بوابة المنطق الكمومي

تصف معادلة شرودنغر كيف تتطور الأنظمة الكمومية غير المرصودة بمرور الوقت، وهي${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle .}$عندما يكون النظام في بيئة مستقرة، وبالتالي يكون له هاميلتوني ثابت ، فإن حل هذه المعادلة هو${\displaystyle U(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }.}$^{[ 1 ] : 24-25}إذا كان الوقت${\displaystyle t}$هو نفسه دائمًا، ويمكن حذفه للتبسيط، ويمكن وصف طريقة تطور الحالات الكمومية على النحو التالي:${\displaystyle U|\psi _{1}\rangle =|\psi _{2}\rangle ,}$كما هو الحال في القسم أعلاه.

أي أن البوابة الكمومية هي كيفية تطور نظام كمومي غير مرئي خلال فترة زمنية محددة، أو بعبارة أخرى، البوابة هي عامل تطور زمني وحدوي${\displaystyle U}$التأثير على حالة كمومية لفترة زمنية محددة.

بوابة الوحدة هي مصفوفة الوحدة ، والتي تُكتب عادةً بالرمز I ، وتُعرَّف لكيوبت واحد على النحو التالي:

${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

حيث يكون I مستقلاً عن الأساس ولا يُعدّل الحالة الكمومية. تُعدّ بوابة الهوية مفيدة للغاية عند وصف نتيجة عمليات البوابات المختلفة رياضياً أو عند مناقشة الدوائر متعددة الكيوبتات.

البوابات الكمومية (من الأعلى إلى الأسفل): بوابة الهوية، بوابة النفي، بوابة باولي Y، بوابة باولي Z

بوابات باولي${\displaystyle (X,Y,Z)}$هي مصفوفات باولي الثلاث${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$وتؤثر على كيوبت واحد. وتُعادل إحداثيات باولي X و Y و Z ، على التوالي، دورانًا حول محاور x و y و z لكرة بلوخ بواسطة${\displaystyle \pi }$الراديان. ^{[ ب ]}

بوابة باولي- إكس هي المكافئ الكمي لبوابة النفي (NOT) في الحواسيب الكلاسيكية بالنسبة للأساس القياسي${\displaystyle |0\rangle }$،${\displaystyle |1\rangle }$وهو ما يميز المحور z على كرة بلوخ . ويُطلق عليه أحيانًا اسم قلب البت لأنه يرسم${\displaystyle |0\rangle }$ل${\displaystyle |1\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$ل${\displaystyle |0\rangle }$وبالمثل، خرائط باولي- Y${\displaystyle |0\rangle }$ل${\displaystyle i|1\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$ل${\displaystyle -i|0\rangle }$يغادر باولي زد الحالة الأساسية${\displaystyle |0\rangle }$لم يطرأ أي تغيير على الخرائط${\displaystyle |1\rangle }$ل${\displaystyle -|1\rangle }$وبسبب هذه الطبيعة، يُطلق على باولي زد أحيانًا اسم انقلاب الطور.

تُمثل هذه المصفوفات عادةً على النحو التالي:

${\displaystyle X=\sigma _{x}=\operatorname {NOT} ={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Y=\sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle Z=\sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

مصفوفات باولي هي مصفوفات انعكاسية ، مما يعني أن مربع مصفوفة باولي هو مصفوفة الوحدة .

${\displaystyle I^{2}=X^{2}=Y^{2}=Z^{2}=-iXYZ=I}$

تتميز مصفوفات باولي أيضاً بخاصية التبادل العكسي ، على سبيل المثال${\displaystyle ZX=iY=-XZ.}$

الدالة الأسية للمصفوفة باولي${\displaystyle \sigma _{j}}$هو عامل دوران ، وغالبًا ما يُكتب على النحو التالي${\displaystyle e^{-i\sigma _{j}\theta /2}.}$

تعمل البوابات المتحكم بها على كيوبتين أو أكثر، حيث يعمل كيوبت واحد أو أكثر كعنصر تحكم في عملية ما. ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، تعمل بوابة النفي المتحكم بها (أو CNOT أو CX) على كيوبتين، وتنفذ عملية النفي على الكيوبت الثاني فقط عندما يكون الكيوبت الأول${\displaystyle |1\rangle }$وإلا فإنه يتركه دون تغيير. فيما يتعلق بالأساس${\displaystyle |00\rangle }$،${\displaystyle |01\rangle }$،${\displaystyle |10\rangle }$،${\displaystyle |11\rangle }$، ويتم تمثيلها بواسطة المصفوفة الوحدوية الهرميتية :

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

يمكن وصف بوابة CNOT (أو بوابة باولي- X المتحكم بها ) بأنها البوابة التي تحدد حالات الأساس${\displaystyle |a,b\rangle \mapsto |a,a\oplus b\rangle }$، أين${\displaystyle \oplus }$هو XOR .

