مقال كانتور الأول في نظرية المجموعات

تتضمن مقالة كانتور الأولى في نظرية المجموعات أولى نظريات جورج كانتور في نظرية المجموعات المتسامية ، التي تدرس المجموعات اللانهائية وخصائصها. إحدى هذه النظريات هي "اكتشافه الثوري" بأن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية لانهائية بشكل غير قابل للعد ، وليست لانهائية بشكل قابل للعد. ^{[ 1 ]} وقد تم إثبات هذه النظرية باستخدام برهان كانتور الأول على عدم قابلية العد ، والذي يختلف عن البرهان الأكثر شيوعًا باستخدام حجته القطرية . يشير عنوان المقالة، " حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية " ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ^{[ 2 ]} )، إلى نظريتها الأولى: مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية قابلة للعد. نُشرت مقالة كانتور عام 1874. وفي عام 1879، عدّل برهانه على عدم قابلية العد باستخدام المفهوم الطوبولوجي لكون المجموعة كثيفة في فترة معينة.

تتضمن مقالة كانتور أيضًا برهانًا على وجود الأعداد المتسامية . وقد قُدِّم كلٌّ من البراهين البنّاءة وغير البنّاءة تحت مسمى "برهان كانتور". وقد أدّى شيوع تقديم البرهان غير البنّاء إلى اعتقاد خاطئ بأنّ حجج كانتور غير بنّاءة. وبما أنّ البرهان الذي نشره كانتور إمّا يُنشئ أعدادًا متسامية أو لا يُنشئها، فإنّ تحليل مقالته يُمكن أن يُحدّد ما إذا كان هذا البرهان بنّاءً أم لا. ^{[ 3 ]} تُظهر مراسلات كانتور مع ريتشارد ديديكيند تطوّر أفكاره، وتُبيّن أنّه كان أمام خيارين من البراهين: برهان غير بنّاء يستخدم عدم قابلية الأعداد الحقيقية للعدّ، وبرهان بنّاء لا يستخدم عدم قابلية العدّ.

درس مؤرخو الرياضيات مقالة كانتور والظروف التي كُتبت فيها. فعلى سبيل المثال، اكتشفوا أن كانتور نُصح بحذف نظرية عدم العد من المقالة التي قدمها، فأضافها أثناء التدقيق اللغوي . وقد ربطوا هذه الحقيقة وغيرها من الحقائق المتعلقة بالمقالة بتأثير كارل فايرشتراس وليوبولد كرونكر . كما درس المؤرخون إسهامات ديديكيند في المقالة، بما في ذلك إسهاماته في نظرية عد الأعداد الجبرية الحقيقية. إضافةً إلى ذلك، أقروا بالدور الذي لعبته نظرية عدم العد ومفهوم العد في تطور نظرية المجموعات، ونظرية القياس ، وتكامل لوبيغ .

المقال

مقال كانتور قصير، لا يتجاوز أربع صفحات ونصف. ^{[ أ ]} يبدأ بمناقشة الأعداد الجبرية الحقيقية وبيان نظريته الأولى: يمكن وضع مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية في تناظر أحادي مع مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. ^{[ 4 ]} يعيد كانتور صياغة هذه النظرية بعبارات أكثر ألفة لعلماء الرياضيات في عصره: "يمكن كتابة مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية كمتتالية لانهائية يظهر فيها كل عدد مرة واحدة فقط." ^{[ 5 ]}

تُطبَّق نظرية كانتور الثانية على فترة مغلقة [ a , b ] ، وهي مجموعة الأعداد الحقيقية ≥ a و ≤ _b. تنص النظرية على ما يلي: لأي متتالية من الأعداد الحقيقية x₁ _,x₂ , x₃ , ... وأي فترة [ a , b ]، يوجد عدد في [ a , b ] غير موجود في المتتالية المعطاة. وبالتالي، يوجد عدد لا نهائي من هذه الأعداد _.^[⁶^]

يلاحظ كانتور أن الجمع بين نظريتيه يؤدي إلى برهان جديد لنظرية ليوفيل التي تنص على أن كل فترة [ a , b ] تحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد المتسامية . ^[⁶^]

ثم يعلق كانتور قائلاً إن نظريته الثانية هي:

السبب في أن مجموعات الأعداد الحقيقية التي تُشكّل ما يُسمى بالمتصل (مثل جميع الأعداد الحقيقية التي تساوي أو تزيد عن 0 وتساوي أو تقل عن 1) لا يمكن أن تتطابق تطابقًا تامًا مع المجموعة (ν) [مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة]؛ وبالتالي فقد وجدتُ الفرق الواضح بين ما يُسمى بالمتصل ومجموعة مثل مجموع الأعداد الجبرية الحقيقية. ^{[ 7 ]}

تتضمن هذه الملاحظة نظرية كانتور عن عدم العد، والتي تنص فقط على أنه لا يمكن وضع الفترة [ a , b ] في تناظر أحادي مع مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. ولا تنص على أن هذه الفترة هي مجموعة لانهائية ذات عدد عناصر أكبر من مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. وقد عُرِّف عدد العناصر في مقالة كانتور التالية، التي نُشرت عام 1878. ^[⁸^]

برهان نظرية كانتور عن عدم العد
لم يُثبت كانتور صراحةً نظرية عدم العد، التي تتبع بسهولة من نظريته الثانية. ويمكن إثباتها باستخدام البرهان بالتناقض . لنفترض أن الفترة [ a , b ] يمكن تمثيلها تناظرًا واحدًا لواحد مع مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة، أو بصورة مكافئة: يمكن كتابة الأعداد الحقيقية في [ a , b ] كمتتالية يظهر فيها كل عدد حقيقي مرة واحدة فقط. بتطبيق نظرية كانتور الثانية على هذه المتتالية و[ a , b ]، نحصل على عدد حقيقي في [ a , b ] لا ينتمي إلى المتتالية. وهذا يناقض الافتراض الأصلي ويُثبت نظرية عدم العد. ^[⁹^]

يكتفي كانتور بذكر نظرية عدم العد الخاصة به، ولا يستخدمها في أي من البراهين. ^{[ 4 ]}

البراهين

النظرية الأولى

لإثبات أن مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية قابلة للعد، نُعرّف ارتفاع متعددة الحدود من الدرجة n ذات المعاملات الصحيحة _على النحو التالي: n − 1 + | a₀ | + | _a₁ | + ... + | an _| ، حيث a₀ _،a₁ _، ...، _an هي معاملات متعددة الحدود. نرتب متعددات الحدود حسب ارتفاعها، ثم نرتب الجذور الحقيقية لمتعددات الحدود ذات الارتفاع نفسه حسب الترتيب العددي. بما أن عدد جذور متعددات الحدود ذات الارتفاع المحدد محدود، فإن هذه الترتيبات تُشكّل متتالية للأعداد الجبرية الحقيقية. وقد ذهب كانتور خطوة أبعد، فأنتج متتالية يظهر فيها كل عدد جبري حقيقي مرة واحدة فقط. وقد فعل ذلك باستخدام متعددات الحدود غير القابلة للاختزال على الأعداد الصحيحة فقط. يحتوي الجدول التالي على بداية تعداد كانتور. ^[¹⁰^]

تعداد كانتور للأعداد الجبرية الحقيقية
عدد جبري حقيقي	متعدد الحدود	ارتفاع كثير الحدود
x ₁ = 0	x	1
س ₂ = −1	س + 1	2
× ₃ = 1	x − 1	2
x ₄ = −2	س + 2	3
x ₅ = − 1 / 2	2 س + 1	3
× ₆ = 1/2	2 × − 1	3
س ₇ = 2	x − 2	3
س _٨ = −٣	س + 3	4
x ₉ = ⁠ −1 − √ 5 / 2 ⁠	x ² + x − 1	4
x ₁₀ = − √ 2	x ² − 2	4
x ₁₁= − 1 / √ 2	2 × ² - 1	4
x ₁₂ = 1 − √ 5 / 2	x ² − x − 1	4
x ₁₃ = − 1 / 3	3 × + 1	4
١٤ × _١ = ١ / ٣	3 × − 1	4
x ₁₅ = ⁠ −1 + √ 5 / 2 ⁠	x ² + x − 1	4
_١٦× ١ = ١ / √ ٢	2 × ² - 1	4
س ₁₇ = √ 2	x ² − 2	4
x ₁₈ = 1 + √ 5 / 2	x ² − x − 1	4
× ₁₉ = 3	x − 3	4

النظرية الثانية

يكفي إثبات الجزء الأول فقط من نظرية كانتور الثانية. وتنص هذه النظرية على ما يلي: إذا أُعطيت أي متتالية من الأعداد الحقيقية _x₁ , x₂ _,x₃ , ... _وأي فترة [ a , b ]، فإنه يوجد عدد في [ a , b ] غير موجود في المتتالية المعطاة. ^[^B^]

لإيجاد عدد في الفترة [ a , b ] غير موجود في المتتالية المعطاة، نُنشئ متتاليتين من الأعداد الحقيقية كما يلي: أوجد أول عددين في المتتالية المعطاة يقعان في الفترة المفتوحة ( a , b ). نرمز إلى العدد الأصغر بـ _a₁وإلى العدد الأكبر بـ b₁ . وبالمثل، أوجد أول عددين في المتتالية المعطاة يقعان في الفترة ( a₁, b₁ ) . _نرمز إلى العدد الأصغر بـ _a₂وإلى العدد الأكبر بـ _b₂. بمتابعة هذه العملية _، نحصل على متتالية من الفترات ( a₁ , b₁ )، ( _a₂_,_{b₂ )}، ( a₃ , b₃ ₎ ، _... بحيث تحتوي كل فترة في المتتالية على جميع الفترات اللاحقة لها _،أي _أنها_تُنشئ متتالية من الفترات المتداخلة . هذا يعني أن المتتالية a₁ , a₂ _,a₃ _, ... متزايدة _،_وأن المتتالية b₁ , b₂ , b₃ , ... متناقصة _.^[¹¹^]

إما أن يكون عدد الفترات المُولَّدة محدودًا أو غير محدود. إذا كان محدودًا، فلنعتبر ( aL , _{bL) هي الفترة الأخيرة. أما إذا كان غير محدود، فنأخذ النهايتين a∞}₌lim n → _∞ an _و b∞ = lim n → _∞_bn_.بما _أن an _< bn _لجميع_قيم_n، _فإما أن _a∞ = b∞ أو a∞ < b∞ _.وبالتالي ، توجد ثلاث _حالات يجب _أخذها_في الاعتبار :

الحالة الأولى: توجد فترة أخيرة ( aL , bL ). بما أنه _لا يمكن أن يوجد أكثر من xn واحد _في هذه _الفترة ، فإن كل _y في هذه الفترة باستثناء xn (إن وجد) ليس في المتتالية المعطاة.

الحالة الثانية: a∞ = b∞ _. إذن _،a∞ ليس جزءًا من المتتالية، لأنه لكل _n: يقع _a∞ في الفترة ( _an, _bn ) _،_لكن xn لا ينتمي إلى ( an , _bn₎ . بالرموز _: a∞ ∈ ( _an , bn ) _، لكن xn _∉ ( an , bn ₎ .

برهان على أنه لكل n : x _n ∉ ( a _n , b _n )
_{تُستخدم} هذه اللمة _في الحالتين 2 _و₃_. وهي مُستنتجة من اللمة الأقوى: لكل _n ، فإن ₍_aₙ_,bₙ ) _لا تشمل x₁ , ... , x₂ₙ _. يُثبت ذلك بالاستقراء _. خطوة الأساس : بما أن طرفي ( a₁ _,b₁ ) هما x₁ و x₂ _،_وفترة_مفتوحة_لا تشمل طرفيها، فإن ( a₁ , b₁ ) لا _تشمل x₁ _,_x₂. خطوة _{الاستقراء} : لنفترض أن ( _aₙ, _bₙ ) لا تشمل x₁ , _... , x₂ₙ _. بما أن ( _aₙ₊₁ , bₙ₊₁ ₎ مجموعة جزئية _من₍aₙ , _bₙ₎ وطرفيها هما x₂₊₁ _و_x₂₊₂ ، _فإن ( aₙ₊₁ _, bₙ₊₁ ₎_لا تشمل _x₁ , _... , _x₂ₙ_و x₂₊₁ _, x₂₊₂ _. وبالتالي ، لكل n ، فإن ( an _, bn ₎ لا يشمل x1 _، ... _،x2n _.^لذلك^، لكل n ، xn _∉ ( an _, bn ₎ . [ C ^]

الحالة 3: a∞ < b∞ _. عندئذٍ، لا ينتمي أي _عنصرy في الفترة [ a∞ , b∞ ] إلى المتتالية المعطاة، لأنه لكل _n: ينتمي y إلى ( a∞ , b∞ ) _بينما لا ينتمي x∞ _إلى_هذه_{المتتالية .}^[¹²^]

اكتمل البرهان لأنه في جميع الحالات، تم العثور على عدد حقيقي واحد على الأقل في الفترة [ أ ، ب ] غير موجود في المتتالية المعطاة. ^[^د^]

تُعدّ براهين كانتور بنائية، وقد استُخدمت لكتابة برنامج حاسوبي يُولّد أرقام عدد متسامٍ. يُطبّق هذا البرنامج بناء كانتور على متتالية تحتوي على جميع الأعداد الجبرية الحقيقية بين 0 و1. تُقدّم المقالة التي تُناقش هذا البرنامج بعضًا من مُخرجاته، والتي تُبيّن كيف يُولّد هذا البناء عددًا متساميًا. ^{[ 13 ]}

مثال على بناء كانتور

يوضح مثالٌ كيفية عمل بناء كانتور. لننظر إلى المتتالية التالية: ١/٢، ١/٣، ٢/٣ ، ١/٤ ، ٣/٤ ، ١/٥ ، ٢/٥ ، ٣/٥ ، ٤/٥ ، ... تُحصل هذه المتتالية بترتيب الأعداد النسبية في الفترة ( ٠ ، ١ ) تصاعديًا حسب المقام ، ثم ترتيب الأعداد ذات المقام نفسه تصاعديًا حسب البسط، مع حذف الكسور القابلة للاختزال . يُبين الجدول أدناه الخطوات الخمس الأولى من البناء . يحتوي العمود الأول من الجدول على _{الفترات}( أ ن ، ب _ن ) . يسرد العمود الثاني المصطلحات التي تمت زيارتها أثناء البحث عن أول مصطلحين في ( a _n , b _n ). هذان المصطلحان باللون الأحمر. ^[¹⁴^]

**توليد عدد باستخدام بناء كانتور**
فاصلة	إيجاد الفترة التالية	الفاصل الزمني (العشري)
$\left(\;{\frac {1}{3}},\;\;\!{\frac {1}{2}}\;\right)$	$\;{\frac {2}{3}},\;\!{\frac {1}{4}},\;\!{\frac {3}{4}},\;\!{\frac {1}{5}},\;\!{\color {red}{\frac {2}{5}},}\;\!\;\!{\frac {3}{5}},\;\!{\frac {4}{5}},\;\!{\frac {1}{6}},\;\!{\frac {5}{6}},\;\!{\frac {1}{7}},\;\!{\frac {2}{7}},\;\!{\color {red}{\frac {3}{7}}}$	$\left(0.3333\dots ,\;0.5000\dots \right)$
$\left(\;{\frac {2}{5}},\;\;\!{\frac {3}{7}}\;\right)$	$\;{\frac {4}{7}},\;\dots ,\;{\frac {1}{12}},{\color {red}{\frac {5}{12}},}\;\!{\frac {7}{12}},\;\dots ,\;{\frac {6}{17}},{\color {red}{\frac {7}{17}}}$	$\left(0.4000\dots ,\;0.4285\dots \right)$
$\left({\frac {7}{17}},{\frac {5}{12}}\right)$	${\frac {8}{17}},\;\!\dots ,\;\!{\frac {11}{29}},{\color {red}{\frac {12}{29}},}\;\!{\frac {13}{29}},\;\dots ,\;{\frac {16}{41}},{\color {red}{\frac {17}{41}}}$	$\left(0.4117\dots ,\;0.4166\dots \right)$
$\left({\frac {12}{29}},{\frac {17}{41}}\right)$	${\frac {18}{41}},\;\!\dots ,\;\!{\frac {27}{70}},{\color {red}{\frac {29}{70}},}\;\!{\frac {31}{70}},\;\dots ,\;{\frac {40}{99}},{\color {red}{\frac {41}{99}}}$	$\left(0.4137\dots ,\;0.4146\dots \right)$
$\left({\frac {41}{99}},{\frac {29}{70}}\right)$	${\frac {43}{99}},\dots ,{\frac {69}{169}},{\color {red}{\frac {70}{169}},}\;\!{\frac {71}{169}},\,\dots ,{\frac {98}{239}},{\color {red}{\frac {99}{239}}}$	$\left(0.4141\dots ,\;0.4142\dots \right)$

