بين الحساب والجبر". دراسات تربوية في الرياضيات . 27 (1): 59-78 . doi : 10.1007/BF01284528 . ISSN 1573-0816 . S2CID 119624121. كان هذا الأمر ليُشكّل مفاجأة للخوارزمي، الذي يُعتبر أبو الجبر (بوير/ميرزباخ، 1991)، والذي أدخله إلى عالم البحر الأبيض المتوسط حوالي القرن التاسع.
↑ دودج ، يادولاه (2008). الموسوعة الموجزة للإحصاء . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا . ص 1. ISBN 9780387317427. مصطلح الخوارزمية يأتي من النطق اللاتيني لاسم عالم الرياضيات الخوارزمي الذي عاش في بغداد في القرن التاسع وكان أبو الجبر.
↑ ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 31) "يدفع فان دير فاردن نسب الجبر إلى نقطة لاحقة في الزمن، بدءًا من عالم الرياضيات الخوارزمي"
↑ ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 31) "عاش ديوفانتوس، أبو الجبر، الذي سميت هذا الفصل تكريماً له، في الإسكندرية، في مصر الرومانية، إما في القرن الأول أو الثاني أو الثالث الميلادي."
↑ ج. سيسيانو، ك. فوغل، "ديوفانتوس"، قاموس السير العلمية (نيويورك، 1970-1990)، "لم يكن ديوفانتوس، كما يُطلق عليه غالبًا، أبو الجبر".
↑ ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 31) "يعتبر كورت فوغل، على سبيل المثال، في كتابه في قاموس السير العلمية ، أن عمل ديوفانتاوس ليس أكثر جبرية من عمل البابليين القدماء"
↑ ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 230) "إن الحالات الست للمعادلات المذكورة أعلاه تستنفد جميع الاحتمالات للمعادلات الخطية والتربيعية ذات الجذر الموجب. لقد كان شرح الخوارزمي منهجياً وشاملاً لدرجة أنه لا بد أن قراءه لم يجدوا صعوبة تذكر في استيعاب الحلول."
↑ كاتز، فيكتور ج. (2006). "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس" (ملف PDF) . فيكتور ج. كاتز، جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة : 190. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 27 مارس 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أغسطس 2019 - عبر جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية. أول نص حقيقي في الجبر لا يزال موجودًا هو كتاب الجبر والمقابلة لمحمد بن موسى الخوارزمي، الذي كُتب في بغداد حوالي عام 825.
↑ أوكس، جيفري (2014). موسوعة أكسفورد للإسلام والفلسفة والعلوم والتكنولوجيا . ص 458. إن أحكام المؤرخين الذين يقللون من شأن الخوارزمي إما لافتقاره إلى الأصالة أو يفرضون عليه لقب "مخترع علم الجبر" تفترض مسبقًا نموذجًا غربيًا حديثًا للإنجاز الرياضي لا ينطبق على عالمنا في القرن التاسع. تستند شهرة الخوارزمي في العالم الإسلامي إلى نجاحه في تأليف كتبٍ لعبت دورًا تأسيسيًا في الدراسة العملية وفي البحث العلمي اللاحق.
^ كريستيانيديس، جان (2007). "طريقة ديوفانتوس: بعض التوضيحات حول طريقة ديوفانتوس في الحل". تاريخ الرياضيات . 34 (3): 303. دوى : 10.1016/j.hm.2006.10.003 .

مصادر

الكالا، بيدرو دي (1505)، دي اللغة العربية ، غرناطةطبعة بول دي لاغارد، غوتنغن: أرنولد هوير، ١٨٨٣
ألونسو، مارتن [بالإسبانية] (1986)، Diccionario del español العصور الوسطى ، سالامانكا: الجامعة البابوية في سالامانكا
أوريل، ماركو (1552)، الكتاب الأول في الحساب الجبر ، فالنسيا: جوان دي مي
باشماكوفا، إي ؛ سميرنوفا، جي. (2000). بدايات وتطور الجبر . سلسلة دولسياني للعروض الرياضية. المجلد 23. ترجمة آبي شينيتزر. الجمعية الرياضية الأمريكية.
بوير، كارل ب. (1991)، تاريخ الرياضيات ( الطبعة الثانية)، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-54397-8
بورتون، ديفيد م. (1995)، تاريخ بورتون للرياضيات: مقدمة (الطبعة الثالثة )، دوبوك: ويليام سي. براون
بورتون، ديفيد م. (1997)، تاريخ الرياضيات: مقدمة ( الطبعة الثالثة)، شركة ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-009465-9
كاجوري، فلوريان (1919)، "كيف أصبح x يرمز إلى الكمية المجهولة" ، مجلة العلوم والرياضيات المدرسية ، 19 (8): 698-699 ، doi : 10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
كاجوري، فلوريان (1928)، تاريخ الرموز الرياضية ، شيكاغو: دار أوبن كورت للنشر، رقم ISBN 9780486161167{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
كارلسون، ستيفان سي. (2024). "الطوبولوجيا - التماثل، التماثل المشترك، المتشعبات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاسترجاع في 2 أكتوبر 2024 .
تشانغ، سي سي؛ كيسلر، إتش جيه (1990). نظرية النماذج . إلسيفير. ISBN 978-0-08-088007-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
كوك، روجر (1997)، تاريخ الرياضيات: دورة موجزة ، وايلي-إنترساينس، رقم ISBN 978-0-471-18082-1
كوري، ليو (2024). "الجبر" . موسوعة بريتانيكا . مؤرشف من الأصل في 19 يناير 2024. تم الاطلاع عليه في 25 يناير 2024 .
ديربيشاير، جون (2006)، الكمية المجهولة: تاريخ حقيقي وخيالي للجبر ، واشنطن العاصمة: مطبعة جوزيف هنري، رقم ISBN 978-0-309-09657-7
ديكارت، رينيه (1637)، لا جيوميتري ، ليدي: إيان مير. على الانترنت طبعة 2008. بواسطة L. هيرمان، مشروع جوتنبرج.
ديكارت، رينيه (1925)، هندسة رينيه ديكارت ، شيكاغو: أوبن كورت، رقم ISBN 9781602066922{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
دييز، خوان (1556)، ملخص موجز عن كميات البلاتا والذهب التي تعتبر ضرورية للمتاجرين: وجميع أنواع العمال، مع بعض القواعد الحسابية ، مكسيكو سيتي
إنستروم، غوستاف (1905)، “Kleine Mitteilungen” ، Bibliotheca Mathematica ، Ser. 3، 6(الوصول عبر الإنترنت متاح فقط في الولايات المتحدة)
فليج، جراهام (1983)، الأرقام: تاريخها ومعناها ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-42165-0
جريتزر، جورج (2008). الجبر العالمي (2 ed.). سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-77487-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
هازوينكل، ميشيل (1994). موسوعة الرياضيات (مجموعة) . سبرينغر. رقم ISBN 978-1-55608-010-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
هيث، توماس ليتل (1981أ)، تاريخ الرياضيات اليونانية ، المجلد الأول ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-24073-2
هيث، توماس ليتل (1981ب)، تاريخ الرياضيات اليونانية ، المجلد الثاني ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-24074-9
جاكوب، جورج ( 1903)، "العناصر الشرقية للثقافة في الغرب" ، التقرير السنوي لمجلس أمناء مؤسسة سميثسونيان [...] للسنة المنتهية في 30 يونيو 1902 : 509-529
كاستن، لويد أ .؛ كودي، فلوريان ج. (2001)، قاموس مبدئي للغة الإسبانية في العصور الوسطى (الطبعة الثانية )، نيويورك: المعهد الإسباني لدراسات العصور الوسطى
كاتز، فيكتور جيه؛ بارشال، كارين هانغر (2014)، ترويض المجهول: تاريخ الجبر من العصور القديمة إلى أوائل القرن العشرين ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-1-400-85052-5
كلاينر، إسرائيل (2007). تاريخ الجبر المجرد . سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4685-1.
كنوبل، آرثر (2011). حزم الجبر فوق الفضاءات البوليانية . سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4218-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
كرومر، رالف (2007). الأداة والشيء: تاريخ وفلسفة نظرية الفئات . سبرينغر. ISBN 978-3-7643-7524-9.
كفاس، ل. (2006). "تاريخ الجبر وتطور شكل لغته" . مجلة فلسفة الرياضيات . 14 (3): 287-317 . doi : 10.1093/philmat/nkj017 . ISSN 1744-6406 .
لاجارد، بول دي (1884)، “Woher stammt das x der Mathematiker؟” , ميتثيلونجن , المجلد. 1، جوتنجن: Dieterichsche Sortimentsbuchhandlung، الصفحات من 134 إلى 137
لاوس، نيكولاس ك. (1998). موضوعات في التحليل الرياضي والهندسة التفاضلية . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-3180-4.
مياكي، كاتسويا (2002). "بعض جوانب التفاعلات بين نظرية الأعداد الجبرية ونظرية الأعداد التحليلية" . في: كانيميتسو، شيغيرو؛ جيا، تشاوهوا (محرران). أساليب نظرية الأعداد: اتجاهات مستقبلية . سبرينغر. ISBN 978-1-4419-5239-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 أغسطس 2024 .
ميرزلياكوف، يو. آي.؛ شيرشوف، إيه آي (2020). "الجبر (2)" . موسوعة الرياضيات . سبرينغر. مؤرشف من الأصل في 7 أبريل 2023. تم الاسترجاع في 11 يناير 2023 .
نونيس، بيدرو (1567)، كتاب الجبر والحساب والهندسة ، أنتويرب: أرنولدو بيركمان
أولشلاغر، فيكتور آر بي (1940)، قائمة كلمات إسبانية من العصور الوسطى ، ماديسون: مطبعة جامعة ويسكونسن
أورتيجا، خوان دي (1552)، Tractado subtilissimo de arismetica y Geometria ، غرناطة: رينيه رابوت
بيريز دي مويا، خوان [بالإسبانية] (1562)، Aritmética practica y especulativa ، سالامانكا: ماتياس غاست
برات، فوغان (2022). "الجبر" . موسوعة ستانفورد للفلسفة . مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد. مؤرشف من الأصل في 29 يناير 2024. تم الاطلاع عليه في 11 يناير 2024 .
بويج، أندريس (1672)، Arithmetica espectulativa y practica؛ ذ آرتي دي الجبر ، برشلونة: أنطونيو لاكافاليريا
رايدر، روبن إي. (1982)، ببليوغرافيا الجبر الحديث المبكر، 1500-1800 ، بيركلي: أوراق بيركلي في تاريخ العلوم
سيسيانو، جاك (1999)، مقدمة في تاريخ الجبر: حل المعادلات من العصر الميزوبوتامي إلى عصر النهضة ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية، رقم ISBN 9780821844731
ستيلويل، جون (2004)، الرياضيات وتاريخها ( الطبعة الثانية)، سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا، رقم ISBN 978-0-387-95336-6
سويتز، فرانك ج. (2013)، الصحوة الرياضية الأوروبية: رحلة عبر تاريخ الرياضيات، 1000-1800 (الطبعة الثانية )، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، ISBN 9780486498058
تانتون، جيمس (2005). موسوعة الرياضيات . فاكتس أون فايل. ISBN 978-0-8160-5124-3.
Tropfke، Johannes (1902)، Geschichte der Elementar-Mathematik in systematischer Darstellung ، المجلد. 1، لايبزيغ: Von Veit & Comp.
واردن، بارتل ل. فان دير (2013). تاريخ الجبر: من الخوارزمي إلى إيمي نوثر . سبرينغر. ISBN 978-3-642-51599-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2024 .
ويبل، تشارلز أ. (1995). مقدمة في الجبر التماثلي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-139-64307-8.

