نظرية التوزيع المتساوي

الطاقة الحركية (النيوتونية) لجسيم كتلته m وسرعته v تُعطى بالعلاقة التالية $${\displaystyle H_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right),}$$ حيث v _x و v _y و v _z هي المركبات الديكارتية للسرعة v . هنا، H اختصار لكلمة Hamiltonian ، ويستخدم من الآن فصاعدًا كرمز للطاقة لأن الصيغة الهاميلتونية تلعب دورًا محوريًا في الشكل الأكثر عمومية لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة.

بما أن الطاقة الحركية تتناسب طرديًا مع مربع مركبات السرعة، فإن هذه المركبات الثلاثة، وفقًا لمبدأ التوزيع المتساوي للطاقة، تُساهم كل منها بمقدار ½ kBT في _متوسط ​​الطاقة الحركية في حالة التوازن الحراري. وبالتالي ، فإن متوسط ​​الطاقة الحركية للجسيم هو ½ kBT ، كما في مثال الغازات النبيلة المذكور أعلاه _.

بشكل عام، في غاز مثالي أحادي الذرة، تتكون الطاقة الكلية من طاقة حركية (انتقالية) فقط: بافتراض أن الجسيمات لا تملك درجات حرية داخلية وتتحرك بشكل مستقل عن بعضها البعض. لذلك، تتنبأ نظرية التوزيع المتساوي للطاقة بأن الطاقة الكلية لغاز _مثالي مكون من N جسيمًا هي 3/2 N kBT .

يستنتج من ذلك أن السعة الحرارية للغاز هي ⁠ ½ ⁠ N k B، وبالتالي، على وجه الخصوص، فإن السعة الحرارية لمول واحد من جزيئات هذا الغاز هي ⁠ ½ ⁠ N A k B = ⁠ ½ ⁠ _R ، حيث N A هو ثابت أفوجادرو و R _هو ثابت _{الغازات} . وبما أن R ≈ 2 كالوري / ( مول · كلفن ) ، فإن مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة يتنبأ بأن السعة الحرارية _{المولية} للغاز المثالي تبلغ تقريبًا 3 كالوري/(مول·كلفن). وقد تأكدت هذه التنبؤات تجريبيًا عند مقارنتها بالغازات أحادية الذرة. ^{[ 4 ]} 

كما تسمح الطاقة الحركية المتوسطة بحساب متوسط ​​السرعة التربيعية الجذرية v _rms لجزيئات الغاز: $${\displaystyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}={\sqrt {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}},}$$ حيث M = N _A m هي كتلة مول واحد من جزيئات الغاز. هذه النتيجة مفيدة للعديد من التطبيقات مثل قانون غراهام للانصباب ، الذي يوفر طريقة لتخصيب اليورانيوم . ^{[ 5 ]}

يُقدّم مثال مشابه جزيء دوّار ذو عزوم قصور ذاتي رئيسية I1 و I2 و I3 _. ووفقًا للميكانيكا الكلاسيكية، تُعطى الطاقة الدورانية لهذا الجزيء بالعلاقة _{التالية :}$${\displaystyle H_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}(I_{1}\omega _{1}^{2}+I_{2}\omega _{2}^{2}+I_{3}\omega _{3}^{2}),}$$ حيث تمثل ω1 _و ω2 و ω3 المكونات الرئيسية للسرعة الزاوية . وبنفس المنطق _{المستخدم} في حالة الحركة الانتقالية، فإن مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة يعني أنه في حالة التوازن الحراري، يكون متوسط ​​الطاقة الدورانية لكل جسيم هو 3/2 _kBT . _{وبالمثل} ، تسمح نظرية التوزيع المتساوي للطاقة بحساب متوسط ​​السرعة الزاوية ( ^{أو بالأحرى} ، الجذر التربيعي المتوسط) للجزيئات. [ ^{6 ]}

يلعب دوران الجزيئات الصلبة - أي الدوران العشوائي للجزيئات في المحلول - دورًا رئيسيًا في عمليات الاسترخاء التي تُلاحظ بواسطة الرنين المغناطيسي النووي ، وخاصةً الرنين المغناطيسي النووي للبروتينات والاقترانات ثنائية القطب المتبقية . ^{[ 7 ]} كما يمكن ملاحظة الانتشار الدوراني بواسطة مجسات فيزيائية حيوية أخرى مثل تباين التألق ، وانكسار التدفق ، وقياس الطيف العازل . ^{[ 8 ]}

ينطبق مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة على طاقات الوضع وكذلك طاقات الحركة: ومن الأمثلة المهمة على ذلك المذبذبات التوافقية مثل الزنبرك ، الذي يمتلك طاقة وضع تربيعية $${\displaystyle H_{\text{pot}}={\tfrac {1}{2}}aq^{2},\,}$$ حيث يصف الثابت a صلابة الزنبرك، و q هو الانحراف عن حالة الاتزان. إذا كان لهذا النظام أحادي البعد كتلة m ، فإن طاقته الحركية H _{_kin} هي $${\displaystyle H_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}},}$$ حيث يرمز v و p = mv إلى سرعة وزخم المذبذب. وبجمع هذين الحدين نحصل على الطاقة الكلية ^{[ 9 ].}$${\displaystyle H=H_{\text{kin}}+H_{\text{pot}}={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}aq^{2}.}$$ وبالتالي، فإن التوزيع المتساوي للطاقة يعني أن المذبذب يمتلك طاقة متوسطة في حالة التوازن الحراري. $${\displaystyle \langle H\rangle =\langle H_{\text{kin}}\rangle +\langle H_{\text{pot}}\rangle ={\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T+{\tfrac {1}{2}}k_{\text{B}}T=k_{\text{B}}T,}$$ حيث الأقواس الزاوية${\displaystyle \left\langle \ldots \right\rangle }$^{[ 10 ]} تشير إلى متوسط ​​الكمية المحصورة

تنطبق هذه النتيجة على أي نوع من المذبذبات التوافقية، مثل البندول ، أو الجزيء المهتز، أو المذبذب الإلكتروني السلبي . وتنشأ أنظمة هذه المذبذبات في العديد من الحالات؛ فبفضل مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة، يتلقى كل مذبذب منها طاقة كلية متوسطة k_{_B} T ، وبالتالي يُسهم بمقدار k_{_B} في السعة الحرارية للنظام . ويمكن استخدام ذلك لاستنتاج صيغة ضوضاء جونسون-نايكويست ^{[ 11 ]} وقانون دولونغ-بيتيت للسعات الحرارية للمواد الصلبة. وكان لهذا التطبيق الأخير أهمية خاصة في تاريخ مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة.

