علم النفس الرياضي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 2 صور
الموسوعة الحرة

علم النفس الرياضي هو منهج بحثي نفسي يعتمد على النمذجة الرياضية للعمليات الإدراكية والفكرية والمعرفية والحركية ، وعلى وضع قواعد شبيهة بالقوانين تربط خصائص المحفزات القابلة للقياس بسلوك قابل للقياس (يُقاس عمليًا بأداء المهام). يُستخدم المنهج الرياضي بهدف استنباط فرضيات أكثر دقة، وبالتالي الحصول على نتائج تجريبية أكثر صرامة. توجد خمسة مجالات بحثية رئيسية في علم النفس الرياضي : التعلم والذاكرة ، والإدراك وعلم النفس الفيزيائي ، والاختيار واتخاذ القرارات ، واللغة والتفكير ، والقياس والتقييم . [ 1 ]

على الرغم من أن علم النفس، كفرع مستقل من العلوم، يُعدّ تخصصًا أحدث من الفيزياء ، [ 2 ] فقد تم تطبيق الرياضيات فيه على أمل محاكاة نجاح هذا النهج في العلوم الفيزيائية ، والذي يعود تاريخه إلى القرن السابع عشر على الأقل . [ 3 ] تُستخدم الرياضيات في علم النفس على نطاق واسع في مجالين رئيسيين: الأول هو النمذجة الرياضية للنظريات النفسية والظواهر التجريبية، مما يؤدي إلى علم النفس الرياضي؛ والآخر هو النهج الإحصائي لممارسات القياس الكمي في علم النفس، مما يؤدي إلى علم القياس النفسي . [ 2 ]

بما أن قياس السلوك كميًا أمرٌ أساسي في هذا المسعى، فإن نظرية القياس تُعدّ موضوعًا محوريًا في علم النفس الرياضي. ولذلك، يرتبط علم النفس الرياضي ارتباطًا وثيقًا بعلم القياس النفسي. مع ذلك، فبينما يهتم علم القياس النفسي بالفروق الفردية (أو بنية المجتمع) في متغيرات ثابتة في الغالب، يركز علم النفس الرياضي على نماذج العمليات الإدراكية والمعرفية والحركية كما تُستنتج من "الفرد المتوسط". علاوة على ذلك، فبينما يبحث علم القياس النفسي في بنية التبعية العشوائية بين المتغيرات كما تُلاحظ في المجتمع، يركز علم النفس الرياضي بشكل شبه حصري على نمذجة البيانات المُستقاة من النماذج التجريبية، وبالتالي فهو أكثر ارتباطًا بعلم النفس التجريبي وعلم النفس المعرفي وعلم النفس الإدراكي . ومثل علم الأعصاب الحاسوبي والاقتصاد القياسي ، غالبًا ما تستخدم نظرية علم النفس الرياضي الأمثلية الإحصائية كمبدأ توجيهي، بافتراض أن الدماغ البشري قد تطور لحل المشكلات بطريقة مثلى. وتُعدّ المواضيع المركزية من علم النفس المعرفي (مثل القدرة المحدودة مقابل غير المحدودة على المعالجة، والمعالجة التسلسلية مقابل المعالجة المتوازية) وآثارها محورية في التحليل الدقيق في علم النفس الرياضي.

ينشط علماء النفس الرياضي في العديد من مجالات علم النفس، وخاصة في علم النفس الفيزيائي، والإحساس والإدراك ، وحل المشكلات ، واتخاذ القرارات ، والتعلم ، والذاكرة ، واللغة ، والتحليل الكمي للسلوك ، ويساهمون في عمل مجالات فرعية أخرى من علم النفس مثل علم النفس السريري ، وعلم النفس الاجتماعي ، وعلم النفس التربوي ، وعلم نفس الموسيقى .

