القطع الناقص

القطع الناقص هو سطح يمكن الحصول عليه من كرة عن طريق تشويهها عن طريق القياسات الاتجاهية ، أو بشكل عام، عن طريق التحويل التآلفي .

القطع الناقص هو سطح رباعي ؛ أي سطح يمكن تعريفه بأنه المجموعة الصفرية لمتعدد حدود من الدرجة الثانية في ثلاثة متغيرات. ومن بين الأسطح الرباعية، يتميز القطع الناقص بإحدى الخاصيتين التاليتين. كل مقطع عرضي مستوٍ إما أن يكون قطعًا ناقصًا ، أو فارغًا، أو مختزلًا إلى نقطة واحدة (وهذا يفسر الاسم، الذي يعني "شبيهًا بالقطع الناقص"). وهو محدود ، مما يعني أنه قد يكون محصورًا في كرة كبيرة بدرجة كافية.

يحتوي الشكل الإهليلجي على ثلاثة محاور تماثل متعامدة تتقاطع عند مركز التماثل ، والذي يسمى مركز الشكل الإهليلجي. تسمى القطع المستقيمة المحددة على محاور التماثل بواسطة الشكل الإهليلجي المحاور الرئيسية ، أو ببساطة محاور الشكل الإهليلجي. إذا كانت المحاور الثلاثة ذات أطوال مختلفة، فإن الشكل يكون شكلًا إهليلجيًا ثلاثي المحاور (نادرًا ما يكون شكلًا إهليلجيًا غير متماثل )، ويتم تعريف المحاور بشكل فريد.

إذا كان لمحورين نفس الطول، فإن القطع الناقص يكون قطعًا ناقصًا دوارًا ، ويُسمى أيضًا كرويًا . في هذه الحالة، يكون القطع الناقص ثابتًا تحت الدوران حول المحور الثالث، وبالتالي توجد طرق لا نهائية لاختيار المحورين العموديين بنفس الطول. إذا كان المحور الثالث أقصر، يكون القطع الناقص كرويًا مفلطحًا ؛ وإذا كان أطول، يكون كرويًا ممتدًا . إذا كان للمحاور الثلاثة نفس الطول، يكون القطع الناقص كرة.

الشكل الإهليلجي العام، المعروف أيضًا باسم الشكل الإهليلجي ثلاثي المحاور، هو سطح تربيعي يتم تعريفه في الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} {ج^{2}}}=1,}$

حيث أن و هما طول أنصاف المحاور. ${\displaystyle أ}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

تقع النقاط و و على السطح. تسمى قطع الخطوط المستقيمة من الأصل إلى هذه النقاط بالمحاور شبه الرئيسية للقطع الناقص، لأن أ ، ب ، ج هي نصف طول المحاور الرئيسية. وهي تتوافق مع المحور شبه الرئيسي والمحور شبه الثانوي للقطع الناقص . ${\displaystyle (a,0,0)}$${\displaystyle (0,b,0)}$${\displaystyle (0,0,c)}$

في نظام الإحداثيات الكروية حيث ، يتم تعريف القطع الناقص العام على النحو التالي: ${\displaystyle (x,y,z)=(r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta )}$

${\displaystyle {r^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi \over a^{2}}+{r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi \over b^{2}}+{r^{2}\cos ^{2}\theta \over c^{2}}=1,}$

أين الزاوية القطبية و الزاوية السمتية. ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

عندما يكون القطع الناقص عبارة عن كرة. ${\displaystyle a=b=c}$

عندما يكون الشكل الإهليلجي كرويًا أو إهليلجيًا دوارًا. وعلى وجه الخصوص، إذا كان الشكل الإهليلجي كرويًا مفلطحًا ؛ وإذا كان الشكل الإهليلجي كرويًا متمددًا . ${\displaystyle a=b\neq c}$${\displaystyle a=b>c}$${\displaystyle a=b<c}$

