اتصال ريماني على سطح

في الرياضيات ، يشير مصطلح " الوصلة الريمانية على سطح" أو " المتشعب الريماني ثنائي الأبعاد" إلى عدة بنى هندسية جوهرية اكتشفها توليو ليفي-سيفيتا ، وإيلي كارتان، وهيرمان فايل في أوائل القرن العشرين، وهي: النقل المتوازي ، والمشتقة المتغيرة ، وشكل الوصلة . وقد صِيغت هذه المفاهيم بصيغتها الحالية مع الحزم الرئيسية في خمسينيات القرن العشرين. أُعيد صياغة المنهج الكلاسيكي للهندسة التفاضلية للأسطح ، الذي يعود الفضل فيه إلى حد كبير إلى كارل فريدريش غاوس ، ضمن هذا الإطار الحديث، الذي يوفر الإطار الطبيعي للنظرية الكلاسيكية للإطار المتحرك ، بالإضافة إلى الهندسة الريمانية للمتشعبات الريمانية متعددة الأبعاد . يهدف هذا العرض إلى تقديم مدخل إلى نظرية الوصلات .

بعد العمل الكلاسيكي لغوس في الهندسة التفاضلية للأسطح ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} ، وما تلاه من ظهور مفهوم مشعب ريمان الذي بدأه برنارد ريمان في منتصف القرن التاسع عشر، مثّل المفهوم الهندسي للاتصال الذي طوره توليو ليفي-سيفيتا وإيلي كارتان وهيرمان ويل في أوائل القرن العشرين تقدماً كبيراً في الهندسة التفاضلية . وقد أتاح إدخال النقل المتوازي والمشتقات المتغيرة وأشكال الاتصال طريقةً أكثر تجريداً وتجانساً لفهم الانحناء، مما سمح بتعميمات على مشعبات ذات أبعاد أعلى؛ وهذا هو النهج القياسي الآن في كتب الدراسات العليا. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} كما وفّر أداةً مهمةً لتعريف ثوابت طوبولوجية جديدة تُسمى الفئات المميزة عبر تماثل تشيرن-ويل . ^{[ 8 ]}

على الرغم من أن غاوس كان أول من درس الهندسة التفاضلية للأسطح في الفضاء الإقليدي E³ ^، إلا أن مفهوم الفضاء الريماني لم يُطرح إلا مع أطروحة التأهيل لريمان عام 1854. وقدّم كريستوفيل رموزه التي تحمل اسمه عام 1869. وطوّر ريتشي حساب الموترات ، ونشر دراسة منهجية بالتعاون مع ليفي-سيفيتا عام 1901. وقدّم ليفي-سيفيتا (1917) تفسيرًا هندسيًا للتفاضل المتغير للموترات ، كما طرح مفهوم النقل المتوازي على الأسطح. وقد حفّز اكتشافه كلاً من فايل وكارتان على تقديم مفاهيم مختلفة للاتصال، ولا سيما الاتصال الأفيني. تمت إعادة صياغة نهج كارتان في اللغة الحديثة للحزم الرئيسية بواسطة إهريسمان ، وبعد ذلك اتخذ الموضوع شكله الحالي بسرعة في أعقاب مساهمات تشيرن ، وأمبروز وسينغر ، وكوباياشي ، ونوميزو ، وليشنيروفيتش، وغيرهم.

يمكن تعريف الاتصالات على سطح ما بطرق متنوعة. ولعلّ أسهل طريقة لفهم اتصال ريمان أو اتصال ليفي-سيفيتا ^{[ 9 ]} هي من خلال رفع حقول المتجهات ، التي تُعتبر مؤثرات تفاضلية من الرتبة الأولى تعمل على الدوال الموجودة على المتشعب، إلى مؤثرات تفاضلية على مقاطع حزمة الإطار . في حالة السطح المُضمّن، يُمكن وصف هذا الرفع ببساطة شديدة من خلال الإسقاط المتعامد. في الواقع، جميع حزم المتجهات المرتبطة بحزمة الإطار هي حزم فرعية من حزم تافهة تمتد إلى الفضاء الإقليدي المحيط ؛ إذ يُمكن دائمًا تطبيق مؤثر تفاضلي من الرتبة الأولى على مقطع من حزمة تافهة، وخاصةً على مقطع من الحزمة الفرعية الأصلية، على الرغم من أن المقطع الناتج قد لا يكون مقطعًا من الحزمة الفرعية. يُمكن تصحيح ذلك بالإسقاط المتعامد.

يمكن أيضًا توصيف الاتصال الريماني بشكل مجرد، بغض النظر عن التضمين. يسهل كتابة معادلات الجيوديسية بدلالة الاتصال الريماني، الذي يمكن التعبير عنه محليًا باستخدام رموز كريستوفيل. على طول منحنى في السطح، يُعرّف الاتصال معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى في حزمة الإطار. تُعرّف أحادية هذه المعادلة النقل المتوازي للاتصال، وهو مفهوم قدمه ليفي-سيفيتا في هذا السياق . ^{[ 9 ]} يُعطي هذا طريقة مكافئة وأكثر هندسية لوصف الاتصال على أنه رفع المسارات في المتشعب إلى مسارات في حزمة الإطار. يُضفي هذا طابعًا رسميًا على النظرية الكلاسيكية لـ "الإطار المتحرك"، التي فضّلها المؤلفون الفرنسيون. ^{[ 10 ]} يؤدي رفع الحلقات حول نقطة ما إلى ظهور مجموعة الهولوونومي عند تلك النقطة. يمكن استعادة انحناء غاوس عند نقطة ما من النقل المتوازي حول حلقات متناهية الصغر عند تلك النقطة. وبالمثل، يمكن حساب الانحناء مباشرةً بشكل متناهي الصغر بدلالة أقواس لي لحقول المتجهات المرفوعة.

يُقدّم منهج كارتان، باستخدام أشكال الاتصال من الدرجة الأولى على حزمة الإطار M ، طريقةً ثالثةً لفهم الاتصال الريماني، وهو سهل الوصف بشكلٍ خاص للسطح المُضمّن. بفضل نتيجة كوباياشي (1956) ، التي عمّمها لاحقًا ناراسيمهان ورامانان (1961) ، فإن الاتصال الريماني على سطح مُضمّن في الفضاء الإقليدي E3 هو ببساطة السحب العكسي تحت خريطة غاوس للاتصال الريماني على ^{S2 . [ 11 ]} باستخدام تعريف S2 مع الفضاء المتجانس SO( ³ )/SO(2)، فإن شكل الاتصال من الدرجة الأولى هو مُكوّن من شكل ماورر-كارتان من الدرجة الأولى على SO(3). بعبارة أخرى، يختزل كل شيء إلى فهم الكرة ثنائية الأبعاد فهمًا صحيحًا. ^{[ 12 ]}

بالنسبة لسطح M مضمن في E ³ (أو بشكل عام في فضاء إقليدي ذي أبعاد أعلى)، هناك العديد من التعريفات المكافئة لحقل متجه X على M :

• خريطة سلسة من M إلى E ³ تأخذ قيمًا في الفضاء المماسي عند كل نقطة؛
• متجه سرعة التدفق المحلي على M ؛
• عامل تفاضلي من الدرجة الأولى بدون حد ثابت في أي مخطط محلي على M ؛
• اشتقاق من C ^∞ ( M ) .

الشرط الأخير يعني أن التعيين f ↦ Xf على C ^∞ ( M ) يحقق قاعدة لايبنيز

${\displaystyle X(fg)=(Xf)g+f(Xg).}$

فضاء جميع الحقول المتجهة${\displaystyle {\mathcal {X}}}$( M ) تشكل وحدة نمطية على C∞ ( M )، مغلقة تحت ^قوس لي

${\displaystyle [X,Y]f=X(Yf)-Y(Xf)}$

مع منتج داخلي ذو قيمة C ^∞ ( M ) ( X , Y )، والذي يشفر المقياس الريماني على M .

منذ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$( M ) هو وحدة فرعية من C∞ ( M , E3 ⁾ = C∞ ( ^{M )}${\displaystyle \otimes }$E ³ ، المؤثر X${\displaystyle \otimes }$يتم تعريف I على${\displaystyle {\mathcal {X}}}$( M )، تأخذ القيم ^في C∞ ( M ، E3 ⁾ .

ليكن P تطبيقًا سلسًا من M إلى M³ ( R ) بحيث يكون ^P ( p ) هو الإسقاط المتعامد لـ E³ على الفضاء المماسي عند p . بالتالي _، بالنسبة لمتجه الوحدة العمودي np عند p ، المعرف بشكل فريد حتى الإشارة، و v في _E³ ، يُعطى ^{الإسقاط} بالعلاقة P ( p )( v ) = v - ( v · np ₎ np _.

يُعطي الضرب النقطي بواسطة P خريطة C∞ ( M )-وحدة ^{نمطية لـ} C∞ ( M , E3 ⁾ على${\displaystyle {\mathcal {X}}}$( م ). المهمة

${\displaystyle \nabla _{X}Y=P((X\otimes I)Y)}$

يُعرّف عاملًا${\displaystyle \nabla _{X}}$على${\displaystyle {\mathcal {X}}}$( M ) تسمى المشتقة المتغيرة ، والتي تحقق الخصائص التالية

1. ${\displaystyle \nabla _{X}}$هي دالة خطية ^{من النوع} C∞ ( M ) في X
2. ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$(قاعدة لايبنتز لاشتقاق وحدة نمطية)
3. ${\displaystyle X(Y,Z)=(\nabla _{X}Y,Z)+(Y,\nabla _{X}Z)}$( التوافق مع المقياس )
4. ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$(خاصية التناظر).

