نظرية نوثر

جوهر نظرية نوثر هو تعميم مفهوم الإحداثيات التي يمكن تجاهلها.

يمكن افتراض أن لاغرانجيان L المعرف أعلاه ثابت تحت تأثير الاضطرابات الصغيرة (التشوهات) لمتغير الزمن t والإحداثيات المعممة q . يمكن كتابة

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t^{\prime }=t+\delta t\\\mathbf {q} &\rightarrow \mathbf {q} ^{\prime }=\mathbf {q} +\delta \mathbf {q} ~,\end{aligned}}}$

حيث تكون الاضطرابات δt و δq صغيرة، ولكنها متغيرة. وللتعميم، نفترض وجود (على سبيل المثال) N من تحويلات التناظر هذه للفعل، أي التحويلات التي لا تُغير الفعل؛ ويتم ترقيمها بمؤشر r  =  1،  2،  3،  ... ، N. 

ويمكن كتابة الاضطراب الناتج كمجموع خطي لأنواع الاضطرابات الفردية،

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta t&=\sum _{r}\varepsilon _{r}T_{r}\\\delta \mathbf {q} &=\sum _{r}\varepsilon _{r}\mathbf {Q} _{r}~,\end{aligned}}}$

حيث تمثل ε _r معاملات المعلمات المتناهية الصغر المقابلة لكل منها:

• مولد T _r للتطور الزمني ، و
• مولد Q _r للإحداثيات المعممة.

بالنسبة للتحويلات، فإن Q _r ثابت بوحدات طول ؛ أما بالنسبة للدوران، فهو تعبير خطي في مكونات q ، وتشكل المعلمات زاوية .

باستخدام هذه التعريفات، أظهر نوثر أن الكميات N

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T_{r}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\cdot \mathbf {Q} _{r}}$

يتم الحفاظ عليها ( ثوابت الحركة ).

على الرغم من فائدتها في حد ذاتها، فإن صيغة نظرية نوثر المذكورة أعلاه هي حالة خاصة من الصيغة العامة التي تم اشتقاقها عام ١٩١٥. ولإعطاء فكرة عن النظرية العامة، نقدم الآن صيغة لنظرية نوثر خاصة بالحقول المتصلة في فضاء-زمن رباعي الأبعاد. ولأن مسائل نظرية الحقول أكثر شيوعًا في الفيزياء الحديثة من مسائل الميكانيكا ، فإن هذه الصيغة الخاصة بنظرية الحقول هي الأكثر استخدامًا من بين صيغ نظرية نوثر.

لنفترض وجود مجموعة من الحقول القابلة للتفاضل${\displaystyle \varphi }$محددة على جميع الأماكن والأزمنة؛ على سبيل المثال، درجة الحرارة${\displaystyle T(\mathbf {x} ,t)}$سيكون هذا الرقم ممثلاً لهذا المجال، فهو عدد مُعرَّف في كل مكان وزمان. يمكن تطبيق مبدأ أقل فعل على هذه المجالات، لكن الفعل يصبح الآن تكاملاً على المكان والزمان.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x^{\mu }\right)\,d^{4}x}$

(يمكن تعميم النظرية بشكل أكبر لتشمل الحالة التي يعتمد فيها لاغرانجيان على المشتقة حتى ^الرتبة n ، ويمكن أيضًا صياغتها باستخدام حزم النفاثات ).

تحول مستمر للحقول${\displaystyle \varphi }$يمكن كتابتها بشكل متناهي الصغر على النحو التالي

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon \Psi ,}$

أين${\displaystyle \Psi }$هي بشكل عام دالة قد تعتمد على كليهما${\displaystyle x^{\mu }}$و${\displaystyle \varphi }$الشرط لـ${\displaystyle \Psi }$إن توليد التناظر الفيزيائي هو أن الفعل${\displaystyle {\mathcal {S}}}$تبقى ثابتة. سيكون هذا صحيحًا بالتأكيد إذا كانت كثافة لاغرانج${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يبقى ثابتًا، ولكنه سيكون صحيحًا أيضًا إذا تغيرت دالة لاغرانج بتباعد.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon \partial _{\mu }\Lambda ^{\mu },}$

