الفضاء ثلاثي الأبعاد

في الرياضيات، يصف علم الهندسة التحليلية (ويُسمى أيضًا الهندسة الديكارتية) كل نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام ثلاثة إحداثيات. تُعطى ثلاثة محاور إحداثية ، كل منها عمودي على المحورين الآخرين عند نقطة الأصل ، وهي نقطة تقاطعها. وعادةً ما تُسمى هذه المحاور x و y و z . بالنسبة لهذه المحاور، يُحدد موضع أي نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثية مرتبة من الأعداد الحقيقية ، حيث يُمثل كل عدد منها بُعد تلك النقطة عن نقطة الأصل مُقاسًا على طول المحور المُعطى، وهو ما يُساوي بُعد تلك النقطة عن المستوى الذي يُحدده المحوران الآخران. ^{[ 21 ]}

تشمل الطرق الشائعة الأخرى لوصف موقع نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد الإحداثيات الأسطوانية والإحداثيات الكروية ، على الرغم من وجود عدد لا نهائي من الطرق الممكنة. ^{[ 22 ] [ 23 ]} للمزيد، انظر الفضاء الإقليدي .

فيما يلي صور للأنظمة المذكورة أعلاه.

• 
  نظام الإحداثيات الديكارتية
• 
  نظام الإحداثيات الأسطوانية
• 
  نظام الإحداثيات الكروية

تحدد نقطتان مختلفتان دائمًا خطًا مستقيمًا . أما ثلاث نقاط مختلفة فتكون إما على استقامة واحدة أو تحدد مستوىً واحدًا . من ناحية أخرى، يمكن أن تكون أربع نقاط مختلفة إما على استقامة واحدة، أو في مستوى واحد ، أو تحدد الفضاء بأكمله. ^{[ 24 ]}

يمكن لخطين مختلفين أن يتقاطعا أو يكونا متوازيين أو يكونا متخالفين . يقع الخطان المتوازيان، أو الخطان المتقاطعان ، في مستوى واحد، لذا فإن الخطوط المتخالفة هي خطوط لا تلتقي ولا تقع في مستوى مشترك. ^{[ 25 ]}

يمكن لمستويين مختلفين أن يلتقيا في خط مشترك أو أن يكونا متوازيين (أي لا يلتقيان). ^{[ 25 ]} يمكن لثلاثة مستويات مختلفة، لا يوجد بينها مستويان متوازيان، أن تلتقي في خط مشترك، أو تلتقي في نقطة مشتركة فريدة، أو لا تشترك في أي نقطة. في الحالة الأخيرة، تكون خطوط التقاطع الثلاثة لكل زوج من المستويات متوازية فيما بينها. ^{[ 26 ]}

يمكن أن يقع الخط في مستوى معين، أو يتقاطع مع ذلك المستوى في نقطة واحدة، أو يكون موازياً له. ^{[ 25 ]} في الحالة الأخيرة، يمكن تكوين خطوط في المستوى موازية للخط المعطى.

المستوى الفائق هو فضاء جزئي ذو بُعد أقل من بُعد الفضاء الكامل. المستويات الفائقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد هي الفضاءات الجزئية ثنائية الأبعاد، أي المستويات. بدلالة الإحداثيات الديكارتية، تُحقق نقاط المستوى الفائق معادلة خطية واحدة ، لذا تُوصف المستويات في هذا الفضاء ثلاثي الأبعاد بمعادلات خطية. يمكن وصف الخط بمعادلتين خطيتين مستقلتين، تُمثل كل منهما مستوىً يتقاطع مع هذا الخط. ^{[ 27 ]}

تنص نظرية فارينيون على أن نقاط منتصف أي شكل رباعي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تشكل متوازي أضلاع ، وبالتالي فهي تقع في مستوى واحد. ^{[ 28 ]}