يمكن التعبير عن CNOT في أساس باولي على النحو التالي:

${\displaystyle {\mbox{CNOT}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}=e^{-i{\frac {\pi }{4}}(I-Z_{1})(I-X_{2})}.}$

باعتبارها عاملًا وحدويًا هيرميتيًا، فإن CNOT تمتلك الخاصية التي${\displaystyle e^{i\theta U}=(\cos \theta )I+(i\sin \theta )U}$و${\displaystyle U=e^{i{\frac {\pi }{2}}(IU)}=e^{-i{\frac {\pi }{2}}(IU)}}$، وهو لا إرادي .

وبشكل أعم، إذا كانت U بوابة تعمل على كيوبت واحد بتمثيل مصفوفي

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{00}&u_{01}\\u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}},}$

ثم إن بوابة التحكم U هي بوابة تعمل على كيوبتين بحيث يعمل الكيوبت الأول كعنصر تحكم. وهي ترسم حالات الأساس على النحو التالي.

مخططات الدوائر لبوابات باولي المتحكم بها (من اليسار إلى اليمين): CNOT (أو المتحكم بها-X)، والمتحكم بها-Y، والمتحكم بها-Z.

${\displaystyle |00\rangle \mapsto |00\rangle }$

${\displaystyle |01\rangle \mapsto |01\rangle }$

${\displaystyle |10\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|0\rangle =|1\rangle \otimes (u_{00}|0\rangle +u_{10}|1\rangle )}$

${\displaystyle |11\rangle \mapsto |1\rangle \otimes U|1\rangle =|1\rangle \otimes (u_{01}|0\rangle +u_{11}|1\rangle )}$

المصفوفة التي تمثل U المتحكم بها هي

${\displaystyle {\mbox{C}}U={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&u_{00}&u_{01}\\0&0&u_{10}&u_{11}\end{bmatrix}}.}$

عندما يكون U أحد عوامل باولي، X أو Y أو Z ، تُستخدم أحيانًا المصطلحات "المتحكم به- X " أو "المتحكم به- Y " أو "المتحكم به- Z " على التوالي. ^{[ 4 ] : ​​177-185.} ويُختصر هذا أحيانًا إلى C X وC Y وC Z فقط .

بشكل عام، يمكن التعبير عن أي بوابة وحدوية أحادية الكيوبت على النحو التالي:${\displaystyle U=e^{iH}}$حيث H هي مصفوفة هيرميتية ، وبالتالي فإن U المتحكم بها هي${\displaystyle {\mbox{C}}U=e^{i{\frac {1}{2}}(I-Z_{1})H_{2}}.}$

يمكن توسيع نطاق التحكم ليشمل البوابات ذات عدد عشوائي من الكيوبتات ^{[ 2 ]} والدوال في لغات البرمجة. ^{[ 10 ]} ويمكن ربط الدوال بحالات التراكب. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

التحكم الكلاسيكي

يمكن أيضًا التحكم في البوابات المنطقية باستخدام المنطق الكلاسيكي. يُتحكم في الحاسوب الكمومي بواسطة حاسوب كلاسيكي ، ويعمل كمعالج مساعد يتلقى تعليمات من الحاسوب الكلاسيكي حول البوابات التي يجب تنفيذها على الكيوبتات. ^{[ 13 ] : 42-43 [ 14 ]} التحكم الكلاسيكي هو ببساطة تضمين البوابات أو حذفها من تسلسل تعليمات الحاسوب الكمومي. ^{[ 4 ] : ​​26-28 [ 1 ] : 87-88} يُعد إجراء القياسات في منتصف الدائرة الكمومية، بدلاً من نهايتها، أمرًا صعبًا ومليئًا بالتحديات التقنية بسبب مشكلات التوقيت وفقدان الترابط الكمومي . لهذا السبب، لا تدعم جميع الحواسيب الكمومية عبارات "if" الكلاسيكية هذه، حيث تُحوّل البيانات الكمومية إلى بتات، والتي بدورها تتحكم في تدفق البرنامج. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

