قانون بلانك

في الفيزياء ، يصف قانون بلانك (وأيضًا قانون إشعاع بلانك ^{[ 1 ]}^{: 1305} ) الكثافة الطيفية للإشعاع الكهرومغناطيسي المنبعث من جسم أسود في حالة توازن حراري عند درجة حرارة معينة $T$ ، عندما لا يكون هناك تدفق صافٍ للمادة أو الطاقة بين الجسم وبيئته. ^{[ 2 ]}

في أواخر القرن التاسع عشر، عجز الفيزيائيون عن تفسير سبب انحراف الطيف المرصود لإشعاع الجسم الأسود ، الذي كان قد تم قياسه بدقة آنذاك، بشكل ملحوظ عند الترددات العالية عن الطيف المتوقع وفقًا للنظريات السائدة. في عام 1900، استنتج الفيزيائي الألماني ماكس بلانك، ^بطريقة^{استدلالية} ، ^صيغةً للطيف المرصود بافتراض أن مذبذبًا افتراضيًا مشحونًا كهربائيًا في تجويف يحتوي على إشعاع الجسم الأسود لا يمكنه تغيير طاقته إلا بمقدار ضئيل، $E$ ، يتناسب مع تردد الموجة الكهرومغناطيسية المرتبطة به . في حين اعتبر بلانك في البداية فرضية تقسيم الطاقة إلى أجزاء مجرد حيلة رياضية، أُدخلت فقط للوصول إلى الإجابة الصحيحة، فقد بنى فيزيائيون آخرون، بمن فيهم ألبرت أينشتاين، على عمله، ويُعترف الآن بأن رؤية بلانك ذات أهمية جوهرية لنظرية الكم .

تعريف

كل جسم مادي يُصدر إشعاعًا كهرومغناطيسيًا تلقائيًا وبشكل مستمر، ويصف الإشعاع الطيفي للجسم، $Bν ،$ القدرة الإشعاعية الطيفية لكل وحدة مساحة، ولكل وحدة زاوية مجسمة ، ولكل وحدة تردد، وذلك لترددات إشعاعية محددة. وتُبين العلاقة التي يُعطيها قانون بلانك للإشعاع، الموضح أدناه، أنه مع ارتفاع درجة الحرارة، تزداد الطاقة الإشعاعية الكلية للجسم، وينزاح ذروة الطيف المنبعث نحو أطوال موجية أقصر. ^{[ 3 ]} ووفقًا لقانون توزيع بلانك، تُعطى كثافة الطاقة الطيفية (الطاقة لكل وحدة حجم لكل وحدة تردد) عند درجة حرارة معينة بالعلاقة التالية: ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

$u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}.$

بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن القانون للإشعاع الطيفي لجسم ما عند التردد $ν$ ودرجة الحرارة المطلقة $T$ كما يلي: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}$

حيث $k B$ هو ثابت بولتزمان ، $و h$ هو ثابت بلانك ، و $c$ هي سرعة الضوء في الوسط، سواء كان مادة أو فراغًا.

يمكن أيضًا التعبير عن الإشعاع الطيفي لكل وحدة طول موجي $\lambda$ بدلاً من التردد لكل وحدة: $B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}$ لكن هذا النموذج لا علاقة له بـ $B_{\nu }(\nu ,T)$ عن طريق الاستبدال $\lambda =c/\nu$ هذه دوال مختلفة لأن الإشعاع الطيفي يُعرَّف بدلالة كميات متساوية من الإشعاع لكل زيادة في المتغير المستقل ( $\nu$ أو $\lambda$ ) وهذه الزيادات ليست متطابقة في الشكلين. ^{[ 9 ]} يمكن التعبير عن القانون بمصطلحات أخرى، مثل عدد الفوتونات المنبعثة عند طول موجي معين، أو كثافة الطاقة في حجم معين من الإشعاع.

وحدات النظام الدولي للوحدات $للإشعاع$ الطيفي $Bν$ هي W · sr ⁻¹ · m ⁻² · Hz ^{−1 .} $أما$ الإشعاع الطيفي $Bλ$ فهو W · sr ⁻¹ · m ⁻³ .

وحدات cgs للإشعاع الطيفي $B ν$ هي erg · s ⁻¹ · sr ⁻¹ · cm ⁻² · Hz ⁻¹ .

يرتبط المصطلحان $B$ و $u$ ببعضهما البعض بعامل $4π / c ، حيث$ أن $B$ مستقل عن الاتجاه والإشعاع ينتقل بسرعة $c$ .

في حالة الترددات المنخفضة (أي الأطوال الموجية الطويلة)، يميل قانون بلانك إلى قانون رايلي-جينز ، بينما في حالة الترددات العالية (أي الأطوال الموجية الصغيرة) يميل إلى تقريب فين .

وضع ماكس بلانك القانون في عام 1900 باستخدام ثوابت محددة تجريبياً فقط، ثم أثبت لاحقاً أنه، عند التعبير عنه كتوزيع للطاقة، يمثل التوزيع المستقر الوحيد للإشعاع في حالة التوازن الديناميكي الحراري . ^{[ 2 ]} وباعتباره توزيعاً للطاقة، فهو أحد أفراد عائلة توزيعات التوازن الحراري التي تشمل توزيع بوز-أينشتاين ، وتوزيع فيرمي-ديراك ، وتوزيع ماكسويل-بولتزمان .

إشعاع الجسم الأسود

الجسم الأسود هو جسم مثالي يمتص ويشع جميع ترددات الإشعاع. بالقرب من حالة التوازن الديناميكي الحراري ، يُوصف الإشعاع المنبعث بدقة بقانون بلانك، ونظرًا لاعتماده على درجة الحرارة ، يُطلق على إشعاع بلانك اسم الإشعاع الحراري، بحيث كلما ارتفعت درجة حرارة الجسم زاد الإشعاع الذي ينبعث منه عند كل طول موجي.

يبلغ إشعاع بلانك أقصى شدة له عند طول موجي يعتمد على درجة حرارة الجسم. على سبيل المثال، عند درجة حرارة الغرفة (~عند درجة حرارة 300 كلفن ، يُصدر الجسم إشعاعًا حراريًا معظمه أشعة تحت حمراء غير مرئية. عند درجات حرارة أعلى، تزداد كمية الأشعة تحت الحمراء ويمكن الشعور بها كحرارة، كما يزداد انبعاث الإشعاع المرئي، فيتوهج الجسم باللون الأحمر. عند درجات حرارة أعلى، يكون الجسم أصفر ساطعًا أو أبيض مزرقًا، ويُصدر كميات كبيرة من الإشعاع ذي الأطوال الموجية القصيرة، بما في ذلك الأشعة فوق البنفسجية وحتى الأشعة السينية . سطح الشمس (~تُصدر الأشعة تحت الحمراء والأشعة فوق البنفسجية ( عند درجة حرارة 6000 كلفن ) كميات كبيرة من الإشعاع، ويبلغ انبعاثها ذروته في الطيف المرئي. ويُطلق على هذا الانزياح الناتج عن تغير درجة الحرارة قانون إزاحة فين .

إشعاع بلانك هو أقصى كمية من الإشعاع يمكن لأي جسم في حالة توازن حراري أن يُصدرها من سطحه، بغض النظر عن تركيبه الكيميائي أو بنيته السطحية. ^{[ 10 ]} يمكن وصف مرور الإشعاع عبر سطح فاصل بين وسطين بانبعاثية هذا السطح (نسبة الإشعاع الفعلي إلى إشعاع بلانك النظري)، والتي يُرمز لها عادةً بالرمز $ε$ . وهي تعتمد عمومًا على التركيب الكيميائي والبنية الفيزيائية، ودرجة الحرارة، والطول الموجي، وزاوية المرور، والاستقطاب . [ ^{11 ] تتراوح} انبعاثية السطح الفاصل الطبيعي دائمًا بين $ε$ = 0 و1.

يُطلق مصطلح الجسم الأسود على الجسم الذي يتفاعل مع وسط آخر يتميز بمعامل سماحية نسبية $(ε$ ) يساوي 1، ويمتص جميع الإشعاعات الساقطة عليه. ويمكن تمثيل سطح الجسم الأسود بثقب صغير في جدار حاوية كبيرة ذات درجة حرارة ثابتة، وجدرانها معتمة، ولكنها ليست عاكسة تمامًا عند جميع الأطوال الموجية. عند الاتزان، يخضع الإشعاع داخل هذه الحاوية لقانون بلانك، وكذلك الإشعاع الخارج من الثقب الصغير.

كما أن توزيع ماكسويل-بولتزمان هو التوزيع الفريد لطاقة الإنتروبيا القصوى لغاز من الجسيمات المادية في حالة التوازن الحراري، فإن توزيع بلانك هو كذلك لغاز من الفوتونات . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} وعلى عكس الغاز المادي حيث تلعب كتل الجسيمات وعددها دورًا، فإن الإشعاع الطيفي والضغط وكثافة الطاقة لغاز الفوتونات في حالة التوازن الحراري تتحدد كليًا بدرجة الحرارة.

إذا لم يكن غاز الفوتونات من نوع بلانك، فإن القانون الثاني للديناميكا الحرارية يضمن أن التفاعلات (بين الفوتونات والجسيمات الأخرى، أو حتى بين الفوتونات نفسها عند درجات حرارة عالية بما يكفي) ستؤدي إلى تغيير توزيع طاقة الفوتونات واقترابه من توزيع بلانك. في هذا الاقتراب من التوازن الديناميكي الحراري، تُنتَج الفوتونات أو تُفنى بأعداد وطاقات مناسبة لملء التجويف بتوزيع بلانك حتى تصل إلى درجة حرارة التوازن. يبدو الأمر كما لو أن الغاز عبارة عن خليط من غازات فرعية، واحد لكل نطاق من الأطوال الموجية، ويصل كل غاز فرعي في النهاية إلى درجة الحرارة المشتركة.

الكمية $Bν (ν, T)$ هي الإشعاع الطيفي كدالة لدرجة الحرارة والتردد. ووحدتها في النظام الدولي للوحدات هي واط / م² ^/ستراديان ^/ هرتز . يُشع مقدار ضئيل من القدرة $Bν$ $($ $ν$ $,$ $T$ $)$ $cos$ $θ$ $dA$ $dΩ$ $dν$ في الاتجاه المحدد بالزاوية $θ$ $من$ العمودي على السطح ، من مساحة سطحية متناهية الصغر $dA$ إلى زاوية مجسمة متناهية الصغر $dΩ$ ^{في نطاق ترددي متناهٍ} $الصغر$ عرضه $dν$ متمركز حول التردد $ν .$ $القدرة$ الكلية المشعة في أي زاوية مجسمة هي تكامل Bν $($ $ν$ $,$ $T$ $) على هذه الكميات الثلاث$ $،$ ويُعطى بقانون $ستيفان$ -بولتزمان . إن الإشعاع الطيفي لإشعاع بلانك من جسم أسود له نفس القيمة لكل اتجاه وزاوية استقطاب، ولذلك يقال إن الجسم الأسود هو مشع لامبرتي .

أشكال مختلفة

يُمكن إيجاد قانون بلانك بأشكالٍ متعددة تبعًا للاتفاقيات والتفضيلات المتبعة في مختلف المجالات العلمية. يُلخص الجدول أدناه الأشكال المختلفة لهذا القانون فيما يخص الإشعاع الطيفي. تُصادف الأشكال الموجودة على اليسار غالبًا في المجالات التجريبية ، بينما تُصادف الأشكال الموجودة على اليمين غالبًا في المجالات النظرية .

الإشعاع معبر عنه بدلالة متغيرات طيفية مختلفة ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 9 ]}
مع $h$		مع $ħ$
عامل	توزيع	عامل	توزيع
التردد $ν$	$B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	التردد الزاوي $ω$	$B_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{4\pi ^{3}c^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
الطول الموجي $λ$	$B_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	الطول الموجي الزاوي $y$	$B_{y}(y,T)={\frac {\hbar c^{2}}{4\pi ^{3}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
العدد الموجي $ν̃$	$B_{\tilde {\nu}}({\tilde {\nu }},T)=2hc^{2}{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	العدد الموجي الزاوي $k$	$B_{k}(k,T)={\frac {\hbar c^{2}k^{3}}{4\pi ^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
عرض النطاق الترددي الجزئي $ln x$	$B_{\ln x}(x,T)={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}T^{4}}{h^{3}c^{2}}}{\frac {x^{4}}{e^{x}-1}}$

في صيغة عرض النطاق الترددي الجزئي، ${\textstyle x={\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}$ والتكامل يتم بالنسبة إلى ${\textstyle \mathrm {d} (\ln x)=\mathrm {d} (\ln \nu )={\frac {\mathrm {d} \nu }{\nu }}=-{\frac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}=-\mathrm {d} (\ln \lambda )}$ .

^{يمكن أيضًا كتابة قانون} بلانك بدلالة كثافة الطاقة الطيفية ⁽ u ) $عن$ طريق ضرب $B$ في $4π$ $/$ $c$ $:$ $[$ ¹⁷ ] $u_{i}(T)={\frac {4\pi }{c}}B_{i}(T).$

كثافة الطاقة الطيفية معبر عنها بدلالة متغيرات طيفية مختلفة ^{[ 5 ]}
مع $h$		مع $ħ$
عامل	توزيع	عامل	توزيع
التردد $ν$	$u_{\nu }(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	التردد الزاوي $ω$	$u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\hbar \omega ^{3}}{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\hbar \omega /(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
الطول الموجي $λ$	$u_{\lambda }(\lambda ,T)={\frac {8\pi hc}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/(\lambda k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	الطول الموجي الزاوي $y$	$u_{y}(y,T)={\frac {\hbar c}{\pi ^{2}y^{5}}}{\frac {1}{e^{\hbar c/(yk_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
العدد الموجي $ν̃$	$u_{\tilde {\nu }}({\tilde {\nu }},T)=8\pi hc{\tilde {\nu }}^{3}{\frac {1}{e^{hc{\tilde {\nu }}/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$	العدد الموجي الزاوي $k$	$u_{k}(k,T)={\frac {\hbar ck^{3}}{\pi ^{2}}}{\frac {1}{e^{\hbar ck/(k_{\mathrm {B} }T)}-1}}$
عرض النطاق الترددي الجزئي $ln x$	$u_{\ln x}(x,T)={\frac {8\pi k_{\mathrm {B} }^{4}T^{4}}{h^{3}c^{3}}}{\frac {x^{4}}{e^{x}-1}}$

تمثل هذه التوزيعات الإشعاع الطيفي للأجسام السوداء - أي القدرة المنبعثة من السطح المُشع، لكل وحدة مساحة مُسقطة من السطح المُشع، لكل وحدة زاوية مجسمة ، لكل وحدة طيفية (التردد، الطول الموجي، العدد الموجي أو ما يُعادلها زاويًا، أو جزء من التردد أو الطول الموجي). وبما أن الإشعاع مُتساوي الخواص (أي مُستقل عن الاتجاه)، فإن القدرة المنبعثة بزاوية مع العمودي تتناسب مع المساحة المُسقطة، وبالتالي مع جيب تمام تلك الزاوية وفقًا لقانون جيب تمام لامبرت ، وهي غير مُستقطبة .

التوافق بين أشكال المتغيرات الطيفية

يختلف شكلا قانون بلانك، التردد والطول الموجي، في دالتين مختلفتين. وتعتمد العلاقة بينهما على العلاقات التفاضلية ، ووحدات الطول الموجي والتردد متبادلة. يعبّر كلا الشكلين عن مقدار الطاقة لكل خطوة من المتغير المستقل، لكن أحجام الخطوات تختلف. لذا، لا يمكن ربط شكلي قانون بلانك باستبدال متغير بآخر، لأن ذلك لا يأخذ في الحسبان اختلاف وحدات كل شكل. ^{[ 9 ]}

لتحويل الصيغ المتناظرة بحيث تعبر عن نفس الكمية بنفس الوحدات، نضرب في الزيادة الطيفية. عندئذٍ، بالنسبة لزيادة طيفية معينة، يمكن كتابة الزيادة في الطاقة الفيزيائية المحددة على النحو التالي: $B_{\lambda }(\lambda ,T)\,d\lambda =-B_{\nu }(\nu (\lambda ),T)\,d\nu ,$ مما يؤدي إلى $B_{\lambda }(\lambda ,T)=-{\frac {d\nu }{d\lambda }}B_{\nu }(\nu (\lambda ),T).$ تشير علامة السالب إلى أن زيادة التردد تتوافق مع انخفاض الطول الموجي.

بما أن $ν (λ$ $)$ $=$ $c$ $/$ $λ$ $،$ $فإن$ النسبة $dν$ $/$ $dλ$ $=$ $-c$ $/$ $λ²$ $. وبالتعويض$ $،$ ^{نحصل على العلاقة بين صيغتي التردد والطول الموجي}^، مع اختلاف أبعادهما ووحداتهما: ^[¹⁶ $]$ $[$ ¹⁸^] ${\frac {B_{\lambda }(T)}{B_{\nu }(T)}}={\frac {c}{\lambda ^{2}}}={\frac {\nu ^{2}}{c}}.$

يعتمد موقع ذروة التوزيع الطيفي لقانون بلانك على اختيار المتغير الطيفي.

يرتبط شكل عرض النطاق الترددي الجزئي بالأشكال الأخرى من خلال ^{[ 9 ]}

B_{\ln x}=\nu B_{\nu }=\lambda B_{\lambda }

.

ثوابت الإشعاع الأولى والثانية

$في الصيغ المذكورة$ $أعلاه$ لقانون بلانك، تستخدم صيغ الطول الموجي والعدد الموجي المصطلحين $2hc²$ و $hc$ $/$ $kB$ $،$ $وهما$ $يمثلان ثوابت فيزيائية فقط. وبالتالي$ $،$ يمكن اعتبار هذين المصطلحين ثوابت فيزيائية بحد ذاتهما، $[$ 19 ^]^ولذلك^يُشار إليهما بثابت الإشعاع الأول $c₁L$ وثابت الإشعاع الثاني $c₂$ $.$

ج 1 لتر = 2 ح ج 2

و

c 2 = ⁠ hc / k B ⁠

.

باستخدام ثوابت الإشعاع، يمكن تبسيط صيغة الطول الموجي لقانون بلانك إلى $L(\lambda ,T)={\frac {c_{1L}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}$ ويمكن تبسيط صيغة العدد الموجي تبعاً لذلك.

يُستخدم الرمز $L هنا بدلاً من$ $B$ لأنه رمز النظام الدولي للوحدات (SI) $للإشعاع$ $الطيفي. ويشير L$ في c1Lإلىذلك $. هذه الإشارة ضرورية لأن قانون$ $بلانك$ $يُمكن$ إعادة صياغته ليعطي الإشعاع الطيفي $M$ $($ $λ$ $,$ $T$ $)$ بدلاً من الإشعاع الطيفي $L$ $($ $λ$ $,$ $T$ $)$ ، وفي هذهالحالةيحل $c1$ $محل$ $c1L$ $.$

c 1 = 2π hc 2

,

وبالتالي يمكن كتابة قانون بلانك للإشعاع الطيفي الخارج على النحو التالي $M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{\lambda T}}\right)-1}}$

مع تحسن تقنيات القياس، قام المؤتمر العام للأوزان والمقاييس بمراجعة تقديره لـ $c 2$ ؛ انظر إلى موضع بلانك § المقياس الدولي لدرجة الحرارة لمزيد من التفاصيل.

الفيزياء

يصف قانون بلانك التوزيع الطيفي الفريد والمميز للإشعاع الكهرومغناطيسي في حالة التوازن الديناميكي الحراري، عندما لا يكون هناك تدفق صافٍ للمادة أو الطاقة. ^{[ 2 ]} يُمكن فهم فيزياء هذا القانون بسهولة أكبر من خلال دراسة الإشعاع في تجويف ذي جدران صلبة معتمة. إذ يُمكن أن تؤثر حركة الجدران على الإشعاع. أما إذا لم تكن الجدران معتمة، فإن التوازن الديناميكي الحراري لا يكون معزولًا. ومن المهم شرح كيفية الوصول إلى التوازن الديناميكي الحراري. هناك حالتان رئيسيتان: (أ) عندما يكون الاقتراب من التوازن الديناميكي الحراري في وجود المادة، حيث تكون جدران التجويف عاكسة بشكل غير كامل لجميع الأطوال الموجية، أو عندما تكون الجدران عاكسة تمامًا بينما يحتوي التجويف على جسم أسود صغير (وهذه هي الحالة الرئيسية التي درسها بلانك)؛ أو (ب) عندما يكون الاقتراب من التوازن في غياب المادة، حيث تكون الجدران عاكسة تمامًا لجميع الأطوال الموجية ولا يحتوي التجويف على أي مادة. بالنسبة للمادة غير المحصورة في مثل هذا التجويف، يمكن تفسير الإشعاع الحراري تقريبًا من خلال الاستخدام المناسب لقانون بلانك.