تتكون الكرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد (وتسمى أيضًا الكرة ثنائية الأبعاد لأنها، مثل جميع الأسطح ، ثنائية الأبعاد بطبيعتها) من مجموعة جميع النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد على مسافة ثابتة r من نقطة مركزية P. يُطلق على الجسم الصلب المحصور داخل الكرة اسم الكرة ( أو الكرة ثلاثية الأبعاد ). ^{[ 29 ]}

حجم الكرة معطى بالمعادلة ^{[ 30 ]}$${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3},}$$ ومساحة سطح الكرة هي ^{[ 30 ]}$${\displaystyle A=4\pi r^{2},}$$

ينشأ نوع آخر من الكرات من كرة رباعية الأبعاد، سطحها ثلاثي الأبعاد هو الكرة ثلاثية الأبعاد : نقاط متساوية البعد عن نقطة الأصل في الفضاء الإقليدي R⁴ ^{. إذا} كانت إحداثيات نقطة ما هي P ( x , y , z , w ) ، فإن x² ⁺ y² + ^z² + ^w² = 1 ^تُميز تلك النقاط على الكرة ثلاثية الأبعاد التي مركزها نقطة الأصل . ^{[ 31 ]}

تُعدّ هذه الكرة ثلاثية الأبعاد مثالاً على فضاء ثلاثي الأبعاد : وهو فضاء يُشبه الفضاء ثلاثي الأبعاد من الناحية المحلية. ^{[ 32 ]} وبمصطلحات طوبولوجية دقيقة، فإن لكل نقطة على الكرة ثلاثية الأبعاد جوارًا متماثلًا شكليًا مع مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء ثلاثي الأبعاد.

في ثلاثة أبعاد، توجد تسعة متعددات وجوه منتظمة : خمسة مجسمات أفلاطونية محدبة وأربعة متعددات وجوه كيبلر-بوانسو غير محدبة . ^{[ 33 ]}

المضلعات المنتظمة في ثلاثة أبعاد

فصل	الأجسام الأفلاطونية					متعددات السطوح كيبلر-بوينسو
التناظر	تي دي	أوه​		أنا​
مجموعة كوكسيتر	A 3 , [3,3]	ب 3 ، [4،3]		H 3 , [5,3]
طلب	24	48		120
متعدد السطوح النظامي	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

يُطلق على السطح الناتج عن دوران منحنى مستوٍ حول خط ثابت في مستواه كمحور اسم سطح الدوران. ويُسمى المنحنى المستوي مولد السطح. أما مقطع السطح الناتج عن تقاطعه مع مستوى عمودي على المحور، فيُسمى دائرة. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

تظهر أمثلة بسيطة عندما يكون المولد خطًا مستقيمًا. إذا تقاطع خط المولد مع محور الدوران، يكون سطح الدوران مخروطًا دائريًا قائمًا ، ورأسه (قمته) هي نقطة التقاطع. أما إذا كان المولد ومحور الدوران متوازيين، فإن سطح الدوران يكون أسطوانة دائرية . ^{[ 34 ] [ 35 ]}

قياسًا على القطوع المخروطية ، فإن مجموعة النقاط التي تحقق إحداثياتها الديكارتية المعادلة العامة من الدرجة الثانية، وهي: $${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,}$$ حيث A و B و C و F و G و H و J و K و L و M أعداد حقيقية وليست جميع قيم A و B و C و F و G و H تساوي صفرًا، تسمى سطحًا تربيعيًا . ^{[ 36 ]}

توجد ستة أنواع من الأسطح التربيعية غير المنحلة : ^{[ 36 ]}

1. مجسم بيضاوي
2. سطح زائد ذو ورقة واحدة
3. سطح زائد ذو ورقتين
4. المخروط الإهليلجي
5. القطع المكافئ الإهليلجي
6. القطع المكافئ الزائدي

الأسطح التربيعية المنحلة هي المجموعة الفارغة، أو نقطة واحدة، أو خط واحد، أو مستوى واحد، أو زوج من المستويات، أو أسطوانة تربيعية (سطح يتكون من مقطع مخروطي غير منحل في المستوى π ^وجميع خطوط R³ المارة بهذا المقطع والمتعامدة على π ). ^{[ 36 ]} تُعتبر المخاريط الإهليلجية أحيانًا أسطحًا تربيعية منحلة أيضًا.