إزاحة الطور هي مجموعة من البوابات أحادية الكيوبت التي ترسم خريطة لحالات الأساس${\displaystyle |0\rangle \mapsto |0\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle \mapsto e^{i\varphi }|1\rangle }$احتمال قياس${\displaystyle |0\rangle }$أو${\displaystyle |1\rangle }$لا يتغير بعد تطبيق هذه البوابة، إلا أنها تُعدّل طور الحالة الكمومية. وهذا يُعادل رسم دائرة أفقية (خط عرض ثابت)، أو دوران حول المحور z على كرة بلوخ بواسطة${\displaystyle \varphi }$الراديان. يتم تمثيل بوابة إزاحة الطور بالمصفوفة التالية:

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle \varphi }$يمثل هذا إزاحة الطور بفترة 2π . ومن الأمثلة الشائعة بوابة T حيث${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{4}}}$(المعروف تاريخياً باسم${\displaystyle \pi /8}$بوابة الطور (المعروفة أيضًا باسم بوابة S، وتُكتب S ، على الرغم من أن S تُستخدم أحيانًا لبوابات التبديل) حيث${\textstyle \varphi ={\frac {\pi }{2}}}$وبوابة باولي - زد حيث${\displaystyle \varphi =\pi .}$

ترتبط بوابات إزاحة الطور ببعضها البعض على النحو التالي:

${\displaystyle Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\pi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}=P\left(\pi \right)}$

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{2}}\right)={\sqrt {Z}}}$

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{4}}}\end{bmatrix}}=P\left({\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {S}}={\sqrt[{4}]{Z}}}$

لاحظ أن بوابة الطور${\displaystyle P(\varphi )}$ليس هيرميتيًا (باستثناء جميع${\displaystyle \varphi =n\pi ,n\in \mathbb {Z} }$تختلف هذه البوابات عن نظائرها الهرميتية:${\displaystyle P^{\dagger }(\varphi )=P(-\varphi )}$البوابتان المترافقتان (أو المترافقتان المنقولتان )${\displaystyle S^{\dagger }}$و${\displaystyle T^{\dagger }}$تُدرج أحيانًا في مجموعات التعليمات. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

بوابة هادامارد أو والش-هادامارد، التي سميت على اسم جاك هادامارد ( بالفرنسية: [ adamaʁ ] ) وجوزيف ل. والش ، تعمل على كيوبت واحد. وهي ترسم خريطة لحالات الأساس.${\textstyle |0\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$و${\textstyle |1\rangle \mapsto {\frac {|0\rangle -|1\rangle }{\sqrt {2}}}}$(يُنشئ حالة تراكب متساوية إذا تم إعطاؤه حالة أساس حسابي). الحالتان${\displaystyle (|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$و${\displaystyle (|0\rangle -|1\rangle )/{\sqrt {2}}}$تُكتب أحيانًا${\displaystyle |+\rangle }$و${\displaystyle |-\rangle }$على التوالي. تقوم بوابة هادامارد بدوران مقداره${\displaystyle \pi }$حول المحور${\displaystyle ({\hat {x}}+{\hat {z}})/{\sqrt {2}}}$عند كرة بلوخ ، وبالتالي فهي دالة عكسية . ويتم تمثيلها بواسطة مصفوفة هادامارد :

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

إذا كان الهرمستي (لذا${\displaystyle H^{\dagger }=H^{-1}=H}$تُستخدم بوابة هادامارد لإجراء تغيير في الأساس ، فهي تقلب الدائرة.${\displaystyle {\hat {x}}}$و${\displaystyle {\hat {z}}}$. على سبيل المثال،${\displaystyle HZH=X}$و${\displaystyle H{\sqrt {X}}\;H={\sqrt {Z}}=S.}$

تقوم بوابة التبديل بتبديل اثنين من الكيوبتات. بالنسبة للأساس${\displaystyle |00\rangle }$،${\displaystyle |01\rangle }$،${\displaystyle |10\rangle }$،${\displaystyle |11\rangle }$، ويتم تمثيلها بواسطة المصفوفة