تنص الخصائص الثلاث الأولى على أن${\displaystyle \nabla }$هو اتصال تآلفي متوافق مع المقياس، ويُسمى أحيانًا أيضًا اتصالًا هيرميتيًا أو اتصالًا متريًا . تنص خاصية التناظر الأخيرة على أن موتر الالتواء

${\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

يتلاشى بشكل متطابق، بحيث يكون الاتصال الأفيني خالياً من الالتواء .

المهمة${\displaystyle \nabla }$يتم تحديدها بشكل فريد من خلال هذه الشروط الأربعة وتسمى اتصال ريمان أو اتصال ليفي-سيفيتا .

على الرغم من أن الاتصال الريماني تم تعريفه باستخدام تضمين في الفضاء الإقليدي، فإن خاصية التفرد هذه تعني أنه في الواقع ثابت جوهري للسطح.

يمكن إثبات وجودها مباشرةً لسطح عام من خلال ملاحظة أن الخصائص الأربع تستلزم صيغة كوزول.

${\displaystyle 2(\nabla _{X}Y,Z)=X\cdot (Y,Z)+Y\cdot (X,Z)-Z\cdot (X,Y)+([X,Y],Z)+([Z,X],Y)+(X,[Z,Y]),}$

لهذا السبب.${\displaystyle \nabla _{X}Y}$يعتمد فقط على المقياس وهو فريد. من ناحية أخرى، إذا تم استخدام هذا كتعريف لـ${\displaystyle \nabla _{X}Y}$ويمكن التحقق بسهولة من استيفاء الخصائص الأربع المذكورة أعلاه. ^{[ 13 ]}

بالنسبة لـ u، ^وهو تضمين متساوي القياس لـ M في E3 ، فإن متجهات المماس${\displaystyle u_{1}=\partial _{x}}$و${\displaystyle u_{2}=\partial _{y}u}$ينتج عنه${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة${\displaystyle g_{ij}=u_{i}\cdot u_{j}}$هي مصفوفة موجبة التحديد. ومعكوسها موجب التحديد ومتماثل أيضًا، مع مصفوفة${\displaystyle g^{ij}}$. وللمعكوس أيضًا جذر تربيعي موجب محدد فريد، مع مصفوفة${\displaystyle h_{ij}}$من الروتين التحقق من ذلك${\displaystyle e_{i}=\sum _{j}h_{ij}u_{j}}$تشكل أساسًا متعامدًا للفضاء المماسي. في هذه الحالة، يُعطى الإسقاط على الفضاء المماسي بواسطة${\displaystyle P(p)(v)=\sum (v,e_{i})e_{i}}$لهذا السبب.

${\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}u=P(p)(\partial _{i}\partial _{i}u)=\sum _{k}(\partial _{i}\partial _{j}u,e_{k})e_{k}=\sum _{k,\ell ,m}(\partial _{i}\partial _{j}u)\cdot (\partial _{\ell }u)h_{k\ell }h_{km}\partial _{m}u=\sum _{\ell ,m}(\partial _{i}\partial _{j}u)\cdot (\partial _{\ell }u)g^{\ell m}\partial _{m}u.}$

هكذا${\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}}$، أين

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={1 \over 2}\sum _{\ell }g^{k\ell }\left(\partial _{i}(\partial _{j}u\cdot \partial _{\ell }u)+\partial _{j}(\partial _{i}u\cdot \partial _{\ell }u)-\partial _{\ell }(\partial _{i}u\cdot \partial _{j}u)\right.}$

منذ${\displaystyle g_{ij}=u_{i}\cdot u_{j}}$وهذا يعطي طريقة أخرى لاستخلاص رموز كريستوفيل :

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={1 \over 2}\sum _{\ell }g^{k\ell }(\partial _{i}g_{j\ell }+\partial _{j}g_{i\ell }-\partial _{\ell }g_{ij}).}$

يمكن أيضًا اشتقاق صيغ المشتقة المتغيرة من الإحداثيات المحلية ( x ، y ) دون استخدام التضمينات المتساوية القياس.${\displaystyle \partial _{x}}$و '${\displaystyle \partial _{y}}$كحقول متجهة، الاتصال${\displaystyle \nabla }$يمكن التعبير عنها بشكل كامل من حيث المقياس باستخدام رموز كريستوفيل: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.}$

لاستنتاج الصيغة، يمكن تطبيق صيغة كوزول مع ضبط قيم X و Y و Z على${\displaystyle \partial _{i}}$'s؛ في هذه الحالة، تتبادل جميع أقواس لي.

يمكن تعريف موتر انحناء ريمان بواسطة المشتقات المتغيرة باستخدام عامل الانحناء :

${\displaystyle R(X,Y)=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}.}$

منذ التكليف${\displaystyle (X,Y,Z)\mapsto R(X,Y)Z}$إذا كانت الدالة خطية من النوع C∞ ⁽ M ) في كل متغير، فإن R ( x , Y ) _p هي تشاكل داخلي عند النقطة p . بالنسبة لمتجهي المماس المستقلين خطيًا X و Y عند النقطة p ،

${\displaystyle K={(R(X,Y)Y,X) \over (X,X)(Y,Y)-(X,Y)^{2}}}$

وهو مستقل عن اختيار الأساس ويُسمى انحناء غاوس عند النقطة p . ويُعطى موتر انحناء ريمان بالعلاقة ^{[ 15 ] [ 16 ].}

${\displaystyle R(X,Y,Z,W)=(R(X,Y)Z,W).}$

للتحقق من استقلال K ، يكفي ملاحظة أنه لا يتغير تحت التحويلات الأولية التي تُحوّل ( X , Y ) إلى ( Y , X )، و( λX , Y )، و( X + Y , Y ). وهذا بدوره يعتمد على حقيقة أن المؤثر R ( X , Y ) مُعكوس -مُرافق . ^{[ 17 ]} يستلزم التعكوس-المُرافق أن ( R ( X , Y ) Z , Z ) = 0 لجميع Z ، وهو ما ينتج عن ذلك.

${\displaystyle (R(X,Y)Z,Z)=X(\nabla _{Y}Z,Z)-Y(\nabla _{X}Z,Z)-(\nabla _{[X,Y]}Z,Z)={1 \over 2}(XY(Z,Z)-YX(Z,Z)-[X,Y](Z,Z))=0.}$

بفرض وجود منحنى في المستوى الإقليدي ومتجه عند نقطة البداية، يمكن نقل المتجه على طول المنحنى بشرط أن يظل المتجه المتحرك موازيًا للمتجه الأصلي وله نفس الطول، أي أن يظل ثابتًا على طول المنحنى. إذا كان المنحنى مغلقًا، فلن يتغير المتجه عند الوصول إلى نقطة البداية مرة أخرى. من المعروف أن هذا غير ممكن على سطح عام، والكرة هي الحالة الأكثر شيوعًا. في الواقع، ليس من الممكن عادةً تحديد أو "موازاة" جميع المستويات المماسية لمثل هذا السطح في آن واحد: الأسطح المغلقة الوحيدة القابلة للموازاة هي تلك المتماثلة شكليًا مع سطح حلقي. ^{[ 18 ]}

يمكن تعريف النقل المتوازي دائمًا على طول المنحنيات على سطح ما باستخدام المقياس الموجود على السطح فقط. وبالتالي، يمكن تحديد المستويات المماسية على طول المنحنى باستخدام الهندسة الجوهرية، حتى عندما لا يكون السطح نفسه قابلاً للتوازي.

يمكن كتابة معادلات أويلر للجيوديسية c ( f ) بشكل أكثر اختصارًا على النحو التالي ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \nabla _{\dot {c}}{\dot {c}}=0.}$

يسهل تعريف النقل الموازي على طول الخطوط الجيوديسية، وهي "الخطوط المستقيمة" للسطح. يُنقل متجه في المستوى المماس على طول خط جيوديسي كحقل متجهي فريد ذي طول ثابت ويصنع زاوية ثابتة مع متجه سرعة الخط الجيوديسي.

بالنسبة لمنحنى عام، يقيس انحناءه الجيوديسي مدى انحراف المنحنى عن كونه مسارًا جيوديسيًا؛ ويُعرَّف بأنه معدل دوران متجه سرعة المنحنى على السطح. وبدوره، يحدد الانحناء الجيوديسي كيفية دوران المتجهات في المستويات المماسية على طول المنحنى أثناء النقل الموازي.