يُعدّ حساب السعة الحرارية النوعية للمواد الصلبة البلورية أحد أهم تطبيقات نظرية التوزيع المتساوي للطاقة. إذ يمكن لكل ذرة في هذه المادة أن تتذبذب في ثلاثة اتجاهات مستقلة، وبالتالي يمكن اعتبارها نظامًا من 3N مذبذب توافقي بسيط _مستقل ، حيث N يُمثل عدد الذرات في الشبكة البلورية. وبما أن متوسط ​​طاقة كل مذبذب توافقي هو kBT _، فإن متوسط ​​الطاقة الكلية للمادة الصلبة هو _3NkBT ، وسعتها الحرارية هي 3NkB .

باعتبار N ثابت أفوجادرو ، وباستخدام العلاقة R = N _A k _B بين ثابت الغازات R وثابت بولتزمان k _B ، يُمكن تفسير قانون دولونغ-بيتيت للسعات الحرارية النوعية للمواد الصلبة، والذي ينص _على أن السعة الحرارية النوعية (لكل وحدة كتلة) لعنصر صلب تتناسب عكسيًا مع وزنه الذري . ويُمكن التعبير عن ذلك في صيغة حديثة بأن السعة الحرارية المولية لمادة صلبة تُساوي 3R  ≈ 6  كالوري/(مول·كلفن).

مع ذلك، فإن هذا القانون غير دقيق عند درجات الحرارة المنخفضة، بسبب التأثيرات الكمومية؛ كما أنه يتعارض مع القانون الثالث للديناميكا الحرارية المستنتج تجريبياً ، والذي ينص على أن السعة الحرارية المولية لأي مادة يجب أن تؤول إلى الصفر عندما تقترب درجة الحرارة من الصفر المطلق. ^{[ 11 ]} وقد طوّر ألبرت أينشتاين (1907) وبيتر ديباي (1911) نظرية أكثر دقة، تتضمن التأثيرات الكمومية. ^{[ 12 ]}

يمكن نمذجة العديد من الأنظمة الفيزيائية الأخرى كمجموعات من المذبذبات المتصلة . ويمكن تحليل حركات هذه المذبذبات إلى أنماط اهتزازية طبيعية ، مثل أنماط اهتزاز وتر البيانو أو رنين أنبوب الأرغن . من ناحية أخرى، غالبًا ما ينهار مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة في هذه الأنظمة، لعدم وجود تبادل للطاقة بين الأنماط الاهتزازية الطبيعية. في حالة استثنائية، تكون الأنماط مستقلة، وبالتالي تُحفظ طاقاتها بشكل مستقل. وهذا يدل على أن نوعًا من مزج الطاقات، والذي يُسمى رسميًا بالخاصية الإرجودية ، ضروري لاستمرار قانون التوزيع المتساوي للطاقة.

لا تكون طاقات الوضع دائمًا تربيعية بالنسبة للموضع. ومع ذلك، تُظهر نظرية التوزيع المتساوي للطاقة أيضًا أنه إذا ساهمت درجة حرية x بمضاعف x ^s فقط (لعدد حقيقي ثابت s ) في الطاقة، فإن متوسط ​​طاقة ذلك الجزء في حالة التوازن الحراري هو k _B T / s .

يُمكن تطبيق هذا الامتداد ببساطة على ترسب الجسيمات تحت تأثير الجاذبية . ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، قد يكون سبب العكارة التي تُرى أحيانًا في البيرة هو تكتلات البروتينات التي تُشتت الضوء. ^{[ 14 ]} بمرور الوقت، تستقر هذه التكتلات إلى الأسفل تحت تأثير الجاذبية، مما يُسبب عكارة أكبر بالقرب من قاع الزجاجة مقارنةً بقمتها. ومع ذلك، في عملية تعمل في الاتجاه المعاكس، تنتشر الجسيمات أيضًا عائدةً إلى أعلى الزجاجة. بمجرد الوصول إلى حالة التوازن، يُمكن استخدام نظرية التوزيع المتساوي للطاقة لتحديد متوسط ​​موضع تكتل معين ذي كتلة طافية m_{_b} . بالنسبة لزجاجة بيرة لا نهائية الارتفاع، تُعطى طاقة الوضع التثاقلية بالعلاقة التالية:$${\displaystyle H^{\mathrm {grav} }=m_{\text{b}}gz}$$ حيث z هو ارتفاع كتلة البروتين في الزجاجة، و g هو تسارع الجاذبية الأرضية. بما أن s = 1 ، فإن متوسط ​​طاقة الوضع لكتلة البروتين يساوي kBT . وبالتالي، فإن كتلة بروتينية بكتلة طافية تبلغ 10 ميغا دالتون (حجم فيروس تقريبًا ) ستُنتج ضبابًا بمتوسط ​​ارتفاع يبلغ حوالي 2 سم عند الاتزان. تُوصف عملية الترسيب هذه حتى الوصول إلى حالة الاتزان بمعادلة _ماسون -ويفر . ^{[ 15 ]}  

تُعدّ نظرية التوزيع المتساوي العامة امتدادًا لنظرية فيريال (التي طُرحت عام 1870 ^{[ 35 ]} )، والتي تنص على أن $${\displaystyle \left\langle \sum _{k}q_{k}{\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}\right\rangle =\left\langle \sum _{k}p_{k}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}\right\rangle =\left\langle \sum _{k}p_{k}{\frac {dq_{k}}{dt}}\right\rangle =-\left\langle \sum _{k}q_{k}{\frac {dp_{k}}{dt}}\right\rangle ,}$$ حيث يرمز t إلى الزمن . ^{[ 9 ]} يتمثل الاختلافان الرئيسيان في أن نظرية فيريال تربط المتوسطات المجمعة ببعضها البعض بدلاً من المتوسطات الفردية ، ولا تربطها بدرجة الحرارة T. ويكمن اختلاف آخر في أن الاشتقاقات التقليدية لنظرية فيريال تستخدم المتوسطات عبر الزمن، بينما تستخدم اشتقاقات نظرية التوزيع المتساوي للطاقات المتوسطات عبر فضاء الطور .

