تيسيراكت

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة ، يُعرف المكعب الرباعي أو التيسيراكت بأنه مكعب فائق رباعي الأبعاد ، يُشابه المربع ثنائي الأبعاد والمكعب ثلاثي الأبعاد . [ 1 ] وكما يتكون محيط المربع من أربعة أضلاع، وسطح المكعب من ستة أوجه مربعة ، فإن السطح الفائق للتيسيراكت يتكون من ثماني خلايا مكعبة تلتقي بزوايا قائمة . يُعد التيسيراكت أحد الأشكال الستة المحدبة المنتظمة رباعية الأوجه .

يُطلق على المكعب الفائق أيضًا اسم ثماني الخلايا ، أو C 8 ، أو ثماني السطوح (المنتظم) ، أو المنشور المكعب . وهو متعدد السطوح رباعي الأبعاد ، يُعتبر وحدةً لقياس الحجم الفائق. [ 2 ] وقد أطلق عليه هارولد سكوت ماكدونالد كوكسيتر اسم متعدد السطوح γ 4. [ 3 ] ويُستخدم مصطلح المكعب الفائق، دون تحديد بُعد، غالبًا كمرادف لهذا متعدد السطوح تحديدًا .

بناء

يمكن تصور بناء المكعب الفائق من خلال تشبيه الأبعاد في الخطوات التالية:

  1. يمكن للمرء أن يختار نقطتين بطول معين تشكلان قطعة مستقيمة.
  2. إذا كان طول قطعة مستقيمة أخرى مماثلة لها في اتجاه عمودي عليها، فإنها تمسح السطح وتشكل مربعًا (مكعبًا ثنائي الأبعاد). يحتوي الناتج على أربع نقاط وأربع قطع مستقيمة، تُسمى رؤوسًا وحوافًا على التوالي.
  3. يؤدي تحريك المربع ذي الطول نفسه في الاتجاه العمودي على المستوى الذي يقع عليه إلى تكوين مكعب (مكعب ثلاثي الأبعاد). يحتوي هذا المكعب على ثمانية رؤوس، واثني عشر ضلعًا، وستة مربعات. تُسمى هذه المربعات بالوجوه.
  4. يؤدي تحريك المكعب بنفس الطول مرة أخرى إلى الفضاء رباعي الأبعاد إلى توليد مكعب رباعي الأبعاد (مكعب رباعي الأبعاد).

يتكون التيسيراكت من ثمانية مكعبات (خلاياه ) . يشترك كل مكعب في جميع أوجهه مع مكعب آخر. تلتقي ثلاثة مكعبات وثلاثة مربعات عند كل حافة. ​​وتلتقي أربعة مكعبات وستة مربعات وأربعة حواف عند كل رأس. يتكون التيسيراكت إجمالاً من ثمانية مكعبات وأربعة وعشرين مربعًا واثنين وثلاثين حافة وستة عشر رأسًا. يُعد التيسيراكت، مثله مثل المربع والمكعب، أحد أفراد عائلة المكعب الفائق . [ 4 ]

رسوم متحركة توضح تغير الأبعاد
يُعد صليب دالي واحداً من 261 شبكة تيسيراكت، تم فردها إلى ثمانية مكعبات في الفضاء ثلاثي الأبعاد

يُطلق على عملية فرد متعدد السطوح اسم الشبكة . يوجد 261 شبكة مختلفة للمكعب الفائق، [ 5 ] يمكن لكل منها أن تغطي مساحة ثلاثية الأبعاد. [ 6 ] يمكن عدّ عمليات فرد المكعب الفائق من خلال ربط الشبكات بأشجار مزدوجة ( شجرة مع تطابق تام في مكملها ). إحدى هذه العمليات هي صليب دالي ، نسبةً إلى الفنان السريالي الإسباني سلفادور دالي ، الذي صوّره في لوحته "كوربوس هايبركيوبوس" عام 1954. يتكون من ثمانية مكعبات، أربعة منها مكدسة عموديًا، وأربعة أخرى متصلة بالمكعب الثاني من الأعلى من بين المكعبات الأربعة الأولى. [ 7 ] [ 8 ]