روابط خارجية

"تعليق الشيخ زكريا الأنصاري على قصيدة ابن الحائيم في علم الجبر والموازنة التي تسمى تجلي الخالق في شرح المقنع" والتي تتضمن المفاهيم الأساسية للجبر التي يعود تاريخها إلى القرن الخامس عشر، من المكتبة الرقمية العالمية .

[1] بوير (1991 : 229)

[2] جيفري أ. أوكس؛ هيثم م. الخطيب (2007). "تبسيط المعادلات في الجبر العربي". هيستوريا ماثيماتيكا . 34 : 45-61 . doi : 10.1016/j.hm.2006.02.006 . ISSN 0315-0860 .

[3] ( بوير، 1991 ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية"، ص 180) "قيل إنه يمكن تمييز ثلاث مراحل في التطور التاريخي للجبر: (1) المرحلة البلاغية أو المبكرة، حيث يُكتب كل شيء بالكامل بالكلمات؛ (2) مرحلة متقطعة أو وسيطة، حيث تُعتمد بعض الاختصارات؛ و(3) مرحلة رمزية أو نهائية. إن هذا التقسيم التعسفي لتطور الجبر إلى ثلاث مراحل هو، بطبيعة الحال، تبسيط مفرط؛ ولكنه يمكن أن يكون بمثابة تقريب أولي فعال لما حدث."

[4] ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين"، ص 32) "حتى العصر الحديث، لم يكن هناك أي تفكير في حل معادلة تربيعية من الشكل $x^{2}+px+q=0$ ، أين $p$ و $q$ تكون موجبة، لأن المعادلة ليس لها جذر موجب. ونتيجة لذلك، صُنفت المعادلات التربيعية في العصور القديمة والوسطى - وحتى في أوائل العصر الحديث - إلى ثلاثة أنواع: (1) $x^{2}+px=q$ (2) $x^{2}=px+q$ (3) $x^{2}+q=px$ "

[5] كاتز، فيكتور جيه؛ بارتون، بيل (أكتوبر 2007)، "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس"، دراسات تربوية في الرياضيات ، 66 (2): 185-201 ، doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 ، S2CID 120363574

[6] ستريك، ديرك ج. (1987). تاريخ موجز للرياضيات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-60255-4.

[Boyer_Babylon_p30-7] 1 2 3 4 5 ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين"، ص 30) "لم يتردد علماء الرياضيات البابليون في استخدام الاستيفاء بالأجزاء النسبية لتقريب القيم الوسيطة. ويبدو أن الاستيفاء الخطي كان إجراءً شائعًا في بلاد ما بين النهرين القديمة، وقد سهّل الترميز الموضعي تطبيق قاعدة الثلاثة. [...] جدول أساسي في الجبر البابلي؛ وقد بلغ هذا الموضوع مستوى أعلى بكثير في بلاد ما بين النهرين منه في مصر. تُظهر العديد من نصوص المسائل من العصر البابلي القديم أن حل المعادلة التربيعية الكاملة ذات الثلاثة حدود لم يُمثل صعوبة كبيرة للبابليين، نظرًا لتطويرهم عمليات جبرية مرنة. فقد كان بإمكانهم تبديل الحدود في المعادلات عن طريق جمع المتساويات، وكان بإمكانهم ضرب كلا الطرفين بكميات متشابهة لإزالة الكسور أو التخلص من العوامل. $4ab$ ل $(a-b)^{2}$ بإمكانهم الحصول $(a+b)^{2}$ لأنهم كانوا على دراية بالعديد من أشكال التحليل البسيطة. [...] كان الجبر المصري يهتم كثيرًا بالمعادلات الخطية، لكن البابليين وجدوا هذه المعادلات بدائية للغاية بحيث لا تستحق الكثير من الاهتمام. [...] في مسألة أخرى في نص بابلي قديم، نجد معادلتين خطيتين آنيتين في كميتين مجهولتين، تُسميان على التوالي "الخاتم الفضي الأول" و"الخاتم الفضي الثاني".

[8] جويس، ديفيد إي. (1995). "بليمبتون 322" . قد يكون اللوح الطيني الذي يحمل الرقم 322 في مجموعة جي إيه بليمبتون بجامعة كولومبيا أشهر لوح رياضي، وبالتأكيد أكثرها تصويرًا، ولكنه يستحق شهرة أكبر. نُقش هذا اللوح في العصر البابلي القديم بين عامي 1900 و1600 قبل الميلاد، ويُظهر أكثر الرياضيات تقدمًا قبل تطور الرياضيات اليونانية.

[9] ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين" ص 31) "يبدو أن حل معادلة تربيعية من ثلاثة حدود قد تجاوز بكثير القدرات الجبرية للمصريين، لكن نويغباور في عام 1930 كشف أن البابليين قد تعاملوا مع مثل هذه المعادلات بفعالية في بعض أقدم نصوص المسائل."

[Boyer_Babylonian_Cubic_Equations-10] 1 2 ( بوير 1991 ، "بلاد ما بين النهرين"، ص 33) "لا يوجد سجل في مصر لحل المعادلات التكعيبية، ولكن توجد أمثلة عديدة على ذلك بين البابليين. [...] لا يُعرف ما إذا كان البابليون قادرين على اختزال المعادلة التكعيبية العامة ذات الأربعة حدود،^ax³⁺bx² + cx = d ، إلى شكلها الطبيعي أم لا."

[11] ( بوير 1991 ، "مصر"، ص 11) "تم شراؤها عام 1959 في مدينة ساحلية على النيل من قبل عالم الآثار الاسكتلندي هنري رايند؛ ومن ثم، تُعرف غالبًا باسم بردية رايند أو، بشكل أقل شيوعًا، باسم بردية أحمس تكريمًا للكاتب الذي نسخها بيده حوالي عام 1650 قبل الميلاد. ويخبرنا الكاتب أن المادة مستمدة من نموذج أولي من المملكة الوسطى التي تعود إلى حوالي 2000 إلى 1800 قبل الميلاد."

[12] ( بوير 1991 ، "مصر" ص 19) "لقد تم استخلاص الكثير من معلوماتنا حول الرياضيات المصرية من بردية ريند أو أحمس، وهي الوثيقة الرياضية الأكثر شمولاً من مصر القديمة؛ ولكن هناك مصادر أخرى أيضًا."

[Boyer_Chapter_Egypt-13] 1 2 ( بوير 1991 ، "مصر"، ص 15-16) "إن المسائل المصرية التي وُصفت حتى الآن تُصنف على أفضل وجه ضمن مسائل الحساب، ولكن هناك مسائل أخرى تندرج ضمن فئة يُمكن تطبيق مصطلح الجبر عليها بشكل مناسب. هذه المسائل لا تتعلق بأشياء ملموسة محددة مثل الخبز والبيرة، ولا تتطلب عمليات على أعداد معلومة. بل تتطلب ما يُعادل حلول المعادلات الخطية من الشكل $x+ax=b$ أو $x+ax+bx=c$ حيث a و b و c معلومتان، و x مجهول. يُشار إلى المجهول بـ "ها" أو الكومة. [...] الحل الذي قدمه أحمس ليس من الحلول الموجودة في الكتب الدراسية الحديثة، بل هو إحدى الخصائص المقترحة لإجراء يُعرف الآن باسم "طريقة الوضع الخاطئ" أو "قاعدة الخطأ". اقترح علماء عشرينيات القرن الماضي قيمة خاطئة محددة، وتُجرى العمليات الموضحة على الجانب الأيسر من علامة المساواة على هذا العدد المفترض. تُظهر الدراسات الحديثة أن الكتبة لم يكونوا يخمنون في هذه الحالات. لقد أربكت إجابات الأعداد النسبية الدقيقة المكتوبة بسلاسل الكسور المصرية علماء عشرينيات القرن الماضي. تُظهر النتيجة الموثقة أن أحمس "تحقق" من النتيجة بإثبات أن 16 + 1/2 + 1/8 مضافًا إليه سُبع هذا العدد (وهو 2 + 1/4 + 1/8)، يُعطي 19. هنا نرى خطوة مهمة أخرى في تطور الرياضيات، لأن التحقق هو مثال بسيط على البرهان.

[Casselman-14] بيل كاسلمان . "أحد أقدم المخططات الموجودة من إقليدس" . جامعة كولومبيا البريطانية . تم الاسترجاع في 26-09-2008 .

