قصة الرياضيات

تتناول الحلقة الأخيرة أهم المشكلات التي لم تُحل والتي واجهت علماء الرياضيات في القرن العشرين. في الثامن من أغسطس عام ١٩٠٠، ألقى ديفيد هيلبرت محاضرة تاريخية في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس. طرح هيلبرت ثلاثًا وعشرين مشكلة رياضية لم تُحل آنذاك، والتي اعتقد أنها ذات أهمية بالغة. نجح هيلبرت في وضع أجندة الرياضيات في القرن العشرين، وبدأ البرنامج بأولى مشكلاته .

درس جورج كانتور المجموعة اللانهائية من الأعداد الصحيحة 1، 2، 3 ... ∞ وقارنها بالمجموعة الأصغر من الأعداد 10، 20، 30 ... ∞. وأظهر كانتور أن هاتين المجموعتين اللانهائيتين من الأعداد لهما نفس الحجم في الواقع، حيث يمكن إقران كل عدد مع الآخر؛ 1 - 10، 2 ​​- 20، 3 - 30 ... إلخ.

إذا نظرنا إلى الكسور، فسنجد عددًا لا نهائيًا منها بين أي عددين صحيحين، مما يشير إلى أن عدد الكسور اللانهائي أكبر من عدد الأعداد الصحيحة اللانهائي. ومع ذلك، استطاع كانتور أن يربط كل كسر بعدد صحيح، مثل: 1 - _1/1 ، ² - ^2/1 _، 3 - ^1/2 _، وهكذا حتى اللانهاية؛ أي أن عدد الكسور اللانهائي والأعداد الصحيحة اللانهائي متساوٍ.

لكن عندما تمّ النظر في مجموعة جميع الأعداد العشرية اللانهائية، استطاع كانتور أن يثبت أن هذا يُنتج لانهائية أكبر. والسبب في ذلك هو أنه مهما حاول المرء بناء مثل هذه القائمة، استطاع كانتور أن يُقدّم عددًا عشريًا جديدًا مفقودًا منها. وهكذا أثبت وجود لانهائيات مختلفة، بعضها أكبر من غيرها.

مع ذلك، واجه كانتور مشكلةً عجز عن حلّها: هل توجد لانهاية تقع بين اللانهاية الصغرى لجميع الكسور واللانهاية الكبرى للأعداد العشرية؟ اعتقد كانتور، فيما عُرف بفرضية الاستمرارية ، أنه لا توجد مثل هذه المجموعة. وكانت هذه أول مشكلةٍ ذكرها هيلبرت. ^{[ 2 ]}

ثم يناقش ماركوس أعمال هنري بوانكاريه في مجال "الهندسة المرنة". إذا أمكن تشكيل شكلين أو تحويلهما إلى شكل أحدهما الآخر، فإنهما يمتلكان نفس البنية الطوبولوجية. تمكن بوانكاريه من تحديد جميع الأسطح الطوبولوجية ثنائية الأبعاد الممكنة؛ إلا أنه في عام 1904، واجه مشكلة طوبولوجية، هي حدسية بوانكاريه ، لم يستطع حلها؛ وهي: ما هي جميع الأشكال الممكنة لكون ثلاثي الأبعاد؟ ^{[ 2 ]}

بحسب البرنامج، تم حل المسألة عام 2002 على يد غريغوري بيرلمان الذي ربطها بمجال مختلف من الرياضيات. درس بيرلمان ديناميكيات تدفق الأشياء فوق الشكل، مما مكّنه من إيجاد جميع الطرق التي يمكن بها لف الفضاء ثلاثي الأبعاد في أبعاد أعلى. ^{[ 2 ]}

تمّ الآن دراسة إنجازات ديفيد هيلبرت. فبالإضافة إلى مسائل هيلبرت ، وفضاء هيلبرت ، وتصنيف هيلبرت، ومتباينة هيلبرت، يُسلّط دو سوتوي الضوء على أعمال هيلبرت المبكرة في المعادلات، مُبرزًا إياه كرياضي قادر على التفكير بطرق جديدة. بيّن هيلبرت أنه على الرغم من وجود عدد لا نهائي من المعادلات، إلا أنه يُمكن بناء هذه المعادلات من عدد محدود من المجموعات التي تُشبه اللبنات الأساسية. لم يستطع هيلبرت بناء قائمة المجموعات هذه، بل أثبت وجودها فحسب. في الواقع، ابتكر هيلبرت أسلوبًا جديدًا أكثر تجريدًا في الرياضيات. ^{[ 2 ]}

