نظرية بلوخ

في فيزياء المادة المكثفة ، تنص نظرية بلوخ على أن حلول معادلة شرودنجر في جهد دوري يمكن التعبير عنها كموجات مستوية معدلة بواسطة دوال دورية . سميت النظرية على اسم الفيزيائي السويسري فيليكس بلوخ ، الذي اكتشف النظرية في عام 1929. ^[1] رياضيًا، يتم كتابتها ^[2]

دالة بلوخ

$\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )$

حيث هو الموضع، هو دالة الموجة ، هي دالة دورية بنفس دورية البلورة، متجه الموجة هو متجه زخم البلورة ، هو عدد أويلر ، و هي الوحدة التخيلية . $\mathbf {r}$ $\psi$ $u$ $\mathbf {k}$ $e$ $i$

تُعرف وظائف هذا النموذج باسم وظائف بلوخ أو حالات بلوخ ، وتعمل كأساس مناسب للوظائف الموجية أو حالات الإلكترونات في المواد الصلبة البلورية .

إن وصف الإلكترونات من حيث وظائف بلوخ، والتي تسمى إلكترونات بلوخ (أو في كثير من الأحيان موجات بلوخ )، يشكل أساس مفهوم هياكل النطاق الإلكتروني .

تُكتب هذه الحالات الذاتية بعلامات سفلية مثل ، حيث هو مؤشر منفصل، يُسمى مؤشر النطاق ، وهو موجود لأن هناك العديد من الدوال الموجية المختلفة بنفس القيمة (لكل منها مكون دوري مختلف ). داخل النطاق (أي بالنسبة للثابت )، يتغير باستمرار مع ، كما تتغير طاقته. أيضًا، يكون فريدًا فقط حتى متجه شبكي متبادل ثابت ، أو، . لذلك، يمكن تقييد متجه الموجة بمنطقة بريلوين الأولى للشبكة المتبادلة دون فقدان العمومية . $\psi _{n\mathbf {k} }$ $n$ $\mathbf {k}$ $u$ $n$ $\psi _{n\mathbf {k} }$ $\mathbf {k}$ $\psi _{n\mathbf {k} }$ $\mathbf {K}$ $\psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}$ $\mathbf {k}$

التطبيقات والعواقب

قابلية التطبيق

المثال الأكثر شيوعًا لنظرية بلوخ هو وصف الإلكترونات في البلورة، وخاصة في توصيف الخصائص الإلكترونية للبلورة، مثل بنية النطاق الإلكتروني. ومع ذلك، فإن وصف موجة بلوخ ينطبق بشكل عام على أي ظاهرة تشبه الموجة في وسط دوري. على سبيل المثال، يؤدي الهيكل العازل الدوري في الكهرومغناطيسية إلى بلورات فوتونية ، ويؤدي الوسط الصوتي الدوري إلى بلورات فونونية . يتم التعامل معها عمومًا في الأشكال المختلفة لنظرية الانعراج الديناميكية .

متجه الموجة

يمكن تقسيم دالة موجة بلوخ (أسفل) إلى حاصل ضرب دالة دورية (أعلى) وموجة مستوية (وسط). يمثل الجانب الأيسر والجانب الأيمن نفس حالة بلوخ مقسمة بطريقتين مختلفتين، تتضمن متجه الموجة $k 1$ (يسار) أو $k 2$ (يمين). الفرق ( $k 1 - k 2$ ) هو متجه شبكي مقلوب . في جميع المخططات، الأزرق هو جزء حقيقي والأحمر هو جزء تخيلي.