[Greek_Geometric_Algebra-15] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٩) "الكتاب الثاني من الأصول كتاب قصير، يحتوي على أربعة عشر قضية فقط، لا يلعب أي منها دورًا في الكتب المدرسية الحديثة؛ ومع ذلك، كان لهذا الكتاب أهمية كبيرة في زمن إقليدس. يمكن تفسير هذا التباين الحاد بين وجهات النظر القديمة والحديثة بسهولة - لدينا اليوم الجبر الرمزي وعلم المثلثات الذي حل محل المكافئات الهندسية من اليونان. على سبيل المثال، تنص القضية ١ من الكتاب الثاني على أنه "إذا كان هناك خطان مستقيمان، وقُطع أحدهما إلى أي عدد من القطع المستقيمة، فإن المستطيل الذي يحتويه الخطان المستقيمان يساوي المستطيلات التي يحتويها الخط المستقيم غير المقطوع وكل قطعة من القطع المستقيمة." هذه النظرية، التي تؤكد (الشكل ٧.٥) أن AD (AP + PR + RB) = AD·AP + AD·PR + AD·RB، ليست سوى بيان هندسي لأحد القوانين الأساسية للحساب المعروفة اليوم باسم قانون التوزيع: $a(b+c+d)=ab+ac+ad.$ في الكتب اللاحقة من كتاب الأصول (الخامس والسابع)، نجد برهانًا على قانوني التبادل والتجميع في الضرب. فبينما تُمثَّل المقادير في عصرنا بأحرف تُفهم على أنها أعداد (معروفة أو مجهولة) نتعامل معها بقواعد جبرية حسابية، كان الإغريق في زمنهم يصوّرونها كقطع مستقيمة تُحقق المحاور ونظريات الهندسة. يُزعم أحيانًا أن الإغريق لم يكن لديهم جبر، لكن هذا زعم باطل. فقد كان لديهم الكتاب الثاني من الأصول ، وهو جبر هندسي، وكان يؤدي الغرض نفسه الذي يؤديه جبرنا الرمزي. لا شك أن الجبر الحديث يُسهّل كثيرًا التعامل مع العلاقات بين المقادير. ولكن من المؤكد أيضًا أن عالم الهندسة الإغريقي المُلمّ بنظريات إقليدس الأربعة عشر في "الجبر" كان أكثر براعة في تطبيق هذه النظريات على القياس العملي من عالم الهندسة المُحنّك في عصرنا. لم تكن "الجبر" الهندسي القديم أداة مثالية، لكنها لم تكن عديمة الفائدة. إن عبارة إقليدس (القضية 4)، "إذا قُطِعَ خط مستقيم عشوائيًا، فإن مربعه الكلي يساوي مربعي القطعتين وضعف المستطيل الذي تحتويه القطعتان"، هي طريقة مطولة للتعبير عن ذلك. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ "

[A_history_of_Mathematics_the_application_of_areas-16] ١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "العصر البطولي"، ص ٧٧-٧٨) "سواءً أكان الاستدلال قد دخل الرياضيات في القرن السادس قبل الميلاد أو الرابع، وسواءً أكان اكتشاف عدم التناسب قد تم قبل أو بعد ٤٠٠ قبل الميلاد، فلا شك أن الرياضيات اليونانية قد شهدت تغييرات جذرية بحلول زمن أفلاطون. [...] كان لا بد من أن يحل "الجبر الهندسي" محل "الجبر الحسابي" الأقدم، وفي هذا الجبر الجديد لم يكن من الممكن جمع الخطوط لحساب المساحات أو المساحات لحساب الأحجام. من الآن فصاعدًا، كان لا بد من وجود تجانس صارم للحدود في المعادلات، والشكل الطبيعي لبلاد ما بين النهرين، $xy=A,x\pm y=b,$ = b، وكان ينبغي تفسيرها هندسيًا. [...] وبهذه الطريقة، بنى الإغريق حل المعادلات التربيعية من خلال عملية تُعرف باسم "تطبيق المساحات"، وهو جزء من الجبر الهندسي الذي غطته بالكامل أصول إقليدس . [...] المعادلة الخطية $ax=bc,$ على سبيل المثال، كان يُنظر إلى ذلك على أنه مساواة بين المناطق $ax$ و $bc,$ بدلاً من أن تكون نسبة - أي تساوي بين النسبتين $a:b$ و $c:x.$ وبالتالي، عند بناء النسبة الرابعة $x$ في هذه الحالة، كان من المعتاد إنشاء مستطيل OCDB بأضلاع b = OB و c = OC (الشكل 5.9)، ثم رسم خط OA = a على طول OC . بعد إكمال المستطيل OCDB، يُرسم القطر OE الذي يقطع CD في النقطة P. يتضح الآن أن CP هو الخط المطلوب. $x,$ "المستطيل OARS يساوي في مساحته المستطيل OCDB"

[Euclid_and_Khwarizmi-17] ١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "أوروبا في العصور الوسطى"، ص ٢٥٨) "في النظريات الحسابية في كتاب الأصول لإقليدس، الأجزاء من السابع إلى التاسع، مُثِّلت الأعداد بقطع مستقيمة مُلحقة بها حروف، واستخدمت البراهين الهندسية في كتاب الخوارزمي للجبر مخططات مُرمَّزة؛ لكن جميع المعاملات في المعادلات المستخدمة في الجبر هي أعداد محددة، سواء مُثِّلت بالأرقام أو كُتِبت بالكلمات. إن فكرة العمومية مُضمَّنة في شرح الخوارزمي، لكن لم يكن لديه مخطط للتعبير جبريًا عن القضايا العامة المُتاحة بسهولة في الهندسة."

[Heath_Thymaridas-18] 1 2 3 ( هيث 1981أ ، "ازدهار ثيماريداس"، ص 94-96) كان ثيماريداس الباروسي، وهو فيثاغورسي قديم سبق ذكره (ص 69)، مؤلف قاعدة لحل مجموعة معينة من $n$ معادلات بسيطة متزامنة تربط $n$ كميات مجهولة. من الواضح أن القاعدة كانت معروفة جيدًا، إذ سُميت بالاسم الخاص [...] "زهرة" أو "تفتح" ثيماريداس. [...] القاعدة مُصاغة بأسلوب غامض للغاية، لكنها تنص في جوهرها على أنه إذا كان لدينا ما يلي $n$ المعادلات التي تربط $n$ كميات غير معروفة $x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},$ أي [...] يمضي يامبليخوس، مصدر معلوماتنا حول هذا الموضوع، ليُبين أن أنواعًا أخرى من المعادلات يمكن اختزالها إلى هذا الشكل، بحيث لا تتركنا القاعدة في مأزق في تلك الحالات أيضًا.

[Flegg-19] ( فليج 1983 ، "الأعداد المجهولة"، ص 205) "يقال إن ثيماريداس (القرن الرابع) كان لديه هذه القاعدة لحل مجموعة معينة من $n$ المعادلات الخطية في $n$ المجاهيل: إذا كان مجموع $n$ إذا أعطيت كميات، وكذلك مجموع كل زوج يحتوي على كمية معينة، فإن هذه الكمية المعينة تساوي $1/(n-2)$ الفرق بين مجموع هذه الأزواج والمجموع الأول المعطى."

[Boyer_Euclid_Alexandria-20] ١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٠) "ولكن بحلول عام ٣٠٦ قبل الميلاد، كانت السيطرة على الجزء المصري من الإمبراطورية راسخة في يد بطليموس الأول، وتمكن هذا الحاكم المستنير من توجيه اهتمامه نحو الجهود البناءة. ومن بين أعماله المبكرة إنشاء مدرسة أو معهد في الإسكندرية، عُرف باسم المتحف، لم يكن له مثيل في عصره. وقد استعان بمجموعة من كبار العلماء كمدرسين في المدرسة، وكان من بينهم مؤلف كتاب الرياضيات الأكثر نجاحًا على الإطلاق - كتاب الأصول ( Stoichia ) لإقليدس. وبالنظر إلى شهرة المؤلف وكتابه الأكثر مبيعًا، فمن المثير للدهشة أن القليل جدًا معروف عن حياة إقليدس. لقد كانت حياته غامضة لدرجة أنه لا يوجد مكان ميلاد مرتبط باسمه."

[21] ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري" ص 101) "تتكرر الحكاية المذكورة أعلاه فيما يتعلق بطلب الإسكندر الأكبر للحصول على مقدمة سهلة للهندسة في حالة بطليموس، الذي ورد أن إقليدس أكد له أنه "لا يوجد طريق ملكي للهندسة"."

[22] ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٤) "ربما برع بعض أعضاء هيئة التدريس في البحث العلمي، بينما كان آخرون أكثر ملاءمةً للإدارة، وبرز آخرون بقدراتهم التدريسية. ويبدو، من التقارير المتوفرة لدينا، أن إقليدس ينتمي بوضوح إلى الفئة الأخيرة. لا يُنسب إليه أي اكتشاف جديد، لكنه اشتهر بمهاراته التفسيرية."

[23] ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري" ص 104) "لم يكن كتاب الأصول ، كما يُعتقد أحيانًا، خلاصة لجميع المعارف الهندسية؛ بل كان كتابًا تمهيديًا يغطي جميع الرياضيات الابتدائية ."

[24] ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري"، ص 110) "وينطبق الشيء نفسه على كتاب العناصر 2.5، الذي يحتوي على ما يجب أن نعتبره تعبيرًا ملتويًا غير عملي لـ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ "

[25] ( بوير 1991 ، "إقليدس الإسكندري"، ص 111) "بطريقة مماثلة تمامًا، المعادلة التربيعية $ax+x^{2}=b^{2}$ يُحلّ هذا باستخدام الفقرة II.6: إذا نُصِّف خط مستقيم وأُضيف إليه خط مستقيم آخر، فإن المستطيل الذي يحتويه الخط المستقيم الكامل (مع الخط المضاف) والخط المضاف، بالإضافة إلى المربع الموجود على النصف، يساوي المربع الموجود على الخط المستقيم المكون من النصف والخط المضاف. [...] مع كون الفقرة II.11 حالة خاصة مهمة من الفقرة II.6. هنا يحل إقليدس المعادلة $ax+x^{2}=a^{2}$ "

[Euclid's_Data_Boyer-26] ١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٠٣) " بيانات إقليدس، وهو عمل وصل إلينا عبر اليونانية والعربية. ويبدو أنه أُلِّف للاستخدام في مدارس الإسكندرية، ليكون بمثابة كتاب مُكمِّل للكتب الستة الأولى من كتاب الأصول ، تمامًا كما يُكمِّل دليل الجداول كتابًا دراسيًا. [...] يبدأ الكتاب بخمسة عشر تعريفًا تتعلق بالمقادير والمواضع. ويتألف متن النص من خمسة وتسعين عبارة تتعلق بدلالات الشروط والمقادير التي قد تُعطى في مسألة ما. [...] وهناك نحو عشرين عبارة مماثلة تُستخدم كقواعد أو صيغ جبرية. [...] بعض هذه العبارات هي مكافئات هندسية لحل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال [...] حذف $y$ لدينا $(a-x)dx=b^{2}c$ أو $dx^{2}-adx+b^{2}c=0,$ منها $x={\frac {a}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-b^{2}\left({\frac {c}{d}}\right)}}.$ الحل الهندسي الذي قدمه إقليدس مكافئ لهذا الحل، باستثناء استخدام الإشارة السالبة قبل الجذر. العبارتان 84 و85 في البيانات هما استبدالان هندسيان للحلول الجبرية البابلية المألوفة للأنظمة $xy=a^{2},x\pm y=b,$ والتي تُعادل بدورها حلول المعادلات الآنية.

