تحويل موبيوس

النقاط الثابتة للتحويل $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ يتم الحصول على هذه القيم بحل معادلة النقطة الثابتة f ( γ ) = γ . بالنسبة لـ c ≠ 0 ، فإن لهذه المعادلة جذرين يتم الحصول عليهما بتوسيع هذه المعادلة إلى $${\displaystyle c\gamma ^{2}-(ad)\gamma -b=0\ ,}$$ وبتطبيق القانون العام لحل المعادلة التربيعية ، تكون الجذور هي $${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {(ad)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(ad)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$ مع التمييز $${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),}$$ حيث المصفوفة $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$ يمثل هذا التحويل. تتميز التحويلات المكافئة بنقاط ثابتة متطابقة نظرًا لأن المميز يساوي صفرًا. أما إذا كان c غير صفري وكان المميز غير صفري، فإن التحويل يكون إهليلجيًا أو زائديًا.

عندما c = 0 ، تتحول المعادلة التربيعية إلى معادلة خطية، ويكون التحويل خطيًا؛ في هذه الحالة، تكون إحدى النقاط الثابتة هي النقطة عند اللانهاية. عندما a ≠ d، تكون النقطة الثابتة الثانية محدودة، وتُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

في هذه الحالة ، سيكون التحويل تحويلاً بسيطاً يتكون من عمليات نقل ودوران وتمدد : $${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

إذا كانت c = 0 و a = d ، فإن كلتا النقطتين الثابتتين تقعان عند اللانهاية، ويتوافق تحويل موبيوس مع إزاحة خالصة: $${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

من الناحية الطوبولوجية، فإن حقيقة أن تحويلات موبيوس (غير المطابقة) تثبت نقطتين (مع التعددية) تتوافق مع خاصية أويلر للكرة التي تكون 2: $${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

أولًا، تتميز المجموعة الخطية الإسقاطية PGL(2, K ) بخاصية التعدي الثلاثي الحاد  - فلكل مجموعتين ثلاثيتين مرتبتين من نقاط مختلفة، يوجد تطبيق وحيد ينقل إحداهما إلى الأخرى، تمامًا كما هو الحال في تحويلات موبيوس، وذلك بنفس البرهان الجبري (الذي يعتمد أساسًا على حساب الأبعاد ، لأن المجموعة ثلاثية الأبعاد). وبالتالي، فإن أي تطبيق يثبت ثلاث نقاط على الأقل هو تطبيق الوحدة.

بعد ذلك، يمكن للمرء أن يرى ذلك من خلال تحديد مجموعة موبيوس مع${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$أي دالة موبيوس متماثلة مع دالة التطابق. في الواقع، يمكن اختزال أي عنصر من عناصر المجموعة الخطية العامة إلى دالة التطابق باستخدام حذف غاوس-جوردان ، مما يدل على أن المجموعة الخطية الإسقاطية متصلة مساريًا أيضًا، مما يوفر تماثلًا مع دالة التطابق. تنص نظرية ليفشيتز-هوبف على أن مجموع مؤشرات (أو تعدد) النقاط الثابتة لدالة ذات عدد محدود من النقاط الثابتة يساوي عدد ليفشيتز للدالة، وهو في هذه الحالة أثر دالة التطابق على مجموعات التماثل، وهو ببساطة خاصية أويلر.

على النقيض من ذلك، فإن المجموعة الخطية الإسقاطية للخط الإسقاطي الحقيقي ، PGL(2, R )، لا تحتاج إلى تحديد أي نقاط  - على سبيل المثال${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$ليس لها نقاط ثابتة (حقيقية): فهي، كتحويل معقد، تثبت ± i ^{[ ملاحظة 1 ]}  – بينما يثبت التطبيق 2 x النقطتين 0 و ∞. وهذا يتوافق مع حقيقة أن خاصية أويلر للدائرة (الخط الإسقاطي الحقيقي) تساوي صفرًا، وبالتالي تنص نظرية ليفشيتز للنقاط الثابتة على أنها يجب أن تثبت على الأقل صفر نقطة، وربما أكثر.

تُكتب تحويلات موبيوس أحيانًا بدلالة نقاطها الثابتة فيما يُسمى بالصيغة الطبيعية . سنتناول أولًا الحالة غير المكافئة، والتي لها نقطتان ثابتتان مختلفتان.