بما أن تكامل التباعد يصبح حدًا حدوديًا وفقًا لنظرية التباعد ، فقد يمتلك النظام الموصوف بفعل معين تناظرات مستقلة متعددة من هذا النوع، مُفهرسة بواسطة${\displaystyle r=1,2,\ldots ,N,}$لذا فإن تحويل التناظر الأكثر عمومية يُكتب على النحو التالي

${\displaystyle \varphi \mapsto \varphi +\varepsilon _{r}\Psi _{r},}$

ونتيجة لذلك

${\displaystyle {\mathcal {L}}\mapsto {\mathcal {L}}+\varepsilon _{r}\partial _{\mu }\Lambda _{r}^{\mu }.}$

بالنسبة لهذه الأنظمة، تنص نظرية نوثر على وجود${\displaystyle N}$كثافات التيار المحفوظة

${\displaystyle j_{r}^{\nu }=\Lambda _{r}^{\nu }-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\varphi )}}\cdot \Psi _{r}}$

(حيث يُفهم من الضرب النقطي أنه يختصر مؤشرات الحقل ، وليس${\displaystyle \nu }$فهرس أو${\displaystyle r}$فِهرِس).

في مثل هذه الحالات، يتم التعبير عن قانون الحفظ بطريقة رباعية الأبعاد

${\displaystyle \partial _{\nu }j^{\nu }=0,}$

وهذا يُعبّر عن فكرة أن مقدار كمية محفوظة داخل كرة لا يتغير إلا إذا تدفق جزء منها خارج الكرة. على سبيل المثال، الشحنة الكهربائية محفوظة؛ فمقدار الشحنة داخل كرة لا يتغير إلا إذا دخلت شحنة إلى الكرة أو خرجت منها.

لنفترض أبسط حالة، وهي نظام ذو متغير مستقل واحد، وهو الزمن. ولنفترض أن المتغيرات التابعة q بحيث يكون تكامل الفعل

$${\displaystyle I=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L[\mathbf {q} [t],{\dot {\mathbf {q} }}[t],t]\,dt}$$

تظل هذه المعادلات ثابتة تحت تأثير تغيرات طفيفة للغاية في المتغيرات التابعة. بعبارة أخرى، فهي تحقق معادلات أويلر-لاغرانج.

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}[t]={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}[t].}$

ولنفترض أن التكامل ثابت تحت تناظر مستمر. رياضياً، يُعبَّر عن هذا التناظر بتدفق φ ، الذي يؤثر على المتغيرات كما يلي

${\displaystyle {\begin{aligned}t&\rightarrow t'=t+\varepsilon T\\\mathbf {q} [t]&\rightarrow \mathbf {q} '[t']=\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]=\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]\end{aligned}}}$

حيث ε هو متغير حقيقي يشير إلى مقدار التدفق، و T هو ثابت حقيقي (والذي يمكن أن يكون صفرًا) يشير إلى مقدار تحول التدفق للوقت.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}[t]\rightarrow {\dot {\mathbf {q} }}'[t']={\frac {d}{dt}}\varphi [\mathbf {q} [t],\varepsilon ]={\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T].}$

يتدفق التكامل الفعلي إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}I'[\varepsilon ]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\mathbf {q} '[t'],{\dot {\mathbf {q} }}'[t'],t']\,dt'\\[6pt]&=\int _{t_{1}+\varepsilon T}^{t_{2}+\varepsilon T}L[\varphi [\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ],{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}[\mathbf {q} [t'-\varepsilon T],\varepsilon ]{\dot {\mathbf {q} }}[t'-\varepsilon T],t']\,dt'\end{aligned}}}$

والتي يمكن اعتبارها دالة لـ ε . بحساب المشتقة عند ε = 0 وباستخدام قاعدة لايبنتز ، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}\left(-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left(-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}^{2}T+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}T\right)\,dt.\end{aligned}}}$

لاحظ أن معادلات أويلر-لاغرانج تستلزم

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T\right)&=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T\\[6pt]&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{(\partial \mathbf {q} )^{2}}}{\dot {\mathbf {q} }}\right){\dot {\mathbf {q} }}T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\ddot {\mathbf {q} }}\,T.\end{aligned}}}$

وبإدخال هذا في المعادلة السابقة، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {dI'}{d\varepsilon }}[0]={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}\,dt.\end{aligned}}}$