بما أن المتتالية تحتوي على جميع الأعداد النسبية في (0، 1)، فإن البناء ينتج عددًا غير نسبي ، والذي تبين أنه √2 − 1. ^[¹⁵^]

إثبات أن العدد الناتج هو √2 − 1
يستخدم البرهان متتابعات فاري والكسور المستمرة البسيطة . متتابعة فاري $F_{n}$ هي سلسلة متزايدة من الكسور المختزلة تمامًا التي مقاماتها هي $\leq n.$ لو ${\frac {a}{b}}$ و ${\frac {c}{d}}$ إذا كانت متجاورة في متتالية فاري، فإن أصغر كسر في المقام بينهما هو وسيطهما ${\frac {a+c}{b+d}}.$ هذا الوسيط مجاور لكليهما ${\frac {a}{b}}$ و ${\frac {c}{d}}$ في سلسلة فاري $F_{b+d}.$ ^{[ 16 ]} ينتج عن بناء كانتور الوسائط لأن الأعداد النسبية رُتبت تصاعديًا حسب المقام. الفترة الأولى في الجدول هي $({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}).$ منذ ${\frac {1}{3}}$ و ${\frac {1}{2}}$ متجاورة في $F_{3},$ وسيطهم ${\frac {2}{5}}$ هو الكسر الأول في المتتالية بين ${\frac {1}{3}}$ و ${\frac {1}{2}}.$ لذلك، ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {1}{2}}.$ في هذا التفاوت، ${\frac {1}{2}}$ الكسر الثاني له أصغر مقام، لذا فهو الوسيط لـ ${\frac {2}{5}}$ و ${\frac {1}{2}},$ وهو ما يساوي ${\frac {3}{7}}.$ وهذا يعني: ${\frac {1}{3}}<{\frac {2}{5}}<{\frac {3}{7}}<{\frac {1}{2}}.$ وبالتالي، فإن الفترة التالية هي $({\frac {2}{5}},{\frac {3}{7}}).$ سنثبت أن نهايات الفترات تتقارب إلى الكسر المستمر $[0;2,2,\dots ].$ هذا الكسر المستمر هو نهاية متقارباته : ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}=[0;2,\dots ,2]\;\;(n\;2{\text{'s}}).$ ال $p_{n}$ و $q_{n}$ تحقق المتتاليات المعادلات التالية: ^{[ 17 ]} $p_{0}=0\;\;\;\;\;\;\;p_{1}=1\;\;\;\;\;\;\;p_{n+1}=2p_{n}+p_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1$ $q_{0}=1\;\;\;\;\;\;\;q_{1}=2\;\;\;\;\;\;\;q_{n+1}=2q_{n}+q_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1$ أولاً، نثبت بالاستقراء أنه بالنسبة لعدد فردي n ، فإن الفترة n في الجدول هي: $\left({\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}},{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right)\!,$ وبالنسبة لقيم n الزوجية ، تنعكس نقاط نهاية الفترة: $\left({\frac {p_{n}}{q_{n}}},{\frac {p_{n}+p_{n-1}}{q_{n}+q_{n-1}}}\right)\!.$ وهذا صحيح بالنسبة للفترة الأولى لأن: $\left({\frac {p_{1}+p_{0}}{q_{1}+q_{0}}},{\frac {p_{1}}{q_{1}}}\right)=\left({\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}}\right)\!.$ بافتراض صحة فرضية الاستقراء للفترة k ، إذا كان k عددًا فرديًا، فإن هذه الفترة هي: $\left({\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}},{\frac {p_{k}}{q_{k}}}\right)\!.$ الوسيط لنقاط النهاية الخاصة به ${\frac {2p_{k}+p_{k-1}}{2q_{k}+q_{k-1}}}={\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ يمثل الكسر الأول في المتتالية بين هاتين النقطتين النهائيتين. لذلك، ${\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.$ في هذا التفاوت، ${\frac {p_{k}}{q_{k}}}$ الكسر الثاني له أصغر مقام، لذا فهو الوسيط لـ ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ و ${\frac {p_{k}}{q_{k}}},$ وهو ما يساوي ${\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}.$ وهذا يعني: ${\frac {p_{k}+p_{k-1}}{q_{k}+q_{k-1}}}<{\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}<{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}<{\frac {p_{k}}{q_{k}}}.$ لذلك، فإن الفترة ( k + 1) هي $\left({\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}},{\frac {p_{k+1}+p_{k}}{p_{k+1}+q_{k}}}\right)\!.$ هذه هي الفترة الزمنية المطلوبة؛ ${\frac {p_{k+1}}{q_{k+1}}}$ تمثل النقطة الطرفية اليسرى لأن k + 1 عدد زوجي. بالتالي، فإن فرضية الاستقراء صحيحة للفترة ( k + 1). أما بالنسبة لـ k الزوجي ، فالبرهان مماثل. وبهذا يكتمل برهان الاستقراء. بما أن النهايات اليمنى للفترات تتناقص، وكل نهاية أخرى تكون ${\frac {p_{2n-1}}{q_{2n-1}}},$ حدّهم يساوي $\lim _{n\to \infty }{\frac {p_{n}}{q_{n}}}.$ تتمتع نقاط النهاية اليسرى بنفس الحد لأنها متزايدة، بينما كل نقطة نهاية أخرى ${\frac {p_{2n}}{q_{2n}}}.$ كما ذكرنا أعلاه، فإن هذه النهاية هي الكسر المستمر $[0;2,2,\dots ],$ وهو ما يساوي ${\sqrt {2}}-1.$ ^{[ 18 ]}

برهان كانتور على عدم العد عام 1879

كثيف في كل مكان

في عام 1879، نشر كانتور برهانًا جديدًا على عدم العد، والذي عدّل برهانه الذي قدمه عام 1874. وقد عرّف أولًا المفهوم الطوبولوجي لمجموعة النقاط P بأنها " كثيفة في كل مكان في فترة": ^{[ E ]}

إذا كانت النقطة P تقع جزئيًا أو كليًا في الفترة [α, β]، فإنه من الممكن أن تحدث حالة استثنائية، وهي أن كل فترة [γ, δ] محتواة في [α, β]، مهما صغر حجمها، تحتوي على نقاط من P. في هذه الحالة، نقول إن P كثيفة في كل مكان في الفترة [α, β]. ^{[ F ]}

في هذا النقاش حول برهان كانتور: تُستخدم a و b و c و d بدلاً من α و β و γ و δ. كما أن كانتور لا يستخدم ترميز الفترات إلا إذا كانت نقطة البداية أصغر من نقطة النهاية. في هذا السياق، يعني هذا أن ( a , b ) يستلزم a < b .

بما أن مناقشة برهان كانتور عام 1874 قد بُسّطت باستخدام فترات مفتوحة بدلاً من فترات مغلقة، فإن التبسيط نفسه يُستخدم هنا. وهذا يتطلب تعريفًا مكافئًا للكثافة في كل مكان: تكون المجموعة P كثيفة في كل مكان في الفترة [ a , b ] إذا وفقط إذا كانت كل فترة جزئية مفتوحة ( c , d ) من [ a , b ] تحتوي ^على نقطة واحدة على الأقل من P. [ ¹⁹^]

لم يحدد كانتور عدد النقاط التي يجب أن تحتويها فترة جزئية مفتوحة ( c , d ) من P. لم يكن بحاجة إلى تحديد ذلك لأن افتراض أن كل فترة جزئية مفتوحة تحتوي على نقطة واحدة على الأقل من P يعني أن كل فترة جزئية مفتوحة تحتوي على عدد لا نهائي من ^نقاط P. [ ^G^]

برهان كانتور لعام 1879

عدّل كانتور برهانه الذي قدمه عام ١٨٧٤ بإضافة برهان جديد لنظريته الثانية : لأي متتالية P من الأعداد الحقيقية x₁ _,x₂ _,x₃ _, ... وأي فترة [ a , b ]، يوجد عدد في [ a , b ] غير موجود في P. يتضمن برهان كانتور الجديد حالتين فقط. أولاً، يتناول حالة عدم كثافة P في الفترة، ثم يتناول الحالة الأكثر تعقيداً وهي كثافة P في الفترة. لا يُشير هذا التقسيم إلى الحالات إلى أي المتتاليات أصعب في التعامل فحسب، بل يكشف أيضاً عن الدور المهم الذي تلعبه الكثافة في البرهان. ^[^{البرهان ١}^]

في الحالة الأولى، لا تكون P كثيفة في الفترة [ a , b ]. بحسب التعريف، تكون P كثيفة في الفترة [ a , b ] إذا وفقط إذا كان لكل فترة جزئية ( c , d ) من [ a , b ]، يوجد عدد x ∈ P بحيث يكون x ∈ ( c , d ) . بأخذ نفي طرفي عبارة "إذا وفقط إذا" نحصل على: لا تكون P كثيفة في الفترة [ a , b ] إذا وفقط إذا وُجدت فترة جزئية ( c , d ) من [ a , b ] بحيث يكون لكل x ∈ P : x ∉ ( c , d ) . بالتالي، لا يحتوي المتتالية P على أي عدد في ( c , d ) . ^[^{البرهان 1}^] تعالج هذه الحالة الحالتين 1 و 3 من برهان كانتور عام 1874.

في الحالة الثانية، التي تتناول الحالة الثانية من برهان كانتور عام ١٨٧٤، تكون المتتالية P كثيفة في الفترة [ a , b ]. تُستخدم كثافة المتتالية P لتعريف متتالية من الفترات المتداخلة بشكل متكرر ، بحيث تستبعد جميع الأعداد في P، ويحتوي تقاطعها على عدد حقيقي واحد في الفترة [ a , b ]. تبدأ متتالية الفترات بالفترة ( a , b ). عند إعطاء فترة في المتتالية، تُحدد الفترة التالية بإيجاد العددين ذوي أصغر مؤشرين ينتميان إلى P وإلى الفترة الحالية. هذان العددان هما طرفا الفترة المفتوحة التالية. بما أن الفترة المفتوحة تستبعد طرفيها، فإن كل فترة متداخلة تستبعد عددين من بداية المتتالية P ، مما يعني أن تقاطع الفترات المتداخلة يستبعد جميع الأعداد في P. ^[^{البرهان ١}^] ترد أدناه تفاصيل هذا البرهان، بالإضافة إلى برهان على أن هذا التقاطع يحتوي على عدد حقيقي واحد في الفترة [ a , b ] .

تعريفات وبراهين للفترات المتداخلة
تُستخدم كثافة المتتالية P لتعريف متتالية متداخلة من الفترات بشكل تكراري، بحيث تستثني جميع الأعداد في P. تبدأ الحالة الأساسية بالفترة ( a , b ). بما أن P كثيفة في [ a , b ]، فإن هناك عددًا لا نهائيًا من أعداد P في ( a , b ). لنفترض أن x _<sub>k1_{_</sub>} هو العدد ذو أصغر فهرس، و x _<sub>k2_{_</sub>} هو العدد ذو الفهرس الأكبر التالي، وa<sub>1</sub> هو العدد الأصغر، وb<sub> 1 _</sub>هو العدد الأكبر من هذين العددين. عندئذٍ، k _<sub>1 </sub> < k<sub> ₂ </sub> ، وa < a <sub> ₁ </sub> < b <sub> _1</sub> < b_، و( a <sub> ₁ </sub> , b <sub> ₁ </sub> ) هي فترة جزئية فعلية من ( a , b ). كذلك، x _<sub>m </sub> ∉ ( a _<sub>1</sub> , b<sub> _1</sub> ) لـ m ≤ k<sub> ₂ </sub>، لأن هذه _القيم x <sub>m</sub> هي نهايات الفترة ( a _<sub>1</sub> , b _<sub>1</sub> ). بتكرار ^{البرهان}^أعلاه^مع الفترة ( a1 , b1 ₎_، نحصل _علىk3 _،k4 ، _a2، b2 بحيث يكون k1 < _k2 < k3 < _k4 و a < a1 < _a2 < b2 < _b1 < b و _xm∉ ( a2 , _b2₎لـ _m ≤ k4 . _[_{البرهان}₁ ] تبدأ الخطوة التكرارية بالفترة ( a _{<sub>n -1</sub>} , b _{<sub>n -1} </sub> ) ، والمتباينات k _<sub>₁ </sub> < k _{<sub>2 </sub> < ... <}k _<sub>2n_{-2 </sub>} < k _<sub>_2n-₁ </sub> و a < a _{<sub>1 </sub> < ... <}a _{<sub>n -1} </sub> < b <sub> _{n- 1} </sub> < ... < b _<sub>1 </sub> < b ، وحقيقة أن الفترة ( a <sub> _{n -1</sub>} , b _{<sub>n- 1</sub>} ) تستثني أول 2 <sup>n -2</sup> عنصر من عناصر المتتالية P ، أي x<sub> m _</sub> ∉ ( a _<sub>n_-1 </sub> , b _<sub>n_-1</sub> ) لـ m ≤ k _<sub>2n_-_2</sub> . بما أن P كثيفة في [ a , b ]، فهناك عدد لا نهائي من عناصر P في ( a <sub> _n_-1</sub> , b _<sub>n-₁ </sub>) . ليكن x _{_<sub>}_k2n_{_-}_{_1</sub>}_{_هو} العنصر ذو أصغر فهرس، و x _<sub>k2n_{_</sub>} هو العنصر ذو الفهرس الأكبر التالي، وليكن a _<sub>n </sub> هو العنصر الأصغر، و b _<sub>n</sub> هو العنصر الأكبر من هذين العنصرين. إذن _،k₂n⁻¹ < k₂n _، و _aₙ⁻¹< aₙ < _bₙ < bₙ⁻¹ ، و ₍aₙ _, bₙ ₎ هي فترة جزئية فعلية من ₍aₙ⁻¹ , bₙ⁻¹ ₎_._بدمج_هذه_{المتباينات}_مع متباينات الخطوة _n⁻¹من الاستدعاء الذاتي _،_نحصل_على_k₁ < _k₂_< ... < k₂n⁻¹ < _k₂ _n و a < a ₁ < . . . <_an < b n _. . . < b ₁ < b . كذلك،x m _∉ ( an _, b _n ) لـm =k₂_n_–1وm=k₂_n لأن هاتين النقطتينxm_هما طرفا الفترة (an_, b_n ). هذا بالإضافة إلى أن( an _–1_,b _n_–1 )يستثني أول 2n–2 عنصرًا من المتتاليةP،ممايعني أن الفترة (an_, b_n ) تستثني أول 2nعنصرًا من P —أيأن x _m ∉ ( an , b _n )لـm≤k₂_n . لذلك ،لجميع_قيم n، x _n ∉ ( an , b _n₎ لأنn≤k₂_n .^[^{البرهان} 1^] المتتالية a _<sub>n</sub> متزايدة ومحدودة من الأعلى بالعدد b ، لذا فإن النهاية A = lim<sub> _{n → ∞ </sub>}a<sub>n _</sub> موجودة. وبالمثل، فإن النهاية B = lim<sub> _n_→_∞</sub> b<sub> _n</sub> موجودة لأن المتتالية b _<sub>n </sub> متناقصة ومحدودة من الأسفل بالعدد a . أيضًا، a _<sub>n </sub> < b <sub> _n</sub> يستلزم A ≤ B. إذا كان A < B ، فإنه لكل n : x _<sub>n </sub> ∉ ( A , B ) لأن x _<sub>n</sub> ليس في الفترة الأكبر ( a _<sub>n </sub> , b<sub> _n</sub> ). هذا يناقض كون P كثيفة في [ a , b ]. ومن ثم، A = B. لكل n ، A ∈ ( a _<sub>n </sub> , b<sub> _n</sub> ) ولكن x _<sub>n </sub> ∉ ( a _<sub>n </sub> , b <sub> n _</sub> ) . لذلك، A عدد في [ a , b ] غير موجود في P. ^[^{البرهان 1}^]

تطور أفكار كانتور

يظهر التطور الذي أدى إلى مقالة كانتور عام 1874 في المراسلات بين كانتور وريتشارد ديديكيند . ففي 29 نوفمبر 1873، سأل كانتور ديديكيند عما إذا كان من الممكن ربط مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ومجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة بحيث يقابل كل عنصر في إحدى المجموعتين عنصرًا واحدًا فقط في الأخرى؟ وأضاف كانتور أن المجموعات التي تتمتع بهذا الربط تشمل مجموعة الأعداد النسبية الموجبة، والمجموعات التي تأخذ الشكل ( a _{n ₁ , n ₂ , . . . , n _ν} ) حيث n ₁ , n ₂ , . . . , n _ν , و ν أعداد صحيحة موجبة. ^{[ 20 ]}

أجاب ديديكيند بأنه غير قادر على الإجابة على سؤال كانتور، وقال إنه "لا يستحق بذل جهد كبير لأنه لا يحمل أهمية عملية خاصة". كما أرسل ديديكيند إلى كانتور برهانًا على أن مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد. ^{[ 21 ]}