لا غراند آرتش دو لا ديفانس ، مبنى ثلاثي الأبعاد على شكل مكعب رباعي الأبعاد

إلى جانب عمل سلفادور دالي "كوربوس هايبركيوبوس " عام 1954 ، كانت المكعبات الرباعية (التيسيراكت) موضوعًا شائعًا في فنون أخرى. ومن الأمثلة البارزة على ذلك:

  • " وبنى بيتًا مائلًا "، قصة الخيال العلمي التي كتبها روبرت هاينلاين عام 1940، وتدور أحداثها حول مبنى على شكل مكعب رباعي الأبعاد غير مطوي، ينكمش بفعل زلزال ليعود إلى شكله رباعي الأبعاد. تُعد هذه القصة، إلى جانب قصة مارتن غاردنر "الأستاذ عديم الجوانب" التي نُشرت عام 1946، من أوائل قصص الخيال العلمي التي عرّفت القراء بشريط موبيوس ، وزجاجة كلاين ، والمكعب الرباعي الأبعاد. [ 9 ]
  • قوس غراند ، وهو نصب تذكاري ومبنى بالقرب من باريس، فرنسا، تم الانتهاء منه في عام 1989. ووفقًا لمهندس النصب التذكاري، إريك ريتزل ، فقد تم تصميم قوس غراند ليشبه إسقاطًا لمكعب رباعي الأبعاد. [ 10 ]
  • لعبة Fez هي لعبة فيديو يلعب فيها اللاعب بشخصية قادرة على الرؤية خارج البعدين اللذين تراهما الشخصيات الأخرى، وعليه استخدام هذه القدرة لحل ألغاز المنصات. تتضمن اللعبة شخصية "دوت"، وهي مكعب رباعي الأبعاد يساعد اللاعب على التنقل في العالم ويشرح له كيفية استخدام القدرات، مما يتناسب مع فكرة الرؤية خارج نطاق الإدراك البشري للفضاء ذي الأبعاد المعروفة. [ 11 ]

ينسب قاموس أكسفورد الإنجليزي كلمة "تيسيراكت" إلى كتاب تشارلز هوارد هينتون " عصر جديد من الفكر " الصادر عام 1888. وقد كتب هينتون الكلمة في الأصل " tessaract" ، [ 12 ] ثم عدّلها إلى "tesseract" في كتابه " البعد الرابع " الصادر عام 1904. ويُشتق المصطلح من الكلمتين اليونانيتين القديمتين " téssara " ( τέσσαρα ) بمعنى "أربعة" و " aktís " ( ἀκτίς ) بمعنى "شعاع"، في إشارة إلى الحواف الأربعة الممتدة من كل رأس إلى الرؤوس الأخرى. [ 1 ] وقد استُخدمت كلمة "تيسيراكت" في العديد من السياقات الأخرى في الثقافة الشعبية، بما في ذلك استخدامها كعنصر في حبكة أعمال الخيال العلمي، وغالبًا ما يكون ذلك دون أي صلة تُذكر بالمكعب الفائق رباعي الأبعاد. [ 13 ]

ملكيات

يمكن النظر إلى الخلايا الثماني للمكعب الفائق (التيسيراكت) بثلاث طرق مختلفة، باعتبارها حلقتين متشابكتين من أربعة مكعبات. [ 14 ] كشكل متعدد السطوح منتظم بثلاثة مكعبات مطوية معًا حول كل حافة، له رمز شلافلي {4,3,3} بتناظر ثماني السطوح فائق من الرتبة 384. عند بنائه كمنشور فائق رباعي الأبعاد مكون من مكعبين متوازيين، يمكن تسميته برمز شلافلي المركب {4,3}  ×  {  }، برتبة تناظر 96. كمنشور ثنائي 4-4 ، وهو حاصل ضرب ديكارتي لمربعين ، يمكن تسميته برمز شلافلي المركب {4}×{4}، برتبة تناظر 64. كشكل متعامد، يمكن تمثيله برمز شلافلي المركب { } × { } × { } × { } أو { } 4 ، برتبة تناظر 16.           

