رحلة ليفي

رحلة ليفي هي مسيرة عشوائية يكون فيها لأطوال الخطوات توزيع مستقر ، ^[1] وهو توزيع احتمالي ذو ذيل ثقيل . عندما يتم تعريفها على أنها مسيرة في مساحة ذات بعد أكبر من واحد، تكون الخطوات التي يتم إجراؤها في اتجاهات عشوائية متساوية الخواص . قام الباحثون اللاحقون بتوسيع استخدام مصطلح "رحلة ليفي" ليشمل أيضًا الحالات التي تحدث فيها المسيرة العشوائية على شبكة منفصلة بدلاً من مساحة متصلة. ^[2]

تم صياغة مصطلح "رحلة ليفي" على اسم بول ليفي بواسطة بينوا ماندلبروت ، ^[3] الذي استخدم هذا لتعريف محدد لتوزيع أحجام الخطوات. لقد استخدم مصطلح رحلة كوشي للحالة التي يكون فيها توزيع أحجام الخطوات عبارة عن توزيع كوشي ، ^[4] ورحلة رايلي عندما يكون التوزيع توزيعًا طبيعيًا ^[5] (وهو ليس مثالًا لتوزيع الاحتمالات ذي الذيل الثقيل).

الحالة الخاصة التي استخدم فيها ماندلبروت مصطلح "رحلة ليفي" ^[3] يتم تعريفها بواسطة دالة البقاء لتوزيع أحجام الخطوات، U ، وهي ^[6]

${\displaystyle \Pr(U>u)={\begin{cases}1&:\ u<1,\\u^{-D}&:\ u\geq 1.\end{cases}}}$

هنا D هي معلمة مرتبطة بالبعد الكسري والتوزيع هو حالة خاصة من توزيع باريتو .

تعتبر رحلات ليفي، من حيث البناء، عمليات ماركوف . بالنسبة للتوزيعات العامة لحجم الخطوة، التي تلبي شرط القوة، فإن المسافة من أصل المشي العشوائي تميل، بعد عدد كبير من الخطوات، إلى توزيع مستقر بسبب نظرية الحد المركزي المعمم ، مما يتيح نمذجة العديد من العمليات باستخدام رحلات ليفي.

يمكن نمذجة كثافات الاحتمالات للجسيمات التي تخضع لرحلة ليفي باستخدام نسخة معممة من معادلة فوكر بلانك ، والتي تُستخدم عادةً لنمذجة الحركة البراونية . تتطلب المعادلة استخدام مشتقات كسرية . بالنسبة لأطوال القفز التي لها توزيع احتمالي متماثل، تأخذ المعادلة شكلًا بسيطًا من حيث المشتق الكسري لريز . في بُعد واحد، تقرأ المعادلة على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\varphi (x,t)+\gamma {\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}}$

حيث γ ثابت مشابه لثابت الانتشار، وα هو معامل الاستقرار ^{[ بحاجة لمصدر ]} و f ( x ، t ) هو الجهد. يمكن فهم مشتق ريز من حيث تحويل فورييه الخاص به .

${\displaystyle F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=-|k|^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]}$

يمكن توسيع هذا بسهولة إلى أبعاد متعددة.

من الخصائص المهمة الأخرى لرحلة ليفي هي تباين التباينات في جميع الحالات باستثناء حالة α  = 2، أي الحركة البراونية. بشكل عام، تتباعد عزم θ الكسري للتوزيع إذا كانت α  ≤  θ . أيضًا،

${\displaystyle \left\langle |x|^{\theta }\right\rangle \propto t^{\theta /\alpha }\quad {\text{if}}\theta <\alpha .}$

يمنح التدرج الأسّي لأطوال الخطوات رحلات ليفي خاصية ثابتة للمقياس ، ^{[ بحاجة لمصدر ]} ويتم استخدامها لنمذجة البيانات التي تعرض التجميع. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

ينبع تعريف رحلة ليفي من الرياضيات المتعلقة بنظرية الفوضى وهي مفيدة في القياس العشوائي والمحاكاة للظواهر الطبيعية العشوائية أو شبه العشوائية. تشمل الأمثلة تحليل بيانات الزلازل والرياضيات المالية والتشفير وتحليل الإشارات بالإضافة إلى العديد من التطبيقات في علم الفلك وعلم الأحياء والفيزياء .

وقد وجد أن القفز بين حالات المناخ التي لوحظت في السجل المناخي القديم يمكن وصفه برحلة ليفي أو عملية مستقرة ألفا ^[7] تطبيق آخر هو فرضية البحث عن الطعام لرحلة ليفي . عندما لا تتمكن أسماك القرش والحيوانات المفترسة الأخرى في المحيط من العثور على الطعام، فإنها تتخلى عن الحركة البراونية ، وهي الحركة العشوائية التي تُرى في جزيئات الغاز الدوامة، من أجل رحلة ليفي - وهي مزيج من المسارات الطويلة والحركات العشوائية القصيرة الموجودة في السوائل المضطربة. قام الباحثون بتحليل أكثر من 12 مليون حركة تم تسجيلها على مدار 5700 يوم في 55 حيوانًا تم وضع علامة عليها بمسجل بيانات من 14 نوعًا من الحيوانات المفترسة في المحيط الأطلسي والمحيط الهادئ، بما في ذلك أسماك القرش الحريرية وسمك التونة ذات الزعانف الصفراء والمارلن الأزرق وسمك أبو سيف. أظهرت البيانات أن رحلات ليفي المتخللة بالحركة البراونية يمكن أن تصف أنماط صيد الحيوانات. ^{[8] [9] [10] [11]} تتبع الطيور والحيوانات الأخرى (بما في ذلك البشر) ^[12] مسارات تم نمذجتها باستخدام طيران ليفي (على سبيل المثال عند البحث عن الطعام). ^[13] مثال على حيوان، على وجه التحديد خنفساء، يستخدم أنماط طيران ليفي هو Pterostichus melanarius . عندما تكون الخنافس جائعة والطعام نادر، فإنها تتجنب البحث عن الفريسة في المواقع التي زارتها أفراد أخرى من Pterostichus melanarius . هذا السلوك مثالي للفرائس المنتشرة على نطاق واسع والتي قد لا يتم استهلاكها بالكامل دائمًا في وقت واحد، مثل البزاقات. ^[14]

بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا محاكاة الطيران البيولوجي على ما يبدو بواسطة نماذج أخرى مثل المسارات العشوائية المرتبطة المركبة، والتي تنمو عبر المقاييس لتتقارب مع مسارات ليفي المثالية. ^[13] يمكن ضبط المسارات البراونية المركبة بدقة لتتوافق مع مسارات ليفي المثالية نظريًا، لكنها ليست بنفس كفاءة بحث ليفي عبر معظم أنواع المناظر الطبيعية، مما يشير إلى أن ضغط الاختيار لخصائص مسار ليفي أكثر احتمالية من أنماط الانتشار الطبيعية متعددة المقاييس. ^[15]

يمكن تنفيذ التوجيه الفعال في الشبكة من خلال الروابط التي تحتوي على توزيع طول رحلة ليفي مع قيم محددة من ألفا. ^[2]

• انتشار غير طبيعي
• توزيع الذيل الدهني
• توزيع ذو ذيل ثقيل
• عملية ليفي
• توزيع ألفا المستقر حسب ليفي
• فرضية ليفي في البحث عن الطعام أثناء الرحلة

• ماندلبروت، بينوا ب. (1982). الهندسة الكسورية للطبيعة (الطبعة المحدثة والموسعة). نيويورك: دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 0-7167-1186-9. OCLC  7876824.

• تشنغ، ز.؛ سافيت، ر. (1987). "السلوك الكسري وغير الكسري في رحلات ليفي" (PDF) . مجلة الفيزياء الرياضية . 28 (3): 592. رمز Bibcode :1987JMP....28..592C. doi :10.1063/1.527644. hdl : 2027.42/70735 .
• شليزنجر، مايكل ف.؛ كلافتير، جوزيف؛ زوموفين، جيرت (ديسمبر 1999). "فوق وتحت وما وراء الحركة البراونية" (PDF) . المجلة الأمريكية للفيزياء . 67 (12): 1253-1259. رمز Bibcode :1999AmJPh..67.1253S. doi :10.1119/1.19112. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2012-03-28.

• مقارنة بين لوحات جاكسون بولوك ونموذج طيران ليفي