أدت الفيزياء الكلاسيكية، عبر نظرية التوزيع المتساوي للطاقة ، إلى كارثة الأشعة فوق البنفسجية ، وهي تنبؤ بأن شدة إشعاع الجسم الأسود الكلية لا نهائية. وإذا ما أُضيف إليها الافتراض غير المبرر كلاسيكيًا بأن الإشعاع محدود لسبب ما، فإن الديناميكا الحرارية الكلاسيكية تُقدم تفسيرًا لبعض جوانب توزيع بلانك، مثل قانون ستيفان-بولتزمان وقانون إزاحة فين . في حالة وجود المادة، تُقدم ميكانيكا الكم تفسيرًا جيدًا، كما هو موضح أدناه في القسم المعنون " معاملات أينشتاين" . هذه هي الحالة التي درسها أينشتاين، وتُستخدم حاليًا في البصريات الكمية . ^{[ 20 ]}^{[ 21 ]} أما في حالة غياب المادة، فإن نظرية الحقل الكمومي ضرورية، لأن ميكانيكا الكم غير النسبية ذات أعداد الجسيمات الثابتة لا تُقدم تفسيرًا كافيًا.

الفوتونات

يُفسّر قانون بلانك، من منظور نظرية الكم، الإشعاع على أنه غاز من جسيمات بوزونية عديمة الكتلة وغير مشحونة، وهي الفوتونات، في حالة توازن ديناميكي حراري . تُعتبر الفوتونات حاملة للتفاعل الكهرومغناطيسي بين الجسيمات الأولية المشحونة كهربائيًا. لا يُحفظ عدد الفوتونات، بل تُخلق أو تُفنى بأعداد وطاقات مناسبة لملء التجويف بالفوتونات وفقًا لتوزيع بلانك. بالنسبة لغاز الفوتونات في حالة توازن ديناميكي حراري، تتحدد كثافة الطاقة الداخلية كليًا بدرجة الحرارة، وكذلك الضغط. يختلف هذا عن حالة التوازن الديناميكي الحراري للغازات المادية، حيث لا تتحدد الطاقة الداخلية بدرجة الحرارة فحسب، بل أيضًا، بشكل مستقل، بأعداد الجزيئات المختلفة، وبشكل مستقل أيضًا، بخصائصها النوعية. بالنسبة لغازات مادية مختلفة عند درجة حرارة معينة، يمكن أن يختلف الضغط وكثافة الطاقة الداخلية بشكل مستقل، لأن الجزيئات المختلفة قد تحمل طاقات إثارة مختلفة بشكل مستقل.

ينشأ قانون بلانك كحالة حدية لتوزيع بوز-أينشتاين ، وهو توزيع الطاقة الذي يصف البوزونات غير التفاعلية في حالة التوازن الديناميكي الحراري. في حالة البوزونات عديمة الكتلة، مثل الفوتونات والغلوونات ، يكون الكمون الكيميائي صفرًا، ويتحول توزيع بوز-أينشتاين إلى توزيع بلانك. يوجد توزيع طاقة أساسي آخر للتوازن: توزيع فيرمي-ديراك ، الذي يصف الفرميونات ، مثل الإلكترونات، في حالة التوازن الحراري. يختلف التوزيعان لأن عدة بوزونات يمكنها أن تشغل نفس الحالة الكمومية ، بينما لا يمكن لعدة فرميونات أن تفعل ذلك. عند الكثافات المنخفضة، يكون عدد الحالات الكمومية المتاحة لكل جسيم كبيرًا، ويصبح هذا الاختلاف غير ذي أهمية. في حالة الكثافة المنخفضة، يتحول كل من توزيع بوز-أينشتاين وتوزيع فيرمي-ديراك إلى توزيع ماكسويل-بولتزمان .

قانون كيرشوف للإشعاع الحراري

يُعدّ قانون كيرشوف للإشعاع الحراري وصفًا موجزًا ومختصرًا لحالة فيزيائية معقدة. فيما يلي عرضٌ تمهيديٌّ لهذه الحالة، وهو بعيدٌ كل البعد عن كونه حُجّةً فيزيائيةً دقيقة. الهدف هنا هو فقط تلخيص العوامل الفيزيائية الرئيسية في هذه الحالة، والاستنتاجات الأساسية.

التغير الطيفي للإشعاع الحراري

يوجد فرق بين انتقال الحرارة بالتوصيل وانتقال الحرارة بالإشعاع . يمكن ترشيح انتقال الحرارة بالإشعاع بحيث يمرر نطاقًا محددًا من الترددات الإشعاعية فقط.

من المعروف عموماً أنه كلما زادت سخونة الجسم، زاد الإشعاع الحراري الذي ينبعث منه عند كل تردد.

في تجويف داخل جسم معتم ذي جدران صلبة لا تعكس بشكل مثالي عند أي تردد، وفي حالة التوازن الديناميكي الحراري، توجد درجة حرارة واحدة فقط، ويجب أن تشترك فيها جميع ترددات الإشعاع.

يمكن تخيل تجويفين من هذا النوع، كل منهما في حالة توازن إشعاعي وديناميكي حراري معزول. ويمكن تخيل جهاز بصري يسمح بانتقال الحرارة الإشعاعية بين التجويفين، مع ترشيح تمرير نطاق محدد من الترددات الإشعاعية فقط. إذا اختلفت قيم الإشعاع الطيفي للإشعاعات في التجويفين ضمن نطاق التردد هذا، فمن المتوقع أن تنتقل الحرارة من التجويفين الأكثر سخونة إلى التجويفين الأكثر برودة. يمكن اقتراح استخدام هذا الانتقال المُرشَّح للحرارة في هذا النطاق لتشغيل محرك حراري . إذا كان الجسمان عند نفس درجة الحرارة، فإن القانون الثاني للديناميكا الحرارية لا يسمح للمحرك الحراري بالعمل. يمكن الاستنتاج أنه عند درجة حرارة مشتركة للجسمين، يجب أن تكون قيم الإشعاع الطيفي في نطاق التمرير مشتركة أيضًا. يجب أن ينطبق هذا على كل نطاق تردد. ^{[ 22 ]}^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} وقد اتضح هذا الأمر لبالفور ستيوارت، ولاحقًا لكيرشهوف. وجد بلفور ستيوارت تجريبياً أن من بين جميع الأسطح، كان أحدها المصنوع من السخام هو الذي يصدر أكبر قدر من الإشعاع الحراري لكل جودة من جودة الإشعاع، وذلك بناءً على مرشحات مختلفة.

انطلاقًا من منظور نظري، ذهب كيرشوف أبعد من ذلك، مشيرًا إلى أن هذا يعني أن الإشعاع الطيفي، كدالة للتردد الإشعاعي، لأي تجويف من هذا القبيل في حالة توازن ديناميكي حراري، يجب أن يكون دالة عالمية فريدة لدرجة الحرارة. افترض وجود جسم أسود مثالي يتفاعل مع محيطه بطريقة تمتص كل الإشعاع الساقط عليه. وبموجب مبدأ التبادلية لهلمهولتز، فإن الإشعاع الصادر من داخل هذا الجسم سيمر دون عائق مباشرة إلى محيطه دون انعكاس عند السطح الفاصل. في حالة التوازن الديناميكي الحراري، سيكون للإشعاع الحراري المنبعث من هذا الجسم ذلك الإشعاع الطيفي العالمي الفريد كدالة لدرجة الحرارة. هذه الفكرة هي أساس قانون كيرشوف للإشعاع الحراري.

العلاقة بين الامتصاصية والانبعاثية

يمكن تخيل جسم كروي صغير متجانس، يُرمز له بـ $X،$ $عند$ درجة حرارة $TX ،$ يقع في مجال إشعاعي داخل تجويف كبير ذي جدران من مادة تُرمز لها بـ $Y$ عند درجة حرارة $TY$ . يُصدر الجسم $X$ إشعاعه الحراري الخاص. عند تردد معين $ν$ ، يُمكن التعبير عن الإشعاع المنبعث من مقطع عرضي معين يمر عبر مركز $X$ في اتجاه عمودي على ذلك المقطع بـ $Iν$ $, X (TX) ،$ $وهو$ ما يُميز مادة $X.$ عند ذلك التردد $ν$ ، يُمكن التعبير عن القدرة الإشعاعية من الجدران إلى ذلك المقطع في الاتجاه المعاكس $بـ$ $Iν, Y (TY) ،$ حيث درجة حرارة الجدار $TY .$ بالنسبة للمادة $X$ ، بتعريف الامتصاصية $α ν, X, Y (T X, T Y)$ على أنها نسبة الإشعاع الساقط الذي تمتصه $X$ ، يتم امتصاص الطاقة الساقطة بمعدل $α ν, X, Y (T X, T Y) I ν, Y (T Y)$ .

يمكن التعبير عن معدل تراكم الطاقة $q (ν, T X, T Y)$ في المقطع العرضي للجسم من أحد الاتجاهات على النحو التالي $q(\nu ,T_{X},T_{Y})=\alpha _{\nu ,X,Y}(T_{X},T_{Y})I_{\nu ,Y}(T_{Y})-I_{\nu ,X}(T_{X}).$

كانت رؤية كيرشوف الرائدة، المذكورة أعلاه، هي أنه عند التوازن الديناميكي الحراري عند درجة الحرارة $T$ ، يوجد توزيع إشعاعي عالمي فريد، يُشار إليه اليوم بـ $B ν (T)$ ، وهو مستقل عن الخصائص الكيميائية للمادتين $X$ و $Y$ ، مما يؤدي إلى فهم قيّم للغاية لتوازن التبادل الإشعاعي لأي جسم على الإطلاق، على النحو التالي.

$عند$ الوصول إلى حالة التوازن الديناميكي الحراري عند درجة الحرارة $T$ $،$ $يكون$ لإشعاع $التجويف$ $من$ الجدران قيمة عالمية فريدة، بحيث يكون $Iν$ $, Y (TY) = Bν (T)$ . ويمكن تعريف معامل الانبعاث $εν, X (TX)$ لمادة الجسم $X$ بحيث يكون عند التوازن الديناميكي الحراري عند درجة $الحرارة$ $TX$ $=$ $T$ $،$ يكون $Iν$ $,$ $X$ $($ $TX$ $)$ $=$ $Iν$ $,$ $X$ $($ $T$ $)$ $=$ $εν$ $,$ $X$ $($ $T$ $)$ $Bν$ $($ $T$ $)$ $.$

عندما يسود التوازن الحراري عند درجة حرارة $T = TX = TY$ $،$ فإن معدل تراكم الطاقة يتلاشى بحيث يكون $q$ $(ν, TX, TY) = 0.$ ويترتب على ذلك أنه في حالة التوازن الديناميكي $الحراري$ $،$ عندما $T$ $=$ $TX$ $=$ $TY$ $،$ $0=\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)B_{\nu }(T)-\epsilon _{\nu ,X}(T)B_{\nu }(T).$

أشار كيرشوف إلى أنه يترتب على ذلك أنه في حالة التوازن الديناميكي الحراري، عندما تكون $T = T X = T Y$ ، $\alpha _{\nu ,X,Y}(T,T)=\epsilon _{\nu ,X}(T).$

بإدخال الرمز الخاص $α ν, X (T)$ لامتصاصية المادة $X$ عند التوازن الديناميكي الحراري عند درجة الحرارة $T$ (المبررة باكتشاف أينشتاين، كما هو موضح أدناه)، نحصل أيضًا على المساواة $\alpha _{\nu ,X}(T)=\epsilon _{\nu ,X}(T)$ عند التوازن الديناميكي الحراري.

إن تساوي الامتصاصية والانبعاثية الموضح هنا خاص بالتوازن الديناميكي الحراري عند درجة الحرارة $T$ ، ولا يُتوقع عمومًا أن يتحقق عندما لا تتحقق شروط التوازن الديناميكي الحراري. تُعدّ كل من الانبعاثية والامتصاصية خاصيتين منفصلتين لجزيئات المادة، لكنهما تعتمدان بشكل مختلف على توزيع حالات الإثارة الجزيئية في تلك الحالة، وذلك بسبب ظاهرة تُعرف باسم "الانبعاث المحفز"، والتي اكتشفها أينشتاين. عندما تكون المادة في حالة توازن ديناميكي حراري، أو في حالة تُعرف بالتوازن الديناميكي الحراري الموضعي، تتساوى الانبعاثية والامتصاصية. يمكن للإشعاع الساقط القوي جدًا أو عوامل أخرى أن تُخلّ بالتوازن الديناميكي الحراري أو التوازن الديناميكي الحراري الموضعي. يعني التوازن الديناميكي الحراري الموضعي في الغاز أن تصادمات الجزيئات تفوق بكثير انبعاث الضوء وامتصاصه في تحديد توزيع حالات الإثارة الجزيئية.

أشار كيرشوف إلى أنه لم يكن يعرف الطبيعة الدقيقة لـ $Bν$ $(T) ،$ لكنه رأى أنه من المهم اكتشافها. بعد أربعة عقود من إدراك كيرشوف للمبادئ العامة لوجودها وطبيعتها، تمثلت مساهمة بلانك في تحديد التعبير الرياضي الدقيق لتوزيع $التوازن$ $Bν (T)$ .

جسم أسود

في الفيزياء، يُنظر إلى الجسم الأسود المثالي، ويُرمز له هنا بالرمز $B$ ، على أنه الجسم الذي يمتص كل الإشعاع الكهرومغناطيسي الساقط عليه عند كل تردد $ν (ومن هنا$ $جاء$ مصطلح "أسود"). ووفقًا لقانون كيرشوف للإشعاع الحراري، فإن هذا يعني أنه عند كل تردد $ν، وعند الاتزان الديناميكي الحراري عند درجة حرارة T، يكون لدينا αν,B(T) = εν,$ $B$ ( $T$ ) $= 1 ، وبالتالي فإن الإشعاع الحراري الصادر من الجسم الأسود يساوي$ دائمًا الكمية الكاملة المحددة بقانون بلانك. لا يمكن لأي جسم مادي أن يُصدر إشعاعًا حراريًا يتجاوز إشعاع الجسم الأسود، لأنه لو كان في حالة اتزان مع مجال إشعاعي، لكان سيُصدر طاقة أكبر من الطاقة الساقطة عليه.

على الرغم من عدم وجود مواد سوداء تمامًا، إلا أنه من الممكن عمليًا تقريب سطح أسود بدقة. ^{[ 2 ]} أما بالنسبة لبنيته الداخلية، فإن أي جسم من مادة مكثفة، سائلة أو صلبة أو بلازما، له سطح فاصل محدد مع محيطه، يكون أسودًا تمامًا للإشعاع إذا كان معتمًا تمامًا. وهذا يعني أنه يمتص كل الإشعاع الذي يخترق سطحه الفاصل مع محيطه ويدخله. وهذا ليس صعبًا تحقيقه عمليًا. من ناحية أخرى، لا يوجد سطح فاصل أسود تمامًا في الطبيعة. فالسطح الفاصل الأسود تمامًا لا يعكس أي إشعاع، ولكنه ينقل كل ما يسقط عليه من كلا الجانبين. وأفضل طريقة عملية لإنشاء سطح فاصل أسود فعليًا هي محاكاة "سطح فاصل" بثقب صغير في جدار تجويف كبير في جسم صلب معتم تمامًا مصنوع من مادة لا تعكس الضوء بشكل مثالي عند أي تردد، مع ضبط درجة حرارة جدرانه. وبغض النظر عن هذه الشروط، فإن مادة الجدران المكونة لها غير مقيدة. يكاد يكون من المستحيل على الإشعاع الداخل إلى الفتحة أن يهرب من التجويف دون أن يمتصه اصطدامات متعددة بجدرانه. ^{[ 25 ]}

قانون جيب التمام للامبرت

كما أوضح بلانك ^{[ 26 ]،} يمتلك الجسم المشعّ باطناً يتكون من المادة، وسطحاً فاصلاً مع الوسط المادي المجاور له، وهو عادةً الوسط الذي تُلاحَظ منه الإشعاعات الصادرة من سطح الجسم. لا يتكون هذا السطح الفاصل من مادة فيزيائية، بل هو مفهوم نظري، سطح رياضي ثنائي الأبعاد، خاصية مشتركة بين الوسطين المتجاورين، ولا ينتمي، بالمعنى الدقيق، إلى أي منهما على حدة. لا يمكن لهذا السطح الفاصل امتصاص الإشعاع أو بثّه، لأنه لا يتكون من مادة فيزيائية؛ ولكنه موقع انعكاس الإشعاع وانتقاله، لأنه سطح ذو خصائص بصرية غير متصلة. ويخضع انعكاس الإشعاع وانتقاله عند هذا السطح الفاصل لمبدأ التبادلية لستوكس-هيلمهولتز .

في أي نقطة داخل جسم أسود يقع داخل تجويف في حالة اتزان ديناميكي حراري عند درجة حرارة $T$ ، يكون الإشعاع متجانسًا ومتساوي الخواص وغير مستقطب. يمتص الجسم الأسود كل الإشعاع الكهرومغناطيسي الساقط عليه ولا يعكس أيًا منه. ووفقًا لمبدأ التبادلية لهلمهولتز، فإن الإشعاع الصادر من داخل الجسم الأسود لا ينعكس على سطحه، بل ينتقل بالكامل إلى خارجه. وبسبب تساوي خواص الإشعاع داخل الجسم، فإن الطيف الإشعاعي للإشعاع المنتقل من داخله إلى خارجه عبر سطحه لا يعتمد على الاتجاه. ^{[ 27 ]}

يُعبَّر عن ذلك بالقول إن الإشعاع الصادر من سطح جسم أسود في حالة توازن ديناميكي حراري يخضع لقانون جيب التمام للامبرت. ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} وهذا يعني أن التدفق الطيفي $dΦ (dA, θ, dΩ, dν)$ من عنصر متناهٍ الصغر ذي مساحة $dA$ من سطح الانبعاث الفعلي للجسم الأسود، والذي يُرصد من اتجاه معين يصنع زاوية $θ$ مع العمودي على سطح الانبعاث الفعلي عند $dA$ ، إلى عنصر ذي زاوية مجسمة للكشف $dΩ$ متمركزة على الاتجاه المشار إليه بـ $θ$ $،$ في عنصر ذي نطاق ترددي $dν$ ، يمكن تمثيله كما يلي ^{[ 30 ].} ${\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=L^{0}(dA,d\nu )\,dA\,d\nu \,\cos \theta$ حيث يشير $L 0 (dA, dν)$ إلى التدفق، لكل وحدة مساحة لكل وحدة تردد لكل وحدة زاوية مجسمة، الذي ستظهره المساحة $dA إذا تم قياسها في اتجاهها الطبيعي$ $θ = 0$ .

يُوجد عامل $cos θ$ لأن المساحة التي يُشير إليها الإشعاع الطيفي مباشرةً هي إسقاط مساحة سطح الانبعاث الفعلية على مستوى عمودي على الاتجاه الذي يُشير إليه $θ$ . وهذا هو سبب تسمية قانون جيب التمام بهذا الاسم .

بأخذ استقلالية اتجاه الإشعاع الطيفي للإشعاع من سطح جسم أسود في حالة توازن ديناميكي حراري في الاعتبار، يكون لدينا $L 0 (dA, dν) = B ν (T)$ وبالتالي ${\frac {d\Phi (dA,\theta ,d\Omega ,d\nu )}{d\Omega }}=B_{\nu }(T)\,dA\,d\nu \,\cos \theta .$

وهكذا يعبر قانون جيب التمام لامبرت عن استقلال اتجاه الإشعاع الطيفي $B ν (T)$ لسطح جسم أسود في حالة توازن ديناميكي حراري.

قانون ستيفان-بولتزمان

يمكن إيجاد إجمالي الطاقة المنبعثة لكل وحدة مساحة على سطح الجسم الأسود ( $P$ ) عن طريق تكامل التدفق الطيفي للجسم الأسود الموجود من قانون لامبرت على جميع الترددات، وعلى الزوايا المجسمة المقابلة لنصف الكرة ( $h$ ) فوق السطح. $P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{h}d\Omega \,B_{\nu }\cos(\theta )$

يمكن التعبير عن الزاوية المجسمة المتناهية الصغر بالإحداثيات القطبية الكروية : $d\Omega =\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi .$ لهذا السبب: $P=\int _{0}^{\infty }d\nu \int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}d\theta \int _{0}^{2\pi }d\phi \,B_{\nu }(T)\cos(\theta )\sin(\theta )=\sigma T^{4}$ أين $\sigma ={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{4}\pi ^{5}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670374419\times 10^{-8}\,\mathrm {J\,s^{-1}m^{-2}K^{-4}}$ يُعرف باسم ثابت ستيفان-بولتزمان . ^{[ 31 ]}

انتقال الإشعاع

تصف معادلة انتقال الإشعاع كيفية تأثر الإشعاع أثناء انتقاله عبر وسط مادي. وفي الحالة الخاصة التي يكون فيها الوسط المادي في حالة توازن ديناميكي حراري في جوار نقطة معينة فيه، يكتسب قانون بلانك أهمية خاصة.