تاريخ

إرنست هاينريش ويبر
غوستاف فيشنر

الرياضيات وعلم النفس قبل القرن التاسع عشر

تستند نظرية الاختيار واتخاذ القرار إلى تطور نظرية الإحصاء. ففي منتصف القرن السابع عشر، درس بليز باسكال مواقف المقامرة، ثم وسّع نطاقها ليشمل رهان باسكال. [ 4 ] وفي القرن الثامن عشر، طرح نيكولاس برنولي مفارقة سانت بطرسبرغ في اتخاذ القرار، وقدّم دانيال برنولي حلاً لها، ثم اقترح لابلاس تعديلاً على هذا الحل لاحقاً. وفي عام 1763، نشر بايز بحثاً بعنوان " مقال في حل مشكلة في نظرية الاحتمالات "، والذي يُعدّ علامة فارقة في الإحصاء البايزي .

عمل روبرت هوك على نمذجة الذاكرة البشرية، وهو ما يُعدّ مقدمة لدراسة الذاكرة.

الرياضيات وعلم النفس في القرن التاسع عشر

أدت التطورات البحثية في ألمانيا وإنجلترا خلال القرن التاسع عشر إلى ظهور علم النفس كتخصص أكاديمي جديد. ولأن المنهج الألماني ركز على التجارب في دراسة العمليات النفسية المشتركة بين جميع البشر، بينما ركز المنهج الإنجليزي على قياس الفروق الفردية، فقد اختلفت تطبيقات الرياضيات أيضاً.

في ألمانيا، أسس فيلهلم فونت أول مختبر لعلم النفس التجريبي. وتُطبَّق الرياضيات في علم النفس الألماني بشكل رئيسي في علم الحواس وعلم النفس الفيزيائي . وضع إرنست فيبر (1795-1878) أول قانون رياضي للعقل، وهو قانون فيبر ، استنادًا إلى مجموعة متنوعة من التجارب. وقدّم غوستاف فيشنر (1801-1887) نظريات في الإحساسات والإدراك، ومنها قانون فيشنر الذي يُعدِّل قانون فيبر.

للنمذجة الرياضية تاريخ طويل في علم النفس، بدأ في القرن التاسع عشر، وكان إرنست فيبر (1795-1878) وغوستاف فيشنر (1801-1887) من أوائل من طبقوا المعادلات الوظيفية على العمليات النفسية. وبذلك أسسوا مجالي علم النفس التجريبي عموماً، وعلم النفس الفيزيائي خصوصاً.

في القرن التاسع عشر، كان باحثو علم الفلك يرسمون خرائط المسافات بين النجوم بتحديد الوقت الدقيق لمرور نجم ما عبر شعيرة متقاطعة على التلسكوب. ونظرًا لعدم وجود أجهزة التسجيل الآلية الحديثة، اعتمدت هذه القياسات الزمنية كليًا على سرعة استجابة الإنسان. وقد لوحظ وجود اختلافات منهجية طفيفة في الأوقات التي قاسها علماء الفلك المختلفون، وقد درسها لأول مرة عالم الفلك الألماني فريدريك بيسل (1782-1846) بشكل منهجي. وضع بيسل معادلات شخصية من قياسات سرعة الاستجابة الأساسية، من شأنها أن تلغي الاختلافات الفردية عن الحسابات الفلكية. وبشكل مستقل، قاس الفيزيائي هيرمان فون هيلمهولتز أوقات رد الفعل لتحديد سرعة التوصيل العصبي، وطوّر نظرية الرنين للسمع، ونظرية يونغ-هيلمهولتز للرؤية اللونية.

تلاقت هاتان الدراستان في بحث عالم وظائف الأعضاء الهولندي إف سي دوندرز وطالبه جيه جيه دي ياغر ، اللذين أدركا إمكانية استخدام أوقات رد الفعل لتحديد الوقت اللازم للعمليات العقلية الأساسية بشكل موضوعي إلى حد ما. وتصور دوندرز استخدام قياس الزمن العقلي لاستنتاج عناصر النشاط المعرفي المعقد علميًا من خلال قياس وقت رد الفعل البسيط [ 5 ].