على مدى ثلاثين عاماً، اعتقد هيلبرت أن الرياضيات لغة عالمية قوية بما يكفي لكشف جميع الحقائق وحل كل مسألة من مسائله الثلاث والعشرين. ومع ذلك، حتى في الوقت الذي كان هيلبرت يقول فيه " يجب أن نعرف، سنعرف" ، كان كورت غودل قد حطم هذا الاعتقاد؛ فقد صاغ نظرية عدم الاكتمال بناءً على دراسته للمسألة الثانية لهيلبرت .

لا يمكن إثبات هذا الادعاء

باستخدام نظام ترميز قائم على الأعداد الأولية ، تمكن غودل من تحويل ما سبق إلى عبارة حسابية بحتة. منطقياً، لا يمكن أن تكون العبارة السابقة خاطئة، وبالتالي فقد اكتشف غودل وجود عبارات رياضية صحيحة ولكن لا يمكن إثباتها. ^{[ 2 ]}

في خمسينيات القرن العشرين، تصدى عالم الرياضيات الأمريكي بول كوهين لتحدي فرضية كانتور المتصلة، التي تتساءل: "هل توجد أم لا مجموعة لانهائية من الأعداد أكبر من مجموعة الأعداد الصحيحة وأصغر من مجموعة الأعداد العشرية؟". وجد كوهين أن هناك عالمين رياضيين متسقين بنفس القدر. في أحدهما، تكون الفرضية صحيحة ولا توجد مثل هذه المجموعة. وفي الآخر، يوجد برهان رياضي متنافٍ ولكنه متسق بنفس القدر، يُثبت خطأ الفرضية ووجود مثل هذه المجموعة. لاحقًا، عمل كوهين على المسألة الثامنة لهيلبرت ، وهي فرضية ريمان ، وإن لم يحقق النجاح الذي حققه في أعماله السابقة. ^{[ 2 ]}

طرحت مسألة هيلبرت العاشرة سؤالًا حول إمكانية وجود طريقة شاملة لتحديد ما إذا كانت أي معادلة لها حلول من أعداد صحيحة أم لا. كان الاعتقاد السائد آنذاك هو استحالة وجود مثل هذه الطريقة، إلا أن السؤال ظل قائمًا: كيف يمكن إثبات أنه مهما بلغت براعة المرء، فلن يتمكن من التوصل إلى مثل هذه الطريقة؟ وقد أشار هيلبرت إلى بول كوهين . وللإجابة على هذا السؤال ، ابتكرت جوليا روبنسون فرضية روبنسون التي تنص على أنه لإثبات عدم وجود مثل هذه الطريقة، يكفي ابتكار معادلة واحدة تكون حلولها مجموعة محددة جدًا من الأعداد: يجب أن تنمو هذه المجموعة من الأعداد نموًا أُسّيًا، ومع ذلك تظل قابلة للحساب بواسطة المعادلات التي تُمثل جوهر مسألة هيلبرت. لم تتمكن روبنسون من إيجاد هذه المجموعة. ووقع هذا الجزء من الحل على عاتق يوري ماتياسيفيتش الذي اكتشف كيفية تمثيل متتالية فيبوناتشي باستخدام المعادلات التي تُمثل جوهر مسألة هيلبرت العاشرة. ^{[ 2 ]}

يتناول القسم الأخير بإيجاز الهندسة الجبرية . كان إيفاريست غالوا قد طور لغة جديدة للرياضيات. آمن غالوا بأن الرياضيات يجب أن تكون دراسة البنية لا العدد والشكل. اكتشف غالوا تقنيات جديدة لتحديد ما إذا كانت معادلات معينة قابلة للحل أم لا. وكان تناظر بعض الأشكال الهندسية هو المفتاح. استلهم أندريه ويل من عمل غالوا ، فأسس الهندسة الجبرية، وهي لغة جديدة كليًا. ربط عمل ويل بين نظرية الأعداد والجبر والطوبولوجيا والهندسة.

وأخيراً يذكر دو سوتوي دور ويل في ابتكار عالم الرياضيات الخيالي نيكولاس بورباكي ومساهم آخر في إنتاج بورباكي - ألكسندر غروتينديك . ^{[ 2 ]}