الحالة غير المكافئة :

كل تحويل غير مكافئ يكون مترافقًا مع عملية تمدد/دوران، أي تحويل من الشكل $${\displaystyle z\mapsto kz}$$( k ∈ C ) بنقاط ثابتة عند 0 و∞. لتوضيح ذلك، عرّف دالة $${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$ وهذا يُرسل النقطتين ( γ1 , γ2 ) إلى (0, _∞ ). نفترض هنا أن γ1 و γ2 _نقطتان مختلفتان ومحدودتان. إذا كانت إحداهما عند اللانهاية، فيمكن تعديل الدالة _{g لتثبيت} اللانهاية وإرسال النقطة الأخرى إلى الصفر.

إذا كانت _للدالة f نقاط ثابتة مميزة ( γ1 _، γ2 ) ، فإن التحويل${\displaystyle gfg^{-1}}$لها نقاط ثابتة عند 0 و ∞ وبالتالي فهي عملية تمدد:${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$ويمكن كتابة معادلة النقطة الثابتة للتحويل f على النحو التالي$${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

بحل المعادلة لإيجاد قيمة f نحصل على (في شكل مصفوفة): $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$ أو، إذا كانت إحدى النقاط الثابتة عند اللانهاية: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

من التعبيرات المذكورة أعلاه، يمكن حساب مشتقات الدالة f عند النقاط الثابتة: $${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$و$${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

لاحظ أنه، بمعرفة ترتيب النقاط الثابتة، يمكننا تمييز أحد معاملات ( k ) الدالة f باعتباره الثابت المميز لها . ويُكافئ عكس ترتيب النقاط الثابتة أخذ معكوس معامل الثابت المميز. $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

في التحويلات اللوكسودرومية، عندما تكون قيمة | k | أكبر من 1 ، يُقال إن γ1 هي النقطة الثابتة التنافرية ، و γ2 هي النقطة الثابتة الجاذبة . أما عندما تكون قيمة _{| k} | أقل من 1 ، فينعكس الوضع.

الحالة المكافئة :

في الحالة المكافئة، توجد نقطة ثابتة واحدة فقط γ . التحويل الذي ينقل تلك النقطة إلى ∞ هو $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$ أو المتطابقة إذا كانت γ بالفعل عند اللانهاية. التحويل${\displaystyle gfg^{-1}}$يُثبّت اللانهاية، وبالتالي فهو ترجمة: $${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

هنا، يُطلق على β اسم طول الإزاحة . وتكون صيغة النقطة الثابتة للتحويل المكافئ هي $${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

بحل المعادلة لإيجاد قيمة f (في شكل مصفوفة) نحصل على $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}} لاحظ أن ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta$ ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta  ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^ {2}=1}

إذا كانت γ = ∞ : $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}

لاحظ أن β ليس الثابت المميز للدالة f ، والذي يساوي دائمًا 1 في التحويل المكافئ. من الصيغ السابقة، يمكن حساب ما يلي :$${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

لو${\displaystyle c\neq 0}$، يترك:

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$(ترجمة د / ج )
• ${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}}\quad }$(الانعكاس والانقلاب بالنسبة للمحور الحقيقي)
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$(التجانس والدوران)
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(ترجمة أ / ج )

ثم يمكن تركيب هذه الدوال ، مما يدل على أنه إذا $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$ يمتلك المرء $${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$ بمعنى آخر، يمتلك المرء $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$ مع $${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

هذا التفكيك يجعل العديد من خصائص تحويل موبيوس واضحة.

_{يمكن استنتاج} وجود تحويل موبيوس العكسي وصيغته الصريحة بسهولة من خلال تركيب الدوال العكسية للتحويلات الأبسط. أي، نُعرّف الدوال g₁ ، _g₂ ، _g₃ ، _g₄ بحيث تكون كل دالة gᵢ _هي معكوس fᵢ _. عندئذٍ يكون التركيب $${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$ يعطي صيغة للعكس.

من هذا التحليل، نرى أن تحويلات موبيوس تنقل جميع الخصائص غير البديهية لانعكاس الدائرة . على سبيل المثال، يقتصر الحفاظ على الزوايا على إثبات أن انعكاس الدائرة يحافظ على الزوايا، لأن أنواع التحويلات الأخرى هي التمددات والتماثلات ( الانتقال، والانعكاس، والدوران)، والتي تحافظ على الزوايا بشكل بديهي.

علاوة على ذلك، تُحوّل تحويلات موبيوس الدوائر المعممة إلى دوائر معممة، لأن انعكاس الدائرة يتمتع بهذه الخاصية. الدائرة المعممة إما دائرة أو خط، ويُعتبر الخط دائرة تمر بنقطة اللانهاية. تجدر الإشارة إلى أن تحويل موبيوس لا يُحوّل الدوائر بالضرورة إلى دوائر والخطوط إلى خطوط، بل قد يمزج بينهما. حتى لو حوّل دائرة إلى دائرة أخرى، فإنه لا يُحوّل بالضرورة مركز الدائرة الأولى إلى مركز الدائرة الثانية.