افترض أن الإلكترون في حالة بلوخ حيث تكون $u$ دورية بنفس دورية الشبكة البلورية. يتم تحديد الحالة الكمومية الفعلية للإلكترون بالكامل بواسطة ، وليس $k$ أو $u$ مباشرة. هذا مهم لأن $k$ و $u$ ليسا فريدين . على وجه التحديد، إذا كان من الممكن كتابتها كما هو موضح أعلاه باستخدام $k$ ، فيمكن أيضًا كتابتها باستخدام $($ $k$ $+$ $K$ $)$ ، حيث $K$ هو أي متجه شبكي متبادل (انظر الشكل على اليمين). لذلك، فإن متجهات الموجة التي تختلف بمتجه شبكي متبادل تكون متكافئة، بمعنى أنها تميز نفس مجموعة حالات بلوخ. $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$ $\psi$ $\psi$

منطقة بريلوين الأولى هي مجموعة مقيدة من قيم $k$ مع الخاصية التي لا يوجد اثنان منها متكافئان، ومع ذلك فإن كل $k$ ممكن مكافئ لمتجه واحد (وواحد فقط) في منطقة بريلوين الأولى. لذلك، إذا قيدنا $k$ بمنطقة بريلوين الأولى، فإن كل حالة بلوخ لها $k$ فريدة . لذلك، غالبًا ما تُستخدم منطقة بريلوين الأولى لتصوير جميع حالات بلوخ بدون تكرار، على سبيل المثال في بنية النطاق، وتُستخدم لنفس السبب في العديد من الحسابات.

عندما يتم ضرب $k$ بثابت بلانك المخفض ، فإنه يساوي زخم بلورة الإلكترون . وفيما يتعلق بهذا، يمكن حساب سرعة المجموعة للإلكترون بناءً على كيفية تغير طاقة حالة بلوخ مع $k$ ؛ لمزيد من التفاصيل، راجع زخم البلورة.

مثال تفصيلي

للحصول على مثال مفصل حول كيفية حساب نتائج نظرية بلوخ في موقف محدد، راجع المقال جسيم في شبكة أحادية البعد (إمكانات دورية) .

إفادة

نظرية بلوخ - بالنسبة للإلكترونات في البلورة المثالية، هناك أساس للوظائف الموجية مع الخاصيتين التاليتين:

كل واحدة من هذه الدوال الموجية هي حالة طاقة ذاتية،
كل واحدة من هذه الدوال الموجية هي حالة بلوخ، مما يعني أنه يمكن كتابة هذه الدالة الموجية في النموذج حيث يكون $لـ u$ $($ $r$ $)$ نفس دورية البنية الذرية للبلورة، بحيث $\psi$ $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ).$

الطريقة الثانية والمكافئة لبيان النظرية هي ما يلي ^[3]

مبرهنة بلوخ - لأي دالة موجية تلبي معادلة شرودنجر ولترجمة متجه شبكي ، يوجد على الأقل متجه واحد بحيث: $\mathbf {a}$ $\mathbf {k}$ $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {a} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} }\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} ).$

دليل

استخدام دورية الشبكة

وبما أن نظرية بلوخ عبارة عن بيان حول دورية الشبكة، ففي هذا الدليل يتم ترميز جميع التناظرات كتناظرات ترجمة للدالة الموجية نفسها.

الإثبات باستخدام دورية الشبكة

المصدر: ^[4]

المقدمات: تماثلات البلورات، والشبكة، والشبكة التبادلية

الخاصية المميزة للبلورة هي التناظر الانتقالي، مما يعني أنه إذا تحركت البلورة بمقدار مناسب، فإنها تنتهي بكل ذراتها في نفس الأماكن. (لا يمكن للبلورة ذات الحجم المحدود أن تتمتع بتناظر انتقالي مثالي، ولكنها تقريب مفيد.)

تحتوي البلورة ثلاثية الأبعاد على ثلاثة متجهات شبكية بدائية $a 1 و a 2 و a 3.$ إذا تحركت البلورة بواسطة أي من هذه المتجهات الثلاثة، أو مجموعة منها على هيئة حيث $n$ $i$ هي ثلاثة أعداد صحيحة، فإن الذرات تنتهي في نفس مجموعة المواقع التي بدأت منها. $n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3},$

هناك عنصر آخر مفيد في الإثبات وهو متجهات الشبكة العكسية . وهي ثلاثة متجهات $b 1 و b 2 و b 3$ (بوحدات طول عكسية)، ولها الخاصية التي مفادها أن $a i \cdot b i = 2 π$ ، ولكن $a i \cdot b j = 0$ عندما $i \neq j$ . (بالنسبة لصيغة $b i$ ، انظر متجه الشبكة العكسي .)