يمكن تحديد معلمات القطع الناقص بعدة طرق، والتي يكون من الأسهل التعبير عنها عندما تتطابق محاور القطع الناقص مع محاور الإحداثيات. أحد الخيارات الشائعة هو

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

أين

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

يمكن تفسير هذه المعلمات على أنها إحداثيات كروية ، حيث θ هي الزاوية القطبية و φ هي زاوية السمت للنقطة ( x ، y ، z ) من القطع الناقص. ^[1]

القياس من خط الاستواء وليس من القطب،

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(\theta )\cos(\lambda ),\\y&=b\cos(\theta )\sin(\lambda ),\\z&=c\sin(\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

أين

${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

θ هو خط العرض المنخفض أو خط العرض المعياري أو الشذوذ اللامركزي و λ هو السمت أو خط الطول.

قياس الزوايا مباشرة على سطح القطع الناقص، وليس على الكرة المحيطة،

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma )\cos(\lambda )\\\cos(\gamma )\sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2}\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&-{\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

γ هو خط العرض المركزي للأرض، و λ هو خط الطول. هذه إحداثيات كروية حقيقية مع الأصل في مركز القطع الناقص. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

في علم المساحة ، يُستخدم خط العرض الجيوديسي بشكل شائع، باعتباره الزاوية بين المستوى الرأسي والمستوى الاستوائي، والتي يتم تحديدها لقطع ناقص ثنائي المحور. للحصول على قطع ناقص ثلاثي المحاور بشكل عام، انظر خط العرض الإهليلجي .

الحجم المحدد بواسطة القطع الناقص هو

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

من حيث الأقطار الرئيسية A و B و C (حيث A = 2 a و B = 2 b و C = 2 c )، فإن الحجم هو

${\displaystyle V={\tfrac {1}{6}}\pi ABC}$.

تُختزل هذه المعادلة إلى معادلة حجم الكرة عندما تكون جميع أقطار الأضلاع الإهليلجية الثلاثة متساوية، وإلى معادلة الكروي المفلطح أو المتمدد عندما يكون اثنان منها متساويين.

حجم القطع الناقص هو2/3حجم الأسطوانة الإهليلجية المحددة ، وπ/6حجم الصندوق المحيط. أحجام الصناديق المحيطية والمحاطة هي على التوالي:

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

مساحة سطح القطع الناقص العام (ثلاثي المحاور) هي ^[2]

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2}(\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

أين

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

وحيث F ( φ , k ) و E ( φ , k ) تكاملات إهليلجية غير كاملة من النوع الأول والثاني على التوالي. ^[3]

يمكن أيضًا التعبير عن مساحة سطح هذا القطع الناقص العام من حيث ⁠ ⁠${\displaystyle R_{G}}$ ، أحد أشكال كارلسون المتماثلة للتكاملات الإهليلجية: ^[4]

${\displaystyle S=4\pi bcR_{G}{\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}},{\frac {c^{2}}{a^{2}}},1\right)}}$

من خلال تبسيط الصيغة أعلاه باستخدام خصائص R _G ، ^[5] يمكن أيضًا التعبير عن ذلك من حيث حجم القطع الناقص V :

${\displaystyle S=3VR_{G}{\left(a^{-2},b^{-2},c^{-2}\right)}}$

على عكس التعبير مع F ( φ , k ) و E ( φ , k ) ، فإن المعادلات من حيث R _G لا تعتمد على اختيار الترتيب على a و b و c .

