تخمين

تعتمد الرياضيات الرسمية على الحقيقة القابلة للإثبات . في الرياضيات، مهما بلغ عدد الحالات التي تدعم فرضية كمية شاملة ، لا يكفي لإثبات صحة هذه الفرضية، إذ يكفي وجود مثال مضاد واحد لإبطالها فورًا. تنشر المجلات الرياضية أحيانًا نتائج ثانوية لفرق بحثية وسّعت نطاق البحث عن مثال مضاد. على سبيل المثال، تم اختبار فرضية كولاتز ، التي تتعلق بمسألة انتهاء سلاسل معينة من الأعداد الصحيحة ، لجميع الأعداد الصحيحة حتى 1.2 × 10¹² (1.2 ^{تريليون} ). مع ذلك، فإن عدم العثور على مثال مضاد بعد بحث مكثف لا يُعدّ دليلًا على صحة الفرضية، لأن الفرضية قد تكون خاطئة ولكن مع وجود مثال مضاد صغير جدًا.

ومع ذلك، غالباً ما يعتبر علماء الرياضيات الفرضية مدعومة بقوة بالأدلة حتى وإن لم تُثبت بعد. وقد تكون هذه الأدلة من أنواع مختلفة، مثل التحقق من نتائجها أو وجود روابط قوية مع نتائج معروفة. ^{[ 5 ]}

لا تُعتبر الفرضية مُثبتة إلا إذا ثبت منطقياً استحالة خطئها. توجد طرقٌ عديدةٌ لإثبات ذلك؛ راجع طرق البرهان الرياضي لمزيدٍ من التفاصيل.

إحدى طرق البرهان، التي تُطبّق عندما يكون عدد الحالات التي قد تُؤدي إلى أمثلة مضادة محدودًا، تُعرف باسم " التجربة الشاملة ": في هذه الطريقة، تُدرس جميع الحالات الممكنة ويُثبت أنها لا تُؤدي إلى أمثلة مضادة. في بعض الأحيان، يكون عدد الحالات كبيرًا جدًا، وفي هذه الحالة قد يتطلب البرهان بالتجربة الشاملة، عمليًا، استخدام خوارزمية حاسوبية للتحقق من جميع الحالات. على سبيل المثال، شُكّك في البداية بصحة البراهين الحاسوبية بالتجربة الشاملة لنظرية الألوان الأربعة في عامي 1976 و1997، ولكن تم تأكيدها في النهاية عام 2005 بواسطة برنامج لإثبات النظريات .

عندما يتم إثبات فرضية ما ، فإنها لم تعد مجرد فرضية بل أصبحت نظرية . العديد من النظريات المهمة كانت في الأصل فرضيات، مثل نظرية الهندسة (التي حلت فرضية بوانكاريه )، ونظرية فيرما الأخيرة ، وغيرها.

تُعرف الفرضيات التي تم دحضها من خلال الأمثلة المضادة أحيانًا بالفرضيات الخاطئة (انظر فرضية بوليا وفرضية مجموع القوى لأويلر ). في حالة الأخيرة، تضمن أول مثال مضاد تم العثور عليه لحالة n=4 أعدادًا بالملايين، على الرغم من أنه تم اكتشاف لاحقًا أن المثال المضاد الأدنى أصغر في الواقع.

لا تُثبت صحة أو خطأ كل فرضية. فقد تبين في نهاية المطاف أن فرضية الاستمرارية ، التي تسعى إلى تحديد العدد النسبي لمجموعات لانهائية معينة ، مستقلة عن مجموعة بديهيات زيرميلو-فرانكل المقبولة عمومًا في نظرية المجموعات. ولذلك، من الممكن اعتماد هذه الفرضية، أو نفيها، كبديهية جديدة بطريقة متسقة (تمامًا كما يمكن اعتبار مسلمة التوازي لإقليدس صحيحة أو خاطئة في نظام بديهي للهندسة).

في هذه الحالة، إذا استخدم برهانٌ ما هذه العبارة، فغالبًا ما يبحث الباحثون عن برهانٍ جديد لا يتطلب هذه الفرضية (كما هو الحال في الهندسة الإقليدية حيث يُفضَّل إثبات العبارات باستخدام بديهيات الهندسة المحايدة فقط، أي دون مسلمة التوازي). والاستثناء الرئيسي الوحيد عمليًا هو بديهية الاختيار ، إذ لا يهتم معظم الباحثين عادةً بما إذا كانت النتيجة تتطلبها أم لا، إلا إذا كانوا يدرسون هذه البديهية تحديدًا.

