مفارقة الساحل

مفارقة خط الساحل هي الملاحظة غير البديهية التي مفادها أن خط ساحل كتلة اليابسة ليس له طول محدد جيدًا. وينتج هذا عن خصائص الخطوط الساحلية الشبيهة بالمنحنيات الكسورية ؛ أي حقيقة أن خط الساحل له عادةً بعد كسوري . وعلى الرغم من أن "مفارقة الطول" قد لاحظها سابقًا هوجو شتاينهاوس ، ^[1] إلا أن أول دراسة منهجية لهذه الظاهرة كانت بواسطة لويس فراي ريتشاردسون ، ^{[2] [3]} وتم توسيعها بواسطة بينوا ماندلبروت . ^{[4] [5]}

يعتمد طول الخط الساحلي المقاس على الطريقة المستخدمة في قياسه ودرجة التعميم الخرائطي . ونظرًا لأن كتلة اليابسة لها سمات بجميع المقاييس، من مئات الكيلومترات في الحجم إلى أجزاء صغيرة من المليمتر وما دون ذلك، فلا يوجد حجم واضح لأصغر سمة يجب أخذها في الاعتبار عند القياس، وبالتالي لا يوجد محيط واحد محدد جيدًا لكتلة اليابسة. توجد تقريبات مختلفة عند إجراء افتراضات محددة حول الحد الأدنى لحجم السمة.

إن المشكلة تختلف اختلافًا جوهريًا عن قياس الحواف الأخرى الأكثر بساطة. فمن الممكن، على سبيل المثال، قياس طول قضيب معدني مستقيم مثالي بدقة باستخدام جهاز قياس لتحديد ما إذا كان الطول أقل من مقدار معين وأكبر من مقدار آخر - أي قياسه ضمن درجة معينة من عدم اليقين . وكلما كان جهاز القياس أكثر دقة، كلما كانت النتائج أقرب إلى الطول الحقيقي للحافة. ​​ومع ذلك، في حالة خط الساحل، فإن القياس بتفاصيل أدق وأدق لا يحسن الدقة؛ بل إنه يضيف فقط إلى الإجمالي. وعلى عكس القضيب المعدني، من المستحيل حتى من الناحية النظرية الحصول على قيمة دقيقة لطول خط الساحل.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، يتم توسيع مفارقة الخط الساحلي بسهولة إلى مفهوم الأسطح الكسورية ، حيث تختلف مساحة السطح اعتمادًا على دقة القياس.

قبل عام 1951 بقليل، لاحظ لويس فراي ريتشاردسون ، أثناء بحثه عن التأثير المحتمل لأطوال الحدود على احتمالية الحرب، أن البرتغاليين أبلغوا عن حدودهم المقاسة مع إسبانيا بأنها 987 كم (613 ميل)، لكن الإسبان أبلغوا عنها بأنها 1214 كم (754 ميل). كانت هذه بداية مشكلة الخط الساحلي، وهي حالة عدم يقين رياضية متأصلة في قياس الحدود غير المنتظمة. ^[6]

كانت الطريقة السائدة لتقدير طول الحدود (أو الخط الساحلي) تتلخص في رسم n من المقاطع المستقيمة المتساوية الطول بطول l مع وجود فواصل على خريطة أو صورة جوية. ويجب أن يكون كل طرف من طرفي المقطع على الحدود. وفي بحثه عن التناقضات في تقدير الحدود، اكتشف ريتشاردسون ما يسمى الآن "تأثير ريتشاردسون": حيث يزداد مجموع المقاطع بشكل رتيب عندما يتناقص الطول المشترك للمقاطع. وفي الواقع، كلما كانت المسطرة أقصر، كلما كانت الحدود المقاسة أطول؛ وكان الجغرافيون الإسبان والبرتغاليون ببساطة يستخدمون مساطر ذات أطوال مختلفة.