لتبسيط الأمر، يمكننا اعتبار الحالة الخطية المستقرة، دون تشتت . تنص معادلة انتقال الإشعاع على أنه بالنسبة لشعاع ضوئي يقطع مسافة صغيرة $d s$ ، فإن الطاقة محفوظة: التغير في الإشعاع (الطيفي) لهذا الشعاع ( $I ν$ ) يساوي مقدار الطاقة التي أزالها الوسط المادي بالإضافة إلى مقدار الطاقة المكتسبة منه. إذا كان مجال الإشعاع في حالة توازن مع الوسط المادي، فإن هذين العاملين سيكونان متساويين. سيكون للوسط المادي معامل انبعاث ومعامل امتصاص محددين .

معامل الامتصاص $α$ هو التغير النسبي في شدة شعاع الضوء أثناء قطعه مسافة $d s$ ، ووحدته هي الطول⁻¹ ^. يتكون من جزأين: النقص الناتج عن الامتصاص، والزيادة الناتجة عن الانبعاث المحفز . الانبعاث المحفز هو انبعاث من الجسم المادي ناتج عن الإشعاع الوارد ويتناسب معه. يُدرج هذا الانبعاث ضمن مصطلح الامتصاص لأنه، مثله، يتناسب مع شدة الإشعاع الوارد. بما أن مقدار الامتصاص يتناسب خطيًا مع كثافة المادة $ρ ، يمكننا تعريف "معامل امتصاص الكتلة"$ $κν = α / ρ ، وهو خاصية للمادة نفسها .$ عندئذٍ، يكون التغير في شدة شعاع الضوء الناتج عن الامتصاص أثناء قطعه مسافة صغيرة $d s$ كما يلي ^[⁷^] $.$ $dI_{\nu }=-\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }\,ds$

معامل انبعاث الكتلة $jν$ يساوي الإشعاع لكل وحدة حجم لعنصر حجمي صغير مقسومًا على كتلته (لأن الانبعاث، كما هو الحال في معامل امتصاص الكتلة، يتناسب طرديًا مع كتلة المصدر)، ووحداته هي: القدرة × الزاوية المجسمة $\times$ ^التردد × ^{الكثافة} . ^ومثل معامل امتصاص الكتلة، فهو أيضًا خاصية للمادة نفسها. وبالتالي، يكون التغير في شعاع الضوء أثناء مروره بمسافة صغيرة $ds كما يلي$ ^[³²^] $.$ $dI_{\nu }=j_{\nu }\rho \,ds$

وستكون معادلة انتقال الإشعاع عندئذٍ مجموع هذين المساهمتين: ^{[ 33 ]} ${\frac {dI_{\nu }}{ds}}=j_{\nu }\rho -\kappa _{\nu }\rho I_{\nu }.$

إذا كان مجال الإشعاع في حالة توازن مع الوسط المادي، فسيكون الإشعاع متجانسًا (مستقلًا عن الموضع) بحيث يكون $dI ν = 0$ و: $\kappa _{\nu }B_{\nu }=j_{\nu }$ وهو بيان آخر لقانون كيرشوف، يربط بين خاصيتين ماديتين للوسط، وينتج عنه معادلة انتقال الإشعاع عند نقطة يكون الوسط حولها في حالة توازن ديناميكي حراري: ${\frac {dI_{\nu }}{ds}}=\kappa _{\nu }\rho (B_{\nu }-I_{\nu }).$

معاملات أينشتاين

ينص مبدأ التوازن التفصيلي على أنه عند التوازن الديناميكي الحراري، تكون كل عملية أولية في حالة توازن مع عمليتها العكسية.

في عام ١٩١٦، طبّق ألبرت أينشتاين هذا المبدأ على المستوى الذري في حالة ذرة تشعّ وتمتصّ الإشعاع نتيجةً للانتقالات بين مستويين طاقيين محددين، ^{[ ٣٤ ]} مما أتاح فهمًا أعمق لمعادلة انتقال الإشعاع وقانون كيرشوف لهذا النوع من الإشعاع. إذا كان المستوى ١ هو مستوى الطاقة الأدنى بطاقة $E١$ ، والمستوى ٢ هو مستوى الطاقة الأعلى بطاقة $E٢$ $،$ فإن تردد $ν للإشعاع المشع أو$ ^{الممتصّ} سيُحدّد بشرط تردد بور: ^[^٣٥ $]$ ^[^٣٦^] $E_{2}-E_{1}=h\nu .$

إذا كانت $n1$ $و$ n2 $هما$ كثافتي عدد الذرات في الحالتين 1 و 2 على التوالي، فإن معدل تغير هاتين الكثافتين مع مرور الوقت سيكون ناتجًا عن ثلاث عمليات $:$

الانبعاث التلقائي: $\left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {spon} }=A_{21}n_{2}$
الانبعاث المحفز: $\left({\frac {dn_{1}}{dt}}\right)_{\mathrm {stim} }=B_{21}n_{2}u_{\nu }$
امتصاص الضوء: $\left({\frac {dn_{2}}{dt}}\right)_{\mathrm {abs} }=B_{12}n_{1}u_{\nu }$

حيث $uν هي كثافة الطاقة$ $الطيفية$ لحقل الإشعاع. ترتبط المعاملات الثلاثة $A21 و$ $B21$ و $B12$ ، المعروفة بمعاملات أينشتاين $، بتردد الفوتون$ $ν الناتج عن الانتقال بين مستويين طاقيين (حالتين). ونتيجة لذلك، لكل خط في الطيف مجموعة خاصة به من المعاملات المرتبطة$ $به$ . عندما تكون الذرات وحقل الإشعاع في حالة اتزان، يُعطى الإشعاع بقانون بلانك، وبحسب مبدأ التوازن التفصيلي، يجب أن يكون مجموع هذه المعدلات صفرًا. $0=A_{21}n_{2}+B_{21}n_{2}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)-B_{12}n_{1}{\frac {4\pi }{c}}B_{\nu }(T)$

وبما أن الذرات في حالة توازن أيضاً، فإن عدد الذرات في المستويين يرتبط بعامل بولتزمان : ${\frac {n_{2}}{n_{1}}}={\frac {g_{2}}{g_{1}}}e^{-h\nu /k_{\mathrm {B} }T}$ حيث $يمثل$ $g1$ و $g2$ تعددية مستويات الطاقة المعنية. وبدمج المعادلتين السابقتين مع اشتراط صحتهما عند أي درجة حرارة، نحصل على علاقتين بين معاملات أينشتاين $:$ ${\frac {A_{21}}{B_{21}}}={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}$ ${\frac {B_{21}}{B_{12}}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}$ بحيث أن معرفة أحد المعاملات ستؤدي إلى معرفة المعاملين الآخرين.

في حالة الامتصاص والانبعاث المتساويين، يمكن التعبير عن معامل الانبعاث ( $jν)$ ومعامل الامتصاص ( $κν)$ المحددين في قسم انتقال الإشعاع أعلاه، بدلالة معاملات أينشتاين. وستؤدي العلاقات بين معاملات أينشتاين إلى صيغة قانون كيرشوف المذكورة في قسم انتقال الإشعاع أعلاه، وهي: $j_{\nu }=\kappa _{\nu }B_{\nu }.$

تنطبق هذه المعاملات على كل من الذرات والجزيئات.

ملكيات

القمم

تبلغ التوزيعات $B ν$ و $B ω$ و $B ν̃$ و $B k$ ذروتها عند طاقة الفوتون ^{[ 37 ]} $E=\left[3+W\left(-3e^{-3}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.821\ k_{\mathrm {B} }T,$ حيث $W$ هي دالة لامبرت W و $e$ هو عدد أويلر .

ومع ذلك، فإن توزيع $B λ$ يبلغ ذروته عند طاقة مختلفة ^{[ 37 ]} $E=\left[5+W\left(-5e^{-5}\right)\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 4.965\ k_{\mathrm {B} }T,$ والسبب في ذلك هو أنه، كما ذكرنا سابقًا، لا يمكن الانتقال من (على سبيل المثال) $B ν$ إلى $B λ$ بمجرد استبدال $ν$ بـ $λ$ . بالإضافة إلى ذلك، يجب أيضًا الضرب في ${\textstyle \left|{d\nu }/{d\lambda }\right|=c/{\lambda ^{2}}}$ مما يؤدي إلى إزاحة ذروة التوزيع نحو طاقات أعلى. تمثل هذه الذروات طاقة نمط الفوتون، عند تجميعها باستخدام فئات متساوية الحجم من التردد أو الطول الموجي، على التوالي. قسمة $hc$ (14 387 .770 μm·K ) من خلال تعبير الطاقة هذا يعطي طول موجة الذروة.

يُعطى الإشعاع الطيفي عند هذه القمم بالمعادلة التالية:

{\begin{aligned}B_{\nu ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{3}T^{3}x^{3}}{h^{2}c^{2}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 1.896\times 10^{-19}\mathrm {\frac {W}{m^{2}\cdot Hz\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{3}\end{aligned}}

مع $x=3+W(-3e^{-3}),$ و ${\begin{aligned}B_{\lambda ,{\text{max}}}(T)&={\frac {2k_{\mathrm {B} }^{5}T^{5}x^{5}}{h^{4}c^{3}}}{\frac {1}{e^{x}-1}}\\[1ex]&\approx 4.096\times 10^{-6}\mathrm {\frac {W}{m^{3}\cdot sr}} \times {\left({\frac {T}{\mathrm {K} }}\right)}^{5}\end{aligned}}$ مع $x=5+W(-5e^{-5}).$

في الوقت نفسه، فإن متوسط طاقة الفوتون المنبعث من جسم أسود هو $E=\left[{\frac {\pi ^{4}}{30\ \zeta (3)}}\right]k_{\mathrm {B} }T\approx 2.701\ k_{\mathrm {B} }T,$ أين $\zeta$ هي دالة زيتا لريمان .

التقريبات

رسوم بيانية لوغاريتمية للإشعاع مقابل التردد لقانون بلانك (باللون الأخضر)، مقارنةً بقانون رايلي-جينز (باللون الأحمر) وتقريب فين (باللون الأزرق) لجسم أسود عند درجة حرارة 8 ملي كلفن

في حالة الترددات المنخفضة (أي الأطوال الموجية الطويلة)، يصبح قانون بلانك هو قانون رايلي-جينز ^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}^{[ 40 ]} ${\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}k_{\mathrm {B} }T,&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}k_{\mathrm {B} }T.\end{aligned}}$

يزداد الإشعاع مع مربع التردد، مما يوضح كارثة الأشعة فوق البنفسجية . في حالة الترددات العالية (أي الأطوال الموجية القصيرة)، يميل قانون بلانك إلى تقريب فين : ^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]} ${\begin{aligned}B_{\nu }(T)&\approx {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}},&B_{\lambda }(T)&\approx {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}}.\end{aligned}}$

النسب المئوية

النسبة المئوية	$λ T$ (ميكرومتر·كلفن)	$λ k B T / hc$
0.01%	910	0.0632
0.1%	1110	0.0771
1%	1448	0.1006
10%	2195	0.1526
20%	2676	0.1860
25.0%	2898	0.2014
30%	3119	0.2168
40%	3582	0.2490
41.8%	3670	0.2551
50%	4107	0.2855
60%	4745	0.3298
64.6%	5099	0.3544
70%	5590	0.3885
80%	6864	0.4771
90%	9376	0.6517
99%	22884	1.5905
99.9%	51613	3.5873
99.99%	113374	7.8799

ينص قانون إزاحة فين، بصيغته الأقوى، على أن شكل قانون بلانك لا يتأثر بدرجة الحرارة. ولذلك، يمكن سرد نقاط النسبة المئوية للإشعاع الكلي، بالإضافة إلى ذروات الطول الموجي والتردد، بصيغة تعطي الطول الموجي $λ$ عند قسمته على درجة الحرارة $T.$ ^{[ 43 ]} يسرد العمود الثاني من الجدول التالي القيم المقابلة لـ $λT$ ، أي قيم $x$ التي يكون عندها الطول الموجي $λ مساويًا$ $لـ$ $x$ $/$ $T$ $ميكرومتر$ عند نقطة النسبة المئوية للإشعاع المحددة في العمود الأول.

أي أن 0.01% من الإشعاع يقع عند طول موجي أقل $من$ $910$ $/$ $T$ $ميكرومتر$ ، و20% عند طول موجي أقل $من$ $2676$ $/$ $T$ $ميكرومتر$ $، وهكذا. تظهر ذروات الطول الموجي والتردد بخط غامق، وتقع عند 25.0% و64.6% على التوالي. تمثل النقطة 41.8% ذروة التوازن بين$ الطول الموجي والتردد (أي ذروة القدرة لكل وحدة تغير في لوغاريتم الطول الموجي أو التردد). هذه هي النقاط التي تصل عندها $دوال$ $قانون$ $بلانك$ $1$ $/$ $λ₅$ $و$ $ν₃$ $و$ $ν₂$ / $λ₂$ $،$ $على$ $التوالي$ $،$ مقسومة $على$ exp $($ $hν$ $/$ $kBT$ $)$ $⁻¹$ $،$ $إلى$ $قيمها$ القصوى $.$ إن الفجوة الأصغر بكثير في نسبة الأطوال الموجية بين 0.1% و0.01% (1110 أكبر بنسبة 22% من 910) مقارنة بالفجوة بين 99.9% و99.99% (113374 أكبر بنسبة 120% من 51613) تعكس التضاؤل الأسي للطاقة عند الأطوال الموجية القصيرة (الطرف الأيسر) والتضاؤل متعدد الحدود عند الأطوال الموجية الطويلة.

يعتمد اختيار الذروة المناسبة على التطبيق. الخيار التقليدي هو ذروة الطول الموجي عند 25.0%، والتي يحددها قانون إزاحة فين بصيغته الضعيفة. في بعض الحالات، قد يكون الوسيط أو نقطة 50%، التي تقسم الإشعاع الكلي إلى نصفين، أكثر ملاءمة. هذه النقطة الأخيرة أقرب إلى ذروة التردد منها إلى ذروة الطول الموجي، لأن الإشعاع يتناقص أُسّيًا عند الأطوال الموجية القصيرة، وبشكل متعدد الحدود فقط عند الأطوال الموجية الطويلة. وللسبب نفسه، تقع ذروة الحياد عند طول موجي أقصر من الوسيط.

النسبة المئوية	Sun $λ$ (μm) ^{[ 44 ]}	جسم أسود عند 5778 كيلو بايت	288 كلفن كوكب $λ$ (ميكرومتر)
0.01%	0.203	0.157	3.16
0.1%	0.235	0.192	3.85
1%	0.296	0.251	5.03
10%	0.415	0.380	7.62
20%	0.484	0.463	9.29
25.0%	0.520	0.502	10.1
30%	0.556	0.540	10.8
41.8%	0.650	0.635	12.7
50%	0.727	0.711	14.3
60%	0.844	0.821	16.5
64.6%	0.911	0.882	17.7
70%	1.003	0.967	19.4
80%	1.242	1.188	23.8
90%	1.666	1.623	32.6
99%	3.728	3.961	79.5
99.9%	8.208	8.933	179
99.99%	17.548	19.620	394

مقارنة بالطيف الشمسي

يمكن مقارنة الإشعاع الشمسي بإشعاع الجسم الأسود عند درجة حرارة تقارب 5778 كلفن (انظر الرسم البياني). يوضح الجدول على اليمين كيفية توزيع إشعاع الجسم الأسود عند هذه الدرجة، وكيفية توزيع ضوء الشمس للمقارنة. وللمقارنة أيضًا، يظهر كوكب مُنمذج كجسم أسود، يشع عند درجة حرارة اسمية تبلغ 288 كلفن (15 درجة مئوية) كقيمة نموذجية لدرجة حرارة الأرض شديدة التباين. أطوال موجاته تزيد عن عشرين ضعفًا عن أطوال موجات الشمس، والمُدرجة في العمود الثالث بالميكرومترات (آلاف النانومترات).

أي أن 1% فقط من إشعاع الشمس يقع ضمن نطاق أطوال موجية أقصر من 296 نانومتر، و1% فقط ضمن نطاق أطوال موجية أطول من 3728 نانومتر. وبالتعبير عن ذلك بالميكرومتر، فإن 98% من إشعاع الشمس يقع ضمن النطاق من 0.296 إلى 3.728 ميكرومتر. أما النسبة المقابلة البالغة 98% من الطاقة المنبعثة من كوكب درجة حرارته 288 كلفن فتقع ضمن نطاق أطوال موجية من 5.03 إلى 79.5 ميكرومتر، $وهو$ نطاق أعلى بكثير من نطاق الإشعاع الشمسي (أو أدنى منه إذا تم التعبير عنه بدلالة الترددات $ν = c / λ بدلاً$ من الأطوال الموجية $λ$ ).

نتيجةً لهذا الاختلاف الكبير في الطول الموجي بين الإشعاع الشمسي والإشعاع الكوكبي، والذي يتجاوز عشرة أضعاف، يسهل تصميم مرشحات تسمح بمرور أحدهما وتحجب الآخر. فعلى سبيل المثال، تسمح النوافذ المصنوعة من الزجاج العادي أو البلاستيك الشفاف بمرور 80% على الأقل من الإشعاع الشمسي الوارد ذي درجة حرارة 5778 كلفن، والذي يقل طول موجته عن 1.2 ميكرومتر، بينما تحجب أكثر من 99% من الإشعاع الحراري الصادر ذي درجة حرارة 288 كلفن، والذي يبدأ طول موجته من 5 ميكرومتر فصاعدًا، وهي أطوال موجية تكون عندها معظم أنواع الزجاج والبلاستيك المستخدمة في البناء معتمة فعليًا.

يُعرَّف إشعاع الشمس بأنه الإشعاع الواصل إلى أعلى الغلاف الجوي. وكما هو موضح في الجدول، يُمثل الإشعاع الذي يقل طول موجته عن 400 نانومتر، أو الأشعة فوق البنفسجية ، حوالي 8% من إجمالي الإشعاع، بينما يبدأ الإشعاع الذي يزيد طول موجته عن 700 نانومتر، أو الأشعة تحت الحمراء ، من حوالي 48%، أي ما يعادل 52% من إجمالي الإشعاع. وبالتالي، فإن 40% فقط من الإشعاع الشمسي الواصل إلى أعلى الغلاف الجوي يكون مرئيًا للعين البشرية. ويُغير الغلاف الجوي هذه النسب بشكل كبير لصالح الضوء المرئي، حيث يمتص معظم الأشعة فوق البنفسجية وكميات كبيرة من الأشعة تحت الحمراء.

الاشتقاقات

غاز الفوتون

لنفترض مكعبًا طول ضلعه $L$ ، ذو جدران موصلة، مملوء بإشعاع كهرومغناطيسي في حالة اتزان حراري عند درجة حرارة $T.$ إذا وُجد ثقب صغير في أحد الجدران، فسيكون الإشعاع المنبعث منه مماثلاً لإشعاع جسم أسود مثالي . سنحسب أولًا كثافة الطاقة الطيفية داخل التجويف، ثم نحدد الإشعاع الطيفي للإشعاع المنبعث.

عند جدران المكعب، يجب أن ينعدم كل من المركبة الموازية للمجال الكهربائي والمركبة المتعامدة للمجال المغناطيسي. وبالمثل للدالة الموجية لجسيم في صندوق ، نجد أن المجالات عبارة عن تراكبات لدوال دورية. ويمكن تمثيل الأطوال الموجية الثلاثة $λ₁$ $و$ λ₂ $و$ λ₃ $في$ الاتجاهات الثلاثة المتعامدة مع الجدران كما $يلي$ $:$ $\lambda _{i}={\frac {2L}{n_{i}}},$ حيث تمثل $nᵢ$ أعدادًا صحيحة موجبة. لكل مجموعة من الأعداد الصحيحة $nᵢ$ $،$ يوجد حلان مستقلان خطيًا (يُعرفان بالنمطين). يتوافق النمطان لكل مجموعة من هذه الأعداد $nᵢ$ $مع$ $حالتي$ استقطاب الفوتون ذي اللف المغزلي 1. وفقًا لنظرية الكم، تُعطى الطاقة الكلية للنمط بالعلاقة التالية:

E_{n_{1},n_{2},n_{3}}\left(r\right)=\left(r+{\frac {1}{2}}\right){\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.

1

يمكن تفسير العدد $r$ على أنه عدد الفوتونات في النمط. عندما يكون $r = 0،$ فإن طاقة النمط لا تساوي صفرًا. طاقة الفراغ هذه للمجال الكهرومغناطيسي هي المسؤولة عن تأثير كازيمير . سنقوم فيما يلي بحساب الطاقة الداخلية للصندوق عند درجة الحرارة المطلقة $T.$

وفقًا للميكانيكا الإحصائية ، فإن توزيع احتمالية التوازن على مستويات الطاقة لنمط معين يُعطى بواسطة توزيع بولتزمان : $P_{r}={\frac {e^{-\beta E\left(r\right)}}{Z\left(\beta \right)}}.$ حيث نستخدم مقلوب درجة الحرارة $\beta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.$ المقام $Z (β)$ هو دالة التوزيع لنمط واحد. وهو يجعل $P <sub>r</sub>$ مُعَيَّرًا بشكل صحيح، ويمكن حسابه على النحو التالي: $Z\left(\beta \right)=\sum _{r=0}^{\infty }e^{-\beta E\left(r\right)}={\frac {e^{-\beta \varepsilon /2}}{1-e^{-\beta \varepsilon }}},$ مع

\varepsilon ={\frac {hc}{2L}}{\sqrt {n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}}}.

