ازدواجية بونترياجين

قبل عام 1938، ساهمت عدة تطورات فيما أصبح يُعرف باسم ثنائية بونترياجين .

قام بافيل ألكسندروف (أواخر عشرينيات القرن العشرين) بتطوير نظرية الأنظمة العكسية (الحدود الإسقاطية) في علم الطوبولوجيا، بما في ذلك ما يُسمى بأطياف الإسقاط. ورغم أنها ليست جزءًا مباشرًا من نظرية الازدواجية للمجموعات الطوبولوجية، إلا أن هذه الأساليب أدخلت استخدامًا منهجيًا للعمليات الحدية التي أصبحت فيما بعد مهمة في دراسة المجموعات غير المولدة نهائيًا وظواهر الازدواجية. ^{[ 1 ]}

قدّم ألفريد هار (1933) مقياس هار في كتابه "Der Maßbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen" ، موفراً نظرية تكامل ثابتة تحت الإزاحة على المجموعات المدمجة محلياً. وقد أصبح هذا المقياس أداة أساسية للتحليل التوافقي ولصياغة ثنائية بونترياجين بشكل عام لاحقاً. ^{[ 1 ]}

قام ريموند بالي ونوربرت وينر (1933-1934)، في عملٍ تُوِّج بكتاب " تحويلات فورييه في المجال المركب " (1934)، بدراسةٍ منهجيةٍ لتحويلات فورييه وخصائص الزمر الأبيلية (المنفصلة أو الإقليدية في المقام الأول). وقد أكدا على وجود ازدواجية بين الزمرة وزمرة خصائصها، على الرغم من أن إطار عملهما لم يكن قد امتد بعد إلى الزمر الأبيلية المتراصة محليًا بشكل عام. ^{[ 1 ]}

أوضح جيمس واديل ألكسندر الثاني (1934-1935) ظواهر الازدواجية في الطوبولوجيا الجبرية ، وقدم أفكارًا مبكرة في علم التماثل، لا سيما في كتابه " حول سلاسل المركب ونظائرها" . ورغم أن هذا العمل لا يُعد جزءًا مباشرًا من ازدواجية بونترياجين، إلا أنه أسهم في المفهوم الرياضي الأوسع للازدواجية. ^{[ 1 ]}

درس جون فون نيومان (1934) الدوال شبه الدورية على المجموعات ووسع التحليل التوافقي إلى ما هو أبعد من الإعدادات القابلة للعد، وأزال بعض افتراضات الفصل وتوقع الحاجة إلى إطار عمل عام مضغوط محليًا. ^{[ 1 ]}

قام إيغبرت فان كامبن (1935)، في كتابه " المجموعات الأبيلية ثنائية التراص المحلية ومجموعات خصائصها" ، بتحسين الطوبولوجيا المتعلقة بمجموعات الخصائص وإزالة قيود العد، مما جعل النظرية قريبة من صياغتها الحديثة. ^{[ 2 ]}

قام كلود شوفالي (1936) بتطبيق أفكار الازدواجية في نظرية حقل الفئات ، موضحاً أهميتها الحسابية. ^{[ 1 ]}

وأخيرًا، وضع ليف بونترياغين (1931-1934) النتائج الأساسية: تعريف المجموعة الثنائية بأنها مجموعة الخصائص المتصلة، والاقتران الطبيعي بين المجموعة الأبيلية المدمجة محليًا ومجموعتها الثنائية، ونظرية الازدواجية التي تُعرّف المجموعة بمجموعتها الثنائية المزدوجة في الحالتين المدمجة والمنفصلة. وسرعان ما تم تعميم هذه النتائج لتشمل جميع المجموعات الأبيلية المدمجة محليًا. ^{[ 3 ] [ 1 ]}

إحدى أبرز الحقائق المتعلقة بمجموعة محلية متماسكة${\displaystyle G}$يكمن الأمر في أنها تحمل مقياسًا طبيعيًا فريدًا أساسًا ، وهو مقياس هار ، الذي يسمح بقياس "حجم" المجموعات الفرعية المنتظمة بدرجة كافية من${\displaystyle G}$تعني عبارة "مجموعة جزئية منتظمة بما فيه الكفاية" هنا مجموعة بوريل ؛ أي عنصر من جبر سيجما المُوَلَّد بواسطة المجموعات المتراصة . وبشكل أدق، مقياس هار الأيمن على زمرة متراصة محليًا${\displaystyle G}$هو مقياس قابل للعد والجمع μ معرف على مجموعات بوريل لـ${\displaystyle G}$وهو ثابت من اليمين بمعنى أن${\displaystyle \mu (Ax)=\mu (A)}$ل${\displaystyle x}$عنصر من${\displaystyle G}$و${\displaystyle A}$مجموعة فرعية من بوريل${\displaystyle G}$كما أنه يستوفي بعض شروط الانتظام (الموضحة بالتفصيل في مقال مقياس هار ). باستثناء عوامل القياس الموجبة، فإن مقياس هار على${\displaystyle G}$فريد من نوعه.

مقياس هار${\displaystyle G}$يُتيح لنا ذلك تعريف مفهوم التكامل لدوال بوريل ( ذات القيم المركبة ) المعرفة على المجموعة. على وجه الخصوص، يمكن للمرء أن ينظر في فضاءات L ^p المختلفة المرتبطة بمقياس هار.${\displaystyle \mu }$. خاصة، $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$$

لاحظ أنه، بما أن أي مقياسين من مقاييس هار على${\displaystyle G}$متساوية حتى عامل قياس، هذا${\displaystyle L^{p}}$لا يعتمد الفضاء على اختيار مقياس هار، وبالتالي ربما يمكن كتابته على النحو التالي${\displaystyle L^{p}(G)}$ومع ذلك، فإن${\displaystyle L^{p}}$يعتمد المعيار في هذه المساحة على اختيار مقياس هار، لذلك إذا أراد المرء التحدث عن التساويات، فمن المهم تتبع مقياس هار المستخدم.

تُستخدم المجموعة الثنائية لمجموعة أبيلية متراصة محليًا كفضاء أساسي لنسخة مجردة من تحويل فورييه . إذا${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$إذن، تحويل فورييه هو الدالة${\displaystyle {\widehat {f}}}$على${\displaystyle {\widehat {G}}}$محدد بواسطة $${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$$ حيث يكون التكامل نسبيًا إلى مقياس هار${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle G}$ويُشار إلى ذلك أيضًا بـ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$لاحظ أن تحويل فورييه يعتمد على اختيار مقياس هار. ليس من الصعب إثبات أن تحويل فورييه لـ${\displaystyle L^{1}}$الوظيفة قيد التشغيل${\displaystyle G}$هي دالة متصلة ومحدودة على${\displaystyle {\widehat {G}}}$والذي يتلاشى عند اللانهاية .

التحويل العكسي لفورييه لدالة قابلة للتكامل على${\displaystyle {\widehat {G}}}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$$ حيث يكون التكامل مرتبطًا بمقياس هار${\displaystyle \nu }$في المجموعة المزدوجة${\displaystyle {\widehat {G}}}$المقياس${\displaystyle \nu }$على${\displaystyle {\widehat {G}}}$يُطلق على ما يظهر في صيغة عكس فورييه اسم المقياس المزدوج لـ${\displaystyle \mu }$ويمكن الإشارة إليه${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$.

يمكن تصنيف تحويلات فورييه المختلفة من حيث مجالها ومجال تحويلها (المجموعة والمجموعة الثنائية) على النحو التالي (لاحظ أن${\displaystyle \mathbb {T} }$مجموعة الدائرة ):

تحويل	النطاق الأصلي،${\displaystyle G}$	مجال التحويل،${\displaystyle {\hat {G}}}$	يقيس،${\displaystyle \mu }$
تحويل فورييه	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
متسلسلة فورييه	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT)	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$
تحويل فورييه المنفصل (DFT)	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$لذلك يمكننا التفكير في${\displaystyle {\widehat {G}}}$مثل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$عن طريق الاقتران${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$لو${\displaystyle \mu }$إذا كان مقياس ليبيغ على الفضاء الإقليدي ، فسنحصل على تحويل فورييه العادي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$والمقياس المزدوج اللازم لصيغة عكس فورييه هو${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$إذا أردنا الحصول على صيغة عكس فورييه بنفس القياس على كلا الجانبين (أي، بما أننا نستطيع التفكير في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$كمساحة مزدوجة خاصة بها، يمكننا أن نطلب${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$يساوي${\displaystyle \mu }$ثم نحتاج إلى استخدام $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$$

لكن إذا غيرنا طريقة تحديد هويتنا${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام مجموعتها الثنائية، من خلال الاقتران $${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$$ ثم مقياس ليبيغ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يساوي قياسه الثنائي . يقلل هذا الاصطلاح عدد عوامل${\displaystyle 2\pi }$تظهر هذه الأخطاء في أماكن مختلفة عند حساب تحويلات فورييه أو تحويلات فورييه العكسية على الفضاء الإقليدي. (في الواقع، إنها تحد من${\displaystyle 2\pi }$(فقط إلى الأس وليس كعامل مسبق خارج علامة التكامل.) لاحظ أن اختيار كيفية تحديد${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يؤثر وجود المجموعة الثنائية على معنى مصطلح "الدالة الذاتية الثنائية"، وهي دالة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يساوي تحويل فورييه الخاص به: باستخدام الاقتران الكلاسيكي${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$الوظيفة${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$هو ثنائي ذاتي. ولكن باستخدام الاقتران، الذي يحافظ على العامل المسبق كوحدة،${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$اصنع${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$بدلاً من ذلك، يكون التحويل ذاتيًا. يتميز هذا التعريف الثاني لتحويل فورييه بأنه يحوّل عنصر التطابق الضربي إلى عنصر التطابق التلفيفي، وهو أمر مفيد لأن${\displaystyle L^{1}}$هي جبر التفاف. انظر القسم التالي حول جبر الزمر . بالإضافة إلى ذلك، فإن هذا الشكل متساوي القياس بالضرورة على${\displaystyle L^{2}}$المساحات. انظر أدناه في نظريات بلانشيريل و L ² لانعكاس فورييه .

فضاء الدوال القابلة للتكامل على زمرة أبيلية متراصة محليًا${\displaystyle G}$هو جبر ، حيث الضرب هو التفاف: التفاف دالتين قابلتين للتكامل${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$$

يُشار إلى هذا النوع من الجبر باسم جبر الزمر.${\displaystyle G}$بحسب نظرية فوبيني-تونيللي ، فإن عملية الالتفاف تكون شبه ضربية بالنسبة إلى${\displaystyle L^{1}}$المعيار، مما يجعل${\displaystyle L^{1}(G)}$جبر باناخ .${\displaystyle L^{1}(G)}$يحتوي على عنصر محايد ضربي إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$هي زمرة منفصلة، ​​أي دالة تساوي 1 عند العنصر المحايد وصفر في باقي العناصر. عمومًا، لها عنصر محايد تقريبي هو عبارة عن شبكة (أو متتالية معممة).${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$مفهرسة على مجموعة موجهة${\displaystyle I}$بحيث${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

يحوّل تحويل فورييه عملية الالتفاف إلى عملية ضرب، أي أنه تشاكل لجبر باناخ الأبلي${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}\left({\widehat {G}}\right)}$(من معيار ≤ 1): $${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$$

وبشكل خاص، لكل شخصية جماعية في${\displaystyle G}$يتوافق مع دالة خطية ضربية فريدة على جبر المجموعة المعرف بواسطة $${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$$

من الخصائص المهمة لجبر الزمر أن هذه الدوال تستنفد مجموعة الدوال الخطية الضربية غير التافهة (أي غير الصفرية تمامًا) على جبر الزمر؛ انظر القسم 34 من لوميس (1953). ^{[ 7 ]} وهذا يعني أن تحويل فورييه هو حالة خاصة من تحويل جيلفاند .

كما ذكرنا، فإن المجموعة الثنائية لمجموعة أبيلية متراصة محليًا هي مجموعة أبيلية متراصة محليًا في حد ذاتها، وبالتالي لها مقياس هار، أو بشكل أدق عائلة كاملة من مقاييس هار المتعلقة بالمقياس.

بما أن الدوال المتصلة ذات القيم المركبة ذات الدعم المدمج على${\displaystyle G}$نكون${\displaystyle L^{2}}$-كثيف، يوجد امتداد فريد لتحويل فورييه من ذلك الفضاء إلى مؤثر وحدوي$${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}\left({\widehat {G}}\right).}$$ ولدينا الصيغة $${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\quad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$$

لاحظ أنه بالنسبة للمجموعات غير المتراصة والمتراصة محليًا${\displaystyle G}$المساحة${\displaystyle L^{1}(G)}$لا يحتوي${\displaystyle L^{2}(G)}$لذا فإن تحويل فورييه العام${\displaystyle L^{2}}$-وظائف على${\displaystyle G}$لا يمكن تحديدها بأي صيغة تكامل (أو أي صيغة صريحة أخرى). لتعريف${\displaystyle L^{2}}$يتطلب تحويل فورييه اللجوء إلى بعض الحيل التقنية، كالبدء بفضاء جزئي كثيف كالدوال المتصلة ذات الدعم المحدود، ثم توسيع التماثل القياسي بالاستمرارية ليشمل الفضاء بأكمله. هذا التوسيع الوحدوي لتحويل فورييه هو ما نعنيه بتحويل فورييه على فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي.

تمتلك المجموعة الثنائية أيضًا تحويل فورييه عكسي خاص بها؛ ويمكن وصفها بأنها معكوس (أو مرافق، لأنها وحدوية) لـ${\displaystyle L^{2}}$تحويل فورييه. هذا هو محتوى${\displaystyle L^{2}}$صيغة تحويل فورييه التالية.

في هذه الحالة${\displaystyle G=\mathbb {T} }$المجموعة المزدوجة${\displaystyle {\widehat {G}}}$متماثل طبيعياً مع مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$وتتخصص عملية تحويل فورييه في حساب معاملات متسلسلات فورييه للدوال الدورية.

لو${\displaystyle G}$إذا كانت المجموعة منتهية، فإننا نستعيد تحويل فورييه المنفصل . لاحظ أن هذه الحالة سهلة الإثبات مباشرة.

When ${\displaystyle G}$ is a Hausdorff abelian topological group, the group ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ with the compact-open topology is a Hausdorff abelian topological group and the natural mapping from ${\displaystyle G}$ to its double-dual ${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$ makes sense. If this mapping is an isomorphism, it is said that ${\displaystyle G}$ satisfies Pontryagin duality (or that ${\displaystyle G}$ is a reflexive group,^[9] or a reflective group^[10]). This has been extended in a number of directions beyond the case that ${\displaystyle G}$ is locally compact.^[11]

In particular, Samuel Kaplan^[12][13] showed in 1948 and 1950 that arbitrary products and countable inverse limits of locally compact (Hausdorff) abelian groups satisfy Pontryagin duality. Note that an infinite product of locally compact non-compact spaces is not locally compact.

Later, in 1975, Rangachari Venkataraman^[14] showed, among other facts, that every open subgroup of an abelian topological group which satisfies Pontryagin duality itself satisfies Pontryagin duality.

More recently, Sergio Ardanza-Trevijano and María Jesús Chasco^[15] have extended the results of Kaplan mentioned above. They showed that direct and inverse limits of sequences of abelian groups satisfying Pontryagin duality also satisfy Pontryagin duality if the groups are metrizable or ${\displaystyle k_{\omega }}$-spaces but not necessarily locally compact, provided some extra conditions are satisfied by the sequences.

However, there is a fundamental aspect that changes if we want to consider Pontryagin duality beyond the locally compact case. Elena Martín-Peinador^[16] proved in 1995 that if ${\displaystyle G}$ is a Hausdorff abelian topological group that satisfies Pontryagin duality, and the natural evaluation pairing $${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$$ is (jointly) continuous,^[a] then ${\displaystyle G}$ is locally compact. As a corollary, all non-locally compact examples of Pontryagin duality are groups where the pairing ${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$ is not (jointly) continuous.

Another way to generalize Pontryagin duality to wider classes of commutative topological groups is to endow the dual group ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ with a bit different topology, namely the topology of uniform convergence on totally bounded sets. The groups satisfying the identity ${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$ under this assumption^[b] are called stereotype groups.^[10] This class is also very wide (and it contains locally compact abelian groups), but it is narrower than the class of reflective groups.^[10]

In 1952 Marianne F. Smith^[17] noticed that Banach spaces and reflexive spaces, being considered as topological groups (with the additive group operation), satisfy Pontryagin duality. Later B. S. Brudovskiĭ,^[18]William C. Waterhouse^[19] and K. Brauner^[20] showed that this result can be extended to the class of all quasi-complete barreled spaces (in particular, to all Fréchet spaces). In the 1990s Sergei Akbarov^[21] gave a description of the class of the topological vector spaces that satisfy a stronger property than the classical Pontryagin reflexivity, namely, the identity $${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$$ where ${\displaystyle X^{\star }}$ means the space of all linear continuous functionals ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$ endowed with the topology of uniform convergence on totally bounded sets in ${\displaystyle X}$ (and ${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$ means the dual to ${\displaystyle X^{\star }}$ in the same sense). The spaces of this class are called stereotype spaces, and the corresponding theory found a series of applications in Functional analysis and Geometry, including the generalization of Pontryagin duality for non-commutative topological groups.

For non-commutative locally compact groups ${\displaystyle G}$ the classical Pontryagin construction stops working for various reasons, in particular, because the characters don't always separate the points of ${\displaystyle G}$, and the irreducible representations of ${\displaystyle G}$ are not always one-dimensional. At the same time it is not clear how to introduce multiplication on the set of irreducible unitary representations of ${\displaystyle G}$, and it is even not clear whether this set is a good choice for the role of the dual object for ${\displaystyle G}$. So the problem of constructing duality in this situation requires complete rethinking.

Theories built to date are divided into two main groups: the theories where the dual object has the same nature as the source one (like in the Pontryagin duality itself), and the theories where the source object and its dual differ from each other so radically that it is impossible to count them as objects of one class.

The second type theories were historically the first: soon after Pontryagin's work Tadao Tannaka (1938) and Mark Krein (1949) constructed a duality theory for arbitrary compact groups known now as the Tannaka–Krein duality.^[22][23] In this theory the dual object for a group ${\displaystyle G}$ is not a group but a category of its representations${\displaystyle \Pi (G)}$.

The theories of first type appeared later and the key example for them was the duality theory for finite groups.^[24][25] In this theory the category of finite groups is embedded by the operation ${\displaystyle G\mapsto \mathbb {C} _{G}}$ of taking group algebra${\displaystyle \mathbb {C} _{G}}$ (over ${\displaystyle \mathbb {C} }$) into the category of finite dimensional Hopf algebras, so that the Pontryagin duality functor ${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$ turns into the operation ${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$ of taking the dual vector space (which is a duality functor in the category of finite dimensional Hopf algebras).^[25]

In 1973 Leonid I. Vainerman, George I. Kac, Michel Enock, and Jean-Marie Schwartz built a general theory of this type for all locally compact groups.^[26] From the 1980s the research in this area was resumed after the discovery of quantum groups, to which the constructed theories began to be actively transferred.^[27] These theories are formulated in the language of C*-algebras, or Von Neumann algebras, and one of its variants is the recent theory of locally compact quantum groups.^[28][27]

One of the drawbacks of these general theories, however, is that in them the objects generalizing the concept of a group are not Hopf algebras in the usual algebraic sense.^[25] This deficiency can be corrected (for some classes of groups) within the framework of duality theories constructed on the basis of the notion of envelope of topological algebra.^[29]