يمكن التعبير عن مساحة سطح القطع الناقص الدوراني (أو الكروي) من حيث الدوال الأولية :

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c<a),}$

أو

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right)}$

أو

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}}$

و

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

والتي، كما يتبين من الهويات المثلثية الأساسية، هي تعبيرات متكافئة (أي يمكن استخدام صيغة S _oblate لحساب مساحة سطح القطع الناقص المتمدد والعكس صحيح). في كلتا الحالتين، يمكن تحديد e مرة أخرى على أنها انحراف القطع الناقص الذي تشكله المقطع العرضي عبر محور التناظر. (انظر القطع الناقص ). يمكن العثور على مشتقات هذه النتائج في المصادر القياسية، على سبيل المثال Mathworld . ^[6]

${\displaystyle S\approx 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}}.\,\!}$

هنا p ≈ 1.6075 ينتج خطأ نسبي لا يزيد عن 1.061%؛ [ ^7] قيمة p =8/5= 1.6 هو الأمثل للمجسمات البيضاوية شبه الكروية، مع خطأ نسبي لا يتجاوز 1.178%.

في الحد "المسطح" لـ c أصغر بكثير من a و b ، تكون المساحة تقريبًا 2π ab ، أي ما يعادل p = log ₂ 3 ≈ 1.5849625007 .

تقاطع المستوى والكرة هو دائرة (أو يتم اختزاله إلى نقطة واحدة، أو يكون فارغًا). أي قطع ناقص هو صورة الكرة الوحدوية تحت بعض التحويلات التآلفية، وأي مستوى هو صورة لمستوى آخر تحت نفس التحويل. لذا، نظرًا لأن التحويلات التآلفية ترسم الدوائر إلى قطع ناقص، فإن تقاطع المستوى مع قطع ناقص هو قطع ناقص أو نقطة واحدة، أو يكون فارغًا. ^[8] من الواضح أن الكرات تحتوي على دوائر. هذا صحيح أيضًا، ولكن أقل وضوحًا، بالنسبة للقطع الناقصية ثلاثية المحاور (انظر القسم الدائري ).

معطى: القطع الناقص× ²/أ ²+​​سنة ²/ب ²+​​ز ²/ج ²= 1 والمستوى ذو المعادلة n _x x + n _y y + n _z z = d ، اللذان لهما قطع ناقص مشترك.

مطلوب: ثلاثة متجهات f ₀ (المركز) و f ₁ و f ₂ (المتجهات المترافقة)، بحيث يمكن تمثيل القطع الناقص بالمعادلة البارامترية

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(انظر القطع الناقص ).

الحل: المقياس u = ⁠س/أ, ف =​​ي/ب, و =​​ز/جيحول القطع الناقص إلى كرة الوحدة u ² + v ² + w ² = 1 والمستوى المعطى إلى المستوى بالمعادلة

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

ليكن m _u u + m _v v + m _w w = δ هو الشكل الطبيعي لهيس للمستوى الجديد و

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

متجه الوحدة الطبيعي الخاص به. وبالتالي

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

هو مركز دائرة التقاطع و

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

نصف قطرها (انظر الرسم البياني).

حيث m _w = ±1 (أي أن المستوى أفقي)، دع

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

حيث m _w ≠ ±1 ، دع

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _{1}\ .}$

في كل الأحوال، فإن المتجهات e ₁ و e ₂ متعامدة ومتوازية مع مستوى التقاطع ولها طول ρ (نصف قطر الدائرة). وبالتالي يمكن وصف دائرة التقاطع بالمعادلة البارامترية

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

يؤدي القياس العكسي (انظر أعلاه) إلى تحويل الكرة الوحدوية مرة أخرى إلى القطع الناقص ويتم تعيين المتجهات e ₀ و e ₁ و e _{2 على المتجهات} f ₀ و f ₁ و f ₂ ، والتي كانت مطلوبة للتمثيل البارامتري لقطع ناقص التقاطع.

يتم وصف كيفية العثور على الرؤوس ومحور أنصاف المحاور للقطع الناقص في القطع الناقص .

مثال: تُظهر المخططات شكلًا بيضاويًا به أنصاف محاور a = 4، b = 5، c = 3، مقطوعًا بالمستوى x + y + z = 5 .