على الرغم من وجود تطورات في الإحساس والإدراك، فقد طور يوهان هيربارت نظامًا من النظريات الرياضية في المجال المعرفي لفهم العملية العقلية للوعي.

يمكن تتبع أصول علم النفس الإنجليزي إلى نظرية التطور لداروين. إلا أن ظهوره الحقيقي يعود إلى فرانسيس غالتون ، الذي اهتم بالفروق الفردية بين البشر في المتغيرات النفسية. وتعتمد الرياضيات في علم النفس الإنجليزي بشكل أساسي على الإحصاء، وتُعدّ أعمال غالتون ومنهجه أساسًا لعلم القياس النفسي .

قدّم غالتون التوزيع الطبيعي ثنائي المتغيرات في نمذجة سمات الفرد نفسه، كما بحث في خطأ القياس وبنى نموذجه الخاص، وطوّر أيضًا عملية تفرع عشوائية لدراسة انقراض أسماء العائلات. وهناك أيضًا تقليدٌ في الاهتمام بدراسة الذكاء في علم النفس الإنجليزي بدأ مع غالتون. وقد طوّر جيمس ماكين كاتيل وألفريد بينيه اختباراتٍ للذكاء.

أُنشئ أول مختبر لعلم النفس في ألمانيا على يد فيلهلم فونت ، الذي استعان بأفكار دوندرز على نطاق واسع. مع ذلك، كان من الصعب تكرار النتائج التي توصل إليها المختبر، وسرعان ما عُزي ذلك إلى منهج الاستبطان الذي ابتكره فونت. نتجت بعض المشكلات عن اختلافات فردية في سرعة الاستجابة رصدها علماء الفلك. على الرغم من أن فونت لم يُبدِ اهتمامًا يُذكر بهذه الاختلافات الفردية، وركز اهتمامه على دراسة العقل البشري بشكل عام ، إلا أن طالبه الأمريكي جيمس ماكين كاتيل كان مفتونًا بهذه الاختلافات، وبدأ العمل عليها خلال إقامته في إنجلترا.

أدى فشل منهج فونت في الاستبطان إلى ظهور مدارس فكرية مختلفة. انصبّ اهتمام مختبر فونت على التجربة الإنسانية الواعية، تماشياً مع أعمال فيشنر وفيبر حول شدة المحفزات. وفي المملكة المتحدة، وتحت تأثير التطورات الأنثروبومترية بقيادة فرانسيس غالتون ، تركز الاهتمام على الفروق الفردية بين البشر في المتغيرات النفسية، بما يتماشى مع أعمال بيسل. وسرعان ما تبنى كاتيل مناهج غالتون وساهم في وضع أسس علم القياس النفسي.

القرن العشرين

طُوِّرت العديد من الأساليب الإحصائية حتى قبل القرن العشرين: فقد ابتكر تشارلز سبيرمان تحليل العوامل الذي يدرس الفروق الفردية من خلال التباين والتباين المشترك. وتم دمج علم النفس الألماني والإنجليزي، ثم تبنّته الولايات المتحدة. هيمنت الأساليب الإحصائية على المجال في مطلع القرن. ومن أهم التطورات الإحصائية: نمذجة المعادلات الهيكلية (SEM) وتحليل التباين (ANOVA). ولأن تحليل العوامل لا يستطيع استخلاص استنتاجات سببية، طوّر سيوال رايت أسلوب نمذجة المعادلات الهيكلية لتحليل البيانات الارتباطية واستنتاج السببية، وهو ما يزال مجالًا بحثيًا رئيسيًا حتى اليوم. وقد شكّلت هذه الأساليب الإحصائية علم القياس النفسي. تأسست الجمعية القياسية النفسية عام 1935، وصدرت مجلة القياس النفسي (Psychometrika) عام 1936.