وباستخدام معادلات أويلر-لاغرانج مرة أخرى نحصل على

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}\right)=\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right){\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \varepsilon \partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}.}$

وبإدخال هذا في المعادلة السابقة، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}0={}&L[\mathbf {q} [t_{2}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}],t_{2}]T-L[\mathbf {q} [t_{1}],{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}],t_{1}]T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{2}]T+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}[t_{1}]T\\[6pt]&{}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{2}]-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}[t_{1}].\end{aligned}}}$

ومن ذلك يمكن للمرء أن يرى أن

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}}$

هو ثابت الحركة، أي أنه كمية محفوظة. بما أن φ[ q , 0] = q ، فإننا نحصل على${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial \mathbf {q} }}=1}$وبالتالي، تتبسط الكمية المحفوظة إلى

${\displaystyle \left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\dot {\mathbf {q} }}-L\right)T-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \varepsilon }}.}$

لتجنب التعقيد المفرط للمعادلات، افترض هذا الاشتقاق أن التدفق لا يتغير بمرور الوقت. ويمكن الحصول على النتيجة نفسها في الحالة الأكثر عمومية.

يمكن اعتبار نظرية نوثر نتيجةً للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل (المعروفة بأسماء مختلفة في الفيزياء مثل نظرية ستوكس المعممة أو نظرية التدرج ): ^{[ 14 ]} لدالة ${\textstyle S}$ التحليل في مجال ${\textstyle {\cal {D}}}$، $${\displaystyle \int _{\cal {\cal {P}}}dS=0}$$

أين${\textstyle {\cal {P}}}$هو مسار مغلق في${\textstyle {\cal {D}}}$هنا، الوظيفة${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$هي دالة الفعل التي يتم حسابها عن طريق تكامل دالة لاغرانج على المسارات المثلى، أو ما يعادلها من خلال معادلة هاميلتون-جاكوبي .${\textstyle \partial S/\partial \mathbf {q} =\mathbf {p} }$(أين${\textstyle \mathbf {p} }$(الزخم) و${\textstyle \partial S/\partial t=-H}$(أين${\textstyle H}$(حيث هاميلتوني)، يُعطى تفاضل هذه الدالة بواسطة${\textstyle dS=\mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt}$.

باستخدام المنهج الهندسي، يمكن اشتقاق الكمية المحفوظة للتناظر بمفهوم نوثر. ويُعبَّر عن التناظر بتحويل متناهي الصغر.$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q'} &=&\mathbf {q} +\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)\\t'&=&t+\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)\end{aligned}}}$$ يترك${\textstyle {\cal {C}}}$أن يكون مسارًا مثاليًا و${\textstyle {\cal {C}}'}$صورتها تحت التحويل المذكور أعلاه${\textstyle (\phi _{\mathbf {q} },\phi _{t})^{T}}$(وهو أيضاً مسار مثالي). المسار المغلق${\textstyle {\cal {P}}}$يتم اختيار التكامل كـ${\textstyle ABB'A'}$حيث الفروع${\textstyle AB}$و${\textstyle A'B'}$يتم تقديمها${\textstyle {\cal {C}}}$و${\textstyle {\cal {C}}'}$بناءً على فرضية نظرية نوثر، إلى الدرجة الأولى في${\textstyle \epsilon }$،$${\displaystyle \int _{\cal {C}}dS=\int _{{\cal {C}}'}dS}$$لذلك،$${\displaystyle \int _{A}^{A'}dS=\int _{B}^{B'}dS}$$بحسب التعريف، على${\textstyle AA'}$الفرع الذي لدينا${\textstyle d\mathbf {q} =\epsilon \phi _{\mathbf {q} }(\mathbf {q} ,t)}$و${\textstyle dt=\epsilon \phi _{t}(\mathbf {q} ,t)}$لذلك، من الدرجة الأولى في${\textstyle \epsilon }$الكمية$${\displaystyle I=\mathbf {p} \phi _{\mathbf {q} }-H\phi _{t}}$$يتم الحفاظ عليها على طول المسار.

