عدد صحيح

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة

الأعداد الصحيحة مرتبة على خط الأعداد

العدد الصحيح هو العدد صفر ( 0 )، أو عدد طبيعي موجب (1، 2، 3، ...)، أو نفي عدد طبيعي موجب ( -1 ، -2، -3، ...). [ 1 ] يُشار إلى نفي الأعداد الطبيعية الموجبة أو معكوساتها الجمعية بالأعداد الصحيحة السالبة . [ 2 ] غالبًا ما يُرمز إلى مجموعة جميع الأعداد الصحيحة بالرمز Z الغامق أو الخط الغامق على السبورة .Z{\displaystyle \mathbb {Z} }[ 3 ] [ 4 ]​​

مجموعة الأعداد الطبيعيةشمال{\displaystyle \mathbb {N} }⁠ هي مجموعة جزئية من ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }، والتي بدورها هي مجموعة جزئية من مجموعة جميع الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }، وهي نفسها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }. [ أ ] مثل مجموعة الأعداد الطبيعية، فإن مجموعةالأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }العدد غير محدود وقابل للعد . يمكن اعتبار العدد الصحيح عددًا حقيقيًا يمكن كتابته بدون جزء كسري . على سبيل المثال، 21، 4، 0، و-2048 أعداد صحيحة، بينما 9.75، و 5 + 1/2 ، و5 / 4 ، والجذر التربيعي لـ 2 ليست أعدادًا صحيحة. [ 7 ]

تشكل الأعداد الصحيحة أصغر مجموعة وأصغر حلقة تحتوي على الأعداد الطبيعية . في نظرية الأعداد الجبرية ، تُسمى الأعداد الصحيحة أحيانًا بالأعداد الصحيحة النسبية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية الأكثر عمومية . في الواقع، الأعداد الصحيحة (النسبية) هي أعداد صحيحة جبرية هي أيضًا أعداد نسبية .

تاريخ

كلمة "عدد صحيح" مشتقة من الكلمة اللاتينية " integer " التي تعني "كامل" أو (حرفيًا) "غير ممسوح"، من " in " (لا) و " tangere " (يلمس). أما كلمة " كامل " فتُشتق من نفس الأصل عبر الكلمة الفرنسية "entier" ، والتي تعني " كامل" و "عدد صحيح" . [ 8 ] تاريخيًا، استُخدم المصطلح للإشارة إلى عدد من مضاعفات 1، [ 9 ] [ 10 ] أو إلى الجزء الكامل من عدد كسري . [ 11 ] [ 12 ] كانت الأعداد الصحيحة الموجبة فقط هي التي تُؤخذ في الاعتبار، مما جعل المصطلح مرادفًا للأعداد الطبيعية . توسّع تعريف العدد الصحيح بمرور الوقت ليشمل الأعداد السالبة مع ازدياد الوعي بأهميتها. [ 13 ] على سبيل المثال ، عرّف ليونارد أويلر في كتابه "عناصر الجبر" عام 1765 الأعداد الصحيحة لتشمل الأعداد الموجبة والسالبة. [ 14 ]

لم يُستخدم مصطلح "مجموعة الأعداد الصحيحة" قبل نهاية القرن التاسع عشر، عندما قدّم جورج كانتور مفهوم المجموعات اللانهائية ونظرية المجموعات . ويُشتق استخدام الحرف Z للدلالة على مجموعة الأعداد الصحيحة من الكلمة الألمانية Zahlen ("أعداد") [ 3 ] [ 4 ] ، ويُنسب إلى ديفيد هيلبرت . [ 15 ] أول استخدام معروف لهذا الرمز في كتاب مدرسي ورد في كتاب الجبر (Algèbre) الذي ألّفه نيكولاس بورباكي عام 1947. [ 3 ] [ 16 ] لم يُعتمد هذا الرمز فورًا. فعلى سبيل المثال، استخدم كتاب مدرسي آخر الحرف J، [ 17 ] واستخدمت ورقة بحثية نُشرت عام 1960 الحرف Z للدلالة على الأعداد الصحيحة غير السالبة. [ 18 ] ولكن بحلول عام 1961، أصبح الحرف Z يُستخدم بشكل عام في كتب الجبر الحديثة للدلالة على الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة. [ 19 ]