تُعدّ الغازات المثالية تطبيقًا مهمًا لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة. بالإضافة إلى توفير الصيغة $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle H^{\mathrm {kin} }\rangle &={\frac {1}{2m}}\langle p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\rangle \\&={\frac {1}{2}}\left(\left\langle p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}\right\rangle +\left\langle p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}\right\rangle +\left\langle p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}\right\rangle \right)={\frac {3}{2}}k_{\text{B}}T\end{aligned}}}$$ بالنسبة لمتوسط ​​الطاقة الحركية لكل جسيم، يمكن استخدام نظرية التوزيع المتساوي للطاقة لاستنتاج _قانون الغاز المثالي من الميكانيكا الكلاسيكية. [6] إذا كان q = (qₓ, _qᵧ ^{, q₂ )} و p = ( _{pₓ, pᵧ, p₂} ) _يمثلان متجه الموضع وزخم جسيم في الغاز ، و _F هي القوة _{المحصلة} المؤثرة على ذلك الجسيم، فإن $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {F} \rangle &=\left\langle q_{x}{\frac {dp_{x}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{y}{\frac {dp_{y}}{dt}}\right\rangle +\left\langle q_{z}{\frac {dp_{z}}{dt}}\right\rangle \\&=-\left\langle q_{x}{\frac {\partial H}{\partial q_{x}}}\right\rangle -\left\langle q_{y}{\frac {\partial H}{\partial q_{y}}}\right\rangle -\left\langle q_{z}{\frac {\partial H}{\partial q_{z}}}\right\rangle =-3k_{\text{B}}T,\end{aligned}}}$$ حيث تمثل المساواة الأولى قانون نيوتن الثاني ، ويستخدم السطر الثاني معادلات هاميلتون وصيغة التوزيع المتساوي للطاقة. وبجمع المعادلات على نظام مكون من N جسيمًا، نحصل على: $${\displaystyle 3Nk_{\text{B}}T=-\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle .}$$

بحسب قانون نيوتن الثالث وفرضية الغاز المثالي، فإن محصلة القوى المؤثرة على النظام هي القوة التي تُطبقها جدران الوعاء، وهذه القوة تُعطى بضغط الغاز P.$${\displaystyle -\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle =P\oint _{\text{surface}}\mathbf {q} \cdot d\mathbf {S} ,}$$ حيث يمثل dS عنصر المساحة المتناهي الصغر على طول جدران الحاوية. وبما أن تباعد متجه الموضع q هو $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} ={\frac {\partial q_{x}}{\partial q_{x}}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial q_{y}}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial q_{z}}}=3,}$$تنص نظرية التباعد على أن$${\displaystyle P\oint _{\mathrm {surface} }\mathbf {q} \cdot \mathbf {dS} =P\int _{\mathrm {volume} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} \right)\,dV=3PV,}$$ حيث يمثل dV حجمًا متناهيًا في الصغر داخل الحاوية، و V هو الحجم الكلي للحاوية.

يؤدي الجمع بين هذه المعادلات إلى $${\displaystyle 3Nk_{\text{B}}T=-\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {q} _{k}\cdot \mathbf {F} _{k}\right\rangle =3PV,}$$ مما يستلزم مباشرة قانون الغاز المثالي لعدد N من الجسيمات: $${\displaystyle PV=Nk_{\text{B}}T=nRT,}$$ حيث n = N / N _A هو عدد مولات الغاز، و R = N _A k _B هو ثابت الغازات . على الرغم من أن مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة يوفر اشتقاقًا بسيطًا لقانون الغاز المثالي والطاقة الداخلية ، إلا أنه يمكن الحصول على النتائج نفسها بطريقة بديلة باستخدام دالة التوزيع . ^{[ 36 ]}

يمكن نمذجة الغاز ثنائي الذرات على أنه كتلتان، _m1 و m2 ، _{متصلتان} بنابض ذي صلابة a ، وهو ما يُسمى بتقريب الدوار الصلب-المذبذب التوافقي . ^{[ 20 ]} الطاقة الكلاسيكية لهذا النظام هي $${\displaystyle H={\frac {\left|\mathbf {p} _{1}\right|^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\left|\mathbf {p} _{2}\right|^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {1}{2}}aq^{2},}$$ حيث يُمثل p1 _و p2 زخم الذرتين، و q انحراف المسافة بين الذرات عن قيمتها عند الاتزان. كل درجة حرية في الطاقة هي دالة تربيعية، وبالتالي تُساهم بمقدار ½ _kBT في متوسط ​​الطاقة الكلي، و½ kB في السعة الحرارية. لذلك، يُتوقع أن تكون السعة الحرارية لغاز مكون من _N جزيء ثنائي الذرة 7N × ½ _{kB :} يُساهم كل من الزخمين p1 و p2 بثلاث درجات حرية، بينما يُساهم الامتداد q بالدرجة السابعة _. وبناءً على _{ذلك ، فإن السعة الحرارية لمول واحد} من الجزيئات ثنائية الذرة ، دون أي درجات حرية أخرى، يجب أن تكون 7 / 2NAkB = 7 / 2R ، _{وبالتالي} ، يجب أن تكون السعة الحرارية المولية المتوقعة حوالي 7 _كالوري / ( مول · كلفن ) . مع ذلك، فإن القيم التجريبية للسعات الحرارية المولية للغازات ثنائية الذرة تبلغ عادةً حوالي 5 كالوري/(مول·كلفن) ^{[ 24 ]} ، وتنخفض إلى 3 كالوري/(مول·كلفن) عند درجات حرارة منخفضة جدًا. ^{[ 25 ]} لا يمكن تفسير هذا التباين بين تنبؤات التوزيع المتساوي للطاقة والقيمة التجريبية للسعة الحرارية المولية باستخدام نموذج أكثر تعقيدًا للجزيء، إذ أن إضافة المزيد من درجات الحرية لا تؤدي إلا إلى زيادة الحرارة النوعية المتوقعة، وليس إلى إنقاصها. ^{[ 26 ]} كان هذا التباين دليلًا رئيسيًا على الحاجة إلى نظرية كمية للمادة.   

