اللانهاية

قد تكون أقدم فكرة مسجلة عن اللانهاية في اليونان هي فكرة أناكسيماندر (حوالي 610 - حوالي 546 قبل الميلاد)، وهو فيلسوف يوناني ما قبل سقراط . استخدم كلمة " أبيرون " التي تعني "غير محدود" أو "غير محدد"، وربما يمكن ترجمتها إلى "لانهائي". ^{[ 1 ] [ 5 ]}

ميّز أرسطو (350 ق.م.) بين اللانهاية الكامنة واللانهاية الفعلية ، التي اعتبرها مستحيلة لما تُثيره من مفارقات عديدة. ^{[ 6 ]} وقد قيل، تماشياً مع هذا الرأي، إن الإغريق الهلنستيين كانوا يُعانون من "رهبة اللانهاية" ^{[ 7 ] [ 8 ]} ، وهو ما يُفسّر، على سبيل المثال، لماذا لم يقل إقليدس (حوالي 300 ق.م.) إن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية، بل قال: "الأعداد الأولية أكبر من أي عدد مُحدد من الأعداد الأولية". ^{[ 9 ]} كما قيل أيضًا، إن إقليدس، بإثباته لانهائية الأعداد الأولية ، "كان أول من تغلّب على رهبة اللانهاية". ^{[ 10 ]} وهناك جدل مماثل حول مسلمة إقليدس الموازية ، والتي تُترجم أحيانًا:

إذا قطع خط مستقيم خطين مستقيمين آخرين، وشكّلا زاويتين داخليتين على نفس الجانب منه، مجموعهما أقل من زاويتين قائمتين، فإن الخطين المستقيمين الآخرين، إذا مُدّا إلى ما لا نهاية، سيلتقيان على ذلك الجانب من الخط المستقيم الأصلي الذي يكون فيه مجموع الزاويتين الداخليتين أقل من زاويتين قائمتين. ^{[ 11 ]}

مع ذلك، يفضل مترجمون آخرون ترجمة "الخطين المستقيمين، إذا ما امتدّا إلى ما لا نهاية..."، ^{[ 12 ]} متجنبين بذلك الإيحاء بأن إقليدس كان مرتاحًا لمفهوم اللانهاية. أخيرًا، يُقال إن التأمل في اللانهاية، بعيدًا عن إثارة "رعب اللانهاية"، كان أساسًا للفلسفة اليونانية المبكرة بأكملها، وأن "اللانهاية المحتملة" عند أرسطو تُعد شذوذًا عن الاتجاه العام لتلك الفترة. ^{[ 13 ]}

لم يُقدّم زينون الإيلي ( حوالي 495 - حوالي 430  قبل الميلاد) أي آراء حول اللانهائي. ومع ذلك، شكّلت مفارقاته، ^{[ 14 ]} ولا سيما "أخيل والسلحفاة"، إسهاماتٍ مهمةً إذ أوضحت قصور المفاهيم الشائعة. وقد وصفها برتراند راسل بأنها "بالغة الدقة والعمق". ^{[ 15 ]}

يتسابق أخيل مع سلحفاة، مما يمنح الأخيرة بداية متقدمة.

• الخطوة الأولى: يركض أخيل إلى نقطة انطلاق السلحفاة بينما تمشي السلحفاة إلى الأمام.
• الخطوة الثانية: يتقدم أخيل إلى المكان الذي كانت فيه السلحفاة في نهاية الخطوة الأولى بينما تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك.
• الخطوة رقم 3: يتقدم أخيل إلى المكان الذي كانت فيه السلحفاة في نهاية الخطوة رقم 2 بينما تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك.
• الخطوة الرابعة: يتقدم أخيل إلى المكان الذي كانت فيه السلحفاة في نهاية الخطوة الثالثة بينما تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك.

وهذا يستمر إلى ما لا نهاية. باختصار،

• الخطوة رقم (ن + 1): يتقدم أخيل إلى حيث كانت السلحفاة في نهاية الخطوة رقم ن بينما تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك.

على ما يبدو، لا يتجاوز أخيل السلحفاة أبدًا، لأنه مهما قطع من خطوات، تبقى السلحفاة أمامه.

لم يكن زينون يسعى لإثبات مفهوم اللانهاية. فبصفته عضوًا في المدرسة الإيليتية التي اعتبرت الحركة وهمًا، رأى أن افتراض قدرة أخيل على الجري خطأٌ فادح. وقد سعى المفكرون اللاحقون، الذين وجدوا هذا الحل غير مقبول، لأكثر من ألفي عام إلى إيجاد ثغرات أخرى في الحجة.