[27] ( بوير ١٩٩١ ، "التوليف الإقليدي"، ص ١٠٣) "ينسب كل من يوتوسيوس وبروكلس اكتشاف القطوع المخروطية إلى مينايخموس، الذي عاش في أثينا في أواخر القرن الرابع قبل الميلاد. ويشير بروكلس، نقلاً عن إراتوستينس، إلى "ثلاثيات القطوع المخروطية لمينايخموس". وبما أن هذا الاقتباس يأتي مباشرة بعد مناقشة "مقطع المخروط القائم الزاوية" و"مقطع المخروط الحاد الزاوية"، يُستنتج أن القطوع المخروطية نتجت عن قطع مخروط بمستوى عمودي على أحد عناصره. فإذا كانت زاوية رأس المخروط حادة، يكون المقطع الناتج (المسمى أوكسيتوم ) قطعًا ناقصًا. وإذا كانت الزاوية قائمة، يكون المقطع ( أورثوتوم ) قطعًا مكافئًا، وإذا كانت الزاوية منفرجة، يكون المقطع ( أمبليتوم ) قطعًا زائدًا (انظر الشكل ٥.٧)."

[Boyer_Menaechmus-28] 1 2 ( بوير 1991 ، "عصر أفلاطون وأرسطو"، ص 94-95) "إذا كانت OP = y و OD = x إحداثيات النقطة P، فإننا نحصل على $y^{2}=R$ ).OV، أو بالتعويض بعلامة المساواة، y² = R'D.OV = AR'.BC/AB.DO.BC/AB = AR'.BC² ^/ AB² ^. x بما أن القطع المستقيمة AR' ^و BC وAB متطابقة لجميع النقاط P على المنحنى EQDPG، يمكننا كتابة معادلة المنحنى، وهو "مقطع من مخروط قائم الزاوية"، على النحو التالي: $y^{2}=lx,$ أين $l$ هو ثابت، عُرف لاحقًا باسم الوتر البؤري للمنحنى. [...] يبدو أن مينايخموس قد استنتج هذه الخصائص للقطوع المخروطية وغيرها أيضًا. ولأن هذه المادة تشبه إلى حد كبير استخدام الإحداثيات، كما هو موضح أعلاه، فقد قيل أحيانًا أن مينايخموس كان لديه هندسة تحليلية. هذا الحكم مبرر جزئيًا فقط، لأنه من المؤكد أن مينايخموس لم يكن على دراية بأن أي معادلة في كميتين مجهولتين تحدد منحنى. في الواقع، كان المفهوم العام للمعادلة في الكميات المجهولة غريبًا على الفكر اليوناني. [...] لقد توصل إلى القطوع المخروطية في بحث ناجح عن منحنيات ذات خصائص مناسبة لمضاعفة المكعب. من حيث الترميز الحديث، يمكن التوصل إلى الحل بسهولة. عن طريق تحريك المستوى المنحني (الشكل 6.2)، يمكننا إيجاد قطع مكافئ بأي وتر بؤري. إذاً، إذا أردنا مضاعفة مكعب طول ضلعه $a,$ نحدد على مخروط قائم الزاوية قطعين مكافئين، أحدهما ذو وتر بؤري مستقيم $a$ وآخر مصاب بالعضلة المستقيمة العريضة $2a.$ [...] من المحتمل أن مينايخموس كان يعلم أنه يمكن تحقيق التكرار أيضًا باستخدام القطع الزائد المستطيل والقطع المكافئ.

[Boyer_Chinese_Math-29] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ١٩٥-١٩٧) " تختلفالتقديرات المتعلقة بكتاب تشو باي سوان تشينغ ، الذي يُعتبر عمومًا أقدم الكتب الكلاسيكية في الرياضيات، بما يقارب ألف عام. [...] يبدو تاريخ حوالي ٣٠٠ قبل الميلاد معقولًا، مما يضعه في منافسة وثيقة مع كتاب آخر، هو تشيو تشانغ سوان شو ، الذي أُلِّف حوالي ٢٥٠ قبل الميلاد، أي قبل عهد أسرة هان بقليل (٢٠٢ قبل الميلاد). [...] يكاد يكون كتاب تشوي تشانغ سوان شو ، أو الفصول التسعة في الفن الرياضي ، بنفس قدم كتاب تشو باي ، وربما يكون الأكثر تأثيرًا بين جميع كتب الرياضيات الصينية. يتضمن هذا الكتاب ٢٤٦ مسألة في المساحة والزراعة والشراكات والهندسة والضرائب والحساب وحل المعادلات وخصائص المثلثات القائمة. [...] يُعد الفصل الثامن من الفصول التسعة مهمًا لحله مسائل المعادلات الخطية الآنية، باستخدام الأعداد الموجبة والسالبة. تتضمن المسألة الأخيرة في الفصل أربع معادلات بخمسة مجاهيل، وظل موضوع المعادلات غير المحددة موضوعًا مفضلًا لدى شعوب الشرق.

[Boyer_Sea_Mirror-30] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ٢٠٤) "لي تشيه (أو لي ييه، ١١٩٢-١٢٧٩)، عالم رياضيات من بكين، عُرض عليه منصب حكومي من قبل قوبلاي خان عام ١٢٠٦، لكنه اعتذر بأدب. يتضمن كتابه " تسي يوان هاي تشينغ" ( مرآة قياسات الدائرة ) ١٧٠ مسألة تتعلق ببعض المسائل التي تؤدي إلى معادلات من الدرجة الرابعة. على الرغم من أنه لم يصف طريقته في حل المعادلات، بما في ذلك بعض المعادلات من الدرجة السادسة، يبدو أنها لم تكن مختلفة كثيرًا عن تلك التي استخدمها تشو شيه تشيه وهورنر. من بين الذين استخدموا طريقة هورنر أيضًا تشين تشيو شاو (حوالي ١٢٠٢ - حوالي ١٢٦١) ويانغ هوي (نشط حوالي ١٢٦١ - ١٢٧٥). كان الأول حاكمًا ووزيرًا عديم المبادئ، جمع ثروة طائلة في غضون مئة يوم. من توليه منصبه. يمثل كتابه "شو شو تشيو تشانغ " ( رسالة رياضية في تسعة أقسام ) ذروة التحليل الصيني غير المحدد، مع ابتكار إجراءات لحل التطابقات المتزامنة.

[Boyer_Magic_Squares-31] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ١٩٧) "كان الصينيون مولعين بالأنماط بشكل خاص؛ لذا، ليس من المستغرب أن يظهر أول سجل (قديم الأصل ولكنه غير معروف) للمربع السحري هناك. [...] دفع الاهتمام بهذه الأنماط مؤلف الفصول التسعة إلى حل نظام المعادلات الخطية الآنية [...] عن طريق إجراء عمليات عمودية على المصفوفة [...] لتقليلها إلى [...] يمثل الشكل الثاني المعادلات $36z=99,5y+z=24,$ = 24، و $3x+2y+z=39$ ومنها قيم $z,y,$ و $x$ يتم العثور عليها تباعاً بسهولة.

[32] ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 204-205) "استُخدمت نفس أداة "هورنر" من قِبل يانغ هوي، الذي لا يُعرف عنه شيء تقريبًا، ولم يبقَ من أعماله إلا جزءٌ منها. ومن بين إسهاماته الباقية أقدم المربعات السحرية الصينية من رتبة أكبر من ثلاثة، بما في ذلك مربعان من الرتب من الرابعة إلى الثامنة، ومربع واحد من كل من الرتبتين التاسعة والعاشرة."

[Boyer_Precious_Mirror-33] ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 203) "كان تشو تشي تشيه ( نشط بين عامي 1280 و1303) آخر وأعظم علماء الرياضيات في عهد أسرة سونغ، ومع ذلك لا نعرف عنه إلا القليل، [...] ومن الأمور ذات الأهمية التاريخية والرياضية الأكبر كتاب " مرآة العناصر الأربعة الثمينة " ( Ssy-yüan yü-chien ) الذي صدر عام 1303. في القرن الثامن عشر، اختفى هذا الكتاب أيضًا في الصين، ليُعاد اكتشافه في القرن التالي. العناصر الأربعة، المسماة السماء والأرض والإنسان والمادة، هي تمثيلات لأربع كميات مجهولة في المعادلة نفسها. يُمثل هذا الكتاب ذروة تطور الجبر الصيني، لأنه يتناول المعادلات الآنية ومعادلات من درجات تصل إلى أربعة عشر. يصف المؤلف فيه طريقة تحويل يُطلق عليها اسم " فان فا" ، والتي ظهرت عناصرها قبل ذلك بكثير في الصين، ولكنها تُنسب عمومًا إلى هورنر، الذي عاش بعد ذلك بنصف ألفية."

[Boyer_Precious_Mirror_p205-34] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ٢٠٥) "بعض من مجاميع المتسلسلات العديدة الموجودة في كتاب المرآة الثمينة هي التالية: [...] ومع ذلك، لم تُقدَّم أي براهين، ولا يبدو أن الموضوع قد استُكمل مرة أخرى في الصين حتى القرن التاسع عشر تقريبًا. [...] يبدأ كتاب المرآة الثمينة برسم تخطيطي للمثلث الحسابي، المعروف خطأً في الغرب باسم "مثلث باسكال". (انظر الرسم التوضيحي.) [...] يتنصل تشو من الفضل في ابتكار المثلث، مشيرًا إليه على أنه "رسم تخطيطي للطريقة القديمة لإيجاد القوى الثامنة وما دونها". وقد ظهر ترتيب مماثل للمعاملات حتى القوة السادسة في عمل يانغ هوي، ولكن بدون رمز الصفر الدائري."

[Boyer_Diophantus-35] ( بوير ١٩٩١ ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية"، ص ١٧٨) إن الغموض يكتنف حياة ديوفانتوس لدرجة أننا لا نعرف على وجه اليقين في أي قرن عاش. يُفترض عمومًا أنه ازدهر حوالي عام ٢٥٠ ميلادي، ولكن تُقترح أحيانًا تواريخ أقدم أو أحدث بقرن أو أكثر [...] إذا كان هذا اللغز دقيقًا تاريخيًا، فقد عاش ديوفانتوس حتى بلغ الرابعة والثمانين من عمره. [...] إن أهم أعمال ديوفانتوس المعروفة لدينا هو كتاب الحساب (Arithmetica) ، وهو رسالة كانت في الأصل تتألف من ثلاثة عشر كتابًا، لم يبقَ منها سوى الكتب الستة الأولى.