بما أن كل رأس من رؤوس المكعب الفائق (التيسيراكت) مجاور لأربعة أضلاع، فإن شكل رؤوس المكعب الفائق هو رباعي أوجه منتظم . متعدد السطوح الثنائي للمكعب الفائق هو متعدد السطوح ذو 16 خلية ورمزه الشلافلي {3، 3، 4}. المكعب الفائق، ذو 16 رأسًا، هو الغلاف المحدب لمركب مكون من خليتين ذواتي 16 خلية، لكل منهما 8 رؤوس، في تشابه بُعدي دقيق مع المكعب ذي 8 رؤوس، والذي هو الغلاف المحدب لمركب مكون من رباعيي أوجه منتظمين ، لكل منهما 4 رؤوس.

كل ضلع من أضلاع المكعب الرباعي المنتظم متساوٍ في الطول. وهذا أمر مهم عند استخدام المكعبات الرباعية كأساس لبنية شبكة لربط معالجات متعددة في الحوسبة المتوازية : فالمسافة بين عقدتين لا تتجاوز 4، وهناك العديد من المسارات المختلفة التي تسمح بموازنة الأوزان.

يمكن تقسيم المكعب الفائق إلى متعددات وجوه رباعية الأبعاد أصغر. وهو الغلاف المحدب لمركب من مكعبين رباعيي الأبعاد ( خلايا سداسية عشرية ). كما يمكن تقسيمه إلى مثلثات في أشكال بسيطة رباعية الأبعاد ( خلايا خماسية غير منتظمة ) تشترك في رؤوسها مع المكعب الفائق. ومن المعروف أن هناك92 487 256 من هذه التثليثات [ 15 ] وأن أقل عدد من الأشكال البسيطة رباعية الأبعاد في أي منها هو 16. [ 16 ]

يُعدّ تقسيم المكعب الفائق إلى نسخ من مُعقّده المميز ( مخطط تعامد خاص مع مخطط كوكسيتر ) أبسط بناء مباشر ممكن للمكعب الفائق. تُشكّل الخلية الخماسية المميزة للمكعب الرباعي منطقة أساسية في زمرة التناظر المُحدِّدة للمكعب الفائق ، وهي الزمرة التي تُولِّد مُضلّعات B4 . يُولِّد المُعقّد المميز للمكعب الفائق المكعب الفائق مباشرةً من خلال تأثيرات الزمرة، وذلك بانعكاسه على أوجهه المُحيطة ( جدرانه المرآة ).

وحدة رباعية الأبعاد

يبلغ طول ضلع المكعب الفائق الوحدة 1 ، ويُعتبر عادةً الوحدة الأساسية للحجم الفائق في الفضاء رباعي الأبعاد. في نظام الإحداثيات الديكارتية للفضاء رباعي الأبعاد، يمتلك المكعب الفائق الوحدة رأسين متقابلين عند الإحداثيات [0, 0, 0, 0] و [1, 1, 1, 1] ، ورؤوسًا أخرى عند جميع التوليفات الممكنة بين 0 و 1 . وهو حاصل الضرب الديكارتي للفترة المغلقة [0, 1] على كل محور.

أحيانًا يتم توسيط مكعب رباعي الأبعاد عند نقطة الأصل، بحيث تكون إحداثياته ​​أكثر تناظرًا.(±12،±12،±12،±12).{\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}هذا هو حاصل الضرب الديكارتي للفترة المغلقة[-12،12]{\displaystyle {\bigl [}{-{\tfrac {1}{2}}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr ]}}في كل محور.