يمكن أيضًا اشتقاق نظرية نوثر لحقول الموترات${\displaystyle \varphi ^{A}}$حيث يتراوح المؤشر A على مختلف مكونات حقول الموترات المختلفة. هذه الكميات الحقلية هي دوال معرفة على فضاء رباعي الأبعاد، تُسمى نقاطه بالإحداثيات x و ^μ، حيث يتراوح المؤشر μ على الزمن ( μ  =  0) وثلاثة أبعاد مكانية ( μ  =  1،  2،  3). هذه الإحداثيات الأربعة هي المتغيرات المستقلة، وقيم الحقول عند كل حدث هي المتغيرات التابعة. تحت تحويل متناهي الصغر، يُكتب التغير في الإحداثيات على النحو التالي:

${\displaystyle x^{\mu }\rightarrow \xi ^{\mu }=x^{\mu }+\delta x^{\mu }}$

بينما يتم التعبير عن تحويل متغيرات المجال على النحو التالي

${\displaystyle \varphi ^{A}\rightarrow \alpha ^{A}\left(\xi ^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+\delta \varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

وفقًا لهذا التعريف، فإن اختلافات المجال${\displaystyle \delta \varphi ^{A}}$ ينتج ذلك عن عاملين: التغيرات الجوهرية في المجال نفسه والتغيرات في الإحداثيات، حيث يعتمد المجال المُحوَّل α ^A على الإحداثيات المُحوَّلة ξ ^μ . ولعزل التغيرات الجوهرية، يمكن تعريف تغير المجال عند نقطة واحدة x ^μ.

${\displaystyle \alpha ^{A}\left(x^{\mu }\right)=\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)+{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\left(x^{\mu }\right)\,.}$

إذا تم تغيير الإحداثيات، فإن حدود منطقة الزمكان التي يتم فيها دمج لاغرانجيان تتغير أيضًا؛ ويتم الإشارة إلى الحدود الأصلية ونسختها المحولة على التوالي بـ Ω و Ω'.

تبدأ نظرية نوثر بافتراض أن تحويلًا محددًا للإحداثيات ومتغيرات المجال لا يُغير الفعل ، والذي يُعرَّف بأنه تكامل كثافة لاغرانج على منطقة معينة من الزمكان. ويمكن التعبير عن هذا الافتراض رياضيًا على النحو التالي:

${\displaystyle \int _{\Omega ^{\prime }}L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },\xi ^{\mu }\right)d^{4}\xi -\int _{\Omega }L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)d^{4}x=0}$

حيث يشير الرمز السفلي للفاصلة إلى مشتق جزئي بالنسبة للإحداثي (الإحداثيات) الذي يلي الفاصلة، على سبيل المثال

${\displaystyle {\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}\,.}$

بما أن ξ متغير وهمي للتكامل، وبما أن التغير في الحد Ω متناهي الصغر حسب الفرض، يمكن دمج التكاملين باستخدام النسخة رباعية الأبعاد من نظرية التباعد في الشكل التالي

${\displaystyle \int _{\Omega }\left\{\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left[L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right]\right\}d^{4}x=0\,.}$

يمكن كتابة الفرق في لاغرانجيات من الدرجة الأولى في التغيرات المتناهية الصغر على النحو التالي

${\displaystyle \left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }\,.}$

ومع ذلك، ولأن التغيرات تُعرَّف عند نفس النقطة كما هو موضح أعلاه، يمكن إجراء التغير والمشتقة بترتيب عكسي؛ فهما يتبادلان.

${\displaystyle {\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\bar {\delta }}{\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\sigma }}}={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right)\,.}$

باستخدام معادلات مجال أويلر-لاغرانج

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)={\frac {\partial L}{\partial \varphi ^{A}}}}$

يمكن كتابة الفرق في لاغرانجيات بشكل أنيق كما يلي

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[L\left(\alpha ^{A},{\alpha ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)-L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\right]\\[4pt]={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right){\bar {\delta }}\varphi ^{A}+{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}{\varphi ^{A}}_{,\sigma }={\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}\right).\end{aligned}}}$

وبالتالي، يمكن كتابة التغيير في الفعل على النحو التالي

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}d^{4}x=0\,.}$

وبما أن هذا ينطبق على أي منطقة Ω، فإن الدالة التكاملية يجب أن تكون صفرًا

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\bar {\delta }}\varphi ^{A}+L\left(\varphi ^{A},{\varphi ^{A}}_{,\nu },x^{\mu }\right)\delta x^{\sigma }\right\}=0\,.}$

يمكن كتابة الاضطراب لأي توليفة من تحويلات التناظر المختلفة

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta x^{\mu }&=\varepsilon X^{\mu }\\\delta \varphi ^{A}&=\varepsilon \Psi ^{A}={\bar {\delta }}\varphi ^{A}+\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}}$هو مشتق لي من ${\displaystyle \varphi ^{A}}$في اتجاه X ^μ . عندما${\displaystyle \varphi ^{A}}$هو كمية قياسية أو${\displaystyle {X^{\mu }}_{,\nu }=0}$،

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}={\frac {\partial \varphi ^{A}}{\partial x^{\mu }}}X^{\mu }\,.}$

تشير هذه المعادلات إلى أن تغير المجال عند نقطة واحدة يساوي

${\displaystyle {\bar {\delta }}\varphi ^{A}=\varepsilon \Psi ^{A}-\varepsilon {\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}\,.}$

يؤدي اشتقاق التباعد المذكور أعلاه بالنسبة إلى ε عند ε  =  0 وتغيير الإشارة إلى قانون الحفظ

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\sigma }}}j^{\sigma }=0}$

حيث يساوي التيار المحفوظ

${\displaystyle j^{\sigma }=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}{\mathcal {L}}_{X}\varphi ^{A}-L\,X^{\sigma }\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {\varphi ^{A}}_{,\sigma }}}\right)\Psi ^{A}\,.}$

لنفترض أن لدينا مشعبًا ريمانيًا موجهًا ذو بُعد n أو مشعبًا لورنتزيًا بشكل أعم ، M ، ومشعبًا مستهدفًا T.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ليكن فضاء التكوين للدوال الملساء من M إلى T. (بشكل أعم، يمكننا الحصول على مقاطع ملساء من حزمة ألياف T فوق M. )

من أمثلة هذا الحرف M في الفيزياء ما يلي:

• في الميكانيكا الكلاسيكية ، وفي صياغة هاميلتونية ، M هو متعدد الشعب أحادي البعد${\displaystyle \mathbb {R} }$، الذي يمثل الزمن والفضاء المستهدف هو حزمة الظل المشترك للفضاء للمواقع المعممة.
• في نظرية الحقول ، M هو فضاء الزمكان ، والفضاء المستهدف هو مجموعة القيم التي يمكن أن تأخذها الحقول عند أي نقطة معينة. على سبيل المثال، إذا كان هناك m حقلًا قياسيًا حقيقيًا ،${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{m}}$ثم يكون مشعب الهدف هو${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$إذا كان الحقل حقلًا متجهيًا حقيقيًا، فإن المتشعب المستهدف يكون متماثلًا مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

لنفترض الآن وجود دالة

${\displaystyle {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

يُطلق عليه اسم الإجراء . (يأخذ قيمًا في${\displaystyle \mathbb {R} }$بدلاً من${\displaystyle \mathbb {C} }$; هذا لأسباب مادية، وهو غير مهم لهذا الدليل.)

للوصول إلى الصيغة المعتادة لنظرية نوثر، نحتاج إلى قيود إضافية على الفعل . نفترض${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]}$هو التكامل على M لدالة

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi ,\partial _{\mu }\varphi ,x)}$

يُطلق عليها اسم كثافة لاغرانج ، وذلك اعتمادًا على${\displaystyle \varphi }$، ومشتقتها وموقعها. بعبارة أخرى، لـ${\displaystyle \varphi }$في${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}[\varphi ]\,=\,\int _{M}{\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\,d^{n}x.}$

لنفترض أن لدينا شروطًا حدودية ، أي تحديدًا لقيمة${\displaystyle \varphi }$عند الحدود إذا كانت M مجموعة متراصة ، أو حد ما على${\displaystyle \varphi }$عندما يقترب x من ∞. عندئذٍ يكون الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$تتكون من وظائف${\displaystyle \varphi }$بحيث تكون جميع المشتقات الوظيفية لـ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$في${\displaystyle \varphi }$أي أن قيمتها صفر:

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi (x)}}=0}$

وذلك${\displaystyle \varphi }$تحقق الشروط الحدية المعطاة، وهي فضاء جزئي من الحلول على الغلاف . (انظر مبدأ الفعل الثابت )

لنفترض الآن أن لدينا تحويلاً متناهي الصغر على${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، مُوَلَّدة بواسطة اشتقاق وظيفي Q ، بحيث

${\displaystyle Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]=\int _{\partial N}f^{\mu }[\varphi (x),\partial \varphi ,\partial \partial \varphi ,\ldots ]\,ds_{\mu }}$

لجميع الشعب الفرعية المدمجة N ذات البعد${\displaystyle n}$أو بعبارة أخرى،

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

لكل x ، حيث نضع

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)={\mathcal {L}}[\varphi (x),\partial _{\mu }\varphi (x),x]\;.}$

إذا تحققت هذه الخاصية على الغلاف وخارجه ، نقول إن Q تولد تناظرًا خارج الغلاف. وإذا تحققت فقط على الغلاف ، نقول إن Q تولد تناظرًا على الغلاف. وإذا كان التناظر الذي تولده Q يتكامل إلى تناظر متصل، نقول إن Q هو مولد زمرة لي ذات تناظر أحادي المعامل .

الآن، لأي قيمة N ، وبسبب نظرية أويلر-لاغرانج ، لدينا على الغلاف (وفقط على الغلاف).

${\displaystyle {\begin{aligned}Q\left[\int _{N}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{n}x\right]&=\int _{N}\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}-\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right]Q[\varphi ]\,\mathrm {d} ^{n}x+\int _{\partial N}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]\,\mathrm {d} s_{\mu }\\&=\int _{\partial N}f^{\mu }\,\mathrm {d} s_{\mu }.\end{aligned}}}$

وبما أن هذا صحيح لأي قيمة لـ N ، فإننا نحصل على

${\displaystyle \partial _{\mu }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu }\right]=0\;.}$

لكن هذه هي معادلة الاستمرارية للتيار${\displaystyle J^{\mu }}$محدد بواسطة: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle J^{\mu }\,:=\,{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}Q[\varphi ]-f^{\mu },}$

وهو ما يسمى بتيار نوثر المرتبط بالتناظر . تخبرنا معادلة الاستمرارية أنه إذا قمنا بتكامل هذا التيار على شريحة تشبه الفضاء ، فسنحصل على كمية محفوظة تسمى شحنة نوثر (بشرط، بالطبع، إذا كانت M غير متراصة، أن تتلاشى التيارات بسرعة كافية عند اللانهاية).

تُعدّ نظرية نوثر نظريةً على مستوى الغلاف : فهي تعتمد على استخدام معادلات الحركة - المسار الكلاسيكي. وهي تعكس العلاقة بين الشروط الحدية ومبدأ التباين. وبافتراض عدم وجود حدود في الفعل، فإن نظرية نوثر تعني أن

${\displaystyle \int _{\partial N}J^{\mu }ds_{\mu }=0\;.}$

تتضمن النظائر الكمومية لنظرية نوثر القيم المتوقعة (على سبيل المثال،${\textstyle \left\langle \int \partial \cdot {\textbf {J}}~d^{4}x\right\rangle =0}$) كما أن متطابقات وارد-تاكاهاشي تستكشف كميات القشرة أيضًا .

لنفترض أن لدينا اشتقاقين متناظرين Q1 _و Q2 _. إذن، [ Q1 _, Q2 ] هو أيضًا اشتقاق متناظر. دعونا نرى ذلك _بوضوح . لنفترض  $${\displaystyle Q_{1}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{1}^{\mu }}$$ و $${\displaystyle Q_{2}[{\mathcal {L}}]=\partial _{\mu }f_{2}^{\mu }}$$

ثم، $${\displaystyle [Q_{1},Q_{2}][{\mathcal {L}}]=Q_{1}[Q_{2}[{\mathcal {L}}]]-Q_{2}[Q_{1}[{\mathcal {L}}]]=\partial _{\mu }f_{12}^{\mu }}$$ أين${\displaystyle f_{12}^{\mu }=Q_{1}[f_{2}^{\mu }]-Q_{2}[f_{1}^{\mu }]}$. لذا، $${\displaystyle j_{12}^{\mu }=\left({\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}\right)(Q_{1}[Q_{2}[\varphi ]]-Q_{2}[Q_{1}[\varphi ]])-f_{12}^{\mu }.}$$