وأخيرًا، في عام 1821، قدم أوغسطين لويس كوشي تعريفًا مرضيًا للنهاية وبرهانًا على أنه بالنسبة لـ 0 < x < 1 ، ^{[ 16 ]}$${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

لنفترض أن أخيل يجري بسرعة 10 أمتار في الثانية، وأن السلحفاة تمشي بسرعة 0.1 متر في الثانية، وأن الأخيرة تسبقه بمسافة 100 متر. مدة المطاردة تتوافق مع نموذج كوشي حيث a = 10 ثوانٍ و x = 0.01 . يتجاوز أخيل السلحفاة بالفعل؛ تستغرق المطاردة وقتًا.

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ ثانية}}.}$

يصنف النص الرياضي الجيني " سوريا براجنابتي" ( حوالي القرن الرابع - الثالث قبل الميلاد) جميع الأعداد إلى ثلاث مجموعات: قابلة للعد ، وغير قابلة للعد، ولا نهائية. وقد تم تقسيم كل من هذه المجموعات إلى ثلاث رتب فرعية: ^{[ 17 ]}

• قابل للعد: الأدنى، والمتوسط، والأعلى
• لا يُحصى: يكاد يكون لا يُحصى، لا يُحصى حقًا، ولا يُحصى بشكل لا يُحصى
• اللانهائي: شبه لانهائي، لانهائي حقاً، لانهائي إلى ما لا نهاية

في القرن السابع عشر، بدأ علماء الرياضيات الأوروبيون باستخدام الأعداد اللانهائية والتعبيرات اللانهائية بطريقة منهجية. في عام 1655، استخدم جون واليس لأول مرة الترميز${\displaystyle \infty }$لهذا الرقم في كتابه "De sectionibus conicis" ^{[ 18 ]} ، واستغله في حسابات المساحة بتقسيم المنطقة إلى شرائح متناهية الصغر بعرض من رتبة${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$^{[ 19 ]} ولكن فيكتاب Arithmetica infinitorum(1656)، ^{[ 20 ]} يشير إلى المتسلسلات اللانهائية، والمنتجات اللانهائية، والكسور المستمرة اللانهائية عن طريق كتابة بعض الحدود أو العوامل ثم إضافة "&c."، كما في "1، 6، 12، 18، 24، &c." ^{[ 21 ]}

في عام 1699، كتب إسحاق نيوتن عن المعادلات ذات العدد اللانهائي من الحدود في عمله De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . ^{[ 22 ]}

في التحليل الحقيقي ، الرمز${\displaystyle \infty }$يُستخدم الرمز "اللانهاية" للدلالة على حد غير محدود . ^{[ 30 ]} وهو ليس عددًا حقيقيًا بحد ذاته.${\displaystyle x\rightarrow \infty }$هذا يعني أن ${\displaystyle x}$يزداد بلا حدود، و${\displaystyle x\to -\infty }$هذا يعني أن ${\displaystyle x}$يتناقص بلا حدود. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f(t)\geq 0}$لكل ${\displaystyle t}$ثم ^{[ 31 ]}

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$هذا يعني أن${\displaystyle f(t)}$لا يحدد منطقة محدودة من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$يعني ذلك أن المساحة تحت${\displaystyle f(t)}$لا نهائي.
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$يعني ذلك أن المساحة الإجمالية تحت${\displaystyle f(t)}$هي قيمة محدودة، وتساوي${\displaystyle a.}$

يمكن استخدام اللانهاية أيضًا لوصف المتسلسلات اللانهائية ، كما يلي:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$هذا يعني أن مجموع المتسلسلة اللانهائية يتقارب إلى قيمة حقيقية ما${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$يعني ذلك أن مجموع المتسلسلة اللانهائية يتباعد بشكل صحيح إلى اللانهاية، بمعنى أن المجاميع الجزئية تزداد بلا حدود. ^{[ 32 ]}