من بين الأشكال الرباعية الشائعة الاستخدام، حاصل الضرب الديكارتي للفترة المغلقة[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}في كل محور، مع وجود رؤوس عند الإحداثيات(±1،±1،±1،±1){\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)}يبلغ طول ضلع هذا المكعب الفائق 2 وحجمه الفائق24=16{\displaystyle 2^{4}=16}[ 17 ]​

التناظر الشعاعي متساوي الأضلاع

نصف قطر الكرة الفائقة المحيطة بمضلع منتظم هو المسافة من مركز المضلع إلى أحد رؤوسه، وبالنسبة للمكعب الفائق (التيسيراكت)، يساوي هذا النصف قطر طول ضلعه؛ أما قطر الكرة، وهو طول القطر الواصل بين رأسين متقابلين في المكعب الفائق، فيساوي ضعف طول الضلع. لا تمتلك هذه الخاصية سوى عدد قليل من المضلعات المنتظمة ، بما في ذلك المكعب الفائق رباعي الأبعاد ، والمكعب ثماني الأوجه ثلاثي الأبعاد ، والمضلع السداسي ثنائي الأبعاد . وعلى وجه الخصوص، يُعد المكعب الفائق المكعب الوحيد (باستثناء النقطة الصفرية الأبعاد) الذي يكون متساوي الأضلاع شعاعيًا . أطول قطر واصل بين رأسين في المكعب الفائق هو...ن{\displaystyle n}مكعب فائق الأبعاد ذو طول ضلع يساوي الوحدةنت،{\displaystyle {\sqrt {n{\vphantom {t}}}},}وهو بالنسبة للمربع2،{\displaystyle {\sqrt {2}},}لأن المكعب هو3،{\displaystyle {\sqrt {3}},}وذلك فقط من أجل المكعب الفائق4=2{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}أطوال الحواف.

يحتوي مكعب رباعي الأبعاد محاذٍ للمحاور ومحاط بكرة ثلاثية الأبعاد نصف قطرها وحدة واحدة على رؤوس ذات إحداثيات(±12،±12،±12،±12).{\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}

الصيغ

برهان بدون كلمات على أن الرسم البياني المكعب الفائق غير مستوٍ باستخدام نظريات كوراتوفسكي أو فاغنر وإيجاد الرسوم البيانية الفرعية إما K 5 (أعلى) أو K 3,3 (أسفل).

بالنسبة لمكعب رباعي الأبعاد بطول ضلع s :

  • الحجم الفائق (رباعي الأبعاد):ح=s4{\displaystyle H=s^{4}}
  • حجم السطح (ثلاثي الأبعاد):SV=8s3{\displaystyle SV=8s^{3}}
  • الوجه القطري :د2=2s{\displaystyle d_{\mathrm {2} }={\sqrt {2}}s}
  • قطر الخلية :د3=3s{\displaystyle d_{\mathrm {3} }={\sqrt {3}}s}
  • قطري بأربعة مسافات:د4=2s{\displaystyle d_{\mathrm {4} }=2s}

كتكوين

يمكن تمثيل المكعب الفائق بواسطة مصفوفة التكوين[16464232334424281268].{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}.}هنا، تُمثل الصفوف والأعمدة الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا على التوالي. وتشير الأرقام القطرية إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في المكعب الفائق، والذي يُختزل إلى متجه f.(16،32،24،8){\displaystyle (16,32,24,8)}تشير الأرقام غير القطرية إلى عدد عناصر العمود التي تظهر في عنصر الصف أو عنده. على سبيل المثال، يشير الرقم 2 في العمود الأول من الصف الثاني إلى وجود رأسين في كل حافة (أي عند طرفيها)؛ بينما يشير الرقم 4 في العمود الثاني من الصف الأول إلى أن أربع حواف تلتقي عند كل رأس. يحدد الصف السفلي أن الأوجه، وهي هنا المكعبات، لها متجه f.(8،12،6){\displaystyle (8,12,6)}الصف التالي على يسار القطر هو عناصر الحافة (وجه المكعب)، وهنا مربع.(4،4){\displaystyle (4,4)}الصف العلوي هو متجه f للشكل الرأسي ، هنا رباعي الأوجه.(4،6،4){\displaystyle (4,6,4)}الصف التالي هو شكل رأسي بارز، وهو هنا مثلث.(3،3){\displaystyle (3,3)}[ 18 ]​