يُعد كلٌّ من السطح الزائدي ذي الورقة الواحدة والسطح المكافئ الزائدي سطحين مُسطَّرين ، أي يمكن تكوينهما من مجموعة من الخطوط المستقيمة. في الواقع، لكلٍّ منهما مجموعتان من الخطوط المولدة، عناصر كل مجموعة منفصلة، ​​ويتقاطع كل عنصر من إحدى المجموعتين، باستثناء واحد فقط، مع كل عنصر من المجموعة الأخرى. ^{[ 36 ]} تُسمى كل مجموعة منها سطحًا مُسطَّرًا . ^{[ 37 ]}

يمكن تمثيل المتجه بسهم. مقدار المتجه هو طوله، واتجاهه هو الاتجاه الذي يشير إليه السهم.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يمكن تمثيلها بثلاثية مرتبة من الأعداد الحقيقية. وتسمى هذه الأعداد مكونات المتجه.

يُعرَّف حاصل الضرب النقطي لمتجهين A = [ A ₁ , A ₂ , A ₃ ] و B = [ B ₁ , B ₂ , B ₃ ] على النحو التالي: ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}=\sum _{i=1}^{3}A_{i}B_{i}.}$

يُرمز إلى مقدار المتجه A بالرمز || A || . ويُحسب حاصل الضرب الداخلي للمتجه A = [ A1 , A2 , A3 ] مع نفسه بالرمز || _{A || .}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2},}$

مما يعطي ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}},}$

صيغة الطول الإقليدي للمتجه.

بدون الرجوع إلى مكونات المتجهات، فإن حاصل الضرب النقطي لمتجهين إقليديين غير صفريين A و B يُعطى بواسطة ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

حيث θ هي الزاوية بين A و B.​

كمثال عملي، تخيل كتلة موضوعة على سطح مائل تسحبها قوة الجاذبية إلى الأسفل . يمكن استخدام الضرب القياسي لحساب الشغل .${\displaystyle W}$يتم ذلك بواسطة متجه القوة الثابتة${\displaystyle \mathbf {g} }$يتم تطبيق ذلك بزاوية${\displaystyle \theta }$باتجاه حركة المنحدر${\displaystyle \mathbf {d} }$أي: ^{[ 40 ]}

${\displaystyle W=\mathbf {g} \cdot \mathbf {d} =\|\mathbf {g} \|\,\|\mathbf {d} \|\cos \theta }$

الضرب الاتجاهي أو الضرب المتجهي هو عملية ثنائية تُجرى على متجهين في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، ويُرمز له بالرمز ×. الضرب الاتجاهي A × B للمتجهين A و B هو متجه عمودي على كليهما، وبالتالي فهو عمودي على المستوى الذي يحتويهما. وله تطبيقات عديدة في الرياضيات والفيزياء والهندسة . ^{[ 41 ]} على سبيل المثال، يُمكن استخدامه لحساب مقدار عزم الدوران المؤثر على مسمار يُدار بواسطة مفتاح ربط، أو قوة لورنتز المؤثرة على إلكترون يتحرك عبر مجال مغناطيسي . ^{[ 42 ]}

في لغة الدوال، الضرب الاتجاهي هو دالة${\displaystyle \times$ :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} . ^{[ 43 ]}