في الثاني من ديسمبر، رد كانتور بأن سؤاله مثير للاهتمام: "سيكون من الجيد لو أمكن الإجابة عليه؛ على سبيل المثال، إذا أمكن الإجابة عليه بالنفي ، فسيكون لدينا برهان جديد لنظرية ليوفيل التي تنص على وجود أعداد متسامية." ^{[ 22 ]}

في السابع من ديسمبر، أرسل كانتور إلى ديديكيند برهانًا بالتناقض على أن مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. يبدأ كانتور بافتراض أن الأعداد الحقيقية في $[0,1]$ يمكن كتابة ذلك على شكل متتالية. ثم يطبق بناءً على هذه المتتالية لإنتاج عدد في $[0,1]$ وهذا ليس ضمن التسلسل، مما يناقض فرضيته. ^{[ 23 ]} تُقدّم رسالتا 2 و7 ديسمبر معًا برهانًا غير بنائي على وجود الأعداد المتسامية. ^{[ 24 ]} كما يُظهر البرهان الوارد في رسالة كانتور بتاريخ 7 ديسمبر بعضًا من الاستدلال الذي قاده إلى اكتشاف أن الأعداد الحقيقية تُشكّل مجموعة غير قابلة للعد. ^{[ 25 ]}

نسخة كانتور التجريبية بتاريخ 7 ديسمبر 1873
البرهان قائم على التناقض ويبدأ بافتراض أن الأعداد الحقيقية في $[0,1]$ يمكن كتابتها كسلسلة: $(\mathrm {I} )\;\;\omega _{1},\,\omega _{2},\,\omega _{3},\,\ldots ,\,\omega _{n},\,\ldots$ يتم استخراج متتالية متزايدة من هذه المتتالية عن طريق وضع $\omega _{1}^{1}=$ الفصل الدراسي الأول $,\ \omega _{1}^{2}=$ المصطلح الأكبر التالي $\omega _{1}^{1},\ \omega _{1}^{3}=$ المصطلح الأكبر التالي $\omega _{1}^{2},$ وهكذا دواليك. يُطبَّق الإجراء نفسه على العناصر المتبقية من المتتالية الأصلية لاستخراج متتالية متزايدة أخرى. بمواصلة عملية استخراج المتتاليات هذه، يتبين أن المتتالية $(\mathrm {I} )$ يمكن تحليلها إلى عدد لا نهائي من المتتاليات: ^{[ 23 ]} $(1)\;\;\omega _{1}^{1},\,\omega _{1}^{2},\,\omega _{1}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{1}^{n},\,\ldots$ $(2)\;\;\omega _{2}^{1},\,\omega _{2}^{2},\,\omega _{2}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{2}^{n},\,\ldots$ $(3)\;\;\omega _{3}^{1},\,\omega _{3}^{2},\,\omega _{3}^{3},\,\ldots ,\,\omega _{3}^{n},\,\ldots$ $\ \ \vdots$ يترك $[p,q]$ ليكن فاصلاً لا يقع فيه أي حد من حدود المتتالية (1). على سبيل المثال، ليكن $p$ و $q$ مُرضٍ $\omega _{1}^{1}<p<q<\omega _{1}^{2}.$ ثم $\omega _{1}^{1}<p<q<\omega _{1}^{n}$ ل $n\geq 2,$ لذا لا يوجد حد من حدود المتتالية (1) في $[p,q].$ ^{[ 23 ]} والآن، لننظر فيما إذا كانت حدود المتتابعات الأخرى تقع خارج $[p,q].$ قد تقع جميع حدود بعض هذه المتتاليات خارج نطاق $[p,q];$ ومع ذلك، يجب أن يكون هناك تسلسل ما بحيث لا تقع جميع حدوده خارجه $[p,q].$ وإلا، فإن الأرقام في $[p,q]$ لن يتم تضمينها في التسلسل $(\mathrm {I} ),$ خلافًا للفرضية الأولية. لنفترض أن التسلسل $(k)$ ليكن أول تسلسل يحتوي على حد في $[p,q]$ ودع $\omega _{k}^{n}$ ليكن الحد الأول. بما أن $p<\omega _{k}^{n}<q,$ يترك $p_{1}$ و $q_{1}$ مُرضٍ $p<p_{1}<q_{1}<\omega _{k}^{n}<q.$ ثم $[p,q]$ هي مجموعة شاملة مناسبة لـ $[p_{1},q_{1}]$ (بالرموز، $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]$ ). كذلك، حدود المتتابعات $(1),(2),\ldots ,(k-1)$ تقع خارج $[p_{1},q_{1}].$ ^{[ 23 ]} كرر الحجة السابقة بدءًا من $[p_{1},q_{1}]\!:\,$ لنفترض تسلسلًا $(k_{1})$ ليكن أول تسلسل يحتوي على حد في $[p_{1},q_{1}]$ ودع $\omega _{k_{1}}^{n}$ ليكن الحد الأول. بما أن $\ p_{1}<\omega _{k_{1}}^{n}<q_{1},$ يترك $p_{2}$ و $q_{2}$ مُرضٍ $p_{1}<p_{2}<q_{2}<\omega _{k_{1}}^{n}<q_{1}.$ ثم $[p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]$ وحدود المتتابعات $(k_{1}),\ldots ,(k_{2}-1)$ تقع خارج $[p_{2},q_{2}].$ ^{[ 23 ]} يتضح أنه من الممكن تكوين سلسلة لانهائية من الفترات المتداخلة $[p,q]\supsetneq [p_{1},q_{1}]\supsetneq [p_{2},q_{2}]\supsetneq \ldots$ بحيث: أعضاء $1^{\text{st}},2^{\text{nd}},\ldots ,(k-1)^{\text{st}}$ يقع التسلسل خارج $[p,q];$ أعضاء $k^{\text{th}},\ldots ,(k_{1}-1)^{\text{st}}$ يقع التسلسل خارج $[p_{1},q_{1}];$ أعضاء $(k_{1})^{\text{th}},\ldots ,(k_{2}-1)^{\text{st}}$ يقع التسلسل خارج $[p_{2},q_{2}];$ ${\displaystyle \ldots$ ^{[ 23 ]} منذ $p_{n}$ و $q_{n}$ هي متتابعات رتيبة محدودة ، ونهاياتها $\lim _{n\to \infty }p_{n}$ و $\lim _{n\to \infty }q_{n}$ موجود. أيضاً، $p_{n}<q_{n}$ للجميع $n$ يشير إلى $\lim _{n\to \infty }p_{n}\leq \lim _{n\to \infty }q_{n}.$ وبالتالي، يوجد رقم واحد على الأقل $\eta$ في $(0,1)$ ذلك يقع في جميع الفترات $[p,q]$ و $[p_{n},q_{n}].$ أي، $\eta$ يمكن أن يكون أي رقم في $[\lim _{n\to \infty }p_{n},\lim _{n\to \infty }q_{n}].$ وهذا يعني أن $\eta$ يقع خارج جميع التسلسلات $(1),(2),(3),\ldots ,$ مما يناقض الفرضية الأولية القائلة بأن التسلسل $(\mathrm {I} )$ يحتوي على جميع الأعداد الحقيقية في $[0,1].$ لذلك، فإن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. ^{[ 23 ]}

تلقى ديديكيند برهان كانتور في 8 ديسمبر. وفي اليوم نفسه، قام ديديكيند بتبسيط البرهان وأرسله بالبريد إلى كانتور. استخدم كانتور برهان ديديكيند في مقاله. ^{[ 26 ]} لم تُنشر الرسالة التي تحتوي على برهان كانتور المؤرخ في 7 ديسمبر حتى عام 1937. ^{[ 27 ]}

في التاسع من ديسمبر، أعلن كانتور عن النظرية التي سمحت له بإنشاء الأعداد المتسامية بالإضافة إلى إثبات عدم قابلية مجموعة الأعداد الحقيقية للعد:

أوضح بشكل مباشر أنه إذا بدأت بتسلسل
(1) ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n , ...
يمكنني تحديد عدد η في كل فترة معينة [ α , β ] لا يندرج ضمن (1). ^[²⁸^]

هذه هي النظرية الثانية في مقال كانتور. وهي نابعة من إدراك أن بناءه يُمكن تطبيقه على أي متتالية، وليس فقط على المتتاليات التي يُفترض أنها تُحصي الأعداد الحقيقية. لذا، كان أمام كانتور خياران لإثبات وجود الأعداد المتسامية: أحدهما بناء، والآخر ليس كذلك. يُمكن مقارنة هذين البرهانين بالبدء بمتتالية تتكون من جميع الأعداد الجبرية الحقيقية.

يطبق البرهان البنائي بناء كانتور على هذه المتتالية والفترة [ أ ، ب ] لإنتاج عدد متسامٍ في هذه الفترة. ^[⁶^]

يستخدم البرهان غير البنّاء برهانين قائمين على التناقض:

البرهان بالتناقض المستخدم لإثبات نظرية عدم العد (انظر برهان نظرية عدم العد لكانتور ).
البرهان بالتناقض المستخدم لإثبات وجود الأعداد المتسامية انطلاقًا من قابلية عد الأعداد الجبرية الحقيقية وعدم قابلية عد الأعداد الحقيقية. تشير رسالة كانتور المؤرخة في 2 ديسمبر إلى هذا البرهان، لكنها لا تتضمنه. إليكم البرهان: لنفترض عدم وجود أعداد متسامية في الفترة [ a , b ]. عندئذٍ، جميع الأعداد في الفترة [ a , b ] جبرية. وهذا يعني أنها تُشكّل متتالية جزئية من متتالية جميع الأعداد الجبرية الحقيقية، وهو ما يُناقض نظرية كانتور لعدم قابلية العد. وبالتالي، فإن افتراض عدم وجود أعداد متسامية في الفترة [ a , b ] خاطئ. لذلك، يوجد عدد متسامٍ في الفترة [ a , b ]. ^[^H^]

اختار كانتور نشر البرهان البنّاء، الذي لا يُنتج عددًا متساميًا فحسب، بل هو أيضًا أقصر ويتجنب برهانين بالتناقض. البرهان غير البنّاء من تناظر كانتور أبسط من البرهان السابق لأنه يعمل مع جميع الأعداد الحقيقية بدلًا من الفترة [ أ ، ب ]. هذا يُلغي خطوة المتتالية الجزئية وجميع حالات [ أ ، ب ] في البرهان الثاني بالتناقض. ^[⁶^]

مفهوم خاطئ حول عمل كانتور

ذكر أكيهيرو كاناموري ، المتخصص في نظرية المجموعات، أن "معظم الروايات التي تناولت أعمال كانتور قد عكست ترتيب استنتاج وجود الأعداد المتسامية، حيث أثبتت أولاً عدم قابلية الأعداد الحقيقية للعد، ثم استنتجت وجودها من قابلية الأعداد الجبرية للعد. قد يكون هذا الانعكاس حتميًا في الكتب الدراسية، لكنه عزز الاعتقاد الخاطئ بأن حجج كانتور غير بنائية." ^{[ 30 ]}

يستخدم كلٌّ من برهان كانتور المنشور وبرهان الترتيب العكسي النظرية التالية: إذا أُعطيت متتالية من الأعداد الحقيقية، فإنه يمكن إيجاد عدد حقيقي غير موجود في المتتالية. بتطبيق هذه النظرية على متتالية الأعداد الجبرية الحقيقية، أنتج كانتور عددًا متساميًا. ثم أثبت أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد: لنفترض وجود متتالية تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية. بتطبيق النظرية على هذه المتتالية، نحصل على عدد حقيقي غير موجود فيها، مما يناقض الافتراض بأن المتتالية تحتوي على جميع الأعداد الحقيقية. ومن ثم، فإن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. ^{[ 6 ]} يبدأ برهان الترتيب العكسي بإثبات أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد أولًا. ثم يثبت وجود الأعداد المتسامية: لو لم تكن هناك أعداد متسامية، لكانت جميع الأعداد الحقيقية جبرية، وبالتالي قابلة للعد، وهو ما يناقض ما تم إثباته للتو. هذا التناقض يثبت وجود الأعداد المتسامية دون الحاجة إلى بنائها. ^{[ 30 ]}

نُشرت المراسلات التي تتضمن استدلال كانتور غير البنّاء عام ١٩٣٧. وبحلول ذلك الوقت، كان علماء رياضيات آخرون قد أعادوا اكتشاف برهانه غير البنّاء ذي الترتيب العكسي. وفي وقت مبكر من عام ١٩٢١، سُمّي هذا البرهان "برهان كانتور" وتعرّض لانتقادات لعدم إنتاجه أي أعداد متسامية. ^{[ ٣١ ]} في ذلك العام، قدّم أوسكار بيرون برهان الترتيب العكسي، ثم صرّح قائلًا: "... إن برهان كانتور على وجود الأعداد المتسامية، إلى جانب بساطته وأناقته، يعيبه عيب كبير، وهو أنه مجرد برهان على الوجود؛ فهو لا يمكّننا من تحديد أي عدد متسامٍ على الإطلاق." ^{[ ٣٢ ]}^{[ ١ ]}

منذ عام 1930، حاول بعض علماء الرياضيات تصحيح هذا المفهوم الخاطئ عن عمل كانتور. في ذلك العام، صرّح عالم نظرية المجموعات أبراهام فرانكل بأن طريقة كانتور هي "... طريقة، على عكس التفسير الشائع، بنائية في جوهرها وليست وجودية فحسب." ^{[ 33 ]} وفي عام 1972، كتب إيرفينغ كابلانسكي : "كثيرًا ما يُقال إن برهان كانتور ليس "بنائيًا"، وبالتالي لا يُنتج عددًا متساميًا ملموسًا. هذه الملاحظة غير مُبررة. إذا وضعنا قائمة مُحددة لجميع الأعداد الجبرية... ثم طبقنا الإجراء القطري ...، فسنحصل على عدد متسامٍ مُحدد تمامًا (يمكن حسابه لأي عدد من المنازل العشرية)." ^{[ 34 ]}^{[ J ]} إن برهان كانتور ليس بنائيًا فحسب، بل هو أيضًا أبسط من برهان بيرون، الذي يتطلب مسارًا جانبيًا يتمثل في إثبات أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. ^{[ 35 ]}

كثيراً ما استُبدلت طريقة كانتور القطرية بطريقة عام 1874 في شرح برهانه. تُعدّ الطريقة القطرية طريقةً بنائيةً، وتُنتج برنامج حاسوب أكثر كفاءةً من طريقة عام 1874. وباستخدامها، كُتب برنامج حاسوبي يحسب أرقام عدد متسامٍ في زمن متعدد الحدود . أما البرنامج الذي يستخدم طريقة كانتور لعام 1874، فيتطلب زمناً أقل من الأسي على الأقل . ^{[ 36 ]}^{[ K ]}

يظهر عرض البرهان غير البنّاء دون ذكر برهان كانتور البنّاء في بعض الكتب التي حققت نجاحًا كبيرًا وفقًا لطول الفترة الزمنية التي ظهرت فيها الطبعات الجديدة أو إعادة الطبع - على سبيل المثال: كتاب أوسكار بيرون Irrationalzahlen (1921؛ 1960، الطبعة الرابعة)، وكتاب إريك تمبل بيل Men of Mathematics (1937؛ لا يزال يُعاد طبعه)، وكتاب جودفري هاردي وإي إم رايت An Introduction to the Theory of Numbers (1938؛ 2008 الطبعة السادسة)، وكتاب جاريت بيركوف وساوندرز ماك لين A Survey of Modern Algebra (1941؛ 1997 الطبعة الخامسة)، وكتاب مايكل سبيفاك Calculus (1967؛ 2008 الطبعة الرابعة). ^{[ 37 ]}^{[ L ]} منذ عام 2014، ظهر كتابان على الأقل ينصان على أن برهان كانتور بناء، ^{[ 38 ]} وظهرت أربعة كتب على الأقل تنص على أن برهانه لا يبني أي (أو أي) من المتعاليات. ^{[ 39 ]}

إنّ الادعاء بأنّ كانتور قدّم حجّة غير بنّاءة دون ذكر البرهان البنّاء الذي نشره قد يؤدي إلى استنتاجات خاطئة حول تاريخ الرياضيات . في كتاب "مسح للجبر الحديث"، يذكر بيركوف وماك لين: "رُفضت حجّة كانتور لهذه النتيجة [ليس كل عدد حقيقي جبري] في البداية من قِبل العديد من علماء الرياضيات، لأنّها لم تُظهر أيّ عدد متسامٍ محدّد." ^{[ 40 ]} يُنتج البرهان الذي نشره كانتور أعدادًا متسامية، ولا يبدو أنّ هناك أيّ دليل على رفض حجّته. حتى ليوبولد كرونكر ، الذي كانت لديه آراء صارمة حول ما هو مقبول في الرياضيات والذي كان بإمكانه تأخير نشر مقال كانتور، لم يُؤخّره. ^{[ 5 ]} في الواقع، يُنتج تطبيق بناء كانتور على متتالية الأعداد الجبرية الحقيقية عمليةً نهائيةً قبلها كرونكر، وهي تحديد عددٍ بأيّ درجةٍ مطلوبةٍ من الدقة. ^{[ M ]}

