ديناميكا الموائع

تُستخدم ثلاثة قوانين لحفظ السوائل لحل مسائل ديناميكا الموائع، ويمكن كتابتها بصيغة تكاملية أو تفاضلية . تُطبق هذه القوانين على منطقة من التدفق تُسمى حجم التحكم . حجم التحكم هو حجم منفصل في الفضاء يُفترض أن يتدفق المائع من خلاله. تُستخدم الصيغ التكاملية لقوانين الحفظ لوصف تغير الكتلة أو الزخم أو الطاقة داخل حجم التحكم. أما الصيغ التفاضلية، فتُطبق نظرية ستوكس للحصول على تعبير يُمكن تفسيره على أنه الصيغة التكاملية للقانون المطبق على حجم متناهي الصغر (عند نقطة ما) داخل التدفق.

استمرارية الكتلة (حفظ الكتلة)

يجب أن يكون معدل تغير كتلة المائع داخل حجم التحكم مساويًا لمعدل تدفق المائع الصافي إلى هذا الحجم. فيزيائيًا، يتطلب هذا البيان عدم وجود كتلة تُستحدث أو تُفنى في حجم التحكم، ^{[ 2 ]} ويمكن ترجمته إلى الصيغة التكاملية لمعادلة الاستمرارية.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{V}\rho \,dV=-\,{}}$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle {}\,\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} }$

في المعادلة أعلاه، ρ هي كثافة المائع، و u هو متجه سرعة التدفق ، و t هو الزمن. يمثل الطرف الأيسر من المعادلة معدل زيادة الكتلة داخل الحجم، ويتضمن تكاملاً ثلاثياً على حجم التحكم، بينما يتضمن الطرف الأيمن تكاملاً على سطح حجم التحكم للكتلة المنقولة إلى النظام. يُفترض أن تدفق الكتلة إلى النظام موجب، وبما أن المتجه العمودي على السطح معاكس لاتجاه التدفق إلى النظام، فإن هذا الحد يُلغى. الصيغة التفاضلية لمعادلة الاستمرارية، وفقاً لنظرية التباعد ، هي:

$${\displaystyle \ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$$

قانون حفظ الزخم

ينص قانون نيوتن الثاني للحركة ، عند تطبيقه على حجم تحكم، على أن أي تغيير في زخم السائل داخل حجم التحكم هذا سيكون بسبب التدفق الصافي للزخم إلى الحجم وتأثير القوى الخارجية المؤثرة على السائل داخل الحجم.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {u} \,dV=-\,{}}$${\displaystyle _{\scriptstyle S}}$${\displaystyle (\rho \mathbf {u} \cdot d\mathbf {S} )\mathbf {u} -{}}$${\displaystyle {\scriptstyle S}}$${\displaystyle {}\,p\,d\mathbf {S} }$${\displaystyle \displaystyle {}+\iiint _{\scriptstyle V}\rho \mathbf {f} _{\text{body}}\,dV+\mathbf {F} _{\text{surf}}}$

في الصيغة التكاملية المذكورة أعلاه لهذه المعادلة، يُمثل الحد الأيسر التغير الكلي في كمية الحركة داخل الحجم. أما الحد الأول على اليمين فيُمثل المعدل الكلي لانتقال كمية الحركة إلى داخل الحجم. بينما يُمثل الحد الثاني على اليمين القوة الناتجة عن الضغط على أسطح الحجم. يُلغى الحدان الأولان على اليمين لأن كمية الحركة الداخلة إلى النظام تُعتبر موجبة، ويكون الاتجاه العمودي معاكساً لاتجاه السرعة u وقوى الضغط. أما الحد الثالث على اليمين فيُمثل التسارع الكلي للكتلة داخل الحجم نتيجة أي قوى جسمية (مُمثلة هنا بـ f _body ). وتُمثل قوى السطح ، مثل قوى اللزوجة، بـ F _surf ، وهي القوة الكلية الناتجة عن قوى القص المؤثرة على سطح الحجم. ويمكن أيضاً كتابة معادلة توازن كمية الحركة لحجم تحكم متحرك . ^{[ 3 ]}