مكونات الضرب الاتجاهي هي${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =[A_{2}B_{3}-B_{2}A_{3},A_{3}B_{1}-B_{3}A_{1},A_{1}B_{2}-B_{1}A_{2}]}$ويمكن كتابتها أيضًا في مكونات، باستخدام اصطلاح جمع أينشتاين كـ${\displaystyle (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )_{i}=\varepsilon _{ijk}A_{j}B_{k}}$أين${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$هو رمز ليفي-تشيفيتا . ^{[ 44 ]} وله الخاصية التالية:${\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =-\mathbf {B} \times \mathbf {A} }$[ ^{41 ]​}

يرتبط مقدارها بالزاوية${\displaystyle \theta }$بين${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$بواسطة الهوية ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \left\|\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right\|=\left\|\mathbf {A} \right\|\cdot \left\|\mathbf {B} \right\|\cdot \left|\sin \theta \right|.}$$

يشكل الفضاء والضرب جبرًا على حقل ، وهو ليس تبديليًا ولا تجميعيًا ، ولكنه جبر لي حيث يكون الضرب الاتجاهي هو قوس لي. ^{[ 45 ]} تحديدًا، الفضاء مع الضرب،${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},\times )}$متماثل مع جبر لي للدوران ثلاثي الأبعاد ، ويرمز له بـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$[ ^{43 ]} لتحقيق بديهيات جبر لي، بدلاً من خاصية التجميع، يحقق الضرب الاتجاهي ^{متطابقة} جاكوبي . لأي ثلاثة متجهات${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$و${\displaystyle \mathbf {C} }$^{[ 45 ]}

$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )+\mathbf {B} \times (\mathbf {C} \times \mathbf {A} )+\mathbf {C} \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )=0}$$

يمكن في فضاء ذي n بُعدًا أن نضرب n − 1 متجهًا لنحصل على متجه عمودي عليها جميعًا. ولكن إذا اقتصر الضرب على الضرب الثنائي غير التافه ذي النتائج المتجهة، فإنه لا يوجد إلا في ثلاثة وسبعة أبعاد . ^{[ 46 ]}

قد يكون من المفيد وصف الفضاء ثلاثي الأبعاد بأنه فضاء متجهي ثلاثي الأبعاد${\displaystyle V}$على الأعداد الحقيقية. وهذا يختلف عن${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$بطريقة خفية. بحكم التعريف، يوجد أساس${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ل${\displaystyle V}$وهذا يتوافق مع تماثل بين${\displaystyle V}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{38 ]} يمكن إيجاد بناء التشاكل هنا . ومع ذلك، لا يوجد "أساس مفضل" أو "أساس معياري" ^لـ${\displaystyle V}$.

من ناحية أخرى، هناك أساس مفضل لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، وهو ما يرجع إلى وصفه بأنه ناتج ديكارتي لنسخ من${\displaystyle \mathbb {R} }$، إنه،${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$، الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ^{[ 47 ]} وهذا يسمح بتعريف الإسقاطات القانونية،${\displaystyle \pi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$، أين${\displaystyle 1\leq i\leq 3}$. على سبيل المثال،${\displaystyle \pi _{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x}$وهذا يسمح بتحديد الأساس القياسي${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\text{Standard}}=\{E_{1},E_{2},E_{3}\}}$محدد بواسطة $${\displaystyle \pi _{i}(E_{j})=\delta _{ij}}$$ أين${\displaystyle \delta _{ij}}$هي دالة كرونكر دلتا . وعند كتابتها كاملة، يكون الأساس القياسي هو ^{[ 48 ]}

$${\displaystyle E_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},E_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},E_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.}$$

لذلك${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يمكن اعتبارها فضاءً متجهيًا مجردًا، بالإضافة إلى بنية إضافية تتمثل في اختيار أساس معين. وعلى العكس من ذلك،${\displaystyle V}$يمكن الحصول عليها بالبدء بـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$و"نسيان" بنية الضرب الديكارتي، أو ما يعادلها الاختيار القياسي للأساس.