في نظرية الأعداد ، تنص نظرية فيرما الأخيرة (التي تسمى أحيانًا حدسية فيرما ، خاصة في النصوص القديمة) على أنه لا يوجد ثلاثة أعداد صحيحة موجبة${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$يمكن أن يحقق المعادلة${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$لأي قيمة عددية صحيحة لـ${\displaystyle n}$أكبر من اثنين.

طُرحت هذه النظرية لأول مرة على لسان بيير دي فيرما عام 1637 في هامش نسخة من كتابه "الحساب" ، حيث ادعى أن لديه برهانًا أطول من أن يتسع في الهامش. ^{[ 6 ]} نُشر أول برهان ناجح عام 1994 على يد أندرو وايلز ، ونُشر رسميًا عام 1995، بعد 358 عامًا من جهود علماء الرياضيات. حفّزت هذه المسألة التي لم تُحل بعدُ تطوير نظرية الأعداد الجبرية في القرن التاسع عشر، وبرهان نظرية النمطية في القرن العشرين. تُعدّ هذه النظرية من أبرز النظريات في تاريخ الرياضيات ، وقبل برهانها، كانت مُدرجة في موسوعة غينيس للأرقام القياسية لأصعب المسائل الرياضية. ^{[ 7 ]}

في الرياضيات ، تنص نظرية الألوان الأربعة ، أو نظرية خريطة الألوان الأربعة، على أنه عند تقسيم أي مستوى إلى مناطق متجاورة ، مما ينتج عنه شكل يُسمى خريطة ، لا يلزم أكثر من أربعة ألوان لتلوين مناطق الخريطة، أي لا توجد منطقتان متجاورتان لهما نفس اللون. تُسمى منطقتان متجاورتين إذا كانتا تشتركان في حد مشترك ليس زاوية، حيث الزوايا هي النقاط المشتركة بين ثلاث مناطق أو أكثر. ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، في خريطة الولايات المتحدة الأمريكية، تُعد ولايتا يوتا وأريزونا متجاورتين، بينما لا تُعد ولايتا يوتا ونيو مكسيكو متجاورتين، لأنهما تشتركان فقط في نقطة تنتمي أيضًا إلى ولايتي أريزونا وكولورادو.

أشار موبيوس إلى هذه المشكلة في محاضراته منذ عام 1840. ^{[ 9 ]} طُرحت الفرضية لأول مرة في 23 أكتوبر 1852 ^{[ 10 ]} عندما لاحظ فرانسيس غوثري ، أثناء محاولته تلوين خريطة مقاطعات إنجلترا، أن أربعة ألوان مختلفة فقط كافية. تنص نظرية الألوان الخمسة ، التي لها برهان بسيط، على أن خمسة ألوان تكفي لتلوين الخريطة، وقد تم إثباتها في أواخر القرن التاسع عشر؛ ^{[ 11 ]} إلا أن إثبات أن أربعة ألوان تكفي كان أصعب بكثير. وقد ظهر عدد من البراهين الخاطئة والأمثلة المضادة الخاطئة منذ أول بيان لنظرية الألوان الأربعة في عام 1852.

تم إثبات نظرية الألوان الأربعة نهائيًا عام ١٩٧٦ على يد كينيث أبيل وولفغانغ هاكن . وكانت أول نظرية رئيسية تُثبت باستخدام الحاسوب . بدأ أبيل وهاكن بإثبات وجود مجموعة محددة من ١٩٣٦ دالة، لا يمكن لأي منها أن تكون جزءًا من أصغر مثال مضاد لنظرية الألوان الأربعة (أي، لو ظهرت، لأمكن إنشاء مثال مضاد أصغر). استخدم أبيل وهاكن برنامج حاسوب متخصصًا للتأكد من أن كل دالة من هذه الدوال تتمتع بهذه الخاصية. إضافةً إلى ذلك، يجب أن تحتوي أي دالة يُحتمل أن تكون مثالًا مضادًا على جزء يشبه إحدى هذه الدوال الـ ١٩٣٦. بعد تحليل يدوي مطول استغرق مئات الصفحات، خلص أبيل وهاكن إلى أنه لا يوجد أصغر مثال مضاد، لأن أي مثال مضاد يجب أن يحتوي على إحدى هذه الدوال الـ ١٩٣٦، ولكنه لا يحتوي عليها. هذا التناقض يعني أنه لا توجد أمثلة مضادة على الإطلاق، وبالتالي فإن النظرية صحيحة. في البداية، لم يقبل علماء الرياضيات برهانهم إطلاقاً، لأن البرهان المُساعد بالحاسوب كان من المستحيل على الإنسان التحقق منه يدوياً. ^{[ 12 ]} ومع ذلك، فقد حظي البرهان منذ ذلك الحين بقبول أوسع، على الرغم من استمرار وجود بعض الشكوك. ^{[ 13 ]}

الفرضية الرئيسية ( Hauptvermutung ) في الطوبولوجيا الهندسية هي فرضية مفادها أن أي مثلثين في فضاء قابل للتثليث لهما تنقيح مشترك، وهو مثلث واحد يمثل تقسيمًا فرعيًا لكليهما. وقد صاغها شتاينيتز وتيتز في الأصل عام ^1908. [ ^{14 ]}

ثبت الآن خطأ هذه الفرضية. وقد دحض جون ميلنور ^{[ 15 ]} النسخة غير المتشعبة منها عام 1961 باستخدام نظرية التواء ريديميستر .