استُخدم مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة أعلاه لاستنتاج قانون الغاز المثالي الكلاسيكي من الميكانيكا النيوتونية . مع ذلك، تصبح التأثيرات النسبية مهيمنة في بعض الأنظمة، مثل الأقزام البيضاء والنجوم النيوترونية ، ^{[ 10 ]} ويجب تعديل معادلات الغاز المثالي. يوفر مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة طريقة ملائمة لاستنتاج القوانين المقابلة لغاز مثالي نسبي للغاية . ^{[ 6 ]} في مثل هذه الحالات، تُعطى الطاقة الحركية لجسيم واحد بالصيغة التالية: $${\displaystyle H_{\mathrm {kin} }\approx cp=c{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}.}$$ بأخذ مشتقة H بالنسبة لمركبة الزخم p _x نحصل على الصيغة $${\displaystyle p_{x}{\frac {\partial H_{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}=c{\frac {p_{x}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}}$$ وبالمثل بالنسبة للمكونين p _{و y} و p و _z . بجمع المكونات الثلاثة معًا نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle H_{\mathrm {kin} }\rangle &=\left\langle c{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{\sqrt {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}}}\right\rangle \\&=\left\langle p_{x}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{x}}}\right\rangle +\left\langle p_{y}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{y}}}\right\rangle +\left\langle p_{z}{\frac {\partial H^{\mathrm {kin} }}{\partial p_{z}}}\right\rangle \\&=3k_{\text{B}}T\end{aligned}}}$$حيث تُستنتج المساواة الأخيرة من صيغة التوزيع المتساوي للطاقة. وبالتالي، فإن متوسط ​​الطاقة الكلية لغاز نسبي متطرف يساوي ضعف متوسط ​​الطاقة _الكلية في الحالة غير النسبية: بالنسبة لعدد N من الجسيمات، يكون 3 NkBT .

في الغاز المثالي، يُفترض أن تتفاعل الجسيمات فقط من خلال التصادمات. ويمكن أيضًا استخدام نظرية التوزيع المتساوي للطاقة لاستنتاج طاقة وضغط "الغازات غير المثالية" التي تتفاعل فيها الجسيمات أيضًا مع بعضها البعض من خلال قوى محافظة، حيث يعتمد جهدها U ( r ) فقط على المسافة r بين الجسيمات. ^{[ 6 ]} يمكن وصف هذه الحالة بالتركيز أولًا على جسيم غاز واحد، وتقريب باقي الغاز بتوزيع متناظر كرويًا . ومن المعتاد بعد ذلك إدخال دالة توزيع شعاعية g ( r ) بحيث تكون كثافة احتمال وجود جسيم آخر على مسافة r من الجسيم المعطى مساوية لـ ^4πr²ρg ( r ) ، حيث ρ = N / V هي متوسط ​​كثافة الغاز. ^{[ 37 ]} ويترتب على ذلك أن متوسط ​​طاقة الوضع المرتبطة بتفاعل الجسيم المعطى مع باقي الغاز هو $${\displaystyle \langle h_{\mathrm {pot} }\rangle =\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2}\rho U(r)g(r)\,dr.}$$ وبالتالي فإن متوسط ​​الطاقة الكامنة الكلية للغاز هو${\displaystyle \langle H_{\text{pot}}\rangle ={\tfrac {1}{2}}N\langle h_{\mathrm {pot} }\rangle }$حيث N هو عدد الجسيمات في الغاز، والعامل 1/2 ضروري لأن الجمع على جميع الجسيمات يحسب كل تفاعل مرتين. بجمع طاقات الحركة والوضع، ثم تطبيق مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة، نحصل على معادلة الطاقة .$${\displaystyle H=\langle H_{\mathrm {kin} }\rangle +\langle H_{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{\text{B}}T+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{2}U(r)g(r)\,dr.}$$ ويمكن استخدام حجة مماثلة، ^{[ 6 ]} ، لاستنتاج معادلة الضغط$${\displaystyle 3Nk_{\text{B}}T=3PV+2\pi N\rho \int _{0}^{\infty }r^{3}U'(r)g(r)\,dr.}$$

المذبذب غير التوافقي (على عكس المذبذب التوافقي البسيط) هو مذبذب لا تكون فيه طاقة الوضع تربيعية في الامتداد q ( الموضع المعمم الذي يقيس انحراف النظام عن حالة التوازن). توفر هذه المذبذبات منظورًا مكملاً لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة. ^{[ 38 ] [ 39 ]} ومن الأمثلة البسيطة على ذلك دوال طاقة الوضع من الشكل التالي: $${\displaystyle H_{\mathrm {pot} }=Cq^{s},\,}$$ حيث C و s ثابتان حقيقيان اختياريان . في هذه الحالات، يتنبأ قانون التوزيع المتساوي للطاقة بما يلي: $${\displaystyle k_{\text{B}}T=\left\langle q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}\right\rangle =\langle q\cdot sCq^{s-1}\rangle =\langle sCq^{s}\rangle =s\langle H_{\mathrm {pot} }\rangle .}$$ وبالتالي، فإن متوسط ​​طاقة الوضع يساوي kBT / s ، وليس kBT /2 كما _{هو الحال} بالنسبة للمذبذب التوافقي التربيعي (حيث s = 2 ).