يُقال إن حقل متجه v ( t ) على طول منحنى سرعة الوحدة c ( t )، ذي انحناء جيوديسي k _{_g} ( t )، يكون موازياً للمنحنى إذا

• له طول ثابت
• الزاوية θ( t ) التي يصنعها مع متجه السرعة${\displaystyle {\dot {c}}(t)}$يرضي

${\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)}$

ينتج عن ذلك القاعدة السابقة للنقل الموازي على طول خط جيوديسي، لأنه في هذه الحالة k _g = 0، وبالتالي يجب أن تظل الزاوية θ( t ) ثابتة. ^{[ 20 ]} ويستند وجود النقل الموازي إلى نظريات الوجود القياسية للمعادلات التفاضلية العادية . ويمكن إعادة كتابة المعادلة التفاضلية أعلاه بدلالة المشتقة المتغيرة كما يلي:

${\displaystyle \nabla _{\dot {c}}v=0}$

تُظهر هذه المعادلة مرة أخرى أن النقل المتوازي يعتمد فقط على البنية المترية، وبالتالي فهو ثابت جوهري للسطح. ويمكن تعميم النقل المتوازي مباشرةً على منحنيات C1 ^{المجزأة} .

عندما يكون M سطحًا مضمنًا في E3 ^، يمكن كتابة هذا الشرط الأخير بدلالة الدالة P ذات القيم الإسقاطية كما يلي:

${\displaystyle P(c(t)){\dot {v}}(t)=0}$

أو بعبارة أخرى: ^{[ 21 ]}

يجب أن يكون متجه السرعة v عموديًا على السطح.

اقترح أرنولد ^{[ 22 ] [ 23 ]} أنه بما أن النقل المتوازي على قطعة جيوديسية يسهل وصفه، فإنه يمكن بناء النقل المتوازي على منحنى C1 عشوائي ^كحد للنقل المتوازي على عائلة تقريبية من المنحنيات الجيوديسية المجزأة. ^{[ 24 ]}

تُظهر هذه المعادلة مرة أخرى أن النقل المتوازي يعتمد فقط على البنية المترية، وبالتالي فهو ثابت جوهري للسطح؛ وهي طريقة أخرى لكتابة المعادلة التفاضلية العادية التي تتضمن انحناء الجيوديسية لـ c . ويمكن تعميم النقل المتوازي مباشرة على منحنيات C1 ^{المجزأة} .

ويمكن بدوره استعادة المشتق المتغير من النقل المتوازي. ^{[ 25 ]} في الواقع${\displaystyle \nabla _{X}Y}$يمكن حسابها عند النقطة p ، عن طريق أخذ منحنى c يمر عبر p مع المماس X ، باستخدام النقل الموازي لعرض تقييد Y إلى c كدالة في الفضاء المماسي عند p ثم أخذ المشتقة.

ليكن M سطحًا مضمنًا في E ^3. يعني التوجيه على السطح أنه يتم تعريف متجه وحدة عمودي "متجه للخارج" n عند كل نقطة من السطح، وبالتالي يمكن تعريف محدد على متجهي المماس v و w عند تلك النقطة:

${\displaystyle \mathrm {det} ({\mathbf {v} },{\mathbf {w} })=({\mathbf {v} }\times {\mathbf {w} })\cdot {\mathbf {n} },}$

باستخدام الضرب الثلاثي القياسي المعتاد على E ³ (وهو بحد ذاته محدد).

يقال إن الأساس أو الإطار المرتب v و w في الفضاء المماسي موجه إذا كان det( v , w ) موجبًا.

• تتكون الحزمة المماسية لـ M من أزواج ( p ، v ) في M x E ³ بحيث تقع v في المستوى المماسي لـ M عند p .
• تتكون حزمة الإطار F من M من _{ثلاثيات} ( p ، e1 _، e2 ₎ مع e1 ، _e2 أساس متعامد موجه للمستوى المماسي عند p .
• تتكون حزمة الدائرة لـ M من أزواج ( p , v ) حيث || v || = 1. وهي مطابقة لحزمة الإطار لأنه لكل متجه مماس وحدة v ، يوجد متجه مماس وحيد w حيث det( v , w ) = 1.

بما أن مجموعة الدورانات في المستوى SO(2) تؤثر بشكل متعدٍّ على الأطر المتعامدة الموجهة في المستوى، فإنه يترتب على ذلك أنها تؤثر أيضًا على حزم الإطار أو الدائرة لـ M. ^{[ 7 ]} يمكن تعميم تعريفات حزمة المماس ، وحزمة المماس الوحدوية ، وحزمة الإطار (المتعامدة الموجهة) F على أي سطح بالطريقة المعتادة. ^{[ 7 ] [ 15 ]} يوجد تطابق مماثل بين الأخيرتين اللتين تصبحان بدورهما حزم SO(2) رئيسية. بعبارة أخرى:

الحزمة الإطارية هي حزمة رئيسية ذات مجموعة هيكلية SO(2).

يوجد أيضًا مفهوم مماثل للنقل المتوازي في سياق حزم الإطارات: ^{[ 26 ] [ 27 ]}

يمكن رفع كل منحنى قابل للتفاضل باستمرار في M إلى منحنى في F بطريقة يكون فيها حقل المتجه المماسي للمنحنى المرفوع هو رفع حقل المتجه المماسي للمنحنى الأصلي.

يعني هذا البيان أنه يمكن نقل أي إطار على منحنى بشكل متوازٍ على طول المنحنى. وهذه هي فكرة "الأطر المتحركة" تحديدًا. بما أن أي متجه مماس وحدة يمكن إكماله بشكل فريد إلى إطار موجه، فإن النقل المتوازي لمتجهات المماس يستلزم (ويكافئ) النقل المتوازي للأطر. ويتضح أن رفع الجيوديسية في M هو جيوديسية في F بالنسبة لمقياس ساساكي (انظر أدناه). ^{[ 28 ]} علاوة على ذلك، فإن خريطة غاوس من M إلى S² تُنشئ خريطة طبيعية بين حزم الإطارات المرتبطة بها، وهي خريطة ^متغيرة بالنسبة لتأثيرات SO(2). ^{[ 29 ]}

كانت فكرة كارتان في تقديم حزمة الإطار ككائن مركزي بمثابة تتويج طبيعي لنظرية الأطر المتحركة ، التي طورها داربو وغورسات في فرنسا . كما أنها عكست تطورات مماثلة في نظرية النسبية لألبرت أينشتاين . ^{[ 30 ]} يمكن إعطاء الكائنات التي تظهر في صيغ غاوس، مثل رموز كريستوفيل، تفسيرًا هندسيًا طبيعيًا في هذا الإطار. على عكس الحزمة العادية الأكثر بديهية ، والتي يمكن تصورها بسهولة على أنها جوار أنبوبي لسطح مضمن في E3 ^، فإن حزمة الإطار هي ثابت جوهري يمكن تعريفه بشكل مستقل عن التضمين. عندما يكون هناك تضمين، يمكن أيضًا تصورها على أنها حزمة فرعية من حزمة الإطار الإقليدي E3 × SO(3)، وهي نفسها ^{فضاء فرعي} من E3 × M3 ₍ R ) .

تتمحور نظرية الروابط وفقًا لإيلي كارتان ، ولاحقًا تشارلز إهريسمان ، حول: ^{[ 31 ]}

• حزمة رئيسية F (في هذه الحالة حزمة الإطار المتعامد)؛
• حساب التفاضل الخارجي للأشكال التفاضلية على F.

يمكن إنشاء جميع حزم المتجهات "الطبيعية" المرتبطة بالمتشعب M ، مثل حزمة المماس ، أو حزمة المماس المشترك ، أو الحزم الخارجية ، من حزمة الإطار باستخدام نظرية التمثيل لمجموعة البنية K = SO(2)، وهي مجموعة مصفوفة مضغوطة .

يمكن فهم تعريف كارتان للاتصال على أنه طريقة لرفع حقول المتجهات على M إلى حقول متجهات على حزمة الإطار F الثابتة تحت تأثير مجموعة البنية K. وبما أن النقل المتوازي قد عُرِّف على أنه طريقة لرفع مسارات C1 مجزأة ^من M إلى F ، فإن هذا يُنتج تلقائيًا، بشكل متناهي الصغر، طريقة لرفع حقول المتجهات أو متجهات المماس من M إلى F. عند نقطة ما، نأخذ مسارًا بمتجه مماس مُعطى، ثم نُسقطه على متجه المماس للمسار المرفوع. (بالنسبة لحقول المتجهات، يمكن اعتبار المنحنيات منحنيات تكاملية لتدفق محلي). وبهذه الطريقة، يمكن رفع أي حقل متجه X على M إلى حقل متجه X * على F يحقق ^{[ 32 ].}

• X * هو حقل متجه على F ؛
• الخريطة X ↦ X * هي C ^∞ ( M )-خطية؛
• X * ثابت بالنسبة لـ K ويستحث حقل المتجهات X على C ^∞ ( M )${\displaystyle \subset }$C ^∞ ( F ).

هنا، يعمل K كتدفق دوري على F ، لذا فإن المولد الكنسي A لجبر لي الخاص به يعمل كحقل متجهي مناظر، يُسمى الحقل المتجهي الرأسي A *. ويترتب على الشروط السابقة أنه في الفضاء المماسي لأي نقطة في F ، تمتد الرفعات X * على فضاء فرعي ثنائي الأبعاد من المتجهات الأفقية ، مشكلةً فضاءً فرعيًا مكملاً للمتجهات الرأسية. يُعرَّف المقياس الريماني الكنسي على F لشيجيو ساساكي بجعل الفضاءين الفرعيين الأفقي والرأسي متعامدين، مما يُعطي كل فضاء فرعي جداءه الداخلي الطبيعي. ^{[ 28 ] [ 33 ]}

تسمح حقول المتجهات الأفقية بالخصائص التالية:

• كل حقل متجه أفقي ثابت من النوع K على F له الشكل X * لحقل متجه فريد X على M.