[36] أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان. حساب ديوفانتوس: ترجمة وتعليق كاملين . ص. 80.

[:0-37] 1 2 3 أوكس، جيفري؛ كريستيانيديس، جان (2013). "ممارسة الجبر في العصور القديمة المتأخرة: حل مشكلة ديوفانتوس السكندري" . تاريخ الرياضيات . 40 (2): 158-160 . دوى : 10.1016/j.hm.2012.09.001 .

[38] أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان (2013). "ممارسة الجبر في العصور القديمة المتأخرة: حل مشكلة ديوفانتوس السكندري" . تاريخ الرياضيات . 40 : 150.

[39] أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان (2023). حساب ديوفانتوس: ترجمة وتعليق كاملين . ص 51 – 52.

[40] أوكس ، جيفري. كريستيانيديس، جان (2021). حساب ديوفانتوس: ترجمة وتعليق كاملين . ص 53 – 66.

[Boyer_Arithmetica-41] ( بوير 1991 ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية"، ص 180-182) "في هذا الصدد، يمكن مقارنتها بالكلاسيكيات العظيمة للعصر الإسكندري المبكر ؛ ومع ذلك، لا تشترك عمليًا في أي شيء مع هذه الكلاسيكيات، أو في الواقع، مع أي من الرياضيات اليونانية التقليدية. إنها تمثل في جوهرها فرعًا جديدًا وتستخدم نهجًا مختلفًا. نظرًا لانفصالها عن الأساليب الهندسية، فإنها تشبه الجبر البابلي إلى حد كبير. ولكن بينما كان علماء الرياضيات البابليون مهتمين في المقام الأولبالحلول التقريبية للمعادلات المحددة حتى الدرجة الثالثة، فإن كتاب الحساب لديوفانتوس (كما هو متوفر لدينا) مكرس بالكامل تقريبًا للحل الدقيق للمعادلات، سواء كانت محددة أو غير محددة . [...] في جميع الكتب الستة الباقية من كتاب الحساب، هناك استخدام منهجي للاختصارات لقوى الأعداد وللعلاقات والعمليات. يتم تمثيل العدد المجهول برمز يشبه الحرف اليوناني ζ (ربما للحرف الأخير من الحساب). [...] بل هو بالأحرى مجموعة من حوالي 150 مسألة، تم حلها جميعًا من خلال أمثلة عددية محددة، على الرغم من أن الهدف ربما كان عمومية المنهج. لا يوجد تطوير للفرضيات، ولا يُبذل أي جهد لإيجاد جميع الحلول الممكنة. في حالة المعادلات التربيعية ذات الجذرين الموجبين، يُعطى الجذر الأكبر فقط، ولا تُؤخذ الجذور السالبة في الاعتبار. لا يوجد تمييز واضح بين المسائل المحددة وغير المحددة، وحتى بالنسبة للأخيرة التي يكون عدد حلولها غير محدود عمومًا، لا يُعطى سوى إجابة واحدة. حلّ ديوفانتوس مسائل تتضمن عدة أعداد مجهولة من خلال التعبير بمهارة عن جميع الكميات المجهولة، حيثما أمكن، بدلالة أحدها فقط.

[Boyer-42] 1 2 ( بوير 1991 ، "إحياء وانحدار الرياضيات اليونانية" ص 178) "الفرق الرئيسي بين التزامن الديوفانتي والتدوين الجبري الحديث هو عدم وجود رموز خاصة للعمليات والعلاقات، وكذلك التدوين الأسي."

[Diophantus_Syncopation-43] 1 2 3 ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 35-36)

[44] ( كوك 1997 ، "الرياضيات في الإمبراطورية الرومانية" ص 167-168)

[45] أوكس، جيفري؛ كريستيانيديس، جان (2023). حساب ديوفانتوس: ترجمة كاملة وشرح . ص 78-79 . ثمة عيبان رئيسيان في هذا التقسيم الثلاثي. أولًا، اللغة المستخدمة في الكتب ليست دائمًا هي اللغة التي حُلت بها المسائل. ففي اللغة العربية، كانت المسائل تُحل غالبًا باستخدام رموز مكتوبة على لوح أو أي سطح مؤقت آخر، ثم تُصاغ نسخة بلاغية لإدراجها في كتاب. ثانيًا، نظرًا لطبيعة الرموز العربية ثنائية الأبعاد، فقد كانت تُكتب وتُقرأ بصريًا، بمعزل عن الكلام الحقيقي أو المتخيل. ولذلك فهي تندرج ضمن فئة "الرمزية" عند نيسلمان. أما النسخة البلاغية من العمل نفسه، فقد صُنفت على أنها "بلاغية". لا تعكس هاتان الطريقتان في كتابة الجبر مرحلتين من مراحل تطور الجبر، بل هما طريقتان مختلفتان للتعبير عن الأفكار نفسها. ثانياً، لم يكن نيسلمان على دراية بالاختلافات المفاهيمية بين الجبر ما قبل الحداثة والجبر الحديث، وبالتالي، لم يكن بإمكانه تقدير القفزة التي حدثت في زمن فييت وديكارت والتي تضمنت تحولاً جذرياً في كيفية تفسير الرموز.

[46] ( بوير 1991 ، "أوروبا في العصور الوسطى" ص 257) "يستخدم الكتاب بشكل متكرر الهويات [...] التي ظهرت في ديوفانتوس والتي استخدمها العرب على نطاق واسع."

[47] ( بوير 1991 ، "رياضيات الهندوس"، ص 197) "أقدم الوثائق الباقية عن الرياضيات الهندوسية هي نسخ من أعمال كُتبت في منتصف الألفية الأولى قبل الميلاد، وهي الفترة الزمنية التي عاش فيها طاليس وفيثاغورس تقريبًا. [...] من القرن السادس قبل الميلاد"

[India_Algebra_in_General-48] 1 2 ( بوير 1991 ، "الصين والهند" ص 222) "يحتوي كتاب Livavanti ، مثل Vija-Ganita ، على العديد من المسائل التي تتناول المواضيع الهندوسية المفضلة؛ المعادلات الخطية والتربيعية، المحددة وغير المحددة، والقياس البسيط، والمتتابعات الحسابية والهندسية، والجذور الصماء، والثلاثيات الفيثاغورية، وغيرها."

[49] ( بوير ١٩٩١ ، "رياضيات الهندوس"، ص ٢٠٧) "قدّم قواعد أكثر أناقة لمجموع مربعات ومكعبات جزء أولي من الأعداد الصحيحة الموجبة. الجزء السادس من حاصل ضرب ثلاث كميات تتكون من عدد الحدود، وعدد الحدود زائد واحد، وضعف عدد الحدود زائد واحد هو مجموع المربعات. مربع مجموع المتسلسلة هو مجموع المكعبات."

[50] ( بوير 1991 ، "الصين والهند" ص 219) "براهماجوبتا (ازدهر عام 628)، الذي عاش في وسط الهند بعد أكثر من قرن بقليل من أريابهاتا [...] في حساب المثلثات في أشهر أعماله، براهمسفوتا سيدانتا ، [...] نجد هنا حلولاً عامة للمعادلات التربيعية، بما في ذلك جذرين حتى في الحالات التي يكون فيها أحدهما سالبًا."

[51] ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 220) "يُعدّ الجبر الهندوسي جديرًا بالذكر بشكل خاص لتطويره التحليل غير المحدد، والذي أسهم فيه براهمغوبتا إسهامات عديدة. فعلى سبيل المثال، نجد في أعماله قاعدة لتكوين ثلاثيات فيثاغورس مُعبَّر عنها بالشكل التالي: $m,1/2\left(m^{2}/n-n\right),1/2\left(m^{2}/n+n\right)$ لكن هذا ليس سوى شكل معدل من الحكم البابلي القديم، والذي ربما يكون قد أصبح على دراية به.

[Boyer_Brahmagupta_Indeterminate_equations-52] 1 2 3 4 ( بوير 1991 ، "الصين والهند"، ص 221) "كان أول من قدم حلاً عاماً للمعادلة الديوفانتية الخطية $ax+by=c,$ أين $a,b,$ و $c$ هي أعداد صحيحة. [...] يُحسب لبراهماغوبتا أنه قدّم جميع الحلول الصحيحة للمعادلة الديوفانتية الخطية، بينما اكتفى ديوفانتوس نفسه بتقديم حلٍّ واحدٍ لمعادلة غير محددة. وبما أن براهماغوبتا استخدم بعض الأمثلة نفسها التي استخدمها ديوفانتوس، فإننا نرى مرة أخرى احتمال وجود تأثير يوناني في الهند، أو احتمال استخدامهما مصدرًا مشتركًا، ربما من بابل. ومن المثير للاهتمام أيضًا ملاحظة أن جبر براهماغوبتا، مثل جبر ديوفانتوس، كان مُختصرًا. كان الجمع يُشار إليه بالتجاور، والطرح بوضع نقطة فوق المطروح، والقسمة بوضع المقسوم عليه أسفل المقسوم، كما هو الحال في تدويننا الكسري ولكن بدون الخط. أما عمليات الضرب والتطور (أخذ الجذور)، بالإضافة إلى الكميات المجهولة، فكانت تُمثَّل باختصارات الكلمات المناسبة. [...] بهاسكارا (1114 - حوالي 1185)، عالم الرياضيات البارز في القرن الثاني عشر. هو من سدّ بعض الثغرات في عمل براهمغوبتا، كما فعل من خلال تقديم حل عام لمعادلة بيل، ومن خلال دراسة مسألة القسمة على صفر.

[Boyer_Lilvati222-223-53] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الصين والهند"، ص ٢٢٢-٢٢٣) "عند تناولها للدائرة والكرة، تفشل ليلافاتي أيضًا في التمييز بين العبارات الدقيقة والتقريبية. [...] من الواضح أن العديد من مشاكل بهاسكارا في ليفافاتي وفيجا -غانيتا مستمدة من مصادر هندوسية سابقة؛ لذا، ليس من المستغرب أن نلاحظ أن المؤلف في أفضل حالاته عند التعامل مع التحليل غير المحدد."