مبرهنة حول مشغلي الترجمة

لنفترض أن هناك عامل ترجمة يحول كل دالة موجية بمقدار $n$ $1$ $a$ $1$ $+$ $n$ $2$ $a$ $2$ $+$ $n$ $3$ $a$ $3$ (كما هو موضح أعلاه، $n$ $j$ هي أعداد صحيحة). الحقيقة التالية مفيدة لإثبات نظرية بلوخ: ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$

الفرضية - إذا كانت دالة الموجة $ψ$ هي حالة ذاتية لجميع مشغلات الترجمة (في وقت واحد)، فإن $ψ$ هي حالة بلوخ.

دليل على المبرهنة

افترض أن لدينا دالة موجية $ψ$ وهي حالة ذاتية لجميع مشغلات الترجمة. كحالة خاصة لهذا، بالنسبة إلى $j$ $= 1، 2، 3$ ، حيث $C$ $j$ هي ثلاثة أرقام ( القيم الذاتية ) التي لا تعتمد على $r$ . من المفيد كتابة الأرقام $C$ $j$ في شكل مختلف، عن طريق اختيار ثلاثة أرقام $θ$ $1$ $و$ $θ$ $2$ $و$ $θ$ $3$ مع $e$ $2$ $πiθ$ $j$ $=$ $C$ $j$ : مرة أخرى، $θ$ $j$ هي ثلاثة أرقام لا تعتمد على $r$ . عرف $k$ $=$ $θ$ $1$ $b$ $1$ $+$ $θ$ $2$ $b$ $2$ $+$ $θ$ $3$ $b$ $3$ ، حيث $b$ $j$ هي متجهات الشبكة المعكوسة (انظر أعلاه). أخيرًا، عرف ثم يثبت هذا أن $u$ لها دورية الشبكة. وبما أن ذلك يثبت أن الحالة هي حالة بلوخ. $\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )$ $\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )$ $u(\mathbf {r} )=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.$ ${\begin{aligned}u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})&=e^{-i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})\\&={\big (}e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}\\&=e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }e^{-2\pi i\theta _{j}}e^{2\pi i\theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )\\&=u(\mathbf {r} ).\end{aligned}}$ $\psi (\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),$

وأخيرًا، نحن مستعدون للدليل الرئيسي لنظرية بلوخ والذي هو على النحو التالي.

كما هو مذكور أعلاه، دعونا نشير إلى عامل ترجمة يحول كل دالة موجية بمقدار $n$ $1$ $a$ $1$ $+$ $n$ $2$ $a$ $2$ $+$ $n$ $3$ $a$ $3$ ، حيث $n$ $i$ أعداد صحيحة. ولأن البلورة لها تماثل ترجمي، فإن هذا العامل يتبادل مع عامل هاميلتوني . علاوة على ذلك، فإن كل عامل ترجمة من هذا القبيل يتبادل مع كل عامل آخر. لذلك، هناك أساس ذاتي متزامن لعامل هاميلتوني وكل عامل محتمل. هذا الأساس هو ما نبحث عنه. الدوال الموجية في هذا الأساس هي حالات ذاتية للطاقة (لأنها حالات ذاتية لعامل هاميلتوني)، وهي أيضًا حالات بلوخ (لأنها حالات ذاتية لعوامل الترجمة؛ انظر المبرهنة أعلاه). ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$

استخدام المشغلات

في هذا الدليل، يتم ترميز جميع التناظرات كخصائص تبديل لمشغلات الترجمة

الإثبات باستخدام المشغلات

المصدر: ^[5]