وبشكل عام، فإن دالة الطاقة النموذجية لنظام أحادي البعد لها توسيع تايلور في الامتداد q : $${\displaystyle H_{\mathrm {pot} }=\sum _{n=2}^{\infty }C_{n}q^{n}}$$بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة n ، لا يوجد حد n = 1 ، لأنه عند نقطة الاتزان ، لا توجد قوة محصلة، وبالتالي فإن المشتقة الأولى للطاقة تساوي صفرًا. لا داعي لتضمين الحد n = 0 ، حيث يمكن اعتبار الطاقة عند موضع الاتزان مساوية للصفر اصطلاحًا. في هذه الحالة، يتنبأ قانون التوزيع المتساوي للطاقة بما يلي ^{[ 38 ].}$${\displaystyle k_{\text{B}}T=\left\langle q{\frac {\partial H_{\mathrm {pot} }}{\partial q}}\right\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }\langle q\cdot nC_{n}q^{n-1}\rangle =\sum _{n=2}^{\infty }nC_{n}\langle q^{n}\rangle .}$$ على عكس الأمثلة الأخرى المذكورة هنا، فإن صيغة التوزيع المتساوي $${\displaystyle \langle H_{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {1}{2}}k_{\text{B}}T-\sum _{n=3}^{\infty }\left({\frac {n-2}{2}}\right)C_{n}\langle q^{n}\rangle }$$ لا يسمح بكتابة متوسط ​​طاقة الوضع بدلالة الثوابت المعروفة.

يمكن استخدام نظرية التوزيع المتساوي للطاقة لاستنتاج الحركة البراونية لجسيم من معادلة لانجفين . ^{[ 6 ]} ووفقًا لهذه المعادلة، فإن حركة جسيم كتلته m وسرعته v تخضع لقانون نيوتن الثاني.$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {1}{m}}\mathbf {F} =-{\frac {\mathbf {v} }{\tau }}+{\frac {1}{m}}\mathbf {F} _{\mathrm {rnd} },}$$ حيث تمثل F _{_rnd} قوة عشوائية ناتجة عن التصادمات العشوائية بين الجسيم والجزيئات المحيطة به، ويعكس الثابت الزمني τ قوة السحب التي تعيق حركة الجسيم عبر المحلول. غالبًا ما تُكتب قوة السحب على النحو التالي: F_{_drag} = −γ_v ؛ وبالتالي، فإن الثابت الزمني τ يساوي m / γ .

ينتج عن الضرب القياسي لهذه المعادلة مع متجه الموضع r ، بعد حساب المتوسط، المعادلة التالية $${\displaystyle \left\langle \mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right\rangle +{\frac {1}{\tau }}\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \rangle =0}$$ بالنسبة للحركة البراونية (لأن القوة العشوائية F _rnd غير مرتبطة بالموضع r ). باستخدام المتطابقات الرياضية $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\right)=2\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)}$$ و $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)=v^{2}+\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}},}$$ يمكن تحويل المعادلة الأساسية للحركة البراونية إلى $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\langle r^{2}\rangle +{\frac {1}{\tau }}{\frac {d}{dt}}\langle r^{2}\rangle =2\langle v^{2}\rangle ={\frac {6}{m}}k_{\text{B}}T,}$$ حيث تتبع المساواة الأخيرة من نظرية التوزيع المتساوي للطاقة الحركية الانتقالية: $${\displaystyle \langle H_{\mathrm {kin} }\rangle =\left\langle {\frac {p^{2}}{2m}}\right\rangle =\langle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}\rangle ={\tfrac {3}{2}}k_{\text{B}}T.}$$المعادلة التفاضلية أعلاه لـ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$(مع الشروط الأولية المناسبة) يمكن حلها بدقة: $${\displaystyle \langle r^{2}\rangle ={\frac {6k_{\text{B}}T\tau ^{2}}{m}}\left(e^{-t/\tau }-1+{\frac {t}{\tau }}\right).}$$ على نطاقات زمنية صغيرة، حيث t ≪ τ ، يتصرف الجسيم كجسيم يتحرك بحرية: من خلال متسلسلة تايلور للدالة الأسية ، تنمو المسافة التربيعية تقريبًا بشكل تربيعي : $${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \approx {\frac {3k_{\text{B}}T}{m}}t^{2}=\langle v^{2}\rangle t^{2}.}$$ ومع ذلك، على نطاقات زمنية طويلة، حيث t ≫ τ ، تكون الحدود الأسية والثابتة ضئيلة، وتنمو المسافة التربيعية بشكل خطي فقط : $${\displaystyle \langle r^{2}\rangle \approx {\frac {6k_{\text{B}}T\tau }{m}}t={\frac {6k_{\text{B}}Tt}{\gamma }}.}$$ يصف هذا انتشار الجسيم بمرور الوقت. ويمكن اشتقاق معادلة مماثلة للانتشار الدوراني لجزيء صلب بطريقة مشابهة.

لطالما استُخدمت نظرية التوزيع المتساوي للطاقة ونظرية فيريال المرتبطة بها كأداة في الفيزياء الفلكية . ^{[ 40 ]} على سبيل المثال، يمكن استخدام نظرية فيريال لتقدير درجات حرارة النجوم أو حد تشاندراسيكار لكتلة الأقزام البيضاء . ^{[ 41 ] [ 42 ]}

يمكن تقدير متوسط ​​درجة حرارة النجم باستخدام نظرية التوزيع المتساوي للطاقة. ^{[ 43 ]} وبما أن معظم النجوم متناظرة كرويًا، فإنه يمكن تقدير إجمالي طاقة الوضع التثاقلية بالتكامل. $${\displaystyle H_{\mathrm {grav} }=-\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{2}G}{r}}M(r)\,\rho (r)\,dr,}$$ حيث M ( r ) هي الكتلة ضمن نصف قطر r، و ρ ( r ) هي كثافة النجم عند نصف القطر r ؛ وG يمثل ثابت الجاذبية ، و R نصف القطر الكلي للنجم. بافتراض كثافة ثابتة في جميع أنحاء النجم، ينتج عن هذا التكامل الصيغة التالية: $${\displaystyle H_{\mathrm {grav} }=-{\frac {3GM^{2}}{5R}},}$$ حيث M هي الكتلة الكلية للنجم. وبالتالي، فإن متوسط ​​طاقة الوضع لجسيم واحد هو $${\displaystyle \langle H_{\mathrm {grav} }\rangle ={\frac {H_{\mathrm {grav} }}{N}}=-{\frac {3GM^{2}}{5RN}},}$$ حيث N هو عدد الجسيمات في النجم. وبما أن معظم النجوم تتكون أساسًا من الهيدروجين المتأين ، فإن N يساوي تقريبًا M / m _p ، حيث m _p هي كتلة بروتون واحد. وبتطبيق نظرية التوزيع المتساوي للطاقة، يمكن تقدير درجة حرارة النجم. $${\displaystyle \left\langle r{\frac {\partial H_{\mathrm {grav} }}{\partial r}}\right\rangle =\langle -H_{\mathrm {grav} }\rangle =k_{\text{B}}T={\frac {3GM^{2}}{5RN}}.}$$ باستبدال كتلة الشمس ونصف قطرها، نحصل على درجة حرارة شمسية تقديرية تبلغ 14  مليون كلفن، وهي قريبة جدًا من درجة حرارة نواتها البالغة 15 مليون كلفن. مع ذلك، فإن الشمس أكثر تعقيدًا بكثير مما يفترضه هذا النموذج، إذ تتغير كل من درجة حرارتها وكثافتها بشكل كبير مع نصف قطرها، وهذا التطابق الممتاز ( خطأ نسبي ≈7% ) هو نتيجة محض صدفة. ^{[ 44 ]}