تأثير فايرشتراس وكرونيكر على مقال كانتور

اكتشف مؤرخو الرياضيات الحقائق التالية حول مقالة كانتور "حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية":

تم حذف نظرية عدم العد لكانتور من المقالة التي قدمها. وقد أضافها أثناء التدقيق اللغوي . ^{[ 44 ]}
يشير عنوان المقالة إلى مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية. وكان الموضوع الرئيسي في مراسلات كانتور هو مجموعة الأعداد الحقيقية. ^{[ 45 ]}
جاء برهان نظرية كانتور الثانية من ديديكيند. ومع ذلك، فإنه يغفل شرح ديديكيند لسبب وجود النهايتين a _∞ و b _∞ . ^{[ 46 ]}
حصر كانتور نظريته الأولى في مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية. ويُظهر البرهان الذي استخدمه قابلية عدّ جميع الأعداد الجبرية. ^{[ 21 ]}

لتفسير هذه الحقائق، أشار المؤرخون إلى تأثير أستاذي كانتور السابقين، كارل فايرشتراس وليوبولد كرونكر. ناقش كانتور نتائجه مع فايرشتراس في 23 ديسمبر 1873. ^{[ 47 ]} انبهر فايرشتراس في البداية بمفهوم العدّ، ثم وجد أن عدّ مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية مفيد. ^{[ 48 ]} لم يكن كانتور يرغب في النشر بعد، لكن فايرشتراس شعر أنه يجب عليه نشر نتائجه المتعلقة بالأعداد الجبرية على الأقل. ^{[ 47 ]}

من مراسلاته، يبدو أن كانتور لم يناقش مقالته إلا مع فايرشتراس. مع ذلك، أخبر كانتور ديديكيند: "إن التقييد الذي فرضته على النسخة المنشورة من تحقيقاتي يعود جزئيًا إلى ظروف محلية..." ^{[ 47 ].} يعتقد جوزيف دوبن، كاتب سيرة كانتور، أن "الظروف المحلية" تشير إلى كرونيكر، الذي كان، بصفته عضوًا في هيئة تحرير مجلة كريل ، قد أخّر نشر مقالة لإدوارد هاين ، أحد زملاء كانتور، نُشرت عام 1870. وكان كانتور سيقدم مقالته إلى مجلة كريل . ^{[ 49 ]}

نصح فايرشتراس كانتور بحذف نظرية عدم العد من المقالة التي قدمها، لكنه أخبره أيضًا أنه يستطيع إضافتها كملاحظة هامشية أثناء التدقيق اللغوي، وهو ما فعله. ^{[ 44 ]} تظهر هذه النظرية في ملاحظة في نهاية مقدمة المقالة . لعب كل من رأي كرونكر وفايرشتراس دورًا في هذا الأمر. لم يقبل كرونكر المجموعات اللانهائية، ويبدو أن فايرشتراس لم يقبل أن تكون مجموعتان لانهائيتان مختلفتين إلى هذا الحد، إحداهما قابلة للعد والأخرى غير قابلة للعد. ^{[ 50 ]} غيّر فايرشتراس رأيه لاحقًا. ^{[ 51 ]} وبدون نظرية عدم العد، احتاجت المقالة إلى عنوان لا يشير إلى هذه النظرية. اختار كانتور "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية")، والتي تشير إلى قابلية عد مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية، وهي النتيجة التي وجدها فايرشتراس مفيدة. ^{[ 52 ]}

يظهر تأثير كرونكر في برهان نظرية كانتور الثانية. استخدم كانتور نسخة ديديكيند من البرهان، باستثناء أنه أغفل سبب وجود النهايتين _a∞₌lim n → _∞_a_nو _b∞ = lim n → _∞_b_n. _كان ديديكيند قد استخدم "مبدأ الاستمرارية" لإثبات وجودهما. هذا المبدأ (المكافئ لخاصية الحد الأعلى الأدنى للأعداد الحقيقية) مستمد من بناء ديديكيند للأعداد الحقيقية، وهو بناء لم يقبله كرونكر. ^[⁵³^]

قصر كانتور نظريته الأولى على مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية، رغم أن ديديكيند كان قد أرسل إليه برهانًا يشمل جميع الأعداد الجبرية. ^{[ 21 ]} فعل كانتور ذلك لأسباب توضيحية ونظرًا لـ"ظروف محلية". ^{[ 54 ]} يُبسط هذا التقييد المقالة لأن النظرية الثانية تعمل مع المتتاليات الحقيقية. وبالتالي، يمكن تطبيق البناء الوارد في النظرية الثانية مباشرةً على تعداد الأعداد الجبرية الحقيقية لإنتاج "إجراء فعال لحساب الأعداد المتسامية". كان هذا الإجراء مقبولًا لدى فايرشتراس. ^{[ 55 ]}

مساهمات ديديكيند في مقال كانتور

منذ عام 1856، طوّر ديديكيند نظرياتٍ تتناول عددًا لا نهائيًا من المجموعات اللانهائية، على سبيل المثال: المُثُل ، التي استخدمها في نظرية الأعداد الجبرية ، وقواطع ديديكيند ، التي استخدمها لبناء الأعداد الحقيقية. وقد مكّنه هذا العمل من فهم عمل كانتور والمساهمة فيه. ^{[ 56 ]}

تتعلق مساهمة ديديكيند الأولى بنظرية أن مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية قابلة للعد. يُنسب الفضل عادةً إلى كانتور في هذه النظرية، لكن المؤرخ الرياضي خوسيه فيريروس يسميها "نظرية ديديكيند". تكشف مراسلاتهما عن مساهمة كل رياضي في هذه النظرية. ^{[ 57 ]}

في رسالته التي قدم فيها مفهوم قابلية العد، ذكر كانتور، دون برهان، أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد، وكذلك المجموعات التي تأخذ الشكل ( a _{_}_{n1 , n _2 , ..., n _ν} ) حيث n _1 , n _2 , ..., n _ν و ν أعداد صحيحة موجبة. ^[⁵⁸^] تستخدم نتيجة كانتور الثانية عائلة مفهرسة من الأعداد: مجموعة من الشكل ( a _{_{n1}}_,_n__{_2}_,_...,_n_{_ν} ) هي مدى دالة من مؤشرات ν إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. وتستلزم نتيجته الثانية نتيجته الأولى: ليكن ν = 2 و a _{_n1}_,_n2__₌ n 1 _ / n ₂ . يمكن أن تكون الدالة عامة جدًا - على سبيل المثال، a _n_₁_,_n_₂_,_n_₃_,_n_₄_,_n_₅ = ( ⁠ n ₁ / n ₂ ⁠ ) ^⁠¹^/ⁿ^₃^⁠ + tan ( ⁠ n ₄ / n ₅ ⁠ ).

ردّ ديديكيند ببرهانٍ لنظرية أن مجموعة جميع الأعداد الجبرية قابلة للعد. ^{[ 21 ]} في رده على ديديكيند، لم يدّعِ كانتور أنه أثبت نتيجة ديديكيند، ولكنه أوضح كيف أثبت نظريته حول عائلات الأعداد المفهرسة: "برهانك على أن ( ن ) [مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة] يمكن ربطها ارتباطًا واحدًا لواحد مع حقل جميع الأعداد الجبرية يُشابه تقريبًا الطريقة التي أثبت بها حجتي في الرسالة الأخيرة. أعتبر أن ن ₁² + ن ₂² + ... + ن _ν² = ${\mathfrak {N}}$ ورتب العناصر وفقًا لذلك." ^{[ 59 ]} ومع ذلك، فإن ترتيب كانتور أضعف من ترتيب ديديكيند ولا يمكن تعميمه على $n$ ^[⁶⁰^]

تتمثل مساهمة ديديكيند الثانية في برهانه لنظرية كانتور الثانية. أرسل ديديكيند هذا البرهان ردًا على رسالة كانتور التي تضمنت نظرية عدم العد، والتي برهنها كانتور باستخدام عدد لا نهائي من المتتاليات. ثم كتب كانتور أنه وجد برهانًا أبسط لا يستخدم عددًا لا نهائيًا من المتتاليات. ^{[ 61 ]} وهكذا، كان أمام كانتور خياران من البراهين، فاختار نشر برهان ديديكيند. ^{[ 62 ]}

شكر كانتور ديديكيند سرًا على مساعدته قائلًا: "... تعليقاتك (التي أُقدّرها كثيرًا) وأسلوبك في طرح بعض النقاط كانا عونًا كبيرًا لي." ^{[ 47 ]} مع ذلك، لم يذكر كانتور مساعدة ديديكيند في مقاله. في مقالات سابقة، أقرّ كانتور بالمساعدة التي تلقاها من كرونيكر، وويرستراس، وهاينه، وهيرمان شوارتز . أضرّ عدم ذكر كانتور لمساهمات ديديكيند بعلاقته به. توقف ديديكيند عن الرد على رسائله ولم يستأنف المراسلة إلا في أكتوبر 1876. ^{[ 63 ]}^{[ N ]}

إرث مقال كانتور

قدّمت مقالة كانتور نظرية عدم العدّ ومفهوم العدّ، وكلاهما أدى إلى تطورات هامة في الرياضيات. برهنت نظرية عدم العدّ على إمكانية استخدام التناظرات الأحادية لتحليل المجموعات اللانهائية. في عام ١٨٧٨، استخدم كانتور هذه التناظرات لتعريف ومقارنة أعداد العناصر. كما بنى تناظرات أحادية لإثبات أن الفضاءات ذات البعد n ^، Rⁿ (حيث R هي مجموعة الأعداد الحقيقية) ومجموعة الأعداد غير النسبية، لها نفس عدد عناصر Rⁿ . ^[^٦٤^]^[^O^]

في عام ١٨٨٣، وسّع كانتور نطاق الأعداد الصحيحة الموجبة ليشمل أعداده الترتيبية اللانهائية . وكان هذا التوسيع ضروريًا لعمله على نظرية كانتور-بنديكسون . اكتشف كانتور استخدامات أخرى للأعداد الترتيبية، فعلى سبيل المثال، استخدم مجموعات من الأعداد الترتيبية لإنتاج عدد لا نهائي من المجموعات ذات أعداد أصلية لانهائية مختلفة. ^{[ ٦٦ ]} وقد أسهم عمله على المجموعات اللانهائية، جنبًا إلى جنب مع عمل ديديكيند في نظرية المجموعات، في تأسيس نظرية المجموعات. ^{[ ٦٧ ]}

أدى مفهوم العدّ إلى ظهور عمليات وأشياء قابلة للعدّ تُستخدم في مجالات متنوعة من الرياضيات. فعلى سبيل المثال، في عام 1878، قدّم كانتور مفهوم الاتحادات القابلة للعدّ للمجموعات. ^{[ 68 ]} وفي تسعينيات القرن التاسع عشر، استخدم إميل بوريل الاتحادات القابلة للعدّ في نظريته عن القياس ، واستخدم رينيه باير الأعداد الترتيبية القابلة للعدّ لتعريف فئات الدوال لديه . ^{[ 69 ]} واستنادًا إلى أعمال بوريل وباير، وضع هنري لوبيغ نظرياته في القياس والتكامل ، والتي نُشرت بين عامي 1899 و1901 . ^{[ 70 ]}

تُستخدم النماذج القابلة للعد في نظرية المجموعات. في عام 1922، أثبت ثورالف سكوليم أنه إذا كانت بديهيات نظرية المجموعات التقليدية متسقة ، فإنها تمتلك نموذجًا قابلًا للعد. وبما أن هذا النموذج قابل للعد، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية الخاصة به قابلة للعد أيضًا. تُعرف هذه النتيجة بمفارقة سكوليم ، وقد أوضح سكوليم سبب عدم تعارضها مع نظرية كانتور لعدم قابلية العد: فعلى الرغم من وجود تناظر أحادي بين هذه المجموعة ومجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة، إلا أن هذا التناظر الأحادي ليس عنصرًا في النموذج. وبالتالي، يعتبر النموذج مجموعة الأعداد الحقيقية الخاصة به غير قابلة للعد، أو بتعبير أدق، فإن الجملة من الدرجة الأولى التي تنص على أن مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد صحيحة داخل النموذج. ^[⁷¹^] في عام 1963، استخدم بول كوهين النماذج القابلة للعد لإثبات نظريات الاستقلال الخاصة به . ^[⁷²^]