إضافةً إلى تعريف النهاية، يمكن استخدام اللانهاية كقيمة في نظام الأعداد الحقيقية الموسع. النقاط المُعَلَّمة${\displaystyle +\infty }$و${\displaystyle -\infty }$يمكن إضافتها إلى الفضاء الطوبولوجي للأعداد الحقيقية، مما ينتج عنه تكثيف ثنائي النقاط للأعداد الحقيقية. بإضافة الخصائص الجبرية إلى ذلك، نحصل على الأعداد الحقيقية الموسعة . ^{[ 33 ]} يمكننا أيضًا معالجة${\displaystyle +\infty }$و${\displaystyle -\infty }$كما هو الحال، مما يؤدي إلى تكثيف الأعداد الحقيقية بنقطة واحدة ، وهو الخط الإسقاطي الحقيقي . ^{[ 34 ]} تشير الهندسة الإسقاطية أيضًا إلى خط عند اللانهاية في الهندسة المستوية، ومستوى عند اللانهاية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ومستوى فائق عند اللانهاية للأبعاد العامة ، ويتكون كل منها من نقاط عند اللانهاية . ^{[ 35 ]}

في التحليل المركب، الرمز${\displaystyle \infty }$يشير الرمز "اللانهاية" إلى نهاية غير سالبة.${\displaystyle x\rightarrow \infty }$يعني ذلك أن الحجم ${\displaystyle |x|}$ل ${\displaystyle x}$يتجاوز أي قيمة محددة. نقطة تحمل علامة${\displaystyle \infty }$يمكن إضافة اللانهاية إلى المستوى المركب كفضاء طوبولوجي ، مما يُعطي تكثيفًا أحادي النقطة للمستوى المركب. عند القيام بذلك، يكون الفضاء الناتج متعدد الشعب المركب أحادي البعد ، أو سطح ريمان ، ويُسمى المستوى المركب الممتد أو كرة ريمان . ^{[ 36 ]} يمكن أيضًا تعريف عمليات حسابية مماثلة لتلك المذكورة أعلاه للأعداد الحقيقية الممتدة، على الرغم من عدم وجود تمييز في الإشارات (مما يؤدي إلى الاستثناء الوحيد وهو أنه لا يمكن جمع اللانهاية مع نفسها). من ناحية أخرى، يُمكّن هذا النوع من اللانهاية من القسمة على صفر ، أي${\displaystyle z/0=\infty }$لأي عدد مركب غير صفري ${\displaystyle z}$في هذا السياق، من المفيد غالبًا اعتبار الدوال الميرومورفية كخرائط إلى كرة ريمان تأخذ القيمة .${\displaystyle \infty }$عند القطبين. يمكن توسيع نطاق دالة ذات قيم مركبة ليشمل النقطة عند اللانهاية أيضًا. ومن الأمثلة المهمة على هذه الدوال مجموعة تحويلات موبيوس (انظر تحويل موبيوس § نظرة عامة ).

استخدم إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتز الكميات المتناهية الصغر في صياغتهما الأصلية لحساب التفاضل والتكامل . وفي النصف الثاني من القرن العشرين، تبيّن إمكانية إرساء أسس علمية دقيقة لهذا المنهج من خلال أنظمة منطقية متنوعة ، بما في ذلك التحليل المتناهي الصغر السلس والتحليل غير القياسي . في التحليل غير القياسي، تكون الكميات المتناهية الصغر قابلة للعكس، ومعكوساتها أعداد لا نهائية. تُعدّ اللانهايات بهذا المعنى جزءًا من حقل فائق الواقعية ؛ فلا يوجد تكافؤ بينها كما هو الحال مع المتساميات الكانتورية . على سبيل المثال، إذا كان H عددًا لا نهائيًا بهذا المعنى، فإن H + H = 2H و H + 1 عددان لا نهائيان مختلفان. وقد طُوّر هذا المنهج لحساب التفاضل والتكامل غير القياسي بشكل كامل في كتاب كيسلر (1986) .       

كانت إحدى أهم نتائج كانتور هي أن عدد عناصر المتصل${\displaystyle \mathbf {c} }$أكبر من عدد الأعداد الطبيعية${\displaystyle {\aleph _{0}}}$أي أن عدد الأعداد الحقيقية R يفوق عدد الأعداد الطبيعية N. وبالتحديد، أثبت كانتور ذلك.${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$[ ^{42 ]​}

تنص فرضية الاستمرارية على أنه لا يوجد عدد أصلي بين عدد الأعداد الحقيقية وعدد الأعداد الطبيعية، أي${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$.