يمكن تطبيق الصيغ نفسها لتحديد شروط تكوّن النجوم في السحب الجزيئية العملاقة . ^{[ 45 ]} قد يؤدي تذبذب موضعي في كثافة هذه السحابة إلى حالة انهيار متسارع، حيث تنهار السحابة نحو الداخل تحت تأثير جاذبيتها الذاتية. يحدث هذا الانهيار عندما لا تعود نظرية التوزيع المتساوي للطاقة - أو ما يعادلها، نظرية فيريال - صالحة، أي عندما تتجاوز طاقة الوضع التثاقلية ضعف الطاقة الحركية. $${\displaystyle {\frac {3GM^{2}}{5R}}>3Nk_{\text{B}}T.}$$ بافتراض كثافة ثابتة ρ للسحابة $${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho }$$ ينتج عنه الحد الأدنى للكتلة اللازمة لانكماش النجوم، وهي كتلة جينز M _J$${\displaystyle M_{\text{J}}^{2}=\left({\frac {5k_{\text{B}}T}{Gm_{p}}}\right)^{3}\left({\frac {3}{4\pi \rho }}\right).}$$ باستبدال القيم التي تُلاحظ عادةً في مثل هذه السحب ( T = 150 كلفن ، ρ =(2 × 10⁻¹⁶ غ/سم³ ⁾  يُعطي كتلة دنيا مُقدَّرة تبلغ 17 كتلة شمسية، وهو ما يتوافق مع تكوُّن النجوم المرصود. تُعرف هذه الظاهرة أيضًا باسم عدم استقرار جينز ، نسبةً ^إلى الفيزيائي البريطاني جيمس هوبوود جينز الذي نشرها عام 1902. ^{[ 46 ]}

تنص الصيغة الأصلية لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة على أنه في أي نظام فيزيائي في حالة توازن حراري ، تمتلك كل جسيمات نفس متوسط ​​الطاقة الحركية الانتقالية ، ⁠ 3 / 2 ⁠ k _BT . ^{[ 47 ]} ومع ذلك، فإن هذا صحيح فقط بالنسبة للغاز المثالي ، ويمكن استنتاج النتيجة نفسها من توزيع ماكسويل-بولتزمان . أولًا، سنختار دراسة توزيع ماكسويل-بولتزمان لسرعة المركبة z فقط. $${\displaystyle f(v_{z})={\sqrt {\dfrac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}}\;e^{\frac {-m{v_{z}}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}$$

باستخدام هذه المعادلة، يمكننا حساب متوسط ​​مربع سرعة المركبة z .$${\displaystyle \langle {v_{z}}^{2}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(v_{z}){v_{z}}^{2}dv_{z}={\dfrac {k_{\text{B}}T}{m}}}$$

بما أن مكونات السرعة المختلفة مستقلة عن بعضها البعض وتشترك في نفس دالة التوزيع، فإن متوسط ​​الطاقة الحركية الانتقالية يُعطى بواسطة $${\displaystyle \langle E_{k}\rangle ={\dfrac {3}{2}}m\langle {v_{z}}^{2}\rangle ={\dfrac {3}{2}}k_{\text{B}}T}$$

لاحظ أنه لا ينبغي الخلط بين توزيع ماكسويل-بولتزمان وتوزيع بولتزمان ، حيث يمكن اشتقاق الأول من الأخير بافتراض أن طاقة الجسيم تساوي طاقته الحركية الانتقالية.

كما تنص عليه نظرية التوزيع المتساوي للطاقة. ويمكن الحصول على النتيجة نفسها أيضاً عن طريق حساب متوسط ​​طاقة الجسيم باستخدام احتمال وجود الجسيم في حالة طاقة كمومية معينة. ^{[ 36 ]}

_{بشكلٍ أعم، تنص} نظرية التوزيع المتساوي للطاقة على أن أي درجة حرية x تظهر في الطاقة الكلية H فقط كحد تربيعي بسيط Ax²، حيث A ثابت، يكون لها متوسط ​​طاقة يساوي ½ kBT في حالة التوازن ^{الحراري} . في هذه الحالة ، يمكن اشتقاق نظرية التوزيع المتساوي للطاقة من دالة التوزيع Z ( β ) ، حيث β = 1/( kBT ) هي مقلوب درجة الحرارة المتعارف _عليه . ^{[ 48 ]} ويؤدي التكامل على المتغير x إلى عامل $${\displaystyle Z_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }dx\ e^{-\beta Ax^{2}}={\sqrt {\frac {\pi }{\beta A}}},}$$ في صيغة Z. تُعطى الطاقة المتوسطة المرتبطة بهذا العامل بواسطة $${\displaystyle \langle H_{x}\rangle =-{\frac {\partial \log Z_{x}}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {1}{2}}k_{\text{B}}T}$$ كما تنص عليه نظرية التوزيع المتساوي للطاقة.

يمكن إيجاد اشتقاقات عامة لنظرية التوزيع المتساوي للطاقة في العديد من كتب الميكانيكا الإحصائية ، سواءً للمجموعة الميكروكانونية ^{[ 6 ] [ 10 ]} أو للمجموعة الكانونية ^{[ 6 ] [ 34 ]} . وهي تتضمن حساب المتوسطات على فضاء الطور للنظام، وهو متعدد الشعب التبسيطي .