فيما يلي الصيغة التفاضلية لمعادلة حفظ الزخم. هنا، يُختزل الحجم إلى نقطة متناهية الصغر، وتُؤخذ قوى السطح والجسم في الاعتبار ضمن قوة كلية واحدة، F. على سبيل المثال، يمكن توسيع F إلى تعبير عن قوى الاحتكاك والجاذبية المؤثرة عند نقطة في التدفق. $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}=\mathbf {F} -{\frac {\nabla p}{\rho }}}$$

في الديناميكا الهوائية، يُفترض أن الهواء سائل نيوتوني ، مما يعني وجود علاقة خطية بين إجهاد القص (الناتج عن قوى الاحتكاك الداخلي) ومعدل انفعال السائل. المعادلة أعلاه هي معادلة متجهة في تدفق ثلاثي الأبعاد، ولكن يمكن التعبير عنها بثلاث معادلات قياسية في ثلاثة اتجاهات إحداثية. تُسمى معادلات حفظ الزخم لحالة التدفق الانضغاطي اللزج بمعادلات نافيير-ستوكس. ^{[ 2 ]}

حفظ الطاقة

على الرغم من إمكانية تحويل الطاقة من شكل إلى آخر، إلا أن إجمالي الطاقة في نظام مغلق يظل ثابتًا. $${\displaystyle \rho {\frac {Dh}{Dt}}={\frac {Dp}{Dt}}+\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)+\Phi }$$ في المعادلة أعلاه، يُمثل h المحتوى الحراري النوعي ، وk الموصلية الحرارية للسائل، وT درجة الحرارة، و Φ دالة التبديد اللزج. تتحكم دالة التبديد اللزج في معدل تحول الطاقة الميكانيكية للتدفق إلى حرارة. ينص القانون الثاني للديناميكا الحرارية على أن يكون حد التبديد موجبًا دائمًا: فاللزوجة لا تُنتج طاقة داخل حجم التحكم. ^{[ 4 ]} التعبير الموجود على الجانب الأيسر هو مشتق مادي .

جميع السوائل قابلة للانضغاط إلى حد ما؛ أي أن التغيرات في الضغط أو درجة الحرارة تُسبب تغيرات في الكثافة. مع ذلك، في كثير من الحالات، تكون التغيرات في الضغط ودرجة الحرارة صغيرة بما يكفي بحيث يمكن إهمال التغيرات في الكثافة. في هذه الحالة، يمكن نمذجة التدفق على أنه تدفق غير قابل للانضغاط . وإلا، يجب استخدام معادلات التدفق القابل للانضغاط الأكثر عمومية .

رياضياً، يُعبَّر عن عدم الانضغاط بالقول إن كثافة ρ لجزيء من السائل لا تتغير أثناء تحركه في مجال التدفق، أي $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0\,,}$$ حيث يمثل D / D t المشتق المادي ، وهو مجموع المشتقات المحلية والحملية . هذا القيد الإضافي يبسط المعادلات الحاكمة، خاصة في حالة كون كثافة المائع منتظمة.

في دراسة تدفق الغازات ، يُقيّم عدد ماخ للتدفق لتحديد ما إذا كان ينبغي استخدام ديناميكا الموائع القابلة للانضغاط أو غير القابلة للانضغاط . وكدليل تقريبي، يمكن تجاهل تأثيرات الانضغاط عند أعداد ماخ أقل من 0.3 تقريبًا. أما بالنسبة للسوائل ، فإن صحة افتراض عدم الانضغاط تعتمد على خصائص المائع (وتحديدًا الضغط ودرجة الحرارة الحرجين) وظروف التدفق (مدى اقتراب ضغط التدفق الفعلي من الضغط الحرج). تتطلب المسائل الصوتية دائمًا مراعاة الانضغاط، لأن الموجات الصوتية هي موجات انضغاطية تتضمن تغيرات في ضغط وكثافة الوسط الذي تنتشر فيه.