في الولايات المتحدة، نشأت المدرسة السلوكية كرد فعل على التأمل الذاتي وأبحاث زمن رد الفعل المرتبطة به، وحوّلت تركيز البحث النفسي بالكامل إلى نظرية التعلم. [ 5 ] أما في أوروبا، فقد استمر التأمل الذاتي في علم نفس الجشطالت . هيمنت المدرسة السلوكية على علم النفس الأمريكي حتى نهاية الحرب العالمية الثانية ، وامتنعت إلى حد كبير عن الاستدلال على العمليات العقلية. وكانت النظريات الرسمية غائبة في معظمها (باستثناء نظريتي البصر والسمع ) .

خلال الحرب، أدت التطورات في الهندسة ، والمنطق الرياضي ، ونظرية الحوسبة، وعلوم الحاسوب والرياضيات ، وحاجة الجيش لفهم الأداء البشري وحدوده ، إلى تضافر جهود علماء النفس التجريبيين، والرياضيين، والمهندسين، والفيزيائيين، والاقتصاديين. ومن هذا المزيج من التخصصات المختلفة، نشأ علم النفس الرياضي. وقد كان للتطورات في معالجة الإشارات ، ونظرية المعلومات ، والأنظمة الخطية ، ونظرية المرشحات ، ونظرية الألعاب ، والعمليات العشوائية ، والمنطق الرياضي تأثير كبير على الفكر النفسي. [ 5 ] [ 6 ]

ساهمت ورقتان بحثيتان رائدتان في نظرية التعلم، نُشرتا في مجلة "Psychological Review"، في ترسيخ هذا المجال في عالم كان لا يزال يهيمن عليه السلوكيون: فقد أطلقت ورقة بحثية لبوش وموستيلر منهج المؤثر الخطي في التعلم، [ 7 ] بينما أسست ورقة بحثية لإستس تقليد أخذ عينات المحفزات في التنظير النفسي. [ 8 ] وقدّمت هاتان الورقتان أولى التقارير الرسمية المفصلة لبيانات تجارب التعلم.

شهدت النماذج الرياضية لعملية التعلم تطوراً كبيراً في خمسينيات القرن العشرين مع ازدهار نظرية التعلم السلوكي. ومن بين هذه التطورات نظرية أخذ عينات المحفزات التي وضعها ويليامز ك. إستس ، ونماذج المؤثرات الخطية التي وضعها روبرت ر. بوش وفريدريك موستيلر .

تُستخدم نظرية معالجة الإشارات والكشف عنها على نطاق واسع في الإدراك وعلم النفس الفيزيائي ومجالات المعرفة غير الحسية. وقد رسّخ كتاب فون نيومان " نظرية الألعاب والسلوك الاقتصادي" أهمية نظرية الألعاب في اتخاذ القرارات. كما أسهم كلٌّ من ر. دنكان لوس وهوارد رايفا في مجال الاختيار واتخاذ القرارات.

برز مجال اللغة والتفكير مع تطور علوم الحاسوب واللغويات، ولا سيما نظرية المعلومات ونظرية الحوسبة. وقد طرح تشومسكي نموذج اللغويات ونظرية التسلسل الهرمي الحسابي. كما طرح ألين نيويل وهربرت سيمون نموذج حل الإنسان للمشكلات. ويُعدّ تطوير الذكاء الاصطناعي وواجهات التفاعل بين الإنسان والحاسوب من المجالات النشطة في كلٍّ من علوم الحاسوب وعلم النفس.

قبل خمسينيات القرن العشرين، ركز علماء القياس النفسي على بنية خطأ القياس وتطوير أساليب إحصائية عالية الدقة لقياس الكميات النفسية، لكن القليل من أعمالهم تناول بنية الكميات النفسية المقاسة أو العوامل المعرفية الكامنة وراء بيانات الاستجابة. درس سكوت وسوبس العلاقة بين بنية البيانات وبنية الأنظمة العددية التي تمثلها. [ 9 ] بنى كومبس نماذج معرفية رسمية للمستجيب في موقف القياس بدلاً من خوارزميات معالجة البيانات الإحصائية، مثل نموذج التطور التدريجي. [ 10 ] [ 11 ] ومن الإنجازات الأخرى تطوير شكل جديد لدالة القياس النفسي الفيزيائي، إلى جانب أساليب جديدة لجمع البيانات النفسية الفيزيائية، مثل قانون ستيفنز للقوة. [ 12 ]