إن بناء القطع الناقص باستخدام الدبابيس والخيط هو نقل لفكرة بناء القطع الناقص باستخدام دبوسين وخيط (انظر الرسم التخطيطي).

يتم الحصول على بناء دبابيس وخيوط لقطع ناقص دوار من خلال بناء دبابيس وخيوط للقطع الناقص الدوار.

إن بناء نقاط القطع الناقص ثلاثي المحاور أكثر تعقيدًا. ترجع الأفكار الأولى إلى الفيزيائي الاسكتلندي جيه سي ماكسويل (1868). ^[9] تم إجراء التحقيقات الرئيسية والتوسع في المربعات بواسطة عالم الرياضيات الألماني أو. ستود في أعوام 1882 و1886 و1898. ^{[10] [11] [12]} يرد وصف بناء الدبابيس والأوتار للقطع الناقص والقطع الزائد في كتاب الهندسة والخيال الذي كتبه د. هيلبرت وس. فوسن، ^[13] أيضًا.

1. اختر قطع ناقص E وقطع زائد H ، وهما زوج من المخروطيات البؤرية : مع رؤوس وبؤر القطع الناقص وخيط (في الرسم البياني باللون الأحمر) بطول l .$${\displaystyle {\begin{aligned}E(\varphi )&=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)\\H(\psi )&=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi ),\quad c^{2}=a^{2}-b^{2}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{1}=(a,0,0),\quad F_{1}=(c,0,0),\quad F_{2}=(-c,0,0),\quad S_{2}=(-a,0,0)}$$
2. ثبت أحد طرفي الخيط في الرأس S ₁ والطرف الآخر في التركيز F _2. يتم إبقاء الخيط مشدودًا عند نقطة P ذات إحداثيات y - و z - موجبة ، بحيث يمتد الخيط من S ₁ إلى P خلف الجزء العلوي من القطع الزائد (انظر الرسم التخطيطي) ويكون حرًا في الانزلاق على القطع الزائد. يمتد جزء الخيط من P إلى F ₂ وينزلق أمام القطع الناقص. يمر الخيط عبر تلك النقطة من القطع الزائد، حيث تكون المسافة | S ₁ P | فوق أي نقطة من القطع الزائد عند الحد الأدنى. يجب أن تكون العبارة التناظرية الخاصة بالجزء الثاني من الخيط والقطع الناقص صحيحة أيضًا.
3. إذن: P هي نقطة من القطع الناقص بالمعادلة $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {x^{2}}{r_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{r_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r_{z}^{2}}}=1\\&r_{x}={\tfrac {1}{2}}(l-a+c),\quad r_{y}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}},\quad r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-a^{2}}}}.\end{aligned}}}$$
4. يمكن إنشاء النقاط المتبقية من القطع الناقص عن طريق إجراء تغييرات مناسبة للوتر عند المخاريط البؤرية.

يمكن اشتقاق معادلات أنصاف المحاور للقطع الناقص الناتج عن طريق اختيارات خاصة للنقطة P :

${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\quad Z=(0,0,r_{z}).}$

يوضح الجزء السفلي من الرسم البياني أن F ₁ و F ₂ هما بؤرتا القطع الناقص في المستوى xy أيضًا. وبالتالي، فهي متجاورة مع القطع الناقص المعطى وطول السلسلة هو l = 2 r _x + ( a − c ) . الحل لـ r _x يعطي r _x = ⁠1/2( ل − أ + ج ) ؛ علاوة على ذلك ، ر²
_سنة= ر²
_×- ج ² .

من الرسم البياني العلوي نرى أن S ₁ و S ₂ هما بؤرتا المقطع الناقص للقطع الناقص في المستوى xz وأن r²
_ز= ر²
_×- أ ² .

وعلى العكس من ذلك، إذا تم إعطاء شكل بيضاوي ثلاثي المحاور بواسطة معادلته، فيمكننا من المعادلات في الخطوة 3 استنتاج المعلمات a و b و l لبناء الدبابيس والأوتار.