لا يمكن إثبات هذه الفرضية أو دحضها في إطار نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات المقبولة على نطاق واسع ، حتى بافتراض بديهية الاختيار . ^{[ 43 ]}

يمكن استخدام الحساب الأصلي لإثبات ليس فقط أن عدد النقاط في خط الأعداد الحقيقية يساوي عدد النقاط في أي قطعة من ذلك الخط ، ولكن أيضًا أن هذا يساوي عدد النقاط على مستوى، بل وفي أي فضاء محدود الأبعاد . ^{[ 44 ]}

تتضح النتيجة الأولى من خلال النظر، على سبيل المثال، في دالة الظل ، التي توفر تطابقًا واحدًا لواحد بين الفترة ( − ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ) و R .

أُثبتت النتيجة الثانية على يد كانتور عام  1878، لكنها لم تتضح بديهيًا إلا عام  1890، عندما قدم جوزيبي بيانو منحنيات ملء الفراغ ، وهي خطوط منحنية تلتف وتدور بما يكفي لملء أي مربع أو مكعب أو مكعب فائق أو فضاء محدود الأبعاد. ويمكن استخدام هذه المنحنيات لتحديد تناظر أحادي بين النقاط على أحد أضلاع المربع والنقاط داخله. ^{[ 45 ]}

تتميز الفضاءات المتجهة في الهندسة الكلاسيكية دائمًا ببعد محدود ، غالبًا ما يكون اثنين أو ثلاثة. مع ذلك، لا يُستدل على ذلك من التعريف المجرد للفضاء المتجه، إذ يمكن النظر في فضاءات متجهة ذات بعد لانهائي. وهذا هو الحال عادةً في التحليل الدالي، حيث تكون فضاءات الدوال عمومًا فضاءات متجهة ذات بعد لانهائي.

في علم الطوبولوجيا، يمكن لبعض البنى أن تولد فضاءات طوبولوجية ذات أبعاد لا نهائية. وعلى وجه الخصوص، ينطبق هذا على فضاءات الحلقات المتكررة .

تتكرر بنية الجسم الفركتلي عند تكبيره. يمكن تكبير الأشكال الفركتلية إلى ما لا نهاية دون أن تفقد بنيتها وتصبح "ناعمة"؛ فهي ذات محيط لانهائي، وقد تكون مساحتها لانهائية أو محدودة. ومن الأمثلة على هذه المنحنيات الفركتلية ذات المحيط اللانهائي والمساحة المحدودة، ندفة ثلج كوخ . ^{[ 46 ]}

في الفيزياء ، تُستخدم تقريبات الأعداد الحقيقية للقياسات المستمرة ، بينما تُستخدم الأعداد الطبيعية للقياسات المنفصلة (أي العد). توجد مفاهيم عن أشياء لا نهائية، مثل الموجة المستوية اللانهائية ، ولكن لا توجد وسائل تجريبية لتوليدها. ^{[ 49 ]}

يحدد معيار IEEE للفاصلة العائمة (IEEE 754) قيمة اللانهاية الموجبة وقيمة اللانهاية السالبة (وكذلك القيم غير المحددة ). وتُعرَّف هذه القيم كنتيجة لتجاوز السعة الحسابية ، والقسمة على صفر ، وعمليات استثنائية أخرى. ^{[ 59 ]}

تتيح بعض لغات البرمجة ، مثل جافا ^{[ 60 ]} و J [ ^{61 ]، للمبرمج} الوصول المباشر إلى قيم اللانهاية الموجبة والسالبة كثوابت لغوية. ويمكن استخدام هذه القيم كأكبر وأصغر عنصرين ، حيث تُقارن (على التوالي) بقيم أكبر أو أصغر من جميع القيم الأخرى. ولها استخدامات كقيم مرجعية في الخوارزميات التي تتضمن الفرز أو البحث أو تقسيم البيانات إلى نوافذ .

في اللغات التي لا تحتوي على عنصرين أكبر وأصغر، ولكنها تسمح بتعدد تعريف عوامل المقارنة ، يُمكن للمبرمج إنشاء هذين العنصرين. أما في اللغات التي لا تُتيح الوصول الصريح إلى هذه القيم من الحالة الابتدائية للبرنامج، ولكنها تُطبّق نوع بيانات الفاصلة العائمة ، فقد تظل قيم اللانهاية قابلة للوصول والاستخدام كنتيجة لبعض العمليات.

في البرمجة، الحلقة اللانهائية هي حلقة لا يتم استيفاء شرط الخروج منها أبدًا، وبالتالي تستمر في التنفيذ إلى أجل غير مسمى.