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

يمكن تحليل بوابة التبديل إلى شكل جمعي:

${\displaystyle {\mbox{SWAP}}={\frac {I\otimes I+X\otimes X+Y\otimes Y+Z\otimes Z}{2}}}$

بوابة توفولي، التي سميت على اسم توماسو توفولي وتسمى أيضًا بوابة CCNOT أو بوابة دويتش${\displaystyle D(\pi /2)}$بوابة توفولي الكمومية هي بوابة ثلاثية البتات تُستخدم في الحوسبة الكلاسيكية، ولكنها غير مناسبة للحوسبة الكمومية. بوابة توفولي الكمومية هي نفسها، ولكنها مُعرَّفة لثلاثة كيوبتات. إذا اقتصرنا على قبول كيوبتات الإدخال التي هي${\displaystyle |0\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$إذا كانت أول بتين في الحالة${\displaystyle |1\rangle }$تُطبّق هذه البوابة شرط باولي- إكس (أو نفي) على البت الثالث، وإلا فلا تُطبّق أي شرط. وهي مثال على بوابة CC-U (بوابة وحدوية مُتحكَّم بها). وبما أنها النظير الكمومي للبوابة الكلاسيكية، فإن جدول الحقيقة الخاص بها يُحدّدها بالكامل. وتُعدّ بوابة توفولي شاملة عند دمجها مع بوابة هادامارد أحادية الكيوبت. ^{[ 19 ]}

ترتبط بوابة توفولي ببوابة AND الكلاسيكية (${\displaystyle \land }$) و XOR (${\displaystyle \oplus }$) العمليات أثناء قيامها بعملية الربط${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto |a,b,c\oplus (a\land b)\rangle }$على أساس الحالات في الحسابات.

يمكن التعبير عن بوابة توفولي باستخدام مصفوفات باولي كما يلي:

${\displaystyle {\mbox{Toff}}=e^{i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}=e^{-i{\frac {\pi }{8}}(I-Z_{1})(I-Z_{2})(I-X_{3})}.}$

يمكن أيضًا صياغة مجموعة من البوابات الكمومية العالمية ذات البوابة الواحدة باستخدام بوابة دويتش ثلاثية الكيوبتات ذات المعلمات${\displaystyle D(\theta )}$[ ^{23 ]} سُميت نسبةً إلى الفيزيائي ديفيد دويتش . وهي حالة عامة من بوابة CC-U ، أو البوابة الوحدوية المتحكم بها ، وتُعرَّف على النحو التالي ^:

${\displaystyle |a,b,c\rangle \mapsto {\begin{cases}i\cos(\theta )|a,b,c\rangle +\sin(\theta )|a,b,1-c\rangle &{\text{for}}\ a=b=1,\\|a,b,c\rangle &{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

لسوء الحظ، ظلّت بوابة دويتش العاملة بعيدة المنال، بسبب عدم وجود بروتوكول. وهناك بعض المقترحات لتحقيق بوابة دويتش باستخدام تفاعل ثنائي القطب في الذرات المتعادلة. ^{[ 24 ]}

بوابة توفولي، وهي بوابة منطقية عالمية للحوسبة الكلاسيكية العكسية، قابلة للاختزال إلى بوابة دويتش.${\displaystyle D(\pi /2)}$وبالتالي يظهر أن جميع عمليات المنطق الكلاسيكي القابلة للعكس يمكن إجراؤها على جهاز كمبيوتر كمي شامل.

توجد أيضًا بوابات ثنائية الكيوبت منفردة كافية لتحقيق الشمولية. في عام 1996، أثبت أدريانو بارينكو إمكانية تحليل بوابة دويتش باستخدام بوابة ثنائية الكيوبت منفردة فقط ( بوابة بارينكو )، إلا أن تحقيق ذلك عمليًا أمرٌ صعب. ^{[ 1 ] : 93} هذه الميزة حصرية للدوائر الكمومية، إذ لا توجد بوابة ثنائية البت كلاسيكية قابلة للعكس وشاملة في آنٍ واحد. ^{[ 1 ] : 93} يمكن استخدام بوابات ثنائية الكيوبت شاملة لتحسين الدوائر الكلاسيكية القابلة للعكس في المعالجات الدقيقة السريعة منخفضة الطاقة. ^{[ 1 ] : 93}

لنفترض أن لدينا بوابتين A و B تعملان على${\displaystyle n}$الكيوبتات. عندما يتم وضع B بعد A في دائرة متسلسلة، يمكن وصف تأثير البوابتين على أنه بوابة واحدة C.