تظل النسب المتقاطعة ثابتة تحت تحويلات موبيوس. أي، إذا قام تحويل موبيوس بتحويل أربع نقاط متميزة${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$إلى أربع نقاط متميزة${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$على التوالي، ثم $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

إذا كانت إحدى النقاط${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$إذا كانت النقطة عند اللانهاية، فيجب تعريف النسبة التبادلية بأخذ النهاية المناسبة؛ على سبيل المثال، النسبة التبادلية لـ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$يكون $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

تكون النسبة التبادلية لأربع نقاط مختلفة حقيقية إذا وفقط إذا كان هناك خط مستقيم أو دائرة تمر بها. هذه طريقة أخرى لإثبات أن تحويلات موبيوس تحافظ على الدوائر المعممة.

تكون النقطتان z1 _و z2 مترافقتين بالنسبة لدائرة معممة C ، إذا _كانت ، _عند إعطاء دائرة معممة D تمر بالنقطتين z1 و _z2 وتقطع C في نقطتين a و b ، تكون ( z1 , z2 _; a , _b ) مترافقتين توافقياً (أي أن نسبة تعامدهما تساوي -1). لا تعتمد هذه الخاصية على اختيار الدائرة D. ويُشار إلى هذه الخاصية أحيانًا بأنها متناظرة بالنسبة لخط مستقيم أو دائرة. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تكون النقطتان z و z ^* مترافقتين بالنسبة لخط مستقيم إذا كانتا متناظرتين بالنسبة لهذا الخط. وتكون النقطتان مترافقتين بالنسبة لدائرة إذا تم تبديلهما بانعكاس الدائرة .

تكون النقطة z ^* مترافقة مع z عندما يكون L هو الخط المحدد بواسطة المتجه بناءً على e ^iθ ، عند النقطة z _0. ويمكن التعبير عن ذلك صراحةً كما يلي: $${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

تكون النقطة z ^* مترافقة مع z عندما تكون C دائرة نصف قطرها r ، مركزها z₀ _. ويمكن التعبير عن ذلك صراحةً كما يلي: $${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

بما أن تحويلات موبيوس تحافظ على الدوائر المعممة والنسب التبادلية، فإنها تحافظ أيضًا على الاقتران.

إن التأثير الطبيعي لمجموعة PGL(2, C ) على الخط الإسقاطي المركب CP ¹ هو بالضبط التأثير الطبيعي لمجموعة موبيوس على كرة ريمان.

لأي حقل K ، يمكن بالمثل تعريف مجموعة PGL(2, K ) للتشاكلات الخطية الإسقاطية بأنها مجموعة التحويلات الخطية الكسرية. ويُستخدم هذا على نطاق واسع؛ على سبيل المثال في دراسة تجانسات الخط الحقيقي وتطبيقاتها في علم البصريات .

إذا قسم المرء${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$بأخذ الجذر التربيعي لمحددها، نحصل على مصفوفة محددة بواحد. وهذا يُنشئ تشاكلًا شاملًا بين الزمرة الخطية الخاصة SL(2, C ) و PGL(2, C ) ، مع${\displaystyle \pm I}$باعتبارها جوهرها.

يُتيح هذا إثبات أن زمرة موبيوس هي زمرة لي عقدية ثلاثية الأبعاد (أو زمرة لي حقيقية سداسية الأبعاد)، وهي شبه بسيطة وغير متراصة ، وأن SL(2, C ) غطاء مزدوج لـ PSL(2, C ) . وبما أن SL(2, C ) متصلة ببساطة ، فهي الغطاء الشامل لزمرة موبيوس، والزمرة الأساسية لزمرة موبيوس هي Z² _. 

بالنظر إلى مجموعة من ثلاث نقاط متميزة${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$على كرة ريمان ومجموعة ثانية من النقاط المتميزة${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$يوجد تحويل موبيوس واحد فقط${\displaystyle f(z)}$مع${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$لـ​${\displaystyle j=1,2,3}$( بمعنى آخر: تأثير زمرة موبيوس على كرة ريمان هو تأثير متعدي ثلاثي حاد ). هناك عدة طرق لتحديد${\displaystyle f(z)}$من مجموعات النقاط المعطاة.