جميع السوائل ، باستثناء الموائع الفائقة ، لزجة ، أي أنها تُبدي مقاومةً للتشوه: فجزيئات السائل المتجاورة التي تتحرك بسرعات مختلفة تُؤثر بقوى لزجة على بعضها البعض. يُشار إلى تدرج السرعة بمعدل الإجهاد ، وله أبعاد T⁻¹ ^. وقد بيّن إسحاق نيوتن أن الإجهاد الناتج عن هذه القوى اللزجة يرتبط خطيًا بمعدل الإجهاد في العديد من السوائل المعروفة كالماء والهواء . تُسمى هذه السوائل بالسوائل النيوتونية . يُسمى معامل التناسب لزوجة السائل؛ وبالنسبة للسوائل النيوتونية ، فهي خاصية للسائل مستقلة عن معدل الإجهاد .

تتميز السوائل غير النيوتونية بسلوك إجهاد-انفعال أكثر تعقيدًا وغير خطي. ويصف فرع علم الريولوجيا سلوك الإجهاد-الانفعال لهذه السوائل، والتي تشمل ^{المستحلبات} والملاط ، وبعض المواد اللزجة المرنة مثل الدم وبعض البوليمرات ، والسوائل اللزجة مثل اللاتكس والعسل ومواد التشحيم . [ ^{5 ]}

تُوصَف ديناميكية جسيمات السائل باستخدام قانون نيوتن الثاني . وتخضع جسيمات السائل المتسارعة لتأثيرات القصور الذاتي.

يُعدّ عدد رينولدز كميةً لا بُعدية تُحدّد مقدار تأثيرات القصور الذاتي مقارنةً بتأثيرات اللزوجة. ويشير انخفاض عدد رينولدز ( Re ≪ 1 ) إلى أن قوى اللزوجة قوية جدًا مقارنةً بقوى القصور الذاتي. في مثل هذه الحالات، تُهمل قوى القصور الذاتي أحيانًا؛ ويُطلق على هذا النوع من التدفق اسم تدفق ستوكس أو التدفق الزاحف .

على النقيض من ذلك، تشير أرقام رينولدز العالية ( Re ≫ 1 ) إلى أن تأثيرات القصور الذاتي تؤثر على حقل السرعة أكثر من تأثيرات اللزوجة (الاحتكاك). في التدفقات ذات أرقام رينولدز العالية، يُنمذج التدفق غالبًا على أنه تدفق غير لزج ، وهو تقريب يُهمل فيه اللزوجة تمامًا. يسمح حذف اللزوجة بتبسيط معادلات نافيير-ستوكس إلى معادلات أويلر . ينتج عن تكامل معادلات أويلر على طول خط انسيابي في تدفق غير لزج معادلة برنولي . عندما يكون التدفق، بالإضافة إلى كونه غير لزج، غير دوراني في كل مكان، تستطيع معادلة برنولي وصف التدفق وصفًا كاملًا في كل مكان. تُسمى هذه التدفقات بالتدفقات الكامنة ، لأن حقل السرعة يمكن التعبير عنه كتدرج لتعبير طاقة كامنة.

قد تنجح هذه الفكرة بشكل جيد عندما يكون عدد رينولدز مرتفعًا. مع ذلك، قد تتطلب مسائل مثل تلك التي تتضمن حدودًا صلبة إدخال اللزوجة في الحسبان. لا يمكن إهمال اللزوجة بالقرب من الحدود الصلبة لأن شرط عدم الانزلاق يُولّد منطقة رقيقة ذات معدل إجهاد عالٍ، وهي الطبقة الحدية ، حيث تسود تأثيرات اللزوجة ، مما يُولّد دوامات . لذلك، لحساب القوى المحصلة المؤثرة على الأجسام (مثل الأجنحة)، يجب استخدام معادلات التدفق اللزج: إذ تعجز نظرية التدفق غير اللزج عن التنبؤ بقوى السحب ، وهو قيد يُعرف بمفارقة دالمبير .

يُعدّ استخدام نموذجين للتدفق من النماذج الشائعة الاستخدام ^{[ 6 ]} ، لا سيما في ديناميكا الموائع الحسابية : معادلات أويلر بعيدًا عن الجسم، ومعادلات الطبقة الحدية في منطقة قريبة من الجسم. ويمكن بعد ذلك مطابقة الحلين باستخدام طريقة التوسعات التقاربية المتطابقة .