الرمز ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }يُستخدم الرمز ⁠ غالبًا للدلالة على مجموعات مختلفة، مع اختلاف الاستخدام بين المؤلفين المختلفين: ⁠Z+{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}،​​Z+{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}أو​​Z>{\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة ،Z0+{\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}أو​​Z≥{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة، وZ≠{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}للأعداد الصحيحة غير الصفرية. يستخدم بعض المؤلفينZ*{\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}يُستخدم هذا الرمز للأعداد الصحيحة غير الصفرية، بينما يستخدمه آخرون للأعداد الصحيحة غير السالبة، أو لمجموعة {−1,1} ( مجموعة وحدات ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }بالإضافة إلى ذلك ،Zص{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}يُستخدم الرمز ⁠ للدلالة إما على مجموعة الأعداد الصحيحة modulo p (أي مجموعة فئات التطابق للأعداد الصحيحة)، أو مجموعة الأعداد الصحيحة p -adic . [ 20 ] [ 21 ]

كانت الأعداد الكلية مرادفة للأعداد الصحيحة حتى أوائل الخمسينيات من القرن العشرين. [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] وفي أواخر الخمسينيات، وكجزء من حركة الرياضيات الجديدة ، [ 25 ] بدأ معلمو المدارس الابتدائية الأمريكية بتدريس أن الأعداد الكلية تشير إلى الأعداد الطبيعية ، باستثناء الأعداد السالبة، بينما تشمل الأعداد الصحيحة الأعداد السالبة. [ 26 ] [ 27 ] ولا يزال مفهوم الأعداد الكلية غامضًا حتى يومنا هذا. [ 28 ]

الخصائص الجبرية

يمكن اعتبار الأعداد الصحيحة نقاطًا منفصلة ومتساوية التباعد على خط أعداد لا نهائي الطول . في الشكل أعلاه، تظهر الأعداد الصحيحة غير السالبة باللون الأزرق، والأعداد الصحيحة السالبة باللون الأحمر.

مثل الأعداد الطبيعية ،Z{\displaystyle \mathbb {Z} }مجموعة الأعداد الصحيحة مغلقةتحت عمليتي الجمع والضرب ، أي أن مجموع وحاصل ضرب أي عددين صحيحين هو عدد صحيح. ومع ذلك، مع إضافة الأعداد الطبيعية السالبة (وخاصةً الصفر ) ،Z{\displaystyle \mathbb {Z} }[ 29 ] ، على عكس الأعداد الطبيعية، مغلق أيضًا تحت عملية الطرح .

تشكل الأعداد الصحيحة حلقةً هي أبسطها، بالمعنى التالي: لأي حلقة، يوجد تشاكل حلقي وحيد من الأعداد الصحيحة إلى هذه الحلقة. هذه الخاصية العامة ، أي كونها عنصرًا أوليًا في فئة الحلقات ، تميز الحلقة . Z{\displaystyle \mathbb {Z} }يكون هذا التشاكل الوحيد أحاديًا إذا وفقط إذا كانت خاصية الحلقة تساوي صفرًا. ويترتب على ذلك أن كل حلقة ذات خاصية صفر تحتوي على حلقة جزئية متماثلة معZ{\displaystyle \mathbb {Z} }، وهي أصغر حلقة فرعية لها.

⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }لا تُعتبر مجموعة الأعداد الطبيعية مغلقة تحت عملية القسمة ، لأن ناتج قسمة عددين صحيحين (مثلاً، 1 مقسومًا على 2) ليس بالضرورة عددًا صحيحًا. وعلى الرغم من أن مجموعة الأعداد الطبيعية مغلقة تحت عملية الأسس ، فإن مجموعة الأعداد الصحيحة ليست كذلك (لأن الناتج قد يكون كسرًا عندما يكون الأس سالبًا).

يسرد الجدول التالي بعض الخصائص الأساسية لعمليتي الجمع والضرب لأي أعداد صحيحة a و b و c :

خصائص الجمع والضرب على الأعداد الصحيحة
إضافةالضرب
إنهاء :a + b عدد صحيحa × b عدد صحيح
الترابط الاجتماعي :أ + ( ب + ج ) = ( أ + ب ) + جأ × ( ب × ج ) = ( أ × ب ) × ج
خاصية التبديل :أ + ب = ب + أأ × ب = ب × أ
وجود عنصر هوية :أ + 0 = أأ × ١ = أ
وجود العناصر المعكوسة :أ + (- أ ) = 0الأعداد الصحيحة الوحيدة القابلة للعكس (وتسمى الوحدات ) هي -1 و 1.
خاصية التوزيع :أ × ( ب + ج ) = ( أ × ب ) + ( أ × ج ) و ( أ + ب ) × ج = ( أ × ج ) + ب × ج
لا يوجد قاسم صفري :إذا كان a × b = 0 ، فإن a = 0 أو b = 0 (أو كلاهما)

تشير الخصائص الخمس الأولى المذكورة أعلاه للإضافة إلى أنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }تحت عملية الجمع، تُعتبر المجموعة A مجموعة تبديلية . وهي أيضًا مجموعة دورية ، حيث يمكن كتابة كل عدد صحيح غير صفري على شكل مجموع منتهٍ 1 + 1 + ... + 1 أو (−1) + (−1) + ... + (−1) . في الواقع ،Z{\displaystyle \mathbb {Z} }تحت عملية الجمع، تُعدّ المجموعة الدورية اللانهائية الوحيدة - بمعنى أن أي مجموعة دورية لانهائية متماثلة معZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ .

تشير الخصائص الأربع الأولى المذكورة أعلاه لعملية الضرب إلى أنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }تحت عملية الضرب، يكون شبه زمرة تبديلية . ومع ذلك، ليس لكل عدد صحيح معكوس ضربي (كما هو الحال مع العدد 2)، مما يعني أنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ تحت عملية الضرب ليست مجموعة.

جميع القواعد الواردة في جدول الخصائص أعلاه (باستثناء القاعدة الأخيرة)، عند أخذها مجتمعة، تشير إلى أنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }تُشكّل حلقة التبديل ذات العنصر المحايد ، إلى جانب عمليتي الجمع والضرب، نموذجًا أوليًا لجميع الكائنات ذات البنية الجبرية المماثلة . فقط تلك المتساويات بين التعبيرات صحيحة في هذه الحلقة. Z{\displaystyle \mathbb {Z} }لجميع قيم المتغيرات، والتي تكون صحيحة في أي حلقة تبديلية أحادية. بعض الأعداد الصحيحة غير الصفرية تُقابل الصفر في حلقات معينة.

إن عدم وجود قواسم صفرية في الأعداد الصحيحة (الخاصية الأخيرة في الجدول) يعني أن الحلقة التبديلية Z{\displaystyle \mathbb {Z} }هو مجال تكاملي .

إن عدم وجود معكوسات ضربية، وهو ما يعادل حقيقة أنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ غير مغلق تحت القسمة، يعني أن ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }ليس حقلاً . أصغر حقل يحتوي على الأعداد الصحيحة كحلقة فرعية هو حقل الأعداد النسبية . يمكن محاكاة عملية بناء الأعداد النسبية من الأعداد الصحيحة لتكوين حقل الكسور لأي مجال تكاملي. وبالعودة، بدءًا من حقل أعداد جبري (امتداد للأعداد النسبية)،يمكن استخراج حلقة الأعداد الصحيحة الخاصة به، والتي تتضمنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }باعتبارها حلقة فرعية تابعة لها.

على الرغم من أن القسمة العادية غير معرفة فيZ{\displaystyle \mathbb {Z} }تُعرَّف عملية القسمة "مع الباقي" على هذه الأعداد. تُسمى هذه العملية بالقسمة الإقليدية ، وتتميز بالخاصية المهمة التالية: إذا أُعطي عددان صحيحان a و b حيث b ≠ 0 ، فإنه يوجد عددان صحيحان وحيدان q و r بحيث يكون a = q × b + r و 0 ≤ r < | b | ، حيث | b | هي القيمة المطلقة لـ b . يُسمىالعدد الصحيح q ناتج القسمة ،ويُسمى r باقي قسمة a على b . تعمل خوارزمية إقليدس لحساب القواسم المشتركة الكبرى من خلال سلسلة من عمليات القسمة الإقليدية.

ما سبق يقول أنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ هو مجال إقليدي . وهذا يعني أن ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ هو مجال مثالي رئيسي ، ويمكن كتابة أي عدد صحيح موجب على شكل حاصل ضرب أعداد أولية بطريقة فريدة أساسًا . [ 30 ] هذه هي النظرية الأساسية في الحساب .

خصائص نظرية الترتيب

⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }هي مجموعة مرتبة ترتيبًا تامًا بدون حد أعلى أو أدنى . ترتيب المجموعةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }يُعطى بواسطة:

⋯<-3<-2<-1<0<1<2<3<⋯.{\displaystyle \cdots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\cdots .}

يكون العدد الصحيح موجباً إذا كان أكبر من الصفر ، وسالباً إذا كان أصغر من الصفر. أما الصفر، فيُعرَّف بأنه ليس سالباً ولا موجباً.

يتوافق ترتيب الأعداد الصحيحة مع العمليات الجبرية بالطريقة التالية:

  1. إذا كان a < b و c < d ، فإن a + c < b + d
  2. إذا كان a < b و 0 < c ، فإن ac < bc

وبالتالي فإنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }بالإضافة إلى الترتيب المذكور أعلاه، يتم الحصول على خاتم مرتب .