تحويل موبيوس غير متطابق مُعرَّف بواسطة مصفوفة${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$يُقال إن أحد المحددات مكافئ إذا $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$ (لذا فإن الأثر هو زائد أو ناقص 2؛ يمكن أن يحدث أي منهما لتحويل معين لأن${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$يتم تحديد ذلك فقط حتى التوقيع). في الواقع، أحد الخيارات لـ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$لها نفس متعددة الحدود المميزة X² ^- ​​2X + 1 مثل مصفوفة الوحدة ، وبالتالي فهي أحادية القوة . يكون تحويل موبيوس مكافئًا إذا وفقط إذا كان له نقطة ثابتة واحدة فقط في المستوى العقدي الممتد${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$، وهو ما يحدث إذا وفقط إذا كان من الممكن تعريفه بواسطة مصفوفة مترافقة لـ$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$ وهو ما يصف عملية انتقال في المستوى المركب.

مجموعة جميع تحويلات موبيوس المكافئة ذات نقطة ثابتة معينة في${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$تشكل هذه المجموعة، إلى جانب عنصر الوحدة، مجموعة فرعية متماثلة مع مجموعة المصفوفات. $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$ هذا مثال على الجذر أحادي القوة لمجموعة فرعية من بوريل (من مجموعة موبيوس، أو SL(2, C ) لمجموعة المصفوفة؛ يتم تعريف المفهوم لأي مجموعة لي اختزالية ).

جميع التحويلات غير المكافئة لها نقطتان ثابتتان ويتم تعريفها بواسطة مصفوفة مترافقة لـ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$ مع العدد المركب λ الذي لا يساوي 0 أو 1 أو -1، والذي يتوافق مع التمدد / الدوران من خلال الضرب بالعدد المركب k = λ ² ، والذي يسمى الثابت المميز أو مضاعف التحويل.

يُقال إن التحويل إهليلجي إذا أمكن تمثيله بمصفوفة.${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$من المحدد 1 بحيث $${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

يكون التحويل إهليلجيًا إذا وفقط إذا كان | λ | = 1 و λ ≠ ±1 . كتابة${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$التحويل الإهليلجي يكون مترافقًا مع $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$ مع كون α حقيقيًا.

لأي​${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$مع ثابت مميز k ، وهو الثابت المميز لـ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$هي k ⁿ . وبالتالي، فإن جميع تحويلات موبيوس ذات الرتبة المحدودة هي تحويلات إهليلجية، وتحديدًا تلك التي يكون فيها λ جذرًا للوحدة ، أو بصورة مكافئة، حيث يكون α مضاعفًا كسريًا لـ π . أبسط احتمال لمضاعف كسري يعني α = π /2 ، وهي أيضًا الحالة الوحيدة لـ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$، ويُشار إليه أيضًا بـالتحويل الدائري ؛ وهو يُقابل هندسيًا الدوران بزاوية 180 درجة حول نقطتين ثابتتين. يتم تمثيل هذه الفئة في شكل مصفوفة كما يلي: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ هناك 3 ممثلين يثبتون {0، 1، ∞}، وهي عمليات النقل الثلاثة في مجموعة التناظر لهذه النقاط الثلاث:${\displaystyle 1/z,}$والتي تثبت 1 وتبدل 0 مع ∞ (دوران بمقدار 180 درجة حول النقطتين 1 و -1)،${\displaystyle 1-z}$، الذي يثبت ∞ ويبدل 0 بـ 1 (دوران بمقدار 180 درجة حول النقطتين 1/2 و ∞ )، و${\displaystyle z/(z-1)}$والذي يثبت 0 ويبدل 1 مع ∞ (دوران بمقدار 180 درجة حول النقطتين 0 و 2).

يُقال إن التحويل زائدي إذا أمكن تمثيله بمصفوفة.${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$أثره حقيقي مع $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

يكون التحويل زائديًا إذا وفقط إذا كان λ حقيقيًا و λ ≠ ±1 .

يُقال إن التحويل لوكسودرومي إذا${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$ليس في [0، 4] . يكون التحويل لوكسودروميًا إذا وفقط إذا${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$.

تاريخياً، يشير مصطلح الملاحة باستخدام خط اللوكسودروم أو خط الرومب إلى مسار ذي اتجاه ثابت ؛ والمسار الناتج هو حلزون لوغاريتمي ، يشبه في شكله تحويلات المستوى المركب التي يُجريها تحويل موبيوس اللوكسودرومي. انظر الأشكال الهندسية أدناه.