لتوضيح هذه الاشتقاقات، نُقدّم الرموز التالية. أولًا، يُوصف فضاء الطور بدلالة إحداثيات الموضع المعممة q _j مع زخمها المرافق p _j . تُصف الكميات q _j تكوين النظام وصفًا كاملًا ، بينما تُصف الكميات ( q _j , p _j ) معًا حالته وصفًا كاملًا .

ثانيًا، الحجم المتناهي الصغر $${\displaystyle d\Gamma =\prod _{i}dq_{i}\,dp_{i}\,}$$ يتم إدخال فضاء الطور واستخدامه لتحديد حجم Σ( E , ΔE ) لجزء فضاء الطور حيث تقع طاقة النظام H بين حدين، E و E + ΔE : $${\displaystyle \Sigma (E,\Delta E)=\int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}d\Gamma .}$$ في هذا التعبير، يُفترض أن ΔE صغيرة جدًا، ΔE ≪ E. وبالمثل ، يُعرَّف Ω ( E) بأنه الحجم الكلي لمساحة الطور حيث تكون الطاقة أقل من E.$${\displaystyle \Omega (E)=\int _{H<E}d\Gamma .}$$

بما أن ΔE صغيرة جدًا ، فإن عمليات التكامل التالية متكافئة $${\displaystyle \int _{H\in \left[E,E+\Delta E\right]}\ldots d\Gamma =\Delta E{\frac {\partial }{\partial E}}\int _{H<E}\ldots d\Gamma ,}$$حيث تمثل الأشكال البيضاوية الدالة المراد تكاملها. ومن هذا، يتبين أن Σ تتناسب مع ΔE$${\displaystyle \Sigma (E,\Delta E)=\Delta E\ {\frac {\partial \Omega }{\partial E}}=\Delta E\ \rho (E),}$$ حيث ρ ( E ) هي كثافة الحالات . وفقًا للتعريفات المعتادة للميكانيكا الإحصائية ، فإن _{الإنتروبيا} S تساوي kB log Ω( E ) ، وتُعرَّف درجة الحرارة T بالعلاقة التالية:$${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {\partial S}{\partial E}}=k_{\text{B}}{\frac {\partial \log \Omega }{\partial E}}=k_{\text{B}}{\frac {1}{\Omega }}\,{\frac {\partial \Omega }{\partial E}}.}$$

لا ينطبق قانون التوزيع المتساوي للطاقة إلا على الأنظمة الإرجودية في حالة التوازن الحراري ، مما يعني أن جميع الحالات ذات الطاقة نفسها يجب أن تكون متساوية الاحتمالية في التواجد. ^{[ 10 ]} وبالتالي، يجب أن يكون من الممكن تبادل الطاقة بين جميع أشكالها المختلفة داخل النظام، أو مع خزان حراري خارجي في المجموعة الكنسية . عدد الأنظمة الفيزيائية التي ثبت بدقة أنها إرجودية قليل؛ ومن الأمثلة الشهيرة نظام الكرات الصلبة لياكوف سيناء . ^{[ 49 ]} دُرست متطلبات الأنظمة المعزولة لضمان الإرجودية - وبالتالي التوزيع المتساوي للطاقة - ووفرت دافعًا لنظرية الفوضى الحديثة للأنظمة الديناميكية . لا يشترط أن يكون النظام الهاميلتوني الفوضوي إرجوديًا، على الرغم من أن هذا افتراض جيد في العادة. ^{[ 50 ]}

من الأمثلة الشائعة التي تُستشهد بها كمثال مضاد، حيث لا تُشارك الطاقة بين أشكالها المختلفة ولا يتحقق مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة في المجموعة الميكروكانونية، نظام المذبذبات التوافقية المتصلة. ^{[ 50 ]} إذا كان النظام معزولًا عن العالم الخارجي، فإن الطاقة في كل نمط طبيعي تكون ثابتة؛ فلا تنتقل الطاقة من نمط إلى آخر. وبالتالي، لا يتحقق مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة في مثل هذا النظام؛ إذ تبقى كمية الطاقة في كل نمط طبيعي ثابتة عند قيمتها الابتدائية. إذا وُجدت حدود غير خطية قوية بما يكفي في دالة الطاقة ، فقد تنتقل الطاقة بين الأنماط الطبيعية، مما يؤدي إلى خاصية الإرجودية ويجعل قانون التوزيع المتساوي للطاقة صحيحًا. مع ذلك، تنص نظرية كولموغوروف-أرنولد-موسر على أن الطاقة لن تُتبادل إلا إذا كانت الاضطرابات غير الخطية قوية بما يكفي؛ فإذا كانت صغيرة جدًا، ستبقى الطاقة محصورة في بعض الأنماط على الأقل.

مثال بسيط آخر هو غاز مثالي يتكون من عدد محدود من الجسيمات المتصادمة في وعاء دائري. وبسبب تناظر الوعاء، فإن الزخم الزاوي لهذا الغاز محفوظ. لذلك، لا تشغل جميع الحالات ذات الطاقة نفسها. وينتج عن ذلك أن متوسط ​​طاقة الجسيم يعتمد على كتلة هذا الجسيم، وكذلك على كتل جميع الجسيمات الأخرى. ^{[ 51 ]}

ثمة طريقة أخرى لكسر خاصية الإرجودية، وهي وجود تناظرات السوليتون غير الخطية . في عام ١٩٥٣، أجرى كلٌ من فيرمي ، وباستا ، وأولام ، وتسنجو محاكاة حاسوبية لوتر مهتز، تضمنت حدًا غير خطي (تربيعي في إحدى التجارب، وتكعيبي في أخرى، وتقريب خطي متقطع لدالة تكعيبية في ثالثة). ووجدوا أن سلوك النظام كان مختلفًا تمامًا عما كان متوقعًا بناءً على مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة. فبدلًا من أن تتوزع الطاقات في الأنماط بالتساوي، أظهر النظام سلوكًا شبه دوري معقدًا للغاية. وقد فُسِّرت هذه النتيجة المحيرة في النهاية من قِبَل كروسكال وزابوسكي في عام ١٩٦٥ في ورقة بحثية، ربطت النظام المُحاكى بمعادلة كورتيغ-دي فريس، مما أدى إلى تطوير رياضيات السوليتون.