التوقعات

من الممكن إسقاط المكعبات الفائقة في فضاءات ثلاثية الأبعاد وثنائية الأبعاد، على غرار إسقاط مكعب في فضاء ثنائي الأبعاد.

أغلفة الإسقاط المتوازية للمكعب الفائق (كل خلية مرسومة بأوجه ذات ألوان مختلفة، والخلايا المقلوبة غير مرسومة)
يشكّل المعين ذو الاثني عشر وجهًا الغلاف المحدب للإسقاط المتوازي ذي الرؤوس المتقابلة للمكعب الفائق. عدد الرؤوس في طبقات هذا الإسقاط هو 1  4  6  4  1، وهو الصف الرابع في مثلث باسكال .

يُشكّل الإسقاط المتوازي للتيسيراكت في الفضاء ثلاثي الأبعاد، بدءًا من الخلية الأولى، غلافًا مكعبًا . تُسقط أقرب الخلايا وأبعدها على المكعب، بينما تُسقط الخلايا الست المتبقية على الأوجه المربعة الستة للمكعب.

يُشكّل الإسقاط المتوازي للتيسيراكت في الفضاء ثلاثي الأبعاد، بحيث يكون وجهه أولاً، غلافًا مكعبًا . ويسقط زوجان من الخلايا على النصفين العلوي والسفلي من هذا الغلاف، بينما تسقط الخلايا الأربع المتبقية على الأوجه الجانبية.

يُشكّل الإسقاط المتوازي للحواف أولاً للمكعب الفائق في الفضاء ثلاثي الأبعاد غلافًا على شكل منشور سداسي . تُسقط ست خلايا على منشورات معينية، مُرتبة داخل المنشور السداسي بطريقة تُشابه إسقاط أوجه المكعب ثلاثي الأبعاد على ستة معينات في غلاف سداسي عند الإسقاط من الرؤوس أولاً. أما الخليتان المتبقيتان فتُسقطان على قواعد المنشور.

يُحيط بالمجسم الرباعي الأبعاد، عند إسقاطه المتوازي من الرؤوس إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد، غلافٌ على شكل مجسم معيني ذي اثني عشر وجهًا . يُسقط رأسان من رؤوس المجسم الرباعي الأبعاد على نقطة الأصل. توجد طريقتان فقط لتقسيم المجسم المعيني ذي الاثني عشر وجهًا إلى أربعة مجسمات معينية متطابقة ، مما يُعطي ثمانية مجسمات معينة ممكنة، كل منها عبارة عن مكعب مُسقط من المجسم الرباعي الأبعاد. هذا الإسقاط هو أيضًا الإسقاط ذو الحجم الأقصى. إحدى مجموعات متجهات الإسقاط هي: u = (1,1,−1,−1) و v = (−1,1,−1,1) و w = (1,−1,−1,1) .