النسخة المتعددة الشعب صحيحة في الأبعاد m ≤ 3. وقد تم إثبات الحالتين m = 2 و 3 بواسطة تيبور رادو وإدوين إي. مويس ^{[ 16 ]} في عشرينيات وخمسينيات القرن العشرين على التوالي.

في الرياضيات ، كانت تخمينات ويل عبارة عن بعض المقترحات المؤثرة للغاية التي قدمها أندريه ويل ( 1949 ) حول الدوال المولدة (المعروفة باسم دوال زيتا المحلية ) المستمدة من حساب عدد النقاط على الأصناف الجبرية فوق الحقول المنتهية . 

تحتوي المتنوعة V على حقل منتهٍ ذي q عنصرًا على عدد منتهٍ من النقاط النسبية ، بالإضافة إلى نقاط على كل حقل منتهٍ ذي q ^k عنصرًا يحتوي على ذلك الحقل. وتستمد الدالة المولدة معاملاتها من عدد النقاط N _k على الحقل (الفريد أساسًا) ذي q ^k عنصرًا.

افترض ويل أن دوال زيتا هذه يجب أن تكون دوالًا كسرية ، وأن تحقق شكلًا من أشكال المعادلة الدالية ، وأن تكون أصفارها محصورة في مواضع محددة. وقد صُممت النقطتان الأخيرتان بوعي تام على غرار دالة زيتا لريمان وفرضية ريمان . وقد أثبت دورك (1960) كسرية الدالة، وأثبت غروتينديك (1965) صحة المعادلة الدالية ، وأثبت ديلين (1974) نظير فرضية ريمان .

في الرياضيات ، تُعدّ حدسية بوانكاريه نظريةً حول توصيف الكرة ثلاثية الأبعاد ، وهي الكرة الفائقة التي تُحيط بالكرة الوحدوية في الفضاء رباعي الأبعاد. وتنص الحدسية على ما يلي:

كل مشعب ثلاثي الأبعاد مغلق ومتصل ببساطة يكون متماثلاً مع الكرة ثلاثية الأبعاد.

يتضمن شكل مكافئ من التخمين شكلاً أكثر خشونة من التكافؤ من التماثل الموضعي يسمى التكافؤ المتماثل : إذا كان متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد مكافئًا متماثلًا للكرة ثلاثية الأبعاد، فإنه بالضرورة متماثل موضعيًا معها.

افترض هنري بوانكاريه هذه النظرية لأول مرة عام ١٩٠٤، وهي تتعلق بفضاء يبدو محليًا كفضاء ثلاثي الأبعاد عادي، ولكنه متصل، ومحدود الحجم، ويفتقر إلى أي حدود ( متعدد شعب مغلق ثلاثي الأبعاد ). تنص فرضية بوانكاريه على أنه إذا كان لهذا الفضاء خاصية إضافية، وهي إمكانية تضييق كل حلقة فيه بشكل مستمر إلى نقطة، فإنه بالضرورة يكون كرة ثلاثية الأبعاد. وقد عُرفت نتيجة مماثلة في الأبعاد الأعلى منذ فترة.

بعد قرابة قرن من الجهود التي بذلها علماء الرياضيات، قدّم غريغوري بيرلمان برهانًا على الفرضية في ثلاث أوراق بحثية نُشرت عامي 2002 و2003 على موقع arXiv . وجاء هذا البرهان استكمالًا لبرنامج ريتشارد إس. هاميلتون الذي استخدم تدفق ريتشي لمحاولة حلّ المسألة. لاحقًا، قدّم هاميلتون تعديلًا على تدفق ريتشي القياسي، يُعرف باسم تدفق ريتشي مع الجراحة، لاستئصال المناطق الشاذة بشكل منهجي أثناء تطورها، بطريقة مُحكمة، لكنه لم يتمكن من إثبات "تقارب" هذه الطريقة في ثلاثة أبعاد. ^{[ 17 ]} أكمل بيرلمان هذا الجزء من البرهان. وقد تحققت عدة فرق من علماء الرياضيات من صحة برهان بيرلمان.

