مجموعة وحدوية خاصة

في الأدبيات الفيزيائية، من الشائع تعريف جبر لي بأنه فضاء المصفوفات الهرميتية ذات الأثر الصفري (بدلاً من المصفوفات الهرميتية المائلة). أي أن جبر لي الفيزيائيين يختلف بمعامل${\displaystyle i}$من علماء الرياضيات. وباستخدام هذا الاصطلاح، يمكن للمرء اختيار مولدات T _a التي هي عبارة عن مصفوفات هيرميتية معقدة عديمة الأثر من الرتبة n × n ، حيث: $${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$$ حيث أن f هي ثوابت البنية وهي مضادة للتناظر في جميع المؤشرات، بينما معاملات d متناظرة في جميع المؤشرات.

وبالتالي، فإن المبدل هو: $${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$$ والمُبدِّل المُقابل هو: $${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$$

ينشأ عامل i في علاقة التبادل من اصطلاح الفيزياء ولا يكون موجودًا عند استخدام اصطلاح علماء الرياضيات.

شرط التطبيع التقليدي هو $${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$$

تحقق المولدات متطابقة جاكوبي: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle [T_{a},[T_{b},T_{c}]]+[T_{b},[T_{c},T_{a}]]+[T_{c},[T_{a},T_{b}]]=0.}$$

بحسب الاصطلاح، في أدبيات الفيزياء، المولدات${\displaystyle T_{a}}$تُعرَّف بأنها مصفوفات هيرميتية معقدة عديمة الأثر بمعامل 1/2 : بالنسبة لـ SU(2) ، يتم اختيار المولدات على النحو التالي :${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{1}}$،​​${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sigma _{2}}$،​${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\سيجما _{3}}$أين${\displaystyle \sigma _{a}}$هي مصفوفات باولي ، بينما في حالة SU(3) يتم تعريف${\displaystyle T_{a}={\tfrac {1}{2}}\lambda _{a}}$أين${\displaystyle \lambda _{a}}$هي مصفوفات جيل-مان . ^{[ 6 ]} وفقًا لهذه التعريفات، فإن المولدات تحقق شرط التطبيع التالي: $${\displaystyle Tr(T_{a}T_{b})={\frac {1}{2}}\delta _{ab}.}$$

في التمثيل المرافق ذي الأبعاد ( n ² − 1) ، يتم تمثيل المولدات بواسطة مصفوفات ( n ² − 1) × ( n ² − 1) ، والتي يتم تعريف عناصرها بواسطة ثوابت البنية نفسها: $${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$$

إذا نظرنا${\displaystyle \alpha ,\beta }$كزوجين في${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$أين${\displaystyle \alpha =a+bi}$و​${\displaystyle \beta =c+di}$ثم المعادلة${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$يصبح $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$$

هذه هي معادلة الكرة ثلاثية الأبعاد ^S³ . ويمكن رؤية ذلك أيضًا باستخدام تمثيل مضمن: الخريطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$يرمز إلى مجموعة المصفوفات المركبة من الرتبة 2×2، وهو تطبيق خطي حقيقي أحادي (باعتبار${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$متماثل الشكل إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$و${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$متماثل الشكل إلى ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$وبالتالي ، فإن تقييد φعلى الكرة ثلاثية الأبعاد (بما أن المعيار يساوي 1 )، ويرمز له بـ S3 ^، هو تضمين للكرة ثلاثية الأبعاد على فضاء فرعي مضغوط من${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$، أي φ ( S ³ ) = SU(2) .

لذلك، باعتباره متعدد الشعب، فإن S ³ متماثل مع SU(2) ، مما يدل على أن SU(2) متصل ببساطة وأن S ³ يمكن تزويده ببنية مجموعة لي مدمجة ومتصلة .

تُسمى الكواترنيونات ذات المعيار 1 بالمتجهات الدورانية لأنها تولد مجموعة الدوران SO(3) : مصفوفة SU(2) : $${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$$ يمكن ربطها بالرباعي $${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$$

هذه الخريطة في الواقع تماثل بين المجموعات . بالإضافة إلى ذلك، فإن محدد المصفوفة هو مربع معيار الكواترنيون المقابل. من الواضح أن أي مصفوفة في SU(2) هي من هذا الشكل، وبما أن محددها يساوي 1 ، فإن معيار الكواترنيون المقابل يساوي 1. وبالتالي، فإن SU(2) متماثلة مع مجموعة المتجهات. ^{[ 8 ]} 

يرتبط كل متجه دوراني بشكل طبيعي بدوران مكاني في ثلاثة أبعاد، ويرتبط حاصل ضرب المتجهات الدورانية بتركيب الدورانات المرتبطة بها. علاوة على ذلك، ينشأ كل دوران من متجهين دورانيين فقط بهذه الطريقة. باختصار: يوجد تشاكل شامل بنسبة 2:1 من SU(2) إلى SO(3) ؛ وبالتالي، فإن SO(3) متماثل مع مجموعة القسمة SU(2)/{±I} ، ويتم الحصول على المتشعب الأساسي لـ SO(3) بتحديد النقاط المتقابلة للكرة ثلاثية الأبعاد S3 ، ^و SU (2) هو الغطاء الشامل لـ SO(3) .

يتكون جبر لي لـ SU(2) من مصفوفات هيرميتية ملتوية من الرتبة 2 × 2 ذات أثر يساوي صفرًا. ^{[ 9 ]} وهذا يعني صراحةً $${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$$

ثم يتم توليد جبر لي بواسطة المصفوفات التالية، $${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$$ والتي لها شكل العنصر العام المحدد أعلاه.

ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$باستخدام مصفوفات باولي .

هذه تحقق علاقات الكواترنيون ⁠${\displaystyle u_{2}u_{3}=-u_{3}u_{2}=u_{1}}$،​​${\displaystyle u_{3}u_{1}=-u_{1}u_{3}=u_{2}}$و​​${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}u_{1}=u_{3}}$وبالتالي ،يتم تحديد قوس التبديل بواسطة$${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$$

ترتبط المولدات المذكورة أعلاه بمصفوفات باولي من خلال${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1},u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$و​${\displaystyle mu_{3}=+i\ \sigma _{3}}$يُستخدم هذا التمثيل بشكل روتيني في ميكانيكا الكم لتمثيل دوران الجسيمات الأساسية مثل الإلكترونات . كما تُستخدم هذه المتجهات كمتجهات وحدة لوصف أبعادنا المكانية الثلاثة في جاذبية الكم الحلقية . وهي تُقابل أيضًا بوابات باولي X وY وZ ، وهي مولدات قياسية لبوابات الكيوبت المفردة، والتي تُقابل الدوران ثلاثي الأبعاد حول محاور كرة بلوخ .

تُستخدم جبر لي لحساب تمثيلات SU(2) .

المجموعة SU(3) هي مجموعة لي بسيطة الاتصال ومتراصة. ^{[ 10 ]} يمكن فهم بنيتها الطوبولوجية من خلال ملاحظة أن SU(3) تؤثر بشكل متعدٍ على كرة الوحدة${\displaystyle S^{5}}$في​${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$. يكون مُثبِّت أينقطة في الكرة متماثلًا مع SU(2) ، وهي كرة ثلاثية الأبعاد من الناحية الطوبولوجية. ويترتب على ذلك أن ^{SU(3) عبارة عن حزمة ليفية فوق القاعدة S5 مع الليف S3 .} وبما أن الألياف والقاعدة متصلة اتصالًا بسيطًا ، فإن الاتصال البسيط لـ SU(3) يتبع من خلال نتيجة طوبولوجية قياسية ( المتتالية التامة الطويلة لمجموعات التماثل للحزم الليفية). ^{[ 11 ]}

يتم تصنيف حزم SU (2) على S ^{5 بواسطة}${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$بما أن أي حزمة من هذا القبيل يمكن إنشاؤها من خلال النظر إلى الحزم التافهة على نصفي الكرة الأرضية${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$وبالنظر إلى دالة الانتقال عند تقاطعهما، وهي نسخة من S ⁴ ، لذلك $${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$$

بعد ذلك، يتم تصنيف جميع دوال الانتقال هذه حسب فئات التماثل للخرائط $${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$$ وكما${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$بدلاً من${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$لا ^يمكن أن تكون SU(3) هي الحزمة التافهة ^{SU( 2} ) × S₅ ≅ S₃ ^× S₅ ، وبالتالي يجب أن تكون الحزمة غير التافهة (الملتوية) الوحيدة. ويمكن إثبات ذلك بالنظر إلى المتتالية التامة الطويلة المستحثة على مجموعات التماثل.

إن نظرية تمثيل SU(3) مفهومة جيدًا. ^{[ 12 ]} وصف هذه التمثيلات، من وجهة نظر جبر لي المعقد الخاص بها .${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$⁠ ، يمكن العثور عليها في المقالات المتعلقة بتمثيلات جبر لي أو معاملات كليبيش-جوردان لـ SU(3) .

مولدات جبر لي ، T${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$من SU(3) في التمثيل المحدد (فيزياء الجسيمات، الهرميتية)، هي $${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$$ حيث أن λ _a ، مصفوفات جيل مان ، هي نظير SU(3) لمصفوفات باولي لـ SU(2) : $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

تُغطي هذه القيم λ _a جميع المصفوفات الهرميتية عديمة الأثر H لجبر لي ، كما هو مطلوب. لاحظ أن λ ₂ و λ ₅ و λ ₇ متناظرة عكسيًا.

إنهم يطيعون العلاقات $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$$ أو، على نحو مماثل، $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$$

تمثل f ثوابت بنية جبر لي، المعطاة بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$$ بينما جميع عناصر f _abc الأخرى غير المرتبطة بهذه العناصر بالتبديل تساوي صفرًا. وبشكل عام، تتلاشى هذه العناصر ما لم تحتوي على عدد فردي من المؤشرات من المجموعة {2، 5، 7} . ^{[ ج ]}

تأخذ المعاملات المتناظرة d القيم التالية $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$$

تختفي هذه العناصر إذا كان عدد المؤشرات من المجموعة {2، 5، 7} فرديًا.

يمكن التعبير عن ^عنصر مجموعة SU(3) العام الناتج عن مصفوفة هيرميتية 3 × 3 عديمة الأثر H ، والمُعَيَّرة كـ tr( H2 ) = 2 ، على أنه متعدد حدود مصفوفة من الدرجة الثانية في H : ^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$$ أين $${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$$

ومن الأمثلة المهمة على هذا النوع من المجموعات مجموعة بيكارد النمطية${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$والذي يعمل (إسقاطيًا) على الفضاء الزائدي المركب ذي البعدين، بنفس الطريقة التي${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$تؤثر (إسقاطياً) على الفضاء الزائدي الحقيقي ذي البعد الثاني. في عام 2005، قام غابور فرانسيكس ^وبيتر لاكس بحساب مجال أساسي صريح لتأثير هذه المجموعة على HC ^2. [ ^{18 ]}

مثال آخر هو${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$، وهو متماثل مع${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$⁠ .