يُطلق على التدفق الذي لا يعتمد على الزمن اسم التدفق المستقر/التدفق الصفائحي . يشير التدفق المستقر إلى الحالة التي لا تتغير فيها خصائص المائع عند نقطة معينة في النظام بمرور الوقت. أما التدفق الذي يعتمد على الزمن فيُعرف بالتدفق غير المستقر (ويُسمى أيضًا التدفق العابر ^{[ 8 ]} ). يعتمد كون التدفق مستقرًا أو غير مستقر على الإطار المرجعي المُختار. على سبيل المثال، يكون التدفق الصفائحي فوق كرة مستقرًا في الإطار المرجعي الثابت بالنسبة للكرة. أما في الإطار المرجعي الثابت بالنسبة لتدفق خلفي، فيكون التدفق غير مستقر.

تُعرَّف التدفقات المضطربة (أو غير المستقرة أو غير الصفائحية) بأنها غير مستقرة. مع ذلك، يمكن أن يكون التدفق المضطرب مستقرًا إحصائيًا . يكون حقل السرعة العشوائي U ( x , t ) مستقرًا إحصائيًا إذا كانت جميع الإحصائيات ثابتة عند تغير الزمن. ^{[ 9 ] : 75} وهذا يعني تقريبًا أن جميع الخصائص الإحصائية ثابتة مع الزمن. غالبًا ما يكون المجال المتوسط ​​هو محل الاهتمام، وهو ثابت أيضًا في التدفق المستقر إحصائيًا.

غالباً ما تكون التدفقات المستقرة أسهل في التعامل معها من التدفقات غير المستقرة المماثلة لها في جوانب أخرى. تحتوي المعادلات الحاكمة لمسألة مستقرة على بُعد أقل (الزمن) من المعادلات الحاكمة لنفس المسألة دون الاستفادة من استقرار مجال التدفق.

الاضطراب هو تدفق يتميز بإعادة التدوير والدوامات والعشوائية الظاهرية . يُطلق على التدفق الذي لا يُظهر اضطرابًا اسم التدفق الصفائحي . إن وجود الدوامات أو إعادة التدوير وحده لا يدل بالضرورة على وجود تدفق مضطرب، فقد توجد هذه الظواهر في التدفق الصفائحي أيضًا. رياضيًا، غالبًا ما يُمثل التدفق المضطرب باستخدام تحليل رينولدز ، حيث يُقسّم التدفق إلى مجموع مُكوّن متوسط ​​ومُكوّن اضطراب.

يُعتقد أن التدفقات المضطربة يمكن وصفها بدقة باستخدام معادلات نافيير-ستوكس . وتُمكّن المحاكاة العددية المباشرة (DNS)، القائمة على هذه المعادلات، من محاكاة التدفقات المضطربة عند أرقام رينولدز متوسطة. وتعتمد القيود على قدرة الحاسوب المستخدم وكفاءة خوارزمية الحل. وقد وُجد أن نتائج المحاكاة العددية المباشرة تتوافق جيدًا مع البيانات التجريبية لبعض التدفقات. ^{[ 10 ]}

معظم التدفقات ذات الأهمية تتميز بأرقام رينولدز مرتفعة للغاية بحيث لا يُعدّ المحاكاة العددية المباشرة (DNS) خيارًا عمليًا، ^{[ 9 ] : 344} نظرًا لحالة القدرة الحاسوبية خلال العقود القليلة القادمة. أي مركبة طائرة كبيرة بما يكفي لحمل إنسان ( طولها أكبر من 3  أمتار)، وتتحرك بسرعة تزيد عن 20 مترًا في الثانية (72 كيلومترًا في الساعة؛ 45 ميلًا في الساعة) ، تتجاوز بكثير حدود محاكاة DNS ( رقم رينولدز = 4 ملايين). أجنحة طائرات النقل (مثل إيرباص A300 أو بوينغ 747 ) لها أرقام رينولدز تبلغ 40 مليونًا (بناءً على بُعد وتر الجناح). يتطلب حل مشاكل التدفق الواقعية هذه نماذج اضطراب في المستقبل المنظور. توفر معادلات نافيير-ستوكس المتوسطة لرينولدز (RANS) مع نمذجة الاضطراب نموذجًا لتأثيرات التدفق المضطرب. توفر هذه النمذجة بشكل أساسي نقل الزخم الإضافي الناتج عن إجهادات رينولدز ، على الرغم من أن الاضطراب يعزز أيضًا انتقال الحرارة والكتلة . وهناك منهجية واعدة أخرى وهي محاكاة الدوامات الكبيرة (LES)، وخاصة في شكل محاكاة الدوامات المنفصلة (DES) - وهي مزيج من محاكاة الدوامات الكبيرة ونمذجة اضطراب RANS.    