في مجموعة الأعداد الحقيقية (إذا كانت المعاملات حقيقية بالضرورة)، لا توجد تحويلات لوكسودرومية غير زائدية، ويتم تصنيفها إلى إهليلجية، ومكافئة، وزائدية، كما هو الحال في القطوع المخروطية الحقيقية . يعود هذا المصطلح إلى اعتبار نصف القيمة المطلقة للأثر، |tr|/2، بمثابة لا مركزية التحويل  - القسمة على 2 تُصحح البُعد، لذا فإن دالة التطابق لها لا مركزية تساوي 1 (يُستخدم tr/ n أحيانًا كبديل للأثر لهذا السبب)، والقيمة المطلقة تُصحح كون الأثر مُعرّفًا فقط حتى عامل ±1 بسبب العمل في نظام PSL. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام نصف مربع الأثر كبديل لمربع اللا مركزية، كما ذُكر أعلاه؛ تتفق هذه التصنيفات (ولكن ليس قيم اللا مركزية الدقيقة، لأن التربيع والقيم المطلقة مختلفان) بالنسبة للآثار الحقيقية ولكن ليس بالنسبة للآثار المركبة. تُستخدم المصطلحات نفسها لتصنيف عناصر SL(2, R ) (الغطاء الثنائي)، وتُستخدم تصنيفات مماثلة في مواضع أخرى. تُعدّ التحويلات اللوكسودرومية ظاهرة معقدة بطبيعتها، وتُقابلها انحرافات معقدة.

إذا كانت ρ = 0 ، فإن النقاط الثابتة ليست جاذبة ولا دافعة، بل متساوية، ويُقال إن التحويل إهليلجي . تميل هذه التحويلات إلى تحريك جميع النقاط في دوائر حول النقطتين الثابتتين. إذا كانت إحدى النقطتين الثابتتين عند اللانهاية، فإن هذا يُكافئ إجراء دوران تآلفي حول نقطة.

إذا أخذنا المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد المولدة من أي تحويل موبيوس إهليلجي، نحصل على تحويل متصل، بحيث يُثبّت كل تحويل في المجموعة الفرعية النقطتين نفسيهما . أما باقي النقاط فتتحرك على طول مجموعة من الدوائر المتداخلة بين النقطتين الثابتتين على كرة ريمان. وبشكل عام، يمكن أن تكون النقطتان الثابتتان أي نقطتين مختلفتين.

لهذا تفسير فيزيائي هام. تخيل أن مراقبًا ما يدور بسرعة زاوية ثابتة حول محور ما. عندئذٍ، يمكننا اعتبار النقطتين الثابتتين هما القطبين الشمالي والجنوبي للكرة السماوية. يتغير مظهر السماء ليلًا بشكل مستمر تمامًا كما هو موضح في المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد من التحويلات الإهليلجية التي تشترك في النقطتين الثابتتين 0 و∞، مع العدد α الذي يُمثل السرعة الزاوية الثابتة للمراقب.

فيما يلي بعض الأشكال التي توضح تأثير تحويل موبيوس الإهليلجي على كرة ريمان (بعد الإسقاط المجسم على المستوى):

توضح هذه الصور تأثير تحويل موبيوس واحد. تعمل المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد التي يولدها هذا التحويل على تحريك النقاط باستمرار على طول عائلة الأقواس الدائرية التي تشير إليها الصور.

إذا كانت قيمة α تساوي صفرًا (أو من مضاعفات 2π ) ، فإن التحويل يُقال إنه تحويل زائدي . تميل هذه التحويلات إلى تحريك النقاط على مسارات دائرية من نقطة ثابتة إلى أخرى.

إذا أخذنا المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد المولدة بواسطة أي تحويل موبيوس زائدي، نحصل على تحويل متصل، بحيث يُثبّت كل تحويل في المجموعة الفرعية النقطتين نفسيهما . أما باقي النقاط فتتحرك على طول مجموعة معينة من الأقواس الدائرية مبتعدةً عن النقطة الثابتة الأولى ومتجهةً نحو النقطة الثابتة الثانية. وبشكل عام، يمكن أن تكون النقطتان الثابتتان أي نقطتين مختلفتين على كرة ريمان.

لهذا أيضًا تفسير فيزيائي مهم. تخيل أن مراقبًا يتسارع (بمقدار ثابت) باتجاه القطب الشمالي على كرته السماوية. عندئذٍ، يتغير مظهر السماء ليلًا تمامًا كما هو موضح في المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد من التحويلات الزائدية التي تشترك في النقاط الثابتة 0، ∞، مع العدد الحقيقي ρ الذي يُمثل مقدار متجه تسارعه. تبدو النجوم وكأنها تتحرك على طول خطوط الطول، مبتعدةً عن القطب الجنوبي باتجاه القطب الشمالي. (تظهر خطوط الطول كأقواس دائرية عند الإسقاط المجسم من الكرة إلى المستوى).