الأعداد الصحيحة هي المجموعة الأبيلية الوحيدة غير التافهة المرتبة كليًا والتي تكون عناصرها الموجبة مرتبة ترتيبًا جيدًا . [ 31 ] وهذا يكافئ القول بأن أي حلقة تقييم نوثرية هي إما حقل - أو حلقة تقييم منفصلة .

بناء

التنمية التقليدية

في تدريس المرحلة الابتدائية، تُعرَّف الأعداد الصحيحة غالبًا بشكلٍ بديهي على أنها اتحاد الأعداد الطبيعية (الموجبة)، والصفر ، ونفي الأعداد الطبيعية. ويمكن صياغة ذلك رسميًا على النحو التالي. [ 32 ] أولًا، نُنشئ مجموعة الأعداد الطبيعية وفقًا لبديهيات بيانو ، ونُسمِّي هذه المجموعة ⁠P{\displaystyle P}ثم قم بإنشاء مجموعةP-{\displaystyle P^{-}}وهو منفصل عن​​P{\displaystyle P}وفي مراسلات فردية معP{\displaystyle P}عبر دالة​ψ{\displaystyle \psi }على سبيل المثال، خذP-{\displaystyle P^{-}}أن تكون الأزواج المرتبة(1،ن){\displaystyle (1,n)}مع عملية التخطيطψ=ن↦(1،ن){\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}وأخيرًا ، ليكن 0 كائنًا ما ليس ضمنP{\displaystyle P}أو​​P-{\displaystyle P^{-}}على سبيل المثال ، الزوج المرتب (0،0). ثم تُعرَّف الأعداد الصحيحة بأنها اتحادP∪P-∪{0}{\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}⁠ .

يمكن تعريف العمليات الحسابية التقليدية على الأعداد الصحيحة بشكل مجزأ ، لكل من الأعداد الموجبة والسالبة والصفر. على سبيل المثال، يُعرَّف النفي كما يلي:

-x={ψ(x)،لو x∈Pψ-1(x)،لو x∈P-0،لو x=0{\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}

يؤدي أسلوب التعريف التقليدي إلى العديد من الحالات المختلفة (إذ يجب تعريف كل عملية حسابية على كل تركيبة من أنواع الأعداد الصحيحة) ويجعل إثبات أن الأعداد الصحيحة تخضع لقوانين الحساب المختلفة أمرًا شاقًا. [ 33 ]

فئات التكافؤ للأزواج المرتبة

تمثيل فئات التكافؤ للأعداد من -5 إلى 5
تمثل النقاط الحمراء أزواجًا مرتبة من الأعداد الطبيعية . أما النقاط الحمراء المتصلة فهي فئات تكافؤ تمثل الأعداد الصحيحة الزرقاء في نهاية الخط.

في الرياضيات الحديثة القائمة على نظرية المجموعات، يُستخدم غالبًا بناءٌ أكثر تجريدًا [ 34 ] [ 35 ] يسمح بتعريف العمليات الحسابية دون أي تمييز بين الحالات. [ 36 ] وبالتالي، يمكن بناء الأعداد الصحيحة رسميًا على أنها فئات التكافؤ للأزواج المرتبة من الأعداد الطبيعية ( أ ، ب ) . [ 37 ]

الحدس هو أن ( أ ، ب ) يمثل نتيجة طرح ب من أ . [ 37 ] ولتأكيد توقعنا بأن 1 - 2 و 4 - 5 يدلان على نفس العدد، نُعرّف علاقة تكافؤ ~ على هذه الأزواج بالقاعدة التالية:

(أ،ب)∼(ج،د){\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

متى بالضبط

أ+د=ب+ج{\displaystyle a+d=b+c}.

يمكن تعريف جمع وضرب الأعداد الصحيحة بدلالة العمليات المكافئة على الأعداد الطبيعية؛ [ 37 ] باستخدام [( a , b )] للدلالة على فئة التكافؤ التي يكون ( a , b ) عضوًا فيها، يكون لدينا:

[(أ،ب)]+[(ج،د)]:=[(أ+ج،ب+د)]{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]}.
[(أ،ب)]⋅[(ج،د)]:=[(أج+بد،أد+بج)]{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]}.

يتم الحصول على نفي (أو المعكوس الجمعي) لعدد صحيح عن طريق عكس ترتيب الزوج:

-[(أ،ب)]:=[(ب،أ)]{\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)]}.