توجد العديد من التقريبات الأخرى الممكنة لمسائل ديناميكا الموائع. وفيما يلي بعض التقريبات الأكثر شيوعًا.

• يتجاهل تقريب بوسينسك تغيرات الكثافة باستثناء حساب قوى الطفو . ويُستخدم غالبًا في مسائل الحمل الحراري الطبيعي حيث تكون تغيرات الكثافة صغيرة.
• تستغل نظرية التشحيم وتدفق هيلي-شو نسبة العرض إلى الارتفاع الكبيرةللمجال لإظهار أن بعض الحدود في المعادلات صغيرة وبالتالي يمكن إهمالها.
• نظرية الجسم النحيف هي منهجية تستخدم في مشاكل تدفق ستوكس لتقدير القوة المؤثرة على جسم طويل ونحيف في سائل لزج، أو مجال التدفق حوله.
• يمكن استخدام معادلات المياه الضحلة لوصف طبقة من سائل غير لزج نسبياً مع سطح حر ، حيث تكون تدرجات السطح صغيرة.
• يُستخدم قانون دارسي لتدفق السوائل في الوسائط المسامية ، ويعمل مع المتغيرات التي يتم حساب متوسطها على عدة أقطار للمسام.
• في الأنظمة الدوارة، تفترض المعادلات شبه الجيوستروفية توازناً شبه مثالي بين تدرجات الضغط وقوة كوريوليس . وهي مفيدة في دراسة ديناميكيات الغلاف الجوي .

بينما تحدث العديد من التدفقات (مثل تدفق الماء عبر الأنابيب) عند أرقام ماخ منخفضة ( تدفقات دون سرعة الصوت )، فإن العديد من التدفقات ذات الأهمية العملية في الديناميكا الهوائية أو في الآلات التوربينية تحدث عند نسب عالية من M = 1 ( تدفقات فوق صوتية ) أو تتجاوزها ( تدفقات فوق صوتية أو حتى فوق صوتية ). وتظهر ظواهر جديدة في هذه الأنظمة، مثل عدم الاستقرار في التدفقات فوق الصوتية، والموجات الصدمية في التدفقات فوق الصوتية، أو السلوك الكيميائي غير المتوازن الناتج عن التأين في التدفقات فوق الصوتية. عمليًا، يُعالج كل نظام من أنظمة التدفق هذه على حدة.

التدفقات التفاعلية هي تدفقات ذات تفاعل كيميائي، ولها تطبيقات في مجالات عديدة، منها الاحتراق ( محركات الاحتراق الداخلي )، وأجهزة الدفع ( الصواريخ ، والمحركات النفاثة ، وغيرها)، والانفجارات ، ومخاطر الحرائق والسلامة، والفيزياء الفلكية. إلى جانب حفظ الكتلة والزخم والطاقة، يلزم اشتقاق حفظ الأنواع الكيميائية الفردية (على سبيل المثال، الكسر الكتلي للميثان في احتراق الميثان)، حيث يُحسب معدل إنتاج/استهلاك أي نوع كيميائي من خلال حل معادلات الحركية الكيميائية آنيًا .