على عكس فضاء المتجهات العام${\displaystyle V}$، المساحة${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُشار إليه أحيانًا باسم فضاء الإحداثيات. ^{[ 49 ]}

من الناحية الفيزيائية، يُفضّل استخدام الصيغة المجردة لتقليل افتراض البنية قدر الإمكان إذا لم تكن مُحددة بمعاملات مسألة معينة. على سبيل المثال، في مسألة ذات تناظر دوراني، يُفضّل العمل بوصف أكثر واقعية للفضاء ثلاثي الأبعاد.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يفترض هذا النموذج اختيار أساسٍ يتوافق مع مجموعة محاور. لكن في التناظر الدوراني، لا يوجد سببٌ لتفضيل مجموعة محاور على أخرى، مثلاً، نفس المجموعة بعد تدويرها بشكلٍ عشوائي. بعبارة أخرى، يؤدي اختيار محاور مُفضّلة إلى كسر التناظر الدوراني للفضاء الفيزيائي.

من الناحية الحسابية، من الضروري العمل بالوصف الأكثر تحديدًا.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$من أجل إجراء حسابات ملموسة.

يشير التدرج إلى اتجاه أكبر زيادة في دالة ما ، وإلى مقدارها. مثال على ذلك تدفق الجسيمات، حيث يمثل التدرج مقدار واتجاه التدفق عند نقطة معينة. ^{[ 53 ]} في نظام الإحداثيات المستطيلة، يمثل تدرج الدالة القابلة للتفاضل${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} }$يتم تحديده بواسطة ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

حيث تمثل i و j و k متجهات الوحدة للمحاور x و y و z على التوالي. ويُكتب ذلك في تدوين الفهرس ^{[ 55 ].}

$${\displaystyle (\nabla f)_{i}=\partial _{i}f.}$$

يشير التباعد إلى التدفق الصافي لحقل متجهي حول نقطة ما، مثل زيادة أو نقصان كثافة الجسيمات. أي ما إذا كان الموقع مصدرًا أم مصبًا . ^{[ 56 ]} تباعد حقل متجهي (قابل للتفاضل) F = U i + V j + W k ، أي دالة${\displaystyle \mathbf {F}$ :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} , يساوي الدالة ذات القيمة العددية : ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}.}$

في تدوين الفهرس، مع اتفاقية جمع أينشتاين، يكون هذا ^{[ 55 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\partial _{i}F_{i}.}$$

الدوران (أو الدوار ) هو متجه يشير إلى الدوران المحوري لحقل متجهي. عند توسيعه في الإحداثيات الديكارتية (انظر Del في الإحداثيات الأسطوانية والكروية لتمثيلات الإحداثيات الكروية والأسطوانية ) ، يكون الدوران ∇ × F ، بالنسبة لـ F المكون من _[ Fx , Fy _, Fz _] : ^{[ 57 ]}

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

ويتوسع هذا على النحو التالي: ^{[ 54 ]}

${\displaystyle \operatorname {curl} \,\mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}$

في تدوين الفهرس، مع اتفاقية جمع أينشتاين، يكون هذا ^{[ 55 ]}$${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )_{i}=\epsilon _{ijk}\partial _{j}F_{k},}$$ أين${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$هو الرمز المتناظر تمامًا، رمز ليفي-تشيفيتا .

يمكن اعتبار التكامل الخطي لدالة على طول منحنى بمثابة مجموع متصل لقيمة الدالة على طول كل زيادة متناهية الصغر من ذلك المنحنى. بالنسبة لحقل قياسي ما f  : U ⊆ R ⁿ → R ، يُعرَّف التكامل الخطي على طول منحنى أملس جزئيًا C ⊂ U كما يلي ^{[ 58 ].}

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

حيث r : [a, b] → C هي دالة تقابلية (تناظر أحادي) اختيارية للمنحنى C بحيث تعطي r ( a ) و r ( b ) نقطتي نهاية C و${\displaystyle a<b}$.