[Boyer_Intro_Islamic_Algebra-54] ١ ٢ ٣ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٧) "كان القرن الأول من عمر الإمبراطورية الإسلامية خاليًا من الإنجازات العلمية. بل ربما كانت هذه الفترة (من حوالي ٦٥٠ إلى ٧٥٠) هي أدنى نقطة في تطور الرياضيات، لأن العرب لم يكونوا قد بلغوا بعدُ ذروة التقدم الفكري، وتلاشى الاهتمام بالمعرفة في أجزاء أخرى من العالم. ولولا الصحوة الثقافية المفاجئة في الإسلام خلال النصف الثاني من القرن الثامن، لضاعت كميات أكبر بكثير من العلوم والرياضيات القديمة. [...] إلا أنه خلال خلافة المأمون (٨٠٩-٨٣٣)، انغمس العرب تمامًا في شغفهم بالترجمة. ويُقال إن الخليفة رأى في منامه أرسطو، ونتيجة لذلك قرر المأمون ترجمة جميع الأعمال اليونانية التي استطاع الحصول عليها إلى العربية، بما في ذلك كتاب المجسطي لبطليموس ونسخة كاملة من كتاب الأصول لإقليدس. من في ظل الإمبراطورية البيزنطية، التي حافظ العرب معها على سلام هش، تم الحصول على المخطوطات اليونانية من خلال معاهدات السلام. أنشأ المأمون في بغداد "بيت الحكمة" الذي يُضاهي متحف الإسكندرية القديم. وكان من بين أعضاء هيئة التدريس عالم الرياضيات والفلك محمد بن موسى الخوارزمي، الذي اشتهر اسمه، مثل اسم إقليدس، في أوروبا الغربية. وقد ألّف هذا العالم، الذي توفي قبل عام 850، أكثر من ستة مؤلفات في علم الفلك والرياضيات، يُرجّح أن أقدمها استند إلى كتاب السندهاد الهندي.

[Boyer_Islamic_Rhetoric_Algebra_Thabit-55] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٤) "لكن عمل الخوارزمي كان يعاني من نقصٍ خطيرٍ كان لا بد من إزالته قبل أن يُؤدّي غرضه بفعالية في العالم الحديث: كان لا بد من تطوير تدوين رمزي ليحل محل الشكل البلاغي. لم يُقدم العرب على هذه الخطوة قط، باستثناء استبدال الكلمات العددية بعلامات عددية. [...] كان ثابت مؤسس مدرسة للمترجمين، وخاصة من اليونانية والسريانية، ونحن مدينون له بدينٍ عظيمٍ لترجماته إلى العربية أعمال إقليدس وأرخميدس وأبولونيوس وبطليموس وإيوتوكيوس."

[Gandz236-56] 1 2 غاندز وسالومان (1936)، مصادر جبر الخوارزمي ، أوزيريس الأول، ص 263-277: "بمعنى ما، فإن الخوارزمي أكثر استحقاقًا لأن يُطلق عليه "أبو الجبر" من ديوفانتوس لأن الخوارزمي هو أول من قام بتدريس الجبر في شكل ابتدائي، أما ديوفانتوس، فهو مهتم في المقام الأول بنظرية الأعداد".

[Boyer_Three_Influences_on_al_Jabr-57] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٠) "تابع الخوارزمي: "لقد قلنا ما يكفي فيما يتعلق بالأعداد، عن الأنواع الستة للمعادلات. ولكن الآن، من الضروري أن نبرهن هندسيًا على صحة المسائل نفسها التي شرحناها بالأعداد." من الواضح أن هذا المقطع ذو طابع يوناني وليس بابليًا أو هنديًا. ولذلك، توجد ثلاث مدارس فكرية رئيسية حول أصل الجبر العربي: إحداها تؤكد على التأثير الهندوسي، وأخرى تُشدد على التراث الميزوبوتامي، أو السرياني الفارسي، والثالثة تُشير إلى الإلهام اليوناني. ولعلنا نقترب من الحقيقة إذا جمعنا النظريات الثلاث."

[58] ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية" ص 228-229) "قدم المؤلف في مقدمته باللغة العربية مديحًا كبيرًا لمحمد النبي، وللأمون، "أمير المؤمنين".

[Corbin_1998_44-59] كوربين، هنري (1998). الرحلة والرسول: إيران والفلسفة . منشورات نورث أتلانتيك. ص 44. ISBN 978-1-55643-269-9أُرشف من الأصل بتاريخ 28 مارس 2023. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أكتوبر 2020 .

[60] بوير، كارل ب.، 1985. تاريخ الرياضيات ، ص 252. مطبعة جامعة برينستون. "يُطلق على ديوفانتوس أحيانًا لقب أبو الجبر، لكن هذا اللقب يليق بالخوارزمي أكثر..."، "...يُعدّ كتاب الجبر أقرب إلى الجبر الابتدائي في عصرنا الحالي من أعمال ديوفانتوس أو براهماغوبتا..."

[61] إس. غاندز، مصادر جبر الخوارزمي، أوزيريس، الجزء الأول (1936)، 263-277، "يُعتبر جبر الخوارزمي أساسًا وركنًا أساسيًا للعلوم. بمعنى ما، يستحق الخوارزمي لقب "أبو الجبر" أكثر من ديوفانتوس، لأن الخوارزمي هو أول من علّم الجبر بصورة أولية، بينما يهتم ديوفانتوس في المقام الأول بنظرية الأعداد."

[62] كاتز، فيكتور ج. "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس" (ملف PDF) . فيكتور ج. كاتز، جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة : 190. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 27 مارس 2019. تم الاطلاع عليه في 7 أكتوبر 2017 - عبر جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية. أول نص حقيقي في الجبر لا يزال موجودًا هو كتاب الجبر والمقابلة لمحمد بن موسى الخوارزمي، الذي كُتب في بغداد حوالي عام 825.

[63] إسبوزيتو، جون ل. (2000). تاريخ أكسفورد للإسلام . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 188. ISBN 978-0-19-988041-6أُرشف من الأصل في 28 مارس 2023. تم الاطلاع عليه في 29 سبتمبر 2020. يُعتبر الخوارزمي مؤسس علم الجبر، وقد اشتُقّ مصطلح الخوارزمية من اسمه.

[64] ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية" ص 228) "كان العرب عموماً يحبون الحجة الجيدة والواضحة من المقدمة إلى النتيجة، فضلاً عن التنظيم المنهجي - وهي جوانب لم يتفوق فيها لا ديوفانتوس ولا الهندوس".

[Boyer-229-65] 1 2 ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 229) "ليس من المؤكد تمامًا معنى مصطلحي الجبر والمقابلة ، لكنالتفسير الشائع مشابه لما هو مُضمَّن في الترجمة أعلاه. يُفترض أن كلمة الجبر تعني شيئًا مثل "الاستعادة" أو "الإكمال"، ويبدو أنها تشير إلى نقل الحدود المطروحة إلى الجانب الآخر من المعادلة، وهو ما يتضح في الرسالة؛ ويُقال إن كلمة المقابلة تشير إلى "الاختزال" أو "الموازنة"، أي إلغاء الحدود المتشابهة على جانبي المعادلة."

[Rashed-Armstrong-66] 1 2 راشد، ر.؛ أرمسترونغ، أنجيلا (1994)، تطور الرياضيات العربية ، سبرينغر ، ص 11-12 ، ISBN 978-0-7923-2565-9، OCLC 29181926

[Al_Jabr_and_its_chapters-67] 1 2 ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 229) "في ستة فصول قصيرة، من الأنواع الستة للمعادلات المكونة من الأنواع الثلاثة للكميات: الجذور، والمربعات، والأعداد (أي $x,x^{2},$ والأعداد). يتناول الفصل الأول، في ثلاث فقرات قصيرة، حالة المربعات التي تساوي الجذور، معبرًا عنها بالترميز الحديث على النحو التالي: $x^{2}=5x,x^{2}/3=4x,$ و $5x^{2}=10x,$ تقديم الإجابات $x=5,x=12,$ و $x=2$ على التوالي. (الجذر) $x=0$ (لم يتم التعرف عليه). يتناول الفصل الثاني حالة المربعات التي تساوي أعدادًا، بينما يحل الفصل الثالث حالات الجذور التي تساوي أعدادًا، مع ثلاثة أمثلة توضيحية لكل فصل لتغطية الحالات التي يكون فيها معامل الحد المتغير مساويًا للواحد، أو أكبر منه، أو أصغر منه. أما الفصول الرابع والخامس والسادس فهي أكثر إثارة للاهتمام، لأنها تتناول بدورها الحالات الكلاسيكية الثلاث للمعادلات التربيعية ذات الثلاثة حدود: (1) المربعات والجذور التي تساوي أعدادًا، (2) المربعات والأعداد التي تساوي جذورًا، و(3) الجذور والأعداد التي تساوي مربعات.

[68] ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٩-٢٣٠) "الحلول عبارة عن قواعد "وصفات جاهزة" لإكمال المربع، تُطبق على حالات محددة. [...] في كل حالة، يُعطى الجواب الموجب فقط. [...] مرة أخرى، يُعطى جذر واحد فقط لأن الآخر سالب. [...] الحالات الست للمعادلات المذكورة أعلاه تستنفد جميع الاحتمالات للمعادلات الخطية والتربيعية ذات الجذور الموجبة."

[69] ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٠) "يلفت الخوارزمي الانتباه هنا إلى حقيقة أن ما نسميه المميز يجب أن يكون موجبًا: "يجب أن تفهم أيضًا أنه عندما تأخذ نصف الجذور في هذا الشكل من المعادلة ثم تضرب النصف في نفسه؛ إذا كان الناتج أو ما ينتج عن الضرب أقل من الوحدات المذكورة أعلاه المصاحبة للمربع، فإن لديك معادلة." [...] مرة أخرى، يتم توضيح خطوات إكمال المربع بدقة، دون تبرير."

[70] ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية" ص 231) " يكشف كتاب الخوارزمي عن عناصر يونانية لا لبس فيها".

[71] ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 233) "تقدم بعض مسائل الخوارزمي دليلاً واضحاً على اعتماد العرب على التيار البابلي-الهيروني في الرياضيات. ومن المفترض أن إحداها مأخوذة مباشرة من هيرون، لأن الشكل والأبعاد متطابقة."