ثم يؤدي هذا "الرفع الشامل" على الفور إلى رفع حزم المتجهات المرتبطة بـ F ، وبالتالي يسمح باستعادة المشتق المتغير، وتعميمه على الأشكال.

إذا كانت σ تمثيلاً لـ K على فضاء متجهي محدود الأبعاد V ، فإن حزمة المتجهات المرتبطة F x _K V على M لها وحدة نمطية من المقاطع C ^∞ ( M ) يمكن تحديدها بـ

${\displaystyle C^{\infty }(E,V)^{K},}$

فضاء جميع الدوال الملساء ξ  : F → V التي تكون متغيرة بالنسبة لـ K بالمعنى التالي:   

${\displaystyle \xi (x\cdot g)=\sigma (g^{-1})\xi (x)}$

لكل x  ∈ F و g ∈ K.​   

التمثيل المتطابق لـ SO(2) على R ² يتوافق مع حزمة المماس لـ M.

المشتق المتغير${\displaystyle \nabla _{X}}$يتم تعريفها على مقطع ثابت ξ بواسطة الصيغة

${\displaystyle \nabla _{X}\xi =(X^{*}\otimes I)\xi .}$

يمكن أيضًا وصف الاتصال على حزمة الإطار باستخدام ^{الأشكال} التفاضلية الثابتة K على F. [ ^{7 ] [ 34 ]}

الحزمة الإطارية المتعامدة F هي فضاء ثلاثي الأبعاد . من أهم خصائص F أنها قابلة للتوازي (بشكل مطلق أو كامل) ، أي أنه لكل بُعد n في F ، يوجد n حقل متجهي يشكل أساسًا عند كل نقطة. ونتيجة لذلك، يسهل فهم جبر لي الخاص بها؛ كما أن الأشكال الثنائية من الرتبة 1 على F لها بنية بسيطة للغاية موصوفة بمعادلات كارتان البنيوية التي نناقشها لاحقًا. ^{[ 35 ] [ 36 ]} بشكل عام، من المعروف من ميلنور وستاشيف (1974) أن أي فضاء ثلاثي الأبعاد مضغوط قابل للتوجيه قابل للتوازي، على الرغم من أن البرهان ليس بسيطًا. أما بالنسبة للحزم الإطارية، فهو نتيجة مباشرة لصيغة مصفوفات الانتقال بين المخططات التافهة المحلية. ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

يُرمز إلى فضاء الأشكال p على F بالرمز Λ ^p ( F ). ^{[ 40 ]} وهو يقبل تأثيرًا طبيعيًا لمجموعة البنية K.

بالنظر إلى اتصال على الحزمة الرئيسية F يتوافق مع رفع X ↦ X * لحقول المتجهات على M ، يوجد شكل اتصال فريد ω في

${\displaystyle \Lambda ^{1}(F)^{K}}$،

فضاء الأشكال التفاضلية الثابتة K على F ، بحيث ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \omega (X^{*})=0}$

لجميع حقول المتجهات X على M و

${\displaystyle \omega (A^{*})=1,}$

للحقل المتجهي A * على F المقابل للمولد الكنسي A لـ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$.

وعلى النقيض من ذلك، يتميز المصعد X * بشكل فريد بالخصائص التالية:

• X * ثابت بالنسبة لـ K ويحفز X على M ؛
• ω( X *)=0.

على حزمة الإطار المتعامد F لسطح M، توجد ثلاثة أشكال قانونية من الدرجة 1:

• شكل الاتصال ω، ثابت تحت مجموعة البنية K = SO(2)
• شكلان تناظريان من الدرجة الأولى θ ₁ و θ ₂ ، يتحولان وفقًا لمتجهات الأساس لتمثيل الهوية لـ K

إذا كان π: F${\displaystyle \rightarrow }$M هو الإسقاط الطبيعي، ويتم تعريف الأشكال θ ₁ و θ _{2 من الدرجة الأولى بواسطة}

${\displaystyle \theta _{i}(Y)=(d\pi (Y),e_{i})}$

حيث Y هو حقل متجه على F و e ₁ و e ₂ هما متجهات المماس لـ M للإطار المتعامد.

تحقق هذه الأشكال من الدرجة 1 المعادلات الهيكلية التالية ، والتي تعود في هذه الصيغة إلى كارتان: ^{[ 41 ]}

${\displaystyle d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2}+h_{1}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2},\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}+h_{2}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2}}$

( المعادلات الهيكلية الأولى )

${\displaystyle d\omega =-(K\circ \pi )\theta _{1}\wedge \theta _{2}}$

( المعادلة الهيكلية الثانية )

حيث أن h ₁ و h ₂ دالتان سلسلتان على حزمة الإطار F و K دالة سلسة على M.

في حالة مشعب ريماني ثنائي الأبعاد، يمكن إعادة صياغة النظرية الأساسية للهندسة الريمانية بدلالة الأشكال القانونية أحادية البعد لكارتان:

نظرية. على مشعب ريماني ثنائي الأبعاد موجه M ، يوجد اتصال وحيد ω على حزمة الإطار يحقق ما يلي:

${\displaystyle d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2},\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}}$

في هذه الحالة، يُطلق على ω اسم اتصال ريمان و K اسم انحناء غاوس .

البرهان بسيط: ^{[ 42 ]} إذا كانت ω' شكل اتصال من الدرجة الثانية من النوع 1، فإن

${\displaystyle d\theta _{1}=\omega ^{\prime }\wedge \theta _{2}+g_{1}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2},\,\,\,\,d\theta _{2}=-\omega ^{\prime }\wedge \theta _{1}+g_{2}\,\theta _{1}\wedge \theta _{2}}$

بالنسبة للدوال g _i ؛ ويمكن كتابة الفرق بينهما

${\displaystyle \omega ^{\prime }-\omega =f_{1}\theta _{1}+f_{2}\theta _{2}}$

بالنسبة للدوال f _i . ولكن بعد ذلك

${\displaystyle d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2}+(f_{1}+g_{1})\,\theta _{1}\wedge \theta _{2},\,\,\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}+(f_{2}+g_{2})\,\theta _{1}\wedge \theta _{2}.}$

لذلك

${\displaystyle d\theta _{1}=\omega \wedge \theta _{2},\,\,\,\,d\theta _{2}=-\omega \wedge \theta _{1}}$

إذا وفقط إذا كان f _i = - g _i . وهذا يثبت كلاً من الوجود والوحدانية. ^{[ 43 ]}

يمكن استخدام النقل المتوازي في حزمة الإطار لإظهار أن انحناء غاوس لسطح M يقيس مقدار الدوران الناتج عن نقل المتجهات حول منحنيات صغيرة في M. ^{[ 44 ]} والهولونومية هي الظاهرة التي تحدث عند نقل متجه مماس (أو إطار متعامد) بشكل متوازٍ حول منحنى مغلق . المتجه الذي يتم الوصول إليه عند إغلاق الحلقة سيكون دورانًا للمتجه الأصلي، أي أنه سيتوافق مع عنصر من مجموعة الدوران SO(2)، بعبارة أخرى زاوية بتردد 2π. هذه هي هولونومية الحلقة ، لأن الزاوية لا تعتمد على اختيار متجه البداية.

يعتمد هذا التفسير الهندسي للانحناء على هندسة مماثلة لقوس لي لحقلين متجهين على F. ليكن U1 و _U2 حقلين متجهين على F مع تدفقات محلية _مقابلة αt و _{βt .}

• انطلاقاً من النقطة A التي تقابل x في F ، تحرك${\displaystyle {\sqrt {s}}}$على طول المنحنى التكاملي لـ U ₁ إلى النقطة B عند${\displaystyle \alpha _{\sqrt {s}}(x)}$.
• انتقل من النقطة ب عن طريق الذهاب${\displaystyle {\sqrt {s}}}$على طول المنحنى التكاملي لـ U ₂ إلى النقطة C عند${\displaystyle \beta _{\sqrt {s}}\alpha _{\sqrt {s}}(x)}$.
• انطلق من النقطة ج بالذهاب${\displaystyle -{\sqrt {s}}}$على طول المنحنى التكاملي لـ U ₁ إلى النقطة D عند${\displaystyle \alpha _{-{\sqrt {s}}}\beta _{\sqrt {s}}\alpha _{\sqrt {s}}(x)}$.
• انطلق من D بالذهاب${\displaystyle -{\sqrt {s}}}$على طول المنحنى التكاملي لـ U ₂ إلى النقطة E عند${\displaystyle \beta _{-{\sqrt {s}}}\alpha _{-{\sqrt {s}}}\beta _{\sqrt {s}}\alpha _{\sqrt {s}}(x)}$.