النتيجة الأكثر إذهالاً لريتشاردسون هي أنه في ظل ظروف معينة، عندما يقترب l من الصفر، يقترب طول خط الساحل من اللانهاية . كان ريتشاردسون يعتقد، استنادًا إلى الهندسة الإقليدية، أن خط الساحل سيقترب من طول ثابت، كما تفعل التقديرات المماثلة للأشكال الهندسية المنتظمة. على سبيل المثال، يقترب محيط مضلع منتظم محصور في دائرة من المحيط مع زيادة عدد الأضلاع (وانخفاض طول أحد الأضلاع). في نظرية القياس الهندسي، يُطلق على المنحنى السلس مثل الدائرة الذي يمكن تقريبه بواسطة أجزاء مستقيمة صغيرة ذات حد محدد اسم المنحنى القابل للتقويم . ^[7] أظهر بينوا ماندلبروت أن D مستقل عن ε .

يحتاج هذا القسم إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة في هذا القسم. قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. ( فبراير 2015 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

ينشأ المفهوم الأساسي للطول من المسافة الإقليدية . في الهندسة الإقليدية، يمثل الخط المستقيم أقصر مسافة بين نقطتين . هذا الخط له طول واحد فقط. على سطح الكرة، يتم استبدال هذا بالطول الجيوديسي (يُسمى أيضًا طول الدائرة العظمى )، والذي يتم قياسه على طول منحنى السطح الموجود في المستوى الذي يحتوي على كل من نقاط النهاية ومركز الكرة. طول المنحنيات الأساسية أكثر تعقيدًا ولكن يمكن حسابه أيضًا. من خلال القياس باستخدام المسطرة، يمكن للمرء تقريب طول المنحنى عن طريق إضافة مجموع الخطوط المستقيمة التي تربط النقاط:

إن استخدام بضعة خطوط مستقيمة لتقريب طول المنحنى سيؤدي إلى تقدير أقل من الطول الحقيقي؛ فعندما يتم استخدام خطوط أقصر بشكل متزايد (وبالتالي أكثر عددًا)، يقترب المجموع من الطول الحقيقي للمنحنى، وهذا الطول هو الحد الأعلى أو الحد الأقصى لجميع هذه التقريبات. يمكن إيجاد قيمة دقيقة لهذا الطول باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، وهو الفرع من الرياضيات الذي يمكّن من حساب المسافات الصغيرة للغاية. يوضح الرسم المتحرك التالي كيف يمكن تعيين طول دقيق لمنحنى سلس بشكل مفيد:

لا يمكن قياس جميع المنحنيات بهذه الطريقة. فالكسورية هي، بحكم التعريف، منحنى لا تقل تعقيداته المدركة مع مقياس القياس. وفي حين تميل تقريبات المنحنى السلس إلى قيمة واحدة مع زيادة دقة القياس، فإن القيمة المقاسة للكسورية لا تتقارب.

نظرًا لأن طول المنحنى الكسري يتباعد دائمًا إلى ما لا نهاية، فإذا كان المرء سيقيس خط ساحلي بدقة لا نهائية أو شبه لا نهائية، فإن طول الانحناءات القصيرة اللانهائية في خط الساحل سيصل إلى ما لا نهاية. ^[8] ومع ذلك، يعتمد هذا الشكل على افتراض أن الفضاء يمكن تقسيمه إلى أقسام لا نهائية في الصغر. إن القيمة الحقيقية لهذا الافتراض - الذي يشكل أساس الهندسة الإقليدية ويعمل كنموذج مفيد في القياس اليومي - هي مسألة تكهنات فلسفية، وقد تعكس أو لا تعكس الحقائق المتغيرة لـ "الفضاء" و "المسافة" على المستوى الذري (تقريبًا بمقياس النانومتر ).