كانت حدسية بوانكاريه، قبل إثباتها، واحدة من أهم الأسئلة المفتوحة في علم الطوبولوجيا .

في الرياضيات، تُعرف فرضية ريمان ، التي اقترحها برنارد ريمان ( 1859 ) ، بأنها تخمين ينص على أن جميع الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان لها جزء حقيقي يساوي 1/2. ويُستخدم هذا الاسم أيضًا لبعض النظائر ذات الصلة الوثيقة، مثل فرضية ريمان للمنحنيات فوق الحقول المنتهية . 

تُشير فرضية ريمان إلى نتائج تتعلق بتوزيع الأعداد الأولية . إلى جانب التعميمات المناسبة، يعتبرها بعض علماء الرياضيات أهم مشكلة لم تُحل بعد في الرياضيات البحتة . ^{[ 18 ]} تُعد فرضية ريمان، إلى جانب حدسية غولدباخ ، جزءًا من المسألة الثامنة لهيلبرت في قائمة ديفيد هيلبرت التي تضم 23 مسألة لم تُحل ؛ وهي أيضًا إحدى مسائل جائزة معهد كلاي للرياضيات للألفية .

تُعدّ مسألة P مقابل NP من أهم المسائل غير المحلولة في علوم الحاسوب . وبصورة مبسطة، تتساءل هذه المسألة عما إذا كان بالإمكان حل أي مسألة يمكن التحقق من حلها بسرعة بواسطة الحاسوب بسرعة أيضًا؛ ويُعتقد على نطاق واسع أن الإجابة هي لا. وقد ذُكرت هذه المسألة لأول مرة في رسالة كتبها كورت غودل إلى جون فون نيومان عام 1956 ، حيث تساءل غودل عما إذا كان من الممكن حل مسألة معينة من مسائل NP-complete في زمن تربيعي أو خطي. ^{[ 19 ]} وقدّم ستيفن كوك الصيغة الدقيقة لمسألة P=NP عام 1971 في ورقته البحثية الرائدة "تعقيد إجراءات إثبات النظريات". ^{[ 20 ]} وتُعتبر هذه المسألة، في نظر الكثيرين ، أهم مسألة مفتوحة في مجال علوم الحاسوب، ^{[ 21 ]} وهي تُصنّف ضمن مسائل جائزة الألفية السبع التي اختارها معهد كلاي للرياضيات ، حيث تبلغ قيمة الجائزة مليون دولار أمريكي لأول حل صحيح.

• تخمين غولدباخ
• تخمين الأعداد الأولية المزدوجة
• تخمين كولاتز
• تخمين مانين
• تخمين مالداسينا
• حدسية أويلر ، التي اقترحها أويلر في القرن الثامن عشر، ولكن تم العثور على أمثلة مضادة لها لعدد من الأسس (بدءًا من n=4) ابتداءً من منتصف القرن العشرين
• تُعدّ حدسيات هاردي -ليتلوود زوجًا من الحدسيات المتعلقة بتوزيع الأعداد الأولية، وتُوسّع الأولى منها حدسية الأعداد الأولية التوأم المذكورة سابقًا. لم يتم إثبات أيٍّ منهما أو دحضها، ولكن ثبت أنه لا يمكن أن تكونا صحيحتين في آنٍ واحد (أي أن إحداهما على الأقل خاطئة). لم يُثبت أيّهما خاطئة، ولكن يُعتقد على نطاق واسع أن الحدسية الأولى صحيحة والثانية خاطئة. ^{[ 22 ]}
• يُعدّ برنامج لانغلاندز [ ^{23 ] شبكة} واسعة النطاق من أفكار " الفرضيات الموحدة " التي تربط بين مختلف فروع الرياضيات (على سبيل المثال، بين نظرية الأعداد ونظرية تمثيل زمر لي ). وقد تم إثبات بعض هذه الفرضيات لاحقًا.

• Deligne، Pierre (1974)، “La conjecture de Weil. I” ، منشورات Mathématiques de l’IHÉS ، 43 (43): 273–307 ، دوى : 10.1007 / BF02684373 ، ISSN 1618-1913 ، MR 0340258 ، S2CID 123139343   
• دورك، برنارد (1960)، "حول عقلانية دالة زيتا لمتنوعة جبرية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 82 (3)، المجلد 82، العدد 3: 631-648 ، doi : 10.2307/2372974 ، ISSN 0002-9327 ، JSTOR 2372974 ، MR 0140494   
• Grothendieck، Alexander (1995) [1965]، “Formule de Lefschetz et العقلانية des fonctions L”، Séminaire Bourbaki ، المجلد.  9، باريس: Société Mathématique de France ، الصفحات من 41 إلى 55، السيد 1608788