نُعرِّف عامل الترجمة بـ نستخدم فرضية الجهد الدوري المتوسط وتقريب الإلكترون المستقل مع هاملتوني ونظرًا لأن هاملتوني ثابت للترجمات، فإنه يجب أن يتبادل مع عامل الترجمة ويجب أن يكون لدى العاملين مجموعة مشتركة من الدوال الذاتية. لذلك، نبدأ في النظر إلى الدوال الذاتية لعامل الترجمة: يُعطى عامل إضافي إذا استبدلنا هنا معادلة القيمة الذاتية وقسمنا كلا الطرفين على لدينا ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })\\&=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {A} \mathbf {n} )\end{aligned}}$ $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{3}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {n} ={\begin{pmatrix}n_{1}\\n_{2}\\n_{3}\end{pmatrix}}$ $U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )$ ${\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )$ $[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0$ ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )$ ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }$ ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}}{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} _{1}+\mathbf {A} \mathbf {n} _{2})={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}\psi (\mathbf {x} )$ $\psi (\mathbf {x} )$ $\lambda _{\mathbf {n} _{1}}\lambda _{\mathbf {n} _{2}}=\lambda _{\mathbf {n} _{1}+\mathbf {n} _{2}}$

هذا صحيح بالنسبة لـ حيث إذا استخدمنا شرط التطبيع على خلية بدائية واحدة بحجم V وبالتالي وحيث . وأخيرًا، هذا صحيح بالنسبة لموجة بلوخ أي بالنسبة لـ مع $\lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }$ $s\in \mathbb {C}$ $1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}\left|{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )\right|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x}$ $1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}$ $s=ik$ $k\in \mathbb {R}$ $\mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} ),$ $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {A} \mathbf {n} )$

استخدام نظرية المجموعة

بصرف النظر عن التفاصيل الفنية لنظرية المجموعة، فإن هذا الدليل مثير للاهتمام لأنه يوضح كيفية تعميم نظرية بلوخ للمجموعات التي ليست مجرد ترجمات. يتم ذلك عادةً للمجموعات الفضائية التي هي مزيج من الترجمة ومجموعة النقاط ويتم استخدامها لحساب بنية النطاق والطيف والحرارة النوعية للبلورات مع إعطاء تماثل مجموعة بلورية محددة مثل FCC أو BCC وفي النهاية أساس إضافي . ^[6]^{: 365-367}^[7] في هذا الدليل، من الممكن أيضًا ملاحظة مدى أهمية أن المجموعة النقطية الإضافية مدفوعة بتماثل في الجهد الفعّال ولكنها ستنتقل مع هاميلتونيان.

الإثبات باستخدام نظرية الشخصية ^[6]^{: 345-348}

جميع الترجمات وحدوية وأبيلية . يمكن كتابة الترجمات من حيث متجهات الوحدة، ويمكننا أن نفكر في هذه باعتبارها مشغلات انتقالية حيث ${\boldsymbol {\tau }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}\mathbf {a} _{i}$ ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}={\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{2}{\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{3}$ ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}=n_{i}{\hat {\mathbf {a} }}_{i}$

إن قابلية تبديل العوامل تعطي ثلاث مجموعات فرعية دورية قابلة للتبديل (بشرط أن يتم إنشاؤها بواسطة عنصر واحد فقط) وهي مجموعات لا نهائية وأحادية البعد وأبيلية. كل التمثيلات غير القابلة للاختزال للمجموعات الأبيلية هي أحادية البعد. ^[8] ${\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{i}$

نظرًا لأنها أحادية البعد، فإن تمثيل المصفوفة والحرف متماثلان . والحرف هو التمثيل على الأعداد المركبة للمجموعة أو أيضًا أثر التمثيل الذي يكون في هذه الحالة مصفوفة أحادية البعد. كل هذه المجموعات الفرعية، نظرًا لأنها دورية، فإنها تحتوي على أحرف تمثل جذورًا مناسبة للوحدة . في الواقع ، لديهم مولد واحد يجب أن يطيع ، وبالتالي فإن الحرف . لاحظ أن هذا واضح في حالة المجموعة الدورية المحدودة ولكن في الحالة اللانهائية القابلة للعد للمجموعة الدورية اللانهائية (أي مجموعة الترجمة هنا) يوجد حد لمكان بقاء الحرف محدودًا. $\gamma$ $\gamma ^{n}=1$ $\chi (\gamma )^{n}=1$ $n\to \infty$