بشكل عام ، ستختلف نقطة النهاية E عن نقطة البداية A.${\displaystyle \rightarrow }$^{0 ،} سترسم نقطة النهاية E منحنىً يمر عبر A. قوس لي [ U1, U2 _] عند _x هو بالضبط متجه المماس لهذا المنحنى عند A. ^{[ 44} ]

لتطبيق هذه النظرية، أدخل حقول المتجهات U1 _و U2 _و V على حزمة الإطار F والتي هي ثنائية للأشكال 1-θ1 و _θ2 و ω _عند كل نقطة. وبالتالي

${\displaystyle \omega (U_{i})=0,\,\theta _{i}(V)=0,\,\omega (V)=1,\,\theta _{i}(U_{j})=\delta _{ij}.}$

علاوة على ذلك، فإن V ثابتة تحت K و U ₁ ، U ₂ التحويل وفقًا لتمثيل الهوية لـ K.

تشير المعادلات الهيكلية لـ Cartan إلى علاقات أقواس لي التالية: ^{[ 44 ]}

${\displaystyle [V,U_{1}]=U_{2},\,\,\,\,[V,U_{2}]=-U_{1},\,\,\,\,[U_{1},U_{2}]=(K\circ \pi )V}$

يمكن تطبيق التفسير الهندسي لقوس لي على المعادلة الأخيرة من هذه المعادلات. بما أن ω( Ui ₎ = 0، فإن التدفقات αt _و βt _في F هي عمليات رفع عن طريق النقل المتوازي لإسقاطاتها في M.

بشكل غير رسمي، الفكرة هي كالتالي: تختلف نقطة البداية A ونقطة النهاية E بشكل أساسي بمقدار عنصر من SO(2)، أي زاوية دوران. المساحة المحصورة بالمسار المُسقط في M تقريبًا${\displaystyle {\sqrt {s}}\cdot {\sqrt {s}}=s}$لذا في النهاية عندما s${\displaystyle \rightarrow }$0، زاوية الدوران مقسومة على هذه المساحة تميل إلى معامل V ، أي الانحناء.

وقد تم توضيح هذا الاستدلال بدقة في النتيجة التالية. ^{[ 44 ]}

ليكن f تحويلاً تفاضلياً لقرص مفتوح في المستوى إلى M ، وليكن Δ مثلثاً في هذا القرص. عندئذٍ، تُعطى زاوية التماثل للحلقة المتكونة من صورة محيط المثلث تحت تأثير f بتكامل انحناء غاوس لصورة باطن المثلث تحت تأثير f .

بالرموز، تُعطى زاوية الهولونومية modulo 2π بالصيغة التالية:

${\displaystyle \theta =\int _{f(\Delta )}K}$

حيث يكون التكامل بالنسبة لشكل المساحة على M.

تشير هذه النتيجة إلى العلاقة بين انحناء غاوس، فمع تقلص حجم المثلث إلى نقطة، تقترب نسبة هذه الزاوية إلى المساحة من انحناء غاوس عند تلك النقطة. ويمكن إثبات هذه النتيجة بدمج نظرية ستوكس ومعادلات كارتان الإنشائية، ويمكن استخدامها بدورها لتعميم نظرية غاوس على المثلثات الجيوديسية لتشمل مثلثات أكثر عمومية. ^{[ 45 ]}

إحدى الطرق القياسية الأخرى لحساب الانحناء، من خلال المشتق المتغير المشترك${\displaystyle \nabla _{X}}$، يحدد الفرق

${\displaystyle R(X,Y)=\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}}$

باعتباره حقلًا من التشاكلات الداخلية للحزمة المماسية، فإن موتر انحناء ريمان . ^{[ 15 ] [ 46 ]} بما أن${\displaystyle \nabla _{X}}$يتم توليدها بواسطة حقل المتجهات المرفوع X * على F ، واستخدام حقول المتجهات Ui _و V وأقواس لي الخاصة بها مكافئ إلى حد كبير لهذا النهج. حقل المتجهات الرأسي W = A * المقابل للمولد الكنسي A لـ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ويمكن إضافتها أيضًا لأنها تتبادل مع V وتفي بـ [ W , U ₁ ] = U ₂ و [ W , U ₂ ] = — U ₁ .

يمكن تناول الهندسة التفاضلية للكرة ثنائية الأبعاد من ثلاث وجهات نظر مختلفة:

• الهندسة التحليلية ، لأن الكرة ثنائية الأبعاد هي فضاء فرعي من E ³ ؛
• نظرية الزمر ، حيث أن زمرة المصفوفة المدمجة SO(3) تعمل بشكل متعدٍ على الكرة 2 كمجموعة متصلة من التناظرات؛
• الميكانيكا الكلاسيكية ، حيث يمكن لجسم كروي صلب ثنائي الأبعاد أن يتدحرج على مستوى.

يمكن تحديد S ² مع كرة الوحدة في E ³

${\displaystyle S^{2}=\{a\in E^{3}\colon \|a\|=1\}.}$

تُعطى حزمة المماس T ، وحزمة المماس الوحدوية U ، وحزمة الإطار المتعامد الموجه E بالصيغ التالية:

${\displaystyle T=\{(a,v)\colon \|a\|=1,\,a\cdot v=0\},}$

${\displaystyle U=\{(a,v)\colon \|a\|=1,\,\|v\|=1,\,a\cdot v=0\},}$

${\displaystyle E=\{(a,e_{1},e_{2})\colon (e_{1}\times e_{2})\cdot a=1,\,\|a\|=1,\,\|e_{i}\|=1,\,a\cdot e_{i}=0,\,e_{1}\cdot e_{2}=0\}.}$

تتيح الخريطة التي ترسل ( a , v ) إلى ( a , v , a x v ) تحديد U و E.

يترك

${\displaystyle Q(a)v=(v\cdot a)a}$

ليكن الإسقاط المتعامد على المتجه العمودي عند النقطة a ، بحيث

${\displaystyle P(a)=I-Q(a)}$

هو الإسقاط المتعامد على الفضاء المماسي عند النقطة أ .

تؤثر المجموعة G = SO(3) بالدوران على E3 ^، مما يجعل S2 ^ثابتة . يمكن تعريف المجموعة الفرعية المثبتة K للمتجه (1,0,0) في E3 مع SO(2) _، وبالتالي

يمكن تحديد S ^{2 على أنه SO(3)/SO(2).}

يمتد هذا الإجراء ليشمل تأثيرًا على T و U و E بجعل G يؤثر على كل مكون. يؤثر G بشكل متعدٍ على S ² وبشكل متعدٍ بسيط على U و E.

يتبادل تأثير SO(3) على E مع تأثير SO(2) على E الذي يدور الإطارات

${\displaystyle (e_{1},e_{2})\mapsto (\cos \theta \,e_{1}-\sin \theta \,e_{2},\sin \theta \,e_{1}+\cos \theta \,e_{2}).}$

وبذلك تصبح E حزمة رئيسية ذات زمرة هيكلية K. وبأخذ مدار G للنقطة ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))، يمكن تعريف الفضاء E على أنه G. وبناءً على هذا التعريف، يصبح تأثير G و K على E إزاحة يسارية ويمينية. بعبارة أخرى:

يمكن تحديد حزمة الإطار المتعامد الموجه لـ S ^{2 مع SO(3).}

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تتكون مجموعة SO(3) من جميع المصفوفات الحقيقية المتناظرة عكسيًا من الرتبة 3 × 3. ^{[ 47 ]} التأثير المرافق لـ G عن طريق الاقتران على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُعيد إنتاج تأثير G على E ^3. تحتوي المجموعة SU(2) على جبر لي ثلاثي الأبعاد يتكون من مصفوفات معقدة منحرفة-هيرميتية عديمة الأثر بحجم 2 × 2، وهو متماثل مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُحلل التأثير المرافق لـ SU(2) عبر مركزه إلى المصفوفات ± I. في ظل هذه التعريفات، يظهر SU(2) كغطاء مزدوج لـ SO(3)، بحيث يكون SO(3) = SU(2) / ± I. ^{[ 48} ] من جهة أخرى، فإن SU(2) متماثلة شكليًا مع الكرة ثلاثية الأبعاد ^، وفي ظل هذا التعريف، يصبح المقياس الريماني القياسي على الكرة ثلاثية الأبعاد هو المقياس الريماني ثنائي التغاير الفريد أساسًا على SU(2). في ظل القسمة على ± I ، يمكن تعريف SO(3) بالفضاء الإسقاطي الحقيقي ذي البعد 3، ولها هي نفسها مقياس ريماني ثنائي التغاير فريد أساسًا. تتطابق الخريطة الأسية الهندسية لهذا المقياس عند I مع الدالة الأسية المعتادة على المصفوفات، وبالتالي فإن الخطوط الجيوديسية المارة بـ I تأخذ الشكل exp Xt، حيث X مصفوفة متناظرة معكوسة. في هذه الحالة، يتوافق مقياس ساساكي مع هذا المقياس ثنائي التباين على SO(3). ^{[ 49 ] [ 50 ]}

تؤدي تأثيرات G على نفسها، وبالتالي على C∞ ( G ) عن طريق الإزاحة اليسرى واليمنى، إلى تأثيرات متناهية الصغر ^لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على C ^∞ ( G ) بواسطة حقول متجهة

${\displaystyle \lambda (X)f(g)={d \over dt}f(e^{-Xt}g)|_{t=0},\,\rho (X)f(g)={d \over dt}f(ge^{Xt})|_{t=0}.}$

ترتبط حقول المتجهات الثابتة اليمنى واليسرى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \lambda (X)f(g)=-\rho (g^{-1}Xg)f(g).}$

تتبادل الحقول المتجهة λ( X ) و ρ( ^X ) مع الإزاحة اليمنى واليسرى ^، وتعطي جميع الحقول المتجهة الثابتة يمينًا ويسارًا على G. وبما أن C∞ ( S2 ) = C∞ ( G / K ) يمكن تعريفها بـ ^C∞ ( ^G ) K ، وهي الدالة الثابتة تحت الإزاحة اليمنى بواسطة K ، ^فإن المؤثرات λ( X ) تُنتج أيضًا حقولًا متجهة Π( X ) على S2 ^.