${\displaystyle C=B\cdot A}$

أين${\displaystyle \cdot }$هي عملية ضرب المصفوفات . ستكون للبوابة الناتجة C نفس أبعاد A و B. ينعكس ترتيب ظهور البوابات في مخطط الدائرة عند ضربها معًا. ^{[ 4 ] : ​​17-18، 22-23، 62-64 [ 5 ] : 147-169}

على سبيل المثال، يمكن وصف وضع بوابة باولي X بعد بوابة باولي Y ، وكلاهما يعمل على كيوبت واحد، بأنه بوابة واحدة مدمجة C :

${\displaystyle C=X\cdot Y={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}=iZ}$

رمز المنتج (${\displaystyle \cdot }$غالباً ما يتم حذف ) .

حاصل الضرب الموتري ( أو حاصل ضرب كرونكر ) لبوابتين كموميتين هو البوابة التي تساوي البوابتين المتوازيتين. ^{[ 4 ] : ​​71-75 [ 5 ] : 148}

إذا قمنا، كما هو موضح في الصورة، بدمج بوابة باولي- Y مع بوابة باولي- X بالتوازي، فيمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle C=Y\otimes X={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&-i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\i{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}&0{\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&-i&0\\0&i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}}$

تعمل كل من بوابة باولي- X وبوابة باولي- Y على كيوبت واحد. البوابة الناتجة${\displaystyle C}$التأثير على كيوبتين.

في بعض الأحيان يتم حذف رمز الضرب الموتري، ويتم استخدام الفهارس للمعاملات بدلاً من ذلك. ^{[ 27 ]}

تحويل هادامارد

البوابة${\displaystyle H_{2}=H\otimes H}$هي بوابة هادامارد (${\displaystyle H}$) يتم تطبيقها بالتوازي على كيوبتين. ويمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle H_{2}=H\otimes H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}}$

ستؤدي "بوابة هادامارد المتوازية ثنائية الكيوبت" هذه، عند تطبيقها على سبيل المثال، إلى متجه الصفر ثنائي الكيوبت (${\displaystyle |00\rangle }$)، إنشاء حالة كمومية لها احتمال متساوٍ للملاحظة في أي من نتائجها الأربعة المحتملة؛${\displaystyle |00\rangle }$،${\displaystyle |01\rangle }$،${\displaystyle |10\rangle }$، و${\displaystyle |11\rangle }$يمكننا كتابة هذه العملية على النحو التالي :

${\displaystyle H_{2}|00\rangle ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}|00\rangle +{\frac {1}{2}}|01\rangle +{\frac {1}{2}}|10\rangle +{\frac {1}{2}}|11\rangle ={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle }{2}}}$

هنا ، تبلغ سعة كل حالة قابلة للقياس 1/2 . احتمال رصد أي حالة هو مربع القيمة المطلقة لسعة الحالة القابلة للقياس، وهو ما يعني في المثال السابق أن هناك احتمالًا بنسبة 40% لرصد أي من الحالات الأربع. راجع قسم القياس لمزيد من التفاصيل.

${\displaystyle H_{2}}$تُجري هذه البوابة تحويل هادامارد على كيوبتين. وبالمثل،${\displaystyle \underbrace {H\otimes H\otimes \dots \otimes H} _{n{\text{ times}}}=\bigotimes _{i=0}^{n-1}H=H^{\otimes n}=H_{n}}$يُجري تحويل هادامارد على سجل من${\displaystyle n}$الكيوبتات.

عند تطبيقها على سجل${\displaystyle n}$تمت تهيئة جميع الكيوبتات إلى${\displaystyle |0\rangle }$، يقوم تحويل هادامارد بوضع السجل الكمومي في حالة تراكب باحتمالية متساوية للقياس في أي من خصائصه${\displaystyle 2^{n}}$الحالات المحتملة:

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}(H|0\rangle )={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}{\Big (}|0\rangle +|1\rangle +\dots +|2^{n}-1\rangle {\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{i=0}^{2^{n}-1}|i\rangle }$

هذه الحالة عبارة عن تراكب منتظم ويتم توليدها كخطوة أولى في بعض خوارزميات البحث، على سبيل المثال في تضخيم السعة وتقدير الطور .