إذا كان E عبارة عن مجسم بيضاوي متحد البؤر لـ E مع مربعات أنصاف محاوره

${\displaystyle {\overline {r}}_{x}^{2}=r_{x}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

ثم من معادلات E

${\displaystyle r_{x}^{2}-r_{y}^{2}=c^{2},\quad r_{x}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

نجد أن المخروطيات البؤرية المقابلة المستخدمة في بناء الدبابيس والأوتار لها نفس أنصاف المحاور a و b و c مثل القطع الناقص E. لذلك (على نحو مماثل لبؤر القطع الناقص) نعتبر المخروطيات البؤرية للقطع الناقص ثلاثي المحاور بمثابة البؤر (اللامتناهية العدد) ونسميها المنحنيات البؤرية للقطع الناقص. ^[14]

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا اختار المرء سلسلة ثانية بطول l وحدد

${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$

ثم المعادلات

${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda }$

صالحة، مما يعني أن القطع الناقصين متحدان البؤر.

في حالة a = c ( شكل كروي ) نحصل على S ₁ = F ₁ و S ₂ = F ₂ ، مما يعني أن القطع الناقص البؤري يتحلل إلى قطعة مستقيمة وينهار القطع الزائد البؤري إلى قطعتين مستقيمتين لا نهائيتين على المحور السيني . القطع الناقص متماثل دورانيًا حول المحور السيني و

${\displaystyle r_{x}={\tfrac {1}{2}}l,\quad r_{y}=r_{z}={\textstyle {\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}}}}$.

المنحنى الحقيقي

إذا نظر المرء إلى شكل إهليلجي من نقطة خارجية V من القطع الزائد البؤري، فإنه يبدو وكأنه كرة، أي أن شكله الظاهري عبارة عن دائرة. وعلى نحو مكافئ، فإن مماسات القطع الناقص الذي يحتوي على النقطة V هي خطوط مخروط دائري ، يكون محور دورانه هو خط المماس للقطع الزائد عند V. ^{[15] [16]} إذا سمح المرء للمركز V بالاختفاء إلى ما لا نهاية، فإنه يحصل على إسقاط موازٍ متعامد مع المقارب المقابل للقطع الزائد البؤري باعتباره اتجاهه. المنحنى الحقيقي للشكل (نقاط المماس) على القطع الناقص ليس دائرة.

يُظهر الجزء السفلي من الرسم البياني على اليسار إسقاطًا موازيًا لقطع ناقص (بمحاور نصف دائرية 60، 40، 30) على طول خط مقارب وعلى اليمين إسقاطًا مركزيًا بمركز V والنقطة الرئيسية H على مماس القطع الزائد عند النقطة V. ( H هي قدم العمود من V إلى مستوى الصورة). لكلا الإسقاطين، يكون الشكل الظاهر دائرة. في الحالة الموازية، تكون صورة الأصل O هي مركز الدائرة؛ وفي الحالة المركزية، تكون النقطة الرئيسية H هي المركز.

نقاط السرة

يتقاطع القطع الزائد البؤري مع القطع الناقص عند نقاطه السرية الأربع . ^[17]

يمكن اعتبار القطع الناقص البؤري مع جزئه الداخلي بمثابة السطح الحدي (قطع ناقص رفيع بلا حدود) لقلم القطع الناقص البؤري المحدد بواسطة a و b لـ r _z → 0. بالنسبة لحالة الحد، نحصل على

${\displaystyle r_{x}=a,\quad r_{y}=b,\quad l=3a-c.}$

القطع الناقص الزائد ، أو القطع الناقص ذو البعد في الفضاء الإقليدي ذي البعد ، هو سطح زائد رباعي محدد بواسطة كثيرة حدود من الدرجة الثانية لها جزء متجانس من الدرجة الثانية وهو شكل تربيعي محدد موجب . ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

يمكن أيضًا تعريف القطع الناقص الزائد على أنه صورة كرة تحت تحويل أفيني قابل للعكس . يمكن استخدام نظرية الطيف مرة أخرى للحصول على معادلة قياسية من النموذج

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{a_{1}^{2}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

يمكن الحصول على حجم مجسم بيضاوي الشكل ذو n بعد عن طريق استبدال R ⁿ بحاصل ضرب نصفي المحور a ₁ a ₂ ... a _n في صيغة حجم الكرة الفائقة :

${\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}\cdot \left({\frac {2e\pi }{n}}\right)^{n/2}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

(حيث Γ هي دالة جاما ).

إذا كانت A مصفوفة حقيقية متناظرة ذات n في n مصفوفة موجبة محددة ، و v متجه في، فإن مجموعة النقاط x التي تحقق المعادلة ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

هو شكل بيضاوي ذو n بعد ومركزه v . ويطلق على التعبير أيضًا اسم القاعدة البيضاوية لـ x - v . لكل شكل بيضاوي، هناك A و v فريدان يلبيان المعادلة أعلاه. ^{[18] : 67}${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )}$

المتجهات الذاتية لـ A هي المحاور الرئيسية للقطع الناقص، والقيم الذاتية لـ A هي مقلوبات مربعات أنصاف المحاور (في ثلاثة أبعاد تكون a ⁻² و b ⁻² و c ⁻² ). ^[19] على وجه الخصوص:

• قطر القطع الناقص يساوي ضعف أطول نصف محور ، وهو ضعف الجذر التربيعي لمقلوب أكبر قيمة ذاتية لـ A.
• عرض القطع الناقص هو ضعف أقصر نصف محور ، والذي يساوي ضعف الجذر التربيعي لمقلوب أصغر قيمة ذاتية لـ A.

يؤدي التحويل الخطي القابل للعكس المطبق على كرة إلى إنتاج قطع ناقص، والذي يمكن إحضاره إلى الشكل القياسي أعلاه من خلال دوران مناسب ، وهو نتيجة للتحلل القطبي (انظر أيضًا نظرية الطيف ). إذا تم تمثيل التحويل الخطي بمصفوفة متماثلة 3 × 3 ، فإن المتجهات الذاتية للمصفوفة تكون متعامدة (بسبب نظرية الطيف ) وتمثل اتجاهات محاور القطع الناقص؛ يتم حساب أطوال أنصاف المحاور من القيم الذاتية. تحلل القيمة المفردة والتحلل القطبي هما تحلل مصفوفة وثيق الصلة بهذه الملاحظات الهندسية.

لكل مصفوفة محددة موجبة ، توجد مصفوفة محددة موجبة فريدة يُشار إليها بـ A ^1/2 ، بحيث يكون هذا الترميز مدفوعًا بحقيقة أن هذه المصفوفة يمكن اعتبارها "الجذر التربيعي الموجب" لـ يمكن أيضًا تقديم القطع الناقص المحدد بواسطة على النحو التالي ^{[18] : 67}${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{1/2}{\boldsymbol {A}}^{1/2};}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}.}$${\displaystyle (\mathbf {x} -\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}\!{\boldsymbol {A}}\,(\mathbf {x} -\mathbf {v} )=1}$

${\displaystyle A^{-1/2}\cdot S(\mathbf {0} ,1)+\mathbf {v} }$

حيث S( 0،1 ) هي الكرة الوحدوية حول الأصل.

المفتاح للتمثيل البارامتري للقطع الناقص في الوضع العام هو التعريف البديل:

الشكل الإهليلجي هو صورة متوازية للكرة الوحدوية.

يمكن تمثيل التحويل الأفيني بواسطة ترجمة باستخدام متجه f ₀ ومصفوفة منتظمة 3 × 3 A :

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+{\boldsymbol {A}}\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

حيث f ₁ و f ₂ و f ₃ هي متجهات العمود للمصفوفة A.