[al-Khwarizmi_Diophantus_Brahmagupta-72] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٨) "إن جبر الخوارزمي بلاغي تمامًا، يخلو من الإيقاع المتقطع الموجود في كتاب الحساب اليوناني أو في عمل براهماغوبتا. حتى الأعداد كانت تُكتب بالكلمات لا بالرموز! من غير المرجح أن يكون الخوارزمي على دراية بعمل ديوفانتوس، لكن لا بد أنه كان ملمًا على الأقل بالأجزاء الفلكية والحسابية من كتاب براهماغوبتا؛ ومع ذلك، لم يستخدم الخوارزمي ولا غيره من علماء العرب الإيقاع المتقطع أو الأعداد السالبة."

[Boyer_Ibn_Turk-73] ١ ٢ ٣ ٤ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٤) " يُعتبر كتاب الجبر للخوارزمي عادةً أول عمل في هذا الموضوع، لكن منشورًا حديثًا في تركيا يثير بعض التساؤلات حول هذا الأمر. فقد كانت مخطوطة لكتاب عبد الحميد بن ترك، بعنوان "الضرورات المنطقية في المعادلات المختلطة"، جزءًا من كتاب عن الجبر والمقابلة ، والذي كان على ما يبدو مطابقًا إلى حد كبير لكتاب الخوارزمي، ونُشر في نفس الفترة تقريبًا، وربما حتى قبل ذلك. وتقدم الفصول المتبقية من كتاب "الضرورات المنطقية" نفس نوع البرهان الهندسي الذي يقدمه كتاب الخوارزمي في الجبر ، وفي إحدى الحالات نفس المثال التوضيحي." $x^{2}+21=10x.$ من ناحيةٍ ما، يُعدّ شرح عبد الحمد أكثر شمولًا من شرح الخوارزمي، إذ يُقدّم أشكالًا هندسية لإثبات أنه إذا كان المميز سالبًا، فلا يوجد حل للمعادلة التربيعية. ويبدو أن أوجه التشابه في أعمال الرجلين والتنظيم المنهجي فيها تُشير إلى أن الجبر في عصرهما لم يكن تطورًا حديثًا كما يُفترض عادةً. فعندما تظهر كتبٌ مدرسيةٌ ذات شرحٍ تقليديٍّ ومنظمٍ جيدًا في آنٍ واحد، فمن المرجح أن يكون الموضوع قد تجاوز مرحلة التكوين بشكلٍ كبير. [...] لاحظ إغفال ديوفانتوس وبابوس، وهما مؤلفان لم يكونا معروفين في الجزيرة العربية في البداية، على الرغم من أن كتاب " الحساب الديوفانتي " أصبح شائعًا قبل نهاية القرن العاشر.

[Unknown_Quantity,_Dia,_al-Khwar-74] 1 2 ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 49)

[75] أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (1999)، "الرياضيات العربية: تألق منسي؟" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز "كان علم الجبر نظرية موحدة سمحت بمعاملة الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية والمقادير الهندسية وما إلى ذلك على أنها "كائنات جبرية".

[76] جاك سيسيانو، "الرياضيات الإسلامية"، ص. 148, في سيلين, هيلين ; دامبروسيو، أوبيراتان ، محرران. (2000)، الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية ، سبرينغر ، ISBN 978-1-4020-0260-1

[Berggren-518-77] 1 2 بيرغرين، ج. لينارت (2007). "الرياضيات في الإسلام في العصور الوسطى". رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مصادر . مطبعة جامعة برينستون. ص 518. ISBN 978-0-691-11485-9.

[Boyer_al-Karkhi_ax2n-78] ١ ٢ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٣٩) "كان أبو الوفاء عالم جبر بارعًا، بالإضافة إلى كونه عالمًا في علم التريون. [...] من الواضح أن خليفته الكرخي استخدم هذه الترجمة ليصبح تلميذًا عربيًا لديوفانتوس - ولكن دون التحليل الديوفانتي! [...] على وجه الخصوص، يُنسب إلى الكرخي أول حل عددي لمعادلات من الشكل $ax^{2n}+bx^{n}=c$ (تم النظر فقط في المعادلات ذات الجذور الموجبة)،"

[79] أوكونور، جون ج. إدموند ف. روبرتسون ، “أبو بكر بن محمد بن الحسين الكرجي” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-80] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٤١-٢٤٢) "كتب عمر الخيام (حوالي ١٠٥٠ - ١١٢٣)، الملقب بـ"صانع الخيام"، كتابًا في الجبر تجاوز كتاب الخوارزمي ليشمل معادلات الدرجة الثالثة. وكما فعل أسلافه العرب، قدم عمر الخيام حلولًا حسابية وهندسية للمعادلات التربيعية؛ أما بالنسبة للمعادلات التكعيبية العامة، فقد اعتقد (خطأً، كما تبين لاحقًا في القرن السادس عشر) أن الحلول الحسابية مستحيلة؛ ولذلك قدم حلولًا هندسية فقط. وقد سبق استخدام مخطط استخدام القطوع المخروطية المتقاطعة لحل المعادلات التكعيبية من قبل مناحيموس وأرخميدس والحزان، لكن عمر الخيام اتخذ خطوة جديرة بالثناء بتعميم هذه الطريقة لتشمل جميع معادلات الدرجة الثالثة (ذات الجذور الموجبة). .. بالنسبة للمعادلات من درجات أعلى من ثلاثة، من الواضح أن عمر الخيام لم يتصور حلولًا هندسية مماثلة الأساليب، لأن الفضاء لا يحتوي على أكثر من ثلاثة أبعاد، [...] كان من أبرز إسهامات الانتقائية العربية الميل إلى سد الفجوة بين الجبر العددي والجبر الهندسي. وجاءت الخطوة الحاسمة في هذا الاتجاه لاحقًا مع ديكارت، لكن عمر الخيام كان يسير في هذا الاتجاه حين كتب: "من يظن أن الجبر حيلةٌ لإيجاد المجاهيل فقد ظنها عبثًا. لا ينبغي الالتفات إلى اختلاف الجبر والهندسة في المظهر. فالجبر حقائق هندسية مثبتة."

[81] أوكونور، جون ج. إدموند ف. روبرتسون ، “شرف الدين المظفر الطوسي” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[82] راشد، رشدي؛ أرمسترونغ، أنجيلا (1994)، تطور الرياضيات العربية ، سبرينغر ، ص 342-343 ، ISBN 978-0-7923-2565-9

[Berggren-83] بيرغرين، جيه إل (1990). " الابتكار والتقاليد في معالاط شرف الدين الطوسي". مجلة الجمعية الشرقية الأمريكية . 110 (2): 304-309 . doi : 10.2307/604533 . JSTOR 604533. جادل راشد بأن شرف الدين اكتشف مشتقة كثيرات الحدود التكعيبية وأدرك أهميتها في دراسة الشروط التي يمكن في ظلها حل المعادلات التكعيبية؛ ومع ذلك، اقترح باحثون آخرون تفسيرات مختلفة تمامًا لفكر شرف الدين، تربطه بالرياضيات الموجودة عند إقليدس أو أرخميدس.

[84] ناصحبور، بيمان (2018). "تاريخ موجز للجبر مع التركيز على قانون التوزيع ونظرية الحلقات شبهية". arXiv : 1807.11704 [ math.HO ].

[85] فيكتور ج. كاتز، بيل بارتون (أكتوبر 2007)، "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس"، دراسات تربوية في الرياضيات ، 66 (2): 185-201 [192]، doi : 10.1007/s10649-006-9023-7 ، S2CID 120363574

[86] تجالينج ج. يبما (1995)، "التطور التاريخي لطريقة نيوتن-رافسون"، مجلة SIAM Review 37 (4): 531-551، doi : 10.1137/1037125

[87] "أرقام فيبوناتشي: الرجل وراء الرياضيات" . NPR . 16 يوليو 2011.

[Qalasadi-88] 1 2 3 أوكونور، جون ج.؛ إدموند ف. روبرتسون ، “أبو الحسن بن علي القلسادي” ، أرشيف MacTutor لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[Boyer_192-193-89] ( بوير ١٩٩١ ، "إقليدس الإسكندري"، ص ١٩٢-١٩٣) "يمكن اعتبار وفاة بوثيوس بمثابة نهاية للرياضيات القديمة في الإمبراطورية الرومانية الغربية، كما مثّلت وفاة هيباتيا نهاية الإسكندرية كمركز رياضي؛ لكن العمل استمر لبضع سنوات أخرى في أثينا. [...] عندما أصبح جستنيان إمبراطورًا في الشرق عام ٥٢٧، شعر بوضوح أن المعرفة الوثنية للأكاديمية والمدارس الفلسفية الأخرى في أثينا تُشكّل تهديدًا للمسيحية الأرثوذكسية؛ ولذلك، في عام ٥٢٩، أُغلقت المدارس الفلسفية وتشتت العلماء. لم تكن روما في ذلك الوقت بيئة مضيافة للعلماء، وتطلع سيمبليكيوس وبعض الفلاسفة الآخرين إلى الشرق بحثًا عن ملاذ. وجدوا هذا الملاذ في بلاد فارس، حيث أسسوا في عهد الملك كسرى ما يُمكن تسميته "الأكاديمية الأثينية في المنفى". (سارتون ١٩٥٢، ص ٤٠٠)."

[90] 
واردن 2013 ، الصفحات 32-35
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، ص 293

[mwDfY] واردن 2013 ، الصفحات 32-35

[mwDfk] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDfw] كفاس 2006 ، ص 293

[91] 
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، ص 293
كوري 2024 ، § كاردانو وحل المعادلات التكعيبية والرباعية
مياكي 2002 ، ص 268

[mwDgY] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDgk] كفاس 2006 ، ص 293

[mwDgw] كوري 2024 ، § كاردانو وحل المعادلات التكعيبية والرباعية

[mwDg4] مياكي 2002 ، ص 268

[92] كلاين، جاكوب (1992-01-01). الفكر الرياضي اليوناني وأصل الجبر . شركة كورير. ISBN 978-0-486-27289-4.

[93] بوس، هـ. ج. م. (2001). إعادة تعريف الدقة الهندسية: تحويل ديكارت لمفهوم البناء في أوائل العصر الحديث . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-95090-7.

[94] إيفز، هوارد (1990). مدخل إلى تاريخ الرياضيات . منشورات كلية سوندرز. رقم ISBN 978-0-03-029558-4.

