مثلث متساوي الأضلاع

المثلث متساوي الأضلاع هو مثلث تتساوى فيه جميع أضلاعه الثلاثة في الطول، وجميع زواياه الثلاث متساوية. وبسبب هذه الخصائص، يُعدّ المثلث متساوي الأضلاع مضلعًا منتظمًا ، ويُعرف أحيانًا بالمثلث المنتظم . وهو حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين وفقًا للتعريف الحديث، مما يمنحه خصائص مميزة إضافية.

يُمكن إيجاد المثلث متساوي الأضلاع في العديد من أشكال التبليط ، وفي المجسمات متعددة الأوجه مثل دلتاهيدرون والمنشور المضاد . ويظهر في الحياة الواقعية في الثقافة الشعبية، والهندسة المعمارية، ودراسة الكيمياء الفراغية، حيث يُشبه الشكل الجزيئي المعروف باسم الهندسة الجزيئية المثلثية المستوية .

يُقال إن المثلث متساوي الأضلاع إذا وفقط إذا كان له ثلاثة أضلاع متساوية وثلاث زوايا داخلية متساوية ؛ قياس كل زاوية منها 60 درجة. ^{[ 1 ]} يُعد المثلث متساوي الأضلاع حالة خاصة من المثلث متساوي الساقين في التعريف الحديث، الذي ينص على أن المثلث متساوي الساقين يُعرَّف على الأقل بأنه له ضلعان متساويان. ^{[ 2 ]} بناءً على التعريف الحديث، ينتج عن ذلك مثلث متساوي الأضلاع يمكن اعتبار أحد أضلاعه الثلاثة قاعدته. ^{[ 3 ]} بالتالي، ولأن محيط المثلث متساوي الساقين يساوي مجموع طولي ضلعيه وقاعدته، فإن المثلث متساوي الأضلاع يُصاغ على أنه ثلاثة أضعاف طول ضلعه.${\displaystyle p=3\ell }$[ ^{4 ] [ 5 ]} وبسبب هذه الخصائص، تُعتبر المثلثات متساوية الأضلاع مضلعات منتظمة . جميع خطوط الضلع في المثلث متساوي الأضلاع متساوية في الطول، مما ينتج عنه تساوي طول المتوسط ​​ومنصف الزاوية ، مع اعتبار هذين الخطين ارتفاعًا للمثلث بناءً على اختيار القاعدة. ^{[ 1 ]} يُرمز للمثلث متساوي الأضلاع بالرمز التالي ^:${\displaystyle \{3\}}$باستخدام تدوين شلافلي . ^{[ 6 ]}

استخدام المثلث متساوي الأضلاع كعلامة توقف

رف مثلث الشكل

ظهرت المثلثات متساوية الأضلاع بكثرة في المنشآت البشرية وفي الثقافة الشعبية. في الهندسة المعمارية، يمكن رؤية مثال على ذلك في المقطع العرضي لقوس البوابة ، ^{[ 13 ]} وسطح بيضة فيغريفيل ، ^{[ 14 ]} ومخطط كاتدرائية سانت إيفو ألا سابينزا . ^{[ 15 ]} كما تظهر في علمي نيكاراغوا والفلبين . ^{[ 16 ] [ 17 ]} وهي شكلٌ للعديد من إشارات المرور ، بما في ذلك إشارة التوقف . ^{[ 18 ]} وفي لعبة البلياردو ذات الثماني كرات ، تُرتّب خمس عشرة كرة باستخدام أداة على شكل مثلث متساوي الأضلاع . ^{[ 19 ]} أما في أنواع الشطرنج المختلفة ، وتحديدًا الشطرنج الثلاثي والشطرنج المثلثي ، اللذين ابتكرهما جورج آر. ديكل الأب عام 1986، فتتميز لوحاتهما بشبكة مثلثية متساوية الأضلاع. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