الديناميكا المغناطيسية المائية هي دراسة متعددة التخصصات لتدفق الموائع الموصلة للكهرباء في المجالات الكهرومغناطيسية . ومن أمثلة هذه الموائع البلازما والمعادن السائلة والماء المالح . ويتم حل معادلات تدفق الموائع بالتزامن مع معادلات ماكسويل للكهرومغناطيسية.

يدرس علم ديناميكا الموائع النسبية حركة الموائع على المستويين العياني والميكروسكوبي بسرعات عالية تُقارب سرعة الضوء . ^{[ 11 ]} ويُراعي هذا الفرع من ديناميكا الموائع التأثيرات النسبية من كلٍّ من النظرية النسبية الخاصة والنظرية النسبية العامة . وتُشتق المعادلات الحاكمة في الهندسة الريمانية لزمكان مينكوفسكي .

يُضيف هذا الفرع من ديناميكا الموائع إلى المعادلات الهيدروديناميكية القياسية تدفقات عشوائية تُحاكي التقلبات الحرارية. ^{[ 12 ]} وكما صاغها لاندو وليفشيتز ، ^{[ 13 ]} تُضاف مساهمة الضوضاء البيضاء المُستمدة من نظرية التذبذب والتبدد في الميكانيكا الإحصائية إلى موتر الإجهاد اللزج وتدفق الحرارة .

ينشأ مفهوما الضغط الكلي والضغط الديناميكي من معادلة برنولي، التي لا تُطبَّق إلا على التدفقات عديمة الاحتكاك. (هذان الضغطان ليسا ضغطًا بالمعنى المعتاد، إذ لا يمكن قياسهما باستخدام جهاز قياس الضغط السائل أو أنبوب بوردون أو عمود الزئبق). ولتجنب أي لبس محتمل عند الإشارة إلى الضغط في ديناميكا الموائع، يستخدم العديد من الباحثين مصطلح الضغط الساكن لتمييزه عن الضغط الكلي والضغط الديناميكي. الضغط الساكن هو نفسه الضغط الكلي، ويمكن تحديده عند أي نقطة في مجال تدفق المائع.

تُعدّ النقطة التي يتوقف عندها التدفق (أي عندما تكون السرعة صفرًا بجوار جسم صلب مغمور في التدفق) ذات أهمية خاصة. وقد أُطلق عليها اسم خاص هو نقطة الركود . كما أن الضغط الساكن عند نقطة الركود له أهمية خاصة، ويُطلق عليه اسم ضغط الركود . لا تنطبق معادلة برنولي في الطبقة الحدية، ولا يُعتبر الغشاء الرقيق من المائع الساكن المجاور لجسم صلب نقطة ركود. ولا يرتبط الضغط الساكن في الطبقة الحدية بضغط الركود. في غياب الصدمات، يكون ضغط الركود عند نقطة الركود مساويًا للضغط الكلي في مجال التدفق.

في الموائع القابلة للانضغاط، من المفيد تحديد الشروط الكلية (وتسمى أيضًا شروط الركود) لجميع خصائص الحالة الديناميكية الحرارية (مثل درجة الحرارة الكلية، والمحتوى الحراري الكلي، وسرعة الصوت الكلية). وتعتمد شروط التدفق الكلية هذه على سرعة المائع، وتختلف قيمها باختلاف الأطر المرجعية ذات الحركة المختلفة.

لتجنب أي لبس محتمل عند الإشارة إلى خصائص المائع المرتبطة بحالته لا بحركته، يُستخدم عادةً البادئة "ساكن" (مثل درجة الحرارة الساكنة والمحتوى الحراري الساكن). وعند عدم وجود بادئة، تكون خاصية المائع هي الحالة الساكنة (لذا فإن "الكثافة" و"الكثافة الساكنة" تعنيان الشيء نفسه). وتكون الحالات الساكنة مستقلة عن الإطار المرجعي.

بما أن شروط التدفق الكلي تُحدد بجعل المائع ساكنًا بشكل متساوي الإنتروبيا ، فلا حاجة للتمييز بين الإنتروبيا الكلية والإنتروبيا الساكنة، فهما متساويتان دائمًا بحكم التعريف. ولذلك، يُشار إلى الإنتروبيا عادةً ببساطة باسم "الإنتروبيا".