ينتج عن قياس هذه الحالة رقم عشوائي بين${\displaystyle |0\rangle }$و${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$[ ^{هـ ]} تعتمد عشوائية الرقم على دقة البوابات المنطقية. إذا لم يتم قياسها، فهي حالة كمومية ذات ^سعة احتمالية متساوية${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}}$لكل حالة من حالاتها الممكنة.

يعمل تحويل هادامارد على مستوى السجل${\displaystyle |\psi \rangle }$مع${\displaystyle n}$الكيوبتات بحيث${\textstyle |\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}|\psi _{i}\rangle }$على النحو التالي:

${\displaystyle \bigotimes _{i=0}^{n-1}H|\psi \rangle =\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\frac {|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\bigotimes _{i=0}^{n-1}{\Big (}|0\rangle +(-1)^{\psi _{i}}|1\rangle {\Big )}=H|\psi _{0}\rangle \otimes H|\psi _{1}\rangle \otimes \cdots \otimes H|\psi _{n-1}\rangle }$

تطبيق على الحالات المتشابكة

إذا نُظر إلى اثنين أو أكثر من الكيوبتات على أنها حالة كمومية واحدة، فإن هذه الحالة المُدمجة تُساوي حاصل الضرب الموتري للكيوبتات المُكوِّنة لها. تُسمى أي حالة يُمكن كتابتها كحاصل ضرب موتري من الأنظمة الفرعية المُكوِّنة لها حالات قابلة للفصل . من ناحية أخرى، الحالة المتشابكة هي أي حالة لا يُمكن تحليلها موتريًا، أو بعبارة أخرى: لا يُمكن كتابة الحالة المتشابكة كحاصل ضرب موتري لحالات الكيوبتات المُكوِّنة لها. يجب توخي الحذر عند تطبيق البوابات على الكيوبتات المُكوِّنة للحالات المتشابكة.

إذا كان لدينا مجموعة من N كيوبت متشابكة ونرغب في تطبيق بوابة كمومية على M < N كيوبت في المجموعة، فسيتعين علينا توسيع البوابة لتشمل N كيوبت. يمكن تحقيق ذلك بدمج البوابة مع مصفوفة الوحدة بحيث يصبح حاصل ضربهما الموتري بوابة تعمل على N كيوبت. مصفوفة الوحدة (${\displaystyle I}$يمثل هذا الشكل البوابة التي تربط كل حالة بنفسها (أي أنها لا تفعل شيئًا على الإطلاق). في مخطط الدائرة، غالبًا ما تظهر بوابة أو مصفوفة الوحدة على شكل سلك مكشوف.

على سبيل المثال، بوابة هادامارد (${\displaystyle H}$يؤثر ) على كيوبت واحد، ولكن إذا قمنا بتغذيته بالكيوبت الأول من الكيوبتين اللتين تشكلان حالة بيل المتشابكة${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$لا يمكننا كتابة تلك العملية بسهولة. نحتاج إلى توسيع بوابة هادامارد${\displaystyle H}$مع بوابة الهوية${\displaystyle I}$حتى نتمكن من التأثير على الحالات الكمومية التي تمتد على كيوبتين :

${\displaystyle K=H\otimes I={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}}$

البوابة${\displaystyle K}$يمكن الآن تطبيقها على أي حالة ثنائية الكيوبت، سواء كانت متشابكة أم لا. البوابة${\displaystyle K}$سيترك الكيوبت الثاني دون تغيير ويطبق تحويل هادامارد على الكيوبت الأول. إذا طُبِّق على حالة بيل في مثالنا، فيمكننا كتابة ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle K{\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&-1&0\\0&1&0&-1\end{bmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1\\1\\1\\-1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle -|11\rangle }{2}}}$

بما أن جميع البوابات المنطقية الكمومية قابلة للعكس ، فإن أي تركيب لعدة بوابات يكون قابلاً للعكس أيضاً. جميع نواتج الضرب والضرب الموتري (أي التركيبات المتسلسلة والمتوازية ) للمصفوفات الوحدوية هي أيضاً مصفوفات وحدوية. هذا يعني أنه من الممكن بناء معكوس لجميع الخوارزميات والدوال، طالما أنها لا تحتوي إلا على بوابات.

تُعدّ عمليات التهيئة والقياس والإدخال /الإخراج وفقدان الترابط التلقائي آثارًا جانبية في الحواسيب الكمومية. أما البوابات فهي وظيفية بحتة وتقابلية .

لو${\displaystyle U}$إذا كانت مصفوفة وحدوية ، فإن${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I}$و${\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}}$الخنجر (${\displaystyle \dagger }$يرمز ) إلى المرافق المنقول . ويسمى أيضًا المرافق الهيرميتي .

إذا كانت دالة${\displaystyle F}$هو منتج من${\displaystyle m}$البوابات،${\displaystyle F=A_{1}\cdot A_{2}\cdot \dots \cdot A_{m}}$، المعكوس الوحدوي للدالة${\displaystyle F^{\dagger }}$يمكن بناؤها:

لأن${\displaystyle (UV)^{\dagger }=V^{\dagger }U^{\dagger }}$لقد حصلنا، بعد تطبيق متكرر على نفسه

${\displaystyle F^{\dagger }=\left(\prod _{i=1}^{m}A_{i}\right)^{\dagger }=\prod _{i=m}^{1}A_{i}^{\dagger }=A_{m}^{\dagger }\cdot \dots \cdot A_{2}^{\dagger }\cdot A_{1}^{\dagger }}$

وبالمثل إذا كانت الدالة${\displaystyle G}$يتكون من بوابتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$بالتوازي، إذن${\displaystyle G=A\otimes B}$و${\displaystyle G^{\dagger }=(A\otimes B)^{\dagger }=A^{\dagger }\otimes B^{\dagger }}$.

تُسمى البوابات التي تُمثل معكوساتها الوحدوية مؤثرات هيرميتية أو ذاتية الترافق . بعض البوابات الأولية مثل بوابات هادامارد ( H ) وبوابات باولي ( I ، X ، Y ، Z ) هي مؤثرات هيرميتية، بينما بوابات أخرى مثل بوابات إزاحة الطور ( S ، T ، P ، CPhase ) ليست كذلك عمومًا.

على سبيل المثال، يمكن استخدام خوارزمية الجمع للطرح، إذا تم تشغيلها "عكسيًا"، باعتبارها معكوسها الوحدوي. التحويل الكمي العكسي لفورييه هو المعكوس الوحدوي. كما يمكن استخدام المعكوسات الوحدوية في عمليات الحساب العكسي . تتضمن لغات البرمجة الخاصة بالحواسيب الكمومية، مثل Q# من مايكروسوفت ^{[ 10 ]} ، و QCL من برنارد أومر ^{[ 13 ] : 61،} و Qiskit من آي بي إم ^{[ 29 ]} ، مفهوم عكس الدوال ضمن مفاهيم البرمجة.

إذا كانت حالتان كموميتان (أي كيوبتات أو سجلات ) متشابكتين (بمعنى أنه لا يمكن التعبير عن حالتهما المشتركة كحاصل ضرب موتر )، فإن قياس أحد السجلين يؤثر على حالة السجل الآخر أو يكشفها، وذلك بانهيار حالته جزئيًا أو كليًا. يمكن استخدام هذا التأثير في الحسابات، ويُستخدم في العديد من الخوارزميات.

يعمل تركيب هادامارد-CNOT على الحالة الصفرية على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {CNOT} (H\otimes I)|00\rangle =\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\right){\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

هذه الحالة الناتجة هي حالة بيل${\displaystyle {\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$لا يمكن وصفها بأنها حاصل ضرب موتر لكيوبتين. لا يوجد حل لـ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}w\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}xw\\xz\\yw\\yz\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\1\end{bmatrix}},}$

لأنه على سبيل المثال، يجب أن تكون قيمة w غير صفرية وصفرية في حالة xw و yw .

تمتد الحالة الكمومية عبر الكيوبتين. يُسمى هذا التشابك . قياس أحد الكيوبتين اللتين تُشكلان حالة بيل هذه سيؤدي منطقيًا إلى أن يكون للكيوبت الآخر نفس القيمة، أي أنهما يجب أن يكونا متطابقين: إما أن يُوجد في الحالة${\displaystyle |00\rangle }$أو في الولاية${\displaystyle |11\rangle }$إذا قمنا بقياس أحد الكيوبتات على سبيل المثال${\displaystyle |1\rangle }$إذن ، يجب أن يكون الكيوبت الآخر أيضًا${\displaystyle |1\rangle }$لأن حالتهم مجتمعة أصبحت${\displaystyle |11\rangle }$. قياس أحد الكيوبتات يؤدي إلى انهيار الحالة الكمومية بأكملها، والتي تمتد عبر الكيوبتاتين.

