5-متعدد الوجوه

رسوم بيانية لثلاثة متعددات وجوه منتظمة وثلاثة متعددات وجوه موحدة من الدرجة 5.

5-simplex (Hexateron)	5-orthoplex ، 2 11 (Pentacross)	مكعب خماسي (بنتراكت)
5-simplex الموسع	5-أورثوبلكس المعدل	5-ديميكوب ، 1 21 (ديميبنتراكت)

في الهندسة ، متعدد السطوح خماسي الأبعاد (أو متعدد السطوح 5 أو متعدد السطوح ) هو متعدد السطوح في الفضاء خماسي الأبعاد ، محاط بأوجه ( متعدد السطوح 4 ) ، وتشترك أزواج منها في خلية متعددة السطوح .

المضلع الخماسي هو شكل مغلق خماسي الأبعاد يتكون من رؤوس وحواف ووجوه وخلايا ، وله أربعة وجوه . الرأس هو نقطة التقاء خمسة حواف أو أكثر. الحافة هي قطعة مستقيمة تلتقي عندها أربعة وجوه أو أكثر ، والوجه هو مضلع تلتقي عنده ثلاث خلايا أو أكثر. الخلية هي متعدد السطوح ، والوجه الرباعي هو مضلع رباعي . بالإضافة إلى ذلك، يجب استيفاء المتطلبات التالية:

1. يجب أن تتصل كل خلية باثنين من الوجوه الرباعية بالضبط.
2. الوجوه الرباعية المتجاورة ليست في نفس المستوى الفائق رباعي الأبعاد .
3. الشكل ليس مركباً من أشكال أخرى تستوفي الشروط.

تُحدد طوبولوجيا أي متعدد الوجوه ذي 5 أبعاد بواسطة أعداد بيتي ومعاملات الالتواء الخاصة به . ^{[ 1 ]}

لا يمكن تعميم قيمة خاصية أويلر المستخدمة لوصف المجسمات متعددة الأوجه بشكل مفيد إلى الأبعاد الأعلى، بغض النظر عن بنيتها الطوبولوجية الأساسية. وقد أدى هذا القصور في خاصية أويلر في التمييز بدقة بين البنى الطوبولوجية المختلفة في الأبعاد الأعلى إلى اكتشاف أعداد بيتي الأكثر تطوراً. ^{[ 1 ]}

وبالمثل، فإن مفهوم قابلية توجيه متعدد السطوح غير كافٍ لتوصيف التواءات سطح متعددات السطوح الحلقية، وقد أدى ذلك إلى استخدام معاملات الالتواء. ^{[ 1 ]}

يمكن تصنيف متعددات الوجوه الخماسية بناءً على خصائص مثل " التحدب " و " التناظر ".

• يكون متعدد السطوح الخماسي محدبًا إذا لم تتقاطع حدوده (بما في ذلك خلاياه ووجوهه وحوافه) مع نفسه، وكان الخط الواصل بين أي نقطتين من متعدد السطوح الخماسي محصورًا داخله أو داخله؛ وإلا فهو غير محدب . تُعرف متعددات السطوح الخماسية المتقاطعة ذاتيًا أيضًا باسم متعددات السطوح النجمية ، قياسًا على الأشكال النجمية لمتعددات السطوح كبلر-بوانسو غير المحدبة .
• المضلع الخماسي المنتظم له زمرة تناظر تكون جميع رؤوسه متكافئة، ووجوهه عبارة عن مضلعات رباعية منتظمة . يجب أن تكون وجوه المضلع المنتظم منتظمة .

• يحتوي متعدد السطوح شبه المنتظم ذو الخمسة أوجه على نوعين أو أكثر من أوجه متعدد السطوح المنتظم ذي الأربعة أوجه. يوجد شكل واحد فقط من هذا النوع، ويسمى نصف متعدد السطوح .
• المضلع الخماسي المنتظم له جميع أوجه متطابقة من المضلعات الرباعية المنتظمة. جميع المضلعات الخماسية المنتظمة محدبة.

