تاريخ الرباعيات

في الرياضيات ، تُعدّ الكواترنيونات نظامًا عدديًا غير تبادلي يُوسّع نطاق الأعداد المركبة . وقد وُصفت الكواترنيونات وتطبيقاتها في الدوران لأول مرة في كتاب مطبوع عام 1840 على يد أوليندي رودريغز ، ^{[ 1 ]} ولكن اكتشفها بشكل مستقل عالم الرياضيات الأيرلندي السير ويليام روان هاميلتون عام 1843، وطُبّقت في الميكانيكا في الفضاء ثلاثي الأبعاد. وتُستخدم الكواترنيونات في كلٍّ من الرياضيات النظرية والتطبيقية، ولا سيما في الحسابات التي تتضمن دورانات ثلاثية الأبعاد.

في عام ١٨٤٣، أدرك هاميلتون أن الأعداد المركبة يمكن تمثيلها كنقاط في مستوى، وأنه يمكن جمعها وضربها باستخدام عمليات هندسية محددة. سعى هاميلتون لإيجاد طريقة مماثلة لنقاط الفضاء . يمكن تمثيل نقاط الفضاء بإحداثياتها، وهي ثلاثيات من الأعداد، ويمكن جمعها بسهولة، لكن هاميلتون واجه صعوبة في تحديد عملية الضرب المناسبة.

بحسب رسالة كتبها هاميلتون لاحقاً إلى ابنه أرشيبالد:

في كل صباح من أوائل شهر أكتوبر عام 1843، عندما كنت أنزل لتناول الإفطار، كان أخوك ويليام إدوين وأنت تسألانني: "حسنًا يا أبي، هل يمكنك ضرب الأعداد الثلاثية؟" وكنت دائمًا مضطرًا للإجابة، بهز رأس حزين، "لا، لا أستطيع إلا جمعها وطرحها".

في السادس عشر من أكتوبر عام ١٨٤٣، تنزه هاميلتون وزوجته على طول القناة الملكية في دبلن . وبينما كانا يعبران جسر بروهام (الذي يُعرف الآن بجسر بروم )، خطرت له فكرة فجأة. فبينما لم يكن بإمكانه ضرب الأعداد الثلاثية، وجد طريقة لضرب الأعداد الرباعية . وباستخدام ثلاثة من أعداد العدد الرباعي كنقاط إحداثية في الفضاء، استطاع هاميلتون تمثيل النقاط في الفضاء بنظامه العددي الجديد. ثم نقش القواعد الأساسية للضرب على الجسر.

i² = j² = ^k² = ^ijk = −1^​​

أطلق هاميلتون على الرباعية التي تخضع لقواعد الضرب هذه اسم " الكواترنيون" ، وكرّس ما تبقى من حياته لدراستها وتدريسها. بين عامي 1844 و1850، نشرت مجلة "فيلوسوفيكال ماغازين" شرح هاميلتون للكواترنيونات. ^{[ 2 ]} وفي عام 1853، أصدر كتاب "محاضرات في الكواترنيونات" ، وهو بحث شامل وصف أيضًا الكواترنيونات الثنائية . وقد أدت سهولة استخدام الجبر في التعبير عن العلاقات الهندسية إلى قبول واسع النطاق لهذه الطريقة، وتأليف العديد من المؤلفين الآخرين لها، وتحفيز الجبر التطبيقي بشكل عام. ومع تطور المصطلحات الرياضية منذ ذلك الحين، وتغير استخدام بعض المصطلحات، يُشار إلى التعبيرات التقليدية باسم الكواترنيونات الهاميلتونية الكلاسيكية .

تمثلت ابتكارات هاميلتون في التعبير عن الكواترنيونات كجبر على R. وتُعدّ صيغ ضرب الكواترنيونات ضمنية في صيغة المربعات الأربعة التي وضعها ليونارد أويلر عام 1748. وفي عام 1840، استخدم أوليندي رودريغز حساب المثلثات الكروية وطوّر صيغة وثيقة الصلة بضرب الكواترنيونات لوصف المحور والزاوية الجديدين لدورانين مُركّبين. ^{[ 3 ] [ 4 ] : ​​9}

طعن جيمس كوكل في الادعاءات الخاصة بالرباعيات باعتبارها جبر الفضاء رباعي الأبعاد ، وذلك من خلال عرضه في عامي 1848 و1849 للتيزارينات والرباعيات المشتركة كبدائل . ومع ذلك، كانت هذه الجبرات الجديدة التي قدمها كوكل، في الواقع، جبريات فرعية من الرباعيات الثنائية لهاملتون . وفي عام 1858، رد جوستو بيلافيتيس من إيطاليا ^{[ 5 ]} بربط نظرية المتجهات لهاملتون بنظريته في تساوي قوى القطع المستقيمة الموجهة.