حالة GHZ هي حالة كمومية متشابكة مماثلة تمتد على ثلاثة كيوبتات أو أكثر.

يحدث هذا النوع من تعيين القيم بشكل فوري بغض النظر عن المسافة ، وقد تم التحقق منه تجريبياً بواسطة تجربة QUESS عام 2018 لمسافات تصل إلى 1200 كيلومتر. ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} إن ظهور هذه الظاهرة بشكل فوري، على عكس الوقت اللازم لقطع المسافة الفاصلة بين الكيوبتات بسرعة الضوء، يُعرف بمفارقة EPR ، وهي مسألة مفتوحة في الفيزياء حول كيفية حلها. في البداية، تم حلها بالتخلي عن افتراض الواقعية المحلية ، ولكن ظهرت تفسيرات أخرى أيضاً. لمزيد من المعلومات، راجع تجارب اختبار بيل . تُثبت نظرية انعدام الاتصال أن هذه الظاهرة لا يمكن استخدامها لنقل المعلومات الكلاسيكية بسرعة تفوق سرعة الضوء .

لنفترض وجود سجل A يحتوي على n كيوبت، جميعها مهيأة إلى${\displaystyle |0\rangle }$ثم قم بتغذيتها عبر بوابة هادامارد موازية${\textstyle H^{\otimes n}}$ثم سيدخل المسجل (أ) إلى الولاية${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2^{n}}}}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}|k\rangle }$التي لها احتمال متساوٍ عند قياسها أن تكون في أي من${\displaystyle 2^{n}}$الحالات المحتملة؛${\displaystyle |0\rangle }$ل${\displaystyle |2^{n}-1\rangle }$خذ سجلًا ثانيًا B، يحتوي أيضًا على n كيوبت مهيأة إلى${\displaystyle |0\rangle }$ثم يتم إجراء عملية CNOT ثنائية بين الكيوبتات الخاصة بها والكيوبتات الموجودة في السجل A، بحيث يكون لكل p كيوبتات${\displaystyle A_{p}}$و${\displaystyle B_{p}}$يشكل الدولة${\displaystyle |A_{p}B_{p}\rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$.

إذا قمنا الآن بقياس الكيوبتات في المسجل A، فسنجد أن المسجل B يحتوي على نفس قيمة A. أما إذا قمنا بدلاً من ذلك بتطبيق بوابة منطقية كمومية F على A ثم قمنا بالقياس، فـ${\displaystyle |A\rangle =F|B\rangle \iff F^{\dagger }|A\rangle =|B\rangle }$، أين${\displaystyle F^{\dagger }}$هو المعكوس الوحدوي لـ F.

بسبب كيفية عمل المعكوسات الوحدوية للبوابات ،${\displaystyle F^{\dagger }|A\rangle =F^{-1}(|A\rangle )=|B\rangle }$على سبيل المثال ، قل${\displaystyle F(x)=x+3{\pmod {2^{n}}}}$، ثم${\displaystyle |B\rangle =|A-3{\pmod {2^{n}}}\rangle }$.

ستتحقق المساواة بغض النظر عن ترتيب إجراء القياس (على المسجلين A أو B)، بافتراض اكتمال العملية F. يمكن حتى إجراء القياس بشكل عشوائي ومتزامن، كيوبتًا تلو الآخر، لأن تخصيص القياسات لكيوبت واحد سيحد من نطاق القيم الممكنة للكيوبتات المتشابكة الأخرى.

على الرغم من صحة المساواة، فإن احتمالات قياس النتائج المحتملة قد تتغير نتيجة لتطبيق F ، كما قد يكون الهدف في خوارزمية البحث الكمي.

يُستخدم تأثير مشاركة القيمة عبر التشابك في خوارزمية شور ، وتقدير الطور ، والعد الكمي . ويُعدّ استخدام تحويل فورييه لتضخيم سعات احتمالية حالات الحل لمسألة ما طريقة عامة تُعرف باسم " صيد فورييه ". ^{[ 39 ]}