ليكن A و B و C الأساس القياسي لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$مقدم من

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\,\,B={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}},\,\,C={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}.}$

يتم إعطاء أقواس لي الخاصة بهم [ X , Y ] = XY – YX بواسطة

${\displaystyle [A,B]=C,\,\,[B,C]=A,\,\,[C,A]=B.}$

تشكل حقول المتجهات λ( A ) و λ( B ) و λ( C ) أساسًا للفضاء المماسي عند كل نقطة من G.

وبالمثل، تُشكّل حقول المتجهات الثابتة من اليسار ρ( A ) و ρ( B ) و ρ( C ) أساسًا للفضاء المماسي عند كل نقطة من G. ولتكن α و β و γ الأساس الثنائي المقابل للأشكال التفاضلية من الرتبة 1 الثابتة من اليسار على G. ^{[ 51 ]} تُشير علاقات أقواس لي إلى معادلات ماورر-كارتان .

${\displaystyle d\alpha =\beta \wedge \gamma ,\,\,d\beta =\gamma \wedge \alpha ,\,\,d\gamma =\alpha \wedge \beta .}$

وهذه هي أيضاً المكونات المقابلة لصيغة ماورر-كارتان

${\displaystyle \omega _{G}=g^{-1}dg,}$

شكل تفاضلي أحادي القيمة ذو قيم مصفوفية ثابت من اليسار على G ، والذي يحقق العلاقة

${\displaystyle d\omega _{G}=-(g^{-1}dg\,g^{-1})dg=-\omega _{G}\wedge \omega _{G}.}$

المنتج الداخلي على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$محدد بواسطة

${\displaystyle (X,Y)=\mathrm {Tr} \,XY^{T}}$

ثابت تحت تأثير المؤثر المرافق. ليكن π الإسقاط المتعامد على الفضاء الجزئي المتولد بواسطة A ، أي على${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$، جبر لي لـ K. لـ X في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، يُعطى رفع حقل المتجهات Π( X ) من ^C∞ ( G / K ) إلى ^C∞ ( G ) بالصيغة التالية:

${\displaystyle \Pi (X)^{*}f(g)=-\rho (\pi (g^{-1}Xg))f(g)}$

هذا الرفع متكافئ مع G على حقول المتجهات من الشكل Π( X ) وله امتداد فريد إلى حقول المتجهات الأكثر عمومية على G / K.

الشكل التفاضلي الأول الثابت الأيسر α هو شكل الاتصال ω على G الموافق لهذا الرفع. أما الشكلان التفاضليان الأولان الآخران في معادلات كارتان الهيكلية فيُعطيان بالعلاقة θ₁ ₌ β و θ₂ ₌ γ. والمعادلات الهيكلية نفسها هي معادلات ماورر-كارتان. بعبارة أخرى؛

تختزل المعادلات الهيكلية لكارتان لـ SO(3)/SO(2) إلى معادلات ماورر-كارتان للأشكال الثابتة اليسرى من الدرجة 1 على SO(3).

بما أن α هي صيغة الاتصال،

• الحقول المتجهة الرأسية على G هي تلك التي تأخذ الشكل f · λ( A ) مع f في C ^∞ ( G )؛
• الحقول المتجهة الأفقية على G هي تلك التي تأخذ الشكل f ₁ · λ( B ) + f ₂ · λ( C ) مع f _i في C ^∞ ( G ).

يُشير وجود حقول المتجهات الأساسية λ( A ) وλ( B ) وλ( C ) إلى أن SO(3) قابلة للتوازي. وهذا لا ينطبق على SO(3)/SO(2) وفقًا لنظرية الكرة المشعرة : ^إذ لا تقبل S2 أي حقول متجهات لا تتلاشى في أي مكان.

يُعادل النقل المتوازي في حزمة الإطار رفع مسار من SO(3)/SO(2) إلى SO(3). ويمكن تحقيقه بحل معادلة تفاضلية عادية ذات قيم مصفوفية ("معادلة النقل") على الصورة g( _t) = A · g ، حيث A ( t ) مصفوفة متناظرة عكسيًا، و g تأخذ قيمًا في SO(3). ^{[ 52 ] [ 53 ] [ 54 ]}

في الواقع، يُعدّ رفع مسار من SO(3)/O(2) إلى SO(3) مكافئًا وأكثر ملاءمة. لاحظ أن O(2) هو مُعَيِّر SO(2) في SO(3)، وأن زمرة القسمة O(2)/SO(2)، والتي تُسمى ^زمرة فايل ، هي زمرة من الرتبة 2 تعمل على SO(3)/SO(2) = S² كخريطة مضادة . زمرة القسمة SO(3)/O(2) هي المستوى الإسقاطي الحقيقي . ويمكن تعريفها بفضاء الإسقاطات من الرتبة الأولى أو الثانية Q في M³ ₍ R ) . باعتبار Q إسقاطًا من الرتبة 2 ووضع F = 2 Q − I ، فإن نموذج السطح SO(3)/O(2) يُعطى بواسطة المصفوفات F التي تحقق F ² = I و F = F ^T و Tr F = 1. باعتبار F ₀ = diag (–1,1,1) كنقطة أساس، يمكن كتابة كل F على الصورة g F ₀ g ⁻¹ .

بالنظر إلى المسار F ( t )، فإن المعادلة التفاضلية العادية${\displaystyle g_{t}g^{-1}=F_{t}F/2}$، مع الشرط الابتدائي${\displaystyle g(0)=I}$، لها حل فريد من نوعه من النوع C ¹ g ( t ) بقيم في G ، مما يعطي الرفع عن طريق النقل المتوازي لـ F.

إذا كان Q ( t ) هو المسار المقابل للإسقاطات من الرتبة 2، فإن شروط النقل المتوازي هي

${\displaystyle Q=gQ_{0}g^{-1},\,\,Q_{0}g^{-1}{\dot {g}}Q_{0}=0}$

لنفترض أن A = ½ F _t F. بما أن F ² = I و F متناظرة، فإن A متناظرة عكسيًا وتحقق QAQ  =  0.

الحل الوحيد g ( t ) للمعادلة التفاضلية العادية

${\displaystyle {\dot {g}}=Ag\,}$

مع الشرط الابتدائي g (0) = I المضمون بموجب نظرية بيكارد-ليندلوف ، يجب أن يكون g ^(T ) ثابتًا، وبالتالي I ، لأن

${\displaystyle {d \over dt}(g^{T}g)={\dot {g}}^{T}g+g^{T}{\dot {g}}=g^{T}(A^{T}+A)g=0.}$

علاوة على ذلك،

${\displaystyle F(t)=g(t)F(0)g(t)^{-1}\,}$

بما أن مشتقة g ^{− 1} Fg تساوي صفرًا:

${\displaystyle {d \over dt}(g^{-1}Fg)=-g^{-1}{\dot {g}}g^{-1}Fg+g^{-1}{\dot {F}}g+g^{-1}F{\dot {g}}=g^{-1}(-{\dot {g}}g^{-1}F+{\dot {F}}+F{\dot {g}}g^{-1})g=0.}$

وبالتالي ، Q = g Q ₀ g ^{− 1.} الشرط QAQ=0 يعني Q g _t g ⁻¹ Q = 0، ومن ثم فإن Q ₀ g ⁻¹ g _t Q ₀ =0. ^{[ 55 ]}

هناك طريقة حركية أخرى لفهم النقل المتوازي وانحناء الجيوديسية ، وهي "التدحرج دون انزلاق أو التواء". ورغم أنها معروفة جيدًا لعلماء الهندسة التفاضلية منذ أوائل القرن العشرين، فقد طُبقت أيضًا على مسائل في الهندسة والروبوتات . ^{[ 56 ]} لنفترض أن الكرة ثنائية الأبعاد جسم صلب في فضاء ثلاثي الأبعاد يتدحرج دون انزلاق أو التواء على مستوى أفقي. ستصف نقطة التماس منحنى في المستوى وعلى السطح. عند كل نقطة تماس، يمكن تحديد مستويات التماس المختلفة للكرة مع المستوى الأفقي نفسه، وبالتالي مع بعضها البعض.

• الانحناء المعتاد للمنحنى المستوي هو الانحناء الجيوديسي للمنحنى المرسوم على الكرة.
• يتوافق تحديد المستويات المماسية على طول المنحنى مع النقل الموازي.

يسهل تصور ذلك بشكل خاص بالنسبة للكرة: إنها بالضبط الطريقة التي يمكن بها دحرجة كرة زجاجية على سطح طاولة مسطح تمامًا.