رسم متحرك يوضح كل مكعب على حدة ضمن إسقاط مستوى كوكسيتر B 4 للمكعب الفائق.
الإسقاطات المتعامدة
طائرة كوكسيترب 4ب 4 --> أ 3أ 3
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح[8][4][4]
طائرة كوكسيترآخرب 3 / د 4 / أ 2ب ٢ / د ٣
الرسم البياني
التناظر ثنائي السطوح[2][6][4]
إسقاط متعامد، مستوى كوكسيتر B 4، رسم بياني مع خطوط مخفية كخطوط متقطعة، والمكعب الفائق بدون خطوط مخفية.
إسقاط ثلاثي الأبعاد لمكعب رباعي الأبعاد يدور دورانًا بسيطًا حول مستوى في فضاء رباعي الأبعاد. يقسم المستوى الشكل من الأمام إلى اليسار ومن الخلف إلى اليمين ومن الأعلى إلى الأسفل.إسقاط ثلاثي الأبعاد لمكعب رباعي الأبعاد يقوم بدوران مزدوج حول مستويين متعامدين في فضاء رباعي الأبعاد.
إسقاط ثلاثي الأبعاد لثلاثة مكعبات رباعية الأوجه مع وبدون وجوه
منظور مع إزالة الحجم المخفي . الزاوية الحمراء هي الأقرب في البعد الرابع، وتلتقي حولها 4 خلايا مكعبة.

يشكّل رباعي الأوجه الغلاف المحدب للإسقاط المركزي للمكعب الفائق، والذي تتمركز رؤوسه حول رؤوسه. تظهر أربع من أصل ثماني خلايا مكعبة. أما الرأس السادس عشر، فيمتد إلى ما لا نهاية ، ولا تظهر حوافه الأربعة.

الإسقاط المجسم

(يتم إسقاط الحواف على الكرة ثلاثية الأبعاد )

عرض ثلاثي الأبعاد مجسم لمكعب رباعي الأبعاد (منظر متوازي)
مكعب فائق ثلاثي الأبعاد مجسم منزوع السلاح

التبليط

المكعب الفائق، كغيره من المكعبات الفائقة ، يُجزّئ الفضاء الإقليدي . ويحمل المكعب الفائق ثنائي التناظر، المُكوّن من أربعة مكعبات فائقة حول كل وجه، رمز شلافلي {4، 3، 3، 4} . وبالتالي، فإن زاوية ثنائي السطح للمكعب الفائق تساوي 90 درجة. [ 19 ]

إن التناظر الشعاعي متساوي الأضلاع للمكعب الرباعي الأبعاد يجعل تبليطه شبكة مكعبة منتظمة فريدة من نوعها ذات مركز جسم من كرات متساوية الحجم، في أي عدد من الأبعاد.

يوجد المكعب الرباعي المنتظم، إلى جانب المكعب ذي الـ 16 خلية ، ضمن مجموعة من 15 متعدد الوجوه رباعي منتظم له نفس التناظر . يوجد المكعب الرباعي {4,3,3} ضمن سلسلة من متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة وخلايا النحل ، { p ,3,3} ذات أشكال رؤوس رباعية الأوجه ، {3,3}. كما يوجد المكعب الرباعي ضمن سلسلة من متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة وخلايا النحل ، {4,3, p } ذات خلايا مكعبة .

متعامدوجهة نظر
4 {4} 2 ، مع 16 رأسًا و8 حواف رباعية، مع عرض الحواف الرباعية الثمانية هنا على شكل 4 مربعات حمراء و4 مربعات زرقاء.

متعدد السطوح المعقد المنتظم 4 {4} 2 ، ، فيج2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}له تمثيل حقيقي على شكل مكعب رباعي الأبعاد أو منشور ثنائي 4-4 في فضاء رباعي الأبعاد. يحتوي الشكل 4 {4} 2 على 16 رأسًا و8 حواف رباعية. تناظره هو 4 [4] 2 ، من الرتبة 32. كما أن له بنية تناظر أقل، أو 4 {}× 4 {}، بتناظر 4 [2] 4 ، من الرتبة 16. هذا هو التناظر إذا اعتُبرت الحواف الرباعية الحمراء والزرقاء منفصلة. [ 20 ]

