مجموعة الفصل المثالية

في الرياضيات ، زمرة الفئات المثالية (أو زمرة الفئات ) لحقل عددي جبري${\displaystyle K}$هي مجموعة القسمة${\displaystyle J_{K}/P_{K}}$أين${\displaystyle J_{K}}$هي مجموعة المُثُل الكسرية لحلقة الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle K}$، و${\displaystyle P_{K}}$هي مجموعة فرعية من المُثُل الرئيسية . تُعدّ مجموعة الفئات مقياسًا لمدى فشل التحليل الفريد في حلقة الأعداد الصحيحة لـ${\displaystyle K}$يُطلق على رتبة المجموعة، وهي رتبة منتهية ، اسم رقم الفئة .${\displaystyle K}$.

تمتد هذه النظرية لتشمل مجالات ديديكيند وحقول الكسور التابعة لها ، حيث ترتبط خصائص الضرب ارتباطًا وثيقًا ببنية زمرة الفئات. على سبيل المثال، تكون زمرة فئات مجال ديديكيند تافهة إذا وفقط إذا كانت الحلقة مجال تحليل فريد .

دُرست مجموعات الفئات المثالية (أو بالأحرى، ما كان يُعتبر فعليًا مجموعات فئات مثالية) قبل صياغة مفهوم المثالي . ظهرت هذه المجموعات في نظرية الأشكال التربيعية : ففي حالة الأشكال التربيعية التكاملية الثنائية ، كما صاغها كارل فريدريش غاوس في صيغة نهائية تقريبًا ، عُرِّف قانون التركيب على فئات تكافؤ معينة من الأشكال. وقد أدى ذلك إلى تكوين مجموعة أبيلية منتهية ، كما كان معروفًا آنذاك.

لاحقًا، عمل إرنست كومر على نظرية الحقول الدائرية . وقد أُدرك (على الأرجح من قِبل عدة أشخاص) أن عدم القدرة على إكمال البراهين في الحالة العامة لنظرية فيرما الأخيرة عن طريق التحليل باستخدام جذور الوحدة كان لسبب وجيه للغاية: وهو أن فشل التحليل الفريد - أي النظرية الأساسية للحساب - في التحقق في الحلقات المولدة بواسطة جذور الوحدة تلك كان عقبة رئيسية. ومن عمل كومر، ظهرت لأول مرة دراسة للعائق الذي يحول دون التحليل. ونحن ندرك الآن أن هذا جزء من مجموعة فئات المثالي: في الواقع، كان كومر قد عزل${\displaystyle p}$- الالتواء في تلك المجموعة لمجال${\displaystyle p}$جذور الوحدة، لأي عدد أولي${\displaystyle p}$، كسبب لفشل الطريقة القياسية للهجوم على مشكلة فيرما (انظر العدد الأولي المنتظم ).

بعد ذلك بقليل، صاغ ريتشارد ديديكيند مفهوم المثالي، بينما عمل كومر بطريقة مختلفة. عند هذه النقطة، أمكن توحيد الأمثلة الموجودة. وقد تبين أنه على الرغم من أن حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية لا تمتلك دائمًا تحليلًا فريدًا إلى عوامل أولية (لأنها ليست بالضرورة مجالات مثالية رئيسية )، إلا أنها تتمتع بخاصية أن كل مثالي حقيقي يقبل تحليلًا فريدًا كحاصل ضرب مثاليات أولية (أي أن كل حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية هي مجال ديديكيند ). ويمكن اعتبار حجم زمرة فئات المثاليات مقياسًا لانحراف الحلقة عن كونها مجالًا مثاليًا رئيسيًا؛ فالحلقة تكون مجالًا مثاليًا رئيسيًا إذا وفقط إذا كانت تمتلك زمرة فئات مثاليات تافهة.