يمكن الحصول على تمثيل معياري لقطع ناقص في موضع عام من خلال التمثيل المعياري للكرة الوحدوية (انظر أعلاه) والتحويل التآلفي:

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$.

إذا كانت المتجهات f ₁ و f ₂ و f ₃ تشكل نظامًا متعامدًا، فإن النقاط الست ذات المتجهات f ₀ ± f _1,2,3 هي رؤوس القطع الناقص و | f ₁ |، | f ₂ |، | f ₃ | هي المحاور شبه الرئيسية.

متجه سطحي عمودي عند النقطة x ( θ , φ ) هو

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

بالنسبة لأي شكل بيضاوي يوجد تمثيل ضمني F ( x , y , z ) = 0. إذا كان مركز الشكل البيضاوي هو الأصل، f ₀ = 0 ، فإن المعادلة التالية تصف الشكل البيضاوي أعلاه: ^[20]

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

الشكل الإهليلجي له العديد من التطبيقات العملية:

الجيوديسيا

• الشكل الإهليلجي للأرض ، هو شكل رياضي يقارب شكل الأرض .
• الشكل الإهليلجي المرجعي ، هو شكل رياضي يقارب شكل الأجسام الكوكبية بشكل عام.

الميكانيكا

• مجسم بوينسو ، طريقة هندسية لتوضيح الحركة الخالية من عزم الدوران لجسم صلب دوار .
• دائرة لاميه البيضاوية للإجهاد ، بديل لدائرة مور للتمثيل البياني لحالة الإجهاد عند نقطة ما.
• قابلية التلاعب، قطع ناقص ، يستخدم لوصف حرية حركة الروبوت.
• إهليلجي جاكوبي ، إهليلجي ثلاثي المحاور يتكون من سائل دوار

علم البلورات

• مؤشر القطع الناقص ، رسم تخطيطي لقطع ناقص يصور الاتجاه والحجم النسبي لمؤشرات الانكسار في البلورة .
• القطع الناقص الحراري ، القطع الناقص المستخدم في علم البلورات للإشارة إلى أحجام واتجاهات الاهتزازات الحرارية للذرات في الهياكل البلورية .

• طريقة القطع الناقص ، خوارزمية تحسين محدبة ذات أهمية نظرية

إضاءة

• كشاف عاكس بيضاوي الشكل
• عاكس ضوئي بيضاوي الشكل

الدواء

• يمكن استخدام القياسات التي تم الحصول عليها من تصوير البروستاتا بالرنين المغناطيسي لتحديد حجم الغدة باستخدام التقريب L × W × H × 0.52 (حيث 0.52 هو تقريب لـπ/6) ^[21 ]

كتلة القطع الناقص ذو الكثافة المنتظمة ρ هي

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .}$

لحظات القصور الذاتي لقطع ناقص ذو كثافة موحدة هي

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{\mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }=I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}}$

بالنسبة لـ a = b = c، تنخفض لحظات القصور الذاتي هذه إلى تلك الخاصة بكرة ذات كثافة موحدة.

تدور القطع الناقصية والمكعبات بشكل ثابت على طول محاورها الرئيسية أو الثانوية، ولكن ليس على طول محورها المتوسط. ويمكن ملاحظة ذلك تجريبياً عن طريق رمي ممحاة ذات دوران طفيف. بالإضافة إلى ذلك، تعني اعتبارات عزم القصور الذاتي أن الدوران على طول المحور الرئيسي يكون أكثر اضطراباً من الدوران على طول المحور الثانوي. ^[22]

أحد التأثيرات العملية لهذا هو أن الأجسام الفلكية غير المتساوية الأبعاد مثل هاوميا تدور عمومًا على محاورها الثانوية (كما تفعل الأرض، التي هي مجرد مفلطحة )؛ بالإضافة إلى ذلك، وبسبب القفل المدّي ، فإن الأقمار في مدار متزامن مثل ميماس تدور مع محورها الرئيسي المحاذي شعاعيًا لكوكبها.

يتخذ الجسم الدوار المكون من سائل متجانس جاذب ذاتيًا شكل إما كروي ماكلورين (كروي مفلطح) أو بيضاوي جاكوبي (بيضاوي غير متماثل) عندما يكون في حالة توازن هيدروستاتيكي ، وبمعدلات دوران معتدلة. عند الدورات الأسرع، يمكن توقع أشكال كمثرية أو بيضاوية غير بيضاوية ، لكنها ليست مستقرة.

الشكل الإهليلجي هو الشكل الأكثر عمومية الذي أصبح من الممكن من خلاله حساب التدفق الزاحف للسائل حول الشكل الصلب. تتضمن الحسابات القوة المطلوبة للانتقال عبر السائل والدوران داخله. تتضمن التطبيقات تحديد حجم وشكل الجزيئات الكبيرة، ومعدل غرق الجسيمات الصغيرة، وقدرة الكائنات الحية الدقيقة على السباحة . ^[23]

يمكن تعريف التوزيعات الإهليلجية ، التي تعمم التوزيع الطبيعي المتعدد المتغيرات وتستخدم في التمويل ، من حيث دوال الكثافة الخاصة بها . عندما توجد، فإن دوال الكثافة f لها البنية التالية:

${\displaystyle f(x)=k\cdot g\left((\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})^{\mathsf {T}}\right)}$

حيث k هو عامل مقياس، وx هو متجه صف عشوائي ذو n بعد مع متجه متوسط ​​μ (وهو أيضًا المتجه المتوسط ​​إذا كان الأخير موجودًا)، وΣ هي مصفوفة محددة موجبة تتناسب مع مصفوفة التغاير إذا كانت الأخيرة موجودة، و g هي دالة ترسم من الأعداد الحقيقية غير السلبية إلى الأعداد الحقيقية غير السلبية مما يعطي مساحة محدودة تحت المنحنى. ^[24] التوزيع الطبيعي المتعدد المتغيرات هو الحالة الخاصة حيث g ( z ) = exp(− ⁠ز/2) للشكل التربيعي z .

وبالتالي، فإن دالة الكثافة عبارة عن تحويل قياسي إلى قياسي لتعبير تربيعي. وعلاوة على ذلك، تنص معادلة أي سطح متساوي الكثافة على أن التعبير التربيعي يساوي بعض الثوابت الخاصة بقيمة الكثافة، وأن سطح متساوي الكثافة عبارة عن شكل بيضاوي.

• قبة بيضاوية
• إحداثيات إهليلجية
• التوزيع الإهليلجي في الإحصاء
• التسطيح ، ويسمى أيضًا الإهليلجية والتسطيح ، هو مقياس ضغط الدائرة أو الكرة على طول القطر لتشكيل قطع ناقص أو قطع ناقص دوراني (كروي)، على التوالي.
• بؤري ، غلاف محاط بمجسمين بيضاويين متحدين المركز ومتحدين البؤر
• الجيوديسيا على شكل بيضاوي
• البيانات الجيوديسية ، الأرض الجاذبية التي تم نمذجتها بواسطة أفضل شكل بيضاوي مناسب
• متماثل الشكل ، وهو غلاف محاط بمجسمين بيضاويين متحدين المركز متشابهين
• مجسم جون الإهليلجي ، أصغر مجسم إهليلجي يحتوي على مجموعة محدبة معينة.
• قائمة الأسطح
• الشكل الإهليلجي الفائق

• كريسيج، إروين (1972)، الرياضيات الهندسية المتقدمة (الطبعة الثالثة)، نيويورك: وايلي ، ISBN 0-471-50728-8

• "القطع الناقص" لجيف براينت، مشروع مظاهرات ولفرام ، 2007.
• السطح الإهليلجي والتربيعي، MathWorld .