يمكن عكس أدوار المستوى والكرة لتوفير وجهة نظر بديلة ولكنها مكافئة. تُعتبر الكرة ثابتة، ويتعين على المستوى أن يتدحرج دون انزلاق أو التواء على طول المنحنى المحدد على الكرة. ^{[ 57 ]}

عندما يتم تضمين سطح M في E3 ^، فإن خريطة غاوس من M${\displaystyle \rightarrow }$يمتد S ² إلى خريطة متغيرة SO(2) بين حزم الإطار المتعامد E${\displaystyle \rightarrow }$SO(3). في الواقع، فإن الثلاثية المكونة من الإطار المماسي والمتجه العمودي تعطي عنصرًا من SO(3).

في عام 1956 أثبت كوباياشي ما يلي: ^{[ 58 ]}

في ظل خريطة جاوس الموسعة، يؤدي الاتصال على SO(3) إلى الاتصال على E.

هذا يعني أن الأشكال ω و θ ₁ و θ ₂ على E تُستخلص بسحب تلك الموجودة على SO(3)؛ وأن مسارات الرفع من M إلى E يمكن إنجازها عن طريق رسم المسار إلى الكرة ثنائية الأبعاد، ورفع المسار إلى SO(3)، ثم سحب الرفع إلى E. وبالتالي، بالنسبة للأسطح المضمنة، توفر الكرة ثنائية الأبعاد ذات الاتصال الرئيسي على حزمة إطارها "نموذجًا عالميًا"، وهو النموذج الأولي للحزم العالمية التي نوقشت في ناراسيمهان ورامانان (1961) .

بصورة أكثر تحديدًا، يسمح هذا بوصف النقل المتوازي بشكل صريح باستخدام معادلة النقل. ويُعادل النقل المتوازي على طول منحنى c ( t )، حيث تأخذ t قيمًا في الفترة [0,1]، بدءًا من مماس متجه المماس v₀ ، إيجاد دالة v ( _t ) من [0,1] ^إلى R³ بحيث

• v ( t ) هو متجه مماس لـ M عند c ( t ) مع v (0) = v ₀ .
• متجه السرعة${\displaystyle {\dot {v}}(t)}$يكون عموديًا على السطح عند c ( t )، أي P ( c ( t )) v ( t )=0.

هذا له دائمًا حل فريد، يسمى النقل المتوازي لـ v ₀ على طول c .

يمكن استنتاج وجود النقل المتوازي باستخدام الطريقة التحليلية الموصوفة لـ SO(3)/SO(2)، والتي من مسار إلى الإسقاطات من الرتبة الثانية Q ( t ) بدءًا من Q0 أنتجت مسارًا g ( t ) في SO( ₃ ) بدءًا من I بحيث

${\displaystyle Q=gQ_{0}g^{-1},\,\,\,Q_{0}g^{-1}{\dot {g}}Q_{0}=0.}$

g ( t ) هو الحل الوحيد لمعادلة النقل

g t g −1 = ½ F t F

مع g (0) = I و F = 2Q − I. بتطبيق هذا مع Q ( t ) = P ( c ( t ))، ينتج أنه، بالنظر إلى متجه مماس v₀ في الفضاء المماسي لـ M عند c (0)، فإن المتجه v ( t ₎ = g ( t ) v₀ يقع في الفضاء المماسي لـ M عند c ₍ t ) ويحقق المعادلة

${\displaystyle P(c(t)){\dot {v}}(t)=0.}$

_{لذا ،} فهو بالضبط النقل الموازي للسرعة v على طول المنحنى c . ^{[ 53 ]} _{في هذه الحالة ،} يكون طول المتجه v ( t ) ثابتًا. وبشكل أعم، إذا تم اختيار متجه مماس ابتدائي آخر u₀ بدلًا من v₀ ، فإن حاصل الضرب الداخلي ( v ( t ), u ( t )) يكون ثابتًا. وبالتالي، تُعرَّف فضاءات المماس على طول المنحنى c ( t ) بشكل أساسي على أنها فضاءات حاصل الضرب الداخلي عن طريق النقل الموازي، بحيث يُعطي النقل الموازي تماثلًا بين المستويين المماسيين. الشرط على متجه السرعة${\displaystyle {\dot {v}}(t)}$ يمكن إعادة كتابتها بدلالة المشتق المتغير المشترك على النحو التالي ^{[ 15 ] [ 59 ]}

${\displaystyle \nabla _{\dot {c}}v=0}$

المعادلة الأساسية للنقل المتوازي.

ينطبق الفهم الحركي للنقل المتوازي للكرة بنفس القدر على أي سطح مغلق في الفضاء E³ ^، باعتباره جسمًا صلبًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتدحرج دون انزلاق أو التواء على مستوى أفقي. ستصف نقطة التماس منحنى في المستوى وعلى السطح. بالنسبة للكرة، فإن الانحناء المعتاد للمنحنى المستوي يساوي الانحناء الجيوديسي للمنحنى المرسوم على السطح.

يمكن التعبير عن هذا المنظور الهندسي للنقل المتوازي مباشرةً بلغة الهندسة. ^{[ 60 ]} غلاف المستويات المماسية للنقطة M على طول المنحنى c هو سطح ذو انحناء غاوسي معدوم، والذي ، وفقًا لنظرية ميندينغ، يجب أن يكون متساوي القياس محليًا مع المستوى الإقليدي. يسمح هذا التحديد بتعريف النقل المتوازي، لأنه في المستوى الإقليدي، تُعرَّف جميع المستويات المماسية بالفضاء نفسه.

^{هناك طريقة أخرى بسيطة لإنشاء شكل} الاتصال ω باستخدام تضمين M في E ^{3. [ 61} ]

تحدد متجهات المماس e ₁ و e ₂ لإطار على M دوالًا سلسة من E بقيم في R ³ ، لذلك يعطي كل منها متجهًا ثلاثيًا من الدوال، وعلى وجه الخصوص، فإن de 1 _هو متجه ثلاثي من الأشكال 1 على E.

يُعطى شكل الاتصال بواسطة

${\displaystyle \omega =de_{1}\cdot e_{2}}$

أخذ الضرب القياسي المعتاد على المتجهات ثلاثية الأبعاد.

عندما يكون M مضمنًا في E³ ^، يمكن تعريف شكلين تفاضليين آخرين من الدرجة الأولى، ψ و χ، على حزمة الإطار E باستخدام مؤثر الشكل. ^{[ 62 ] [ 63 ] [ 64 ]} في الواقع، يُنشئ تطبيق غاوس تطبيقًا متكافئًا من الدرجة K لـ E في SO(3)، حزمة الإطار لـ ^S² = SO(3)/SO(2). الشكل ω هو سحب عكسي لأحد أشكال ماورر-كارتان الثلاثة الثابتة من اليمين على SO(3). يُعرَّف الشكلان التفاضليان ψ و χ على أنهما سحبان عكسيان للشكلين الآخرين.

تُحقق هذه الأشكال من الدرجة الأولى المعادلات الهيكلية التالية:

${\displaystyle \psi \wedge \theta _{1}+\chi \wedge \theta _{2}=0}$

( معادلة التناظر )

${\displaystyle d\omega =\psi \wedge \chi }$

( معادلة جاوس )

${\displaystyle d\psi =\chi \wedge \omega ,\,\,d\chi =\omega \wedge \psi }$

( معادلات كوداتزي )

تستنتج معادلات Gauss –Codazzi لـ χ و ψ و ω مباشرة من معادلات Maurer–Cartan للأشكال الثلاثة الثابتة من اليمين على SO(3).

يُعدّ كتاب بيرغر (2004) من أكثر الدراسات التمهيدية شمولاً في هذا الموضوع، إذ يرصد تطوره التاريخي منذ ما قبل غاوس وحتى العصر الحديث. ويمكن الاطلاع على دراسات متقدمة حول الاتصال الريماني في كتب سينغر وثورب (1967) ، ودو كارمو (1976) ، وأونيل (1997) . كما يمكن إيجاد مقدمات مبسطة لمنهج كارتان في دراسة الاتصالات باستخدام الأطر المتحركة في كتابي آيفي ولاندسبيرغ (2003) وشارب (1997) . أما الدراسات الكلاسيكية حول الحزم الرئيسية والاتصالات، فتُمكن الاطلاع عليها في كتب نوميزو (1956) ، وكوباياشي ونوميزو (1963) ، وستيرنبرغ (1964) ، والفصل العشرين من كتاب ديودونيه (1974) .

• الهندسة التفاضلية للأسطح

• آدامز، ج. فرانك (1983)، محاضرات حول جماعات الكذب ، مطبعة جامعة شيكاغو، رقم ISBN 0226005305
• ألكساندروف، أ.د .؛ زالغالر، ف.أ. (1967)، الهندسة الجوهرية للأسطح ، ترجمات من دراسات رياضية، المجلد  15، الجمعية الرياضية الأمريكية
• أرنولد، السادس (1989)، الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-96890-3
• بيرغر، مارسيل (2004)، نظرة بانورامية على الهندسة الريمانية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-65317-1
• كارتان، إيلي (1983)، هندسة الفضاءات الريمانية ، دار نشر العلوم الرياضية، رقم ISBN 978-0-915692-34-7; مترجم من الطبعة الثانية من Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) بقلم جيمس جلازبروك.
• كارتان، إيلي (2001)، الهندسة الريمانية في إطار متعامد (من محاضرات ألقاها إيلي كارتان في جامعة السوربون في 1926-1927 ) ، وورلد ساينتيفيك، رقم ISBN 9810247478، مترجمة من الروسية بواسطة في في غولدبرغ مع مقدمة بقلم إس إس تشيرن .
• شوكيه-بروهات، إيفون ؛ ديويت-موريت، سيسيل؛ ديلارد-بليك، مارغريت (1982)، التحليل، والمتشعبات، والفيزياء. الجزء الأول: الأساسيات ، نورث هولاند، ISBN 0-444-82647-5
• داربوكس، جاستون (1890)، دروس في النظرية العامة للأسطح ، غوتييه فيلارالمجلد الأول ، المجلد الثاني ، المجلد الثالث ، المجلد الرابع
• ديودونيه، جان (1974). "العشرون. العلاقات الرئيسية والهندسة الريمانية". رسالة في التحليل . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  الرابع. ترجمة آي جي ماكدونالد . دار النشر الأكاديمية . ISBN 0-12-215504-1MR 0362065 .​ 
• دو كارمو، مانفريدو ب. (1976)، الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح ، برنتيس هول، ISBN 0-13-212589-7
• دو كارمو ، مانفريدو ب. (1992)، هندسة ريمانيان ، بيركهاوزر، ISBN 0-8176-3490-8
• درايفر، بروس ك. (1995)، مدخل إلى الهندسة الريمانية والتحليل العشوائي على فضاءات المسار (ملف PDF) ، محاضرات ألقيت في المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ
• أيزنهارت، لوثر ب. (2004)، رسالة في الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح ، دوفر، ISBN 0486438201النص الكامل لعام 1909 (خارج نطاق حقوق النشر الآن)
• أيزنهارت، لوثر ب. (1947)، مقدمة في الهندسة التفاضلية باستخدام حساب الموترات ، سلسلة برينستون الرياضية، المجلد  3، مطبعة جامعة برينستون
• أويلر ، ليونارد ( 1760)، “Recherches sur la courbure des Surfaces” ، مذكرات أكاديمية العلوم في برلين ، 16 (نشرت 1767): 119–143.
• أويلر ، ليونارد (1771)، “De Solidis quorum superficiem in Planum explicare licet” ، Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae ، 16 : 3– 34.
• غاوس، كارل فريدريش (1827)، تحقيقات عامة في الأسطح المنحنية ، نيويورك: دار نشر رافين (نُشر عام 1965)تمت الترجمة بواسطة AMHiltebeitel وJCMorehead؛ "Disquisitiones Generales circa superficies curvas" ، Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Residentiores Vol. السادس (1827) ص  99 – 146.
• غراي، ألفريد؛ أبينا، إلسا؛ سالامون، سيمون (2006)، الهندسة التفاضلية الحديثة للمنحنيات والأسطح باستخدام برنامج Mathematica ، مطبعة CRC، رقم ISBN 1584884487
• هان، تشينغ؛ هونغ، جيا-شينغ (2006)، التضمين المتساوي القياس للمشعبات الريمانية في الفضاءات الإقليدية ، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-4071-1
• هيلجاسون، سيجوردور (1978)، الهندسة التفاضلية، زمر لي والفضاءات المتناظرة ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0-12-338460-5
• هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952)، الهندسة والخيال (الطبعة الثانية  )، نيويورك: تشيلسي، ISBN 978-0-8284-1087-8{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• إيفي، توماس أ.؛ لاندسبيرغ، ج.م. (2003)، كارتان للمبتدئين: الهندسة التفاضلية عبر الأطر المتحركة والأنظمة الخارجية ، دراسات عليا في الرياضيات، المجلد  61، الجمعية الرياضية الأمريكية، ISBN 0-8218-3375-8
• جاكوبويتز، هوارد (1972)، "التضمينات المتساوية القياس المحلية للأسطح في الفضاء الإقليدي الرباعي" ، مجلة الرياضيات بجامعة إنديانا ، 21 (3): 249-254 ، doi : 10.1512/iumj.1971.21.21019
• كلينجنبرغ، فيلهلم؛ ساساكي، شيجيو (1975)، "حول حزمة الكرة المماسية للكرة ثنائية الأبعاد"، مجلة توهوكو الرياضية ، 27 (1): 49-56 ، doi : 10.2748/tmj/1178241033
• كلينجنبرج ، فيلهلم (1982)، الهندسة الريمانية ، دراسات دي جرويتر في الرياضيات، المجلد.  1، دي جرويتر، ISBN 3-11-008673-5
• كوباياشي، شوتشيتشي (1956)، "الوصلات المستحثة والفضاء الريماني المضمن"، مجلة ناغويا للرياضيات ، 10 : 15-25 ، doi : 10.1017/S0027763000000052 ، S2CID 251061784 
• كوباياشي، شوتشيتشي (1957)، “نظرية الاتصالات”، Annali di Matematica Pura ed Applicata ، السلسلة 4، 43 (1): 119– 194، دوى : 10.1007 / BF02411907 ، S2CID 120972987 ،
• كوباياشي، شوشيشي؛ نوميزو، كاتسومي (1963)، أسس الهندسة التفاضلية ، المجلد. أنا ، وايلي إنترساينس، ISBN 0470496487{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• كوباياشي، شوشيشي؛ نوميزو، كاتسومي (1969)، أسس الهندسة التفاضلية، المجلد. II ، وايلي إنترساينس، ISBN 0470496487
• كريزيج، إروين (1991)، الهندسة التفاضلية ، دوفر، رقم ISBN 0486667219
• ليفي سيفيتا ، توليو (1917) ، “Nozione di موازية في una varietà qualunque” ، Rend. سيرك. حصيرة. باليرمو ، 42 (1): 173-205 ، دوى : 10.1007 / BF03014898 ، S2CID 122088291 
• ميلنور، جون دبليو. (1963)، نظرية مورس ، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد  51، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 0691080089{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• ميلنور، جون دبليو .؛ ستاشيف، جيمس دي. (1974). الفئات المميزة . دراسات حوليات الرياضيات. المجلد  76. مطبعة جامعة برينستون؛ مطبعة جامعة طوكيو. ISBN 978-0-691-08122-9MR 0440554 .​ 
• ناراسيمهان، إم إس ؛ رامانان، إس. (1961)، "وجود روابط شاملة"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 83 (3)، مطبعة جامعة جونز هوبكنز: 563-572 ، doi : 10.2307/2372896 ، hdl : 10338.dmlcz/700905 ، JSTOR 2372896 
• ناراسيمهان، إم إس ؛ راماداس، تي آر (1979)، "هندسة حقول قياس SU(2)"، مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 67 (2): 121-136 ، رمز Bibcode : 1979CMaPh..67..121N ، doi : 10.1007/BF01221361 ، S2CID 118840198 
• نيلسون، إدوارد (1969)، موضوعات في الديناميكا - الجزء الأول: التدفقات ، ملاحظات رياضية، مطبعة جامعة برينستون
• نوميزو، كاتسومي (1956). زمر لي والهندسة التفاضلية . الجمعية الرياضية اليابانية .
• أونيل، باريت (1997)، الهندسة التفاضلية الابتدائية ، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 0-12-526745-2
• بيترسن، بيتر (2016)، الهندسة الريمانية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  171 (الطبعة الثالثة  )، سبرينغر، ISBN 9783319266541
• بوزنياك، إي جي (1973)، "التضمين المتساوي القياس للمقاييس الريمانية ثنائية الأبعاد في الفضاءات الإقليدية"، مجلة الرياضيات الروسية ، 28 (4): 47-77 ، doi : 10.1070/RM1973v028n04ABEH001591 ، S2CID 250883227 
• بريسلي، أندرو (2001)، الهندسة التفاضلية الابتدائية ، سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 1-85233-152-6
• ساساكي، شيجيو (1958)، "حول الهندسة التفاضلية للحزم المماسية للمشعبات الريمانية"، مجلة توهوكو الرياضية ، 10 (3): 338-354 ، doi : 10.2748/tmj/1178244668
• شارب ، ريتشارد دبليو (1997)، الهندسة التفاضلية: تعميم كارتان لبرنامج إرلانجن كلاين ، Springer-Verlag، ISBN 0387947329
• سينغر، إيزادور م .؛ ثورب، جون أ. (1967)، محاضرات في الطوبولوجيا والهندسة الابتدائية ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-90202-3
• شلومو ستيرنبرغ (1964)، محاضرات في الهندسة التفاضلية ، برنتيس هول
• ستريك، ديرك جان (1988)، محاضرات في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية: الطبعة الثانية ، دوفر، ISBN 0486656098
• توبونوغوف، فيكتور أ. (2005)، الهندسة التفاضلية للمنحنيات والأسطح: دليل موجز ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0817643842
• فاليرون، جورج (1986)، الهندسة التفاضلية الكلاسيكية للمنحنيات والأسطح ، دار نشر العلوم الرياضية، رقم ISBN 0915692392النص الكامل للكتاب
• فاراداراجان، في إس (1984)، زمر لي، وجبر لي، وتمثيلاتها ، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0387909699
• ويلسون، بيلهام (2008)، الفضاء المنحني: من الهندسات الكلاسيكية إلى الهندسة التفاضلية الأولية ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-71390-0