[95] على سبيل المثال باشماكوفا وسميرنوفا (2000 :78) ، بوير (1991 :180) ، بيرتون (1995 :319) ، ديربيشاير (2006 :93) ، كاتز وبارشال (2014 :238) ، سيسيانو (1999 :125) ، وسويتز (2013 :110)

[96] ديكارت (1637 : 301-303)

[97] ديكارت (1925 : 9-14)

[98] كاجوري (1919 :698) ؛ كاجوري (1928 :381–382)

[99] إنستروم (1905 : 317)

[100] انظر على سبيل المثال تروبفكه (1902 : 150) . لكن غوستاف إنستروم (1905: 316-317) أظهر أن ديكارت، في رسالة كتبها عام 1619، استخدم الرمز الألماني في تناقض واضح مع رمزه الخاص. $x.$

[101] استخدم بيترو كاتالدي الرقم 1 المتقاطع للدلالة على القوة الأولى للمجهول. العلاقة بين هذا الاصطلاح و $x$ ينسبها كاجوري إلى جوستاف فيرتهايم ، لكن كاجوري (1919:699؛ 1928:382) لم يجد أي دليل يدعم ذلك.

[102] كاجوري (1919 : 699)

[103] انظر، على سبيل المثال، محاضرة TED التي ألقاها تيري مور، بعنوان "لماذا يعتبر 'س' هو المجهول؟" ، والتي صدرت في عام 2012.

[104] ألكالا (1505)

[105] لاغارد (1884) .

[106] جاكوب (1903 : 519) .

[107] يذكر رايدر (1982) خمسة كتب في الجبر نُشرت بالإسبانية في القرن السادس عشر، جميعها تستخدم كلمة "cosa": أوريل (1552) ، أورتيغا (1552) ، دييز (1556) ، بيريز دي مويا (1562) ، ونونيس (1567) . ويختصر العملان الأخيران كلمة "cosa " إلى " co. " - كما يفعل بويغ (1672) .

[108] هذه الأشكال غائبة عن Alonso (1986) و Kasten & Cody (2001) و Oelschläger (1940) ومجموعة النصوص التاريخية الإسبانية على الإنترنت التابعةللأكاديمية الملكية الإسبانية ( CORDE ) ومجموعة النصوص الإسبانية لديفيز .

[109] "لماذا س؟" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-05-2019 .

[110] ستريك (1969)، 367.

[auto3-111] 1 2
تانتون 2005 ، ص 10
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
كوري 2024 ، § مأزق مع الأساليب الجذرية

[mwDsc] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDso] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDs0] كوري 2024 ، § مأزق مع الأساليب الجذرية

[auto7-112] 
تانتون 2005 ، ص 10
كفاس 2006 ، ص 308
كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر

[mwDtY] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDtk] كفاس 2006 ، ص 308

[mwDtw] كوري 2024 ، § النظرية الأساسية للجبر

[auto2-113] 
كفاس 2006 ، الصفحات 314-345
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
كوري 2024 ، § نظرية غالوا، § تطبيقات نظرية الزمر

[mwDuU] كفاس 2006 ، الصفحات 314-345

[mwDug] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDus] كوري 2024 ، § نظرية غالوا، § تطبيقات نظرية الزمر

[114] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
تانتون 2005 ، ص 10
كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي
هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[mwDvQ] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDvc] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDvo] كوري 2024 ، § الجبر الهيكلي

[mwDvw] هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[115] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
تانتون 2005 ، ص 10
كوري 2024 ، § المصفوفات، § الكواترنيونات والمتجهات

[mwDwc] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDwo] تانتون 2005 ، ص 10

[mwDw0] كوري 2024 ، § المصفوفات، § الكواترنيونات والمتجهات

[116] 
ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي
كوري 2024 ، § هيلبرت وستينيتز، § نوثر وأرتين
هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[mwDxY] ميرزلياكوف وشيرشوف 2020 ، § مسح تاريخي

[mwDxk] كوري 2024 ، § هيلبرت وستينيتز، § نوثر وأرتين

[mwDxs] هازوينكل 1994 ، الصفحات 73-74

[117] 
غراتزر 2008 ، ص. 7
تشانغ وكايسلر 1990 ، ص 603
كنوبل 2011 ، ص 5
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwDyY] غراتزر 2008 ، ص. 7

[mwDyo] تشانغ وكايسلر 1990 ، ص 603

[mwDy8] كنوبل 2011 ، ص 5

[mwDzM] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[118] 
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
كلاينر 2007 ، ص 100
كارلسون 2024 ، § تاريخ الطوبولوجيا

[mwDz4] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwD0I] كلاينر 2007 ، ص 100

[mwD0Y] كارلسون 2024 ، § تاريخ الطوبولوجيا

[119] 
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
ويبل 1995 ، ص. 11، 4

[mwD08] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwD1M] ويبل 1995 ، ص. 11، 4

[120] 
كرومر 2007 ، ص 61
لاوس 1998 ، ص 100

[mwD14] كرومر 2007 ، ص 61

[mwD2I] لاوس 1998 ، ص 100

[121] 
هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75
برات 2022 ، § 6. الجبر الحر

[mwD20] هازوينكل 1994 ، الصفحات 74-75

[mwD3E] برات 2022 ، § 6. الجبر الحر

[Carl_Boyer_For_Al_Khwarizmi-122] ١ ٢ ٣ ٤ ( بوير ١٩٩١ ، "الهيمنة العربية"، ص ٢٢٨) "يُطلق على ديوفانتوس أحيانًا لقب "أبو الجبر"، لكن هذا اللقب أنسب لأبي عبد الله بن مرسمي الخوارزمي. صحيح أن عمل الخوارزمي مثّل تراجعًا عن عمل ديوفانتوس من ناحيتين. أولًا، هو على مستوى أبسط بكثير من مستوى مسائل ديوفانتوس، وثانيًا، جبر الخوارزمي بلاغي تمامًا، خالٍ من الإيقاع المتقطع الموجود في كتاب الحساب اليوناني أو في عمل براهماغوبتا. حتى الأعداد كانت تُكتب بالكلمات لا بالرموز! من غير المرجح أن يكون الخوارزمي على دراية بعمل ديوفانتوس، لكن لا بد أنه كان ملمًا على الأقل بالجوانب الفلكية والحسابية من كتاب براهماغوبتا؛ ومع ذلك، لم يكن الخوارزمي ولم يستخدم علماء اللغة العربية الآخرون الإيقاع المتقطع أو الأعداد السالبة.

[123] هيرسكوفيتش ، نيكولاس؛ لينشيفسكي، ليورا (1 يوليو 1994). "فجوة معرفية بين الحساب والجبر". دراسات تربوية في الرياضيات . 27 (1): 59-78 . doi : 10.1007/BF01284528 . ISSN 1573-0816 . S2CID 119624121. كان هذا الأمر ليُشكّل مفاجأة للخوارزمي، الذي يُعتبر أبو الجبر (بوير/ميرزباخ، 1991)، والذي أدخله إلى عالم البحر الأبيض المتوسط حوالي القرن التاسع.

[124] دودج ، يادولاه (2008). الموسوعة الموجزة للإحصاء . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا . ص 1. ISBN 9780387317427. مصطلح الخوارزمية يأتي من النطق اللاتيني لاسم عالم الرياضيات الخوارزمي الذي عاش في بغداد في القرن التاسع وكان أبو الجبر.

[125] ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 31) "يدفع فان دير فاردن نسب الجبر إلى نقطة لاحقة في الزمن، بدءًا من عالم الرياضيات الخوارزمي"

[John_Derbyshire_For_Diophantus-126] ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 31) "عاش ديوفانتوس، أبو الجبر، الذي سميت هذا الفصل تكريماً له، في الإسكندرية، في مصر الرومانية، إما في القرن الأول أو الثاني أو الثالث الميلادي."

[127] ج. سيسيانو، ك. فوغل، "ديوفانتوس"، قاموس السير العلمية (نيويورك، 1970-1990)، "لم يكن ديوفانتوس، كما يُطلق عليه غالبًا، أبو الجبر".

[128] ( ديربيشاير 2006 ، "أبو الجبر" ص 31) "يعتبر كورت فوغل، على سبيل المثال، في كتابه في قاموس السير العلمية ، أن عمل ديوفانتاوس ليس أكثر جبرية من عمل البابليين القدماء"

[129] ( بوير 1991 ، "الهيمنة العربية"، ص 230) "إن الحالات الست للمعادلات المذكورة أعلاه تستنفد جميع الاحتمالات للمعادلات الخطية والتربيعية ذات الجذر الموجب. لقد كان شرح الخوارزمي منهجياً وشاملاً لدرجة أنه لا بد أن قراءه لم يجدوا صعوبة تذكر في استيعاب الحلول."

[Katz2006-130] كاتز، فيكتور ج. (2006). "مراحل في تاريخ الجبر وآثارها على التدريس" (ملف PDF) . فيكتور ج. كاتز، جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة : 190. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 27 مارس 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 أغسطس 2019 - عبر جامعة مقاطعة كولومبيا، واشنطن العاصمة، الولايات المتحدة الأمريكية. أول نص حقيقي في الجبر لا يزال موجودًا هو كتاب الجبر والمقابلة لمحمد بن موسى الخوارزمي، الذي كُتب في بغداد حوالي عام 825.

[131] أوكس، جيفري (2014). موسوعة أكسفورد للإسلام والفلسفة والعلوم والتكنولوجيا . ص 458. إن أحكام المؤرخين الذين يقللون من شأن الخوارزمي إما لافتقاره إلى الأصالة أو يفرضون عليه لقب "مخترع علم الجبر" تفترض مسبقًا نموذجًا غربيًا حديثًا للإنجاز الرياضي لا ينطبق على عالمنا في القرن التاسع. تستند شهرة الخوارزمي في العالم الإسلامي إلى نجاحه في تأليف كتبٍ لعبت دورًا تأسيسيًا في الدراسة العملية وفي البحث العلمي اللاحق.

[132] كريستيانيديس، جان (2007). "طريقة ديوفانتوس: بعض التوضيحات حول طريقة ديوفانتوس في الحل". تاريخ الرياضيات . 34 (3): 303. دوى : 10.1016/j.hm.2006.10.003 .

[1]

[2]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 38 ].

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[

[

[ 56 ]

[ 57 ]

الذي

الجبر

ببيت

،

الذي

، وله أكثر

[

[

[

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ ٨٠ ]

[

[

[

84 ] في

85

86 ]

[

[

[ 89 ]

[ 90 ]

[

[ 92 ]

[ 93 ]

[

[ 95 ]

[ 96 ]

[ 97 ]

[ 98 ]

[ 99 ]

100 ]

[ 101 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