لو${\displaystyle R}$إذا كان مجالًا تكامليًا ، فحدد علاقة${\displaystyle \sim }$حول المُثُل الكسرية غير الصفرية لـ${\displaystyle R}$بواسطة${\displaystyle I\sim J}$كلما وُجدت عناصر غير صفرية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$ل${\displaystyle R}$بحيث${\displaystyle (a)I=(b)J}$من السهل إثبات أن هذه علاقة تكافؤ . تُسمى فئات التكافؤ فئات المثاليات .${\displaystyle R}$يمكن مضاعفة الفئات المثالية: إذا${\displaystyle [I]}$يشير إلى فئة التكافؤ للمثالي${\displaystyle I}$ثم عملية الضرب${\displaystyle [I][J]=[IJ]}$محددة جيدًا وتبديلية . تشكل المُثُل الرئيسية فئة المُثُل.${\displaystyle [R]}$والذي يعمل كعنصر محايد لهذه العملية الضربية. وبالتالي، فئة${\displaystyle [I]}$له عكس${\displaystyle [J]}$إذا وفقط إذا كان هناك مثال${\displaystyle J}$بحيث${\displaystyle IJ}$هو مبدأ أساسي. بشكل عام، مثل هذا${\displaystyle J}$قد لا تكون موجودة، وبالتالي فإن مجموعة الفئات المثالية لـ${\displaystyle R}$قد يكون أحاديًا فقط .

لكن إذا${\displaystyle R}$هي حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية في حقل عددي جبري ، أو بشكل أعم مجال ديديكيند ، والضرب المعرف أعلاه يحول مجموعة فئات المثاليّات الكسرية إلى زمرة أبيلية ، وهي زمرة فئات المثاليّات لـ${\displaystyle R}$تستنتج خاصية المجموعة المتمثلة في وجود العناصر المعكوسة بسهولة من حقيقة أنه في مجال ديديكيند، كل مثالي غير صفري (باستثناء${\displaystyle R}$) هو نتاج المثل العليا الأولية .

تكون زمرة الفئات المثالية تافهة (أي تحتوي على عنصر واحد فقط) إذا وفقط إذا كانت جميع مثاليات${\displaystyle R}$هم أساسيون. وبهذا المعنى، تقيس المجموعة الصفية المثالية مدى بُعد${\displaystyle R}$ينشأ ذلك من كونه مجالًا مثاليًا رئيسيًا ، وبالتالي من استيفاء التحليل إلى عوامل أولية فريدة (مجالات ديديكيند هي مجالات تحليل فريدة إذا وفقط إذا كانت مجالات مثالية رئيسية).

عدد الفئات المثالية -رقم الفصل الدراسي لـ${\displaystyle R}$قد تكون لانهائية بشكل عام. في الواقع، كل زمرة أبيلية متماثلة مع زمرة الفئات المثالية لمجال ديديكيند ما. ^{[ 1 ]} ولكن إذا${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية، فإن عدد الفئات يكون دائمًا محدودًا . هذه إحدى النتائج الرئيسية لنظرية الأعداد الجبرية الكلاسيكية .

يُعدّ حساب زمرة الفئات صعبًا بشكل عام؛ ويمكن إجراؤه يدويًا لحلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي جبري ذي مميز صغير ، باستخدام حد مينكوفسكي . تُعطي هذه النتيجة حدًا، يعتمد على الحلقة، بحيث تحتوي كل فئة مثالية على معيار مثالي أقل من هذا الحد. عمومًا، لا يكون هذا الحد دقيقًا بما يكفي لجعل الحساب عمليًا للحقول ذات المميز الكبير، لكن الحواسيب مُهيأة تمامًا لهذه المهمة.

التحويل من حلقات الأعداد الصحيحة${\displaystyle R}$إن ربط مجموعات الفئات المقابلة لها هو دالة ، ويمكن إدراج مجموعة الفئات تحت عنوان نظرية K الجبرية ، مع${\displaystyle K_{0}(R)}$كونه الدالة التي تُسند إلى${\displaystyle R}$مجموعتها الدراسية المثالية؛ بتعبير أدق،${\displaystyle K_{0}(R)=\mathbb {Z} \times C(R)}$، أين${\displaystyle C(R)}$هي المجموعة الصفية. أعلى${\displaystyle K}$يمكن أيضًا استخدام المجموعات وتفسيرها حسابيًا فيما يتعلق بحلقات الأعداد الصحيحة.