2

تمثل طاقة الفوتون الواحد. ويمكن الحصول على متوسط الطاقة في نمط معين من دالة التوزيع : $\left\langle E\right\rangle =-{\frac {d\log \left(Z\right)}{d\beta }}={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}.$ هذه الصيغة، باستثناء حد طاقة الفراغ الأول، هي حالة خاصة من الصيغة العامة للجسيمات التي تخضع لإحصاءات بوز-أينشتاين . وبما أنه لا يوجد قيد على العدد الإجمالي للفوتونات، فإن الكمون الكيميائي يساوي صفرًا.

$إذا$ قمنا بقياس الطاقة نسبةً إلى الحالة الأرضية، فإن الطاقة الكلية في الصندوق تُحسب بجمع $⟨E⟩$ $- ε / 2 على جميع حالات الفوتون$ $المفرد$ المسموح بها. يمكن القيام بذلك بدقة في الحد الديناميكي الحراري عندما يقترب $L من اللانهاية. في هذا الحد، تصبح$ $ε متصلة$ $،$ ويمكننا حينها تكامل $⟨E⟩ - ε / 2$ على هذه المعلمة. لحساب الطاقة في الصندوق بهذه الطريقة، نحتاج إلى تحديد عدد حالات الفوتون في نطاق طاقة معين. إذا كتبنا العدد الإجمالي لحالات الفوتون المفرد ذات الطاقات بين $ε$ $و$ ε $+ dε على الصورة$ $g (ε) dε$ ، حيث g $(ε) هي$ كثافة الحالات (التي سيتم حسابها لاحقًا)، فإن الطاقة الكلية تُعطى بالعلاقة التالية:

U=\int _{0}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{e^{\beta \varepsilon }-1}}g(\varepsilon )\,d\varepsilon .

3

لحساب كثافة الحالات، نعيد كتابة المعادلة ( 2 ) على النحو التالي: $\varepsilon \ {=}\ {\frac {hc}{2L}}n,$ حيث $n$ هو معيار المتجه $n = (n 1, n 2, n 3)$ .

لكل متجه $n$ ذي مركبات صحيحة أكبر من أو تساوي الصفر، توجد حالتان للفوتون. هذا يعني أن عدد حالات الفوتون في منطقة معينة من فضاء $n$ يساوي ضعف حجم تلك المنطقة. يتوافق نطاق طاقة $dε$ مع غلاف بسمك $dn = 2L / hc dε$ في فضاء $n$ . ولأن مركبات $n يجب أن تكون موجبة،$ $فإن$ $هذا الغلاف يغطي ثمن الكرة. وبالتالي ،$ يُعطى عدد حالات الفوتون $g (ε$ $)$ $dε$ $،$ في نطاق طاقة $dε$ ، بالعلاقة التالية $:$ $g(\varepsilon )\,d\varepsilon =2{\frac {1}{8}}4\pi n^{2}\,dn={\frac {8\pi L^{3}}{h^{3}c^{3}}}\varepsilon ^{2}\,d\varepsilon .$ بإدخال هذا في المعادلة ( 3 ) والقسمة على الحجم $V = L 3،$ نحصل على كثافة الطاقة الكلية ${\frac {U}{V}}=\int _{0}^{\infty }u_{\nu }(T)\,d\nu ,$ حيث تُعطى كثافة الطاقة الطيفية $uν (T)$ المعتمدة على التردد بالعلاقة التالية $:$ $u_{\nu }(T)={8\pi h\nu ^{3} \over c^{3}}{1 \over e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}.$ بما أن الإشعاع متساوٍ في جميع الاتجاهات، وينتشر بسرعة الضوء، فإن الإشعاع الطيفي للإشعاع الخارج من الفتحة الصغيرة هو $B_{\nu }(T)={\frac {u_{\nu }(T)c}{4\pi }},$ مما ينتج عنه قانون بلانك $B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}~{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\mathrm {B} }T}-1}}.$ يمكن الحصول على صيغ أخرى للقانون بتغيير المتغيرات في تكامل الطاقة الكلية. ويستند الاشتقاق أعلاه إلى دراسة بريم ومولين عام 1989 .

تقريب ثنائي القطب ومعاملات أينشتاين

في حالة عدم الانحلال، يمكن حساب معاملي A وB باستخدام تقريب ثنائي القطب في نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن في ميكانيكا الكم. ويتطلب حساب A أيضًا تكميمًا ثانيًا، إذ لا تستطيع النظرية شبه الكلاسيكية تفسير الانبعاث التلقائي الذي لا يؤول إلى الصفر مع اضمحلال المجال المؤثر. ومن ثم، فإن معدلات الانتقال المحسوبة (بوحدات النظام الدولي للوحدات): ^{[ 45 ]}^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}

w_{i\rightarrow f}^{s.emi}={\frac {\omega _{if}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=A_{if}

w_{i\rightarrow f}^{abs}={\frac {u(\omega _{fi})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{abs}u(\omega _{fi})

w_{i\rightarrow f}^{emi}={\frac {u(\omega _{if})\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle f|{\vec {r}}|i\rangle |^{2}=B_{if}^{emi}u(\omega _{if})

لاحظ أن صيغة معدل الانتقال تعتمد على مؤثر عزم ثنائي القطب. أما في التقريبات ذات الرتبة الأعلى، فتتضمن عزم رباعي الأقطاب وحدودًا أخرى مماثلة. وبالتالي، فإن معاملي A وB (اللذين يتوافقان مع توزيع طاقة التردد الزاوي) هما:

A_{ab}={\frac {\omega _{ab}^{3}e^{2}}{3\pi \epsilon _{0}\hbar c^{3}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}

B_{ab}={\frac {\pi e^{2}}{3\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}

أين $\omega _{ab}={\frac {E_{a}-E_{b}}{\hbar }}$ ومعاملات A و B تحقق النسب المعطاة في الحالة غير المنحلة:

{\frac {B_{12}}{B_{21}}}=1

و

{\frac {A_{if}}{B}}={\frac {\omega _{if}^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}

.

نسبة أخرى مفيدة هي تلك المستمدة من توزيع ماكسويل-بولتزمان، والتي تنص على أن عدد الجسيمات في مستوى طاقة معين $E$ يتناسب مع الأس $\beta E$ رياضياً:

{\frac {N_{a}}{N_{b}}}={\frac {e^{-E_{a}\beta }}{e^{-E_{b}\beta }}}=e^{\omega _{ba}\hbar \beta }

أين $N_{a}$ و $N_{b}$ عدد مستويات الطاقة المشغولة $E_{a}$ و $E_{b}$ على التوالي، حيث $E_{b}>E_{a}$ ثم باستخدام: ${\frac {dN_{b}}{dt}}=-A_{ba}N_{b}-N_{b}u(\omega _{ba})B_{ba}+N_{a}u(\omega _{ba})B_{ab}=-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{s.emi}-N_{b}w_{b\rightarrow a}^{emi}+N_{a}w_{a\rightarrow b}^{abs}$

حل لـ $u$ لحالة التوازن ${\frac {dN_{b}}{dt}}=0$ وباستخدام النسب المشتقة، نحصل على قانون بلانك:

u_{\omega }(\omega ,T)={\frac {\omega ^{3}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}}}{\frac {1}{e^{\omega \hbar \beta }-1}}

.

تاريخ

بلفور ستيوارت

في عام 1858، وصف بلفور ستيوارت تجاربه على القدرات الإشعاعية الحرارية للألواح المصقولة المصنوعة من مواد مختلفة، مقارنةً بقدرات أسطح السخام ، عند نفس درجة الحرارة. ^{[ 10 ]} اختار ستيوارت أسطح السخام كمرجع له نظرًا لنتائج تجريبية سابقة، لا سيما نتائج بيير بريفو وجون ليزلي . وكتب: "السخام، الذي يمتص جميع الأشعة الساقطة عليه، وبالتالي يمتلك أكبر قدرة امتصاص ممكنة، سيمتلك أيضًا أكبر قدرة إشعاعية ممكنة".

قاس ستيوارت القدرة الإشعاعية باستخدام مصفوفة حرارية ومقياس غلفاني حساس، وقرأ القياسات بواسطة مجهر. انصب اهتمامه على الإشعاع الحراري الانتقائي، الذي درسه باستخدام صفائح من مواد تشع وتمتص بشكل انتقائي لأنواع مختلفة من الإشعاع، بدلاً من امتصاصها بشكل كامل لجميع أنواع الإشعاع. ناقش التجارب من منظور الأشعة التي يمكن عكسها وانكسارها، والتي تخضع لمبدأ التبادلية لهلمهولتز (مع أنه لم يستخدم اسمًا مشتقًا منه). لم يذكر في بحثه إمكانية وصف خصائص الأشعة بأطوال موجاتها، كما لم يستخدم أجهزة تحليل طيفي مثل الموشورات أو محززات الحيود. كان عمله كميًا ضمن هذه القيود. أجرى قياساته في بيئة ذات درجة حرارة الغرفة، وبسرعة ليتمكن من التقاط الأجسام في حالة قريبة من التوازن الحراري الذي تم تحضيرها فيه بتسخينها إلى حالة التوازن مع الماء المغلي. أكدت قياساته أن المواد التي تنبعث وتمتص بشكل انتقائي تحترم مبدأ المساواة الانتقائية للانبعاث والامتصاص عند التوازن الحراري.

قدّم ستيوارت برهانًا نظريًا على أن هذا ينطبق بشكل منفصل على كل خاصية مختارة من الإشعاع الحراري، لكن حساباته الرياضية لم تكن دقيقة تمامًا. ووفقًا للمؤرخ د.م. سيجل: "لم يكن ستيوارت مُلمًا بالتقنيات الأكثر تطورًا في الفيزياء الرياضية في القرن التاسع عشر؛ بل إنه لم يستخدم حتى الترميز الوظيفي في التعامل مع التوزيعات الطيفية." ^{[ 48 ]} لم يُشر إلى الديناميكا الحرارية في هذه الورقة، مع أنه أشار إلى حفظ القوة الحيوية . واقترح أن قياساته تُشير إلى أن الإشعاع يُمتص ويُشعّ بواسطة جسيمات المادة على امتداد أعماق الوسط الذي ينتشر فيه. وطبّق مبدأ التبادلية لهلمهولتز لتفسير عمليات سطح المادة باعتبارها مُختلفة عن العمليات التي تحدث داخل المادة نفسها. وخلص إلى أن تجاربه أظهرت أنه في داخل حيز مغلق في حالة توازن حراري، تتحد الحرارة الإشعاعية المنعكسة والمنبعثة، تاركةً أي جزء من السطح، بغض النظر عن مادته، بنفس القدر الذي كانت ستتركه من نفس الجزء من السطح لو كان مصنوعًا من السخام. ولم يذكر إمكانية وجود جدران عاكسة تمامًا؛ بل أشار تحديدًا إلى أن المعادن الحقيقية المصقولة للغاية تمتص كمية ضئيلة جدًا من الحرارة.

غوستاف كيرشوف

في عام 1859، ودون علمه بعمل ستيوارت، أبلغ غوستاف روبرت كيرشوف عن تطابق أطوال موجات خطوط الامتصاص وانبعاث الضوء المرئي المُحللة طيفيًا. ومن الأمور المهمة في الفيزياء الحرارية، أنه لاحظ أيضًا ظهور خطوط ساطعة أو داكنة تبعًا لفرق درجة الحرارة بين المُشع والممتص. ^{[ 49 ]}

ثم انتقل كيرشوف إلى دراسة الأجسام التي تنبعث منها وتمتص الإشعاع الحراري، في حاوية أو تجويف معتم، في حالة توازن عند درجة حرارة $T.$

يُستخدم هنا ترميز مختلف عن ترميز كيرشوف. هنا، تُشير القدرة الإشعاعية $E (T, i)$ إلى كمية ذات أبعاد، وهي إجمالي الإشعاع المنبعث من جسم مُشار إليه بالفهرس $i$ عند درجة الحرارة $T.$ أما نسبة الامتصاص الكلية $a (T, i)$ لهذا الجسم فهي كمية لا بُعدية، وهي نسبة الإشعاع الممتص إلى الإشعاع الساقط في التجويف عند درجة الحرارة $T.$ (على عكس تعريف بلفور ستيوارت، لم يُشر تعريف كيرشوف لنسبة الامتصاص تحديدًا إلى سطح أسود كمصدر للإشعاع الساقط). وبالتالي، فإن نسبة القدرة الإشعاعية إلى نسبة الامتصاص $E$ $($ $T$ $,$ $i$ $)$ $/$ $a$ $($ $T$ $,$ $i$ $)$ $هي كمية ذات$ $أبعاد$ ، بأبعاد القدرة الإشعاعية، لأن $a$ $($ $T$ $,$ $i$ $)$ كمية لا بُعدية. هنا أيضًا، يُرمز إلى قدرة الانبعاث الخاصة بطول الموجة للجسم عند درجة الحرارة $T$ بالرمز $E$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ ، وإلى نسبة الامتصاص الخاصة بطول الموجة بالرمز $a$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ . ومرة أخرى، فإن نسبة $قدرة$ $الانبعاث إلى نسبة الامتصاص E$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $/$ $a$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $هي$ كمية ذات أبعاد، وهي أبعاد قدرة الانبعاث.

في تقرير ثانٍ صدر عام ١٨٥٩، أعلن كيرشوف عن مبدأ أو قانون عام جديد، وقدّم له برهانًا نظريًا ورياضيًا، مع أنه لم يُقدّم قياسات كمية لقدرات الإشعاع. ^{[ ٥٠ ]} ولا يزال بعض الكتّاب يعتبرون برهانه النظري غير صحيح. ^{[ ٤٨ ]}^{[ ٥١ ]} إلا أن مبدأه ظلّ قائمًا: وهو أنه بالنسبة لأشعة الحرارة ذات الطول الموجي نفسه، والمتوازنة عند درجة حرارة معينة، فإن النسبة الخاصة بالطول الموجي لقدرة الانبعاث إلى نسبة الامتصاص لها قيمة واحدة مشتركة لجميع الأجسام التي تُصدر وتمتص عند ذلك الطول الموجي. وينص القانون، بالرموز، على أن النسبة الخاصة بالطول الموجي $⁠$ $E$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $/$ $a$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $⁠$ لها قيمة واحدة مشتركة لجميع الأجسام، أي لجميع قيم المؤشر $i$ . ولم يُذكر في هذا التقرير أي شيء عن الأجسام السوداء.

في عام 1860، ودون علمه بقياسات ستيوارت لأنواع محددة من الإشعاع، أشار كيرشوف إلى أنه من الثابت تجريبياً منذ زمن طويل أن نسبة الإشعاع الكلي E(T,i)/a(T,i) للإشعاع الحراري الكلي، غير المحدد النوع، المنبعث والممتص من جسم في حالة اتزان، $لها$ $قيمة$ $واحدة$ $مشتركة$ $بين$ $جميع$ $الأجسام$ $،$ $أي$ $لكل$ $قيمة$ $من$ $قيم$ $مؤشر$ $المادة$ i $.$ [ ⁵²^]^ومرة أخرى، دون قياسات لقدرات الإشعاع أو بيانات تجريبية جديدة أخرى، قدم كيرشوف برهاناً نظرياً جديداً لمبدأه الجديد حول عالمية قيمة النسبة الخاصة بطول الموجة $E$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $/$ $a$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $عند الاتزان الحراري. وقد اعتبر بعض الكتّاب، ولا يزالون يعتبرون$ $،$ برهانه النظري الجديد غير صالح. ^[⁴⁸^]^[⁵¹^]

لكن الأهم من ذلك، أنها اعتمدت على فرضية نظرية جديدة لـ "الأجسام السوداء تمامًا" ، وهو ما يفسر الحديث عن قانون كيرشوف. أظهرت هذه الأجسام السوداء امتصاصًا كاملًا في سطحها الخارجي الرقيق للغاية. وهي تُطابق أجسام بلفور ستيوارت المرجعية، ذات الإشعاع الداخلي، والمغطاة بسخام المصابيح. لم تكن هذه الأجسام السوداء تمامًا هي الأجسام الأكثر واقعية التي درسها بلانك لاحقًا. كانت أجسام بلانك السوداء تُشع وتمتص فقط بواسطة المادة الموجودة في داخلها؛ أما أسطحها البينية مع الأوساط المجاورة فكانت مجرد أسطح رياضية، لا تستطيع الامتصاص ولا الانبعاث، بل الانعكاس والنفاذ مع الانكسار فقط. ^{[ 53 ]}

تناول برهان كيرشوف جسمًا غير مثالي عشوائيًا يُرمز له بـ $i،$ بالإضافة إلى أجسام سوداء مثالية مختلفة يُرمز لها بـ $BB$ $.$ واشترط البرهان أن تُحفظ الأجسام في تجويف في حالة اتزان حراري عند درجة حرارة $T.$ وكان الهدف من برهانه إثبات أن النسبة $E$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $/$ $a$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $مستقلة$ عن طبيعة الجسم غير المثالي $i$ ، بغض النظر عن مدى شفافيته أو انعكاسيته.

برهنته أولًا على أنه عند الطول الموجي $λ$ ودرجة الحرارة $T$ ، وفي حالة التوازن الحراري، فإن جميع الأجسام السوداء المثالية ذات الحجم والشكل نفسهما لها قيمة واحدة مشتركة لقدرة الانبعاث $E (λ, T, BB)$ ، بوحدة القدرة. وأشار برهانه إلى أن نسبة الامتصاص $a (λ, T, BB)$ عديمة الأبعاد، والمرتبطة بالطول الموجي، للجسم الأسود المثالي تساوي 1 تمامًا بحكم التعريف. وبالتالي، بالنسبة للجسم الأسود المثالي، فإن نسبة قدرة الانبعاث إلى نسبة الامتصاص E(λ, T, BB) / a(λ, T, BB) المرتبطة بالطول الموجي $هي$ $نفسها$ $E$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $BB$ $)$ $،$ $بوحدة$ $القدرة$ $.$ ثم $درس$ $كيرشوف$ $،$ $تباعًا$ $،$ $التوازن$ $الحراري$ مع أي جسم غير مثالي، ومع جسم أسود مثالي من الحجم والشكل نفسهما، موضوع في تجويفه في حالة توازن عند درجة الحرارة $T.$ جادل بأن تدفقات الإشعاع الحراري يجب أن تكون متساوية في كل حالة. وبناءً على ذلك، جادل بأنه عند التوازن الحراري، تكون النسبة $E$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $/$ $a$ $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $i$ $)$ $مساويةً$ $لـ$ E $($ $λ$ $,$ $T$ $,$ $BB)$ ، والتي يمكن الآن الإشارة إليها بـ $Bλ$ $($ $λ$ $,$ $T$ $)$ $،$ وهي دالة متصلة تعتمد فقط على $λ$ عند درجة حرارة ثابتة $T$ ، ودالة متزايدة لـ $T$ عند طول موجي ثابت $λ$ ، حيث تتلاشى عند درجات الحرارة المنخفضة للأطوال الموجية المرئية، ولكنها لا تتلاشى للأطوال الموجية الأطول، وتكون لها قيم موجبة للأطوال الموجية المرئية عند درجات حرارة أعلى، وهي لا تعتمد على طبيعة $i$ للجسم غير المثالي. (تم تجاهل العوامل الهندسية، التي أخذها كيرشوف في الاعتبار بالتفصيل، في ما سبق).

وبالتالي، يمكن صياغة قانون كيرشوف للإشعاع الحراري على النحو التالي: لأي مادة، تشع وتمتص في حالة توازن ديناميكي حراري عند أي درجة حرارة معينة $T$ ، ولكل طول موجي $λ$ ، فإن نسبة القدرة الإشعاعية إلى القدرة الامتصاصية لها قيمة عالمية واحدة، وهي خاصية مميزة للجسم الأسود المثالي، وهي القدرة الإشعاعية التي نرمز لها هنا بـ $Bλ (λ, T)$ . (في تدويننا $Bλ$ $($ $λ$ $,$ $T$ $) ، كان$ ^تدوين كيرشوف الأصلي هو ^e $)$ . ^[⁷^]^[⁵²^]^[⁵⁴^]^[⁵⁵^]^[⁵⁶^] $[$ ⁵⁷ $]$

أعلن كيرشوف أن تحديد الدالة $Bλ (λ, T)$ يُمثل مشكلة بالغة الأهمية، مع إدراكه لوجود صعوبات تجريبية لا بد من التغلب عليها. وافترض أنها، كغيرها من الدوال التي لا تعتمد على خصائص الأجسام الفردية، ستكون دالة بسيطة. وقد أُطلق على هذه الدالة $Bλ$ $(λ, T) أحيانًا$ اسم "دالة كيرشوف (الانبعاثية، الشاملة)"، ^{[ 58 ]}^{[ 59 ]}^{[ 60 ]}^{[ 61 ]،} $على$ الرغم من أن شكلها الرياضي الدقيق لم يُعرف إلا بعد أربعين عامًا، حين اكتشفها بلانك عام 1900. وقد عمل العديد من الفيزيائيين على البرهان النظري لمبدأ كيرشوف الشامل وناقشوه خلال الفترة نفسها، وفي وقت لاحق. ^{[ 51 ]} وصرح كيرشوف لاحقًا عام 1860 بأن برهانه النظري كان أفضل من برهان بلفور ستيوارت، وكان كذلك في بعض الجوانب. ^{[ 48 ]} لم تذكر ورقة كيرشوف البحثية لعام 1860 القانون الثاني للديناميكا الحرارية، وبالطبع لم تذكر مفهوم الإنتروبيا الذي لم يكن قد ترسخ آنذاك. وفي عرض أكثر تفصيلاً في كتاب نُشر عام 1862، أشار كيرشوف إلى صلة قانونه بـ "مبدأ كارنو"، وهو شكل من أشكال القانون الثاني. ^{[ 62 ]}

وفقًا لهيلج كراغ، "تدين نظرية الكم بأصلها لدراسة الإشعاع الحراري، وخاصة إشعاع "الجسم الأسود" الذي حدده روبرت كيرشوف لأول مرة في 1859-1860." ^{[ 63 ]}

المكونات التجريبية والنظرية للاستقراء العلمي لقانون بلانك

في عام 1860، تنبأ كيرشوف بصعوبات تجريبية في تحديد الدالة التي تصف اعتماد طيف الجسم الأسود على درجة الحرارة والطول الموجي فقط. وقد صدقت توقعاته. استغرق الأمر نحو أربعين عامًا من تطوير أساليب محسّنة لقياس الإشعاع الكهرومغناطيسي للوصول إلى نتيجة موثوقة. ^{[ 64 ]}

في عام 1865، وصف جون تيندال الإشعاع المنبعث من الخيوط المسخنة كهربائياً ومن أقواس الكربون بأنه مرئي وغير مرئي. ^{[ 65 ]} قام تيندال بتحليل الإشعاع طيفياً باستخدام موشور ملح صخري، والذي يسمح بمرور الحرارة بالإضافة إلى الأشعة المرئية، وقاس شدة الإشعاع بواسطة مضاعف حراري. ^{[ 66 ]}^{[ 67 ]}

في عام ١٨٨٠، نشر أندريه بروسبر بول كروفا مخططًا ثلاثي الأبعاد لمنحنى شدة الإشعاع الحراري كدالة للطول الموجي ودرجة الحرارة. ^{[ ٦٨ ]} وقد حدد المتغير الطيفي باستخدام الموشورات. حلل السطح من خلال ما أسماه منحنيات "متساوية الحرارة"، وهي مقاطع لدرجة حرارة واحدة، مع وجود متغير طيفي على المحور الأفقي ومتغير أُسّي على المحور الرأسي. رسم منحنيات سلسة تمر عبر نقاط بياناته التجريبية. كان لهذه المنحنيات ذروة واحدة عند قيمة طيفية مميزة لدرجة الحرارة، وتمتد على جانبيها باتجاه المحور الأفقي. ^{[ ٦٩ ]}^{[ ٧٠ ]} ولا تزال هذه المقاطع الطيفية تُعرض على نطاق واسع حتى اليوم.

في سلسلة من الأبحاث المنشورة بين عامي 1881 و1886، أفاد لانغلي بقياسات طيف الإشعاع الحراري باستخدام محززات حيود وموشورات، وأكثر الكواشف حساسية التي استطاع صنعها. وذكر أن هناك ذروة شدة تزداد مع ارتفاع درجة الحرارة، وأن شكل الطيف غير متناظر حول هذه الذروة، وأن هناك انخفاضًا حادًا في الشدة عندما يكون الطول الموجي أقصر من قيمة قطع تقريبية لكل درجة حرارة، وأن طول موجة القطع التقريبي يتناقص مع ارتفاع درجة الحرارة، وأن طول موجة ذروة الشدة يتناقص مع ارتفاع درجة الحرارة، بحيث تزداد الشدة بشدة مع ارتفاع درجة الحرارة للأطوال الموجية القصيرة التي تزيد عن قيمة القطع التقريبية لدرجة الحرارة. ^{[ 71 ]}

بعد قراءة لانغلي، نشر الفيزيائي الروسي ف. أ. ميكلسون، عام ١٨٨٨، دراسةً تناولت فكرة إمكانية تفسير دالة كيرشوف الإشعاعية المجهولة فيزيائيًا، وصياغتها رياضيًا، من خلال "عدم انتظام اهتزازات الذرات". ^{[ ٧٢ ]}^{[ ٧٣ ]} في ذلك الوقت، لم يكن بلانك يدرس الإشعاع دراسةً معمقة، ولم يكن يؤمن لا بالذرات ولا بالفيزياء الإحصائية. ^{[ ٧٤ ]} وقد وضع ميكلسون صيغةً للطيف عند درجات الحرارة. $I_{\lambda }=B_{1}\theta ^{\frac {3}{2}}\exp \left(-{\frac {c}{\lambda ^{2}\theta }}\right)\lambda ^{-6},$ حيث يشير $I λ$ إلى شدة الإشعاع المحددة عند الطول الموجي $λ$ ودرجة الحرارة $θ$ ، وحيث $B 1$ و $c$ ثوابت تجريبية.

في عام ١٨٩٨، نشر أوتو لومر وفرديناند كورلبوم وصفًا لمصدر الإشعاع التجويفي الذي ابتكراه. ^{[ ٧٥ ]} ولا يزال تصميمهما يُستخدم دون تغيير يُذكر في قياسات الإشعاع حتى يومنا هذا. كان عبارة عن صندوق من البلاتين، مُقسّم بواسطة أغشية، ومُسوّد من الداخل بأكسيد الحديد. وقد شكّل عنصرًا هامًا في تحسين القياسات تدريجيًا، مما أدى إلى اكتشاف قانون بلانك. ^{[ ٧٦ ]} وفي نسخة وُصفت عام ١٩٠١، كان مُسوّدًا من الداخل بمزيج من أكاسيد الكروم والنيكل والكوبالت. ^{[ ٧٧ ]}

تكمن أهمية مصدر إشعاع تجويف لومر وكورلبوم في كونه مصدرًا تجريبيًا متاحًا لإشعاع الجسم الأسود، على عكس الإشعاع الصادر عن جسم صلب متوهج مكشوف ببساطة، والذي كان أقرب تقريب تجريبي متاح لإشعاع الجسم الأسود ضمن نطاق مناسب من درجات الحرارة. أما الأجسام الصلبة المتوهجة المكشوفة ببساطة، والتي استُخدمت سابقًا، فقد كانت تُصدر إشعاعًا يختلف عن طيف الجسم الأسود، مما جعل من المستحيل تحديد طيف الجسم الأسود الحقيقي من خلال التجارب. ^{[ 78 ]}^{[ 79 ]}

أدت آراء بلانك قبل الحقائق التجريبية إلى توصله إلى قانونه النهائي

وجّه بلانك اهتمامه لأول مرة إلى مشكلة إشعاع الجسم الأسود عام 1897. ^{[ 80 ]} وقد مكّن التقدم النظري والتجريبي لومر وبرينغشيم من كتابة عام 1899 أن الأدلة التجريبية المتاحة تتوافق تقريبًا مع قانون الشدة النوعية $Cλ -5 e - c ⁄ λT$ ، حيث يرمز $C$ و $c$ إلى ثوابت قابلة للقياس تجريبيًا، و $λ$ و $T$ إلى الطول الموجي ودرجة الحرارة على التوالي. ^{[ 81 ]}^{[ 82 ]} ولأسباب نظرية، قبل بلانك آنذاك هذه الصيغة، التي تتميز بقطع فعال للأطوال الموجية القصيرة. ^{[ 83 ]}^{[ 84 ]}^{[ 85 ]}

كان غوستاف كيرشوف أستاذ ماكس بلانك، وقد افترض وجود قانون كوني لإشعاع الجسم الأسود، وعُرّف هذا بـ"تحدي كيرشوف". ^{[ 86 ]} اعتقد بلانك، وهو عالم نظري، أن فيلهلم فين هو من اكتشف هذا القانون، فقام بلانك بتوسيع نطاق عمل فين وعرضه في عام 1899 في اجتماع الجمعية الفيزيائية الألمانية. أجرى العلماء التجريبيون أوتو لومر ، وفرديناند كورلبوم ، وإرنست برينغشيم الأب ، وهينريش روبنز تجارب بدت وكأنها تدعم قانون فين، لا سيما عند الترددات العالية، أي الأطوال الموجية القصيرة، وهو ما أيده بلانك تأييدًا تامًا في الجمعية الفيزيائية الألمانية، حتى أصبح يُعرف باسم قانون فين-بلانك. ^{[ 87 ]} مع ذلك، وبحلول سبتمبر 1900، أثبت العلماء التجريبيون بما لا يدع مجالًا للشك أن قانون فين-بلانك لا ينطبق على الأطوال الموجية الأطول. كان من المقرر أن يعرضوا بياناتهم في 19 أكتوبر. أُبلغ بلانك من قِبل صديقه روبنز، فسارع إلى وضع صيغة في غضون أيام قليلة. ^{[ 88 ]} في يونيو من العام نفسه، وضع اللورد رايلي صيغةً تعمل عند الترددات المنخفضة استنادًا إلى نظرية التوزيع المتساوي للطاقة المقبولة على نطاق واسع . ^{[ 89 ]} لذا، قدّم بلانك صيغةً تجمع بين قانون رايلي (أو نظرية توزيع متساوٍ للطاقة مشابهة) وقانون فين، مع ترجيح كل قانون على حدة حسب الطول الموجي لمطابقة البيانات التجريبية. ومع ذلك، على الرغم من نجاح هذه المعادلة، صرّح بلانك نفسه بأنه ما لم يتمكن من تفسير الصيغة المستنتجة من "حدسٍ موفق" إلى صيغة ذات "معنى حقيقي" في الفيزياء، فلن يكون لها دلالة حقيقية. ^{[ 90 ]} وأوضح بلانك أن ما تلى ذلك كان أصعب عمل في حياته. لم يؤمن بلانك بالذرات، ولم يعتقد أن القانون الثاني للديناميكا الحرارية يجب أن يكون إحصائيًا لأن الاحتمالية لا تقدم إجابة مطلقة، بينما استند قانون بولتزمان للإنتروبيا على فرضية الذرات وكان إحصائيًا. لكن بلانك لم يتمكن من إيجاد طريقة للتوفيق بين معادلة الجسم الأسود وقوانين متصلة مثل معادلات ماكسويل الموجية. لذا، وفيما وصفه بلانك بـ"عمل يائس" ^{[ 91 ]} ، لجأ إلى قانون بولتزمان الذري للإنتروبيا لأنه كان القانون الوحيد الذي جعل معادلته تعمل. لذلك، استخدم ثابت بولتزمان k وثابتًا مساعدًا جديدًا h لشرح قانون إشعاع الجسم الأسود الذي أصبح معروفًا على نطاق واسع فيما بعد من خلال بحثه المنشور. ^{[ 92 ]}^{[ 93 ]}

إيجاد القانون التجريبي

وضع ماكس بلانك قانونه في 19 أكتوبر 1900 ^{[ 94 ]}^{[ 95 ]} كتحسين لتقريب فين ، الذي نشره فيلهلم فين عام 1896 ، والذي كان يطابق البيانات التجريبية عند الأطوال الموجية القصيرة (الترددات العالية) ولكنه انحرف عنها عند الأطوال الموجية الطويلة (الترددات المنخفضة). ^{[ 41 ]} في يونيو 1900، وبناءً على اعتبارات نظرية استدلالية ، اقترح رايلي صيغة ^{[ 96 ]} اقترح إمكانية التحقق منها تجريبيًا. وكان الاقتراح أن دالة ستيوارت-كيرشوف العالمية قد تكون على الصورة $c 1 Tλ -4 exp(- ⁠ c 2 / λT ⁠)$ . لم تكن هذه هي صيغة رايلي-جينز الشهيرة $8π k B Tλ -4$ ، التي لم تظهر إلا في عام 1905، ^{[ 38 ]} على الرغم من أنها اختُزلت إلى الصيغة الأخيرة للأطوال الموجية الطويلة، وهي الأطوال الموجية ذات الصلة هنا. ووفقًا لكلاين، ^{[ 80 ]} يُمكن التكهن بأن بلانك قد اطلع على هذا الاقتراح على الرغم من أنه لم يذكره في أوراقه البحثية لعامي 1900 و1901. وكان بلانك على دراية بالعديد من الصيغ المقترحة الأخرى. ^{[ 64 ]}^{[ 97 ]} في 7 أكتوبر 1900، أخبر روبنز بلانك أن صيغة رايلي لعام 1900، في المجال المُكمِّل (الطول الموجي الطويل، التردد المنخفض)، وفي هذا المجال فقط، تُطابق البيانات المرصودة جيدًا. ^{[ 97 ]}

$بالنسبة للأطوال الموجية الطويلة، كانت$ صيغة رايلي التقريبية لعام 1900 تعني تقريبًا أن الطاقة تتناسب طرديًا مع درجة الحرارة، $Uλ$ $=$ $ثابت$ $T. [80$ ^{] [ 97}^{] [ 98}^{] من المعروف} أن $dS$ $/$ $dUλ$ $=$ $1$ $/$ T $،$ وهذا يؤدي إلى $dS$ $/$ $dUλ$ $=$ $ثابت$ $/$ $Uλ$ $،$ $ومن$ ثم إلى $d²S$ $/$ $dUλ²$ $=$ $-$ $ثابت$ $/$ $Uλ²$ $للأطوال$ $الموجية$ $الطويلة$ $.$ $أما$ $بالنسبة$ $للأطوال$ $الموجية$ $القصيرة$ $،$ $فإن$ صيغة وين $تؤدي$ $إلى$ $1$ $/$ $T$ $=$ $-$ $ثابت$ $ln$ $Uλ$ $+$ $ثابت$ $.$ ومن ثم إلى $⁠$ $d$ $2$ $S$ $/$ $dU$ $λ$ $2$ $⁠$ $= -$ $⁠$ $ثابت$ $/$ $U$ $λ$ $⁠$ للأطوال الموجية القصيرة. قام بلانك بدمج هاتين الصيغتين الاستدلاليتين، للأطوال الموجية الطويلة والقصيرة، ^[⁹⁷^]^[⁹⁹^] لإنتاج صيغة ^[⁹⁴^] ${\frac {d^{2}S}{dU_{\lambda }^{2}}}={\frac {\alpha }{U_{\lambda }(\beta +U_{\lambda })}}.$

هذا ما دفع بلانك إلى التوصل إلى الصيغة $B_{\lambda }(T)={\frac {C\lambda ^{-5}}{e^{\frac {c}{\lambda T}}-1}},$ حيث استخدم بلانك الرموز $C$ و $c$ للدلالة على ثوابت المطابقة التجريبية.

أرسل بلانك هذه النتيجة إلى روبنز، الذي قارنها ببياناته الرصدية وبيانات كورلبوم، ووجد أنها تتطابق بشكل ملحوظ مع جميع الأطوال الموجية. في 19 أكتوبر 1900، نشر روبنز وكورلبوم تقريرًا موجزًا عن تطابق النتائج مع البيانات، ^{[ 100 ]} وأضاف بلانك عرضًا موجزًا لتقديم مخطط نظري لتفسير معادلته. ^{[ 94 ]} في غضون أسبوع، قدم روبنز وكورلبوم تقريرًا أكثر تفصيلًا عن قياساتهما مؤكدين قانون بلانك. سُميت تقنيتهما للتحليل الطيفي للإشعاع ذي الطول الموجي الأطول بطريقة الشعاع المتبقي. كانت الأشعة تنعكس بشكل متكرر من أسطح بلورية مصقولة، والأشعة التي اجتازت العملية بالكامل كانت "متبقية"، وكانت ذات أطوال موجية تنعكس بشكل تفضيلي بواسطة بلورات مصنوعة من مواد محددة مناسبة. ^{[ 101 ]}^{[ 102 ]}^{[ 103 ]}

محاولة إيجاد تفسير مادي للقانون

بعد أن اكتشف بلانك الدالة الملائمة تجريبيًا، صاغ اشتقاقًا فيزيائيًا لهذا القانون. تمحور تفكيره حول الإنتروبيا بدلًا من التركيز المباشر على درجة الحرارة. افترض بلانك وجود تجويف ذي جدران عاكسة تمامًا؛ داخل هذا التجويف، يوجد عدد محدود من الأجسام المتذبذبة الرنانة المتميزة والمتطابقة في تركيبها، ذات سعة محددة، مع وجود عدة مذبذبات من هذا النوع عند كل تردد من الترددات المميزة المحدودة. كانت هذه المذبذبات الافتراضية بالنسبة لبلانك مجرد أدوات بحث نظرية تخيلية، وقال عنها إن هذه المذبذبات لا تحتاج إلى أن "توجد بالفعل في مكان ما في الطبيعة، شريطة أن يتوافق وجودها وخصائصها مع قوانين الديناميكا الحرارية والديناميكا الكهربائية". ^{[ 104 ]} لم ينسب بلانك أي دلالة فيزيائية محددة لفرضيته حول المذبذبات الرنانة، بل اقترحها كأداة رياضية مكنته من اشتقاق تعبير واحد لطيف الجسم الأسود يطابق البيانات التجريبية عند جميع الأطوال الموجية. ^{[ 105 ]} أشار بشكل مبدئي إلى إمكانية وجود صلة بين هذه المذبذبات والذرات . بمعنى ما، تتوافق هذه المذبذبات مع بقعة بلانك من الكربون؛ إذ يمكن أن يكون حجم البقعة صغيرًا بغض النظر عن حجم التجويف، شريطة أن تنقل البقعة الطاقة بكفاءة بين أنماط الأطوال الموجية الإشعاعية. ^{[ 97 ]}

استنادًا جزئيًا إلى طريقة حسابية استدلالية رائدة وضعها بولتزمان لجزيئات الغاز، درس بلانك الطرق الممكنة لتوزيع الطاقة الكهرومغناطيسية على الأنماط المختلفة لمذبذباته المادية المشحونة الافتراضية. كان قبول بلانك للنهج الاحتمالي، اقتداءً ببولتزمان، تحولًا جذريًا عن موقفه السابق، الذي عارض حتى ذلك الحين هذا التفكير الذي اقترحه بولتزمان. ^{[ 106 ]} يقول بلانك: "اعتبرتُ [فرضية الكم] افتراضًا شكليًا بحتًا، ولم أُعرها اهتمامًا كبيرًا إلا لأمر واحد: أنني حصلت على نتيجة إيجابية في جميع الأحوال وبأي ثمن." ^{[ 107 ]} استدلاليًا، وزّع بولتزمان الطاقة في كميات كمية رياضية اعتباطية $ϵ$ ، والتي جعلها تقترب من الصفر في المقدار، لأن المقدار المحدود $ϵ$ لم يكن له سوى دور في تسهيل العدّ لأغراض الحساب الرياضي للاحتمالات، ولم يكن له أي دلالة فيزيائية. بالإشارة إلى ثابت كوني جديد للطبيعة، $h$ ، ^{[ 108 ]} افترض بلانك أنه في المذبذبات المتعددة لكل تردد من الترددات المميزة المحدودة، تتوزع الطاقة الكلية على كل منها بمضاعف صحيح لوحدة طاقة فيزيائية محددة، $ϵ$ ، مميزة للتردد المميز المعني. ^{[ 95 ]}^{[ 109 ]}^{[ 110 ]}^{[ 111 ]} يُعرف ثابته الكوني الجديد للطبيعة، $h$ ، الآن باسم ثابت بلانك .