تكون الخطوط الساحلية أقل تحديدًا في بنائها من الكسيريات المثالية مثل مجموعة ماندلبروت لأنها تتشكل من أحداث طبيعية مختلفة تخلق أنماطًا بطرق عشوائية إحصائيًا ، في حين تتشكل الكسيريات المثالية من خلال تكرارات متكررة لتسلسلات بسيطة وصيغية. ^[9]

بعد أكثر من عقد من الزمان منذ أن أكمل ريتشاردسون عمله، طوّر بينوا ماندلبروت فرعًا جديدًا من الرياضيات ، وهو الهندسة الكسورية ، لوصف مثل هذه المجمعات غير القابلة للتصحيح في الطبيعة مثل خط الساحل اللانهائي. ^[10] تعريفه الخاص للشكل الجديد الذي يخدم كأساس لدراسته هو: ^[11]

لقد ابتكرت كلمة كسورية من الكلمة اللاتينية fractus . والفعل اللاتيني المقابل frangere يعني "كسر": أي إنشاء شظايا غير منتظمة. لذا فمن المنطقي ... أن تعني كلمة fractus ، بالإضافة إلى "مجزأة" ... "غير منتظمة".

في مقال " ما طول ساحل بريطانيا؟ التشابه الذاتي الإحصائي والأبعاد الكسرية "، الذي نُشر في 5 مايو 1967، ^[12] يناقش ماندلبروت المنحنيات المتشابهة ذاتيًا والتي يكون بعد هاوسدورف فيها بين 1 و2. هذه المنحنيات هي أمثلة على الكسيريات ، على الرغم من أن ماندلبروت لا يستخدم هذا المصطلح في الورقة، حيث لم يصِغه حتى عام 1975. الورقة هي واحدة من أولى منشورات ماندلبروت حول موضوع الكسيريات. ^[13]

تشير الأدلة التجريبية إلى أنه كلما كانت الزيادة في القياس أصغر، كلما أصبح الطول المقاس أطول. إذا كان المرء يقيس امتدادًا من الساحل بمسطرة ياردة ، فسيحصل على نتيجة أقصر مما لو تم قياس نفس الامتداد بمسطرة بطول قدم واحد (30 سم) . وذلك لأنه سيضع المسطرة على طول مسار أكثر انحناءً من المسار الذي تتبعه المسطرة. تشير الأدلة التجريبية إلى قاعدة تُظهر، إذا تم استقراءها، أن الطول المقاس يزداد دون حدود مع انخفاض مقياس القياس نحو الصفر. تشير هذه المناقشة إلى أنه من غير المجدي الحديث عن طول الخط الساحلي؛ هناك حاجة إلى بعض الوسائل الأخرى لقياس الخطوط الساحلية. يصف ماندلبروت بعد ذلك منحنيات رياضية مختلفة، تتعلق بندفة الثلج كوخ ، والتي تم تعريفها بطريقة تجعلها متشابهة ذاتيًا تمامًا. يوضح ماندلبروت كيفية حساب بُعد هاوسدورف لكل من هذه المنحنيات، ولكل منها بُعد D بين 1 و2 (كما يذكر أيضًا، لكنه لا يقدم، بنية لمنحنى بينو الذي يملأ الفراغ ، والذي له بُعد 2 بالضبط). لا تدعي الورقة أن أي خط ساحلي أو حدود جغرافية لها في الواقع بُعد كسري. بدلاً من ذلك، تلاحظ أن قانون ريتشاردسون التجريبي متوافق مع فكرة أن المنحنيات الجغرافية، مثل الخطوط الساحلية، يمكن نمذجتها من خلال أشكال عشوائية متشابهة ذاتيًا ذات بُعد كسري. بالقرب من نهاية الورقة، يناقش ماندلبروت بإيجاز كيف يمكن للمرء أن يتعامل مع دراسة الأشياء الشبيهة بالكسور في الطبيعة والتي تبدو عشوائية بدلاً من منتظمة. لهذا، يحدد الأشكال المتشابهة ذاتيًا إحصائيًا ويقول إن هذه الأشكال موجودة في الطبيعة. الورقة مهمة لأنها "نقطة تحول" في تفكير ماندلبروت المبكر حول الكسور. ^[14] إنه مثال على ربط الأشياء الرياضية بالأشكال الطبيعية التي كانت موضوعًا لكثير من أعماله اللاحقة.

إن إحدى الخصائص الأساسية لبعض الكسيريات هي التشابه الذاتي ؛ أي أنه في أي مقياس يظهر نفس التكوين العام. ويُنظر إلى خط الساحل على أنه خلجان تتناوب مع نتوءات صخرية. وفي الموقف الافتراضي الذي يتمتع فيه خط ساحلي معين بهذه الخاصية المتمثلة في التشابه الذاتي، فبغض النظر عن مدى كبر أي جزء صغير من خط الساحل، يظهر نمط مماثل من الخلجان والنتوءات الصخرية الأصغر حجمًا والمفروضة على الخلجان والنتوءات الصخرية الأكبر حجمًا، وصولاً إلى حبيبات الرمل. وعلى هذا المقياس، يظهر خط الساحل كخيط متحرك مؤقتًا، وربما طويل إلى ما لا نهاية، مع ترتيب عشوائي للخلجان والنتوءات الصخرية المتكونة من الأشياء الصغيرة في متناول اليد. وفي مثل هذه البيئة (على النقيض من المنحنيات الناعمة) يؤكد ماندلبروت ^[10] أن "طول خط الساحل يتبين أنه مفهوم مراوغ ينزلق بين أصابع أولئك الذين يريدون الإمساك به".

هناك أنواع مختلفة من الكسور. الخط الساحلي الذي يتمتع بالخاصية المذكورة يندرج ضمن "الفئة الأولى من الكسور، وهي المنحنيات التي يكون البعد الكسوري فيها أكبر من 1". ويمثل هذا البيان الأخير امتدادًا من جانب ماندلبروت لفكر ريتشاردسون. بيان ماندلبروت لتأثير ريتشاردسون هو: ^[15]

حيث يتم تقريب L ، طول خط الساحل، وهو دالة لوحدة القياس ε ، بواسطة التعبير. F ثابت، و D معلمة وجد ريتشاردسون أنها تعتمد على خط الساحل المقرب بواسطة L. لم يقدم أي تفسير نظري، لكن ماندلبروت حدد D بشكل غير صحيح لبعد هاوسدورف ، الذي أصبح فيما بعد البعد الكسري. إعادة ترتيب التعبير يعطي

حيث يجب أن يكون Fε ^{− D} هو عدد وحدات ε المطلوبة للحصول على L. لا يمتد الخط المتقطع الذي يقيس الساحل في اتجاه واحد ولا يمثل مساحة، ولكنه متوسط ​​بين الاثنين ويمكن اعتباره نطاقًا بعرض 2 ε . D هو بعده الكسري، ويتراوح بين 1 و2 (وعادةً أقل من 1.5). تتمتع المزيد من الخطوط الساحلية المتقطعة بـ D أكبر ، وبالتالي تكون L أطول لنفس ε . D هو تقريبًا 1.02 لساحل جنوب إفريقيا ، وحوالي 1.25 للساحل الغربي لبريطانيا العظمى. ^[5] بالنسبة لسواحل البحيرة، فإن القيمة النموذجية لـ D هي 1.28. ^[16]

تصف مفارقة الخط الساحلي مشكلة تتعلق بالتطبيقات الواقعية، بما في ذلك الأمور التافهة مثل أي نهر أو شاطئ أو حدود أو خط ساحلي هو الأطول، حيث يمثل السجلان السابقان موضوع نقاش عنيف؛ وعلاوة على ذلك، تمتد المشكلة إلى ترسيم الحدود الإقليمية وحقوق الملكية ومراقبة التآكل والتداعيات النظرية لنمذجتنا الهندسية . لحل هذه المشكلة، تم اقتراح العديد من الحلول. ^[17] تحل هذه الحلول المشاكل العملية حول المشكلة من خلال تحديد تعريف "الخط الساحلي"، وتحديد الحدود المادية العملية للخط الساحلي، واستخدام الأعداد الصحيحة الرياضية ضمن هذه القيود العملية لحساب الطول إلى مستوى ذي معنى من الدقة. ^[17] يمكن لهذه الحلول العملية للمشكلة حل المشكلة لجميع التطبيقات العملية بينما تستمر كمفهوم نظري/رياضي داخل نماذجنا. ^[18]

غالبًا ما يتم انتقاد مفارقة الخط الساحلي لأن الخطوط الساحلية هي ميزات حقيقية محدودة بطبيعتها في الفضاء، وبالتالي، هناك إجابة قابلة للقياس لطولها. ^{[17] [19]} إن المقارنة بالكسور، على الرغم من أنها مفيدة كاستعارة لشرح المشكلة، يتم انتقادها لأنها ليست دقيقة تمامًا، حيث أن الخطوط الساحلية ليست متكررة ذاتيًا وهي محدودة في الأساس. ^[17]

يعتمد مصدر المفارقة على الطريقة التي نقيس بها الواقع وهي الأكثر أهمية عند محاولة استخدام هذه القياسات لإنشاء نماذج خرائطية للسواحل. ^[19] جعلت التكنولوجيا الحديثة ، مثل LiDAR وأنظمة تحديد المواقع العالمية وأنظمة المعلومات الجغرافية ، معالجة المفارقة أسهل بكثير؛ ومع ذلك، لا تزال قيود قياسات المسح وبرامج المتجهات قائمة. ^[17] يزعم المنتقدون أن هذه المشاكل هي اعتبارات نظرية أكثر وليست عملية للمخططين. ^[17]

وبدلًا من ذلك، فإن مفهوم "خط" الساحل هو في حد ذاته بناء بشري يعتمد على تعيين بيانات المد والجزر التي ليست مسطحة بالنسبة لأي بيانات رأسية ، وبالتالي فإن أي خط يتم بناؤه بين الأرض والبحر في مكان ما في منطقة المد والجزر يكون شبه تعسفي وفي حالة تغير مستمر . وبالتالي، يمكن إنشاء عدد كبير من "خطوط الشواطئ" لأغراض تحليلية متنوعة باستخدام مصادر بيانات ومنهجيات مختلفة، ولكل منها طول مختلف. وقد يؤدي هذا إلى تعقيد تحديد كمية خدمات النظام البيئي باستخدام أساليب تعتمد على طول الشاطئ. ^[20]

• نزاع حدود ألاسكا - اختلفت المطالبات الألاسكية والكندية بشأن منطقة بانهاندل الألاسكية بشكل كبير، وذلك استنادًا إلى التفسيرات المتنافسة للعبارة الغامضة التي تحدد الحدود عند "خط موازٍ لانحناءات الساحل"، والتي تم تطبيقها على المنطقة الكثيفة بالمضايق .
• البعد الكسري
• قرن جبرائيل ، شكل هندسي ذو مساحة سطحية غير محدودة ولكن حجمه محدود
• قائمة الدول حسب طول سواحلها
• المقياس (الجغرافيا)
• مفارقة الكومة
• مفارقة السلم ، مفارقة مشابهة حيث يتقارب تقريب القطعة المستقيمة إلى قيمة مختلفة
• مفارقات زينو
• قائمة أطول الشواطئ
• قائمة أنظمة الأنهار حسب الطول
• قائمة الدول والأقاليم حسب عدد الحدود البرية

• "الخطوط الساحلية" في الهندسة الكسورية (حررها مايكل فريم وبينوا ماندلبروت ونيال نيجر؛ وتم صيانتها لمادة الرياضيات 190أ في جامعة ييل)
• أطلس كندا – الساحل والشاطئ
• مدونة NOAA GeoZone على Digital Coast
• ما هي مفارقة الساحل؟ – فيديو يوتيوب من إنتاج شركة Veritasium