شهدت خمسينيات القرن العشرين طفرةً في النظريات الرياضية للعمليات النفسية، بما في ذلك نظرية لوس للاختيار ، وتقديم تانر وسويتس لنظرية كشف الإشارات للكشف عن المحفزات البشرية، ومنهج ميلر في معالجة المعلومات. [ 6 ] وبحلول نهاية الخمسينيات، ازداد عدد علماء النفس الرياضيين من عدد قليل إلى أكثر من عشرة أضعاف، باستثناء علماء القياس النفسي. وتركز معظمهم في جامعات إنديانا وميشيغان وبنسلفانيا وستانفورد. [ 6 ] [ 13 ] وكان بعض هؤلاء يُدعون بانتظام من قبل مجلس أبحاث العلوم الاجتماعية الأمريكي للتدريس في ورش عمل صيفية في الرياضيات لعلماء الاجتماع في جامعة ستانفورد، مما عزز التعاون بينهم.

لتحسين تعريف مجال علم النفس الرياضي، جُمعت النماذج الرياضية التي طُورت في خمسينيات القرن العشرين في سلسلة من المجلدات حررها لوس وبوش وجالانتر: كتابان للقراءة [ 14 ] وثلاثة كتيبات [ 15 ] . وقد أثبتت هذه السلسلة من المجلدات فائدتها في تطوير هذا المجال. في صيف عام 1963، برزت الحاجة إلى مجلة تُعنى بالدراسات النظرية والرياضية في جميع مجالات علم النفس، باستثناء الأعمال التي تعتمد بشكل أساسي على التحليل العاملي. وقد أسفرت مبادرة قادها كل من آر سي أتكينسون ، وآر آر بوش ، ودبليو كيه إستس ، وآر دي لوس ، وبي سوبس عن صدور العدد الأول من مجلة علم النفس الرياضي في يناير 1964 [ 13 ].

تحت تأثير التطورات في علوم الحاسوب والمنطق ونظرية اللغة، اتجهت عملية النمذجة في ستينيات القرن العشرين نحو الآليات والأجهزة الحاسوبية. ومن أمثلة هذه الأخيرة ما يسمى بالبنى المعرفية (مثل أنظمة قواعد الإنتاج ، وACT-R ) بالإضافة إلى الأنظمة الترابطية أو الشبكات العصبية .

من أهم التعبيرات الرياضية التي تصف العلاقة بين الخصائص الفيزيائية للمثيرات والإدراك الذاتي: قانون ويبر-فيشنر ، وقانون إيكمان ، وقانون ستيفنز للقوة ، وقانون ثورستون للحكم المقارن ، ونظرية كشف الإشارات (المستعارة من هندسة الرادار)، وقانون المطابقة ، وقاعدة ريسكورلا-فاغنر للاشتراط الكلاسيكي. وبينما تتسم القوانين الثلاثة الأولى بطابع حتمي ، فإن العلاقات اللاحقة أكثر عشوائية في جوهرها . وقد شكّل هذا سمة عامة في تطور النمذجة الرياضية للعمليات النفسية: من العلاقات الحتمية كما في الفيزياء الكلاسيكية إلى النماذج العشوائية بطبيعتها.