فيما يلي بعض الأشكال التي توضح تأثير تحويل موبيوس الزائدي على كرة ريمان (بعد الإسقاط المجسم على المستوى):

تشبه هذه الصور خطوط المجال لشحنة كهربائية موجبة وسالبة موجودة عند النقاط الثابتة، لأن خطوط التدفق الدائرية تشكل زاوية ثابتة بين النقطتين الثابتتين.

إذا كانت كل من ρ و α غير صفريتين، يُقال إن التحويل لوكسودرومي . تميل هذه التحويلات إلى نقل جميع النقاط في مسارات على شكل حرف S من نقطة ثابتة إلى أخرى.

كلمة " لوكسودروم " مشتقة من اليونانية: "λοξος (loxos)، بمعنى مائل + δρόμος (dromos)، بمعنى مسار ". عند الإبحار باتجاه ثابت - إذا حافظت على اتجاه (مثلاً) نحو الشمال الشرقي - فسوف ينتهي بك الأمر بالإبحار حول القطب الشمالي في مسار لولبي لوغاريتمي . في إسقاط مركاتور، يكون هذا المسار خطًا مستقيمًا، حيث يمتد القطبان الشمالي والجنوبي إلى ما لا نهاية. الزاوية التي يشكلها اللوكسودروم بالنسبة لخطوط الطول (أي ميله، "ضيق" اللولب) هي قيمة k . بالطبع، قد يكون لتحويلات موبيوس نقطتان ثابتتان في أي مكان، وليس فقط عند القطبين الشمالي والجنوبي. لكن أي تحويل لوكسودرومي سيكون مترافقًا مع تحويل ينقل جميع النقاط على طول هذه اللوكسودرومات.

إذا أخذنا المجموعة الفرعية ذات المعامل الواحد المولدة بواسطة أي تحويل موبيوس لوكسودرومي، نحصل على تحويل متصل، بحيث يُثبّت كل تحويل في المجموعة الفرعية النقطتين نفسيهما . تتدفق جميع النقاط الأخرى على طول عائلة معينة من المنحنيات، مبتعدةً عن النقطة الثابتة الأولى ومتجهةً نحو النقطة الثابتة الثانية. على عكس الحالة الزائدية، فإن هذه المنحنيات ليست أقواسًا دائرية، بل هي منحنيات معينة تظهر، عند إسقاطها المجسم من الكرة إلى المستوى، كمنحنيات حلزونية تلتف عكس اتجاه عقارب الساعة عددًا لا نهائيًا من المرات حول إحدى النقطتين الثابتتين، وتلتف مع اتجاه عقارب الساعة عددًا لا نهائيًا من المرات حول النقطة الثابتة الأخرى. بشكل عام، يمكن أن تكون النقطتان الثابتتان أي نقطتين مختلفتين على كرة ريمان.

ربما يمكنك تخمين التفسير الفيزيائي في حالة كون النقطتين الثابتتين 0،  ∞: المراقب الذي يدور (بسرعة زاوية ثابتة) حول محور ما ويتحرك على طول نفس المحور، سيرى تحول مظهر سماء الليل وفقًا لمجموعة فرعية ذات معلمة واحدة من تحويلات لوكسودرومية مع نقاط ثابتة 0، ∞، ومع ρ ، α التي يتم تحديدها على التوالي بواسطة مقدار السرعات الخطية والزاوية الفعلية.

تُظهر هذه الصور تحويلات موبيوس مُسقطة مجسمياً على كرة ريمان . لاحظ على وجه الخصوص أنه عند إسقاطها على كرة، فإن الحالة الخاصة لنقطة ثابتة في اللانهاية لا تختلف عن وجود النقاط الثابتة في أي موقع آخر.

نقطة ثابتة واحدة عند اللانهاية
النقاط الثابتة المتقابلة قطريًا
نقاط ثابتة في موقع عشوائي

لاحظ العديد من المؤلفين وجود تماثل بين مجموعة موبيوس ومجموعة لورنتز : استنادًا إلى العمل السابق لفيلكس كلاين (1893، 1897) ^{[ 11 ]} حول الدوال الذاتية المتعلقة بالهندسة الزائدية وهندسة موبيوس، أظهر جوستاف هيرغلوتز (1909) ^{[ 12 ]} أن الحركات الزائدية (أي التشاكلات الذاتية المتساوية القياس للفضاء الزائدي ) التي تحول كرة الوحدة إلى نفسها تتوافق مع تحويلات لورنتز، والتي تمكن هيرغلوتز من خلالها من تصنيف تحويلات لورنتز ذات المعلمة الواحدة إلى مجموعات لوكسودرومية وإهليلجية وزائدية ومكافئة. ومن بين المؤلفين الآخرين إميل أرتين (1957)، ^{[ 13 ]} وإتش إس إم كوكسيتر (1965)، ^{[ 14 ]} وروجر بنروز ، وولفغانغ ريندلير (1984)، ^{[ 15 ]} وتريستان نيدهام (1997) ^{، [ 16 ]} ودبليو إم أوليفيا (2002). ^{[ 17 ]}

يتكون فضاء مينكوفسكي من فضاء الإحداثيات الحقيقية رباعي الأبعاد _R⁴ ، ^والذي يتكون من فضاء الرباعيات المرتبة ( x₀ , x₁ _, x₂ , x₃ ₎ من الأعداد الحقيقية، بالإضافة إلى شكل تربيعي _.$${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

باستخدام مصطلحات من النسبية الخاصة ، تُعتبر النقاط التي يكون فيها Q > 0 نقاطًا زمنية ؛ بالإضافة إلى ذلك، إذا كان _x₀ > 0 ، تُسمى النقطة نقطة مستقبلية . أما النقاط التي يكون فيها _Q < 0 فتُسمى نقاطًا مكانية . يتكون المخروط الصفري S من النقاط التي يكون فيها ^Q = 0 ؛ أما المخروط الصفري المستقبلي N⁺ فهو النقاط الواقعة على المخروط الصفري والتي يكون فيها x₀ > 0. تُعرَّف الكرة السماوية بمجموعة الأشعة في N⁺ التي تكون نقطة بدايتها هي أصل R⁴ . تشكل مجموعة التحويلات الخطية على R⁴ ذات المحدد الموجب ^، والتي تحافظ على الشكل التربيعي Q وتحافظ على اتجاه الزمن، ^مجموعة لورنتز المقيدة SO⁺ (1, 3 ^{) .}

فيما يتعلق بهندسة الكرة السماوية، تُعرَّف مجموعة التحويلات SO ⁺ (1, 3) _{بمجموعة} تحويلات موبيوس للكرة ^PSL (2, C ) . لكل ( x0 _, x1 _, x2 , x3 ₎ ∈ R4 ، تُربط المصفوفة الهرميتية$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

محدد المصفوفة X يساوي Q ( x₀ _, x₁ _, x₂ , x₃ ) . وتؤثر المجموعة _الخطية الخاصة على فضاء هذه المصفوفات _عبر

${\displaystyle X\mapsto AXA^{*}}$

1

لكل A ∈ SL(2, C ) ، يحافظ هذا التأثير لـ SL(2, C ) على محدد X لأن det A = 1. وبما أن محدد X يُطابق الشكل التربيعي Q ، فإن SL(2, C ) تعمل بتحويلات لورنتز. من الناحية البُعدية، تُغطي SL(2, C ) جوارًا لهوية SO(1, 3) . ولأن SL(2, C ) متصلة، فإنها تُغطي زمرة لورنتز المقيدة SO ⁺ (1, 3) بأكملها . علاوة على ذلك، بما أن نواة التأثير ( 1 ) هي الزمرة الجزئية {± I } ، فإن الانتقال إلى زمرة القسمة يُعطي تماثل الزمر.

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )\cong \operatorname {SO} ^{+}(1,3).}$

2

بالتركيز الآن على الحالة التي تكون فيها ( x0 _, x1 _, x2 , x3 ) معدومة، فإن المصفوفة X لها محدد _{صفري ،} وبالتالي تنقسم إلى حاصل الضرب الخارجي لمتجه ثنائي معقد ξ مع مرافقه المعقد:

${\displaystyle X=\xi {\bar {\xi }}^{\text{T}}=\xi \xi ^{*}.}$

3

يتم تطبيق SL(2, C ) على المتجه ذي المركبتين ξ بطريقة متوافقة مع ( 1 ). من الواضح الآن أن نواة تمثيل SL(2, C ) على المصفوفات الهرميتية هي {± I } .