ينهار قانون التوزيع المتساوي للطاقة عندما تكون الطاقة الحرارية k _{_BT} أصغر بكثير من المسافة بين مستويات الطاقة. إذ يفقد التوزيع المتساوي للطاقة صلاحيته لأن افتراض أن مستويات الطاقة تشكل سلسلة متصلة سلسة ، وهو افتراض ضروري في اشتقاقات نظرية التوزيع المتساوي للطاقة المذكورة أعلاه ، يُعد تقريبًا غير دقيق . ^{[ 6 ] [ 10 ]} تاريخيًا، كان فشل نظرية التوزيع المتساوي للطاقة الكلاسيكية في تفسير الحرارة النوعية وإشعاع الجسم الأسود عاملًا حاسمًا في إظهار الحاجة إلى نظرية جديدة للمادة والإشعاع، ألا وهي ميكانيكا الكم ونظرية الحقل الكمومي . ^{[ 12 ]}

لتوضيح انهيار مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة، لننظر إلى متوسط ​​الطاقة في مذبذب توافقي (كمي) منفرد، والذي نوقش سابقًا في الحالة الكلاسيكية. بإهمال حد طاقة النقطة الصفرية غير ذي الصلة ، نظرًا لإمكانية فصله عن الدوال الأسية الداخلة في توزيع الاحتمالية، تُعطى مستويات طاقة المذبذب التوافقي الكمي بالعلاقة E _{_n} = nhν ، حيث h ثابت بلانك ، و ν التردد الأساسي للمذبذب، و n عدد صحيح. يُعطى احتمال وجود مستوى طاقة معين في المجموعة الكنسية بمعامل بولتزمان الخاص به.$${\displaystyle P(E_{n})={\frac {e^{-n\beta h\nu }}{Z}},}$$ حيث β ₌ 1/ kBT والمقام Z هو دالة التقسيم ، وهي هنا متسلسلة هندسية$${\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-n\beta h\nu }={\frac {1}{1-e^{-\beta h\nu }}}.}$$

متوسط ​​طاقتها يُعطى بواسطة $${\displaystyle \langle H\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}P(E_{n})={\frac {1}{Z}}\sum _{n=0}^{\infty }nh\nu \ e^{-n\beta h\nu }=-{\frac {1}{Z}}{\frac {\partial Z}{\partial \beta }}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}.}$$

وباستبدال الصيغة لـ Z نحصل على النتيجة النهائية ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \langle H\rangle =h\nu {\frac {e^{-\beta h\nu }}{1-e^{-\beta h\nu }}}.}$$

عند درجات الحرارة المرتفعة، عندما تكون الطاقة الحرارية k_{_BT} أكبر بكثير من المسافة hν بين مستويات الطاقة، يكون الوسيط الأسي βhν أقل بكثير من واحد، ويصبح متوسط ​​الطاقة k _{_BT} ، بما يتوافق مع نظرية التوزيع المتساوي للطاقة (الشكل 10). أما عند درجات الحرارة المنخفضة، عندما تكون hν ≫ k_{_BT} ، فإن متوسط ​​الطاقة يؤول إلى الصفر، أي أن مستويات الطاقة ذات الترددات الأعلى "تتجمد" (الشكل 10). كمثال آخر، لا تُساهم الحالات الإلكترونية المثارة الداخلية لذرة الهيدروجين في حرارتها النوعية كغاز عند درجة حرارة الغرفة، لأن الطاقة الحرارية k_{_BT} (حوالي 0.025 إلكترون فولت ) أصغر بكثير من المسافة بين أدنى مستوى طاقة إلكتروني والمستوى الأعلى منه (حوالي 10 إلكترون فولت).  

تنطبق اعتبارات مماثلة كلما كان تباعد مستويات الطاقة أكبر بكثير من الطاقة الحرارية. وقد استخدم ماكس بلانك وألبرت أينشتاين ، من بين آخرين، هذا المنطق لحل معضلة الأشعة فوق البنفسجية الناتجة عن إشعاع الجسم الأسود . ^{[ 52 ]} تنشأ هذه المفارقة لوجود عدد لا نهائي من الأنماط المستقلة للمجال الكهرومغناطيسي في وعاء مغلق، ويمكن اعتبار كل منها مذبذبًا توافقيًا. إذا كان لكل نمط كهرومغناطيسي طاقة متوسطة kBT ، فسيكون هناك كمية لا نهائية من الطاقة في الوعاء. ^{[ 52 ] [ 53 ]} ومع ذلك، وفقًا للمنطق المذكور أعلاه، فإن متوسط ​​الطاقة في الأنماط ذات الترددات الأعلى يؤول إلى الصفر عندما _يؤول ν إلى اللانهاية؛ علاوة على ذلك، فإن قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود، الذي يصف التوزيع التجريبي للطاقة في الأنماط، ينبثق من المنطق نفسه. ^{[ 52 ]}

قد تؤدي تأثيرات كمومية أخرى، أكثر دقة، إلى تصحيحات لمبدأ التوزيع المتساوي للطاقة، مثل الجسيمات المتطابقة والتناظرات المستمرة . وتكون تأثيرات الجسيمات المتطابقة مهيمنة عند الكثافات العالية جدًا ودرجات الحرارة المنخفضة. على سبيل المثال، قد تمتلك إلكترونات التكافؤ في المعدن طاقة حركية متوسطة تبلغ بضعة إلكترون فولت ، وهو ما يتوافق عادةً مع درجة حرارة تبلغ عشرات الآلاف من الكلفن. تُسمى هذه الحالة، التي تكون فيها الكثافة عالية بما يكفي بحيث يُبطل مبدأ استبعاد باولي النهج الكلاسيكي، غاز الفرميونات المتدهور . وتُعد هذه الغازات مهمة لبنية الأقزام البيضاء والنجوم النيوترونية . عند درجات الحرارة المنخفضة، يمكن أن يتشكل نظير فرميوني لمكثف بوز -أينشتاين (حيث يشغل عدد كبير من الجسيمات المتطابقة أدنى حالة طاقة)؛ وتُعد هذه الإلكترونات فائقة الميوعة مسؤولة عن الموصلية الفائقة .