علماء النفس الرياضيون المؤثرون

النظريات والنماذج المهمة

المصدر: [ 16 ]

الإحساس والإدراك وعلم النفس الفيزيائي

الكشف عن المحفزات والتمييز بينها

تحديد المحفزات

  • نماذج المُراكم
  • نماذج الانتشار
  • نماذج الشبكات العصبية / نماذج الاتصالية
  • عارضات سباقات السيارات
  • نماذج المشي العشوائي
  • نماذج التجديد

قرار بسيط

  • مجموعة دفع لأسفل
  • نموذج البحث التسلسلي الشامل (SES)

أوقات الاستجابة للأخطاء

  • نموذج التخمين السريع

التأثيرات المتسلسلة

  • نموذج المؤثر الخطي

تعلُّم

  • نموذج المؤثر الخطي
  • نظرية التعلم العشوائي

نظرية القياس

علم النفس التنموي

لا يقتصر علم النفس النمائي على وصف خصائص التغيرات النفسية عبر الزمن فحسب، بل يشمل أيضًا شرح المبادئ والآليات الداخلية الكامنة وراء هذه التغيرات. وقد سعى علماء النفس إلى فهم هذه العوامل بشكل أفضل باستخدام النماذج . يجب أن يوضح النموذج الوسائل التي تتم بها العملية. ويتم ذلك أحيانًا بالرجوع إلى التغيرات في الدماغ التي قد تتوافق مع التغيرات السلوكية خلال مراحل النمو.

يُعدّ النمذجة الرياضية أداةً مفيدةً في علم النفس النمائي لتطبيق النظرية بطريقة دقيقة وسهلة الدراسة، مما يسمح بتوليد وتفسير ودمج والتنبؤ بظواهر متنوعة. وتُطبّق عدة تقنيات نمذجة على النمو، منها: النماذج الرمزية ، والترابطية ( الشبكات العصبية )، ونماذج الأنظمة الديناميكية .

تُوضح نماذج الأنظمة الديناميكية كيف يمكن للعديد من السمات المختلفة لنظام معقد أن تتفاعل لتُنتج سلوكيات وقدرات ناشئة. وقد طُبقت الديناميكيات غير الخطية على الأنظمة البشرية تحديدًا لمعالجة القضايا التي تتطلب مراعاة البُعد الزمني، مثل التحولات الحياتية، والتطور البشري، والتغيرات السلوكية أو العاطفية بمرور الوقت. ويجري حاليًا استكشاف الأنظمة الديناميكية غير الخطية كوسيلة لشرح الظواهر المنفصلة للتطور البشري، مثل العاطفة، [ 17 ] واكتساب اللغة الثانية، [ 18 ] والحركة. [ 19 ]