يستخدم المخطط الثلاثي المثلث متساوي الأضلاع لتمثيل نسب المتغيرات الثلاثة بيانياً كمواقع داخل هذا المثلث، وله تطبيقات في الكيمياء الفيزيائية ، وعلم الصخور ، وعلم المعادن ، وعلم الفلزات ، وغيرها من العلوم الفيزيائية، لعرض تركيب الأنظمة المكونة من ثلاثة أنواع. يُعرف هذا المخطط بأسماء مختلفة، مثل مخطط دي فينيتي في النمذجة الرياضية لعلم الوراثة السكانية ^{[ 22 ]} ، ومخطط سيمبلكس في نظرية الألعاب ^{[ 23 ]} والتحسين المحدب .

تُستخدم المثلثات متساوية الأضلاع في دراسة العلوم. في دراسة الكيمياء الفراغية ، يمكن وصفها بأنها الهندسة الجزيئية التي تربط فيها ذرة واحدة في المركز ثلاث ذرات أخرى في مستوى واحد، وتُعرف بالهندسة الجزيئية المثلثية المستوية . ^{[ 24 ]} في تخطيط كهربية القلب ، يتشكل مثلث مقلوب وهمي من الذراعين والساق، ويكون الصدر مركزه، ويُسمى هذا المثلث مثلث أينتهوفن ، نسبةً إلى الطبيب وعالم النفس الهولندي ويليم أينتهوفن . ^{[ 25 ]} في مسألة طومسون ، المتعلقة بتكوين الطاقة الأدنى لـ${\displaystyle n}$الجسيمات المشحونة على كرة، وبالنسبة لمسألة تامس المتمثلة في بناء رمز كروي يزيد من أصغر مسافة بين النقاط، فإن أفضل حل معروف لـ${\displaystyle n=3}$يضع هذا التكوين النقاط عند رؤوس مثلث متساوي الأضلاع، مرسوم داخل الكرة . وقد ثبت أن هذا التكوين هو الأمثل لمسألة تامس، ولكن الحل الدقيق لهذه الحالة من مسألة طومسون غير معروف. ^{[ 26 ]}

يترك${\displaystyle \triangle ABG}$،${\displaystyle \triangle BHC}$، و${\displaystyle \triangle ACK}$لتكن بعض المثلثات متساوية الأضلاع المبنية على أضلاع مثلث عشوائي${\displaystyle ABC}$إما جميعها للخارج أو للداخل، مراكز المثلثات الثلاثة متساوية الأضلاع${\displaystyle D}$،${\displaystyle E}$، و${\displaystyle F}$تشكل هذه النقاط، على التوالي، مثلثًا متساوي الأضلاع${\displaystyle \triangle DEF}$ينسب العديد من علماء الرياضيات هذه النتيجة إلى الإمبراطور الفرنسي نابليون بونابرت ، ولذا سُميت بنظرية نابليون ، على الرغم من عدم وجود أي صلة بين نابليون وهذه الأعمال الرياضية. ^{[ 27 ]} إلى جانب مسألة إنشاء دائرة ومركزها باستخدام الفرجار ، اكتشف عالم الهندسة والرياضيات الإيطالي لورينزو ماسكيروني هاتين النظريتين ، تاركًا للإمبراطور نسبهما لنفسه. ^{[ 28 ]} وقد تضمن كتاب "مذكرات السيدات" المنشور عام 1825 برهانًا على نظرية نابليون. ^{[ 27 ]}

بوصلة

تبدأ أولى القضايا في كتاب الأصول لإقليدس برسم دائرة بنصف قطر معين، ثم وضع رأس الفرجار على الدائرة، ورسم دائرة أخرى بنفس نصف القطر؛ تتقاطع الدائرتان في نقطتين. ويمكن إنشاء مثلث متساوي الأضلاع بتوصيل مركزي الدائرتين بإحدى نقاط التقاطع. ^{[ 29 ]}