يمكن وصف تأثير PSL(2, C ) على الكرة السماوية هندسيًا باستخدام الإسقاط المجسم . لننظر أولًا إلى المستوى الفائق في R⁴ المعطى بالمعادلة _x₀ = 1. يمكن تعريف الكرة السماوية بالكرة S⁺ ^{الناتجة} عن تقاطع المستوى الفائق مع المخروط الصفري المستقبلي ^{N⁺ .} الإسقاط المجسم من القطب الشمالي (1, 0, 0, 1) لهذه الكرة _على المستوى x₃ = 0 يأخذ نقطة إحداثياتها (1 _, x₁ , _{x₂ ,} x₃ ) .  $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$ مباشرة إلى النقطة $${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

تقديم الإحداثيات المركبة$${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$يُعطي الإسقاط المجسم العكسي الصيغة التالية لنقطة ( x1 _، x2 _، x3 ₎ على S + ^:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\zeta +{\bar {\zeta }}}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}\\x_{2}&={\frac {\zeta -{\bar {\zeta }}}{i(\zeta {\bar {\zeta }}+1)}}\\x_{3}&={\frac {\zeta {\bar {\zeta }}-1}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}.\end{aligned}}}$

4

لا يحافظ تأثير SO ⁺ (1, 3) على نقاط N ^{+ على المستوى الفائق} S ⁺ ، ولكن تطبيقه على نقاط في S ⁺ ثم إعادة قياسه بحيث تكون النتيجة مرة أخرى في S ⁺ يُعطي تأثيرًا لـ SO ⁺ (1, 3) على الكرة، والذي يتحول بدوره إلى تأثير على المتغير المركب ζ . في الواقع، يتم هذا التأثير بواسطة تحويلات خطية كسرية، على الرغم من أن هذا لا يظهر بوضوح من هذا التمثيل للكرة السماوية. في المقابل، أي تحويل خطي كسري للمتغير ζ يتحول إلى تحويل لورنتز فريد على N ⁺ ، ربما بعد إعادة قياس مناسبة (محددة بشكل فريد).

يتمثل الوصف الأكثر ثباتًا للإسقاط المجسم، والذي يسمح برؤية الحركة بشكل أوضح، في اعتبار المتغير ζ = z : w كنسبة بين زوج من الإحداثيات المتجانسة للخط الإسقاطي المركب CP ^1. يتحول الإسقاط المجسم إلى تحويل من C ² − {0} إلى N ⁺ ، وهو تحويل متجانس من الدرجة الثانية بالنسبة للمقاييس الحقيقية.

${\displaystyle (z,w)\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(z{\bar {z}}+w{\bar {w}},z{\bar {z}}-w{\bar {w}},z{\bar {w}}+w{\bar {z}},i^{-1}(z{\bar {w}}-w{\bar {z}}))}$

5

وهو ما يتفق مع ( 4 ) عند تقييده بالمقاييس التي${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$مكونات ( 5 ) هي تحديدًا تلك التي تم الحصول عليها من الضرب الخارجي $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

باختصار، يتوافق تأثير زمرة لورنتز المقيدة SO ⁺ (1,3) مع تأثير زمرة موبيوس PSL(2, C ) . وهذا ما يُبرر التعريف التالي: في البُعد n ≥ 2 ، تُعرَّف زمرة موبيوس Möb( n ) بأنها زمرة جميع التحويلات التماثلية المحافظة على الاتجاه للكرة المستديرة Sn بالنسبة ^لنفسها . وباعتبار الكرة التماثلية فضاءً للأشعة المتجهة نحو المستقبل للمخروط الصفري في فضاء مينكوفسكي R1 ^,n+1 ، يوجد تماثل بين Möb( n ) وزمرة لورنتز المقيدة SO ⁺ (1, n +1) لتحويلات لورنتز ذات المحدد الموجب، والتي تحافظ على اتجاه الزمن.

بدأ كوكسيتر بدلاً من ذلك بالصيغة التربيعية المكافئة .${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$⁠ .

حدد مجموعة لورنتز بالتحويلات التي يكون عندها { x | Q( x ) = −1} مستقرًا . ثم فسر xتُعتبر إحداثيات متجانسة ، و { x | Q( x ) = 0} ، المخروط الصفري ، بمثابة القيمة المطلقة لكايلي لفضاء زائدي من النقاط { x | Q( x ) < 0} . بعد ذلك، قدم كوكسيتر المتغيرات. $${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$ بحيث يتوافق السطح التربيعي الثابت لورنتز مع الكرة ⁠${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$يشير كوكسيتر إلى أن فيليكس كلاين كتب أيضًا عن هذا التوافق، مطبقًا الإسقاط المجسم من (0، 0، 1) إلى المستوى المركب${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$استخدم كوكسيتر حقيقة أن دوائر المستوى العكسي تمثل مستويات الفضاء الزائدي، وأن التماثل العام هو ناتج الانعكاسات في دائرتين أو أربع دوائر، وهو ما يتوافق مع الإزاحة الزائدية العامة التي هي ناتج الانعكاسات في مستويين أو أربعة مستويات.