انظر أيضاً

نظرية كانتور

ملحوظات

↑ في رسالة إلى ديديكيند بتاريخ 25 ديسمبر 1873، يذكر كانتور أنه كتب وقدم "ورقة بحثية قصيرة" بعنوان " حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية " . ( نوثر وكافاييس 1937 ، ص 17؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 847).
↑ وهذا يستلزم بقية النظرية،أي أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد في الفترة [ أ ، ب ] غير موجودة في المتتالية المعطاة. على سبيل المثال، ليكن $[0,1]$ لتكن الفترة، ولننظر في فتراتها الجزئية $[0,{\tfrac {1}{2}}],$ $[{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],$ $[{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],$ $\ldots .$ بما أن هذه الفترات الجزئية منفصلة مثنى مثنى ، فإن تطبيق الجزء الأول من النظرية على كل فترة جزئية ينتج عنه عدد لا نهائي من الأعداد في $[0,1]$ التي لا تقع ضمن المتتالية المعطاة. بشكل عام، بالنسبة للفترة $[a,b],$ قم بتطبيق الجزء الأول من النظرية على الفترات الجزئية $[a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $\ldots .$
↑ لم يُثبت كانتور هذه اللمة. في حاشية للحالة الثانية، ذكر أن x _n لا يقع داخل الفترة [ a _n , b _n ].^[¹²^] هذا البرهان مستمد من برهانه عام 1879 ، والذي يتضمن برهانًا استقرائيًا أكثر تعقيدًا يُبين العديد من خصائص الفترات المُولدة، بما في ذلك الخاصية المُثبتة هنا.
↑ يكمن الاختلاف الرئيسي بين برهان كانتور والبرهان المذكور أعلاه في أنه يُولّد متتالية من الفترات المغلقة [ a _n , b _n ]. ولإيجاد a _n₊_1 و b _n₊_1 ، يستخدم كانتور الجزء الداخلي من الفترة [ a _n , b _n ]، وهو الفترة المفتوحة ( a _n , b _n ). يجمع توليد الفترات المفتوحة بين استخدام كانتور للفترات المغلقة وأجزاءها الداخلية، مما يسمح لمخططات الحالات بتصوير جميع تفاصيل البرهان.
لم يكن كانتور أول من عرّف مصطلح "كثيف في كل مكان"، ولكن تم اعتماد مصطلحه سواءً مع عبارة "في كل مكان" أو بدونها (كثيف في كل مكان: أرخانجيلسكي وفيدورتشوك 1990 ، ص 15؛ كثيف: كيلي 1991 ، ص 49). في عام 1870،عرّف هيرمان هانكل هذا المفهوم باستخدام مصطلحات مختلفة: "مجموعة من النقاط... تملأ القطعة المستقيمة إذا لم يكن بالإمكان تحديد أي فاصل، مهما كان صغيرًا، داخل القطعة لا توجد فيه نقطة واحدة على الأقل من تلك المجموعة" ( فيريروس 2007 ، ص 155). استند هانكل في تعريفه إلى مقالة بيتر غوستاف ليجون ديريشليه عام 1829، والتي تتضمن دالة ديريشليه ، وهي دالة غير قابلة للتكامل ( ريمان )قيمتها صفر للأعداد النسبية وواحد للأعداد غير النسبية . ( Ferreirós 2007 ، ص149.)
^ مترجم من كانتور 1879 ، ص. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α . . . β)، لذلك يمكن أن يكون der bemerkenswerthe Fall eintreten، dass jedes noch so kleine in (α . . . β) enthaltene Intervall (γ . . . δ) Punkte von P entält. In einem solchen Falle wollen wir sagen، dass P im Intervalle (α . . β ) überall-dicht sei.
↑ يُثبت ذلك بتوليد متتالية من النقاط التي تنتمي إلى كل من P و ( c , d ). بما أن P كثيفة في [ a , b ]، فإن الفترة الجزئية ( c , d ) تحتوي على نقطة واحدة على الأقل x1 من P. بافتراض أن الفترة الجزئية ( x1 _,d ) تحتوي على نقطة _واحدة على الأقل x2 من P _، و x2 >_x1_لأنx2 تنتمي إلى هذه الفترة _{الجزئية} . بشكل عام، بعد توليد_xn ، _{تُستخدم} الفترةالجزئية (xn_, d ) لتوليد نقطة xn ₊₁ تحقق xn ₊₁ > xn . تنتمي النقاط xn ، _وهي عدد لا نهائي من النقاط_، إلىكل من_Pو ( c , d ).
^ بداية هذا الإثبات مشتقة من الإثبات أدناه عن طريق تقييد أرقامه بالفاصل الزمني [ a ، b ] وباستخدام تسلسل فرعي حيث أن كانتور كان يستخدم التسلسلات في عمله عام 1873 حول قابلية العد. النص الألماني: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen. Gäbe ليس متجاوزًا لزحلة، لذا فهي جميع جبرية زحلة، كما أن الاستمرارية متطابقة أيضًا مع Menge aller جبرية زحلة. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller gebbraischen Zahlen abzählbar ist, das Continuum aber nicht. ^[²⁹^] الترجمة: النظرية 68. هناك أرقام متسامية. إذا لم تكن هناك أرقام متسامية، فستكون جميع الأرقام جبرية. وبالتالي، سيكون المتصل مطابقًا لمجموعة جميع الأعداد الجبرية. إلا أن هذا مستحيل لأن مجموعة جميع الأعداد الجبرية قابلة للعد، بينما المتصل غير قابل للعد.
↑ لا يقصد بيرون بعبارة "برهان كانتور" أنه برهانٌ نشره كانتور نفسه، بل يقصد أن البرهان يستخدم فقط الحجج التي نشرها كانتور. فعلى سبيل المثال، للحصول على عدد حقيقي لا ينتمي إلى متتالية معينة، يتبع بيرون برهان كانتور لعام 1874 مع تعديل واحد: إذ يستخدم حجة كانتور القطرية لعام 1891 بدلاً من حجة الفترات المتداخلة لعام 1874 للحصول على عدد حقيقي. لم يستخدم كانتور حجته القطرية قط لإعادة إثبات نظريته. في هذه الحالة، يُعد كل من برهان كانتور وبرهان بيرون بنائيين، فلا مجال لسوء الفهم هنا. ثم يُعدّل بيرون برهان كانتور على وجود عدد متسامٍ بتقديمه برهانًا بترتيب عكسي. هذا يُحوّل برهان كانتور البنائي لعام 1874 إلى برهان غير بنائي، مما يُؤدي إلى سوء الفهم حول عمل كانتور.
↑ هذا البرهان هو نفسه برهان كانتور لعام 1874 باستثناء تعديل واحد: فهو يستخدم حجته القطرية لعام 1891 بدلاً من حجته المتعلقة بالفترات المتداخلة لعام 1874 للحصول على عدد حقيقي.
↑ ينتج البرنامج الذي يستخدم الطريقة القطرية $n$ الأرقام في ${\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)$ خطوات، بينما يتطلب البرنامج الذي يستخدم طريقة 1874 على الأقل $O(2^{\sqrt[{3}]{n}})$ خطوات الإنتاج $n$ الأرقام. ( غراي 1994 ، ص 822-823.)
↑ بدءًا من كتاب هاردي ورايت، ترتبط هذه الكتب بكتاب بيرون من خلال قوائم مراجعها: يُذكر كتاب بيرون في قائمة مراجع كتاب هاردي ورايت، والذي بدوره يُذكر في قائمة مراجع كتاب بيركوف وماك لين، وفي قائمة مراجع كتاب سبيفاك. ( هاردي ورايت 1938 ، ص 400؛ بيركوف وماك لين 1941 ، ص 441؛ سبيفاك 1967 ، ص 515).
كان رأي كرونكر: "يجب أن تتضمن التعريفات وسائل للوصول إلى قرار في عدد محدود من الخطوات، ويجب إجراء براهين الوجود بحيث يمكن حساب الكمية المعنية بأي درجة مطلوبة من الدقة."^[⁴¹^] لذلك ، سيقبل كرونكر حجة كانتور كبرهان وجود صحيح، لكنه لن يقبل استنتاجها بوجود الأعداد المتسامية. فبالنسبة لكرونكر، هي غير موجودة لأن تعريفها لا يتضمن أي وسيلة لتحديد ما إذا كان عدد معين متساميًا أم لا في عدد محدود من الخطوات.^[⁴²^] يحسب بناء كانتور لعام 1874 الأعداد بأي درجة مطلوبة من الدقة لأنه: بمعلومية a k ،يمكن حساب an n بحيث يكون b _n– an ≤ 1/ k ، _حيث ( a n , b _ n ₎ هي الفترة النونية في بناء كانتور. يُعطى مثال على كيفية إثبات ذلك في غراي 1994 ، ص.822. توفر حجة كانتور القطرية دقة قدرها 10⁻ⁿ بعدحساب n من الأعداد الجبرية الحقيقية لأن كل عدد من هذه الأعداد يولد رقمًا واحدًا من العدد المتسامي. ^[⁴³^]
↑ قام فيريروس بتحليل العلاقات بين كانتور وديديكيند. ويشرح لماذا "كانت العلاقات بين كلا الرياضيين صعبة بعد عام 1874، عندما شهدت انقطاعًا ..." ( فيريروس 1993 ، ص 344، 348-352).
يمكن استخدام طريقة كانتور لإنشاء تناظر أحادي بين مجموعة الأعداد غير النسبية و R لإنشاء تناظر أحادي بين مجموعة الأعداد المتسامية و R. ^[⁶⁵ ]يبدأ الإنشاء بمجموعة الأعداد المتسامية T ^، ثم يُحذف منها مجموعة جزئية قابلة للعد { tₙ _{} (}على سبيل المثال، tₙ = e/ n ) . لنفترض أن هذه المجموعة هي T₀ _. عندئذٍ ، T ₌ T₀ ∪ { tₙ } =T₀_∪_{ t₂ₙ₋₁_}_∪ {t₂ₙ } _، و R = T ∪ {an_} =T₀ ∪ _{ tₙ } _∪ {an } _،_حيث an_هي متتاليةالأعداد الجبرية الحقيقية. بالتالي، فإن كلاً منT و R هما اتحاد ثلاث مجموعات منفصلةمثنى_مثنى : T₀ ومجموعتين _{قابلتين}_للعد .تطابق واحد لواحد بين T و R بواسطة الدالة: g ( t ) = t إذا كان t ∈ T ₀ ، g ( t ₂_n_{– 1} ) = t _n ، و g ( t ₂_n ) = a _n .

ملاحظة حول نسخة كانتور التجريبية لعام 1879

١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ بما أن برهان كانتور لم يُنشر باللغة الإنجليزية، فقد أُدرجت ترجمة إنجليزية إلى جانب النص الألماني الأصلي، المأخوذ من كتاب كانتور ١٨٧٩ ، الصفحات ٥-٧ . تبدأ الترجمة قبل البرهان بجملة واحدة لأن هذه الجملة تُشير إلى برهان كانتور لعام ١٨٧٤. يذكر كانتور أنه طُبع في مجلة بورخاردت. كانت مجلة كريل تُسمى أيضًا مجلة بورخاردت من عام ١٨٥٦ إلى عام ١٨٨٠ عندما كان كارل فيلهلم بورخاردت محررًا لها ( أودين ٢٠١١ ، صفحة ٨٠ ). استُخدمت الأقواس المربعة لتحديد هذه الإشارة إلى برهان كانتور السابق، ولتوضيح الترجمة، ولتحديد أرقام الصفحات. كما تُرجمت عبارة " Mannichfaltigkeit " (متعدد الشعب) إلى "مجموعة"، وتُرجمترموز كانتور للمجموعات المغلقة (α...β,β]. غيّر كانتور مصطلحاته من "Mannichfaltigkeit" إلى "Menge " (مجموعة) في مقالته عام 1883، والتي قدّم فيها مجموعات الأعداد الترتيبية ( كاناموري 2012 ، ص 5 ). وفي الرياضيات الحديثة، يُعدّ المتشعب نوعًا من الفضاء الطوبولوجي .

الترجمة الإنجليزية	نص ألماني
[الصفحة 5] ... لكن هذا يناقض نظرية عامة جدًا، أثبتناها بدقة تامة في مجلة بورشاردت، المجلد 77، الصفحة 260؛ وهي النظرية التالية: " إذا كان لدينا متتالية لانهائية قابلة للعد ω₁، ω₂، ... ، ων ، ... _من الأعداد _{الحقيقية} غير المتساوية التي تتبع قاعدة معينة، فإنه في كل فترة معينة [α، _β ] يمكن تحديد عدد η (وبالتالي عدد لا نهائي منها) لا يظهر في هذه المتتالية (كعنصر منها)." ونظرًا للأهمية الكبيرة لهذه النظرية، ليس فقط في هذا النقاش، بل أيضًا في العديد من العلاقات الحسابية والتحليلية الأخرى، فقد يكون من المفيد أن نطور الحجة المتبعة هناك [برهان كانتور عام 1874] بشكل أوضح هنا باستخدام تعديلات مبسطة. بدءًا من المتتالية: ω₁ _, ω₂ , _... , ω₽ _, ... (والتي نرمز لها بالرمز (ω)) وفترة اختيارية [α, β ]، حيث α < β ، سنُبين الآن أنه في هذه الفترة يُمكن إيجاد عدد حقيقي η لا يظهر في ( ω ) . أولًا، نلاحظ أنه إذا لم تكن مجموعتنا (ω) كثيفة في كل مكان في الفترة [α, β]، فلا بد من وجود فترة أخرى [γ, δ] ضمن هذه الفترة، ولا تنتمي أي من أعدادها إلى (ω). من الفترة [γ, δ]، يُمكن اختيار أي عدد لـ η. يقع هذا العدد في الفترة [α, β]، وبالتأكيد لا يظهر في متتاليتنا (ω). بالتالي، لا تتطلب هذه الحالة أي اعتبارات خاصة، ويمكننا الانتقال إلى الحالة الأكثر تعقيدًا . ثانيًا. لنفترض أن المجموعة (ω) كثيفة في كل مكان ضمن الفترة [α, β]. في هذه الحالة، تحتوي كل فترة [γ, δ] تقع ضمن [α, β]، مهما صغر حجمها، على أعداد من متتاليتنا (ω). ولإثبات أنه _معذلك، توجد أعداد η في الفترة [α, β ] لا تظهر في ( ω ) ، نستخدم الملاحظة التالية. بما أن بعض الأعداد في متتاليتنا: ω₁ _، ω₂ _، ... ، ω₽ ، ...	[الموقع 5] . . . Dem Widespricht aber ein sehr allgemeiner Satz، welchen wir in Borchardt's Journal، Bd. 77، صفحة. 260، مع كل القوة التي تمتلكها، نامليتش دير فولجيند ساتز: "Hat man eine einfach unendliche Reihe ω ₁ , ω ₂ , . . , ω _ν , . . . . von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle ( α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben، welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt." في Anbetracht des إجمالي الاهتمامات، كما هو الحال في هذا اليوم، لا توجد blos bei der gegenwärtigen Erörterung، نتعلم أيضًا في العديد من الأساليب الحسابية الأخرى، مثل تحليل الأعمال، knüpft، dürfte überflussig sein، wen we wer die dort befolgte Beweisführung [Cantors 1874 Beweis]، unter Anwendung vereinfachender Modificationen، hier deutlicher entwickeln. Unter Zugruundelegung der Reihe: ω ₁ , ω ₂ , . . . , ω _ν , . . . (welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α . . . β)، wo α < β ist، sollalso nun gezeigt werden، dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann، welche in (ω) nicht vorkommt. أنا . جيهورين. يمكن للمرء أن يعوض عن η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . . δ) wählen، sie liegt im Intervalle (α . . . β) und kommt sicher in unsrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; ويمكننا أن نساعدهم في تسلق الجبال . ثانيا. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α . . . β) überall-dicht . In diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α . . . β) gelegene Intervall (γ . . . δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen، dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α . . . β) موجود، ولم يتم القيام به في (ω)، stellen wir die folgende Betrachtung an. دا في unserer Reihe: ω ₁ , ω ₂ , . . . , ω _ν , . . .
[الصفحة 6] تقع هذه الأعداد بالتأكيد ضمن الفترة [α, β]، ويجب أن يكون لأحدها أصغر دليل، _{_ولنسمه} ωκ1 _،_{_والآخر} ωκ2 _ذو الدليل الأكبر التالي. لنرمز للعدد الأصغر ωκ1 _أو_{_ωκ2} بالرمز α'، وللعدد الأكبر بالرمز β _{_'} . (مستحيل تساويهما لأننا افترضنا أن متتاليتنا تتكون من أعداد غير متساوية فقط). إذن، وفقًا للتعريف: α < α' < β' < β، بالإضافة إلى: κ1 < κ2؛ _وجميع الأعداد ωμ في متتاليتنا ، التي تحقق μ ≤ κ2 ، لا تقع _داخل الفترة _[ α _' , β ' ] ، كما هو واضح من تعريف العددين _κ1_و κ2 _. وبالمثل، لنفترض أن ω _κ_₃ و ω _κ_₄ هما الرقمان في تسلسلنا مع أصغر المؤشرات التي تقع داخل الفاصل الزمني [α', β'] ودع الرقم الأصغر ω _κ_₃ , ω _κ_₄ يُشار إليه بـ α''، الأكبر بـ β''. ثم واحد لديه: α' < α'' < β'' < β' , κ ₂ < κ ₃ < κ ₄ ; ويرى المرء أن جميع الأرقام ω _μ من تسلسلنا، والتي μ ≥ κ ₄ ، لا تقع في الجزء الداخلي من الفاصل الزمني [α'', β'']. بعد اتباع هذه القاعدة للوصول إلى الفترة [α ^(ν-1) , β ^(ν-1) ] ، تُنتَج الفترة التالية باختيار أول عددين (أي ذوي أصغر مؤشرين) من متتاليتنا (ω) (لنفترض أنهما ωκ2ν _-_₁ و _ωκ2ν ) اللذين يقعان داخل الفترة [ α ^(ν-1) , β ^(ν-1) ] . لنرمز إلى العدد الأصغر بـ α ^(ν) ، وإلى العدد الأكبر بـ β ^(ν) . إذن _{_،} تقع الفترة [α ^(ν) , β ^(ν) ] في تقع جميع الفترات السابقة داخل هذه الفترة، ولها علاقة خاصة مع متتاليتنا (ω) مفادها أن جميع الأعداد ωμ _، التي تحقق μ ≤ κ _2ν ، لا تقع داخلها قطعًا . وبما أن: κ ₁ < κ ₂ < κ ₃ < ...، ωκ _2ν_{_{– 2}} < ωκ _2ν_{_{– 1}} < ωκ _2ν_{_،} ... وهذه الأعداد، كمؤشرات، أعداد صحيحة ، فإن: κ _2ν ≥ 2ν ، وبالتالي: ν < κ _2ν ؛ لذا، يمكننا القول بكل تأكيد (وهذا يكفي لما يلي): إذا كان ν عددًا صحيحًا كيفيًا ، فإن الكمية [الحقيقية] ων _تقع خارج الفترة [α ^(ν ) ... β ^(ν) ].	[الجزء 6] يتم تداول الفترات الداخلية للفواصل الزمنية (α . . . β)، لذلك يجب أن يكون هناك مؤشر زحلة ذو فهرس صغير ، حيث يكون ω _{κ ₁} وواحد آخر: ω _{κ ₂} mit dem nächst gösseren Index behaftet sein. Die kleinere der beiden Zahlen ω _{κ ₁} , ω _{κ ₂} werde mit α', die gössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.) Es ist alsdann der التعريف nach: α < α' < β' < β , Ferner: κ ₁ < κ ₂ ; و ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω _μ unserer Reihe, für welche μ ≥ κ ₂ , nicht im Innern des Intervalls (α' . . . β') liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ ₁ , κ ₂ sofort erhellt. Ganz ebenso mögen ω _κ_₃ , ω _κ_₄ die beiden mit den Kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [انظر الملاحظة 1 أدناه] sein، welche in das Innere des Intervalls (α' . . . β') سقطت وأصغر من Zahlen ω _κ_₃ , ω _κ_₄ werde mit α''، die gössere mit β'' bezeichnet. رجل قبعة السدان: α' < α'' < β'' < β' , κ ₂ < κ ₃ < κ ₄ ; ورجل erkennt، dass alle Zahlen ω _μ unserer Reihe، für welche μ ≥ κ ₄nicht in das Innere des Intervalls (α'' . . β'') سقط. بعد أن تم إنشاء فاصل زمني (α ^{(ν - 1)} , . . . β ^{(ν - 1))} ) تم تحديده، ergiebt sich das folgende Intervall dateurch aus demselben، dass man die beiden ersten (dh mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω _{κ _{2ν – 1}} und ω _{κ _2ν} )، welche in das Innere von (α ^{(ν – 1)} . . . β ^{(ν – 1))} ) سقطت؛ die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α ^(ν) , die gössere mit β ^(ν) bezeichnet. Das Intervall (α ^(ν) . . . β ^(ν)) ) liegt alsdann im Innern aller vorrangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ω _μ , für welche μ ≥ κ _2νsicher nicht in seinem Innern liegen. شريط العرض: κ ₁ < κ ₂ < κ ₃ < . . . , ω _κ_{_{2ν – 2}} < ω _κ_{_{2ν – 1}} < ω _κ_{_2ν} , . . . und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, so ist: κ _2ν ≥ 2ν , und daher: ν < κ _2ν ; يمكننا أن نوضح ذلك، ونقول أنه من أجل متابعة الأحداث، يجب أن نقول: Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ω _ν ausserhalb des Intervalls (α ^(ν) . . . β ^(ν)) ) liegt.
[الصفحة 7] بما أن الأعداد α'، α''، α'''، ...، α(ν)، ... تتزايد قيمتها باستمرار ^وتقع ضمن الفترة [α، β]، فإنها، وفقًا لنظرية أساسية معروفة في نظرية المقادير [انظر الملاحظة 2 أدناه]، لها نهاية نرمز لها بـ A، بحيث: A = Lim α ^(ν) عندما ν = ∞. وينطبق الأمر نفسه على الأعداد β'، β''، β'''، ... ، β ^(ν) ، ... ، التي تتناقص قيمتها باستمرار وتقع أيضًا ضمن الفترة [α، β]. نسمي نهايتها B، بحيث: B = Lim β ^(ν) عندما ν = ∞. من الواضح أن لدينا: α ^(ν) < A ≤ B < β ^(ν) . ولكن من السهل ملاحظة أن الحالة A < B لا يمكن أن تحدث هنا، لأنه لولا ذلك لكانت جميع الأعداد ων _في متتاليتنا تقع خارج الفترة [A, B]، وذلك لوقوعها خارج الفترة [α ^(ν) , β ^{(ν) ]. وبالتالي،}لن تكون متتاليتنا (ω) كثيفة في كل مكان ضمن الفترة [α, β]، خلافًا للافتراض. لذلك، لم يتبق سوى الحالة A = B، وقد ثبت الآن أن العدد: η = A = B لا يظهر في متتاليتنا (ω). لو كان هذا العدد عنصرًا من عناصر متتاليتنا، مثل العدد ν ^، لكانت لدينا: η = ων _. لكن المعادلة الأخيرة غير ممكنة لأي قيمة لـ ν لأن η تقع داخل الفترة [α ^(ν) ، β ^(ν) ]، لكن ω _ν تقع خارجها .	[الصفحة 7] دا يموت زحلة α', α'', α''', . . .، α ^(ν) ، . . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen، dabei jedoch im Intervalle (α . . . β) isingeschlossen sind، so haben sie، nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre، eine Greenze، die wir mit A bezeichnen، so dass: A = Lim α ^(ν) für ν = ∞. عين الخلل المذهبة لزحلة β'', β'', β''', . . .، β ^(ν) ، . . . Welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α . . β ) liegen؛ wir nennen ihre Grenze B، لذا dass: B = Lim β ^(ν) für ν = ∞. قبعة الرجل Offenbar: α ^(ν) < A ≥ B < β ^(ν) . Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω _ν , unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . . . B) liegen würde, indem ω _ν , ausserhalb des Intervalls (α ^(ν) . . . β ^(ν) ) gelegen ist; Unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . . β) nicht überalldicht، gegen die Voraussetzung. Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun، dass die Zahl: η = A = B in unserer Reihe (ω) nicht vorkommt. Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν ^te , so hätte man: η = ω _ν . The letter Gleichung is aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α ^(ν) , β ^(ν) ], ω _ν aber ausserhalb desselben liegt.
ملاحظة 1: هذا هو الظهور الوحيد لعبارة " unserer Reihen " ("متتالياتنا") في البرهان. لا توجد سوى متتالية واحدة في برهان كانتور، وفي كل مكان آخر تُستخدم عبارة " Reihe " ("متتالية")، لذا فمن المرجح أن يكون هذا خطأً مطبعيًا، والصحيح هو " unserer Reihe " ("متتاليتنا")، وهو ما تُرجم به. ملاحظة 2: Grössenlehre ، والتي تُرجمت إلى "نظرية المقادير"، هو مصطلح استخدمه علماء الرياضيات الألمان في القرن التاسع عشر ، ويشير إلى نظرية المقادير المنفصلة والمتصلة . ( Ferreirós 2007 ، ص 41-42، 202 ).

مراجع

↑ Dauben 1993 ، ص 4 .
^ جورج كانتور (1874)، “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (PDF) ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (بالألمانية) ، استرجاعها 2026/03/01
↑ غراي 1994 ، ص 819-821 .
1 2 كانتور 1874. الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، الصفحات 840-843 .
1 2 غراي 1994 ، ص 828 .
1 2 3 4 5 كانتور 1874 ، ص 259. الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 840-841 .
↑ كانتور 1874 ، ص 259. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 820.
↑ كانتور 1878 ، ص 242 .
↑ غراي 1994 ، ص 820 .
↑ كانتور 1874 ، ص 259-260 . الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 841 .
↑ كانتور 1874 ، الصفحات 260-261 . الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، الصفحات 841-842 .
1 2 كانتور 1874 ، ص 261. الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 842 .
↑ غراي 1994 ، ص 822 .
^ هافيل 2012 ، ص 208-209 .
↑ هافيل 2012 ، ص 209 .
^ ليفيك 1956 ، ص 154-155 .
↑ LeVeque 1956 ، ص 174 .
↑ وايسشتاين 2003 ، ص 541 .
^ أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، ص. 16 .
^ نويثر وكافيليس 1937 ، ص 12-13 . الترجمة الإنجليزية: جراي 1994 ، ص. 827 ؛ ايوالد 1996 ، ص. 844 .
1 2 3 4 نويثر وكافيليس 1937 ، ص. 18 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 848 .
↑ نوثر وكافاييس 1937 ، ص 13. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 827 .
1 2 3 4 5 6 7 نويثر وكافيليس 1937 ، ص 14-15 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، الصفحات من 845 إلى 846 .
↑ غراي 1994 ، ص 827
↑ Dauben 1979 ، ص 51 .
^ نويثر وكافيليس 1937 ، ص. 19 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 849 .
↑ إيوالد 1996 ، ص 843 .
↑ نوثر وكافاييس 1937 ، ص 16. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 827.
↑ بيرون 1921 ، ص 162.
1 2 كاناموري 2012 ، ص. 4 .
↑ غراي 1994 ، ص 827-828 .
↑ بيرون 1921 ، ص 162
↑ فرانكل 1930 ، ص 237. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 823 .
↑ كابلانسكي 1972 ، ص 25 .
↑ غراي 1994 ، ص 829-830 .
↑ غراي 1994 ، ص 821-824 .
↑ بيل 1937 ، ص 568-569 ؛ هاردي ورايت 1938 ، ص 159 (الطبعة السادسة، ص 205-206 ) ؛ بيركوف وماك لين 1941 ، ص 392 ، (الطبعة الخامسة، ص 436-437 ) ؛ سبيفاك 1967 ، ص 369-370 (الطبعة الرابعة، ص 448-449 ) .
↑ Dasgupta 2014 ، ص 107 ؛ Sheppard 2014 ، ص 131-132 .
↑ جارفيس 2014 ، ص 18 ؛ تشودري 2015 ، ص 19 ؛ ستيوارت 2015 ، ص 285 ؛ ستيوارت وتال 2015 ، ص 333 .
↑ بيركوف وماك لين 1941 ، ص 392 ، (الطبعة الخامسة، ص 436 - 437).
↑ بيرتون 1995 ، ص 595.
↑ Dauben 1979 ، ص 69.
↑ غراي 1994 ، ص 824.
1 2 فيريروس 2007 ، ص. 184 .
^ نويثر وكافيليس 1937 ، ص 12-16 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص 843-846 .
↑ Dauben 1979 ، ص 67 .
1 2 3 4 نويثر وكافيليس 1937 ، ص 16-17 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 847 .
↑ غراتان-غينيس 1971 ، ص 124 .
^ دوبين 1979 ، ص 67 ، 308-309 .
^ فيريروس 2007 ، ص 184-185 ، 245 .
↑ فيريروس 2007 ، ص 185: من غير الواضح متى تغير موقفه، ولكن هناك دليل على أنه بحلول منتصف ثمانينيات القرن التاسع عشر كان يقبل الاستنتاج بأن المجموعات اللانهائية لها قوى مختلفة [الأصول].
^ فيريروس 2007 ، ص. 177 .
^ دوبين 1979 ، ص 67-68 .
^ فيريروس 2007 ، ص. 183 .
^ فيريروس 2007 ، ص. 185 .
^ فيريروس 2007 ، ص 109-111، 172-174.
^ فيريروس 1993 ، ص 349-350 .
^ نويثر وكافيليس 1937 ، ص 12-13 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص 844-845 .
^ نويثر وكافيليس 1937 ، ص. 13 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 845 .
^ فيريروس 2007 ، ص. 179 .
^ نويثر وكافيليس 1937 ، الصفحات من 14 إلى 16، 19 . الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، الصفحات من 845 إلى 847، 849 .
^ فيريروس 1993 ، ص 358-359 .
^ فيريروس 1993 ، ص. 350 .
↑ كانتور 1878 ، ص 245-254 .
↑ كانتور 1879 ، ص 4.
^ فيريروس 2007 ، ص 267-273 .
^ فيريروس 2007 ، ص. السادس عشر، 320-321، 324 .
↑ كانتور 1878 ، ص 243 .
↑ هوكينز 1970 ، ص 103-106، 127 .
↑ هوكينز 1970 ، ص 118، 120-124، 127 .
^ فيريروس 2007 ، ص 362–363 .
↑ كوهين 1963 ، ص 1143-1144 .

فهرس

أرخانجيلسكي، أ. ف .؛ فيدورتشوك، ف. ف. (1990)، "المفاهيم والتركيبات الأساسية للطوبولوجيا العامة"، في أرخانجيلسكي، أ. ف.؛ بونترياغين، ل. س. (محرران)، الطوبولوجيا العامة 1 ، نيويورك، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ص 1-90 ، ISBN 978-0-387-18178-3.
أودين ، ميشيل (2011)، تذكر صوفيا كوفاليفسكايا ، لندن: سبرينغر، ISBN 978-0-85729-928-4.
بيل، إريك تمبل (1937)، رجال الرياضيات ، نيويورك: سيمون وشوسترأُعيد طبعه عام 1984، رقم ISBN 978-0-671-62818-5.
بيركوف، غاريت؛ ماك لين، سوندرز (1941)، مسح للجبر الحديث ، نيويورك: ماكميلانأُعيد طبعه بواسطة تايلور وفرانسيس، 1997، رقم ISBN 978-1-56881-068-3.
بورتون، ديفيد م. (1995)، تاريخ بورتون للرياضيات (الطبعة الثالثة )، دوبوك، أيوا: ويليام سي. براون، رقم ISBN 978-0-697-16089-8.
كانتور، جورج (1874)، “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” ، مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik (بالألمانية)، 1874 (77): 258–262 ، دوى : 10.1515/crll.1874.77.258 ، S2CID 199545885 .
كانتور، جورج (1878)، “Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre” ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (بالألمانية)، 1878 (84): 242–258 ، دوى : 10.1515/crll.1878.84.242 (غير نشط في 11 يوليو 2025){{citation}}: CS1 maint: DOI غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط ) .
كانتور، جورج (1879)، “Ueber unendliche، خطي Punktmannichfaltigkeiten.1.” , Mathematische Annalen (باللغة الألمانية)، 15 : 1– 7، دوى : 10.1007 / bf01444101 ، S2CID 179177510 .
تشودري، كيه آر (2015)، أساسيات البنى الرياضية المنفصلة ( الطبعة الثالثة)، دلهي، الهند: دار نشر بي إتش آي ليرنينج، رقم ISBN 978-81-203-5074-8.
كوهين، بول ج. (1963)، "استقلالية فرضية الاستمرارية"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية ، 50 (6): 1143-1148 ، Bibcode : 1963PNAS...50.1143C ، doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 ، PMC 221287 ، PMID 16578557 .
داسغوبتا، أبهيجيت (2014)، نظرية المجموعات: مع مقدمة لمجموعات النقاط الحقيقية ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 978-1-4614-8853-8.
داوبن، جوزيف (1979)، جورج كانتور: رياضياته وفلسفته عن اللانهائي ، كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد، ISBN 978-0-674-34871-4.
دوبين، جوزيف (1993)، "جورج كانتور ومعركة نظرية المجموعات المتسامية" (ملف PDF) ، وقائع المؤتمر التاسع لجمعية الرياضيات التطبيقية الأمريكية.
إدواردز، هارولد م. (1989)، "آراء كرونكر حول أسس الرياضيات" ، في رو، ديفيد إي .؛ مكليلاري، جون (محرران)، تاريخ الرياضيات الحديثة، المجلد 1 ، نيويورك: أكاديميك برس، ص 67-77 ، ISBN 978-0-12-599662-4.
إيوالد، ويليام ب.، محرر (1996)، من إيمانويل كانط إلى ديفيد هيلبرت: كتاب مرجعي في أسس الرياضيات، المجلد 2 ، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-19-850536-5.
فيريروس، خوسيه (1993)، “حول العلاقات بين جورج كانتور وريتشارد ديديكيند”، هيستوريا ماثيماتيكا ، 20 (4): 343–363 ، دوى : 10.1006 / hmat.1993.1030.
فيريروس، خوسيه (2007)، متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الفكر الرياضي (الطبعة الثانية المنقحة )، بازل: بيركهاوزر، ISBN 978-3-7643-8349-7.
فرانكل ، أبراهام (1930)، “جورج كانتور” ، Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (في المانيا)، 39 : 189– 266.
غراتان غينيس، إيفور (1971)، “المراسلات بين جورج كانتور وفيليب جوردان” ، Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung ، 73 : 111– 130.
غراي، روبرت (1994)، "جورج كانتور والأعداد المتسامية" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 101 (9): 819-832 ، doi : 10.2307/2975129 ، JSTOR 2975129 ، MR 1300488 ، Zbl 0827.01004 ، مؤرشف من النسخة الأصلية (PDF) بتاريخ 21 يناير 2022 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 فبراير 2016 .
هاردي، جودفري؛ رايت، إي إم (1938)، مقدمة في نظرية الأعداد ، أكسفورد: مطبعة كلارندون.
هافيل، جوليان (2012)، غير العقلانيين ، برينستون، أكسفورد: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-16353-6.
هوكينز، توماس (1970)، نظرية لوبيغ في التكامل ، ماديسون، ويسكونسن: مطبعة جامعة ويسكونسن، رقم ISBN 978-0-299-05550-9.
جارفيس، فريزر (2014)، نظرية الأعداد الجبرية ، نيويورك: سبرينغر، ISBN 978-3-319-07544-0.
كاناموري، أكيهيرو (2012)، “ضبط النظرية من كانتور إلى كوهين” (PDF) ، في جاباي، دوف م. كاناموري، أكيهيرو؛ وودز ، جون هـ. (محرران)، مجموعات وملحقات في القرن العشرين ، أمستردام، بوسطن: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات من 1 إلى 71، ISBN 978-0-444-51621-3.
كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ISBN 978-0-8284-0298-9.
كيلي، جون ل. (1991)، الطوبولوجيا العامة ، نيويورك: سبرينغر، رقم ISBN 978-3-540-90125-9.
ليفيك، ويليام ج. (1956)، مواضيع في نظرية الأعداد ، المجلد الأول، ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي( أعيد طبعه بواسطة دار نشر دوفر ، 2002، رقم ISBN) 978-0-486-42539-9.)
نوثر، إيمي ؛ كافاييس، جان ، محرران (1937)، رسائل كانتور-ديديكيند (بالألمانية)، باريس: هيرمان.
بيرون، أوسكار (1921)، Irrationalzahlen (في المانيا)، لايبزيغ، برلين: دبليو دي جرويتر، OCLC 4636376 .
شيبارد، بارنابي (2014)، منطق اللانهاية ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-1-107-67866-8.
سبيفاك، مايكل (1967)، حساب التفاضل والتكامل ، لندن: دبليو إيه بنجامين، رقم ISBN 978-0914098911.
ستيوارت ، إيان (2015)، نظرية جالوا ( الطبعة الرابعة)، بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة اتفاقية حقوق الطفل، ISBN 978-1-4822-4582-0.
ستيوارت، إيان؛ تال، ديفيد (2015)، أسس الرياضيات ( الطبعة الثانية)، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، ISBN 978-0-19-870644-1.
وايسشتاين، إريك دبليو ، محرر (2003)، "الكسور المستمرة"، موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات ، بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-347-0.

للمزيد من القراءة

هاوليت، جوزيف (25 فبراير 2026)، الرجل الذي سرق اللانهاية ، مجلة كوانتا

[4] في رسالة إلى ديديكيند بتاريخ 25 ديسمبر 1873، يذكر كانتور أنه كتب وقدم "ورقة بحثية قصيرة" بعنوان " حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية " . ( نوثر وكافاييس 1937 ، ص 17؛ الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 847).

[12] وهذا يستلزم بقية النظرية،أي أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد في الفترة [ أ ، ب ] غير موجودة في المتتالية المعطاة. على سبيل المثال، ليكن $[0,1]$ لتكن الفترة، ولننظر في فتراتها الجزئية $[0,{\tfrac {1}{2}}],$ $[{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],$ $[{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],$ $\ldots .$ بما أن هذه الفترات الجزئية منفصلة مثنى مثنى ، فإن تطبيق الجزء الأول من النظرية على كل فترة جزئية ينتج عنه عدد لا نهائي من الأعداد في $[0,1]$ التي لا تقع ضمن المتتالية المعطاة. بشكل عام، بالنسبة للفترة $[a,b],$ قم بتطبيق الجزء الأول من النظرية على الفترات الجزئية $[a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],$ $[a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],$ $\ldots .$

[15] لم يُثبت كانتور هذه اللمة. في حاشية للحالة الثانية، ذكر أن x<sub> _n</sub> لا يقع داخل الفترة [ a _<sub>n </sub> , b<sub> _n</sub> ].^[¹²^] هذا البرهان مستمد من برهانه عام 1879 ، والذي يتضمن برهانًا استقرائيًا أكثر تعقيدًا يُبين العديد من خصائص الفترات المُولدة، بما في ذلك الخاصية المُثبتة هنا.

[16] يكمن الاختلاف الرئيسي بين برهان كانتور والبرهان المذكور أعلاه في أنه يُولّد متتالية من الفترات المغلقة [ a _<sub>n </sub> , b<sub> _n</sub> ]. ولإيجاد a _<sub>n₊_1</sub> و b<sub> _n₊_1</sub> ، يستخدم كانتور الجزء الداخلي من الفترة [ a _<sub>n</sub> , b<sub> _n</sub> ]، وهو الفترة المفتوحة ( a _<sub>n </sub> , b<sub> _n</sub> ). يجمع توليد الفترات المفتوحة بين استخدام كانتور للفترات المغلقة وأجزاءها الداخلية، مما يسمح لمخططات الحالات بتصوير جميع تفاصيل البرهان.

[23] لم يكن كانتور أول من عرّف مصطلح "كثيف في كل مكان"، ولكن تم اعتماد مصطلحه سواءً مع عبارة "في كل مكان" أو بدونها (كثيف في كل مكان: أرخانجيلسكي وفيدورتشوك 1990 ، ص 15؛ كثيف: كيلي 1991 ، ص 49). في عام 1870،عرّف هيرمان هانكل هذا المفهوم باستخدام مصطلحات مختلفة: "مجموعة من النقاط... تملأ القطعة المستقيمة إذا لم يكن بالإمكان تحديد أي فاصل، مهما كان صغيرًا، داخل القطعة لا توجد فيه نقطة واحدة على الأقل من تلك المجموعة" ( فيريروس 2007 ، ص 155). استند هانكل في تعريفه إلى مقالة بيتر غوستاف ليجون ديريشليه عام 1829، والتي تتضمن دالة ديريشليه ، وهي دالة غير قابلة للتكامل ( ريمان )قيمتها صفر للأعداد النسبية وواحد للأعداد غير النسبية . ( Ferreirós 2007 ، ص149.)

[24] مترجم من كانتور 1879 ، ص. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α . . . β)، لذلك يمكن أن يكون der bemerkenswerthe Fall eintreten، dass jedes noch so kleine in (α . . . β) enthaltene Intervall (γ . . . δ) Punkte von P entält. In einem solchen Falle wollen wir sagen، dass P im Intervalle (α . . β ) überall-dicht sei.

[26] يُثبت ذلك بتوليد متتالية من النقاط التي تنتمي إلى كل من P و ( c , d ). بما أن P كثيفة في [ a , b ]، فإن الفترة الجزئية ( c , d ) تحتوي على نقطة واحدة على الأقل x1 من P. بافتراض أن الفترة الجزئية ( x1 _,d ) تحتوي على نقطة _واحدة على الأقل x2 من P _، و x2 >_x1_لأنx2 تنتمي إلى هذه الفترة _{الجزئية} . بشكل عام، بعد توليد_xn ، _{تُستخدم} الفترةالجزئية (xn_, d ) لتوليد نقطة xn ₊₁ تحقق xn ₊₁ > xn . تنتمي النقاط xn ، _وهي عدد لا نهائي من النقاط_، إلىكل من_Pو ( c , d ).

[38] بداية هذا الإثبات مشتقة من الإثبات أدناه عن طريق تقييد أرقامه بالفاصل الزمني [ a ، b ] وباستخدام تسلسل فرعي حيث أن كانتور كان يستخدم التسلسلات في عمله عام 1873 حول قابلية العد. النص الألماني: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen. Gäbe ليس متجاوزًا لزحلة، لذا فهي جميع جبرية زحلة، كما أن الاستمرارية متطابقة أيضًا مع Menge aller جبرية زحلة. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller gebbraischen Zahlen abzählbar ist, das Continuum aber nicht. ^[²⁹^] الترجمة: النظرية 68. هناك أرقام متسامية. إذا لم تكن هناك أرقام متسامية، فستكون جميع الأرقام جبرية. وبالتالي، سيكون المتصل مطابقًا لمجموعة جميع الأعداد الجبرية. إلا أن هذا مستحيل لأن مجموعة جميع الأعداد الجبرية قابلة للعد، بينما المتصل غير قابل للعد.

[42] لا يقصد بيرون بعبارة "برهان كانتور" أنه برهانٌ نشره كانتور نفسه، بل يقصد أن البرهان يستخدم فقط الحجج التي نشرها كانتور. فعلى سبيل المثال، للحصول على عدد حقيقي لا ينتمي إلى متتالية معينة، يتبع بيرون برهان كانتور لعام 1874 مع تعديل واحد: إذ يستخدم حجة كانتور القطرية لعام 1891 بدلاً من حجة الفترات المتداخلة لعام 1874 للحصول على عدد حقيقي. لم يستخدم كانتور حجته القطرية قط لإعادة إثبات نظريته. في هذه الحالة، يُعد كل من برهان كانتور وبرهان بيرون بنائيين، فلا مجال لسوء الفهم هنا. ثم يُعدّل بيرون برهان كانتور على وجود عدد متسامٍ بتقديمه برهانًا بترتيب عكسي. هذا يُحوّل برهان كانتور البنائي لعام 1874 إلى برهان غير بنائي، مما يُؤدي إلى سوء الفهم حول عمل كانتور.

[45] هذا البرهان هو نفسه برهان كانتور لعام 1874 باستثناء تعديل واحد: فهو يستخدم حجته القطرية لعام 1891 بدلاً من حجته المتعلقة بالفترات المتداخلة لعام 1874 للحصول على عدد حقيقي.

[48] ينتج البرنامج الذي يستخدم الطريقة القطرية $n$ الأرقام في ${\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)$ خطوات، بينما يتطلب البرنامج الذي يستخدم طريقة 1874 على الأقل $O(2^{\sqrt[{3}]{n}})$ خطوات الإنتاج $n$ الأرقام. ( غراي 1994 ، ص 822-823.)

[50] بدءًا من كتاب هاردي ورايت، ترتبط هذه الكتب بكتاب بيرون من خلال قوائم مراجعها: يُذكر كتاب بيرون في قائمة مراجع كتاب هاردي ورايت، والذي بدوره يُذكر في قائمة مراجع كتاب بيركوف وماك لين، وفي قائمة مراجع كتاب سبيفاك. ( هاردي ورايت 1938 ، ص 400؛ بيركوف وماك لين 1941 ، ص 441؛ سبيفاك 1967 ، ص 515).

[57] كان رأي كرونكر: "يجب أن تتضمن التعريفات وسائل للوصول إلى قرار في عدد محدود من الخطوات، ويجب إجراء براهين الوجود بحيث يمكن حساب الكمية المعنية بأي درجة مطلوبة من الدقة."^[⁴¹^] لذلك ، سيقبل كرونكر حجة كانتور كبرهان وجود صحيح، لكنه لن يقبل استنتاجها بوجود الأعداد المتسامية. فبالنسبة لكرونكر، هي غير موجودة لأن تعريفها لا يتضمن أي وسيلة لتحديد ما إذا كان عدد معين متساميًا أم لا في عدد محدود من الخطوات.^[⁴²^] يحسب بناء كانتور لعام 1874 الأعداد بأي درجة مطلوبة من الدقة لأنه: بمعلومية a<sub> k </sub> ،يمكن حساب an<sub> n</sub> بحيث يكون b _<sub>n</sub>– a<sub>n</sub> ≤ 1/ k ، _حيث ( a <sub> n </sub> , b _<sub> n </sub> ₎ هي الفترة النونية في بناء كانتور. يُعطى مثال على كيفية إثبات ذلك في غراي 1994 ، ص.822. توفر حجة كانتور القطرية دقة قدرها 10⁻ⁿ بعدحساب n من الأعداد الجبرية الحقيقية لأن كل عدد من هذه الأعداد يولد رقمًا واحدًا من العدد المتسامي. ^[⁴³^]

[78] قام فيريروس بتحليل العلاقات بين كانتور وديديكيند. ويشرح لماذا "كانت العلاقات بين كلا الرياضيين صعبة بعد عام 1874، عندما شهدت انقطاعًا ..." ( فيريروس 1993 ، ص 344، 348-352).

[81] يمكن استخدام طريقة كانتور لإنشاء تناظر أحادي بين مجموعة الأعداد غير النسبية و R لإنشاء تناظر أحادي بين مجموعة الأعداد المتسامية و R. ^[⁶⁵ ]يبدأ الإنشاء بمجموعة الأعداد المتسامية T ^، ثم يُحذف منها مجموعة جزئية قابلة للعد { tₙ _{} (}على سبيل المثال، tₙ = e/ n ) . لنفترض أن هذه المجموعة هي T₀ _. عندئذٍ ، T ₌ T₀ ∪ { tₙ } =T₀_∪_{ t₂ₙ₋₁_}_∪ {t₂ₙ } _، و R = T ∪ {an_} =T₀ ∪ _{ tₙ } _∪ {an } _،_حيث an_هي متتاليةالأعداد الجبرية الحقيقية. بالتالي، فإن كلاً منT و R هما اتحاد ثلاث مجموعات منفصلةمثنى_مثنى : T₀ ومجموعتين _{قابلتين}_للعد .تطابق واحد لواحد بين T و R بواسطة الدالة: g ( t ) = t إذا كان t ∈ T ₀ ، g ( t ₂_n_{– 1} ) = t _n ، و g ( t ₂_n ) = a _n .