وبما أن الحرف هو جذر الوحدة، فيمكن كتابة الحرف لكل مجموعة فرعية على النحو التالي: $\chi _{k_{1}}({\hat {\boldsymbol {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}$

إذا قدمنا شرط حدود بورن-فون كارمان على الإمكانات: حيث L هي دورية كليانية في الاتجاه الذي يمكن رؤيته أيضًا كمضاعف لـ حيث $V\left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )$ $\mathbf {a}$ $a_{i}$ ${\textstyle \mathbf {L} =\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

يؤدي هذا الاستبدال في معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن بمعادلة هاميلتونية فعالة بسيطة إلى حدوث دورية مع الدالة الموجية: ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$ $\psi \left(\mathbf {r} +\sum _{i}N_{i}\mathbf {a} _{i}\right)=\psi (\mathbf {r} )$

ولكل بُعد عامل ترجمة بفترة L ${\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}$

من هنا يمكننا أن نرى أن الحرف أيضًا يجب أن يكون ثابتًا عن طريق ترجمة : ومن المعادلة الأخيرة نحصل لكل بُعد على شرط دوري: حيث هو عدد صحيح و $L_{i}$ $e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}$ $k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}$ $m_{1}\in \mathbb {Z}$ $k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}$

يحدد متجه الموجة التمثيل غير القابل للاختزال بنفس الطريقة التي يحدد بها ، وهو طول دوري كبير للبلورة في الاتجاه . في هذا السياق، يعمل متجه الموجة كرقم كمي لمشغل الترجمة. $k_{1}$ $m_{1}$ $L_{1}$ $a_{1}$

يمكننا تعميم ذلك على الأبعاد الثلاثة وتصبح الصيغة العامة لدالة الموجة: أي تخصصها للترجمة وقد أثبتنا نظرية بلوخ. $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)$ ${\hat {P}}_{\varepsilon |{\boldsymbol {\tau }}}\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )e^{i\mathbf {k} \cdot {\boldsymbol {\tau }}}=\psi (\mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }})$

في النسخة المعممة من نظرية بلوخ، يتم تعميم تحويل فورييه، أي توسع الدالة الموجية، من تحويل فورييه المنفصل الذي ينطبق فقط على المجموعات الدورية، وبالتالي الترجمات، إلى توسع خصائص الدالة الموجية حيث يتم إعطاء الخصائص من مجموعة النقاط المحدودة المحددة .

من الممكن أيضًا أن نرى هنا كيف يمكن التعامل مع الشخصيات (باعتبارها ثوابت للتمثيلات غير القابلة للاختزال) باعتبارها اللبنات الأساسية بدلاً من التمثيلات غير القابلة للاختزال نفسها. ^[9]

السرعة والكتلة الفعالة

إذا طبقنا معادلة شرودنغر المستقلة عن الزمن على دالة موجة بلوخ فإننا نحصل عليها مع الظروف الحدودية ونظرًا لأن هذا محدد في حجم محدود فإننا نتوقع عائلة لا نهائية من القيم الذاتية؛ وهنا معلمة هاميلتونيان وبالتالي نصل إلى "عائلة متصلة" من القيم الذاتية التي تعتمد على المعلمة المستمرة وبالتالي إلى المفهوم الأساسي لبنية النطاق الإلكتروني. ${\hat {H}}_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left[{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right]u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )$ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )$ ${\mathbf {k} }$ $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )$ ${\mathbf {k} }$

الدليل ^[10]

$E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )\right]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)$

نحن نبقى مع ${\begin{aligned}E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\\[1.2ex]E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )&={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\end{aligned}}$

يوضح هذا كيف يمكن اعتبار الزخم الفعال مكونًا من جزأين، زخم قياسي وزخم بلوري . وبصورة أكثر دقة، فإن زخم البلورة ليس زخمًا ولكنه يمثل الزخم بنفس الطريقة التي يمثل بها الزخم الكهرومغناطيسي في الاقتران الأدنى ، وكجزء من التحويل القياسي للزخم. ${\hat {\mathbf {p} }}_{\text{eff}}=-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} ,$ $-i\hbar \nabla$ $\hbar \mathbf {k}$