مراجع

  1. 1 2 شوارتزمان، ستيفن (1994). كلمات الرياضيات: قاموس اشتقاقي للمصطلحات الرياضية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص  219.
  2. ^ إلت، إل (2005). Polytopes شبه المنتظمة للمساحات الفائقة . جرونينجن: جامعة جرونينجن. رقم ISBN 1-4181-7968-X.
  3. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1973). متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). منشورات دوفر. الصفحات 122-123 .  انظر إلى الرسم التوضيحي الشكل 7.2 ج .
  4. ↑ هول، تي. بروكتور (1893). "إسقاط الأشكال الرباعية على سطح ثلاثي الأبعاد". المجلة الأمريكية للرياضيات . 15 (2): 179-189 . doi : 10.2307/2369565 . JSTOR 2369565 . 
  5. ↑ "فك شفرة خلية ثمانية" . Unfolding.apperceptual.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يناير 2018 .
  6. ↑ باركر، مات . أي مساحة بلاطة لفكّ المكعب الفائق؟ تم الاسترجاع في 11 مايو 2025.
  7. ↑ لانجرمان، ستيفان ؛ وينسلو، أندرو (2016). تفكيك المكعبات المتعددة التي تحقق معيار كونواي (ملف PDF) . المؤتمر الياباني التاسع عشر حول الهندسة المنفصلة والحسابية، والرسوم البيانية، والألعاب (JCDCG 3 2016). طوكيو.
  8. ↑ كيمب، مارتن (1 يناير 1998). "أبعاد دالي" . مجلة نيتشر . 391 (27): 27. رمز Bibcode : 1998Natur.391...27K . doi : 10.1038/34063 .
  9. ↑ فاولر، ديفيد (مايو-يونيو 2010). "الرياضيات في الخيال العلمي: الرياضيات كخيال علمي". الأدب العالمي اليوم . 84 (3): 48-52 . JSTOR 27871086 . 
  10. ↑ أورسين، آنا (2016)، "تصور المعرفة ومحو الأمية البصرية في تعليم العلوم" ، تصور المعرفة ومحو الأمية البصرية في تعليم العلوم ، مرجع علم المعلومات، ص 91، ISBN  978-1-5225-0481-8
  11. ↑ "دوت (شخصية) - جاينت بومب" . جاينت بومب . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 يناير 2018 .
  12. ↑ "مكعب رباعي الأبعاد" . قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الإلكترونية). مطبعة جامعة أكسفورد. 199669. (يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة .)
  13. ↑ كراوس، لورانس م. (2005). الاختباء في المرآة: البحث عن عوالم بديلة، من أفلاطون إلى نظرية الأوتار (عبر أليس في بلاد العجائب، وآينشتاين، ومنطقة الشفق) . كتب بنجوين. ص 143. 
  14. ↑ كوكسيتر 1970 ، ص 18.
  15. ↑ بورنين، ليونيل (2013). "مخطط قلب المكعب رباعي الأبعاد متصل". الهندسة المنفصلة والحسابية . 49 (3): 511-530 . arXiv : 1201.6543 . doi : 10.1007/s00454-013-9488- y . MR 3038527. S2CID 30946324 .  
  16. ↑ كوتل، ريتشارد و. (1982). "التثليث الأدنى للمكعب الرباعي" . الرياضيات المتقطعة . 40 : 25-29 . doi : 10.1016/0012-365X(82)90185-6 . MR 0676709 . 
  17. ↑ بيتروف، ميروسلاف س.؛ تودوروف، تودور د.؛ والترز، غيج س.؛ ويليامز، ديفيد م.؛ ويذريدن، فريدي د. (2022). "تمكين التجزئة الهجينة المطابقة رباعية الأبعاد باستخدام الأهرامات المكعبة". الخوارزميات العددية . 91 : 671-709 . arXiv : 2101.05884 . doi : 10.1007/s11075-022-01278-y .
  18. ↑ Coxeter 1973 ، ص. 12 ، §1.8 التكوينات.
  19. ↑ كوكسيتر 1973 ، ص 293.
  20. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم، متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ، الطبعة الثانية، مطبعة جامعة كامبريدج، (1991).