يمكن إنشاء مضلع منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة إذا وفقط إذا كانت العوامل الأولية الفردية لعدد أضلاعه أعدادًا أولية مختلفة من أعداد فيرما . وهناك خمسة أعداد أولية معروفة من أعداد فيرما: 3، 5، 17، 257، 65537. ^{[ 30 ]}

ابدأ بأي قطعة مستقيمة كأحد الجانبين؛ ضع رأس الفرجار على أحد طرفي الخط، ثم ارسم قوسًا من تلك النقطة إلى النقطة الأخرى من القطعة المستقيمة؛ كرر ذلك مع الجانب الآخر من الخط، والذي يربط النقطة التي يتقاطع فيها القوسان مع كل طرف من أطراف القطعة المستقيمة في النهاية.

تطرح مسألة التعبئة هدفًا لـ${\displaystyle n}$تُعرف الحلول المثلى لترتيب الدوائر في أصغر مثلث متساوي الأضلاع ممكن .${\displaystyle n<13}$تحويل الدوائر إلى مثلث متساوي الأضلاع، والحلول المثلى المفترضة لـ${\displaystyle 13\leq n<28}$[ ^{31 ]​}

مثلث مورلي ومراكزه

يترك${\displaystyle ABC}$ليكن مثلثًا عشوائيًا. ارسم منصفات زواياه .${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle C}$قسمة الزوايا التي تتطلب خطين للحصول على ثلاث زوايا متساوية. يتقاطع هذان الخطان في ثلاث نقاط.${\displaystyle D}$،${\displaystyle E}$، و${\displaystyle F}$، لتشكيل مثلث${\displaystyle DEF}$يُطلق عليه اسم "مثلث مورلي". تنص نظرية مورلي لتثليث الزوايا ، نسبةً إلى عالم الرياضيات الأنجلو-أمريكي فرانك مورلي ، على أن${\displaystyle DEF}$يكون دائمًا متساوي الأضلاع، بغض النظر عن طول ضلعه${\displaystyle ABC}$[ ^{32 ]} في موسوعة مراكز المثلثات، التي وضعها كلارك كيمبرلينج ، يُشار إلى مثلث مورلي بنقاط المركز في المثلث ^.${\displaystyle \triangle DEF}$يحتوي على مركزين لمورلي ، أحدهما يتكون من تقاطع ثلاثة ارتفاعات في${\displaystyle \triangle DEF}$والآخر من تقاطع${\displaystyle AD}$،${\displaystyle BE}$، و${\displaystyle CF}$[ ^{33 ]​}

يترك${\displaystyle \triangle ABC}$ليكن مثلثًا متساوي الأضلاع و${\displaystyle P}$كن أي نقطة في الداخل${\displaystyle \triangle ABC}$. يترك${\displaystyle \triangle DGP}$،${\displaystyle \triangle EHP}$، و${\displaystyle \triangle FIP}$لتكن بعض المثلثات متساوية الأضلاع داخل${\displaystyle \triangle ABC}$ارسم ارتفاعات المثلثات الثلاثة انطلاقاً من المسافة بينها.${\displaystyle P}$إلى منتصف${\displaystyle AC}$،${\displaystyle BC}$، و${\displaystyle AB}$على التوالي. بتدوير هذه الخطوط المستقيمة عموديًا، يكون مجموع${\displaystyle AC}$،${\displaystyle BC}$، و${\displaystyle AB}$يساوي ارتفاع${\displaystyle \triangle ABC}$هذه النتيجة مستمدة من نظرية فيفياني ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات الإيطالي فينتشنزو فيفياني . ^{[ 34 ]}

قد يكون للمثلث متساوي الأضلاع أضلاع صحيحة وثلاث زوايا نسبية مقاسة بالدرجات، ^{[ 35 ]} وهو المثلث الوحيد الحاد الزوايا المشابه لمثلثه القائم (برؤوس تقع عند قواعد الارتفاعات ) ، ^{[ 36 ]} والمثلث الوحيد الذي يكون قطعه الناقص الداخلي دائرة (وتحديدًا الدائرة الداخلية). ^{[ 37 ]} المثلث ذو المساحة الأكبر بين جميع المثلثات المرسومة داخل دائرة معينة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الأصغر بين جميع المثلثات المحيطة بدائرة معينة هو أيضًا مثلث متساوي الأضلاع. ^{[ 37 ]} وهو المضلع المنتظم الوحيد، إلى جانب المربع، الذي يمكن رسمه داخل أي مضلع منتظم آخر.

بافتراض نقطة${\displaystyle P}$في داخل مثلث متساوي الأضلاع، تكون نسبة مجموع المسافات بين رؤوسه ومجموع المسافات بين أضلاعه أكبر من أو تساوي 2، ويتحقق التساوي عندما${\displaystyle P}$هي مركز المثلث. لا توجد في أي مثلث آخر نقطة تكون عندها هذه النسبة صغيرة جدًا مثل 2. ^{[ 38 ]} هذه هي متباينة إردوش-مورديل ؛ وهناك صيغة أقوى منها هي متباينة بارو ، التي تستبدل المسافات العمودية على الأضلاع بالمسافات من${\displaystyle P}$إلى النقاط التي تكون عندها منصفات الزوايا${\displaystyle \angle APB}$،${\displaystyle \angle BPC}$، و${\displaystyle \angle CPA}$عبور الجانبين (${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$، و${\displaystyle C}$(حيث تمثل الرؤوس). هناك العديد من متباينات المثلث الأخرى التي تتحقق فيها المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع.

عد

متتالية بادوفان هي متتالية من الأعداد الصحيحة ذات القيم الأولية المعطاة${\displaystyle P_{1}=P_{2}=P_{3}=1}$وعلاقة التكرار ^{[ 39 ]}$${\displaystyle P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}.}$$ ينتج عن علاقة التكرار الناتجة سلسلة تتكون من الأرقام القليلة الأولى:

1، 1، 1، 2، 2، 3، 4، 5، 7، 9، 12، 16، 21، 28، ... (التسلسل A000931 في OEIS )

سُميت متتالية بادوفان نسبةً إلى ريتشارد بادوفان ، الذي نسب اكتشافها إلى المهندس المعماري الهولندي هانز فان دير لان في مقالته عام 1994. ^{[ 40 ]} هندسيًا، يمكن وصف المتتالية بأنها تبليط مثلثات متساوية الأضلاع بناءً على طول ضلعها بالتتابع، مما يُشكل شكلًا حلزونيًا. والنتيجة مماثلة لمتتالية فيبوناتشي 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، ... مع تبليط المربعات. ^{[ 41 ]}

الأعداد المثلثية هي نوع من الأعداد الشكلية ، وهي سلسلة من الأعداد الصحيحة الموجبة التي تصف هندسيًا ترتيب النقاط في مثلث متساوي الأضلاع. تبدأ بنقطة واحدة، ثم نقطتين، ثم ثلاث نقاط، وهكذا. توضح السلسلة مجموع النقاط أثناء تقدمها، ويتم حساب المجموع لـ${\displaystyle n}$الحد النوني الذي تعطيه الصيغة${\displaystyle n(n+1)/2}$الأرقام القليلة الأولى هي: ^{[ 42 ]}

0، 1، 3، 6، 10، 15، 21، 28، 36، 45، 55، 66، 78، ... (التسلسل A000217 في OEIS )

كانت الأعداد المثلثية تطبيقات للفيثاغورية ؛ ^{[ 43 ]} على سبيل المثال، tetractys هو شكل مثلثي يتكون من عشر نقاط مرتبة في أربعة صفوف ترمز إلى انسجام الموسيقى والكون ، وصعود الآلهة، والعناصر الكلاسيكية ، وتعميم الفضاءات الرياضية المثلثية التي تسمى simplices .

الأشكال الكسورية، والمضلعات، وغيرها من الأشكال

تملأ بلاطة المثلثات متساوية الأضلاع المستوى

مثلث سيربينسكي

يُعدّ المجسم الثماني المنتظم مجسمًا دلتاهيدرو، كما أنه ينتمي إلى عائلة الموشورات المضادة.

ومن الجدير بالذكر أن المثلث متساوي الأضلاع يُغطي المستوى الإقليدي بستة مثلثات تلتقي عند رأس واحد؛ والشكل الثنائي لهذا التبليط هو التبليط السداسي . يُعد كل من التبليط السداسي المقطوع ، والتبليط المعيني الثلاثي السداسي ، والتبليط الثلاثي السداسي ، والتبليط المربع المقطوع ، والتبليط السداسي المقطوع ، تبليطات شبه منتظمة مُنشأة من مثلثات متساوية الأضلاع. ^{[ 44 ]} وتشمل الأشكال ثنائية الأبعاد الأخرى المُنشأة من مثلثات متساوية الأضلاع مثلث سيربينسكي ( شكل كسري مُنشأ من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق تقسيمه بشكل متكرر إلى مثلثات متساوية الأضلاع أصغر) ومثلث رولو ( مثلث منحني ذو عرض ثابت ، مُنشأ من مثلث متساوي الأضلاع عن طريق تقريب كل ضلع من أضلاعه). ^{[ 12 ]}

قد تُشكّل المثلثات متساوية الأضلاع أيضًا مجسمًا متعدد الأوجه في ثلاثة أبعاد. يُطلق على المجسم متعدد الأوجه الذي تتكون جميع أوجهه من مثلثات متساوية الأضلاع اسم دلتاهيدرون . هناك ثمانية دلتاهيدرات محدبة تمامًا : ثلاثة من المجسمات الأفلاطونية الخمسة ( الهرم الرباعي المنتظم ، والهرم الثماني المنتظم ، والهرم العشري المنتظم ) وخمسة من مجسمات جونسون البالغ عددها 92 مجسمًا ( الهرم الثنائي المثلثي ، والهرم الثنائي الخماسي ، والشكل ثنائي الإسفين المقطوع ، والمنشور الثلاثي المعزز ، والهرم الثنائي المربع المستطيل ). ^{[ 45 ]} وبشكل عام، تحتوي جميع مجسمات جونسون على مثلثات متساوية الأضلاع بين أوجهها، على الرغم من أن معظمها يحتوي أيضًا على مضلعات منتظمة أخرى . ^{[ 46 ]} تُعدّ الموشورات المضادة عائلة من المجسمات متعددة الأوجه التي تتضمن شريطًا من المثلثات المتناوبة. عندما يكون الموشور المضاد منتظمًا ، تكون قواعده منتظمة وجميع أوجهه المثلثية متساوية الأضلاع. ^{[ 47 ]}

كتعميم، ينتمي المثلث متساوي الأضلاع إلى العائلة اللانهائية من${\displaystyle n}$- المعقدات البسيطة ، مع${\displaystyle n=2}$[ ^{48 ]​}

• كاتدرائية كليفتون
• توزيع ديريشليه
• لغز الخلود
• مثلث هيروني شبه متساوي الأضلاع
• نقاط هوفستاتر
• محيط وهمي
• حجر رون كينجيتورسواك
• مشكلة ليموين
• دوائر مالفاتي
• نظرية مور-ماسكيروني
• عدم المساواة عند نيسبيت
• مثلث من الطين الأنبوبي
• تبليط أبو الهول
• مشكلة شجرة شتاينر
• نظرية ثيبو
• ثلاث معابد بوذية
• إحداثيات ثلاثية الخطوط

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المثلث متساوي الأضلاع" . عالم الرياضيات .