قاد جول هويل الاستجابة من فرنسا عام 1874 بكتاب مدرسي عن عناصر الكواترنيونات. ولتسهيل دراسة المتجهات ، قدّم مصطلح "الشعاعات الثنائية" للدلالة على أقواس الدائرة العظمى على الكرة. ثم وفّر جبر الكواترنيونات الأساس لعلم المثلثات الكروية الذي عُرض في الفصل التاسع _. استبدل هويل متجهات أساس هاميلتون i و j و k بالمتجهات i1 _و i2 و i3 _.

أدى تنوع الخطوط المتاحة إلى ابتكار تدويني آخر لهويل: يشير الرمز A إلى نقطة، و a و a كميات جبرية، وفي معادلة الكواترنيون

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\cos \alpha +\mathbf {A} \sin \alpha ,}$

A متجه و α زاوية. وقد استمر هذا الأسلوب في عرض الكواترنيون على يد تشارلز-أنج لايسان ^{[ 6 ]} وألكسندر ماكفارلين ^{[ 7 ]} .

قام ويليام ك. كليفورد بتوسيع أنواع الثنائيات الرباعية، واستكشف الفضاء الإهليلجي ، وهو هندسة يمكن فيها اعتبار النقاط متجهات. بدأ الاهتمام بالرباعيات قبل ظهور لغة نظرية المجموعات والبنى الرياضية . في الواقع، لم يكن هناك سوى القليل من الرموز الرياضية قبل كتاب "فورمولاريو ماثيماتيكو" . حفزت الرباعيات هذه التطورات: على سبيل المثال، استعار مفهوم الفضاء المتجهي مصطلح هاميلتون، لكنه غيّر معناه. وفقًا للفهم الحديث، أي رباعي هو متجه في فضاء رباعي الأبعاد. (تقع متجهات هاميلتون في الفضاء الجزئي ذي الجزء القياسي الصفري).

بما أن الأعداد الرباعية تتطلب من قارئيها تخيل أربعة أبعاد، فإن استخدامها ينطوي على جانب ميتافيزيقي. فالأعداد الرباعية موضوع فلسفي . إن تقديمها لطلاب الهندسة الجدد يُعدّ طلباً مُبالغاً فيه. ومع ذلك، فإن فائدة الضرب القياسي والضرب الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، لتوضيح العمليات، تستدعي استخدام هذه العمليات التي لا تدخل ضمن حاصل ضرب الأعداد الرباعية. وهكذا، قام ويلارد جيبس ​​وأوليفر هيفسايد بهذا التعديل، انطلاقاً من مبدأ البراغماتية، لتجنب البنية الفوقية المُشتتة. ^{[ 8 ]}

بالنسبة للرياضيين، أصبحت بنية الكواترنيون مألوفة وفقدت أهميتها كظاهرة رياضية مثيرة للاهتمام. وهكذا، في إنجلترا، عندما أعدّ آرثر بوخهايم بحثًا عن الكواترنيونات الثنائية، نُشر في المجلة الأمريكية للرياضيات نظرًا لوجود بعض الجدة في هذا الموضوع هناك. واتجه البحث نحو الأعداد المركبة الفائقة بشكل عام. فعلى سبيل المثال، درس توماس كيركمان وآرثر كايلي عدد المعادلات بين متجهات الأساس اللازمة لتحديد نظام فريد. وقد أدى الاهتمام الواسع الذي أثارته الكواترنيونات حول العالم إلى تأسيس جمعية الكواترنيونات . وفي الرياضيات المعاصرة، تُجسّد حلقة قسمة الكواترنيونات جبرًا على حقل .

• محاضرات عام 1853 حول الرباعيات ^{[ 9 ]}
• 1866 عناصر الرباعيات ^{[ 10 ]}
• 1873 رسالة تمهيدية بقلم بيتر جوثري تيت ^{[ 11 ]}
• 1874 جول هويل : عناصر نظرية الرباعيات ^{[ 12 ]}
• 1878 أبوت لورانس لويل : الرباعيات: أطروحة هارفارد: ^{[ 13 ]}
• 1882 تايت وفيليب كيلاند : مقدمة مع أمثلة ^{[ 14 ]}
• 1885 آرثر بوخهايم : Biquaternions ^{[ 15 ]}
• 1887 فالنتين بالبين: (بالإسبانية) Elementos de Calculo de los Cuaterniones ، بوينس آيرس ^{[ 16 ]}
• 1899 تشارلز جاسبر جولي : العناصر المجلد 1، المجلد 2 1901 ^{[ 17 ]}
• تحليل المتجهات لعام 1901 من تأليف ويلارد جيبس ​​وإدوين بيدويل ويلسون (أفكار الكواترنيون بدون كواترنيونات)
• 1904 كارجيل جيلستون نوت : الطبعة الثالثة من كتاب كيلاند وتيت المدرسي ^{[ 18 ]}
• قائمة المراجع لعام 1904 أعدها ألكسندر ماكفارلين لجمعية الكواترنيون ^{[ 19 ]}
• 1905 دليل سي جيه جولي للأعداد الرباعية ^{[ 20 ]}
• في عام 1940، استخدم جوليان كوليدج في كتابه "تاريخ الأساليب الهندسية" ، صفحة 261، أساليب مؤثرات هاميلتون التي لا تعتمد على الإحداثيات، واستشهد بعمل أ. ل. لورانس في جامعة هارفارد. واستخدم كوليدج هذه المؤثرات على الكواترنيونات الثنائية لوصف إزاحة اللولب في علم الحركة .

طُوِّرت الأوكتونيونات بشكل مستقل من قِبَل آرثر كايلي عام 1845 ^{[ 21 ]} وجون تي. غريفز ، صديق هاميلتون. كان غريفز قد أثار اهتمام هاميلتون بالجبر، وردّ على اكتشافه للرباعيات قائلاً: "إذا استطعتَ بخيميائك أن تصنع ثلاثة أرطال من الذهب [الوحدات التخيلية الثلاث]، فلماذا تتوقف عند هذا الحد؟" ^{[ 22 ]}

بعد شهرين من اكتشاف هاميلتون للأعداد الرباعية، راسل غريفز هاميلتون في 26 ديسمبر 1843، عارضًا نوعًا من الأعداد الرباعية المزدوجة، ^{[ 23 ]} أطلق عليه اسم الأوكتافات ، وبيّن أنها ما نسميه اليوم جبر القسمة المعياري . ^{[ 24 ]} لاحظ هاميلتون في رده أنها ليست تجميعية ، وهو ما قد يكون ابتكار المفهوم. كما وعد بنشر عمل غريفز، لكنه لم يفعل الكثير في هذا الصدد. كان هاميلتون بحاجة إلى طريقة للتمييز بين نوعين مختلفين من الأعداد الرباعية المزدوجة، وهما الأعداد الرباعية الثنائية التجميعية والأوكتافات. تحدث عنهما أمام الجمعية الملكية الأيرلندية، ونسب الفضل إلى صديقه غريفز في اكتشاف النوع الثاني من الأعداد الرباعية المزدوجة. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

نشر كايلي، الذي كان يعمل بشكل مستقل عن غريفز، ولكنه متأثرًا بنشر هاملتون لعمله الخاص، بحثًا عن الأوكتونيونات في مارس 1845  - كمُلحق لورقة بحثية حول موضوع مختلف. وقد أثار هذا الأمر حفيظة هاملتون ودفعه إلى الاحتجاج على أسبقية غريفز في الاكتشاف، إن لم يكن في النشر؛ ومع ذلك، تُعرف الأوكتونيونات بالاسم الذي أطلقه عليها كايلي  - أو بأرقام كايلي .

كان الاستنتاج الرئيسي من وجود الأوكتونيونات هو نظرية المربعات الثمانية ، التي تتبع مباشرةً قاعدة الضرب من الأوكتونيونات. وقد اكتشفها كارل فرديناند ديجن سابقًا كمتطابقة جبرية بحتة عام 1818. ^{[ 27 ]} تُعدّ متطابقة مجموع المربعات هذه سمة مميزة لجبر التركيب ، وهي سمة من سمات الأعداد المركبة، والرباعيات، والأوكتونيونات.

استمرت الكواترنيونات في كونها بنية رياضية مدروسة جيدًا في القرن العشرين، باعتبارها الحد الثالث في بناء كايلي-ديكسون لأنظمة الأعداد المركبة الفائقة على الأعداد الحقيقية، تليها الأوكتونيونات ، والسيدينيونات ، والتريجينتاديويونات ؛ كما أنها أداة مفيدة في نظرية الأعداد ، لا سيما في دراسة تمثيل الأعداد كمجموع مربعات. وتُعد مجموعة الكواترنيونات الثمانية الأساسية، الموجبة والسالبة، أبسط زمرة سيلو غير تبادلية .

بدأ البحث في الأعداد الرباعية الصحيحة مع رودولف ليبشيتز عام ١٨٨٦، والذي بسّط نظامه لاحقًا ليونارد يوجين ديكسون ؛ لكن النظام الحديث نُشر بواسطة أدولف هورويتز عام ١٩١٩. ويكمن الفرق بينهما في تحديد الأعداد الرباعية الصحيحة: فقد اقتصر ليبشيتز على الأعداد الرباعية ذات الإحداثيات الصحيحة، بينما أضاف هورويتز الأعداد الرباعية التي تكون إحداثياتها الأربعة جميعها أنصاف أعداد صحيحة . كلا النظامين مغلقان تحت عمليتي الطرح والضرب، وبالتالي فهما حلقتان ، لكن نظام ليبشيتز لا يسمح بالتحليل إلى عوامل وحيدة، بينما يسمح نظام هورويتز بذلك. ^{[ ٢٨ ]}

الكواترنيونات هي طريقة مختصرة لتمثيل التشاكلات الذاتية للفضاءات ثلاثية ورباعية الأبعاد. وتتميز بميزة تقنية تتمثل في أن الكواترنيونات الوحدوية تُشكل الغطاء المتصل ببساطة لفضاء الدورانات ثلاثية الأبعاد. ^{[ 4 ] : ​​الفصل 2}

لهذا السبب، تُستخدم الكواترنيونات في رسومات الحاسوب ، ^{[ 29 ]} ونظرية التحكم ، والروبوتات ، ^{[ 30 ]} ومعالجة الإشارات ، والتحكم في وضعية المركبات الفضائية ، والفيزياء ، والمعلوماتية الحيوية ، وميكانيكا المدارات . على سبيل المثال، من الشائع أن تُدار أنظمة التحكم في وضعية المركبات الفضائية باستخدام الكواترنيونات. غالبًا ما يُشار إلى لعبة تومب رايدر (1996) باعتبارها أول لعبة حاسوب تجارية استخدمت الكواترنيونات لتحقيق دوران ثلاثي الأبعاد سلس. ^{[ 31 ]} وقد حظيت الكواترنيونات بدعم إضافي من نظرية الأعداد نظرًا لعلاقتها بالصيغ التربيعية .

منذ عام 1989، دأب قسم الرياضيات في جامعة أيرلندا الوطنية في ماينوث على تنظيم رحلة حج، حيث يقوم العلماء (بمن فيهم الفيزيائيون موراي جيل مان في عام 2002، وستيفن واينبرغ في عام 2005، وفرانك ويلكزك في عام 2007، والرياضي أندرو وايلز في عام 2003) برحلة سير على الأقدام من مرصد دونسينك إلى جسر القناة الملكية حيث لم يبقَ أي أثر لنحت هاميلتون. ^{[ 32 ]}

بما أن جبر الكواترنيونات المنقسمة متماثل مع M(2, R ) وجبر الكواترنيونات الثنائية متماثل مع M(2, C )، فهناك صلة بين الكواترنيونات والمصفوفات المربعة 2×2 على حقل . تُضمَّن الكواترنيونات الحقيقية لهاملتون من خلال "تمديد الكميات القياسية" إلى الحقل المركب C. ترتبط الفئة العامة لجبر الكواترنيونات بـ M(2, F ) حيث F حقل محلي أو حقل شامل . ^{[ 33 ]} ساهم كلٌّ من مارتن إيخلر وهيديو شيميزو وإيرفينغ راينر في هذا المسار من التطور الجبري.

• بايز، جون سي. (2002)، "الأوكتونيونات"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 39 (2): 145-205 ، arXiv : math/0105155 ، doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X ، MR 1886087 ، S2CID 586512  
• جي إتش هاردي وإي إم رايت ، مقدمة في نظرية الأعداد . طبعات عديدة.
• يوهانس سي. فاميلتون (2015) الرباعيات: تاريخ مجموعات الدوران المعقدة غير التبادلية في الفيزياء النظرية ، أطروحة دكتوراه في قسم تعليم الرياضيات بجامعة كولومبيا .
• ويتاكر، إي تي (1944). "تسلسل الأفكار في اكتشاف الأعداد الرباعية" . وقائع الأكاديمية الملكية الأيرلندية أ . 50 : 93-98 . JSTOR 20520633 .