المجلات والمنظمات

تُعدّ مجلة علم النفس الرياضي ، ومجلة الدماغ والسلوك الحاسوبي ، والمجلة البريطانية لعلم النفس الرياضي والإحصائي ، من أهم المجلات المتخصصة في هذا المجال. وتُعقد ثلاثة مؤتمرات سنوية في هذا المجال، وهي: الاجتماع السنوي لجمعية علم النفس الرياضي في الولايات المتحدة، والاجتماع السنوي للمجموعة الأوروبية لعلم النفس الرياضي في أوروبا، ومؤتمر علم النفس الرياضي الأسترالي .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ باتشيلدر، دبليو إتش (2015). "علم النفس الرياضي: التاريخ" . في رايت، جيمس دي (محرر). الموسوعة الدولية للعلوم الاجتماعية والسلوكية (الطبعة الثانية) . إلسيفير. ص 808-815 . doi : 10.1016/b978-0-08-097086-8.43059-x . ISBN  978-0-08-097087-5.
  2. 1 2 باتشيلدر، دبليو إتش؛ كولونيوس، إتش؛ دزافاروف، إي إن؛ ميونغ، جيه، محرران. (2016). دليل جديد لعلم النفس الرياضي: المجلد 1: الأسس والمنهجية . سلسلة أدلة كامبريدج في علم النفس. المجلد 1. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/9781139245913 . ISBN  978-1-107-02908-8. S2CID 63723309 . 
  3. ↑ إستس، دبليو كيه (2001-01-01)، "علم النفس الرياضي، تاريخه" ، في سميلسر، نيل جيه؛ بالتس، بول بي (محرران)، الموسوعة الدولية للعلوم الاجتماعية والسلوكية ، بيرغامون، ص 9412-9416 ، doi : 10.1016/b0-08-043076-7/00647-1 ، ISBN  978-0-08-043076-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 نوفمبر 2019
  4. ↑ ماكنزي، جيمس (2020)، "رهان باسكال" ، ويكيبيديا ، المجلد 33، العدد 3، ص 21، Bibcode : 2020PhyW...33c..21M ، doi : 10.1088/2058-7058/33/3/24 ، S2CID 216213892 ، تاريخ الاسترجاع: 24 نوفمبر 2019    
  5. 1 2 3 ليهي، تي إتش (1987). تاريخ علم النفس ( الطبعة الثانية). إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN  0-13-391764-9.
  6. 1 2 3 باتشيلدر، دبليو إتش (2002). "علم النفس الرياضي". في كازدين، إيه إي (محرر). موسوعة علم النفس . واشنطن/نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد/الجمعية الأمريكية لعلم النفس. ISBN 1-55798-654-1.
  7. ↑ بوش، ر. ر.؛ موستيلر، ف. (1951). "نموذج رياضي للتعلم البسيط". مجلة علم النفس . 58 (5): 313-323 . doi : 10.1037/h0054388 . PMID 14883244 . 
  8. ↑ إستس، دبليو كيه (1950). "نحو نظرية إحصائية للتعلم". مجلة علم النفس . 57 (2): 94-107 . doi : 10.1037/h0058559 .
  9. ↑ سكوت، دانا؛ سوبس، باتريك (يونيو 1958). "الجوانب التأسيسية لنظريات القياس1" . مجلة المنطق الرمزي . 23 (2): 113-128 . doi : 10.2307/2964389 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2964389. S2CID 20138712 .   
  10. ↑ كومبس، كلايد هـ. (1950). "التقييم النفسي بدون وحدة قياس". مجلة علم النفس . 57 (3): 145-158 . doi : 10.1037/h0060984 . ISSN 1939-1471 . PMID 15417683 .  
  11. ↑ "PsycNET" . psycnet.apa.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-12-09 .
  12. ↑ ستيفنز، إس إس (1957). "حول القانون النفسي الفيزيائي". مجلة علم النفس . 64 (3): 153-181 . doi : 10.1037/h0046162 . ISSN 1939-1471 . PMID 13441853 .  
  13. 1 2 إستس، دبليو كيه (2002). تاريخ الجمعية
  14. ↑ لوس، آر دي، بوش، آر آر، وجالانتر، إي (محررون) (1963). قراءات في علم النفس الرياضي. المجلدان الأول والثاني. نيويورك: وايلي.
  15. ↑ لوس، آر دي، بوش، آر آر، وجالانتر، إي. (محررون) (1963). دليل علم النفس الرياضي. المجلدات من الأول إلى الثالث . نيويورك: وايلي. المجلد الثاني من أرشيف الإنترنت
  16. ↑ لوس، ر. دنكان (1986). أوقات الاستجابة: دورها في استنتاج التنظيم العقلي الأولي . سلسلة أكسفورد لعلم النفس. المجلد 8. نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN  0-19-503642-5.
  17. ↑ فالاتشر، ر. ر. (2017). علم النفس الاجتماعي الحاسوبي . روتليدج. ISBN 978-1-138-95165-5.
  18. ↑ دي بوت ك (2007). "نهج نظرية الأنظمة الديناميكية لاكتساب اللغة الثانية". ثنائية اللغة: اللغة والإدراك . 10 : 7-21 . doi : 10.1017/S1366728906002732 .
  19. ↑ ريا سي كيه، كيفر إيه دبليو، داندريا إس إي، وارين دبليو إتش، آرون آر كيه (أغسطس 2014). "التزامن مع محفز بصري كسري في الوقت الحقيقي يُعدِّل ديناميكيات المشية الكسرية" (ملف PDF) . علم الحركة البشرية . 36 : 20-34 . doi : 10.1016/j.humov.2014.04.006 . PMID 24911782 .