• يُنشأ متعدد السطوح المنشوري ذو الأبعاد الخمسة من خلال الضرب الديكارتي لمتعددي سطوح أقل بُعدًا. ويكون متعدد السطوح المنشوري ذو الأبعاد الخمسة منتظمًا إذا كانت عوامله منتظمة. المكعب الفائق منشوري (ناتج ضرب مربع ومكعب )، ولكنه يُدرس بشكل منفصل لأنه يمتلك تناظرات أخرى غير تلك الموروثة من عوامله.
• التبليط رباعي الأبعاد هو تقسيم الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد إلى شبكة منتظمة من الأوجه متعددة الألوان. وبالمعنى الدقيق، لا تُعدّ التبليطات متعددة الوجوه لأنها لا تُحدّد حجمًا خماسي الأبعاد، ولكننا نُدرجها هنا من باب الإكمال نظرًا لتشابهها مع متعددات الوجوه في نواحٍ عديدة. التبليط رباعي الأبعاد المنتظم هو تبليط ترتبط رؤوسه بمجموعة فراغية ، وتكون أوجهه متعددة وجوه رباعية الأبعاد منتظمة.

يمكن تمثيل الأشكال متعددة الوجوه المنتظمة ذات 5 أوجه بواسطة رمز شلافلي { p , q , r , s } ، مع s { p , q , r } أوجه متعددة الألوان حول كل وجه .

يوجد ثلاثة أشكال متعددة الأوجه منتظمة محدبة من النوع 5 :

1. {3,3,3,3} – 5-simplex
2. {4,3,3,3} – مكعب خماسي
3. {3,3,3,4} – 5-orthoplex

بالنسبة للمضلعات الخماسية المنتظمة المحدبة الثلاثة والمضلعات الخماسية شبه المنتظمة الثلاثة، فإن عناصرها هي:

اسم	رمز (رموز) Schläfli	مخطط كوكسيتر (مخططات)	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	التناظر ( النظام )
5-simplex	{3,3,3,3}		6	15	20	15	6	A 5 , (120)
5 مكعبات	{4,3,3,3}		32	80	80	40	10	5 قبل الميلاد ، (3820)
5-أورثوبلكس	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		10	40	80	80	32	BC 5 ، (3840) 2×D 5

بالنسبة لثلاثة من متعددات الوجوه شبه المنتظمة ذات البعد 5، فإن عناصرها هي:

اسم	رمز (رموز) Schläfli	مخطط كوكسيتر (مخططات)	الرؤوس	الحواف	وجوه	الخلايا	أربعة أوجه	التناظر ( النظام )
5-simplex الموسع	t 0,4 {3,3,3,3}		30	120	210	180	162	2×A 5 ، (240)
5-نصف مكعب	{3,3 2,1 } h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D 5 ، (1920) ½BC 5
5-أورثوبلكس المعدل	t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	BC 5 ، (3840) 2×D 5

الشكل الخماسي الموسع هو شكل رأس قرص العسل الخماسي المنتظم . أما قرص العسل الخماسي نصف المكعب ، فشكل رأسه هو شكل خماسي مستقيم مُعدَّل، وأوجهه هي الشكل الخماسي المستقيم والشكل الخماسي نصف المكعب .

يمكن توليد متعددات الوجوه الهرمية الخماسية، أو الأهرامات الخماسية ، من قاعدة متعددة الوجوه رباعية في مستوى فائق رباعي الأبعاد متصل بنقطة خارج هذا المستوى. يُعدّ الشكل الخماسي البسيط أبسط مثال على ذلك، حيث تكون قاعدته رباعية بسيطة.

• قائمة متعددات الوجوه المنتظمة §  البعد 5 وما فوق

• تي. جوسيت : حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن ، رسول الرياضيات ، ماكميلان، 1900
• أ. بول ستوت (1910). "الخصم الهندسي للشبه المنتظم من متعددات الأسطح العادية وحشوات الفضاء" (PDF) . Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam . الحادي عشر (1). أمستردام: يوهانس مولر. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 29 أبريل 2025.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins und JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1954
  • إتش إس إم كوكسيتر، الأشكال المتعددة المنتظمة ، الطبعة الثالثة، دوفر، نيويورك، 1973
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيتش فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، wiley.com ، ISBN 978-0-471-01003-6
  • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
  • (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• إن دبليو جونسون : نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل ، أطروحة دكتوراه، جامعة تورنتو، 1966
• كليتزينغ، ريتشارد. "متعددات الوجوه المنتظمة خماسية الأبعاد (بوليتيرا) مع الاختصارات" .

• متعددات الوجوه ذات الأبعاد المختلفة ، جوناثان باورز
• بوليتيرا الموحدة ، جوناثان باورز
• معجم متعدد الأبعاد ، غاريت جونز