بالنسبة للسرعة الفعالة يمكننا استخلاصها

متوسط سرعة إلكترون بلوخ

${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle$

الدليل ^[11]

نقوم بتقييم المشتقات ونعطيها معاملات التوسع التالي في $q$ حيث يعتبر $q$ صغيرًا بالنسبة إلى $k.$ القيم الذاتية المعطاة يمكننا أن نفكر في مشكلة الاضطراب التالية في q: تنص نظرية الاضطراب من الدرجة الثانية على أنه للحساب إلى الترتيب الخطي في $q$ حيث تكون التكاملات على خلية بدائية أو البلورة بأكملها، مع العلم أن التكامل مُوحد عبر الخلية أو البلورة. ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}$ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$ $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})$ $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )$ ${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }$ ${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}$ $E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...$ $\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }$ $\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }$

يمكننا التبسيط على $q$ للحصول على ويمكننا إعادة إدراج الدوال الموجية الكاملة ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }$ ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,\psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }$

من أجل الكتلة الفعالة

نظرية الكتلة الفعالة

${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

الدليل ^[11]

الحد من الدرجة الثانية مرة أخرى مع الحذف ولدينا النظرية ${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$ $\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }$ ${\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}$ $q_{i}$ $q_{j}$ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

الكمية الموجودة على اليمين مضروبة بعامل تسمى موتر الكتلة الفعال ^[12] ويمكننا استخدامها لكتابة معادلة شبه كلاسيكية لحامل الشحنة في النطاق ^[13] ${\frac {1}{\hbar ^{2}}}$ $\mathbf {M} (\mathbf {k} )$

معادلة شبه كلاسيكية من الدرجة الثانية لحركة حاملة الشحنة في نطاق

$\mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} \right)$

حيث يكون التسارع . هذه المعادلة مماثلة لنوع تقريب موجة دي برولي ^[14] $\mathbf {a}$

معادلة شبه كلاسيكية من الدرجة الأولى لحركة الإلكترون في نطاق

$\hbar {\dot {k}}=-e\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)$

كتفسير بديهي، فإن المعادلتين السابقتين تشبهان رسميًا وتتشابهان بشكل شبه كلاسيكي مع قانون نيوتن الثاني للإلكترون في قوة لورنتز الخارجية .

التاريخ والمعادلات ذات الصلة

تم تطوير مفهوم حالة بلوخ بواسطة فيليكس بلوخ في عام 1928 ^[15] لوصف توصيل الإلكترونات في المواد الصلبة البلورية. ومع ذلك، تم اكتشاف نفس الرياضيات الأساسية بشكل مستقل عدة مرات: بواسطة جورج ويليام هيل (1877)، ^[16] جاستون فلوكيه (1883)، ^[17] وألكسندر ليابونوف (1892). ^[18] ونتيجة لذلك، فإن مجموعة متنوعة من التسميات شائعة: عند تطبيقها على المعادلات التفاضلية العادية ، تسمى نظرية فلوكيه (أو أحيانًا نظرية ليابونوف-فلوكيه ). الشكل العام لمعادلة الجهد الدوري أحادية البعد هو معادلة هيل : ^[19] حيث $f$ $($ $t$ $)$ هي جهد دوري. تتضمن المعادلات الدورية أحادية البعد المحددة نموذج كرونيج-بيني ومعادلة ماثيو . ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,$

من الناحية الرياضية، يتم تفسير نظرية بلوخ من حيث الخصائص الوحدوية لمجموعة الشبكة، ويتم تطبيقها على الهندسة الطيفية . ^[20]^[21]^[22]

انظر أيضا

مراجع

^ بلوخ ، ف. (1929). Über die quantenmechanik der electronen in crystalgittern. Zeitschrift für physik, 52(7)، 555-600.
^ كيتل، تشارلز (1996). مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة . نيويورك: وايلي. ISBN 0-471-14286-7.
^ زيمان، جيه إم (1972). مبادئ نظرية المواد الصلبة (الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص 17-20. رقم ISBN 0521297338.
^ أشكروفت وميرمين 1976، ص 134
^ أشكروفت وميرمين 1976، ص 137
^ ab Dresselhaus, MS (2002). "Applications of Group Theory to the Physics of Solids" (PDF) . MIT . مؤرشف من الأصل (PDF) في 1 نوفمبر 2019. تم الاسترجاع في 12 سبتمبر 2020 .
^ الطيف الاهتزازي والحرارة النوعية لبلورة مكعبة ذات وجه مركزي، روبرت ب. ليجتون [1]
^ روي، ريكي (2 مايو 2010). "نظرية التمثيل" (PDF) . جامعة بوغيت ساوند.
^ تمثيلات المجموعة والتحليل التوافقي من أويلر إلى لانجلاندز، الجزء الثاني [2]
^ أشكروفت وميرمين 1976، ص 140
^ ab Ashcroft & Mermin 1976، ص 765 الملحق E
^ أشكروفت وميرمين 1976، ص 228
^ أشكروفت وميرمين 1976، ص 229
^ أشكروفت وميرمين 1976، ص 227
^ فيليكس بلوخ (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 52 (7-8): 555-600. بيب كود :1929ZPhy...52..555B. دوى :10.1007/BF01339455. S2CID 120668259.
^ جورج ويليام هيل (1886). "في الجزء من حركة الحضيض القمري الذي يعتبر دالة للحركات المتوسطة للشمس والقمر". Acta Math . 8 : 1–36. doi : 10.1007/BF02417081 .تم نشر هذا العمل وتوزيعه لأول مرة بشكل خاص في عام 1877.
^ جاستون فلوكيت (1883). “حول المعادلات التفاضلية الخطية للمعاملات الدورية”. الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة . 12 : 47-88. دوى : 10.24033/asens.220 .
^ ألكسندر ميهايلوفيتش ليابونوف (1992). المشكلة العامة لاستقرار الحركة . لندن: تايلور وفرانسيس.ترجمها أ. ت. فولر من ترجمة إدوارد دافو الفرنسية (1907) للأطروحة الروسية الأصلية (1892).
^ ماجنوس، و ؛ وينكلر، س (2004). معادلة هيل. كورير دوفر. ص. 11. ISBN 0-486-49565-5.
^ Kuchment, P.(1982)، نظرية فلوكيه للمعادلات التفاضلية الجزئية ، RUSS MATH SURV.، 37، 1–60
^ كاتسودا، أ.؛ سونادا، ت. (1987). "التماثل والجيوديسيات المغلقة في سطح ريمان مضغوط". مجلة الرياضيات الأمريكية . 110 (1): 145-156. doi :10.2307/2374542. JSTOR 2374542.
^ Kotani M؛ Sunada T. (2000). "الخرائط الألبانية ومخطط مقارب طويل المدى غير قطري لنواة الحرارة". Comm. Math. Phys . 209 (3): 633–670. Bibcode :2000CMaPh.209..633K. doi :10.1007/s002200050033. S2CID 121065949.

قراءة إضافية

أشكروفت، نيل ؛ ميرمين، ن. ديفيد (1976). فيزياء الحالة الصلبة. نيويورك: هولت، رينهارت ووينستون. ISBN 978-0-03-083993-1.
Dresselhaus, MS (2010). نظرية المجموعة: التطبيق على فيزياء المادة المكثفة. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1. OCLC 692760083.
هـ. فول. "الجهود الدورية ونظرية بلوخ - محاضرات في "أشباه الموصلات 1"". جامعة كيل.
MSP Eastham (1973). النظرية الطيفية للمعادلات التفاضلية الدورية . نصوص في الرياضيات. إدنبرة: المطبعة الأكاديمية الاسكتلندية.
J. Gazalet؛ S. Dupont؛ JC Kastelik؛ Q. Rolland & B. Djafari-Rouhani (2013). "دراسة استقصائية تعليمية حول الموجات المنتشرة في الوسائط الدورية: البلورات الإلكترونية والفوتونية والفونونية. إدراك نظرية بلوخ في كل من المجالين الحقيقي وفورييه". Wave Motion . 50 (3): 619-654. doi :10.1016/j.wavemoti.2012.12.010.