كما ذُكر سابقًا، تُقدّم مجموعة الفئات المثالية جزءًا من الإجابة على سؤال مدى تشابه سلوك المُثُل في مجال ديديكيند مع سلوك العناصر. أما الجزء الآخر من الإجابة فيُقدّمه مجموعة الوحدات في مجال ديديكيند، إذ يتطلب الانتقال من المُثُل الرئيسية إلى مولداتها استخدام الوحدات (وهذا هو السبب الآخر لتقديم مفهوم المُثُل الكسرية أيضًا).

حدد خريطة من${\displaystyle K^{\times }}$إلى مجموعة جميع المُثُل الكسرية غير الصفرية لـ${\displaystyle R}$عن طريق إرسال كل عنصر إلى المثالي الكسري الذي يولده. هذا تشاكل زمر ؛ نواته هي زمرة الوحدات من${\displaystyle R}$، ونواة مشتركة لها هي مجموعة الفئات المثالية لـ${\displaystyle R}$إن فشل هذه المجموعات في أن تكون تافهة هو مقياس لفشل الخريطة في أن تكون متماثلة: أي فشل المُثُل في التصرف مثل عناصر الحلقة، أي مثل الأرقام.

• الخواتم${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} [i]}$، و${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$، على التوالي الأعداد الصحيحة ، والأعداد الصحيحة الغاوسية ، والأعداد الصحيحة أيزنشتاين ، كلها مجالات مثالية رئيسية (وفي الواقع كلها مجالات إقليدية )، وبالتالي لها رقم الفئة 1: أي أن لها مجموعات فئة مثالية تافهة.

• لو${\displaystyle K}$إذا كان حقلاً، فإن حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle K[x_{1},x_{2},x_{3},\dots ]}$هو مجال تكاملي. يحتوي على مجموعة لا نهائية قابلة للعد من الفئات المثالية.

نظرية الحقول الصنفية هي فرع من نظرية الأعداد الجبرية ، تسعى إلى تصنيف جميع الامتدادات الأبيلية لحقل عددي جبري مُعطى، أي امتدادات غالوا ذات زمرة غالوا أبيلية . ومن الأمثلة الجميلة على ذلك حقل هيلبرت الصنفي لحقل عددي، والذي يُمكن تعريفه بأنه الامتداد الأبلي غير المتفرع الأقصى لهذا الحقل. حقل هيلبرت الصنفي L لحقل عددي K فريد من نوعه، وله الخصائص التالية:

• يصبح كل مثالي في حلقة الأعداد الصحيحة لـ K مثاليًا رئيسيًا في L ، أي إذا كان I مثاليًا صحيحًا لـ K فإن صورة I هي مثالي رئيسي في L.
• L هو امتداد غالوا لـ K مع مجموعة غالوا متماثلة مع مجموعة الفئات المثالية لـ K.

لا يُعدّ إثبات أيٍّ من هاتين الخاصيتين أمراً سهلاً على وجه الخصوص.

• صيغة رقم الفصل
• مشكلة رقم الفصل
• نظرية براور-سيجل — صيغة تقاربية لعدد الفئات
• قائمة حقول الأرقام التي تحمل الرقم واحد
• المجال المثالي الرئيسي
• نظرية K الجبرية
• نظرية غالوا
• نظرية فيرما الأخيرة
• مجموعة صفية ضيقة
• مجموعة بيكارد - تعميم لمجموعة الفئات التي تظهر في الهندسة الجبرية
• مجموعة أراكيلوف الصفية

• كلابورن، لوثر (1966)، "كل زمرة أبيلية هي زمرة صنفية"، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات ، 18 (2): 219-222 ، doi : 10.2140/pjm.1966.18.219
• فروليش، ألبريشت ؛ تايلور، مارتن (1993)، نظرية الأعداد الجبرية ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  27، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-43834-6MR 1215934​ 
• نيوكيرتش، يورغن (1999). جبرية زهلينثيوري . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . المجلد.  322. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-3-540-65399-8. السيد 1697859 . زبل 0956.11021 .