مصادر

  • كونواي، جون هـ .؛ بورجيل، هايدي؛ غودمان-ستراوس، حاييم (2008). "26. أنصاف المكعبات: 1 ن1 ". تناظرات الأشياء . ص  409. ISBN 978-1-56881-220-5.
  • (الورقة 22) كوكستر، HSM، Polytopes العادية وشبه العادية I ، Mathematische Zeitschrift 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
  • كوكسيتر، إتش إس إم (1970). "خلايا النحل الملتوية". سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات لمجلس مؤتمرات العلوم الرياضية . 4. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية.
  • (الورقة 23) كوكسيتر، HSM، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (الورقة 24) كوكسيتر، HSM، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • جوسيت، ثورولد (1900). "حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في فضاء ذي أبعاد ن". رسول الرياضيات . ماكميلان.
  • جونسون، نورمان دبليو (1966). نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل (دكتوراه).
  • جونسون، نورمان دبليو. (1991). متعددات الوجوه المنتظمة (مخطوطة).
  • شليجل ، فيكتور (1886). "Projections-Modelle der sechs regelmässigen vier- Dimensionalen Körper und des Vier- Dimensional Vierseitigen Prismas". كتب في هاجن في فيستفالن. في شيلينغ، مارتن (محرر). كتالوج mathematischer Modelle für den höheren mathematischen Unterricht (باللغة الألمانية) (6  ed.). هالي آن دير زاله (نُشرت عام 1903). ص 31 – 34. OCLC 609855972 . تم الاسترجاع 14 فبراير 2026 – عبر أرشيف الإنترنت.  
  • شليغل ، فيكتور (مايو ١٨٨٦). كتب في وارن. كنوبلاوش، CH (محرر). "Ueber Entwickelung und Stand der n- Dimensional Geometrie, mit besonderer Berücksichtigung der vier Dimensionen" . ليوبولدينا (في المانيا). 22 ( 9 - 10). هالي أن دير زاله [دريسدن]: [إي. بلوخمان وسون]: 92– 96، 108– 110، 133– 135، 149– 152، 160– 163. OCLC 9670930 . تم الاسترجاع 14 فبراير 2026 – عبر أرشيف الإنترنت. 
  • شيرك، ف. آرثر؛ ماكمولين، بيتر؛ طومسون، أنتوني سي؛ فايس، آسيا إيفيتش (1995). كاليدوسكوبات: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر . نيويورك: منشورات وايلي-إنترساينس. ISBN 0-471-01003-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 فبراير 2026 – عبر كتب جوجل.
  • v
  • ت
  • هـ
المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلةأن​ب نI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
مضلع منتظممثلثمربعبي-جونمسدسالبنتاغون
متعدد السطوح منتظمرباعي الأوجهثماني الأوجه • مكعبمكعب ديميكيوبالمجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحدبنتاشورون16 خلية • تيسيراكتديميتسيراكت24 خلية120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم5-simplex5-أورثوبليكس • 5-كيوب5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم6-simplex6-أورثوبليكس • 6-كيوب6-نصف مكعب1 22 • 2 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 7 أوجه7-simplex7-أورثوبليكس • 7-كيوب7-نصف مكعب1 32 • 2 31 • 3 21
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه8-simplex8-أورثوبليكس • 8-كيوب8-نصف مكعب1 42 • 2 41 • 4 21
متعدد الوجوه موحد ذو 9 أوجه9-simplex9-أورثوبليكس • 9-كيوب9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء10-simplex10-أورثوبلكس • 10-كيوب10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع nn - سيمبلكسن - أورثوبليكس • ن - كيوبن - نصف مكعب1 k2 • 2 k1 • k 21متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه