مسرد مصطلحات الهندسة الجبرية

هذا معجم مصطلحات الهندسة الجبرية .

انظر أيضًا إلى معجم الجبر التبادلي ، ومعجم الهندسة الجبرية الكلاسيكية ، ومعجم نظرية الحلقات . أما بالنسبة لتطبيقات نظرية الأعداد، فانظر إلى معجم الحساب والهندسة الديوفانتية .

لتبسيط الأمر، غالبًا ما يتم حذف الإشارة إلى المخطط الأساسي؛ أي أن المخطط سيكون مخططًا على مخطط أساسي ثابت S والتشاكل هو تشاكل S.

${\displaystyle \eta }$

نقطة عامة . على سبيل المثال، النقطة المرتبطة بالمثالي الصفري لأي مخطط أفيني تكاملي.

F ( n ), F ( D )

1. إذا كان X مخططًا إسقاطيًا مع حزمة سير الملتوية  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$وإذا كان F هو${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة، ثم${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. إذا كان D قاسمًا لكارتييه و F قاسمًا  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة ( X عشوائية)، ثم${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$إذا كان D قاسم ويل و F انعكاسي، فإنه يتم استبدال F ( D ) بغلافه الانعكاسي (ويطلق على النتيجة اسم F ( D )).

| د |

النظام الخطي الكامل لقاسم ويل D على تنوع كامل طبيعي X فوق حقل مغلق جبريًا k ؛ أي،${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D))))}$توجد علاقة تقابل بين مجموعة النقاط العقلانية من الرتبة k في | D | ومجموعة قواسم ويل الفعالة على X التي تُكافئ D خطيًا . ^{[ 1 ]} ويُستخدم التعريف نفسه إذا كان D قاسم كارتييه على صنف كامل على k .

[X/G]

مكدس القسمة ، على سبيل المثال ، لفضاء جبري X بفعل مخطط مجموعة G.

${\displaystyle X/\!/G}$

حاصل قسمة GIT لمخطط X بفعل مخطط المجموعة G.

L ⁿ

رمز غامض. عادةً ما يعني القوة النونية للموتر L ، ولكنه قد يعني أيضًا عدد التقاطع الذاتي لـ L.${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$إذا كانت حزمة البنية على X تعني المجموع المباشر لـ n نسخة من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

حزمة الخط التكرارية . وهي ثنائية حزمة سير الملتوية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

حزمة سير الملتوية . وهي ثنائية حزمة الخط التكرارية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$ويُطلق عليه أيضاً اسم حزمة المستوى الفائق.

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. إذا كان D قاسم كارتييه فعال على X ، فإنه معكوس الحزمة المثالية لـ D.  

2. في معظم الأحيان،  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$هي صورة D تحت تشاكل الزمر الطبيعي من زمرة قواسم كارتييه إلى زمرة بيكارد${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$من X ، مجموعة فئات التشاكل لحزم الخطوط على X.

3. بشكل عام،  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$هي الحزمة المقابلة لقاسم ويل D (على مخطط عادي ). لا يشترط أن تكون حرة محليًا، بل يكفي أن تكون انعكاسية .

4. إذا كان D هو  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$المقسوم عليه، ثم${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$يكون${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$من الجزء الصحيح من D.

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$

1.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$هي حزمة تفاضلات كاهلر على X.

2.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$هي القوة الخارجية رقم p لـ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$.

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. إذا كانت قيمة p تساوي 1، فهذا هو حزمة التفاضلات اللوغاريتمية لكاهلر على X على طول D (تقريبًا الأشكال التفاضلية ذات الأقطاب البسيطة على طول قاسم D ).  

2.  ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$هي القوة الخارجية رقم p لـ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$.

P ( V )

الرمز غامض. معناه التقليدي هو إسقاط فضاء متجهي محدود الأبعاد من الرتبة k ، أي V ؛${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))}$ ( إسقاط حلقة الدوال متعددة الحدود k [ V ]) ونقاطها k تتوافق مع الخطوط في V. في المقابل، يكتب هارتشورن وإي جي إيه P ( V ) لإسقاط الجبر المتناظر لـ V.

عامل Q

الصنف العادي هو${\displaystyle \mathbb {Q} }$-مضروب إذا كان كل${\displaystyle \mathbb {Q} }$قاسم ويل هو${\displaystyle \mathbb {Q} }$-كارتييه.

Spec( R )

مجموعة جميع المثاليات الأولية في حلقة R ذات طوبولوجيا زاريسكي ؛ وتسمى الطيف الأولي لـ R.

المواصفات _X ( F )

المواصفات النسبية للجبر O _X -F . ويرمز لها أيضًا بـ Spec ( F ) أو ببساطة Spec( F ).

Specan ( R )^​

مجموعة جميع التقييمات لحلقة R ذات طوبولوجيا ضعيفة معينة ؛ وتسمى طيف بيركوفيتش لـ R.

أبيلية

1. التنوع الأبلي هو تنوع مجموعة كاملة. على سبيل المثال، لنأخذ التنوع المركب  ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$أو منحنى إهليلجي${\displaystyle E}$على حقل منتهٍ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$.

2. المخطط الأبلي هو عائلة (مسطحة) من الأصناف الأبلية.  

صيغة الملحق

1. إذا كان D قاسم كارتييه فعالاً على صنف جبري X ، وكلاهما يقبل حزمًا مزدوجة  ${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$ثم تقول صيغة الإضافة :${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$.

2. إذا كانت X و D سلسلتين بالإضافة إلى ذلك، فإن الصيغة تعادل القول التالي:   ${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$ أين${\displaystyle K_{D},K_{X}}$هي قواسم أساسية على D و X.

أفين

1. الفضاء الأفيني هو تقريبًا فضاء متجهي حيث نسي المرء أي نقطة هي نقطة الأصل  

2. التنوع الأفيني هو تنوع في الفضاء الأفيني  

3. المخطط الأفيني هو مخطط يمثل الطيف الأولي لحلقة تبديلية ما.  

4. يُسمى التشاكل أفينيًا إذا كانت الصورة العكسية لأي مجموعة جزئية أفينية مفتوحة أفينية أيضًا. بعبارة أخرى، تُعرَّف التشاكلات الأفينية بواسطة بناء Spec الشامل لحزم جبر O _X ، والذي يُعرَّف قياسًا على طيف الحلقة . من التشاكلات الأفينية المهمة حزم المتجهات والتشاكلات المنتهية .  

5. المخروط الأفيني فوق مجموعة فرعية مغلقة X من فضاء إسقاطي هو Spec لحلقة الإحداثيات المتجانسة لـ X.  

احتلت الهندسة الجبرية مكانة مركزية في رياضيات القرن الماضي. وتنتمي إلى هذا المجال أعمق نتائج أبيل، وريمان، وفايرشتراس، والعديد من أهم أبحاث كلاين وبوانكاريه. في نهاية القرن الماضي وبداية القرن الحالي، تغيرت النظرة إلى الهندسة الجبرية بشكل جذري. ... كان أسلوب التفكير الذي بلغ ذروته في الهندسة الجبرية آنذاك بعيدًا كل البعد عن روح نظرية المجموعات والمسلمات، التي كانت تُحدد مسار تطور الرياضيات. ... في منتصف القرن الحالي تقريبًا، خضعت الهندسة الجبرية لعملية إعادة تشكيل واسعة النطاق. ونتيجة لذلك، بات بإمكانها استعادة مكانتها السابقة في الرياضيات.

— من مقدمة كتاب إي آر شافاريفيتش ، الهندسة الجبرية الأساسية.

الهندسة الجبرية

الهندسة الجبرية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس حلول المعادلات الجبرية.

الهندسة الجبرية على الحقل ذي العنصر الواحد

أحد الأهداف هو إثبات فرضية ريمان . ^{[ 2 ]} انظر أيضًا الحقل ذو العنصر الواحد ، و Peña، Javier López؛ Lorscheid، Oliver (2009-08-31). "رسم خرائط F_1-land: نظرة عامة على الهندسات فوق الحقل ذي العنصر الواحد". arXiv : 0909.0069 [ math.AG ].وكذلك ^{[ 3 ] [ 4 ]} .

المجموعة الجبرية

المجموعة الجبرية هي نوع جبري هو أيضًا مجموعة بحيث تكون عمليات المجموعة عبارة عن تشاكلات للأنواع.

مخطط جبري

مخطط منفصل من نوع محدود على حقل. على سبيل المثال، التنوع الجبري هو مخطط جبري مختزل غير قابل للاختزال.

مجموعة جبرية

المجموعة الجبرية على حقل k هي مخطط منفصل مختزل من النوع المحدود على${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$تُسمى المجموعة الجبرية غير القابلة للاختزال بالتنوع الجبري.

الفضاء الجبري

الفضاء الجبري هو خارج قسمة مخطط بواسطة علاقة التكافؤ الإيتالية .

التنوع الجبري

التنوع الجبري على حقل k هو مخطط تكاملي منفصل من النوع المحدود على${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$لاحظ أن عدم افتراض أن k مجموعة مغلقة جبريًا يُسبب بعض المشاكل؛ على سبيل المثال،${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$لا يُعدّ هذا تنوعًا لأن حلقة الإحداثيات${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ليس مجالًا تكامليًا .

حزمة متجهات جبرية

حزمة حرة محلياً ذات رتبة محدودة.

وافر

تكون حزمة الخط على تنوع إسقاطي وافية إذا كانت قوة موتر معينة لها وفيرة للغاية.

هندسة أراكيلوف

الهندسة الجبرية على تكثيف Spec لحلقة الأعداد الصحيحة النسبية${\displaystyle \mathbb {Z} }$. انظر هندسة أراكيلوف . ^{[ 5 ]}

جنس حسابي

الجنس الحسابي لمجموعة إسقاطية X ذات بُعد r هو${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$.

مجموعة أرتين

مصطلح آخر للحزمة الجبرية .

أرتيني

صفري الأبعاد ونويثري. ينطبق التعريف على كل من المخطط والحلقة.

تغيير القاعدة

منتج ألياف من المخططات ، وخاصة مخطط k - X مع Spec E لتمديد المجال E / k . 

وظيفة بيريند

إن خاصية أويلر الموزونة لمجموعة (جيدة) X بالنسبة لدالة بيريند هي درجة الفئة الأساسية الافتراضية لـ X.

صيغة بيرند للتتبع

تعمم صيغة أثر بيريند صيغة أثر غروتينديك ؛ كلا الصيغتين تحسبان أثر فروبينيوس على علم التماثل l -adic.

كبير

الحزمة الخطية الكبيرة L على X ذات البعد n هي حزمة خطية بحيث${\displaystyle \displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$.

التشكل الثنائي النسبي

التشاكل الثنائي النسبي بين المخططات هو تشاكل يتحول إلى تماثل بعد تقييده بمجموعة جزئية مفتوحة وكثيفة. ومن أكثر الأمثلة شيوعًا على التشاكل الثنائي النسبي هو التشاكل الناتج عن عملية النفخ.

انفجار

التضخيم هو تحويل ثنائي نسبي يستبدل مخططًا فرعيًا مغلقًا بقاسم كارتييه فعال. تحديدًا، بالنظر إلى مخطط نوثري X ومخطط فرعي مغلق${\displaystyle Z\subset X}$، إن تفجير X على طول Z هو تشاكل صحيح${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} بحيث (1)${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$(2) هو قاسم كارتييه فعال، ويسمى القاسم الاستثنائي ، و(2)${\displaystyle \pi }$هو عالمي بالنسبة إلى (1). وبشكل ملموس، يتم بناؤه على أنه Proj النسبي لجبر ريس لـ${\displaystyle O_{X}}$فيما يتعلق بالحزمة المثالية التي تحدد Z.

كالابي-ياو

مقياس كالابي -ياو هو مقياس كاهلر الذي يكون انحناء ريتشي الخاص به صفرًا.

قانوني

1. الحزمة القانونية على صنف عادي X ذي بُعد n هي  ${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$حيث يمثل i تضمين الموضع السلس U و${\displaystyle \Omega _{U}^{n}}$هي حزمة الأشكال التفاضلية على U من الدرجة n . إذا كان للحقل الأساسي خاصية صفرية بدلاً من خاصية الانتظام، فيمكن استبدال i بحل للحالات الشاذة.

2. الفئة الأساسية  ${\displaystyle K_{X}}$في التنوع الطبيعي، X هي فئة القواسم بحيث${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$.

3. القاسم الأساسي هو ممثل للفئة الأساسية  ${\displaystyle K_{X}}$يُشار إليه بنفس الرمز (وغير محدد بدقة).

4. الحلقة القانونية لنوع عادي X هي حلقة المقطع للحزمة القانونية .  

النموذج المتعارف عليه

النموذج المتعارف عليه هو إسقاط حلقة متعارف عليها (بافتراض أن الحلقة مولدة بشكل نهائي).

كارتييه

القاسم الفعال لكارتييه D على مخطط X فوق S هو مخطط فرعي مغلق من X مسطح فوق S وحزمة مثالية قابلة للعكس (خالية محليًا من الرتبة واحد).

انتظام كاستلنوفو-مامفورد

انتظام كاستلنووفو -مامفورد لحزمة متماسكة F على فضاء إسقاطي${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$على مخطط S، يكون أصغر عدد صحيح r بحيث

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(ri)=0}$

لكل i > 0.

سلسال

يُقال عن المخطط أنه مخطط سلسلي إذا كانت جميع السلاسل بين مخططين فرعيين مغلقين غير قابلين للاختزال متساوية في الطول. وتشمل الأمثلة كل شيء تقريبًا، مثل الأصناف على حقل، ومن الصعب بناء أمثلة ليست سلسلية.

سنترال فاكس

ألياف خاصة.

مجموعة تشاو

مجموعة تشاو رقم k${\displaystyle A_{k}(X)}$من مجموعة متنوعة سلسة X هي المجموعة الأبيلية الحرة المولدة بواسطة مجموعات فرعية مغلقة ذات بُعد k ( مجموعة من دورات k ) modulo التكافؤات العقلانية .

تصنيف

1. يُعدّ التصنيف مبدأً أساسياً في جميع فروع الرياضيات، حيث يُسعى إلى وصف جميع الكائنات التي تُحقق خصائص مُحددة، وصولاً إلى تكافؤات مُعينة، باستخدام بيانات أكثر سهولة، مثل الثوابت أو حتى عملية بنائية. في الهندسة الجبرية، يُفرّق بين الثوابت المنفصلة والمتصلة. بالنسبة للثوابت التصنيفية المتصلة، يُسعى أيضاً إلى توفير بنية هندسية تُؤدي إلى فضاءات المعاملات .  

2. تُصنف المنحنيات الملساء الكاملة فوق حقل مغلق جبريًا، حتى التكافؤ العقلاني، حسب جنسها .  ${\displaystyle g}$(أ)${\displaystyle g=0}$المنحنيات النسبية ، أي أن المنحنى ثنائي النسبي بالنسبة للخط الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$(ب)${\displaystyle g=1}$المنحنيات الإهليلجية ، أي أن المنحنى يصبح مخطط مجموعة أحادي البعد كامل بعد اختيار أي نقطة على المنحنى كنقطة محايدة. (ج)${\displaystyle g\geq 2}$المنحنيات الزائدية ، وتُسمى أيضًا منحنيات النوع العام . انظر المنحنيات الجبرية للاطلاع على أمثلة . يمكن تحسين تصنيف المنحنيات الملساء من خلال درجة المنحنيات المضمنة إسقاطيًا ، لا سيما عند حصرها في المنحنيات المستوية . تجدر الإشارة إلى أن جميع المنحنيات الملساء الكاملة إسقاطية بمعنى أنها تقبل تضمينات في الفضاء الإسقاطي، ولكن لكي تكون الدرجة محددة بدقة، يجب تحديد اختيار هذا التضمين بشكل صريح. تخضع العمليات الحسابية لمنحنى أملس كامل على حقل عددي (وخاصة عدد وبنية نقاطه النسبية) لتصنيف قاعدة المنحنى المرتبطة به بعد تحويلها إلى إغلاق جبري. انظر نظرية فالتينغز للاطلاع على تفاصيل الآثار الحسابية.

3. تصنيف الأسطح الملساء الكاملة على حقل مغلق جبريًا حتى التكافؤ العقلاني. انظر نظرة عامة على التصنيف أو تصنيف إنريكيس-كودايرا لمزيد من التفاصيل.  

٤. تصنيف النقاط الشاذة أو الجوارات المرتبطة بها من نوع زاريسكي على الحقول المغلقة جبريًا حتى التشاكل. (أ) في الخاصية صفر، تُلحق نتيجة تحليل هيروناكا ثوابت بالنقطة الشاذة، مما يُصنفها. (ب) بالنسبة للمنحنيات والأسطح، يكون التحليل معروفًا في أي خاصية، وهو ما يُؤدي أيضًا إلى تصنيف. انظر هنا للمنحنيات أو هنا للمنحنيات والأسطح .  

5. تصنيف أصناف فانو ذات الأبعاد الصغيرة.  

٦- يُعدّ برنامج النموذج الأدنى منهجًا للتصنيف الثنائي النسبي للأصناف الملساء الكاملة في بُعد أعلى (٢ على الأقل). وبينما ينصبّ الهدف الأصلي على الأصناف الملساء، تظهر المفردات الطرفية بشكل طبيعي وتُشكّل جزءًا من تصنيف أوسع.  

7. تصنيف المجموعات الاختزالية المنقسمة حتى التشاكل على الحقول المغلقة جبريًا.  

مكدس التصنيف

نظير لمساحة التصنيف للوحدات المتشعبة في الهندسة الجبرية؛ انظر مكدس التصنيف .

مغلق

تُعرَّف المخططات الفرعية المغلقة للمخطط X بأنها تلك التي تظهر في البناء التالي. ليكن J حزمة شبه متماسكة من${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- المُثُل . دعم حزمة القسمة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$هي مجموعة جزئية مغلقة Z من X و${\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})}$^{[ 6 ]} إن المخطط المسمى المخطط الفرعي المغلق هو المخطط الذي تم تعريفه بواسطة الحزمة شبه المتماسكة من المثالي J. والسبب في أن تعريف المخططات الفرعية المغلقة يعتمد على مثل هذا البناء هو أنه، على عكس المجموعات الفرعية المفتوحة، فإن المجموعة الفرعية المغلقة من المخطط ليس لها بنية فريدة كمخطط فرعي.

كوهين-ماكولي

يُطلق على المخطط اسم مخطط كوهين-ماكولي إذا كانت جميع الحلقات المحلية فيه من نوع كوهين-ماكولي . على سبيل المثال، المخططات المنتظمة، و Spec k [ x,y ]/( xy ) هي مخططات كوهين-ماكولي، بينما Spec k [ x,y ]/( xy ) ليست كذلك.

حزمة متماسكة

الحزمة المتماسكة على مخطط نوثيري X هي حزمة شبه متماسكة يتم توليدها بشكل نهائي كوحدة O _X.

مخروطي

منحنى جبري من الدرجة الثانية.

متصل

المخطط متصل كفضاء طوبولوجي. ولأن المكونات المتصلة تُحسّن المكونات غير القابلة للاختزال، فإن أي مخطط غير قابل للاختزال يكون متصلاً، ولكن ليس العكس. المخطط الأفيني Spec(R) يكون متصلاً إذا وفقط إذا لم يكن للحلقة R أي عناصر متساوية القوة غير 0 و1؛ وتُسمى هذه الحلقة أيضًا حلقة متصلة . من أمثلة المخططات المتصلة: الفضاء الأفيني ، والفضاء الإسقاطي ، ومن أمثلة المخططات غير المتصلة: Spec ( k [ x ]× k [ x ]).

التكثيف

انظر على سبيل المثال نظرية ناغاتا للتكثيف .

خاتم كوكس

تعميم لحلقة الإحداثيات المتجانسة. انظر حلقة كوكس .

كريبان

تشابه كريبانتي${\displaystyle f:X\to Y}$يوجد بين الأنواع العادية تشاكل بحيث${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$.

منحنى

نوع جبري ذو بُعد واحد.

التشوه

يترك${\displaystyle S\to S'}$ليكن X تشاكلاً بين المخططات، و X مخططًا من النوع S. عندئذٍ، يكون التشوه X ' لـ X مخططًا من النوع S ' بالإضافة إلى مربع سحب خلفي يكون فيه X هو السحب الخلفي لـ X ' (عادةً ما يُفترض أن X ' مسطح ).

موضع الانحلال

بالنظر إلى خريطة حزمة المتجهات${\displaystyle f:E\to F}$على مجموعة متنوعة X (أي، مخطط X - تشاكل بين الفضاءات الكلية للحزم)، يكون موضع الانحلال هو الموضع (النظري المخططي) ${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$.

التدهور

1. يُقال إن المخطط X يتدهور إلى مخطط  ${\displaystyle X_{0}}$(تسمى نهاية X ) إذا كان هناك مخطط${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$مع ألياف X عامة وألياف خاصة${\displaystyle X_{0}}$.

2. التدهور المسطح هو تدهور بحيث  ${\displaystyle \pi }$مسطح.

البعد

البُعد ، الذي يُعرَّف بأنه أقصى طول لسلسلة من المخططات الفرعية المغلقة غير القابلة للاختزال، هو خاصية شاملة. ويمكن تحديد ما إذا كان المخطط غير قابل للاختزال محليًا. وهو يعتمد فقط على الطوبولوجيا، وليس على حزمة البنية. انظر أيضًا: البُعد الشامل . أمثلة: مخططات متساوية الأبعاد في البُعد 0: مخططات أرتينية ، 1: منحنيات جبرية ، 2: أسطح جبرية .

درجة

1. درجة حزمة خطية L على تنوع كامل هي عدد صحيح d بحيث  ${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$.

2. إذا كانت x دورة على مجموعة كاملة  ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$على حقل k ، فإن درجته هي${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$.

3. للاطلاع على درجة التشكل المحدود، انظر تشكل الأصناف#درجة التشكل المحدود .  

الهندسة الجبرية المشتقة

نهج للهندسة الجبرية باستخدام أطياف الحلقة ( التبادلية ) بدلاً من الحلقات التبادلية ؛ انظر الهندسة الجبرية المشتقة .

تقسيمي

1. الحزمة التقسيمية على صنف عادي هي حزمة انعكاسية من الشكل O _X ( D ) لبعض القواسم ويل D .  

2. المخطط التقسيمي هو مخطط يسمح بوجود مجموعة كبيرة من الحزم القابلة للعكس. ويُعد المخطط الذي يسمح بوجود حزمة كبيرة قابلة للعكس مثالاً أساسياً على ذلك.  

مسيطر

يُطلق على التشكل f  : X → Y اسم التشكل المهيمن إذا كانت صورته f ( X ) كثيفة . ويكون تشكل المخططات الأفينية Spec A → Spec B كثيفًا إذا وفقط إذا كانت نواة الخريطة المقابلة B → A موجودة في الجذر الصفري لـ B.

مجمع ثنائي

انظر الازدواجية المتماسكة .

حزمة مزدوجة

في مخطط كوهين-ماكولي الإسقاطي ذي البعد n البحت ، تكون الحزمة الثنائية حزمة متماسكة${\displaystyle \omega }$على X بحيث ${\displaystyle H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$ ينطبق هذا على أي حزمة حرة محلية F على X ؛ على سبيل المثال، إذا كانت X عبارة عن مجموعة إسقاطية سلسة، فإنها حزمة قانونية .

عناصر الهندسة الجبرية

كان كتاب الهندسة الجبرية (EGA) محاولة غير مكتملة لوضع أساس للهندسة الجبرية استنادًا إلى مفهوم المخطط ، وهو تعميم للتنوع الجبري. ويستكمل كتاب "ندوة الهندسة الجبرية " (Séminaire de géométrie algébrique) ما بدأه كتاب الهندسة الجبرية. واليوم، يُعدّ أحد المراجع الأساسية في الهندسة الجبرية.

منحنى إهليلجي

المنحنى الإهليلجي هو منحنى إسقاطي أملس من النوع واحد.

أساسًا من النوع المحدود

تحديد موقع مخطط من نوع محدود.

متساوية الأبعاد

مخطط تكون مكوناته غير القابلة للاختزال لها نفس البعد. انظر أيضًا §  البعد البحت .

إيتال

يكون التشكل f  : Y → X إيتاليًا إذا كان مسطحًا وغير متفرع. توجد عدة تعريفات مكافئة أخرى. في حالة المتنوعات الملساء${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$على حقل مغلق جبريًا ، تكون التشكلات الإيتالية هي تلك التي تُحدث تماثلًا للفضاءات المماسية.${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$وهذا يتوافق مع المفهوم المعتاد للخريطة الإيتالية في الهندسة التفاضلية. تشكل التشكلات الإيتالية فئة مهمة للغاية من التشكلات؛ فهي تُستخدم لبناء ما يسمى بالطوبولوجيا الإيتالية ، وبالتالي علم التماثل الإيتالي ، الذي يُعد اليوم أحد أركان الهندسة الجبرية.

متتالية أويلر

التسلسل الدقيق للحزم:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

حيث P ⁿ هو الفضاء الإسقاطي فوق حقل والحد الأخير غير الصفري هو حزمة المماس ، ويسمى متتالية أويلر .

نظرية التقاطع المتغيرة

انظر الفصل الثاني من الرابط التالي: http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

F - منتظم

يتعلق بتشكل فروبينيوس . ^{[ 7 ]}

فانو

صنف فانو هو صنف إسقاطي أملس X ذو حزمة مضادة للكانونية${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$وفير.

الفيبر

منح${\displaystyle f:X\to Y}$بين المخططات، يكون ليف f على y ، كمجموعة، هو الصورة العكسية${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$؛ ولها البنية الطبيعية لمخطط على حقل البقايا لـ y كحاصل ضرب الألياف${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$، أين${\displaystyle \{y\}}$له البنية الطبيعية لمخطط على Y مثل Spec لحقل البقايا لـ y .

منتج الألياف

1. مصطلح آخر لـ " التراجع " في نظرية الفئات. على وجه الخصوص، ناتج الألياف للمخططات .  

2. كومة  ${\displaystyle F\times _{G}H}$مُنح لـ${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$الكائن فوق B هو ثلاثية ( x , y , ψ)، حيث x ينتمي إلى F ( B )، وy ينتمي إلى H ( B )، وψ هو تماثل.${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$في G ( B )؛ السهم من ( x , y , ψ) إلى ( x' , y ' , ψ') هو زوج من التشكلات${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$بحيث${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$. المربع الناتج ذو الإسقاطات الواضحة لا يتبادل؛ بل يتبادل حتى التشاكل الطبيعي؛ أي أنه يتبادل من الدرجة 2 .

أخير

تتمثل إحدى الأفكار الأساسية لغروتينديك في التأكيد على المفاهيم النسبية ، أي الشروط المفروضة على التشكلات بدلاً من الشروط المفروضة على المخططات نفسها. ولدى فئة المخططات كائن نهائي ، وهو طيف الحلقة.${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة؛ بحيث يكون أي مخطط${\displaystyle S}$انتهى​${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$وبطريقة فريدة.

محدود

يكون التشاكل f  : Y → X منتهيًا إذا${\displaystyle X}$قد يتم تغطيتها بواسطة مجموعات مفتوحة أفينية${\displaystyle {\text{Spec }}B}$بحيث يكون كل${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$هي خطية - لنقل من الشكل${\displaystyle {\text{Spec }}A}$وعلاوة على ذلك${\displaystyle A}$يتم توليدها بشكل نهائي كـ${\displaystyle B}$-وحدة. انظر التشكل المحدود . التشكلات المحدودة هي شبه محدودة، ولكن ليس كل التشكلات التي لها ألياف محدودة هي شبه محدودة، وعادةً ما لا تكون التشكلات من النوع المحدود شبه محدودة.

النوع المحدود (محليًا)

يكون التشكل f  : Y → X محليًا من النوع المحدود إذا${\displaystyle X}$قد يتم تغطيتها بواسطة مجموعات مفتوحة أفينية${\displaystyle {\text{Spec }}B}$بحيث تكون كل صورة معكوسة${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$يتم تغطيتها بواسطة مجموعات مفتوحة أفينية${\displaystyle {\text{Spec }}A}$حيث كل${\displaystyle A}$يتم توليدها بشكل نهائي كـ${\displaystyle B}$الجبر -. يكون التشاكل f  : Y → X من النوع المنتهي إذا${\displaystyle X}$قد يتم تغطيتها بواسطة مجموعات مفتوحة أفينية${\displaystyle {\text{Spec }}B}$بحيث تكون كل صورة معكوسة${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$تُغطى بواسطة عدد محدود من المجموعات المفتوحة الأفينية${\displaystyle {\text{Spec }}A}$حيث كل${\displaystyle A}$يتم توليدها بشكل نهائي كـ${\displaystyle B}$-الجبر.

ألياف محدودة

يكون للتشاكل f  : Y → X ألياف منتهية إذا كانت الألياف فوق كل نقطة${\displaystyle x\in X}$هي مجموعة منتهية. يكون التشكل شبه منتهٍ إذا كان من نوع منتهٍ وله ألياف منتهية.

عرض محدود

إذا كانت y نقطة من Y ، فإن التشكل f يكون ذا عرض منتهٍ عند y (أو معروضًا بشكل منتهٍ عند y ) إذا كانت هناك جوار أفيني مفتوح U لـ f(y) وجوار أفيني مفتوح V لـ y بحيث يكون f ( V )  ⊆ U و ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$هي جبر معروض بشكل محدود على${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$يكون التشكل f محليًا ذا عرض منتهٍ إذا كان ذا عرض منتهٍ عند جميع نقاط Y. إذا كانت X نوثرية محليًا، فإن f يكون محليًا ذا عرض منتهٍ إذا، وفقط إذا، كان ذا نوع منتهٍ محليًا. ^{[ 8 ]} يكون التشكل f  : Y → X ذا عرض منتهٍ (أو Y ذو عرض منتهٍ على X ) إذا كان محليًا ذا عرض منتهٍ، وشبه متراص، وشبه منفصل. إذا كانت X نوثرية محليًا، فإن f يكون ذا عرض منتهٍ إذا، وفقط إذا، كان ذا نوع منتهٍ. ^{[ 9 ]}

مجموعة متنوعة من الأعلام

تُحدد مجموعة الأعلام معلمات علم فضاءات المتجهات.

مستوي

التشكل${\displaystyle f}$تكون مسطحة إذا كانت تُنتج خريطة مسطحة على سيقان. عند النظر إلى التشكل f  : Y → X كعائلة من المخططات المُعَلمة بنقاط${\displaystyle X}$يمكن وصف المعنى الهندسي للتسطيح تقريبًا بالقول إن الألياف${\displaystyle f^{-1}(x)}$لا تختلف اختلافاً كبيراً.

رَسمِيّ

انظر المخطط الرسمي .

g ^r _d

بفرض وجود منحنى C ، وقاسم D عليه، وفضاء متجهي جزئي${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$يقول أحدهم النظام الخطي${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$تكون المصفوفة A من النوع ag ^r _d إذا كان بُعد V هو r + 1 ودرجة D هي d . ويُقال إن C من النوع ag ^r _d إذا وُجد نظام خطي كهذا.

نظرية إعادة البناء لغابرييل-روزنبرغ

تنص نظرية إعادة البناء لغابرييل -روزنبرغ على إمكانية استعادة مخطط X من فئة الحزم شبه المتماسكة على X. ^{[ 10 ]} تُعدّ هذه النظرية نقطة انطلاق للهندسة الجبرية غير التبادلية ، إذ إنّ تعريف مخطط غير تبادلي ، بافتراضها كمسلّمة، يُعادل تعريف فئة الحزم شبه المتماسكة عليه. انظر أيضًا: https://mathoverflow.net/q/16257

حزمة G

حزمة رئيسية من النوع G.

نقطة عامة

نقطة كثيفة.

جنس

انظر إلى الجنس الحسابي ، والجنس الهندسي .

الصيغة الجنسية

تنص صيغة جنس المنحنى العقدي في المستوى الإسقاطي على أن جنس المنحنى يُعطى على النحو التالي: ${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$ حيث d هي درجة المنحنى و δ هو عدد العقد (وهو صفر إذا كان المنحنى أملسًا).

الجنس الهندسي

الجنس الهندسي لمتنوعة إسقاطية ملساء X ذات بُعد n هو ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$ (حيث المساواة هي نظرية الازدواجية لسير ).

نقطة هندسية

1. الطيف الأولي لحقل مغلق جبريًا.  

2. وجهة نظر منطقية .  

خاصية هندسية

تُسمى خاصية المخطط X على الحقل k " هندسية " إذا كانت صحيحة لـ${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$لأي امتداد حقل${\displaystyle E/k}$.

حاصل القسمة الهندسي

إن القسمة الهندسية لمخطط X مع تأثير مخطط المجموعة G هي قسمة جيدة بحيث تكون الألياف مدارات.

جيرب

الجربة هي (تقريبًا) مكدس غير فارغ محليًا ويكون فيه كائنان متماثلين محليًا.

حاصل ضرب GIT

معامل GIT${\displaystyle X/\!/G}$يكون${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$متى${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$و${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$متى${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$.

معدل جيد

إن القسمة الجيدة لمخطط X مع فعل مخطط المجموعة G هي تشاكل ثابت${\displaystyle f:X\to Y}$بحيث${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

غورنشتاين

1. مخطط غورنشتاين هو مخطط نوثري محلي تكون حلقاته المحلية حلقات غورنشتاين .  

2. يُقال إن الصنف العادي هو  ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-غورنشتاين إذا كان القاسم الأساسي عليه هو${\displaystyle \mathbb {Q} }$-كارتييه (ولا يشترط أن يكون كوهين-ماكولي).

3. يطلق بعض المؤلفين على التنوع الطبيعي اسم غورنشتاين إذا كان القاسم المتعارف عليه هو كارتييه؛ لاحظ أن هذا الاستخدام لا يتفق مع المعنى 1.  

نظرية التلاشي جراويرت-ريمنشنايدر

تُوسّع نظرية التلاشي لغراورت-ريمنشنايدر نظرية التلاشي لكودايرا لتشمل حزم الصور المباشرة الأعلى؛ انظر أيضًا https://arxiv.org/abs/1404.1827

حلقة غروتينديك من الأصناف

حلقة غروتينديك للأصناف هي المجموعة الأبيلية الحرة المتولدة من فئات التشاكل للأصناف ذات العلاقة التالية: ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$ حيث Z هي مجموعة فرعية مغلقة من مجموعة X ومجهزة بعملية الضرب ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

نظرية غروتينديك للتلاشي

تتعلق نظرية غروتينديك للاختفاء بالتجانس المحلي .

مخطط المجموعة

مخطط المجموعة هو مخطط تكون فيه مجموعات النقاط ذات هياكل مجموعة .

مجموعة متنوعة

مصطلح قديم يُطلق على المجموعة الجبرية "الناعمة".

متعددة حدود هيلبرت

تعد متعددة حدود هيلبرت لمخطط إسقاطي X على حقل ما هي خاصية أويلر${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$.

مجموعة هودج

تُعتبر حزمة هودج على فضاء المعاملات للمنحنيات (ذات الجنس الثابت) تقريبًا حزمة متجهة يكون ليفها فوق منحنى C هو الفضاء المتجهي${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$.

زائدة الإهليلجية

يكون المنحنى زائدًا إهليلجيًا إذا كان له g ¹ ₂ (أي أن هناك نظامًا خطيًا من البعد 1 والدرجة 2).

حزمة المستوى الفائق

مصطلح آخر لحزمة سير الملتوية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$. إنه ثنائي حزمة الخط التكرارية (ومن هنا جاء المصطلح).

صورة

إذا كان f  : Y → X أي تشاكل للمخططات، فإن الصورة النظرية للمخطط لـ f هي المخطط الفرعي المغلق الوحيد i  : Z → X الذي يحقق الخاصية العامة التالية :

1. العوامل f التي تمر عبر i ،
2. إذا كان j  : Z ′ → X أي مخطط فرعي مغلق من X بحيث يكون f قابلاً للتحليل عبر j ، فإن i قابل للتحليل عبر j أيضًا . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

يختلف هذا المفهوم عن مفهوم الصورة النظرية المعتادة للدالة f ، أي f ( Y ). فعلى سبيل المثال، تحتوي الفضاء الأساسي لـ Z دائمًا على إغلاق زاريسكي للدالة f ( Y ) في X (ولكن ليس بالضرورة أن يكون مساويًا له) ، لذا إذا كان Y أي مخطط فرعي مفتوح (وليس مغلقًا) من X، وكانت f هي دالة التضمين، فإن Z يختلف عن f ( Y ). وعندما يكون Y مُختزلًا، فإن Z هو إغلاق زاريسكي للدالة f ( Y ) مزودًا ببنية المخطط الفرعي المغلق المُختزل. ولكن بشكل عام، ما لم تكن f شبه متراصة، فإن بناء Z ليس محليًا على X.

غمر

الغمر f  : Y → X هي دوال تُحلل التشاكلات ذات المخططات الفرعية. تحديدًا، يُحلل الغمر المفتوح تشاكلًا ذا مخطط فرعي مفتوح، ويُحلل الغمر المغلق تشاكلًا ذا مخطط فرعي مغلق. ^{[ 13 ]} وبالمثل، يكون f غمرًا مغلقًا إذا، وفقط إذا، كان يُنشئ تشاكلًا طوبولوجيًا من الفضاء الطوبولوجي الأساسي لـ Y إلى مجموعة فرعية مغلقة من الفضاء الطوبولوجي الأساسي لـ X ، وإذا كان التشاكل${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$هي شاملة. ^{[ 14 ]} تركيب الغمر هو غمر أيضًا. ^{[ 15 ]} يُعرّف بعض المؤلفين، مثل هارتشورن في كتابه "الهندسة الجبرية" و كيو ليو في كتابه "الهندسة الجبرية والمنحنيات الحسابية" ، الغمر بأنه تركيب غمر مفتوح متبوعًا بغمر مغلق. هذه الغمرات هي غمر بالمعنى المذكور أعلاه، لكن العكس غير صحيح. علاوة على ذلك، وفقًا لهذا التعريف، فإن تركيب غمرين ليس بالضرورة غمرًا. ومع ذلك، فإن التعريفين متكافئان عندما تكون f شبه متراصة. ^{[ 16 ]} لاحظ أن الغمر المفتوح يُوصف تمامًا بصورته بمعنى الفضاءات الطوبولوجية، بينما لا يُوصف الغمر المغلق كذلك.${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$و${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$قد يكون متماثلًا طوبولوجيًا ولكنه ليس متماثلًا. يحدث هذا، على سبيل المثال، إذا كان I هو جذر J ولكن J ليس مثاليًا جذريًا. عند تحديد مجموعة فرعية مغلقة من مخطط دون ذكر بنية المخطط، يُقصد عادةً ما يُسمى ببنية المخطط المختزلة ، أي بنية المخطط المقابلة للمثالي الجذري الوحيد الذي يتكون من جميع الدوال التي تتلاشى على تلك المجموعة الفرعية المغلقة.

مخطط إند

المخطط الاستقرائي هو حد استقرائي لعمليات الغمر المغلقة للمخططات.

حزمة قابلة للقلب

حزمة حرة محليًا من الرتبة الأولى. أو بعبارة أخرى، هي حزمة تورسور للمجموعة الضربية${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$(أي حزمة الخطوط).

أساسي

يُطلق على المخطط الذي يكون مُختزلاً وغير قابل للاختزال اسم المخطط التكاملي . بالنسبة للمخططات النويثرية المحلية، فإن كون المخطط تكامليًا يُكافئ كونه مخططًا متصلًا مُغطى بأطياف المجالات التكاملية . (بالمعنى الدقيق، هذه ليست خاصية محلية، لأن الاتحاد المنفصل لمخططين تكامليين ليس تكامليًا. مع ذلك، بالنسبة للمخططات غير القابلة للاختزال، فهي خاصية محلية). على سبيل المثال، المخطط Spec k [ t ]/ f , f متعدد الحدود غير القابل للاختزال هو مخطط تكاملي، بينما المخطط Spec A × B ( A , B ≠ 0) ليس كذلك.

لا يمكن اختزاله

يُقال إن المخطط X غير قابل للاختزال عندما لا يكون (كفضاء طوبولوجي) اتحادًا لمجموعتين جزئيتين مغلقتين إلا إذا كانت إحداهما تساوي X. باستخدام تناظر المثاليّات الأولية والنقاط في مخطط أفيني، يعني هذا أن X غير قابل للاختزال إذا كان X متصلًا وكانت الحلقات Aᵢ _{تحتوي جميعها على} مثاليّ أوليّ أدنى واحد فقط . (لذلك تُسمى الحلقات التي تحتوي على مثاليّ أوليّ أدنى واحد فقط غير قابلة للاختزال أيضًا ). يمكن كتابة أي مخطط نوثري بشكل فريد كاتحاد عدد محدود من المجموعات الجزئية المغلقة غير الفارغة غير القابلة للاختزال القصوى، والتي تُسمى مكوناته غير القابلة للاختزال . الفضاء الأفيني والفضاء الإسقاطي غير قابلين للاختزال، بينما Spec k [ x,y ]/( xy ) = غير قابل للاختزال.

صنف جاكوبيان

تُعتبر منوعات جاكوبيان لمنحنى إسقاطي X هي الجزء من الدرجة الصفرية من منوعات بيكارد.${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$.

نظرية كيمبف للتلاشي

تتعلق نظرية كيمبف للاختفاء باختفاء التماثل الأعلى لمجموعة متنوعة من الأعلام.

klt

اختصار لـ " محطة تسجيل كاواماتا "

أبعاد كودايرا

1. بُعد Kodaira (يُسمى أيضًا بُعد Iitaka ) لحزمة الخطوط شبه الواسعة L هو بُعد Proj لحلقة القسم L.  

2. بُعد كودايرا للصنف العادي X هو بُعد كودايرا لحزمته الأساسية.  

نظرية كودايرا للتلاشي

انظر إلى نظرية كودايرا للتلاشي .

خريطة كورانيشي

انظر إلى بنية كورانيشي .

رقم المزاد

انظر رقم Lelong .

بنية المستوى

انظر الرابط التالي: http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

التخطيط الخطي

مصطلح آخر لبنية حزمة متجهات/حزمة متكافئة.

محلي

أهم خصائص المخططات محلية بطبيعتها ، أي أن المخطط X يتمتع بخاصية معينة P إذا وفقط إذا كان لأي غطاء لـ X بواسطة مخططات فرعية مفتوحة X _​​i ، أي X =${\displaystyle \cup }$_لكل Xᵢ الخاصية _P. عادةً ما يكفي فحص غطاء واحد، وليس جميع الأغطية الممكنة. يُقال أيضًا أن خاصية معينة محلية زاريسكي ، إذا لزم التمييز بين طوبولوجيا زاريسكي والطوبولوجيات الأخرى الممكنة، مثل طوبولوجيا إيتال . لنفترض مخططًا X وغطاءً بواسطة مخططات فرعية مفتوحة أفينية Spec Aᵢ _. باستخدام قاموس الربط بين الحلقات (التبديلية) والمخططات الأفينية، فإن الخصائص المحلية هي خصائص الحلقات Aᵢ _. الخاصية P محلية بالمعنى المذكور أعلاه، إذا وفقط إذا كانت الخاصية المقابلة للحلقات مستقرة تحت التوطين . على سبيل المثال، يمكننا الحديث عن مخططات نوثرية محلية ، أي تلك التي تغطيها أطياف الحلقات النوثرية . حقيقة أن توطينات الحلقة النوثرية لا تزال نوثرية تعني أن خاصية كون المخطط نوثريًا محليًا هي خاصية محلية بالمعنى المذكور أعلاه (ومن هنا جاءت التسمية). مثال آخر: إذا اختُزلت حلقة (أي لم تحتوي على عناصر نيلبوتنت غير صفرية )، فإن خصائصها الموضعية تكون كذلك. ومن الأمثلة على الخصائص غير الموضعية خاصية الانفصال (انظر التعريف أدناه). أي مخطط أفيني منفصل، وبالتالي فإن أي مخطط منفصل موضعيًا. مع ذلك، قد تلتصق الأجزاء الأفينية معًا بشكل غير طبيعي لتُنتج مخططًا غير منفصل. فيما يلي قائمة (غير شاملة) بالخصائص الموضعية للحلقات، والتي تُطبق على المخططات. ليكن X =${\displaystyle \cup }$_ليكن Spec A غطاءً لمخطط بواسطة مخططات فرعية أفينية مفتوحة. وللتحديد، لنرمز بـ k إلى حقل في ما يلي. تعمل معظم الأمثلة أيضًا مع الأعداد الصحيحة Z كأساس، أو حتى قواعد أكثر عمومية. متصل، غير قابل للاختزال، مختزل، صحيح، طبيعي، منتظم، كوهين-ماكولي، نوثرية محلية، بُعد، سلسلة، غورنشتاين.

تقاطع كامل محلي

الحلقات المحلية هي حلقات تقاطع كاملة . انظر أيضًا: التضمين المنتظم .

التوحيد المحلي

التوحيد المحلي هو طريقة لبناء شكل أضعف من حل التفردات عن طريق حلقات التقييم .

العاملي المحلي

الحلقات المحلية هي مجالات تحليل فريدة .

محليًا من عرض محدود

انظر إلى العرض التقديمي المحدود أعلاه.

محليًا من النوع المحدود

يكون التشكل f  : Y → X محليًا من النوع المحدود إذا${\displaystyle X}$قد يتم تغطيتها بواسطة مجموعات مفتوحة أفينية${\displaystyle {\text{Spec }}B}$بحيث تكون كل صورة معكوسة${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$يتم تغطيتها بواسطة مجموعات مفتوحة أفينية${\displaystyle {\text{Spec }}A}$حيث كل${\displaystyle A}$يتم توليدها بشكل نهائي كـ${\displaystyle B}$-الجبر.

محليًا نوثرية

مخطط X مغطى بواسطة Spec A _i ، حيث A _i هي حلقات نوثرية . إذا غطى عدد محدود من هذه الأطياف الأفينية X ، يُسمى المخطط نوثريًا . صحيح أن طيف الحلقة النوثرية هو فضاء طوبولوجي نوثري ، لكن العكس غير صحيح. على سبيل المثال، معظم المخططات في الهندسة الجبرية ذات الأبعاد المحدودة هي نوثرية محليًا، ولكن ${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$ليس كذلك.

الهندسة اللوغاريتمية

بنية السجل

انظر إلى بنية السجل . يعود هذا المفهوم إلى فونتين-إيلوسي وكاتو.

مجموعة الحلقات

انظر مجموعة الحلقات (المقالة المرتبطة لا تناقش مجموعة الحلقات في الهندسة الجبرية؛ انظر أيضًا مخطط ind في الوقت الحالي ).

المعاملات

انظر على سبيل المثال فضاء المعاملات .

بينما ركزت معظم الدراسات المبكرة حول المعاملات، وخاصة منذ [Mum65]، على بناء فضاءات المعاملات الدقيقة أو الخشنة، فقد تحول التركيز مؤخرًا نحو دراسة عائلات المتنوعات، أي نحو دوال المعاملات ومجموعات المعاملات. وتتمثل المهمة الرئيسية في فهم أنواع الكائنات التي تُشكل عائلات "جيدة". وبمجرد ترسيخ مفهوم جيد لـ"العائلات الجيدة"، يصبح وجود فضاء المعاملات الخشن أمرًا شبه تلقائي. لم يعد فضاء المعاملات الخشن هو الكائن الأساسي، بل هو مجرد وسيلة ملائمة لتتبع معلومات معينة كامنة في دالة المعاملات أو مجموعة المعاملات.

— كولار، يانوس، الفصل الأول ، “كتاب عن معاملات السطوح”.

برنامج موري للنموذج الأدنى

برنامج النموذج الأدنى هو برنامج بحثي يهدف إلى إجراء تصنيف ثنائي منطقي للأصناف الجبرية ذات الأبعاد الأكبر من 2.

التشكل

1. يتم إعطاء تشاكل الأصناف الجبرية محليًا بواسطة كثيرات الحدود .  

2. إن تشاكل المخططات هو تشاكل الفضاءات الحلقية المحلية .  

3. التشكل  ${\displaystyle f:F\to G}$مجموعة من المكدسات (على سبيل المثال، فئة المخططات S ) هي دالة بحيث${\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}}$أين${\displaystyle P_{F},P_{G}}$هي خرائط هيكلية للفئة الأساسية.

نيف

انظر حزمة خطوط nef .

غير مفرد

مصطلح قديم يعني "أملس" كما في نوع أملس .

طبيعي

1. يُطلق على المخطط التكاملي اسم المخطط الطبيعي إذا كانت الحلقات المحلية عبارة عن نطاقات مغلقة تكاملياً . على سبيل المثال، جميع المخططات المنتظمة هي مخططات طبيعية، بينما المنحنيات الشاذة ليست كذلك.  

2. منحنى أملس  ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}}$يُقال إنها سطحية من الدرجة k- طبيعية إذا كانت الأسطح الفائقة من الدرجة k تقطع السلسلة الخطية الكاملة${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|}$يكون المنحنى طبيعيًا إسقاطيًا إذا كان طبيعيًا من الرتبة k لجميع قيم k > 0. وبالتالي، يُقال إن "المنحنى طبيعي إسقاطيًا إذا كان النظام الخطي الذي يضمه كاملًا". مصطلح "طبيعي خطيًا" مرادف لمصطلح "طبيعي من الرتبة 1".

3. صنف فرعي مغلق  ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}}$يُقال إن X طبيعي إسقاطيًا إذا كان الغطاء الأفيني فوق X مخططًا طبيعيًا ؛ أي أن حلقة الإحداثيات المتجانسة لـ X هي مجال مغلق تكامليًا. يتوافق هذا المعنى مع المعنى الوارد في الفقرة 2.

طبيعي

1. إذا كان X مخططًا فرعيًا مغلقًا لمخطط Y ذي حزمة مثالية I ، فإن الحزمة العمودية على X هي  ${\displaystyle (I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})}$إذا كان تضمين X في Y منتظمًا ، فإنه يكون حرًا محليًا ويسمى الحزمة العادية .

2. المخروط العمودي على النقطة X هو  ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$إذا تم تضمين X بانتظام في Y ، فإن المخروط الطبيعي يكون متماثلاً مع${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))}$، الفضاء الكلي للحزمة العادية إلى X.

المعابر العادية

يشير الاختصار nc إلى التقاطع الطبيعي، و snc إلى التقاطع الطبيعي البسيط. ويشير إلى عدة مفاهيم وثيقة الصلة، مثل قاسم nc، وتفرد nc، وقاسم snc، وتفرد snc. انظر التقاطعات الطبيعية .

يتم توليدها عادةً

يقال إن حزمة خطية L على مجموعة متنوعة X مولدة بشكل طبيعي إذا كان، لكل عدد صحيح n > 0، الخريطة الطبيعية${\displaystyle \Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})}$هو شامل.

يفتح

1. يُطلق على التشكل f : Y → X للمخططات اسم مفتوح ( مغلق )، إذا كانت الخريطة الأساسية للفضاءات الطوبولوجية مفتوحة (مغلقة، على التوالي)، أي إذا تم تعيين المخططات الفرعية المفتوحة من Y إلى المخططات الفرعية المفتوحة من X (وبالمثل بالنسبة للمغلقة). على سبيل المثال، التشكلات المسطحة ذات العرض المحدود مفتوحة، والخرائط المناسبة مغلقة.   

2. المخطط الفرعي المفتوح للمخطط X هو مجموعة فرعية مفتوحة U ذات بنية حزمة  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$[ ^{14 ]​}

أوربفولد

في الوقت الحاضر، غالبًا ما يتم تعريف الفضاء المداري على أنه مجموعة ديلين-مامفورد فوق فئة المشعبات التفاضلية. ^{[ 17 ]}

مجموعة قابلة للقسمة على p

انظر إلى المجموعة القابلة للقسمة على p (وهي تقريبًا نظير لنقاط الالتواء في التنوع الأبلي).

قلم رصاص

نظام خطي ذو بُعد واحد.

مجموعة بيكارد

مجموعة بيكارد لـ X هي مجموعة فئات التشاكل لحزم الخطوط على X ، والضرب هو حاصل الضرب الموتري .

تضمين بلوكر

إن تضمين بلوكر هو التضمين المغلق لتنوع غراسمان في فضاء إسقاطي.

plurigenus

الجنس المتعدد رقم n من نوع إسقاطي أملس هو${\displaystyle \dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})}$انظر أيضًا إلى رقم هودج .

خريطة بقايا بوانكاريه

انظر إلى بقايا بوانكاريه .

نقطة

مخطط${\displaystyle S}$هو فضاء ذو ​​حلقات محلية ، وبالتالي فهو من باب أولى فضاء طوبولوجي ، لكن معاني نقطة${\displaystyle S}$وهي ثلاثية الأبعاد:

1. نقطة${\displaystyle P}$للفضاء الطوبولوجي الأساسي؛
2. أ${\displaystyle T}$نقطة ذات قيمة سالبة${\displaystyle S}$هو تشاكل من${\displaystyle T}$ل${\displaystyle S}$، لأي مخطط${\displaystyle T}$؛
3. نقطة هندسية ، حيث${\displaystyle S}$معرف على (مزود بتشاكل إلى)${\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)}$، أين${\displaystyle K}$هو حقل ، وهو تشاكل من${\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$ل${\displaystyle S}$أين${\displaystyle {\overline {K}}}$هو إغلاق جبري لـ${\displaystyle K}$.

النقاط الهندسية هي ما يُعرف في الحالات الكلاسيكية، على سبيل المثال، بالنقاط العادية، مثل التنوعات الجبرية التي تُعتبر متعددات شعب معقدة .${\displaystyle P}$تشمل الفضاءات الأساسية نظائر للنقاط العامة (بمعنى زاريسكي ، وليس بمعنى أندريه ويل )، والتي تتخصص في النقاط ذات المعنى العادي.${\displaystyle T}$تُعتبر النقاط ذات القيم -، من خلال ليمّة يونيدا ، وسيلة لتحديد${\displaystyle S}$باستخدام الدالة القابلة للتمثيل${\displaystyle h_{S}}$يتم إعدادها. تاريخياً، كانت هناك عملية تضيف من خلالها الهندسة الإسقاطية المزيد من النقاط ( مثل النقاط المركبة، والخط عند اللانهاية ) لتبسيط الهندسة عن طريق تحسين الأشكال الأساسية.${\displaystyle T}$كانت النقاط ذات القيمة - خطوة هائلة أخرى.

كجزء من منهج غروتينديك السائد ، توجد ثلاثة مفاهيم متقابلة لألياف التشكل: أولها الصورة العكسية البسيطة لنقطة. أما المفهومان الآخران فيتكونان من خلال إنشاء حاصل ضرب ألياف تشكلين. على سبيل المثال، ألياف هندسية لتشكل${\displaystyle S^{\prime }\to S}$يُعتقد أنه ${\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$.

وهذا يجعل الامتداد من المخططات الأفينية ، حيث يكون مجرد حاصل ضرب موتر للجبر R ، إلى جميع مخططات عملية ضرب الألياف نتيجة مهمة (وإن كانت من الناحية الفنية غير ضارة).

الاستقطاب

تضمين في فضاء إسقاطي

مشروع

انظر إلى مشروع البناء .

صيغة الإسقاط

تنص صيغة الإسقاط على أنه بالنسبة للتشاكل${\displaystyle f:X\to Y}$من المخططات، و${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-وحدة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ومجانية محلياً${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-وحدة${\displaystyle {\mathcal {E}}}$من الرتبة المحدودة، يوجد تماثل طبيعي ${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}$ (باختصار،${\displaystyle f_{*}}$(خطي بالنسبة لتأثير الحزم الحرة محليًا.)

إسقاطي

1. التنوع الإسقاطي هو تنوع فرعي مغلق من فضاء إسقاطي.  

2. المخطط الإسقاطي على مخطط S هو مخطط S- يحلل عبر فضاء إسقاطي ما  ${\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{N}\to S}$كنظام فرعي مغلق.

3. تُعرَّف التشكلات الإسقاطية بشكل مشابه للتشكلات الأفينية: يُطلق على f : Y → X اسم التشكل الإسقاطي إذا كان يُحلَّل إلى غمر مغلق متبوعًا بإسقاط فضاء إسقاطي .   ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X}$ل${\displaystyle X}$[ ^{18 ]} لاحظ أن هذا التعريف أكثر تقييدًا من تعريف EGA ، القسم الثاني ^، 5.5.2. يُعرّف الأخير${\displaystyle f}$تكون إسقاطية إذا كانت معطاة بواسطة Proj العالمي لجبر O _X متدرج شبه متماسك${\displaystyle {\mathcal {S}}}$بحيث${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$يتم توليدها بشكل نهائي وتولد الجبر${\displaystyle {\mathcal {S}}}$يتطابق التعريفان عندما${\displaystyle X}$تكون أفينية، أو بشكل أعم إذا كانت شبه متراصة، ومنفصلة، ​​وتسمح بحزمة واسعة، ^{[ 19 ]} على سبيل المثال إذا${\displaystyle X}$هو مخطط فرعي مفتوح لفضاء إسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$فوق خاتم${\displaystyle A}$.

حزمة إسقاطية

إذا كانت E حزمة حرة محليًا على مخطط X ، فإن الحزمة الإسقاطية P ( E ) لـ E هي Proj العالمي للجبر المتناظر للثنائي لـ E : ${\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).}$لاحظ أن هذا التعريف قياسي في الوقت الحاضر (على سبيل المثال، نظرية التقاطع لفولتون ) ولكنه يختلف عن EGA و هارتشورن (فهم لا يأخذون ثنائيًا).

طبيعي إسقاطيًا

انظر إلى الوضع الطبيعي .

سليم

يكون التشاكل صحيحًا إذا كان منفصلًا، ومغلقًا كليًا (أي أن حاصل ضرب الألياف معه عبارة عن دوال مغلقة)، ومن نوع منتهٍ. التشاكلات الإسقاطية صحيحة، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. انظر أيضًا التنوع الكامل . من الخصائص الأساسية للتشاكلات الصحيحة وجود تحليل شتاين ، أي وجود مخطط وسيط بحيث يمكن التعبير عن التشاكل بتشاكل ذي ألياف متصلة، متبوعًا بتشاكل منتهٍ.

العقار P

ليكن P خاصية لمخطط مستقر تحت تغيير الأساس (من النوع المحدود، أو المناسب، أو الأملس، أو الإيتالي، إلخ). عندئذٍ يكون هناك تشاكل قابل للتمثيل${\displaystyle f:F\to G}$يُقال إن له الخاصية P إذا، لأي${\displaystyle B\to G}$مع المخطط B ، التغيير الأساسي${\displaystyle F\times _{G}B\to B}$له الخاصية P.

شبه اختزالي

يعمم مفهوم الاختزال الزائف مفهوم الاختزال في سياق المجموعة الجبرية الخطية الملساء المتصلة .

البعد الخالص

يكون للمخطط بُعد نقي d إذا كان لكل مكون غير قابل للاختزال بُعد d .

شبه متماسك

الحزمة شبه المتماسكة على مخطط نوثيري X هي حزمة من O _X -وحدات يتم إعطاؤها محليًا بواسطة الوحدات.

شبه مدمجة

يُطلق على التشكل f  : Y → X اسم شبه مضغوط ، إذا كان بالنسبة لبعض (أو ما يعادله: كل) غطاء أفيني مفتوح لـ X بواسطة U _i = Spec B _i ، فإن الصور العكسية f ⁻¹ ( U _i ) تكون شبه مضغوطة .

شبه محدود

يكون للتشاكل f  : Y → X ألياف منتهية إذا كانت الألياف فوق كل نقطة${\displaystyle x\in X}$هي مجموعة منتهية. يكون التشكل شبه منتهٍ إذا كان من نوع منتهٍ وله ألياف منتهية.

شبه إسقاطي

التنوع شبه الإسقاطي هو تنوع فرعي مغلق محليًا من فضاء إسقاطي.

شبه منفصل

يُطلق على التشكل f  : Y → X اسم شبه منفصل، أو ( Y شبه منفصل على X ) إذا كان التشكل القطري Y → Y × _X Y شبه متراص. ويُطلق على المخطط Y اسم شبه منفصل إذا كان Y شبه منفصل على Spec( Z ). ^{[ 20 ]}

شبه منقسم

مجموعة اختزالية${\displaystyle G}$مُعرَّف على حقل${\displaystyle k}$تكون شبه منقسمة إذا وفقط إذا كانت تقبل زمرة بوريل جزئية${\displaystyle B\subseteq G}$تم تعريفها على${\displaystyle k}$. أي مجموعة اختزالية شبه منقسمة هي مجموعة اختزالية منقسمة، ولكن هناك مجموعات اختزالية شبه منقسمة ليست منقسمة.

مخطط الاقتباس

يقوم مخطط Quot بتحديد معلمات قسمة الحزم الحرة محليًا على مخطط إسقاطي.

مجموعة نواتج القسمة

عادةً ما يُشار إليها بـ [ X / G ]، فإن حزمة القسمة تعمم قسمة مخطط أو نوع معين.

عاقِل

1. في حقل مغلق جبريًا، يكون التنوع منطقيًا إذا كان ثنائيًا منطقيًا بالنسبة إلى فضاء إسقاطي. على سبيل المثال، المنحنيات والأسطح المنطقية هي تلك ثنائية منطقية بالنسبة إلى  ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}}$.

2. بالنظر إلى حقل k ومخطط نسبي X → S ، فإن النقطة العقلانية k لـ X هي تشاكل S  ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X}$.

دالة كسرية

عنصر في حقل الوظيفة${\displaystyle k(X)=\varinjlim k[U]}$حيث يمتد الحد على جميع حلقات الإحداثيات للمجموعات الفرعية المفتوحة U من تنوع جبري (غير قابل للاختزال) X. انظر أيضًا حقل الدالة (نظرية المخططات) .

منحنى طبيعي عقلاني

المنحنى الطبيعي العقلاني هو صورة لـ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})}$إذا كانت قيمة d تساوي 3، فإنها تسمى أيضًا المكعب الملتوي .

التفردات العقلانية

يكون للمتنوع X على حقل ذي خاصية صفرية نقاط شاذة عقلانية إذا كان هناك حل للنقاط الشاذة.${\displaystyle f:X'\to X}$بحيث${\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}}$و${\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1}$.

مخفض

1. حلقة تبديلية  ${\displaystyle R}$يتم اختزالها إذا لم يكن لها عناصر نيلبوتنت غير صفرية، أي أن جذرها الصفري هو المثالي الصفري.${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle R}$يتم تخفيضها إذا${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$هو مخطط مبسط.

2. يتم تقليص المخطط X إذا كانت سيقانه  ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$هي حلقات مختزلة. وبالمثل، تكون X مختزلة إذا، لكل مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle U\subset X}$،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$هي حلقة مختزلة، أي${\displaystyle X}$لا يحتوي على أقسام عديمة القوة غير صفرية.

اختزالي

مجموعة جبرية خطية متصلة${\displaystyle G}$فوق حقل${\displaystyle k}$تكون المجموعة مختزلة إذا وفقط إذا كان الجذر أحادي القدرة${\displaystyle R_{u}(G_{\overline {k}})}$ من التغيير الأساسي${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ل${\displaystyle G}$إلى إغلاق جبري${\displaystyle {\overline {k}}}$أمر تافه.

حزمة انعكاسية

تكون الحزمة المتماسكة انعكاسية إذا كانت الخريطة الأساسية للثنائي الثاني عبارة عن تماثل.

عادي

المخطط المنتظم هو مخطط تكون فيه الحلقات المحلية حلقات محلية منتظمة . على سبيل المثال، المتنوعات الملساء على حقل ما منتظمة، بينما Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )= ليست كذلك.

التضمين العادي

غمر مغلق${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$يكون التضمين منتظمًا إذا كان لكل نقطة من X جوار خطي في Y بحيث يكون مثالي X هناك مُوَلَّدًا بواسطة متتالية منتظمة . إذا كان i تضمينًا منتظمًا، فإن الحزمة المترافقة لـ i ، أي${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$متى${\displaystyle {\mathcal {I}}}$هي الحزمة المثالية من X ، وهي خالية محلياً.

دالة منتظمة

تشاكل من صنف جبري إلى الخط الأفيني .

التشكل القابل للتمثيل

التشكل${\displaystyle F\to G}$من المكدسات بحيث، لأي تشاكل${\displaystyle B\to G}$من المخطط ب ، التغيير الأساسي${\displaystyle F\times _{G}B}$هو فضاء جبري. إذا استُبدل مصطلح "الفضاء الجبري" بمصطلح "المخطط"، فإنه يُقال إنه قابل للتمثيل بقوة.

حل التفردات

إن حل حالات التفرد في مخطط X هو تشاكل ثنائي نسبي مناسب${\displaystyle \pi :Z\to X}$بحيث يكون Z سلسًا .

صيغة ريمان-هرويتز

بفرض وجود تشاكل قابل للفصل محدود${\displaystyle \pi :X\to Y}$بين المنحنيات الإسقاطية الملساء، إذا${\displaystyle \pi }$إذا كان التفرع محدودًا (بدون تفرع جامح)، على سبيل المثال، على حقل ذي خاصية صفرية، فإن صيغة ريمان-هرويتز تربط درجة π، وأجناس X و Y ، ومؤشرات التفرع : ${\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}$في الوقت الحاضر، يُنظر إلى الصيغة على أنها نتيجة للصيغة الأكثر عمومية (والتي تظل صالحة حتى لو لم يكن π عددًا ثابتًا): ${\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}$ أين${\displaystyle \sim }$يعني تكافؤًا خطيًا و${\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P}$هو قاسم حزمة الظل التمام النسبية${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$(يُطلق عليها اسم المختلف ).

صيغة ريمان-روخ

1. إذا كانت L حزمة خطية من الدرجة d على منحنى إسقاطي أملس من الجنس g ، فإن صيغة ريمان-روخ تحسب خاصية أويلر لـ L :   ${\displaystyle \chi (L)=d-g+1}$على سبيل المثال، تشير الصيغة إلى أن درجة القاسم الكنسي K هي 2 g - 2.

2. الصيغة العامة تعود إلى غروتينديك وتُسمى صيغة غروتينديك-ريمان-روخ . وتنص على ما يلي: إذا  ${\displaystyle \pi :X\to S}$هو تشاكل حقيقي مع X و S أملسين ، وإذا كانت E حزمة متجهة على X ، فإن المساواة في زمرة تشاو النسبية${\displaystyle \operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))}$ أين${\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}}$،${\displaystyle \operatorname {ch} }$يعني شخصية تشيرن و${\displaystyle \operatorname {td} }$فئة تود للحزمة المماسية للفضاء، وعلى الأعداد المركبة،${\displaystyle \pi _{*}}$هو تكامل على طول الألياف . على سبيل المثال، إذا كانت القاعدة S نقطة، و X منحنى أملس من النوع g، و E حزمة خطية L ، فإن الطرف الأيسر يختزل إلى خاصية أويلر، بينما الطرف الأيمن هو${\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.}$

جامد

كل تشوه متناهي الصغر هو تشوه تافه. على سبيل المثال، الفضاء الإسقاطي صلب لأن${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0}$(وباستخدام خريطة كودايرا-سبنسر ).

تصلب

مصطلح استدلالي، يُعادل تقريبًا "إلغاء التشاكلات الذاتية". على سبيل المثال، يمكن القول "نُدخل هياكل المستوى أو النقاط المميزة لتشديد الوضع الهندسي".

بحسب رأي غروتينديك نفسه، لا ينبغي أن يكون هناك تاريخ يُذكر للمخططات، بل تاريخ للمقاومة ضدها فقط: ... لا يوجد تساؤل تاريخي جدي حول كيفية توصل غروتينديك إلى تعريفه للمخططات. كان الأمر شائعًا. وقد أحسن سير حين قال إنه لم يخترع أحد المخططات (محادثة ١٩٩٥). السؤال هو: ما الذي دفع غروتينديك إلى الاعتقاد بأنه يجب عليه استخدام هذا التعريف لتبسيط ورقة بحثية من ٨٠ صفحة لسير إلى ما يقارب ١٠٠٠ صفحة من كتاب "عناصر الهندسة الجبرية" ؟

—

مخطط

المخطط هو فضاء حلقي محليًا يمثل طيفًا أوليًا محليًا لحلقة تبديلية .

شوبرت

1. خلية شوبيرت هي مدار B على غراسمانيان  ${\displaystyle \operatorname {Gr} (d,n)}$حيث B هي مجموعة بوريل القياسية؛ أي مجموعة المصفوفات المثلثية العليا.

2. نوع شوبيرت هو إغلاق خلية شوبيرت.  

التمرير

اللفافة العادية العقلانية هي سطح مسطر من الدرجة${\displaystyle n}$في فضاء إسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}}$.

نوع قاطع

النوع القاطع إلى النوع الإسقاطي${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$هو إغلاق اتحاد جميع الخطوط القاطعة إلى V في${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$.

حلقة مقطعية

الحلقة المقطعية أو حلقة المقاطع لحزمة خطية L على مخطط X هي الحلقة المتدرجة${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})}$.

شروط سير S _n

انظر شروط سير بشأن التوزيع الطبيعي . انظر أيضًا https://mathoverflow.net/q/22228

ازدواجية سير

انظر #حزمة_التضاعف

منفصل

التشاكل المنفصل هو تشاكل${\displaystyle f}$بحيث يكون منتج الألياف من${\displaystyle f}$مع نفسه على طول${\displaystyle f}$يكون قطرها بمثابة مخطط فرعي مغلق - بعبارة أخرى، فإن التشكل القطري هو غمر مغلق .

حزمة تم إنشاؤها بواسطة أقسام عالمية

حزمة ذات مجموعة من المقاطع العالمية التي تمتد على طول ساق الحزمة عند كل نقطة. انظر: حزمة مُولَّدة بواسطة مقاطع عالمية .

بسيط

1. مصطلح "النقطة البسيطة" هو مصطلح قديم يشير إلى "النقطة الملساء".  

2. يُعرف القاسم ذو التقاطع الطبيعي البسيط (snc) أيضًا باسم القاسم ذي التقاطع الطبيعي الأملس، أي القاسم الذي لا يحتوي إلا على نقاط تقاطع طبيعي أملسة. وتظهر هذه القاسمات في مسائل إزالة النقاط الشاذة القوية ، وكذلك في مسائل تثبيت المعاملات المضغوطة.  

3. في سياق الزمر الجبرية الخطية، توجد زمر شبه بسيطة وزمر بسيطة هي في حد ذاتها زمر شبه بسيطة ذات خصائص إضافية. وبما أن جميع الزمر البسيطة مختزلة، فإن الزمرة البسيطة المنقسمة هي زمرة بسيطة مختزلة منقسمة.  

سلس

1.  

النظائر ذات الأبعاد الأعلى للتشاكلات الإيتالية هي التشاكلات الملساء . توجد العديد من التوصيفات المختلفة للسلاسة. فيما يلي تعريفات مكافئة لسلاسة التشاكل f  : Y → X :

1. لكل y ∈ Y ، توجد جوارات أفينية مفتوحة V و U لـ y ، x = f ( y )، على التوالي ، بحيث يكون تقييد f إلى V بمثابة تشاكل إيتالي متبوعًا بإسقاط الفضاء الأفيني n على U.
2. دالة f مسطحة، ومحلية ذات عرض محدود، ولكل نقطة هندسية${\displaystyle {\bar {y}}}$من Y (تشاكل من طيف حقل مغلق جبريًا${\displaystyle k({\bar {y}})}$إلى Y )، الألياف الهندسية${\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))}$هو صنف سلس ذو أبعاد n على${\displaystyle k({\bar {y}})}$بمعنى الهندسة الجبرية الكلاسيكية.

2. المخطط السلس على حقل مثالي k هو مخطط X يكون محليًا من النوع المحدود ومنتظمًا على k .  

3. المخطط السلس على حقل k هو مخطط X يكون سلسًا هندسيًا:  ${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}}$سلس.

خاص

يكون القاسم D على منحنى أملس C مميزًا إذا${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))}$، والذي يسمى مؤشر التخصص، يكون موجباً.

صنف كروي

التنوع الكروي هو تنوع G طبيعي ( G متصل اختزالي) مع مدار كثيف مفتوح بواسطة مجموعة فرعية بوريل من G.

ينقسم

1. في سياق مجموعة جبرية  ${\displaystyle G}$بالنسبة لبعض الخصائص${\displaystyle P}$هناك خاصية مشتقة مقسمة-${\displaystyle P}$. عادة${\displaystyle P}$هي خاصية تلقائية أو أكثر شيوعًا في الحقول المغلقة جبريًا${\displaystyle {\overline {k}}}$إذا كانت هذه الخاصية قائمة بالفعل لـ${\displaystyle G}$معرفة على حقل ليس بالضرورة مغلقًا جبريًا${\displaystyle k}$ثم${\displaystyle G}$يقال إنه يفي بالانقسام-${\displaystyle P}$.

2. مجموعة جبرية خطية  ${\displaystyle G}$مُعرَّف على حقل${\displaystyle k}$يكون شكلًا حلقيًا إذا تغير أساسه فقط${\displaystyle G_{\overline {k}}}$إلى إغلاق جبري${\displaystyle {\overline {k}}}$متماثل مع حاصل ضرب مجموعات الضرب${\displaystyle G_{m,{\overline {k}}}^{n}}$.${\displaystyle G}$يكون طارة منقسمة إذا وفقط إذا كان متماثلاً مع${\displaystyle G_{m,k}^{n}}$بدون أي تغيير في القاعدة.${\displaystyle G}$يقال إنه ينقسم فوق حقل وسيط${\displaystyle k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}}$إذا وفقط إذا تغير أساسها${\displaystyle G_{L}}$ل${\displaystyle L}$متماثل مع${\displaystyle G_{m,L}^{n}}$.

3. مجموعة اختزالية  ${\displaystyle G}$مُعرَّف على حقل${\displaystyle k}$تكون عملية الاختزال الانقسامي قابلة للاختزال إذا وفقط إذا كانت الطارة القصوى${\displaystyle T\subseteq G}$تم تعريفها على${\displaystyle k}$هي طارة منقسمة. بما أن أي زمرة بسيطة مختزلة، فإن الزمرة البسيطة المنقسمة تعني زمرة بسيطة مختزلة منقسمة.

4. مجموعة جبرية خطية متصلة وقابلة للحل  ${\displaystyle G}$مُعرَّف على حقل${\displaystyle k}$ينقسم إذا وفقط إذا كان له سلسلة تركيبية${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}}$تم تعريفها على${\displaystyle k}$بحيث يكون كل ناتج قسمة متتالي${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}}$متماثل مع المجموعة الضربية${\displaystyle G_{m,k}}$أو المجموعة المضافة${\displaystyle G_{m,a}}$زيادة${\displaystyle k}$.

5. مجموعة جبرية خطية  ${\displaystyle G}$مُعرَّف على حقل${\displaystyle k}$ينقسم إذا وفقط إذا كان لديه مجموعة فرعية بوريل${\displaystyle B\subseteq G}$تم تعريفها على${\displaystyle k}$والتي تنقسم بمعنى المجموعات الجبرية الخطية المتصلة والقابلة للحل.

6. في تصنيف جبر لي الحقيقي، يلعب جبر لي المنفصل دورًا هامًا. ثمة ارتباط وثيق بين زمر لي الخطية، وجبر لي المرتبط بها، والزمر الجبرية الخطية.  ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$على التوالي.${\displaystyle \mathbb {C} }$. مصطلح الانقسام له معانٍ مماثلة لنظرية لي والمجموعات الجبرية الخطية.

مستقر

1. المنحنى المستقر هو منحنى ذو بعض التفرد "الخفيف"، ويستخدم لإنشاء فضاء معياري جيد السلوك للمنحنيات .  

2. يتم استخدام حزمة متجهات مستقرة لإنشاء فضاء المعاملات لحزم المتجهات .  

كومة

تُحدد المكدسات مجموعات النقاط مع التشاكلات الذاتية.

التحويل الصارم

بعد انفجار${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {X}}\to X} على طول مخطط فرعي مغلق Z وتشكل${\displaystyle f:Y\to X}$التحويل الصارم لـ Y (ويسمى أيضًا التحويل الصحيح) هو عملية النفخ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\to Y}$من Y على طول المخطط الفرعي المغلق${\displaystyle f^{-1}Z}$إذا كانت f غمرًا مغلقًا، فإن الخريطة المستحثة${\displaystyle {\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$وهو أيضاً غمر مغلق.

مخطط فرعي

المخطط الفرعي ، بدون تحديد، من X هو مخطط فرعي مغلق لمخطط فرعي مفتوح من X.

سطح

نوع جبري ذو بُعدين.

صنف متناظر

نظير للفضاء المتناظر . انظر التنوع المتناظر .

الفضاء المماسي

انظر إلى فضاء زاريسكي المماسي .

حزمة أسطر تكرارية

حزمة الخط التكرارية لمخطط إسقاطي X هي ثنائية حزمة سير الملتوية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$؛ إنه،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$.

نظرية

انظر نظرية زاريسكي الرئيسية ، ونظرية الدوال الرسمية ، ونظرية تغيير قاعدة التماثل ، وتصنيف: نظريات في الهندسة الجبرية .

تضمين الطارة

مصطلح قديم يشير إلى نوع توريك

نوع توريك

النوع التوريكي هو نوع عادي له تأثير التوروس بحيث يكون للتوروس مدار مفتوح وكثيف.

الهندسة الاستوائية

نوع من أنواع الهندسة الجبرية الخطية المتقطعة. انظر الهندسة الاستوائية .

حلقة

الطارة المنقسمة هي ناتج ضرب عدد محدود من الزمر الضربية${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$.

عالمي

1. إذا مُثِّلَ مُوَزِّعٌ عَامِلٌ F بمخططٍ أو فضاءٍ جَبريٍّ M ، فإنَّ الكائنَ العَموميَّ هو عنصرٌ من F ( M ) يُقابلُ تشاكلَ التطابق M → M (وهو نقطةٌ M في M ). إذا كانت قيمُ F عبارةً عن فئاتِ تَشَكُّلٍ لمنحنياتٍ ذاتِ بنيةٍ إضافيةٍ، على سبيل المثال، فإنَّ الكائنَ العَموميَّ يُسمَّى منحنىً عَموميًّا . تُعدّ الحزمةُ التَحَدُّثيةُ مثالًا آخرَ على الكائنِ العَموميَّ.  

2. ليكن  ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$لتكن معاملات المنحنيات الإسقاطية الملساء من النوع g و${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}}$ذلك الذي يتكون من منحنيات إسقاطية سلسة من النوع g ذات نقاط مميزة مفردة. في الأدب، الخريطة المنسية ${\displaystyle \pi$ يُطلق على المنحنى :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}} غالبًا اسم المنحنى العالمي.

عالميًا

تتمتع التشكلات بخاصية ما بشكل شامل إذا كانت جميع تغييرات الأساس لهذه التشكلات تمتلك هذه الخاصية. ومن الأمثلة على ذلك: التشكلات السلسلية الشاملة ، والتشكلات الحقنية الشاملة .

غير متفرع

من أجل نقطة${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y}$، ضع في اعتبارك التشاكل المقابل للحلقات المحلية ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}}$. يترك${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ليكن المثال الأسمى لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$ودع ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$ كن المثال الذي تولده صورة${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$التشوه${\displaystyle f}$تكون غير متفرعة (أو غير متفرعة من النوع G ) إذا كانت من النوع المحدود محليًا (أو من العرض المحدود محليًا) وإذا كان لكل${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y}$،${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$هو المثال الأقصى لـ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$والخريطة المستحثة ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$ هو امتداد حقل قابل للفصل محدود . ^{[ 21 ]} هذا هو الإصدار الهندسي (والتعميم) لامتداد حقل غير متفرع في نظرية الأعداد الجبرية .