وبالتالي، يمكن تعريف الطرح بأنه جمع المعكوس الجمعي:

[(أ،ب)]-[(ج،د)]:=[(أ+د،ب+ج)]{\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]}.

الترتيب القياسي للأعداد الصحيحة هو كما يلي:

[(أ،ب)]<[(ج،د)]{\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}إذا وفقط إذاأ+د<ب+ج{\displaystyle a+d<b+c}.

من السهل التحقق من أن هذه التعريفات مستقلة عن اختيار ممثلي فئات التكافؤ.

لكل فئة تكافؤ عضو فريد يكون على الصورة ( ن ، ٠) أو (٠، ن ) (أو كليهما معًا). يُعرَّف العدد الطبيعي ن بالفئة [( ن ، ٠)] (أي أن الأعداد الطبيعية مُضمَّنة في الأعداد الصحيحة عن طريق تحويل ن إلى [( ن ، ٠)] )، ويُرمز للفئة [(٠، ن )] بالرمز -ن ( يشمل هذا جميع الفئات المتبقية، ويُعيد الفئة [(٠، ٠)] مرة ثانية لأن -٠  =  ٠).

وبالتالي، يُرمز إلى [( أ ، ب )] بـ

{أ-ب،لو أ≥ب-(ب-أ)،لو أ<ب{\displaystyle {\begin{cases}ab,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(ba),&{\mbox{if }}a<b\end{cases}}}

إذا تم تحديد الأعداد الطبيعية بالأعداد الصحيحة المقابلة (باستخدام التضمين المذكور أعلاه)، فإن هذا الاصطلاح لا يخلق أي غموض.

يستعيد هذا الترميز التمثيل المألوف للأعداد الصحيحة على النحو التالي: {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

ومن الأمثلة على ذلك:

0=[(0،0)]=[(1،1)]= ⋯ =[(ك،ك)]،1=[(1،0)]=[(2،1)]= ⋯ =[(ك+1،ك)]،-1=[(0،1)]=[(1،2)]= ⋯ =[(ك،ك+1)]،2=[(2،0)]=[(3،1)]= ⋯ =[(ك+2،ك)]،-2=[(0،2)]=[(1،3)]= ⋯ =[(ك،ك+2)].{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}0&=[(0,0)]&&=[(1,1)]&&=\ \cdots \ &&=[(k,k)],\\1&=[(1,0)]&&=[(2,1)]&&=\ \cdots \ &&=[(k+1,k)],\\-1&=[(0,1)]&&=[(1,2)]&&=\ \cdots \ &&=[(k,k+1)],\\2&=[(2,0)]&&=[(3,1)]&&=\ \cdots \ &&=[(k+2,k)],\\-2&=[(0,2)]&&=[(1,3)]&&=\ \cdots \ &&=[(k,k+2)].\end{alignedat}}}

مناهج أخرى

في علوم الحاسوب النظرية، تستخدم برامج إثبات النظريات الآلية ومحركات إعادة كتابة المصطلحات مناهج أخرى لبناء الأعداد الصحيحة . تُمثل الأعداد الصحيحة كمصطلحات جبرية مبنية باستخدام عدد قليل من العمليات الأساسية (مثل الصفر ، واللاحقة ، والتنبؤ ) وباستخدام الأعداد الطبيعية ، التي يُفترض أنها مبنية مسبقًا (باستخدام منهج بيانو ).

يوجد ما لا يقل عن عشرة من هذه التركيبات للأعداد الصحيحة الموقعة. [ 38 ] تختلف هذه التركيبات في عدة جوانب: عدد العمليات الأساسية المستخدمة في التركيب، وعدد الوسائط (عادةً ما يكون بين 0 و2)، وأنواع الوسائط التي تقبلها هذه العمليات؛ ووجود أو عدم وجود أعداد طبيعية كوسائط لبعض هذه العمليات، وحقيقة أن هذه العمليات هي مُنشئات حرة أم لا، أي أنه يمكن تمثيل نفس العدد الصحيح باستخدام حد جبري واحد فقط أو عدة حدود جبرية.

تُشير التقنية المُستخدمة في بناء الأعداد الصحيحة، والمُقدمة في القسم السابق، إلى الحالة الخاصة التي يوجد فيها زوج واحد من العمليات الأساسية.(x،y){\displaystyle (x,y)}يأخذ هذا كمعاملين عددين طبيعيينx{\displaystyle x}و​​y{\displaystyle y}، ويعيد عددًا صحيحًا (يساوي ⁠x-y{\displaystyle x-y}هذه العملية ليست حرة، إذ يمكن كتابة العدد الصحيح 0 على شكل زوج ( 0,0)، أو زوج (1,1)، أو زوج (2,2)، وهكذا. تستخدم أداة المساعدة في البرهان "إيزابيل" هذه التقنية في البناء ؛ ومع ذلك، تستخدم العديد من الأدوات الأخرى تقنيات بناء بديلة، لا سيما تلك القائمة على المُنشئات الحرة، والتي تُعد أبسط ويمكن تنفيذها بكفاءة أكبر في أجهزة الحاسوب.