بالنسبة لحقل متجه F  : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ ، يتم تعريف التكامل الخطي على طول منحنى سلس جزئيًا C ⊂ U ، في اتجاه r ، على النحو التالي ^{[ 58 ]}

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

أين${\displaystyle \cdot }$يمثل الضرب النقطي ، و r : [a, b] → C هو تمثيل ثنائي الاتجاه للمنحنى C بحيث تعطي r ( a ) و r ( b ) نقطتي نهاية C. يُعدّ التكامل الخطي أحد أنواع التكاملات الخطية الموجودة في الفيزياء، وهو عبارة عن حلقة مغلقة مستوية، والتي تحدد دوران الدالة حول الحلقة ^{[ 59 ].}

${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} .}$

التكامل السطحي هو تعميم للتكاملات المتعددة ليشمل التكامل على الأسطح . ويمكن اعتباره نظيرًا للتكامل الخطي في التكامل الثنائي . لإيجاد صيغة صريحة للتكامل السطحي، نحتاج إلى تحديد معلمات السطح محل الاهتمام، S ، من خلال اعتبار نظام إحداثيات منحنية على S ، مثل خطوط الطول والعرض على الكرة . ولتكن هذه المعلمات x ( s , t )، حيث تتغير ( s , t ) في منطقة T في المستوى . عندئذٍ، يُعطى التكامل السطحي بالصيغة التالية:

${\displaystyle \iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

حيث يُمثل التعبير بين الخطين على الجانب الأيمن مقدار الضرب الاتجاهي للمشتقات الجزئية لـ x ( s , t ) ، ويُعرف باسم عنصر السطح . وبالنظر إلى حقل متجه v على S ، أي دالة تُسند لكل x في S متجهًا v ( x )، يُمكن تعريف التكامل السطحي عنصرًا عنصرًا وفقًا لتعريف التكامل السطحي لحقل قياسي؛ والنتيجة هي متجه.

التكامل الحجمي هو تكامل على مجال أو منطقة ثلاثية الأبعاد . عندما تكون الدالة المراد تكاملها تافهة (تساوي واحدًا)، فإن التكامل الحجمي هو ببساطة حجم المنطقة . ^{[ 60 ] [ 1 ]} ويمكن أن يعني أيضًا التكامل الثلاثي داخل منطقة D في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد (R³ ⁾ لدالة ما.${\displaystyle f(x,y,z),}$وعادة ما تُكتب على النحو التالي:

${\displaystyle \iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}$

تنص النظرية الأساسية للتكاملات الخطية على أنه يمكن حساب التكامل الخطي عبر حقل التدرج عن طريق حساب الحقل القياسي الأصلي عند نقاط نهاية المنحنى. ^{[ 61 ]}

يترك${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. ثم

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .}$

تربط نظرية ستوكس التكامل السطحي لدوران حقل متجه F على سطح Σ في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بالتكامل الخطي لحقل المتجه على حدوده ∂Σ: ^{[ 62 ]}

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .}$

لنفترض أن V هي مجموعة جزئية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(في حالة n = 3، يُمثل V حجمًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد) وهو حجم مضغوط وله حدود ناعمة جزئيًا S (يُشار إليها أيضًا بـ ∂V = S ). إذا كان F حقلًا متجهيًا قابلًا للتفاضل باستمرار مُعرَّفًا على جوار V ، فإن نظرية التباعد تنص على ما يلي : ^{[ 63 ]}

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

يمثل الطرف الأيسر تكاملاً حجمياً على الحجم V ، بينما يمثل الطرف الأيمن تكاملاً سطحياً على حدود الحجم V. والمتشعب المغلق ∂V هو عموماً حدود V الموجهة بواسطة متجهات عمودية متجهة للخارج ، و n هو حقل المتجهات العمودية المتجهة للخارج للحدود ∂V . ( يمكن استخدام dS كاختصار لـ n dS ) .