[p-27] ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ بما أن برهان كانتور لم يُنشر باللغة الإنجليزية، فقد أُدرجت ترجمة إنجليزية إلى جانب النص الألماني الأصلي، المأخوذ من كتاب كانتور ١٨٧٩ ، الصفحات ٥-٧ . تبدأ الترجمة قبل البرهان بجملة واحدة لأن هذه الجملة تُشير إلى برهان كانتور لعام ١٨٧٤. يذكر كانتور أنه طُبع في مجلة بورخاردت. كانت مجلة كريل تُسمى أيضًا مجلة بورخاردت من عام ١٨٥٦ إلى عام ١٨٨٠ عندما كان كارل فيلهلم بورخاردت محررًا لها ( أودين ٢٠١١ ، صفحة ٨٠ ). استُخدمت الأقواس المربعة لتحديد هذه الإشارة إلى برهان كانتور السابق، ولتوضيح الترجمة، ولتحديد أرقام الصفحات. كما تُرجمت عبارة " Mannichfaltigkeit " (متعدد الشعب) إلى "مجموعة"، وتُرجمترموز كانتور للمجموعات المغلقة (α...β,β]. غيّر كانتور مصطلحاته من "Mannichfaltigkeit" إلى "Menge " (مجموعة) في مقالته عام 1883، والتي قدّم فيها مجموعات الأعداد الترتيبية ( كاناموري 2012 ، ص 5 ). وفي الرياضيات الحديثة، يُعدّ المتشعب نوعًا من الفضاء الطوبولوجي .
الترجمة الإنجليزية نص ألماني
[الصفحة 5] ... لكن هذا يناقض نظرية عامة جدًا، أثبتناها بدقة تامة في مجلة بورشاردت، المجلد 77، الصفحة 260؛ وهي النظرية التالية: " إذا كان لدينا متتالية لانهائية قابلة للعد ω₁، ω₂، ... ، ων ، ... _من الأعداد _{الحقيقية} غير المتساوية التي تتبع قاعدة معينة، فإنه في كل فترة معينة [α، _β ] يمكن تحديد عدد η (وبالتالي عدد لا نهائي منها) لا يظهر في هذه المتتالية (كعنصر منها)." ونظرًا للأهمية الكبيرة لهذه النظرية، ليس فقط في هذا النقاش، بل أيضًا في العديد من العلاقات الحسابية والتحليلية الأخرى، فقد يكون من المفيد أن نطور الحجة المتبعة هناك [برهان كانتور عام 1874] بشكل أوضح هنا باستخدام تعديلات مبسطة. بدءًا من المتتالية: ω₁ _, ω₂ , _... , ω₽ _, ... (والتي نرمز لها بالرمز (ω)) وفترة اختيارية [α, β ]، حيث α < β ، سنُبين الآن أنه في هذه الفترة يُمكن إيجاد عدد حقيقي η لا يظهر في ( ω ) . أولًا، نلاحظ أنه إذا لم تكن مجموعتنا (ω) كثيفة في كل مكان في الفترة [α, β]، فلا بد من وجود فترة أخرى [γ, δ] ضمن هذه الفترة، ولا تنتمي أي من أعدادها إلى (ω). من الفترة [γ, δ]، يُمكن اختيار أي عدد لـ η. يقع هذا العدد في الفترة [α, β]، وبالتأكيد لا يظهر في متتاليتنا (ω). بالتالي، لا تتطلب هذه الحالة أي اعتبارات خاصة، ويمكننا الانتقال إلى الحالة الأكثر تعقيدًا . ثانيًا. لنفترض أن المجموعة (ω) كثيفة في كل مكان ضمن الفترة [α, β]. في هذه الحالة، تحتوي كل فترة [γ, δ] تقع ضمن [α, β]، مهما صغر حجمها، على أعداد من متتاليتنا (ω). ولإثبات أنه _معذلك، توجد أعداد η في الفترة [α, β ] لا تظهر في ( ω ) ، نستخدم الملاحظة التالية. بما أن بعض الأعداد في متتاليتنا: ω₁ _، ω₂ _، ... ، ω₽ ، ...
[الموقع 5] . . . Dem Widespricht aber ein sehr allgemeiner Satz، welchen wir in Borchardt's Journal، Bd. 77، صفحة. 260، مع كل القوة التي تمتلكها، نامليتش دير فولجيند ساتز:
"Hat man eine einfach unendliche Reihe ω ₁ , ω ₂ , . . , ω _ν , . . . . von reellen, ungleichen Zahlen, die nach irgend einem Gesetz fortschreiten, so lässt sich in jedem vorgegebenen, Intervalle ( α . . . β) eine Zahl η (und folglich lassen sich deren unendlich viele) angeben، welche nicht in jener Reihe (als Glied derselben) vorkommt."
في Anbetracht des إجمالي الاهتمامات، كما هو الحال في هذا اليوم، لا توجد blos bei der gegenwärtigen Erörterung، نتعلم أيضًا في العديد من الأساليب الحسابية الأخرى، مثل تحليل الأعمال، knüpft، dürfte überflussig sein، wen we wer die dort befolgte Beweisführung [Cantors 1874 Beweis]، unter Anwendung vereinfachender Modificationen، hier deutlicher entwickeln.
Unter Zugruundelegung der Reihe: ω ₁ , ω ₂ , . . . , ω _ν , . . . (welcher wir das Zeichen (ω) beilegen) und eines beliebigen Intervalles (α . . . β)، wo α < β ist، sollalso nun gezeigt werden، dass in diesem Intervalle eine reelle Zahl η gefunden werden kann، welche in (ω) nicht vorkommt.
أنا . جيهورين. يمكن للمرء أن يعوض عن η irgend eine Zahl des Intervalls (γ . . . δ) wählen، sie liegt im Intervalle (α . . . β) und kommt sicher in unsrer Reihe (ω) nicht vor. Dieser Fall bietet daher keinerlei besondere Umstände; ويمكننا أن نساعدهم في تسلق الجبال .
ثانيا. Die Mannichfaltigkeit (ω) sei im Intervalle (α . . . β) überall-dicht . In diesem Falle enthält jedes, noch so kleine in (α . . . β) gelegene Intervall (γ . . . δ) Zahlen unserer Reihe (ω). Um zu zeigen، dass nichtsdestoweniger Zahlen η im Intervalle (α . . . β) موجود، ولم يتم القيام به في (ω)، stellen wir die folgende Betrachtung an.
دا في unserer Reihe: ω ₁ , ω ₂ , . . . , ω _ν , . . .
[الصفحة 6] تقع هذه الأعداد بالتأكيد ضمن الفترة [α, β]، ويجب أن يكون لأحدها أصغر دليل، _{_ولنسمه} ωκ1 _،_{_والآخر} ωκ2 _ذو الدليل الأكبر التالي. لنرمز للعدد الأصغر ωκ1 _أو_{_ωκ2} بالرمز α'، وللعدد الأكبر بالرمز β _{_'} . (مستحيل تساويهما لأننا افترضنا أن متتاليتنا تتكون من أعداد غير متساوية فقط). إذن، وفقًا للتعريف: α < α' < β' < β، بالإضافة إلى: κ1 < κ2؛ _وجميع الأعداد ωμ في متتاليتنا ، التي تحقق μ ≤ κ2 ، لا تقع _داخل الفترة _[ α _' , β ' ] ، كما هو واضح من تعريف العددين _κ1_و κ2 _. وبالمثل، لنفترض أن ω _κ_₃ و ω _κ_₄ هما الرقمان في تسلسلنا مع أصغر المؤشرات التي تقع داخل الفاصل الزمني [α', β'] ودع الرقم الأصغر ω _κ_₃ , ω _κ_₄ يُشار إليه بـ α''، الأكبر بـ β''. ثم واحد لديه: α' < α'' < β'' < β' , κ ₂ < κ ₃ < κ ₄ ; ويرى المرء أن جميع الأرقام ω _μ من تسلسلنا، والتي μ ≥ κ ₄ ، لا تقع في الجزء الداخلي من الفاصل الزمني [α'', β'']. بعد اتباع هذه القاعدة للوصول إلى الفترة [α ^(ν-1) , β ^(ν-1) ] ، تُنتَج الفترة التالية باختيار أول عددين (أي ذوي أصغر مؤشرين) من متتاليتنا (ω) (لنفترض أنهما ωκ2ν _-_₁ و _ωκ2ν ) اللذين يقعان داخل الفترة [ α ^(ν-1) , β ^(ν-1) ] . لنرمز إلى العدد الأصغر بـ α ^(ν) ، وإلى العدد الأكبر بـ β ^(ν) . إذن _{_،} تقع الفترة [α ^(ν) , β ^(ν) ] في تقع جميع الفترات السابقة داخل هذه الفترة، ولها علاقة خاصة مع متتاليتنا (ω) مفادها أن جميع الأعداد ωμ _، التي تحقق μ ≤ κ _2ν ، لا تقع داخلها قطعًا . وبما أن: κ ₁ < κ ₂ < κ ₃ < ...، ωκ _2ν_{_{– 2}} < ωκ _2ν_{_{– 1}} < ωκ _2ν_{_،} ... وهذه الأعداد، كمؤشرات، أعداد صحيحة ، فإن: κ _2ν ≥ 2ν ، وبالتالي: ν < κ _2ν ؛ لذا، يمكننا القول بكل تأكيد (وهذا يكفي لما يلي): إذا كان ν عددًا صحيحًا كيفيًا ، فإن الكمية [الحقيقية] ων _تقع خارج الفترة [α ^(ν ) ... β ^(ν) ].
[الجزء 6] يتم تداول الفترات الداخلية للفواصل الزمنية (α . . . β)، لذلك يجب أن يكون هناك مؤشر زحلة ذو فهرس صغير ، حيث يكون ω _{κ ₁} وواحد آخر: ω _{κ ₂} mit dem nächst gösseren Index behaftet sein.
Die kleinere der beiden Zahlen ω _{κ ₁} , ω _{κ ₂} werde mit α', die gössere mit β' bezeichnet. (Ihre Gleichheit ist ausgeschlossen, weil wir voraussetzten, dass unsere Reihe aus lauter ungleichen Zahlen besteht.)
Es ist alsdann der التعريف nach: α < α' < β' < β , Ferner: κ ₁ < κ ₂ ; و ausserdem ist zu bemerken, dass alle Zahlen ω _μ unserer Reihe, für welche μ ≥ κ ₂ , nicht im Innern des Intervalls (α' . . . β') liegen, wie aus der Bestimmung der Zahlen κ ₁ , κ ₂ sofort erhellt. Ganz ebenso mögen ω _κ_₃ , ω _κ_₄ die beiden mit den Kleinsten Indices versehenen Zahlen unserer Reihen [انظر الملاحظة 1 أدناه] sein، welche in das Innere des Intervalls (α' . . . β') سقطت وأصغر من Zahlen ω _κ_₃ , ω _κ_₄ werde mit α''، die gössere mit β'' bezeichnet.
رجل قبعة السدان: α' < α'' < β'' < β' , κ ₂ < κ ₃ < κ ₄ ; ورجل erkennt، dass alle Zahlen ω _μ unserer Reihe، für welche μ ≥ κ ₄nicht in das Innere des Intervalls (α'' . . β'') سقط.
بعد أن تم إنشاء فاصل زمني (α ^{(ν - 1)} , . . . β ^{(ν - 1))} ) تم تحديده، ergiebt sich das folgende Intervall dateurch aus demselben، dass man die beiden ersten (dh mit niedrigsten Indices versehenen) Zahlen unserer Reihe (ω) aufstellt (sie seien ω _{κ _{2ν – 1}} und ω _{κ _2ν} )، welche in das Innere von (α ^{(ν – 1)} . . . β ^{(ν – 1))} ) سقطت؛ die kleinere dieser beiden Zahlen werde mit α ^(ν) , die gössere mit β ^(ν) bezeichnet.
Das Intervall (α ^(ν) . . . β ^(ν)) ) liegt alsdann im Innern aller vorrangegangenen Intervalle und hat zu unserer Reihe (ω) die eigenthümliche Beziehung, dass alle Zahlen ω _μ , für welche μ ≥ κ _2νsicher nicht in seinem Innern liegen. شريط العرض: κ ₁ < κ ₂ < κ ₃ < . . . , ω _κ_{_{2ν – 2}} < ω _κ_{_{2ν – 1}} < ω _κ_{_2ν} , . . .
und diese Zahlen, als Indices, ganze Zahlen sind, so ist: κ _2ν ≥ 2ν , und daher: ν < κ _2ν ; يمكننا أن نوضح ذلك، ونقول أنه من أجل متابعة الأحداث، يجب أن نقول:
Dass, wenn ν eine beliebige ganze Zahl ist, die Grösse ω _ν ausserhalb des Intervalls (α ^(ν) . . . β ^(ν)) ) liegt.
[الصفحة 7] بما أن الأعداد α'، α''، α'''، ...، α(ν)، ... تتزايد قيمتها باستمرار ^وتقع ضمن الفترة [α، β]، فإنها، وفقًا لنظرية أساسية معروفة في نظرية المقادير [انظر الملاحظة 2 أدناه]، لها نهاية نرمز لها بـ A، بحيث: A = Lim α ^(ν) عندما ν = ∞. وينطبق الأمر نفسه على الأعداد β'، β''، β'''، ... ، β ^(ν) ، ... ، التي تتناقص قيمتها باستمرار وتقع أيضًا ضمن الفترة [α، β]. نسمي نهايتها B، بحيث: B = Lim β ^(ν) عندما ν = ∞. من الواضح أن لدينا: α ^(ν) < A ≤ B < β ^(ν) . ولكن من السهل ملاحظة أن الحالة A < B لا يمكن أن تحدث هنا، لأنه لولا ذلك لكانت جميع الأعداد ων _في متتاليتنا تقع خارج الفترة [A, B]، وذلك لوقوعها خارج الفترة [α ^(ν) , β ^{(ν) ]. وبالتالي،}لن تكون متتاليتنا (ω) كثيفة في كل مكان ضمن الفترة [α, β]، خلافًا للافتراض. لذلك، لم يتبق سوى الحالة A = B، وقد ثبت الآن أن العدد: η = A = B لا يظهر في متتاليتنا (ω). لو كان هذا العدد عنصرًا من عناصر متتاليتنا، مثل العدد ν ^، لكانت لدينا: η = ων _. لكن المعادلة الأخيرة غير ممكنة لأي قيمة لـ ν لأن η تقع داخل الفترة [α ^(ν) ، β ^(ν) ]، لكن ω _ν تقع خارجها .
[الصفحة 7] دا يموت زحلة α', α'', α''', . . .، α ^(ν) ، . . . ihrer Grösse nach fortwährend wachsen، dabei jedoch im Intervalle (α . . . β) isingeschlossen sind، so haben sie، nach einem bekannten Fundamentalsatze der Grössenlehre، eine Greenze، die wir mit A bezeichnen، so dass: A = Lim α ^(ν) für ν = ∞.
عين الخلل المذهبة لزحلة β'', β'', β''', . . .، β ^(ν) ، . . . Welche fortwährend abnehmen und dabei ebenfalls im Intervalle (α . . β ) liegen؛ wir nennen ihre Grenze B، لذا dass: B = Lim β ^(ν) für ν = ∞.
قبعة الرجل Offenbar: α ^(ν) < A ≥ B < β ^(ν) .
Es ist aber leicht zu sehen, dass der Fall A < B hier nicht vorkommen kann; da sonst jede Zahl ω _ν , unserer Reihe ausserhalb des Intervalles (A . . . . B) liegen würde, indem ω _ν , ausserhalb des Intervalls (α ^(ν) . . . β ^(ν) ) gelegen ist; Unsere Reihe (ω) wäre im Intervall (α . . . β) nicht überalldicht، gegen die Voraussetzung.
Es bleibt daher nur der Fall A = B übrig und es zeigt sich nun، dass die Zahl: η = A = B in unserer Reihe (ω) nicht vorkommt.
Denn, würde sie ein Glied unserer Reihe sein, etwa das ν ^te , so hätte man: η = ω _ν .
The letter Gleichung is aber für keinen Werth von v möglich, weil η im Innern des Intervalls [α ^(ν) , β ^(ν) ], ω _ν aber ausserhalb desselben liegt.
ملاحظة 1: هذا هو الظهور الوحيد لعبارة " unserer Reihen " ("متتالياتنا") في البرهان. لا توجد سوى متتالية واحدة في برهان كانتور، وفي كل مكان آخر تُستخدم عبارة " Reihe " ("متتالية")، لذا فمن المرجح أن يكون هذا خطأً مطبعيًا، والصحيح هو " unserer Reihe " ("متتاليتنا")، وهو ما تُرجم به. ملاحظة 2: Grössenlehre ، والتي تُرجمت إلى "نظرية المقادير"، هو مصطلح استخدمه علماء الرياضيات الألمان في القرن التاسع عشر ، ويشير إلى نظرية المقادير المنفصلة والمتصلة . ( Ferreirós 2007 ، ص 41-42، 202 ).

[1] Dauben 1993 ، ص 4 .

[2] جورج كانتور (1874)، “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (PDF) ، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (بالألمانية) ، استرجاعها 2026/03/01

[3] غراي 1994 ، ص 819-821 .

[Cantor1874-5] 1 2 كانتور 1874. الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، الصفحات 840-843 .

[Gray828-6] 1 2 غراي 1994 ، ص 828 .

[Ewald840_841-7] 1 2 3 4 5 كانتور 1874 ، ص 259. الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 840-841 .

[8] كانتور 1874 ، ص 259. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 820.

[9] كانتور 1878 ، ص 242 .

[10] غراي 1994 ، ص 820 .

[11] كانتور 1874 ، ص 259-260 . الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 841 .

[13] كانتور 1874 ، الصفحات 260-261 . الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، الصفحات 841-842 .

[Ewald842-14] 1 2 كانتور 1874 ، ص 261. الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، ص 842 .

[17] غراي 1994 ، ص 822 .

[18] هافيل 2012 ، ص 208-209 .

[19] هافيل 2012 ، ص 209 .

[20] ليفيك 1956 ، ص 154-155 .

[21] LeVeque 1956 ، ص 174 .

[22] وايسشتاين 2003 ، ص 541 .

[25] أرخانجيلسكي وفيدورشوك 1990 ، ص. 16 .

[28] نويثر وكافيليس 1937 ، ص 12-13 . الترجمة الإنجليزية: جراي 1994 ، ص. 827 ؛ ايوالد 1996 ، ص. 844 .

[Noether18-29] 1 2 3 4 نويثر وكافيليس 1937 ، ص. 18 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 848 .

[30] نوثر وكافاييس 1937 ، ص 13. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 827 .

[Dec7letter-31] 1 2 3 4 5 6 7 نويثر وكافيليس 1937 ، ص 14-15 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، الصفحات من 845 إلى 846 .

[32] غراي 1994 ، ص 827

[33] Dauben 1979 ، ص 51 .

[34] نويثر وكافيليس 1937 ، ص. 19 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 849 .

[35] إيوالد 1996 ، ص 843 .

[36] نوثر وكافاييس 1937 ، ص 16. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 827.

[37] بيرون 1921 ، ص 162.

[Kanamori4-39] 1 2 كاناموري 2012 ، ص. 4 .

[40] غراي 1994 ، ص 827-828 .

[41] بيرون 1921 ، ص 162

[43] فرانكل 1930 ، ص 237. الترجمة الإنجليزية: غراي 1994 ، ص 823 .

[44] كابلانسكي 1972 ، ص 25 .

[46] غراي 1994 ، ص 829-830 .

[47] غراي 1994 ، ص 821-824 .

[49] بيل 1937 ، ص 568-569 ؛ هاردي ورايت 1938 ، ص 159 (الطبعة السادسة، ص 205-206 ) ؛ بيركوف وماك لين 1941 ، ص 392 ، (الطبعة الخامسة، ص 436-437 ) ؛ سبيفاك 1967 ، ص 369-370 (الطبعة الرابعة، ص 448-449 ) .

[51] Dasgupta 2014 ، ص 107 ؛ Sheppard 2014 ، ص 131-132 .

[52] جارفيس 2014 ، ص 18 ؛ تشودري 2015 ، ص 19 ؛ ستيوارت 2015 ، ص 285 ؛ ستيوارت وتال 2015 ، ص 333 .

[53] بيركوف وماك لين 1941 ، ص 392 ، (الطبعة الخامسة، ص 436 - 437).

[54] بيرتون 1995 ، ص 595.

[55] Dauben 1979 ، ص 69.

[56] غراي 1994 ، ص 824.

[Ferreiros184-58] 1 2 فيريروس 2007 ، ص. 184 .

[59] نويثر وكافيليس 1937 ، ص 12-16 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص 843-846 .

[60] Dauben 1979 ، ص 67 .

[Noether16_17-61] 1 2 3 4 نويثر وكافيليس 1937 ، ص 16-17 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 847 .

[62] غراتان-غينيس 1971 ، ص 124 .

[63] دوبين 1979 ، ص 67 ، 308-309 .

[64] فيريروس 2007 ، ص 184-185 ، 245 .

[65] فيريروس 2007 ، ص 185: من غير الواضح متى تغير موقفه، ولكن هناك دليل على أنه بحلول منتصف ثمانينيات القرن التاسع عشر كان يقبل الاستنتاج بأن المجموعات اللانهائية لها قوى مختلفة [الأصول].

[66] فيريروس 2007 ، ص. 177 .

[67] دوبين 1979 ، ص 67-68 .

[68] فيريروس 2007 ، ص. 183 .

[69] فيريروس 2007 ، ص. 185 .

[70] فيريروس 2007 ، ص 109-111، 172-174.

[71] فيريروس 1993 ، ص 349-350 .

[72] نويثر وكافيليس 1937 ، ص 12-13 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص 844-845 .

[73] نويثر وكافيليس 1937 ، ص. 13 . الترجمة الإنجليزية: ايوالد 1996 ، ص. 845 .

[74] فيريروس 2007 ، ص. 179 .

[75] نويثر وكافيليس 1937 ، الصفحات من 14 إلى 16، 19 . الترجمة الإنجليزية: إيوالد 1996 ، الصفحات من 845 إلى 847، 849 .

[76] فيريروس 1993 ، ص 358-359 .

[77] فيريروس 1993 ، ص. 350 .

[79] كانتور 1878 ، ص 245-254 .

[80] كانتور 1879 ، ص 4.

[82] فيريروس 2007 ، ص 267-273 .

[83] فيريروس 2007 ، ص. السادس عشر، 320-321، 324 .

[84] كانتور 1878 ، ص 243 .

[85] هوكينز 1970 ، ص 103-106، 127 .

[86] هوكينز 1970 ، ص 118، 120-124، 127 .

[87] فيريروس 2007 ، ص 362–363 .

[88] كوهين 1963 ، ص 1143-1144 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ أ ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[

[

[

[

[

لذلك

[

[

[ 13 ]

[

[

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ E ]

[ F ]

على

نقاط

[

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[

[

[ 30 ]

[ ٣١ ]

[ ٣٢ ]

[ ١ ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ J ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ K ]

[ 37 ]

[ L ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ M ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[

[ 59 ]

[

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ N ]

[

[

[ ٦٦ ]

[ ٦٧ ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[

[

[

[

[

[

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