قانون الوسط المرفوع

يكتب ويليام هاميلتون في تاريخ ما يسمى بقوانين الفكر :

إن قانون الوسط المرفوع بين نقيضين يعود، كما ذكرتُ، إلى أفلاطون أيضاً ، مع أن حوار ألكيبيادس الثاني ، الذي يُعبَّر فيه عنه بوضوح تام، يُعتبر منسوباً إليه زوراً. وهو موجود أيضاً في شذرات كتاب أرخيتاس الزائف ، الذي يُعثر عليه في كتاب ستوبايوس . [هاميلتون، محاضرات في المنطق، المجلد الخامس، ص 65]

ويشير هاميلتون كذلك إلى أن " أرسطو قد صرّح بذلك صراحةً وبشدة في العديد من مواضع كتابه " الميتافيزيقا " (الكتاب الثالث، الفصل الرابع، الفقرة 7) وكتابه "التحليلات " ، بجزأيه الأول (الكتاب الثاني) والثاني (الكتاب الأول، الفصل الرابع). في الأول منهما، يقول: "من المستحيل أن يوجد أي حل وسط بين المتناقضات، بل من الضروري إما تأكيد كل شيء أو نفيه". [هاميلتون، محاضرات في المنطق، 65]

شكلها المعتاد، "كل حكم إما صحيح أو خاطئ" [الحاشية 9] ..."(من كولموغوروف في فان هيجينورت، ص 421) الحاشية 9: "هذه هي صياغة لايبنتز البسيطة للغاية (انظر المقالات الجديدة ، الجزء الرابع، 2)" (المرجع نفسه، ص 421)

وقد تم صياغة المبدأ كنظرية في منطق القضايا من قبل راسل ووايتهيد في كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" على النحو التالي:

✸2.1 ~ p ∨ p ^{[ 6 ]}

منذ أواخر القرن التاسع عشر وحتى ثلاثينيات القرن العشرين، خاض هيلبرت وأتباعه نقاشاً حاداً ومستمراً مع هيرمان فايل ولي يو براور . بدأت فلسفة براور، التي تُسمى الحدسية ، بشكل جدي مع ليوبولد كرونكر في أواخر القرن التاسع عشر.

كان هيلبرت يكره أفكار كرونكر بشدة:

أصرّ كرونكر على أنه لا وجود لشيء دون بناء. فبالنسبة له، كما هو الحال بالنسبة لبول غوردان [عالم رياضيات مسن آخر]، فإن برهان هيلبرت على محدودية أساس النظام الثابت ليس رياضيات. من ناحية أخرى، ظل هيلبرت طوال حياته يصرّ على أنه إذا أمكن إثبات أن الصفات المنسوبة إلى مفهوم ما لن تؤدي أبدًا إلى تناقض، فإن الوجود الرياضي لهذا المفهوم يكون قد ثبت (ريد، ص 34).

كان رأيه [كرونيكر] أنه لا يمكن القول بأن أي شيء له وجود رياضي إلا إذا كان من الممكن بناؤه فعليًا باستخدام عدد محدود من الأعداد الصحيحة الموجبة (ريد ص 26).

كان للنقاش أثر عميق على هيلبرت. ويشير ريد إلى أن مشكلة هيلبرت الثانية (إحدى مشاكل هيلبرت من المؤتمر الدولي الثاني في باريس عام 1900) تطورت من هذا النقاش (الخط المائل في الأصل):

في مشكلته الثانية، طلب [هيلبرت] برهانًا رياضيًا على اتساق بديهيات حساب الأعداد الحقيقية.

ولإظهار أهمية هذه المشكلة، أضاف الملاحظة التالية:

"إذا تم إسناد سمات متناقضة إلى مفهوم ما، فأقول إن المفهوم غير موجود رياضياً " (ريد، ص 71).

وهكذا، كان هيلبرت يقول: "إذا ثبت أن p و ~ p كلاهما صحيح، فإن p غير موجود"، مستدعياً ​​قانون الوسط المرفوع في شكل قانون التناقض.

وأخيرًا، حصر البنائيون الرياضيات في دراسة العمليات الملموسة على البنى المحدودة أو التي يُحتمل (ولكن ليس بالضرورة) أن تكون غير محدودة؛ ورفضوا الكليات غير المحدودة المكتملة، كما رفضوا البرهان غير المباشر القائم على قانون الوسط المرفوع. وكان أكثر البنائيين راديكاليةً هم الحدسيون، بقيادة عالم الطوبولوجيا السابق إل إي جيه براور (داوسون، ص 49).

استمر الجدل الحاد خلال أوائل القرن العشرين وحتى عشرينياته؛ ففي عام ١٩٢٧، اشتكى براور من "الجدال ضدها [الحدسية] بنبرة ساخرة" (براور في فان هيجينورت، ص ٤٩٢). لكن هذا الجدل كان مثمرًا: فقد أسفر عن كتاب " مبادئ الرياضيات " (١٩١٠-١٩١٣)، الذي حدد بدقة قانون الوسط المرفوع، ووفر كل هذا بيئة فكرية والأدوات اللازمة لعلماء الرياضيات في أوائل القرن العشرين.

ومن رحم هذا الاستياء، والذي نشأ جزئياً بسببه، ظهرت العديد من التطورات المنطقية المهمة؛ وضع زيرميلو بديهيات نظرية المجموعات (1908a)، والتي تبعها بعد عامين المجلد الأول من كتاب Principia Mathematica ، والذي أظهر فيه راسل ووايتهيد كيف يمكن تطوير الكثير من الحساب عن طريق الوسائل المنطقية من خلال نظرية الأنواع (داوسون ص 49).

اختزل بروير النقاش إلى استخدام البراهين المصممة من البرهان "السلبي" أو "العدمي" مقابل البرهان "البنائي":

بحسب بروير، فإن القول بأن هناك شيئًا ما موجودًا وله خاصية معينة يعني أنه، ولا يتم إثبات ذلك إلا، عندما تكون هناك طريقة معروفة من حيث المبدأ على الأقل تمكن من إيجاد أو بناء مثل هذا الشيء...

وبالطبع، لم يوافق هيلبرت على ذلك.

وأكد قائلاً: "لقد كانت براهين الوجود الخالص أهم المعالم في التطور التاريخي لعلمنا". (ريد، ص 155)

رفض بروير قبول المبدأ المنطقي للوسط المرفوع، وكانت حجته كالتالي:

لنفترض أن العبارة A هي: "يوجد عنصر في المجموعة S يمتلك الخاصية P ". إذا كانت المجموعة منتهية، فمن الممكن - من حيث المبدأ - فحص كل عنصر من عناصر S وتحديد ما إذا كان هناك عنصر في S يمتلك الخاصية P أو أن جميع عناصر S تفتقر إلى الخاصية P. لذلك، بالنسبة للمجموعات المنتهية، قبل براور مبدأ الوسط المرفوع. لكنه رفض قبوله للمجموعات غير المنتهية لأنه إذا كانت المجموعة S غير منتهية، فلا يمكننا - حتى من حيث المبدأ - فحص كل عنصر من عناصرها. إذا وجدنا، أثناء فحصنا، عنصرًا في المجموعة يمتلك الخاصية P ، فإن الاحتمال الأول يكون صحيحًا؛ أما إذا لم نجد مثل هذا العنصر، فإن الاحتمال الثاني لا يزال غير صحيح.

بما أن النظريات الرياضية غالباً ما يتم إثباتها من خلال إثبات أن النفي سيؤدي إلى تناقض، فإن هذا الاحتمال الثالث الذي اقترحه براور من شأنه أن يثير الشكوك حول العديد من العبارات الرياضية المقبولة حالياً.

قال هيلبرت: "إن أخذ مبدأ الوسط المرفوع من عالم الرياضيات هو نفسه منع الملاكم من استخدام قبضتيه".

"لم يبدُ أن الخسارة المحتملة تزعج فايل... كان برنامج براور هو الشيء القادم، كما أصر لأصدقائه في زيورخ." (ريد، ص 149)

في محاضرته التي ألقاها عام ١٩٤١ في جامعة ييل، وفي بحثه اللاحق، اقترح غودل حلاً مفاده أن "نفي القضية الكلية يُفهم على أنه تأكيد لوجود... مثال مضاد". وكان منهجه في تناول قانون الوسط المرفوع هو التأكيد على أن الاعتراضات على "استخدام التعريفات غير التنبؤية " كانت "أكثر أهمية" من "قانون الوسط المرفوع والنظريات ذات الصلة في حساب القضايا". واقترح "نظامه Σ... " ، واختتم حديثه بذكر عدة تطبيقات لتفسيره. ومن بينها برهان على اتساق مبدأ ~ (∀A: (A ∨ ~A)) مع المنطق الحدسي (على الرغم من عدم اتساق الفرضية ∃ A: ~ (A ∨ ~A))" (داوسون، ص ١٥٧).

بدا أن النقاش قد ضعف: فالرياضيون والمنطقيون والمهندسون ما زالوا يستخدمون قانون الوسط المرفوع (والنفي المزدوج) في عملهم اليومي.

يُسلّط ما يلي الضوء على الإشكالية الرياضية والفلسفية العميقة الكامنة وراء معنى "المعرفة"، ويُساعد أيضًا في توضيح ما يستلزمه "القانون" (أي ما يعنيه القانون حقًا). وتبرز صعوباتهم مع القانون: فهم لا يرغبون في قبول الاستنتاجات المُستمدة مما لا يُمكن التحقق منه (لا يُمكن اختباره، لا يُمكن معرفته) أو مما هو مستحيل أو خاطئ، على أنها حقائق. (جميع الاقتباسات من فان هيجينورت، مع إضافة الخط المائل).

يقدم براور تعريفه لـ "مبدأ الوسط المرفوع"؛ ونرى هنا أيضًا مسألة "قابلية الاختبار":

استنادًا إلى قابلية الاختبار المذكورة آنفًا، ينطبق على الخصائص المتصورة ضمن نظام رئيسي محدود محدد "مبدأ الوسط المرفوع"، أي المبدأ القائل بأن كل خاصية في أي نظام إما صحيحة أو مستحيلة ، وعلى وجه الخصوص مبدأ تبادلية الأنواع المكملة، أي المبدأ القائل بأن صحة خاصية ما في أي نظام تتبع من استحالة استحالة هذه الخاصية. (335)

يستشهد تعريف كولموغوروف بمسلمتي هيلبرت للنفي.

5. أ → (~ أ → ب )
6. ( أ → ب ) → { (~ أ → ب ) → ب }

لم يظهر مبدأ هيلبرت الأول للنفي، "كل شيء يترتب على الخطأ"، إلا مع ظهور المنطق الرمزي، كما هو الحال مع مبدأ الاستلزام الأول... بينما... يؤكد المبدأ قيد الدراسة [المبدأ 5] شيئًا ما حول عواقب شيء مستحيل: علينا قبول ب إذا اعتُبر الحكم الصحيح أ خاطئًا...

تُعبّر بديهية هيلبرت الثانية للنفي عن مبدأ الوسط المرفوع. ويُعبّر عن هذا المبدأ هنا بالصيغة التي يُستخدم بها في الاشتقاقات: إذا كانت B تتبع من A كما تتبع من ~ A ، فإن B صحيحة. وصيغته المعتادة، "كل حكم إما صحيح أو خاطئ"، تُكافئ الصيغة المذكورة أعلاه.

انطلاقًا من التفسير الأول للنفي، أي النهي عن اعتبار الحكم صحيحًا، يستحيل الجزم بصحة مبدأ الوسط المرفوع... وقد بيّن براور أنه في حالة هذه الأحكام المتسامية، لا يمكن اعتبار مبدأ الوسط المرفوع بديهيًا.

الحاشية 9: "هذه صياغة لايبنتز البسيطة للغاية (انظر المقالات الجديدة ، الجزء الرابع، الفصل الثاني). إن صياغة " أ إما ب أو ليس ب " لا علاقة لها بمنطق الأحكام."

الحاشية 10: "يُعبَّر عن الشكل الثاني رمزياً على النحو التالي

أ ∨ ~ أ

حيث تعني ∨ "أو". ويمكن إثبات تكافؤ الشكلين بسهولة (ص  421).

البرهان المذكور أعلاه هو مثال على برهان غير بنائي يرفضه أصحاب المذهب الحدسي:

البرهان غير بنائي لأنه لا يعطي أرقامًا محددة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$التي تحقق النظرية، ولكن باحتمالين منفصلين فقط، أحدهما يجب أن يكون صحيحًا. (في الواقع)${\displaystyle a={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$(غير منطقي ولكن لا يوجد دليل سهل معروف على هذه الحقيقة.) (ديفيس 2000:220)

(ليس من الصعب تقديم براهين بناءة للمثال المحدد أعلاه؛ على سبيل المثال${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$و${\displaystyle b=\log _{2}9}$كلاهما يسهل إثبات عدم عقلانيتهما، و${\displaystyle a^{b}=3}$(وهو برهان يسمح به أصحاب الحدس).

يقصد ديفيس بـ " غير البنّاء" أن "البرهان على وجود كيانات رياضية تحقق شروطًا معينة لا يتطلب بالضرورة تقديم طريقة لعرض هذه الكيانات صراحةً" (ص  85). تفترض هذه البراهين وجود كلية كاملة، وهو مفهوم يرفضه أصحاب المذهب الحدسي عند تعميمه على اللانهائي ، إذ يرون أن اللانهائي لا يمكن أن يكتمل أبدًا.

في الرياضيات الكلاسيكية، توجد براهين وجود غير بنائية أو غير مباشرة ، لا يقبلها أصحاب المذهب الحدسي. على سبيل المثال، لإثبات وجود عدد طبيعي n بحيث يكون P ( n ) ≤ n، قد يستنتج عالم الرياضيات الكلاسيكي تناقضًا من الفرضية القائلة بأنه لكل n ، ليس P ( n ) ≤ n. وفقًا للمنطق الكلاسيكي والحدسي على حد سواء، فإن هذا يُعطي، بالبرهان بالخلف، ليس لكل n، ليس P ( n ) ≤ n. يسمح المنطق الكلاسيكي بتحويل هذه النتيجة إلى وجود عدد طبيعي n بحيث يكون P ( n ) ≤ n، ولكن ليس بشكل عام في المنطق الحدسي... المعنى الكلاسيكي، أي أنه يوجد في مكان ما ضمن المجموعة اللانهائية الكاملة للأعداد الطبيعية عدد طبيعي n بحيث يكون P ( n ) ≤ n، غير متاح له، لأنه لا يتصور الأعداد الطبيعية كمجموعة كاملة. ^{[ 8 ]} (كلين 1952: 49-50)

يُقدّم كلٌّ من هيلبرت وبروير أمثلةً على قانون الوسط المرفوع المُطبَّق على اللانهائي. مثال هيلبرت: "القول بأن عدد الأعداد الأولية إما محدود أو لانهائي" (كما ورد في ديفيس 2000: 97)؛ ومثال بروير: "كل نوع رياضي إما محدود أو لانهائي" (بروير 1923 في فان هيجينورت 1967: 336). عمومًا، يُجيز أصحاب المذهب الحدسي استخدام قانون الوسط المرفوع عند اقتصاره على الحديث عن المجموعات المحدودة، ولكن ليس عند استخدامه في الحديث عن المجموعات اللانهائية (مثل الأعداد الطبيعية). لذا، يرفض أصحاب المذهب الحدسي رفضًا قاطعًا القول المُطلق: "لكل قضية P تتعلق بمجموعات لانهائية D : P أو ~ P " (كلين 1952: 48). ^{[ 9 ]}

من الأمثلة المضادة المحتملة لقانون الوسط المرفوع مفارقة الكاذب أو مفارقة كواين . بعض حلول هذه المفارقات، ولا سيما ثنائية الحقيقة لغراهام بريست كما صاغها في كتابه "الخطاب المنطقي"، تتضمن قانون الوسط المرفوع كنظرية، لكنها تحل مفارقة الكاذب على أنها صحيحة وخاطئة في آن واحد. وبهذا، يكون قانون الوسط المرفوع صحيحًا، ولكن لأن الحقيقة نفسها، وبالتالي الفصل المنطقي، ليست حصرية، فإنه لا يُفيد كثيرًا إذا كان أحد طرفي الفصل متناقضًا، أو صحيحًا وخاطئًا في الوقت نفسه.

في المنطق الرياضي الحديث ، يُجادل بأن قاعدة الوسط المرفوع قد تؤدي إلى تناقض ذاتي محتمل . فمن الممكن في المنطق صياغة قضايا سليمة البناء لا يمكن أن تكون صحيحة ولا خاطئة؛ ومن الأمثلة الشائعة على ذلك " مفارقة الكاذب " ^{[ 12 ]} ، أي العبارة "هذه العبارة خاطئة"، والتي يُجادل بأنها في حد ذاتها ليست صحيحة ولا خاطئة. وقد جادل آرثر براير بأن هذه المفارقة ليست مثالاً على عبارة لا يمكن أن تكون صحيحة أو خاطئة. فقانون الوسط المرفوع لا يزال ساريًا هنا، إذ يمكن اعتبار نفي هذه العبارة "هذه العبارة ليست خاطئة" صحيحًا. في نظرية المجموعات ، يمكن بناء مفارقة مرجعية ذاتية كهذه من خلال فحص المجموعة "مجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها". هذه المجموعة مُعرَّفة تعريفًا واضحًا، لكنها تؤدي إلى مفارقة راسل ^{[ 13 ] [ 14 ]} : هل تحتوي هذه المجموعة، كأحد عناصرها، على نفسها؟ في نظرية زيرميلو-فرانكل الحديثة للمجموعات ، لم يعد هذا النوع من التناقض مقبولاً. علاوة على ذلك، يمكن بناء مفارقات الإشارة الذاتية دون اللجوء إلى النفي، كما في مفارقة كاري . ^{[ 15 ]}

يُعد منطق دي مورغان أحد أنواع المنطق الوسيط التي حظيت بدراسة مستفيضة ، والذي يضيف البديهية${\displaystyle \neg P\lor \neg \neg P}$إلى المنطق الحدسي ، والذي يُطلق عليه أحيانًا قانون الوسط المرفوع الضعيف.

وهذا يعادل بعض العبارات الأخرى:

• استيفاء جميع قوانين دي مورغان بما في ذلك${\displaystyle \neg (P\land Q)\,\leftrightarrow \,\neg P\lor \neg Q}$
• ${\displaystyle (P\to Q)\lor (\neg P\to \neg Q)}$
• ${\displaystyle (P\to (Q\lor \neg R))\to ((P\to Q)\lor (P\to \neg R))}$