أوضح بلانك كذلك ^{[ 95 ]} أن الوحدة المحددة المعنية، $ϵ$ ، للطاقة يجب أن تكون متناسبة مع تردد التذبذب المميز $ν$ للمذبذب الافتراضي، وفي عام 1901 عبر عن ذلك بثابت التناسب $h$ : ^{[ 112 ]}^{[ 113 ]} $\epsilon =h\nu .$

لم يقترح بلانك أن الضوء المنتشر في الفضاء الحر مُكمّم. ^{[ 114 ]}^{[ 115 ]}^{[ 116 ]} وقد طُوّرت فكرة تكميم المجال الكهرومغناطيسي الحر لاحقًا، وأُدمجت في النهاية فيما نعرفه الآن بنظرية المجال الكمومي . ^{[ 117 ]}

في عام ١٩٠٦، أقرّ بلانك بأنّ رناناته الافتراضية، ذات الديناميكيات الخطية، لا تُقدّم تفسيرًا فيزيائيًا لتحويل الطاقة بين الترددات. ^{[ ١١٨ ]}^{[ ١١٩ ]} يُفسّر علم الفيزياء الحديث تحويل الطاقة بين الترددات في وجود الذرات من خلال استثارتها الكمومية، مُتّبعًا بذلك نظرية أينشتاين. اعتقد بلانك أنه في تجويف ذي جدران عاكسة تمامًا وخالٍ من المادة، لا يُمكن للمجال الكهرومغناطيسي تبادل الطاقة بين مُكوّنات التردد. ^{[ ١٢٠ ]} ويعود ذلك إلى خطية معادلات ماكسويل . ^{[ ١٢١ ]} تتنبأ نظرية المجال الكمومي الحديثة بأنه في غياب المادة، يخضع المجال الكهرومغناطيسي لمعادلات غير خطية ، وبهذا المعنى يتفاعل مع نفسه. ^{[ 122 ]}^{[ 123 ]} لم يُقاس هذا التفاعل في غياب المادة بشكل مباشر حتى الآن، لأنه يتطلب شدة عالية جدًا وكواشف حساسة للغاية ومنخفضة الضوضاء، والتي لا تزال قيد الإنشاء. ^{[ 122 ]}^{[ 124 ]} اعتقد بلانك أن المجال الخالي من التفاعلات لا يخضع لمبدأ التوزيع المتساوي للطاقة الكلاسيكي ولا يخالفه، ^{[ 125 ]}^{[ 126 ]} بل يبقى على حاله تمامًا عند إدخاله، بدلًا من أن يتطور إلى مجال جسم أسود. ^{[ 127 ]} وبالتالي، فإن خطية افتراضاته الميكانيكية حالت دون امتلاك بلانك تفسيرًا ميكانيكيًا لتعظيم إنتروبيا مجال الإشعاع الحراري في حالة التوازن الديناميكي الحراري. ولهذا السبب اضطر إلى اللجوء إلى حجج بولتزمان الاحتمالية. ^{[ 128 ]}^{[ 129 ]}

يمكن اعتبار قانون بلانك بمثابة تحقيق لتنبؤ غوستاف كيرشوف بأن قانونه للإشعاع الحراري ذو أهمية قصوى. في عرضه الناضج لقانونه، قدم بلانك برهانًا نظريًا شاملًا ومفصلًا لقانون كيرشوف، ^{[ 130 ]} الذي كان برهانه النظري محل نقاش أحيانًا حتى ذلك الحين، ويعود ذلك جزئيًا إلى أنه قيل إنه يعتمد على أجسام نظرية غير فيزيائية، مثل سطح كيرشوف الأسود الرقيق للغاية الذي يمتص الإشعاع تمامًا. ^{[ 131 ]}

الأحداث اللاحقة

لم يتبلور مفهوم الكمّات الضوئية الحقيقية إلا بعد خمس سنوات من طرح بلانك لفرضيته التقريبية حول العناصر المجردة للطاقة أو الفعل، وذلك في عام 1905 ^[¹³²^] ، مُقدِّمًا تفسيرًا ثوريًا لإشعاع الجسم الأسود، والتألق الضوئي، والتأثير الكهروضوئي ، وتأين الغازات بواسطة الأشعة فوق البنفسجية. في عام 1905، "اعتقد أينشتاين أن نظرية بلانك لا تتوافق مع فكرة الكمّات الضوئية، وهو خطأ صحّحه في عام 1906." ^[¹³³^] وخلافًا لمعتقدات بلانك في ذلك الوقت، اقترح أينشتاين نموذجًا وصيغةً يُفسِّران انبعاث الضوء وامتصاصه وانتشاره في الفضاء الحر على شكل كمّات طاقة مُتمركزة في نقاط مكانية. ^[¹³²^] كمقدمة لمنطقه، أعاد أينشتاين عرض نموذج بلانك للمذبذبات الكهربائية المادية الرنانة الافتراضية كمصادر ومستقبلات للإشعاع، لكنه قدم بعد ذلك حجة جديدة، منفصلة عن ذلك النموذج، ولكنها تستند جزئيًا إلى حجة فين الديناميكية الحرارية، حيث لم تلعب صيغة بلانك $ϵ$ $=$ $hν$ أي دور. ^[¹³⁴^] أعطى أينشتاين محتوى الطاقة لهذه الكمات على شكل $Rβν$ $/$ $N. وهكذا كان أينشتاين يناقض نظرية التموج الضوئي التي تبناها$ $بلانك$ $. في عام 1910، منتقدًا مخطوطة أرسلها إليه بلانك، لعلمه بأن بلانك كان مؤيدًا قويًا لنظرية أينشتاين في النسبية الخاصة، كتب أينشتاين إلى بلانك: "يبدو لي من$ السخف أن تكون الطاقة موزعة باستمرار في الفضاء دون افتراض وجود الأثير." ^[¹³⁵^]

بحسب توماس كون ، لم يتبنَّ بلانك، بشكلٍ أو بآخر، جزءًا من حجج أينشتاين حول التمايز الفيزيائي، المُميز عن التمايز الرياضي المجرد، في فيزياء الإشعاع الحراري إلا في عام ١٩٠٨. وفي العام نفسه، وبعد دراسة اقتراح أينشتاين حول انتشار الكم، رأى بلانك أن هذه الخطوة الثورية ربما لم تكن ضرورية. ^{[ ١٣٦ ]} وحتى ذلك الحين، كان بلانك مُتَّسقًا في اعتقاده بأن تمايز كمات الفعل لا يُمكن إيجاده لا في مُذبذباته الرنانة ولا في انتشار الإشعاع الحراري. وكتب كون أنه في أوراق بلانك السابقة وفي دراسته المنشورة عام ١٩٠٦، ^{[ ١٣٧ ]} لا يوجد "أي ذكرٍ لعدم الاستمرارية، [ولا] أي حديث عن تقييد طاقة المُذبذب، [ولا] أي صيغة مثل $U = nhν$ ". أشار كون إلى أن دراسته لأوراق بلانك لعامي 1900 و1901، ودراسته المنشورة عام 1906، ^{[ 137 ]} قد قادته إلى استنتاجات "مخالفة للمألوف"، على عكس الافتراضات الشائعة لدى آخرين ممن نظروا إلى كتابات بلانك من منظور وجهات نظر لاحقة ومتخلفة عن العصر. ^{[ 138 ]} وقد لاقت استنتاجات كون، التي وجدت فترة حتى عام 1908، حين تمسك بلانك بنظريته الأولى، قبولاً لدى مؤرخين آخرين. ^{[ 139 ]}

في الطبعة الثانية من دراسته، عام ١٩١٢، أكد بلانك معارضته لاقتراح أينشتاين بشأن كمات الضوء. واقترح بتفصيلٍ ما أن امتصاص الضوء بواسطة رناناته المادية الافتراضية قد يكون مستمرًا، ويحدث بمعدل ثابت في حالة التوازن، على عكس الامتصاص الكمي. فالانبعاث فقط هو الكمي. ^{[ ١٢١ ]}^{[ ١٤٠ ]} وقد أُطلق على هذا أحيانًا اسم "نظرية بلانك الثانية". ^{[ ١٤١ ]}

لم يتبنى بلانك نظريته الثالثة، التي تنص على أن انبعاث وامتصاص الضوء كمي، إلا في عام 1919، وذلك في الطبعة الثالثة من دراسته. ^{[ 142 ]}

أطلق بول إهرنفست في عام 1911 مصطلح " كارثة الأشعة فوق البنفسجية " على النتيجة المتناقضة المتمثلة في أن الطاقة الكلية في التجويف تميل إلى اللانهاية عند تطبيق نظرية التوزيع المتساوي للطاقة في الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية (خطأً) على إشعاع الجسم الأسود. ^[¹⁴³^]^[¹⁴⁴^] لكن هذا لم يكن جزءًا من تفكير بلانك، لأنه لم يحاول تطبيق مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة: عندما اكتشف ذلك في عام 1900، لم يلاحظ أي نوع من "الكارثة". ^[⁸³^]^[⁸⁴^]^[⁸⁵^]^[⁸⁰^]^[¹⁴⁵^] وقد لاحظها اللورد رايلي لأول مرة في عام 1900، ^[⁹⁶^]^[¹⁴⁶^]^[¹⁴⁷^] ثم في عام 1901 ^[¹⁴⁸^] السير جيمس جينز ؛ وفي وقت لاحق، في عام 1905، قام أينشتاين بدعم فكرة أن الضوء ينتشر على شكل حزم منفصلة، والتي أطلق عليها فيما بعد اسم "الفوتونات"، وكذلك رايلي ^[³⁹^] وجينز. ^[³⁸^]^[¹⁴⁹^]^[¹⁵⁰^]^[¹⁵¹^]

في عام 1913، قدّم بور صيغة أخرى تحمل معنى فيزيائيًا مختلفًا للكمية $hν$ . ^{[ 34 ]}^{[ 35 ]}^{[ 36 ]}^{[ 152 ]}^{[ 153 ]}^{[ 154 ]} على عكس صيغتي بلانك وأينشتاين، أشارت صيغة بور بشكل صريح وقاطع إلى مستويات طاقة الذرات. صيغة بور هي $Wτ₂$ $- Wτ₁ = hν ، حيث$ يرمز $Wτ₂$ و $Wτ₁$ إلى مستويات طاقة الحالات الكمومية للذرة، بأعداد كمومية $τ₂$ $و$ τ₁ $على$ $التوالي$ $.$ $يرمز$ ν $إلى تردد كمّ الإشعاع$ $الذي يمكن أن ينبعث أو يمتص عندما تنتقل الذرة بين هاتين الحالتين الكموميتين.$ $على$ عكس نموذج بلانك، $فإن$ $التردد$ $\nu$ لا توجد علاقة مباشرة بينها وبين الترددات التي قد تصف تلك الحالات الكمومية نفسها.

في وقت لاحق، في عام 1924، وضع ساتيندرا ناث بوس نظرية الميكانيكا الإحصائية للفوتونات، والتي سمحت باشتقاق نظري لقانون بلانك. ^{[ 155 ]} وقد صِيغ مصطلح "فوتون" في وقت لاحق، على يد جي إن لويس في عام 1926، ^{[ 156 ]} الذي اعتقد خطأً أن الفوتونات محفوظة، خلافًا لإحصاءات بوس-أينشتاين؛ ومع ذلك، فقد تم اعتماد مصطلح "فوتون" للتعبير عن فرضية أينشتاين حول الطبيعة الحزمية لانتشار الضوء. في مجال كهرومغناطيسي معزول في فراغ داخل وعاء ذي جدران عاكسة تمامًا، كما اعتبره بلانك، فإن الفوتونات ستُحفظ بالفعل وفقًا لنموذج أينشتاين لعام 1905، لكن لويس كان يشير إلى مجال من الفوتونات يُعتبر نظامًا مغلقًا بالنسبة للمادة القابلة للقياس ولكنه مفتوح لتبادل الطاقة الكهرومغناطيسية مع نظام محيط من المادة القابلة للقياس، وقد تخيل خطأً أن الفوتونات لا تزال محفوظة، حيث يتم تخزينها داخل الذرات.

في نهاية المطاف، ساهم قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود في مفهوم أينشتاين عن كميات الضوء التي تحمل الزخم الخطي، ^{[ 34 ]}^{[ 132 ]} والذي أصبح الأساس الجوهري لتطوير ميكانيكا الكم .

تم تجاوز افتراضات بلانك الميكانيكية الخطية المذكورة أعلاه، والتي لم تسمح بالتفاعلات الطاقية بين مكونات التردد، في عام 1925 بنظرية هايزنبرغ الأصلية في ميكانيكا الكم. في ورقته البحثية المقدمة في 29 يوليو 1925، فسّر هايزنبرغ صيغته المذكورة أعلاه لبور لعام 1913. وقد سمحت هذه النظرية بالمذبذبات غير الخطية كنماذج لحالات الكم الذرية، مما يسمح بالتفاعل الطاقي بين مكونات تردد فورييه الداخلية المنفصلة المتعددة، عند انبعاث أو امتصاص كمات الإشعاع. وكان تردد كم الإشعاع هو تردد اقتران محدد بين حالات الكم التذبذبية شبه المستقرة الداخلية للذرة. ^{[ 157 ]}^{[ 158 ]} في ذلك الوقت، لم يكن هايزنبرغ على دراية بجبر المصفوفات، لكن ماكس بورن قرأ مخطوطة ورقة هايزنبرغ البحثية وأدرك الطبيعة المصفوفية لنظرية هايزنبرغ. ثم نشر بورن وجوردان نظرية مصفوفية صريحة لميكانيكا الكم، مستندة إلى ميكانيكا الكم الأصلية لهايزنبرغ، ولكنها تختلف عنها في الشكل؛ وتُعرف نظرية بورن وجوردان المصفوفية اليوم باسم ميكانيكا المصفوفات. ^{[ 159 ]}^{[ 160 ]}^{[ 161 ]} وقد بيّن تفسير هايزنبرغ لمذبذبات بلانك، باعتبارها تأثيرات غير خطية تظهر كأنماط فورييه لعمليات عابرة لانبعاث أو امتصاص الإشعاع، لماذا لم تُقدّم مذبذبات بلانك، التي يُنظر إليها على أنها أجسام فيزيائية دائمة كما قد تتصورها الفيزياء الكلاسيكية، تفسيرًا كافيًا لهذه الظاهرة.

في الوقت الحاضر، كتعبير عن طاقة كم الضوء، نجد غالبًا الصيغة $E = ħω$ ، حيث $ħ = h / 2π ،$ و $ω = 2πν$ $تُمثل$ التردد الزاوي، $[$ ^{162 ] [}^{163 ] [}^{164 ] [}^{165 ] [}^{166 ] ،} ونادرًا ما نجد الصيغة المكافئة $E = hν$ . ^{[ 165 ]}^{[ 166 ]}^{[ 167 ]}^{[ 168 ]}^{[ 169 ]} هذا التعبير عن كم الضوء الموجود والمنتشر فعليًا، والمستند إلى نظرية أينشتاين، له معنى فيزيائي مختلف عن معنى تعبير بلانك السابق $ϵ = hν$ حول وحدات الطاقة المجردة التي سيتم توزيعها بين مذبذباته المادية الرنانة الافتراضية.

يقدم مقال لهيلج كراغ، نُشر في مجلة عالم الفيزياء ، سردًا لهذا التاريخ. ^{[ 111 ]}

انظر أيضاً

الحواشي التوضيحية

↑ انظر إلى الاستدلالات

مراجع

↑ يونغ، هيو د.؛ فريدمان، روجر أ.؛ فورد، أ. لويس (2016). فيزياء الجامعة ( الطبعة الرابعة عشرة). بيرسون. الصفحات 1256-1257 . ISBN 9780321973610.
1 2 3 4 بلانك 1914 ، ص 42
^ جاوفينج شاو، وآخرون. 2019 ، ص. 6 .
↑ زانغويل، أندرو (2013). الديناميكا الكهربائية الحديثة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 698. ISBN 978-0-521-89697-9.
1 2 أندروز، ديفيد ج. (2010). مقدمة في فيزياء الغلاف الجوي (الطبعة الثانية ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 54. ISBN 978-0-521-87220-1.
↑ بلانك 1914 ، الصفحات 6، 168
1 2 3 شاندراسيخار 1960 ، ص. 8
^ ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 22
1 2 3 4 مار، جوناثان م.؛ ويلكين، فرانسيس ب. (2012). "عرض أفضل لقانون بلانك للإشعاع" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Bibcode : 2012AmJPh..80..399M . doi : 10.1119/1.3696974 . S2CID 10556556 .
1 2 ستيوارت 1858
^ هابكي 1993 ، ص 362-373
↑ بلانك 1914
↑ لاودون 2000 ، الصفحات 3-45
↑ كانيو 1999 ، ص 117
^ كرام ومولدرز 2009 ، ص. 10
1 2 شاركوف 2003 ، ص 210
↑ فيشر 2011
^ قودي ويونغ 1989 ، ص. 16.
↑ موهر، تايلور ونيويل 2012 ، ص 1591
↑ لاودون 2000
↑ ماندل وولف 1995
↑ ويلسون 1957 ، ص 182
↑ أدكينز 1983 ، الصفحات 147-148
↑ لاندسبيرغ 1978 ، ص 208
↑ سيجل وهويل 2002 ، ص 25
↑ بلانك 1914 ، الصفحات 9-11
↑ بلانك 1914 ، ص 35
↑ لاندسبيرغ 1961 ، الصفحات 273-274
↑ بورن وولف 1999 ، الصفحات 194-199
↑ بورن وولف 1999 ، ص 195
^ ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 19
↑ تشاندراسيكار 1960 ، ص 7
↑ تشاندراسيكار 1960 ، ص 9
1 2 3 أينشتاين 1916
1 2 بور 1913
1 2 جهاز تشويش 1989 ، ص 113، 115
1 2 كيتل وكرويمر 1980 ، ص 98
1 2 3 جينز 1905 أ، ص 98
1 2 رايلي 1905
1 2 ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 23
1 2 فيينا 1896 ، ص 667
↑ بلانك 1906 ، ص 158
↑ لوين وبلانش 1940
↑ مُقتبس من كريستيان غييمارد (أبريل 2004). "الإشعاع الشمسي الكلي والطيفي لتطبيقات الطاقة الشمسية ونماذج الإشعاع الشمسي". الطاقة الشمسية . 76 (4): 423-453 . Bibcode : 2004SoEn...76..423G . doi : 10.1016/j.solener.2003.08.039 .
↑ زتيللي، نور الدين (2009). ميكانيكا الكم: المفاهيم والتطبيقات ( الطبعة الثانية). تشيتشستر: وايلي. الصفحات 594-596 . ISBN 978-0-470-02679-3.
↑ سيغري، كارلو. "معاملات أينشتاين - أساسيات نظرية الكم II (PHYS 406)" (PDF) . ص 32.
↑ زويباخ، بارتون. "الفيزياء الكمية 3، الفصل 4: نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن | الفيزياء الكمية 3 | الفيزياء" . MIT OpenCourseWare . الصفحات 108-110 . تاريخ الاسترجاع: 3 نوفمبر 2023 .
1 2 3 4 سيجل 1976
↑ كيرشوف 1860أ
↑ كيرشوف 1860ب
1 2 3 شيرماخر 2001
1 2 كيرشوف 1860 ج
↑ بلانك 1914 ، ص 11
↑ ميلن 1930 ، ص 80
^ ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص 16-17
^ ميهالاس وويبل -ميهالاس 1984 ، ص. 328
^ قودي ويونغ 1989 ، ص 27-28
↑ باشين، ف. (1896)، رسالة شخصية استشهد بها هيرمان 1971 ، ص. 6
↑ هيرمان 1971 ، ص 7
↑ كون 1978 ، ص 8، 29
^ ميهرا وريشينبرج 1982 ، ص 26، 28، 31، 39
↑ كيرشوف 1862 ، ص 573
↑ كراغ 1999 ، ص 58
1 2 كانغرو 1976
↑ تيندال 1865أ
↑ تيندال 1865ب
↑ كانغرو 1976 ، الصفحات 8-10
↑ كروفا 1880
↑ كروفا 1880 ، ص 577، اللوحة الأولى
↑ كانغرو 1976 ، الصفحات 10-15
↑ كانغرو 1976 ، الصفحات 15-26
↑ ميكلسون 1888
↑ كانغرو 1976 ، الصفحات 30-36
^ كانجرو 1976 ، ص 122 – 123
↑ لومر وكورلبوم 1898
↑ كانغرو 1976 ، ص 159
↑ لومر وكورلبوم 1901
↑ كانغرو 1976 ، الصفحات 75-76
^ باشن 1895 ، ص 297-301
1 2 3 4 كلاين 1962 ، ص 460.
^ لومر وبرينجشيم 1899 ، ص. 225
↑ كانغرو 1976 ، ص 174
1 2 بلانك 1900د
1 2 رايلي 1900 ، ص 539
1 2 كانجرو 1976 ، ص 181-183
↑ باسوباثي، ج. (2000). "الكم، اكتشافه، والبحث المستمر عنه". العلوم الحالية . 79 (11): 1609-1614 . JSTOR 24104871 .
↑ كومار، مانجيت، الكم: أينشتاين، بور، والجدل الكبير حول طبيعة الواقع ، الطبعة الأمريكية الأولى، 2008. ISBN 978-1-84831-103-9
↑ ستون، أ. دوغلاس، أينشتاين والكم : بحث السوابي الشجاع ، 2013، مطبعة جامعة برينستون.
↑ رايلي 1900 ، ص 539
↑ بلانك، السيرة الذاتية العلمية وأوراق أخرى (نيويورك: المكتبة الفلسفية، 1949)، 41.
↑ هيرمان 1971 ، ص 23
↑ بلانك 1901 ، الصفحات 553-563
↑ عالم الفيزياء ، "ماكس بلانك: الثوري المتردد"، 1 ديسمبر 2000. اقتباس: "وفقًا لتفسير بولتزمان الميكانيكي الجزيئي، فإن إنتروبيا النظام هي النتيجة الجماعية للحركات الجزيئية. القانون الثاني للديناميكا الحرارية صالح فقط بالمعنى الإحصائي. وقد تم تحدي نظرية بولتزمان، التي افترضت وجود الذرات والجزيئات، من قبل فيلهلم أوستوالد وغيره من "علماء الطاقة"، الذين أرادوا تحرير الفيزياء من مفهوم الذرات وجعلها قائمة على الطاقة والكميات المرتبطة بها. ما كان موقف بلانك في هذا النقاش؟ قد يتوقع المرء أنه انحاز إلى المنتصرين، أو أولئك الذين سرعان ما تبين أنهم المنتصرون - أي بولتزمان و"الذريين". لكن هذا لم يكن هو الحال. إن إيمان بلانك بصحة القانون الثاني المطلقة جعله لا يرفض فقط النسخة الإحصائية للديناميكا الحرارية لبولتزمان، بل جعله يشكك أيضًا في الفرضية الذرية التي استندت إليها." https://physicsworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/
1 2 3 بلانك 1900أ
1 2 3 بلانك 1900ب
1 2 رايلي 1900
1 2 3 4 5 دوغال 1976
↑ بلانك 1943 ، ص 156
↑ هيتنر 1922
↑ روبنز وكورلبوم 1900أ
↑ روبنز وكورلبوم 1900ب
↑ كانغرو 1976 ، ص 165
↑ ميهرا وريتشنبرغ 1982 ، ص 41
↑ بلانك 1914 ، ص 135
↑ كون 1978 ، الصفحات 117-118
↑ هيرمان 1971 ، ص 16
↑ بلانك إلى روبرت ويليام وودز، 7 أكتوبر 1931، في هيرمان 1971 ، ص 24
↑ بلانك 1900 ج
↑ كانغرو 1976 ، ص 214
↑ كون 1978 ، ص 106
1 2 كراغ 2000
↑ بلانك 1901
↑ بلانك 1915 ، ص 89
^ إهرنفيست وكاميرلينج أونز 1914 ، ص. 873
↑ تير هار 1967 ، ص 14
↑ ستيل 1994 ، ص 128
↑ سكولي وزبيري 1997 ، ص 21 .
↑ بلانك 1906 ، ص 220
↑ كون 1978 ، ص 162
↑ بلانك 1914 ، الصفحات 44-45، 113-114
1 2 ستيل 1994 ، ص 150
1 2 ياوخ وروهرليك 1980 ، الفصل 13
↑ كاربلوس ونيومان 1951
↑ توماسيني وآخرون 2008
↑ جيفريز 1973 ، ص 223
↑ بلانك 1906 ، ص 178
↑ بلانك 1914 ، ص 26
↑ بولتزمان 1878
↑ كون 1978 ، ص 38-39
↑ بلانك 1914 ، الصفحات 1-45
↑ قطن 1899
1 2 3 أينشتاين 1905
↑ كراغ 1999 ، ص 67
^ ستيه 1994 ، ص 132 – 137
↑ أينشتاين 1993 ، ص 143 ، رسالة عام 1910.
↑ بلانك 1915 ، ص 95
1 2 بلانك 1906
↑ كون 1978 ، الصفحات 196-202
↑ كراغ 1999 ، الصفحات 63-66
↑ بلانك 1914 ، ص 161
↑ كون 1978 ، الصفحات 235-253
↑ كون 1978 ، ص 253-254
↑ مهرجان إهرنفست 1911
↑ كون 1978 ، ص 152
↑ كون 1978 ، الصفحات 151-152
↑ كانغرو 1976 ، ص 190
↑ كون 1978 ، الصفحات 144-145
↑ جينز 1901 ، حاشية في الصفحة 398
↑ جينز 1905ب
↑ جينز 1905 ج
↑ جينز 1905د
↑ سومرفيلد 1923 ، ص 43
↑ هايزنبرغ 1925 ، ص 108
↑ بريلوين 1970 ، ص 31
↑ بوز 1924
↑ لويس 1926
↑ هايزنبرغ 1925
↑ رازافي 2011 ، ص 39-41
↑ وُلِد في الأردن عام 1925
↑ ستيل 1994 ، ص 286
↑ رازافي 2011 ، ص 42-43
↑ المسيح 1958 ، ص 14
↑ باولي 1973 ، ص. 1
↑ فاينمان، لايتون وساندز 1963 ، ص 38-1
1 2 شوينجر 2001 ، ص 203
1 2 بورين وكلوثيو 2006 ، ص. 2
↑ شيف 1949 ، ص 2
^ ميهالاس وويبل -ميهالاس 1984 ، ص. 143
^ ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 20

فهرس

أدكنز، سي جيه (1983). الديناميكا الحرارية للتوازن ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-25445-8.
أندروز، ديفيد (2000). مقدمة في فيزياء الغلاف الجوي . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0511800770.
بور، ن. (1913). "حول تركيب الذرات والجزيئات" (ملف PDF) . المجلة الفلسفية . 26 (153): 1-25 . Bibcode : 1913PMag...26..476B . doi : 10.1080/14786441308634993 .
بوهين، سي إف ؛ كلوثيو، إي إي (2006). أساسيات الإشعاع الجوي . وايلي-في سي إتش . رقم ISBN 978-3-527-40503-9.
بولتزمان، ل. (1878). "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, own den Sätzen über das Wärmegleichgewicht". Sitzungsberichte Mathematics-Naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften في فيينا (باللغة الألمانية). 76 (2): 373 – 435.
بورن، م.؛ وولف ، إ. (1999). مبادئ البصريات ( الطبعة السابعة). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-64222-4.
ولد، م . الأردن، ص. (1925). "Zur Quantenmechanik". Zeitschrift für Physik . 34 (1): 858– 888. بيب كود : 1925ZPhy...34..858B . دوى : 10.1007/BF01328531 . S2CID 186114542 .
- تُرجم جزء منه بعنوان "حول ميكانيكا الكم" في كتاب فان دير واردن، بي إل (1967). مصادر ميكانيكا الكم . دار نشر نورث هولاند . الصفحات 277-306 .
بوز، ساتيندرا ناث (1924). “Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese”. Zeitschrift für Physik (باللغة الألمانية). 26 (1): 178– 181. بيب كود : 1924ZPhy...26..178B . دوى : 10.1007/BF01327326 . S2CID 186235974 .
بريم، جيه جيه؛ مولين، دبليو جيه (1989). مقدمة في بنية المادة . وايلي . ISBN 978-0-471-60531-7.
بريلوين، ل. (1970). إعادة النظر في النسبية . دار النشر الأكاديمية . رقم ISBN 978-0-12-134945-5.
كانيو، ج. (1999). الكشف السلبي بالأشعة تحت الحمراء: النظرية والتطبيقات . سبرينغر . ISBN 978-0-7923-8532-5.
تشاندراسيكار، س. (1960) [1950]. انتقال الإشعاع (طبعة منقحة ). منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-60590-6.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
كوتون، أ. (1899). "الوضع الحالي لقانون كيرشوف". المجلة الفيزيائية الفلكية . 9 : 237-268 . Bibcode : 1899ApJ.....9..237C . doi : 10.1086/140585 .
كروفا، APP (1880). "دراسة الإشعاعات المنبعثة من الأجسام المتوهجة. القياس البصري لدرجات الحرارة العالية" . حوليات الكيمياء والفيزياء . السلسلة 5. 19 : 472-550 .
دوغال، آر سي (1976). "عرض صيغة بلانك للإشعاع (درس تعليمي)". تعليم الفيزياء . 11 (6) 008: 438-443 . Bibcode : 1976PhyEd..11..438D . doi : 10.1088/0031-9120/11/6/008 . S2CID 250881729 .
إهرنفيست، ب. (1911). "كيف تلعب لعبة Lichtquantenhypothese في نظرية Wärmestrahlung كلفة رائعة؟" . أنالين دير فيزيك . 36 (11): 91– 118. بيب كود : 1911AnP...341...91E . دوى : 10.1002/andp.19113411106 .
إهرنفست، ب .؛ كامرلينغ أونيس، هـ. (1914). "استنتاج مبسط للصيغة من نظرية التوافيق التي استخدمها بلانك كأساس لنظرية الإشعاع الخاصة به". وقائع الأكاديمية الملكية الهولندية للعلوم في أمستردام . 17 (2): 870-873 . رمز Bibcode : 1914KNAB...17..870E .
أينشتاين أ. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt" . أنالين دير فيزيك . 17 (6): 132– 148. بيب كود : 1905AnP...322..132E . دوى : 10.1002/andp.19053220607 .
- ترجمة آرونز، أ.ب.؛ بيبارد، م.ب. (1965). "اقتراح أينشتاين لمفهوم الفوتون: ترجمة لمقال نُشر في مجلة حوليات الفيزياء عام 1905" (ملف PDF) . المجلة الأمريكية للفيزياء . 33 (5): 367. رمز Bibcode : 1965AmJPh..33..367A . doi : 10.1119/1.1971542 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) في 4 مارس 2016. تاريخ الاسترجاع: 19 أبريل 2011 .
أينشتاين، أ. (1916). "Zur Quantentheorie der Strahlung". Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich . 18 : 47– 62. بيب كود : 1916PhyGZ..18...47E .ونسخة متطابقة تقريبًا من آينشتاين أ. (1917). "Zur Quantentheorie der Strahlung". Physikalische Zeitschrift . 18 : 121– 128. بيب كود : 1917PhyZ...18..121E .
- ترجمة تير هار، د. (1967). "حول النظرية الكمية للإشعاع" . النظرية الكمية القديمة . دار بيرغامون للنشر . الصفحات 167-183 . رقم مكتبة الكونغرس 66029628 .
- انظر أيضاً.
أينشتاين، أ. (1993). الأوراق الكاملة لألبرت أينشتاين . المجلد 3. ترجمة بيك، أ. مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-10250-4.
فاينمان، آر بي ؛ لايتون، آر بي ؛ ساندز، إم. (1963). محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد 1. أديسون -ويسلي . ISBN 978-0-201-02010-6.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
فيشر، ت. (1 نوفمبر 2011). "المواضيع: اشتقاق قانون بلانك" . ThermalHUB . تم الاطلاع عليه في 19 يونيو 2015 .
غاوفنغ شاو؛ يوتساو لو؛ دوريان أ.هـ. هاناور؛ شينغ تسوي؛ جيان جياو؛ شياودونغ شين (2019). "تحسين مقاومة الأكسدة للطلاءات عالية الانبعاثية على السيراميك الليفي لأنظمة الفضاء القابلة لإعادة الاستخدام" . علم التآكل . 146 : 233-246 . arXiv : 1902.03943 . Bibcode : 2019Corro.146..233S . doi : 10.1016/j.corsci.2018.11.006 . S2CID 118927116. HAL Id: hal-02308467 – عبر أرشيفات HAL المفتوحة.
جودي، آر إم؛ يونغ، واي إل (1989). الإشعاع الجوي: الأساس النظري ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد . رقم ISBN 978-0-19-510291-8.
جوجنهايم، إي. أ. (1967). الديناميكا الحرارية. معالجة متقدمة للكيميائيين والفيزيائيين ( الطبعة الخامسة المنقحة). شركة نورث هولاند للنشر .
هاكن، هـ. (1981). الضوء ( طبعة مُعاد طباعتها). أمستردام: دار نشر نورث هولاند . ISBN 978-0-444-86020-0.
هابكي، ب. (1993). نظرية مطيافية الانعكاس والانبعاث . مطبعة جامعة كامبريدج ، كامبريدج، المملكة المتحدة. ISBN 978-0-521-30789-5.
هايزنبرغ، دبليو (1925). “Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen”. Zeitschrift für Physik . 33 (1): 879– 893. بيب كود : 1925ZPhy...33..879H . دوى : 10.1007/BF01328377 . S2CID 186238950 .
- تُرجمت إلى "إعادة تفسير العلاقات الحركية والميكانيكية من منظور نظرية الكم" في كتاب فان دير واردن، بي إل (1967). مصادر ميكانيكا الكم . دار نشر نورث هولاند . الصفحات 261-276 .
هايزنبرغ، دبليو. (1930). المبادئ الفيزيائية لنظرية الكم . إيكارت، سي.؛ هويت، إف سي (مترجم). مطبعة جامعة شيكاغو .
هيرمان، أ. (1971). نشأة نظرية الكم . ترجمة: ناش، سي دبليو. مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ISBN 978-0-262-08047-7.
- ترجمت من Frühgeschichte der Quantentheorie (1899–1913) ، Physik Verlag، Mosbach/Baden، 1969.
هيتنر، ج. (1922). "Die Bedeutung von Rubens Arbeiten für die Plancksche Strahlungsformel" . ناتورويسنشافتن . 10 (48): 1033-1038 . بيب كود : 1922NW .....10.1033H . دوى : 10.1007/BF01565205 . S2CID 46268714 .
جامر، م. (1989). التطور المفاهيمي لميكانيكا الكم ( الطبعة الثانية). دار نشر توماش / المعهد الأمريكي للفيزياء . رقم ISBN 978-0-88318-617-6.
جاوتش، ج.م.؛ رورليش، ف. (1980) [1955]. نظرية الفوتونات والإلكترونات. نظرية المجال الكمومي النسبية للجسيمات المشحونة ذات اللف المغزلي نصف (الطبعة الثانية من الطبعة الثانية). سبرينغر . ISBN 978-0-387-07295-1.
جينز، جيه إتش (1901). "توزيع الطاقة الجزيئية". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 196 ( 274-286 ): 397-430 . Bibcode : 1901RSPTA.196..397J . doi : 10.1098/rsta.1901.0008 . JSTOR 90811 .
جينز، جيه إتش (1905أ). "الحادي عشر. حول تقسيم الطاقة بين المادة والأثير" . المجلة الفلسفية . 10 (55): 91-98 . doi : 10.1080/14786440509463348 .
جينز، جيه إتش (1905ب). "حول تطبيق الميكانيكا الإحصائية على الديناميكا العامة للمادة والأثير" . وقائع الجمعية الملكية أ . 76 (510): 296-311 . رمز Bibcode : 1905RSPSA..76..296J . doi : 10.1098/rspa.1905.0029 . JSTOR 92714 .
جينز، جيه إتش (1905ج). "مقارنة بين نظريتين للإشعاع" . مجلة نيتشر . 72 (1865): 293-294 . Bibcode : 1905Natur..72..293J . doi : 10.1038/072293d0 . S2CID 3955227 .
جينز، جيه إتش (1905د). "حول قوانين الإشعاع" . وقائع الجمعية الملكية أ . 76 (513): 545-552 . رمز Bibcode : 1905RSPSA..76..545J . doi : 10.1098/rspa.1905.0060 . JSTOR 92704 .
جيفريز، هـ. (1973). الاستدلال العلمي ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-08446-8.
كانغرو، هـ. (1976). التاريخ المبكر لقانون بلانك للإشعاع . تايلور وفرانسيس . ISBN 978-0-85066-063-0.
كاربلوس، ر.؛ نيومان، م. (1951). "تشتت الضوء بواسطة الضوء". مجلة Physical Review . 83 (4): 776-784 . Bibcode : 1951PhRv...83..776K . doi : 10.1103/PhysRev.83.776 .
كيرشوف، جي آر (1860 أ). "Über die Fraunhofer'schen Linien". Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 662–665 .
كيرشوف، جي آر (1860 ب). "Über den Zusammenhang zwischen Emission und Absorption von Licht und Wärme". Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 783–787 .
كيرشوف، جي آر (1860 ج). "Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme and Licht" . Annalen der Physik und Chemie . 109 (2): 275– 301. بيب كود : 1860AnP...185..275K . دوى : 10.1002/andp.18601850205 .
- ترجمة غوثري، ف. (عن كيرشوف، ج. ر. (1860)). "حول العلاقة بين قدرات الإشعاع والامتصاص للأجسام المختلفة للضوء والحرارة". المجلة الفلسفية . السلسلة 4. 20 (130): 1-21 . رمز Bibcode : 1860LEDPM..20....1K . doi : 10.1080/14786446008642901 .
كيرشوف، جي آر (1862). "Über das Verhältniss zwischen dem Emissionsvermögen und dem Absorptionsvermögen der Körper für Wärme und Licht". جيساميلت أبهاندلونجن . يوهان أمبروسيوس بارث . ص 571 – 598.
كيتل، سي .؛ كرومر، إتش. (1980). الفيزياء الحرارية ( الطبعة الثانية). دبليو إتش فريمان . ISBN 978-0-7167-1088-2.
كلاين، إم جيه (1962). "ماكس بلانك وبدايات نظرية الكم". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 1 (5): 459-479 . doi : 10.1007/BF00327765 . S2CID 121189755 .
كراغ، هـ. (1999). الأجيال الكمومية: تاريخ الفيزياء في القرن العشرين . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-01206-3.
كراغ، هـ. (ديسمبر 2000). "ماكس بلانك: الثوري المتردد" . عالم الفيزياء . 13 (12): 31-36 . doi : 10.1088/2058-7058/13/12/34 .
كرام، جيرهارد؛ مولدرز، ن. (2009). "قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود: عرضه في مجالات مختلفة وتحديد الثابت البُعدي ذي الصلة". مجلة جمعية كلكتا الرياضية . 5 ( 1-2 ): 27-61 . arXiv : 0901.1863 . Bibcode : 2009arXiv0901.1863K .
كون، تي إس (1978). نظرية الجسم الأسود والانقطاع الكمي . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-502383-1.
لاندسبيرغ، بي تي (1961). الديناميكا الحرارية مع الرسوم التوضيحية الإحصائية الكمية . دار نشر إنترساينس .
لاندسبيرغ، بي تي (1978). الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية . مطبعة جامعة أكسفورد . رقم ISBN 978-0-19-851142-7.
لويس، جي إن (1926). "حفظ الفوتونات". مجلة نيتشر . 118 (2981): 874-875 . رمز Bibcode : 1926Natur.118..874L . doi : 10.1038/118874a0 . S2CID 4110026 .
لاودون، ر. (2000). نظرية الكم للضوء ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-850177-0.
لوين، أ.ن.؛ بلانش، ج. (1940). "جداول دوال بلانك للإشعاع والفوتون". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية . 30 (2): 70. رمز Bibcode : 1940JOSA...30...70L . doi : 10.1364/JOSA.30.000070 .
لومير، أو . كورلبوم، ف. (1898). "Der electric geglühte "أسود مطلق" Körper und seine Temperaturmessung". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 17 : 106 - 111.
لومير، أو . برينجشيم، إي. (1899). "1. Die Vertheilung der Energie in Spectrum des schwarzen Körpers und des Platins الفارغة؛ 2. Temperaturbestimmung fester glühender Körper". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 1 : 215 - 235.
لومير، أو . كورلبوم، ف. (1901). "Der elektrisch geglühte "schwarze" Körper" . أنالين دير فيزيك . 310 (8): 829– 836. بيب كود : 1901AnP...310..829L . دوى : 10.1002/andp.19013100809 .
ماندل، ل.؛ وولف ، إ. (1995). التماسك البصري والبصريات الكمية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-41711-2.
مهرا، ج .؛ ريشينبيرغ، هـ. (1982). التطور التاريخي لنظرية الكم . المجلد 1. سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-90642-3.
ميسيا، أ. (1958). ميكانيكا الكم . ترجمة: تيمر، جي جي. وايلي .
ميكلسون، فيرجينيا (1888). "مقال نظري حول توزيع الطاقة في أطياف المواد الصلبة" . المجلة الفلسفية . السلسلة 5. 25 (156): 425-435 . doi : 10.1080/14786448808628207 .
ميهالاس، د.؛ ويبل-ميهالاس، ب. (1984). أسس ديناميكا الموائع الإشعاعية . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-503437-0.
ميلن، EA (1930). “الديناميكا الحرارية للنجوم”. Handbuch دير الفيزياء الفلكية . 3 (1): 63 – 255.
موهر، بي جيه؛ تايلور، بي إن؛ نيويل، دي بي (2012). "القيم الموصى بها من قِبل CODATA للثوابت الفيزيائية الأساسية: 2010" (ملف PDF) . مراجعات الفيزياء الحديثة . 84 (4): 1527-1605 . arXiv : 1203.5425 . Bibcode : 2012RvMP...84.1527M . CiteSeerX : 10.1.1.150.1225 . doi : 10.1103/RevModPhys.84.1527 . S2CID : 103378639 .
بالتريدج، جي دبليو ؛ بلات، سي إم آر (1976). العمليات الإشعاعية في الأرصاد الجوية وعلم المناخ . إلسيفير . ISBN 978-0-444-41444-1.
باشن، ف. (1895). "Über Gesetzmäßigkeiten in den Spectren fester Körper und über ein new Bestimmung der Sonnentemperatur". Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (فئة الرياضيات والفيزياء) : 294– 304.
باولي، و. (1973). إنز، سي بي (محرر). ميكانيكا الموجات . مارغوليس، إس.؛ لويس، إتش آر (مترجم). مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ISBN 978-0-262-16050-6.
بلانك، م. (1900 أ). "Über eine Verbesserung der Wien'schen Spectralgleichung" . Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 202 – 204.
- ترجمة تير هار، د. (1967). "حول تحسين معادلة فين للطيف" (ملف PDF) . نظرية الكم القديمة . دار بيرغامون للنشر . الصفحات 79-81 . رقم مكتبة الكونغرس 66029628. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 10 أكتوبر 2016. تاريخ الاطلاع 13 أكتوبر 2011 .
بلانك، م. (1900ب). "Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum" . Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 237 - 245.
- ترجمة تير هار، د. (1967). "حول نظرية قانون توزيع الطاقة للطيف الطبيعي" (ملف PDF) . نظرية الكم القديمة . دار بيرغامون للنشر . ص 82. رقم مكتبة الكونغرس 66029628. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 20 سبتمبر 2016. تاريخ الاطلاع 13 أكتوبر 2011 .
بلانك، م. (1900ج). "الإنتروبيا ودرجة الحرارة المتقطعة للحرارة" . أنالين دير فيزيك . 306 (4): 719– 737. بيب كود : 1900AnP...306..719P . دوى : 10.1002/andp.19003060410 .
بلانك، م. (1900د). "Über Strahlungsvorgänge لا رجعة فيه" . أنالين دير فيزيك . 306 (1): 69– 122. بيب كود : 1900AnP...306...69P . دوى : 10.1002/andp.19003060105 .
بلانك، م. (1901). "Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum" . أنالين دير فيزيك . 4 (3): 553–563 . بيب كود : 1901AnP...309..553P . دوى : 10.1002/andp.19013090310 .
- ترجمة أندو، ك. "حول قانون توزيع الطاقة في الطيف الطبيعي" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 6 أكتوبر 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 أكتوبر 2011 .
بلانك، م. (1906). Vorlesungen über die Theorie der Wärmestrahlung . يوهان أمبروسيوس بارث . إل سي سي إن 07004527 .
بلانك، م. (1914). نظرية الإشعاع الحراري . ترجمة ماسيوس، م. ( الطبعة الثانية). بي. بلاكيستون وأبناؤه وشركاه. OL 7154661M .
بلانك، م. (1915). ثماني محاضرات في الفيزياء النظرية، أُلقيت في جامعة كولومبيا عام 1909 (ملف PDF) . ترجمة: ويلز، أ.ب. نيويورك: مطبعة جامعة كولومبيا . تاريخ الوصول: 11 مايو 2020 - عبر مشروع غوتنبرغ.
بلانك، م. (1943). "Zur Geschichte der Auffindung des physikalischen Wirkungsquantums". ناتورويسنشافتن . 31 ( 14– 15): 153– 159. بيب كود : 1943NW .....31..153P . دوى : 10.1007/BF01475738 . S2CID 44899488 .
رايلي، اللورد (1900). "الجزء الثالث والخمسون: ملاحظات حول قانون الإشعاع الكامل" . المجلة الفلسفية . السلسلة 5. 49 (301): 539-540 . doi : 10.1080/14786440009463878 .
رايلي، اللورد (1905). "النظرية الديناميكية للغازات والإشعاع" . مجلة نيتشر . 72 (1855): 54-55 . Bibcode : 1905Natur..72...54R . doi : 10.1038/072054c0 . S2CID 4057048 .
رازافي، م. (2011). ميكانيكا الكم لهايزنبرغ . وورلد ساينتيفيك . ISBN 978-981-4304-10-8.
روبنز، هـ . كورلبوم، ف. (1900 أ). "Über die Emission langer Wellen durch den schwarzen Körper". Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft . 2 : 181.
روبنز، هـ . كورلبوم، ف. (1900ب). "Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen درجة الحرارة". Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 929– 941.
- تُرجمت في: روبنز، هـ .؛ كورلبوم، ف. (1901). "حول الإشعاع الحراري ذي الطول الموجي الطويل المنبعث من الأجسام السوداء عند درجات حرارة مختلفة" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 14 : 335-348 . رمز Bibcode : 1901ApJ....14..335R . doi : 10.1086/140874 .
ريبيكي، جي بي؛ لايتمان، إيه بي (1979). العمليات الإشعاعية في الفيزياء الفلكية . جون وايلي وأولاده . ISBN 978-0-471-82759-7.
شاركوف، إي. أ. (2003). "إشعاع الجسم الأسود" (ملف PDF) . الاستشعار عن بعد السلبي للأرض باستخدام الموجات الميكروية . سبرينغر . ISBN 978-3-540-43946-2.
شيف، إل آي (1949). ميكانيكا الكم . ماكجرو هيل .
شيرماخر، أ. (2001). نظرية التجارب: براهين قانون كيرشوف للإشعاع قبل وبعد بلانك . Münchner Zentrum für Wissenschafts und Technikgeschichte .
شوينجر، ج. (2001). إنجليرت، ب.-ج. (محرر). ميكانيكا الكم: رمزية القياسات الذرية . سبرينغر . ISBN 978-3-540-41408-7.
سكولي، ميزوري ؛ زبيري، م.س. (1997). البصريات الكمية . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-43458-4.
سيجل، د.م. (1976). "بالفور ستيوارت وجوستاف روبرت كيرشوف: منهجان مستقلان لقانون كيرشوف للإشعاع"" . Isis . 67 (4): 565–600 . doi : 10.1086/351669 . PMID 794025. S2CID 37368520 .
سيجل، ر .؛ هاول، جيه آر (2002). انتقال الحرارة بالإشعاع الحراري، المجلد 1 (الطبعة الرابعة ). تايلور وفرانسيس . ISBN 978-1-56032-839-1.
سومرفيلد، أ. (1923). التركيب الذري والخطوط الطيفية . ترجمة بروس، هـ. ل. (من الطبعة الألمانية الثالثة). ميثوين .
ستيل، ب. (1994). النظام، الفوضى، النظام: الانتقال من الفيزياء الكلاسيكية إلى فيزياء الكم . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-507513-7.
ستيوارت، ب. (1858). "وصف لبعض التجارب على الحرارة الإشعاعية" . معاملات الجمعية الملكية في إدنبرة . 22 : 1-20 . doi : 10.1017/S0080456800031288 . S2CID 122316368 .
تير هار، د. (1967). نظرية الكم القديمة . دار بيرغامون للنشر . LCCN 66-029628 .
ثورنتون، إس تي؛ ريكس، إيه إف (2002). الفيزياء الحديثة . تومسون ليرنينج . رقم ISBN 978-0-03-006049-6.
تيسا، ل. (1966). الديناميكا الحرارية المعممة . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا .
توماسيني، د.؛ فيراندو، ف.؛ ميشينيل، هـ.؛ سيكو، م. (2008). "الكشف عن تشتت الفوتون-فوتون في الفراغ باستخدام ليزرات إكساواط". مجلة Physical Review A. 77 ( 1): 042101. arXiv : quant-ph/0703076 . Bibcode : 2008PhRvA..77a2101M . doi : 10.1103/PhysRevA.77.012101 .
تيندال، ج. (1865 أ). "Über leuchtende und dunkle Strahlung" . Annalen der Physik und Chemie . 200 (1): 36– 53. بيب كود : 1865AnP...200...36T . دوى : 10.1002/andp.18652000103 .
تيندال، ج. (1865ب). الحرارة باعتبارها نمطًا من أنماط الحركة . دي. أبليتون وشركاه .
فيينا دبليو. (1896). "Über die Energievertheilung im Emissionsspectrum eines schwarzen Körpers" . Annalen der Physik und Chemie . 294 (8): 662– 669. بيب كود : 1896AnP...294..662W . دوى : 10.1002/andp.18962940803 .
ويلسون، أ.هـ. (1957). الديناميكا الحرارية والميكانيكا الإحصائية . مطبعة جامعة كامبريدج .

روابط خارجية

ملخص الإشعاع
إشعاع الجسم الأسود – محاكاة تفاعلية للعب بقانون بلانك
مقالة في موقع ساينس وورلد حول قانون بلانك

[3] انظر إلى الاستدلالات

[young1_2016_1256-1257-1] يونغ، هيو د.؛ فريدمان، روجر أ.؛ فورد، أ. لويس (2016). فيزياء الجامعة ( الطبعة الرابعة عشرة). بيرسون. الصفحات 1256-1257 . ISBN 9780321973610.

[Planck_1914_42-2] 1 2 3 4 بلانك 1914 ، ص 42

[FOOTNOTEGaofeng_Shao,_et_al.2019[httpshalarchives-ouvertesfrhal-02308467documentpage7_6]-4] جاوفينج شاو، وآخرون. 2019 ، ص. 6 .

[5] زانغويل، أندرو (2013). الديناميكا الكهربائية الحديثة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 698. ISBN 978-0-521-89697-9.

[:0-6] 1 2 أندروز، ديفيد ج. (2010). مقدمة في فيزياء الغلاف الجوي (الطبعة الثانية ). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 54. ISBN 978-0-521-87220-1.

[Planck_1914_6_168-7] بلانك 1914 ، الصفحات 6، 168

[Chan8-8] 1 2 3 شاندراسيخار 1960 ، ص. 8

[Rybicki_1979_22-9] ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 22

[Marr2012-10] 1 2 3 4 مار، جوناثان م.؛ ويلكين، فرانسيس ب. (2012). "عرض أفضل لقانون بلانك للإشعاع" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Bibcode : 2012AmJPh..80..399M . doi : 10.1119/1.3696974 . S2CID 10556556 .

[Stewart_1858-11] 1 2 ستيوارت 1858

[12] هابكي 1993 ، ص 362-373

[Planck_1914-13] بلانك 1914

[14] لاودون 2000 ، الصفحات 3-45

[15] كانيو 1999 ، ص 117

[16] كرام ومولدرز 2009 ، ص. 10

[SharkovConversions-17] 1 2 شاركوف 2003 ، ص 210

[18] فيشر 2011

[19] قودي ويونغ 1989 ، ص. 16.

[20] موهر، تايلور ونيويل 2012 ، ص 1591

[21] لاودون 2000

[22] ماندل وولف 1995

[23] ويلسون 1957 ، ص 182

[24] أدكينز 1983 ، الصفحات 147-148

[25] لاندسبيرغ 1978 ، ص 208

[26] سيجل وهويل 2002 ، ص 25

[27] بلانك 1914 ، الصفحات 9-11

[28] بلانك 1914 ، ص 35

[29] لاندسبيرغ 1961 ، الصفحات 273-274

[30] بورن وولف 1999 ، الصفحات 194-199

[31] بورن وولف 1999 ، ص 195

[Rybicki_1979_19-32] ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 19

[Chan7-33] تشاندراسيكار 1960 ، ص 7

[Chan9-34] تشاندراسيكار 1960 ، ص 9

[Einstein_1916-35] 1 2 3 أينشتاين 1916

[Bohr_1913-36] 1 2 بور 1913

[Jammer_1989_113_115-37] 1 2 جهاز تشويش 1989 ، ص 113، 115

[KK-Peak-38] 1 2 كيتل وكرويمر 1980 ، ص 98

[Jeans_1905a-39] 1 2 3 جينز 1905 أ، ص 98

[Rayleigh_1905-40] 1 2 رايلي 1905

[Rybicki_1979_23-41] 1 2 ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 23

[Wien_1896_667-42] 1 2 فيينا 1896 ، ص 667

[43] بلانك 1906 ، ص 158

[44] لوين وبلانش 1940

[45] مُقتبس من كريستيان غييمارد (أبريل 2004). "الإشعاع الشمسي الكلي والطيفي لتطبيقات الطاقة الشمسية ونماذج الإشعاع الشمسي". الطاقة الشمسية . 76 (4): 423-453 . Bibcode : 2004SoEn...76..423G . doi : 10.1016/j.solener.2003.08.039 .

[46] زتيللي، نور الدين (2009). ميكانيكا الكم: المفاهيم والتطبيقات ( الطبعة الثانية). تشيتشستر: وايلي. الصفحات 594-596 . ISBN 978-0-470-02679-3.

[:02-47] سيغري، كارلو. "معاملات أينشتاين - أساسيات نظرية الكم II (PHYS 406)" (PDF) . ص 32.

[48] زويباخ، بارتون. "الفيزياء الكمية 3، الفصل 4: نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن | الفيزياء الكمية 3 | الفيزياء" . MIT OpenCourseWare . الصفحات 108-110 . تاريخ الاسترجاع: 3 نوفمبر 2023 .

[Siegel-49] 1 2 3 4 سيجل 1976

[50] كيرشوف 1860أ

[51] كيرشوف 1860ب

[Schirrmacher_2001-52] 1 2 3 شيرماخر 2001

[Kirchhoff_1860c-53] 1 2 كيرشوف 1860 ج

[54] بلانك 1914 ، ص 11

[55] ميلن 1930 ، ص 80

[56] ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص 16-17

[57] ميهالاس وويبل -ميهالاس 1984 ، ص. 328

[58] قودي ويونغ 1989 ، ص 27-28

[59] باشين، ف. (1896)، رسالة شخصية استشهد بها هيرمان 1971 ، ص. 6

[60] هيرمان 1971 ، ص 7

[61] كون 1978 ، ص 8، 29

[62] ميهرا وريشينبرج 1982 ، ص 26، 28، 31، 39

[63] كيرشوف 1862 ، ص 573

[64] كراغ 1999 ، ص 58

[Kangro_1976-65] 1 2 كانغرو 1976

[66] تيندال 1865أ

[67] تيندال 1865ب

[68] كانغرو 1976 ، الصفحات 8-10

[69] كروفا 1880

[70] كروفا 1880 ، ص 577، اللوحة الأولى

[71] كانغرو 1976 ، الصفحات 10-15

[72] كانغرو 1976 ، الصفحات 15-26

[73] ميكلسون 1888

[74] كانغرو 1976 ، الصفحات 30-36

[75] كانجرو 1976 ، ص 122 – 123

[76] لومر وكورلبوم 1898

[77] كانغرو 1976 ، ص 159

[78] لومر وكورلبوم 1901

[79] كانغرو 1976 ، الصفحات 75-76

[80] باشن 1895 ، ص 297-301

[Klein_1962-81] 1 2 3 4 كلاين 1962 ، ص 460.

[82] لومر وبرينجشيم 1899 ، ص. 225

[83] كانغرو 1976 ، ص 174

[Planck_1900d-84] 1 2 بلانك 1900د

[Rayleigh_1900_539-85] 1 2 رايلي 1900 ، ص 539

[Kangro_1976_181-86] 1 2 كانجرو 1976 ، ص 181-183

[87] باسوباثي، ج. (2000). "الكم، اكتشافه، والبحث المستمر عنه". العلوم الحالية . 79 (11): 1609-1614 . JSTOR 24104871 .

[88] كومار، مانجيت، الكم: أينشتاين، بور، والجدل الكبير حول طبيعة الواقع ، الطبعة الأمريكية الأولى، 2008. ISBN 978-1-84831-103-9

[89] ستون، أ. دوغلاس، أينشتاين والكم : بحث السوابي الشجاع ، 2013، مطبعة جامعة برينستون.

[90] رايلي 1900 ، ص 539

[91] بلانك، السيرة الذاتية العلمية وأوراق أخرى (نيويورك: المكتبة الفلسفية، 1949)، 41.

[92] هيرمان 1971 ، ص 23

[93] بلانك 1901 ، الصفحات 553-563

[94] عالم الفيزياء ، "ماكس بلانك: الثوري المتردد"، 1 ديسمبر 2000. اقتباس: "وفقًا لتفسير بولتزمان الميكانيكي الجزيئي، فإن إنتروبيا النظام هي النتيجة الجماعية للحركات الجزيئية. القانون الثاني للديناميكا الحرارية صالح فقط بالمعنى الإحصائي. وقد تم تحدي نظرية بولتزمان، التي افترضت وجود الذرات والجزيئات، من قبل فيلهلم أوستوالد وغيره من "علماء الطاقة"، الذين أرادوا تحرير الفيزياء من مفهوم الذرات وجعلها قائمة على الطاقة والكميات المرتبطة بها. ما كان موقف بلانك في هذا النقاش؟ قد يتوقع المرء أنه انحاز إلى المنتصرين، أو أولئك الذين سرعان ما تبين أنهم المنتصرون - أي بولتزمان و"الذريين". لكن هذا لم يكن هو الحال. إن إيمان بلانك بصحة القانون الثاني المطلقة جعله لا يرفض فقط النسخة الإحصائية للديناميكا الحرارية لبولتزمان، بل جعله يشكك أيضًا في الفرضية الذرية التي استندت إليها." https://physicsworld.com/a/max-planck-the-reluctant-revolutionary/

[Planck_1900a-95] 1 2 3 بلانك 1900أ

[Planck_1900b-96] 1 2 3 بلانك 1900ب

[Rayleigh_1900-97] 1 2 رايلي 1900

[Dougal-98] 1 2 3 4 5 دوغال 1976

[99] بلانك 1943 ، ص 156

[100] هيتنر 1922

[101] روبنز وكورلبوم 1900أ

[102] روبنز وكورلبوم 1900ب

[103] كانغرو 1976 ، ص 165

[104] ميهرا وريتشنبرغ 1982 ، ص 41

[105] بلانك 1914 ، ص 135

[106] كون 1978 ، الصفحات 117-118

[107] هيرمان 1971 ، ص 16

[108] بلانك إلى روبرت ويليام وودز، 7 أكتوبر 1931، في هيرمان 1971 ، ص 24

[109] بلانك 1900 ج

[110] كانغرو 1976 ، ص 214

[111] كون 1978 ، ص 106

[Kraghe-112] 1 2 كراغ 2000

[planck-113] بلانك 1901

[114] بلانك 1915 ، ص 89

[115] إهرنفيست وكاميرلينج أونز 1914 ، ص. 873

[116] تير هار 1967 ، ص 14

[117] ستيل 1994 ، ص 128

[118] سكولي وزبيري 1997 ، ص 21 .

[119] بلانك 1906 ، ص 220

[120] كون 1978 ، ص 162

[Planck_1914a-121] بلانك 1914 ، الصفحات 44-45، 113-114

[Stehle_150-122] 1 2 ستيل 1994 ، ص 150

[Jauch_Rohrlich-123] 1 2 ياوخ وروهرليك 1980 ، الفصل 13

[Karplus-124] كاربلوس ونيومان 1951

[125] توماسيني وآخرون 2008

[126] جيفريز 1973 ، ص 223

[127] بلانك 1906 ، ص 178

[128] بلانك 1914 ، ص 26

[129] بولتزمان 1878

[130] كون 1978 ، ص 38-39

[131] بلانك 1914 ، الصفحات 1-45

[132] قطن 1899

[Einstein_1905-133] 1 2 3 أينشتاين 1905

[134] كراغ 1999 ، ص 67

[Stehle_132–137-135] ستيه 1994 ، ص 132 – 137

[136] أينشتاين 1993 ، ص 143 ، رسالة عام 1910.

[137] بلانك 1915 ، ص 95

[Planck_1906-138] 1 2 بلانك 1906

[139] كون 1978 ، الصفحات 196-202

[140] كراغ 1999 ، الصفحات 63-66

[141] بلانك 1914 ، ص 161

[142] كون 1978 ، الصفحات 235-253

[143] كون 1978 ، ص 253-254

[144] مهرجان إهرنفست 1911

[145] كون 1978 ، ص 152

[146] كون 1978 ، الصفحات 151-152

[147] كانغرو 1976 ، ص 190

[148] كون 1978 ، الصفحات 144-145

[149] جينز 1901 ، حاشية في الصفحة 398

[150] جينز 1905ب

[151] جينز 1905 ج

[152] جينز 1905د

[Sommerfeld_1923_43-153] سومرفيلد 1923 ، ص 43

[Heisenberg_1925_108-154] هايزنبرغ 1925 ، ص 108

[Brillouin_1970_31-155] بريلوين 1970 ، ص 31

[156] بوز 1924

[157] لويس 1926

[158] هايزنبرغ 1925

[159] رازافي 2011 ، ص 39-41

[160] وُلِد في الأردن عام 1925

[161] ستيل 1994 ، ص 286

[162] رازافي 2011 ، ص 42-43

[163] المسيح 1958 ، ص 14

[164] باولي 1973 ، ص. 1

[165] فاينمان، لايتون وساندز 1963 ، ص 38-1

[Schwinger_2001_203-166] 1 2 شوينجر 2001 ، ص 203

[BC_2006_2-167] 1 2 بورين وكلوثيو 2006 ، ص. 2

[168] شيف 1949 ، ص 2

[169] ميهالاس وويبل -ميهالاس 1984 ، ص. 143

[170] ريبيكي ولايتمان 1979 ، ص. 20

[ 1 ]

[ 2 ]

بطريقة

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

11 ] تتراوح

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

يمكن أيضًا كتابة قانون

نحصل على العلاقة بين صيغتي التردد والطول الموجي

]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]،

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ].

[ 31 ]

[

[ 33 ]

[ ٣٤ ]

الممتصّ

[

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ ٥٠ ]

[ ٥١ ]

52

[ 53 ]

تدوين

[

[

[

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]،

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ ٦٨ ]

[ ٦٩ ]

[ ٧٠ ]

[ 71 ]

[ ٧٢ ]

[ ٧٣ ]

[ ٧٤ ]

[ ٧٥ ]

[ ٧٦ ]

[ ٧٧ ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]

[ 94 ]

[ 95 ]

[ 96 ]

[ 97 ]

] من المعروف

[

[ 100 ]

[ 101 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