علوم الحاسوب

يُعدّ العدد الصحيح غالبًا نوعًا أساسيًا من البيانات في لغات البرمجة . مع ذلك، لا يمكن لأنواع بيانات الأعداد الصحيحة تمثيل سوى مجموعة فرعية من جميع الأعداد الصحيحة، نظرًا لأن سعة الحواسيب العملية محدودة. كذلك، في تمثيل المتمم الثنائي الشائع ، يُميّز التعريف الضمني للإشارة بين "سالب" و"غير سالب" بدلًا من "سالب، موجب، وصفر  ". (مع ذلك، من المؤكد أن الحاسوب قادر على تحديد ما إذا كانت قيمة العدد الصحيح موجبة بالفعل). يُرمز لأنواع بيانات تقريب الأعداد الصحيحة ذات الطول الثابت (أو مجموعاتها الفرعية) بالرمزين int أو Integer في العديد من لغات البرمجة (مثل Algol68 و C و Java و Delphi وغيرها).

يمكن لتمثيلات الأعداد الصحيحة ذات الطول المتغير، مثل الأعداد الكبيرة ، تخزين أي عدد صحيح يتناسب مع ذاكرة الحاسوب. أما أنواع بيانات الأعداد الصحيحة الأخرى فتُنفذ بحجم ثابت، عادةً ما يكون عددًا من البتات يُمثل قوة للعدد  2 (4، 8، 16، إلخ) أو عددًا لا يُنسى من الأرقام العشرية (مثل 9 أو  10).

العددية

مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة لانهائية قابلة للعد ، مما يعني أنه من الممكن ربط كل عدد صحيح بعدد طبيعي فريد. مثال على هذا الربط هو

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . ,(1 − k , 2 k − 1), ( k , 2 k ), . . .

من الناحية الفنية، عدد عناصر ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }يُقال إن ⁠ يساوي ℵ 0 ( ألف-صفر ). الاقتران بين عناصر ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }و​​شمال{\displaystyle \mathbb {N} }يُطلق عليه اسم تقابل .

انظر أيضاً

ℕ ⊊ ℤ ⊊ ℚ ⊊ ℝ ⊊ ℂ
المجموعات المضمنة بين الأعداد الطبيعية (شمال{\displaystyle \mathbb {N} }), الأعداد الصحيحة (Z{\displaystyle \mathbb {Z} })، الأعداد النسبية (سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }), الأعداد الحقيقية (R{\displaystyle \mathbb {R} })، والأعداد المركبة (ج{\displaystyle \mathbb {C} })

الحواشي

  1. ↑ بتعبير أدق، كل نظام مُضمّن في النظام التالي، ويُقابله تماثليًا مجموعة جزئية. [ 5 ] يمكن الحصول على الاحتواء النظري للمجموعات المفترض عادةً من خلال بناء الأعداد الحقيقية، والتخلي عن أي بناءات سابقة، وتعريف المجموعات الأخرى كمجموعات جزئية من الأعداد الحقيقية. [ 6 ]

مراجع

  1. ↑ موسوعة العلوم والتكنولوجيا . مطبعة جامعة شيكاغو. سبتمبر 2000. ص  280. ISBN 978-0-226-74267-0.
  2. ↑ هيلمان، أبراهام ب.؛ ألكسندرسون، جيرالد ل. (1963). الجبر وعلم المثلثات؛ . بوسطن: ألين وبيكون.
  3. 1 2 3 ميلر، جيف (29 أغسطس 2010). "أقدم استخدامات رموز نظرية الأعداد" . مؤرشف من الأصل في 31 يناير 2010. تم الاطلاع عليه في 20 سبتمبر 2010 .
  4. 1 2 بيتر جيفسون كاميرون (1998). مقدمة في الجبر . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 4. ISBN  978-0-19-850195-4أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 8 ديسمبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 فبراير 2016 .
  5. ↑ بارتي، باربرا هـ.؛ مولين، أليس تير؛ وول، روبرت إي. (30 أبريل 1990). الأساليب الرياضية في اللغويات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 78-82 . ISBN  978-90-277-2245-4لا تُعدّ الأعداد الطبيعية نفسها مجموعة جزئية من هذا التمثيل النظري للمجموعات للأعداد الصحيحة. بل إن مجموعة جميع الأعداد الصحيحة تحتوي على مجموعة جزئية تتكون من الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر، وهي متماثلة مع مجموعة الأعداد الطبيعية.
  6. ↑ وولجموث، أندرو (10 يونيو 2014). مقدمة في البرهان في الرياضيات المجردة . شركة كورير. ص 237. ISBN  978-0-486-14168-8.
  7. ↑ التحضير لاختبار كابلان (4 يونيو 2019). GMAT Complete 2020: الدليل الأمثل للدراسة الذاتية الشاملة لاختبار GMAT . دار نشر سيمون وشوستر. رقم ISBN 978-1-5062-4844-8.
  8. ↑ إيفانز، نيك (1995). "المحددات الكمية من النوع أ والنطاق". في باخ، إيمون و. (محرر). التحديد الكمي في اللغات الطبيعية . دوردريخت، هولندا؛ بوسطن، ماساتشوستس: دار كلوير الأكاديمية للنشر. ص 262. ISBN  978-0-7923-3352-4.
  9. ↑ سميدلي، إدوارد؛ روز، هيو جيمس؛ روز، هنري جون (1845). الموسوعة الحضرية . بي. فيلوز. ص 537. العدد الصحيح هو مضاعف للواحد. 
  10. ↑ الموسوعة البريطانية 1771 ، ص 367 
  11. ^ بيسانو، ليوناردو ؛ بونكومباني، بالداسار (الترجمة الصوتية) (1202). Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano in year Mccij [ كتاب الحساب ] (مخطوطة) (باللاتينية). ترجمة سيجلر، لورانس إي. متحف جاليليو. ص. 30. لا يزال هناك كسر في الكسر، وهو ما بعد التكامل، حيث يكون هناك سعر متكامل من خلال التمزق المستحق. [ ويتم دائمًا وضع الكسور بعد الكل، وبالتالي يتم كتابة العدد الصحيح أولًا، ثم الكسر ] 
  12. ↑ الموسوعة البريطانية 1771 ، ص 83 
  13. ↑ مارتينيز، ألبرتو (2014). الرياضيات السلبية . مطبعة جامعة برينستون. ص 80-109 . 
  14. ^ أويلر ، ليونارد (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [ مقدمة كاملة للجبر ] (باللغة الألمانية). المجلد. 1. ص. 10. Alle diese Zahlen، so wohl الإيجابية والسلبية، führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen، welche أيضا entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt Dieselbe Gantze Zahlen، um sie von den Gebrochenen، und noch vielerley andern Zahlen، wovon unten gehandelt werden wird، zu unterscheiden. [ كل هذه الأعداد، الموجبة والسالبة، تسمى أعدادًا صحيحة، وهي إما أكبر أو أصغر من لا شيء. ونحن نسميها أعدادًا صحيحة لتمييزها عن الكسور وعن عدة أنواع أخرى من الأعداد التي سنتحدث عنها فيما بعد. ]  
  15. ↑ مجلة جامعة ليدز . المجلد 31-32 . جامعة ليدز. 1989. ص 46. بالمناسبة، Z مشتقة من "Zahl": تم إنشاء الترميز بواسطة هيلبرت.  
  16. ^ بورباكي، نيكولا (1951). الجبر، الفصل الأول (بالفرنسية) ( الطبعة الثانية). باريس: هيرمان. ص. 27. Le Symétrisé de N se note Z ; يتم استدعاء عناصرها بالكامل. [ مجموعة اختلافات N يُشار إليها بـ Z ; وتسمى عناصرها الأعداد الصحيحة العقلانية. ]  
  17. ↑ بيركوف، غاريت (1948). نظرية الشبكات ( طبعة منقحة). الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 63. المجموعة J لجميع الأعداد الصحيحة  
  18. ↑ الجمعية الرياضية الكندية (1960). المجلة الكندية للرياضيات . الجمعية الرياضية الكندية. ص 374. لنعتبر المجموعة Z من الأعداد الصحيحة غير السالبة. 
  19. ↑ بيزوسكا، ستانلي (1961). التقدم المعاصر في الرياضيات: ملحق المعلم [ إلى ] الجزء 1 والجزء 2. كلية بوسطن. ص 69. تشير كتب الجبر الحديثة عمومًا إلى مجموعة الأعداد الصحيحة بالحرف الكبير Z. 
  20. ↑ كيث بليدجر وديف ويلكنز، "Edexcel AS and A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" بيرسون 2008
  21. ↑ LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "الرياضيات المتقدمة"، الكتاب 2، لونجمان 1975.
  22. ↑ ماثيوز، جورج بالارد (1892). نظرية الأعداد . دايتون، بيل وشركاه. ص 2. 
  23. ↑ بيتز، ويليام (1934). الرياضيات للصغار اليوم . جين. الأعداد الصحيحة، أو الأعداد الكاملة، عندما تُرتب بترتيبها الطبيعي، مثل 1، 2، 3، تُسمى أعدادًا صحيحة متتالية.
  24. ↑ بيك، ليمان سي. (1950). عناصر الجبر . ماكجرو هيل. ص 3. تسمى الأعداد التي تنشأ بهذه الطريقة بالأعداد الصحيحة الموجبة، أو الأعداد الصحيحة الموجبة. 
  25. ↑ هايدن، روبرت (1981). تاريخ حركة "الرياضيات الجديدة" في الولايات المتحدة (أطروحة دكتوراه). جامعة ولاية آيوا. ص 145. doi : 10.31274/rtd-180813-5631 . مؤرشف من الأصل في 8 أكتوبر 2025. كان المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات (NCTM) قوةً مؤثرةً للغاية في إيصال أخبار "الرياضيات الجديدة" إلى معلمي ومديري المدارس الثانوية. 
  26. ↑ نمو الأفكار الرياضية، الصفوف من الروضة إلى الثاني عشر: الكتاب السنوي الرابع والعشرون . المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات. ١٩٥٩. ص ١٤. ISBN  9780608166186.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  27. ↑ دينز، إدوينا (1963). رياضيات المرحلة الابتدائية: اتجاهات جديدة . وزارة الصحة والتعليم والرعاية الاجتماعية الأمريكية، مكتب التعليم. ص 42. 
  28. ↑ "مدخل: عدد صحيح" . قاموس التراث الأمريكي . هاربر كولينز.
  29. ↑ "الأعداد الصحيحة | الرياضيات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 أغسطس 2020 .
  30. ↑ لانغ، سيرج (1993). الجبر ( الطبعة الثالثة). أديسون-ويسلي. الصفحات 86-87 . ISBN   978-0-201-55540-0.
  31. ↑ وارنر، سيث (2012). الجبر الحديث . كتب دوفر في الرياضيات. شركة كورير. النظرية 20.14، ص 185. ISBN  978-0-486-13709-4أُرشف من المصدر الأصلي في 6 سبتمبر 2015. تم الاطلاع عليه في 29 أبريل 2015 ..
  32. ↑ مندلسون، إليوت (1985). أنظمة الأعداد وأسس التحليل . مالابار، فلوريدا : دار نشر آر إي كريجر، ص 153. ISBN   978-0-89874-818-5.
  33. ↑ مندلسون، إليوت (2008). أنظمة الأعداد وأسس التحليل . كتب دوفر في الرياضيات. منشورات كوريير دوفر. ص 86. ISBN  978-0-486-45792-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 8 ديسمبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 فبراير 2016 ..
  34. ↑ إيفورا كاستيلو: الجبر
  35. ^ كرامر، يورغ. فون بيبيتش، آنا ماريا (2017). من الأعداد الطبيعية إلى Quaternions ( الطبعة الأولى). سويسرا: سبرينغر شام. ص 78 – 81. دوى : 10.1007 / 978-3-319-69429-0 . رقم ISBN   978-3-319-69427-6.
  36. ↑ فروبشر، لين (1999). تعلم تدريس الأعداد: دليل للطلاب والمعلمين في المرحلة الابتدائية . سلسلة ستانلي ثورنز لتدريس الرياضيات للمرحلة الابتدائية. نيلسون ثورنز. ص 126. ISBN  978-0-7487-3515-0أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 8 ديسمبر 2016. تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 فبراير 2016 ..
  37. 1 2 3 كامبل ، هوارد إي. (1970). بنية الحساب . أبليتون-سينشري-كروفتس. ص 83. ISBN  978-0-390-16895-5.
  38. ↑ غارافيل، هوبرت (2017). حول أنسب بديهيات الأعداد الصحيحة الموقعة . وقائع ما بعد ورشة العمل الدولية الثالثة والعشرين حول تقنيات التطوير الجبري (WADT'2016). سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 10644. سبرينغر. الصفحات 120-134 . doi : 10.1007/978-3-319-72044-9_9 . ISBN   978-3-319-72043-2أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 26 يناير 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 25 يناير 2018 .

مصادر

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Integer على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .