الضرب

الضرب هو إحدى العمليات الحسابية الأربع الأساسية ، إلى جانب الجمع والطرح والقسمة . يُسمى ناتج عملية الضرب بالناتج . يُرمز للضرب عادةً برمز الضرب ( ×) ، أو بنقطة في المنتصف ( ⋅) ، أو بوضع العددين جنبًا إلى جنب، أو في لغات البرمجة بعلامة النجمة ( *) . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

يمكن اعتبار ضرب الأعداد الصحيحة بمثابة جمع متكرر؛ أي أن ضرب عددين يكافئ جمع عدد من نسخ أحدهما، وهو المضروب ، يساوي عدد نسخ الآخر، وهو المضاعف . ويُشار إلى كلا العددين بالعوامل . ويجب التمييز بين هذا وبين الحدود ، التي تُجمع.

${\displaystyle a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a{\text{ times}}}.}$

قد يكون تحديد ما إذا كان العامل الأول هو المضاعف أو المضروب غامضًا أو يعتمد على السياق. على سبيل المثال، التعبير${\displaystyle 3\times 4}$يمكن صياغتها على النحو التالي: "3 × 4"، أو "ثلاث مجموعات من أربعة"، مع الإشارة إلى رمز الضرب بكلمة " من" ، وتقييمها على النحو التالي:${\displaystyle 4+4+4}$حيث 3 هو المضاعف، ولكن يمكن أيضًا اعتباره "3 مضروبًا في 4"، وفي هذه الحالة يصبح 3 هو المضروب فيه. ^{[ 3 ]} إحدى الخصائص الرئيسية للضرب هي الخاصية التبادلية، والتي تنص في هذه الحالة على أن جمع 3 نسخ من 4 يعطي نفس نتيجة جمع 4 نسخ من 3. وبالتالي، فإن تسمية المضاعف والمضروب لا تؤثر على نتيجة الضرب. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تُعرّف التعميمات المنهجية لهذا التعريف الأساسي عملية ضرب الأعداد الصحيحة (بما في ذلك الأعداد السالبة)، والأعداد النسبية (الكسور)، والأعداد الحقيقية.

يمكن أيضًا تصور عملية الضرب على أنها عدّ أشياء مرتبة في مستطيل (للأعداد الصحيحة) أو على أنها حساب مساحة مستطيل بأضلاع ذات أطوال محددة. وتبقى مساحة المستطيل ثابتة بغض النظر عن الضلع الذي يُقاس أولًا، وذلك نتيجة لخاصية التبديل.

ناتج ضرب قياسين (أو كميتين فيزيائيتين ) هو نوع جديد من القياس (أو كمية جديدة)، وعادةً ما تكون له وحدة قياس مشتقة . على سبيل المثال، ضرب طولي ضلعي مستطيل (بالمتر أو القدم) يعطي مساحته (بالمتر المربع أو القدم المربع). هذا الناتج هو موضوع التحليل البُعدي .

تُعتبر عملية القسمة عكس عملية الضرب . على سبيل المثال، بما أن 4 مضروبًا في 3 يساوي 12، فإن 12 مقسومًا على 3 يساوي 4. في الواقع، الضرب في 3، ثم القسمة على 3، يُعطي العدد الأصلي. قسمة أي عدد غير الصفر على نفسه يساوي 1.

تتوسع العديد من المفاهيم الرياضية في الفكرة الأساسية للضرب. ومن الأمثلة على ذلك: حاصل ضرب المتتاليات، وضرب المتجهات، والأعداد المركبة، والمصفوفات. وتميل هذه المفاهيم الأكثر تقدماً إلى التأثير على الخصائص الأساسية بطرقها الخاصة، كأن تصبح المصفوفات غير تبادلية في بعض أنواع ضرب المتجهات، أو أن يتغير إشارة الأعداد المركبة.

في الحساب ، غالبًا ما تُكتب عملية الضرب باستخدام علامة الضرب (إما × أو${\displaystyle \times }$) بين العوامل (أي، في تدوين الوسط ). ^{[ 6 ]} على سبيل المثال،

${\displaystyle 2\times 3=6,}$(اثنان في ثلاثة يساوي ستة)

${\displaystyle 3\times 4=12,}$

${\displaystyle 2\times 3\times 5=6\times 5=30,}$

${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 2\times 2=32.}$

استُخدم رمز الضرب لأول مرة من قِبل إدوارد رايت عام 1618 ^{[ 7 ]} . وهناك رموز رياضية أخرى للضرب:

• يُشار إلى عملية الضرب أيضًا بنقطة في المنتصف:${\displaystyle 5\cdot 2}$[ ^{6 ] [ 8 ] [ 7 ]} استُخدمت النقطة الوسطى لأول مرة من قِبل جي. دبليو. لايبنتز عام 1698 ^{[ 9 ] ،} لأن علامة الضرب × تُخلط بسهولة مع المتغير الرياضي الشائع س . تُعدّ النقطة الوسطى، أو عامل النقطة ، الآن معيارًا في الولايات المتحدة ودول أخرى. عندما لا يكون رمز عامل النقطة متاحًا، تُستخدم علامة الترقيم (·). في معظم الدول الأوروبية وغيرها من الدول التي تستخدم الفاصلة كفاصلة عشرية (  والنقطة كفاصلة آلاف ) ، تُستخدم علامة الضرب أو النقطة الوسطى للدلالة على الضرب. تاريخيًا، في المملكة المتحدة وأيرلندا، كانت النقطة الوسطى تُستخدم أحيانًا للفاصلة العشرية لمنعها من الاختفاء في السطر المسطر، وكانت النقطة تُستخدم للضرب. ومع ذلك، منذ أن أصدرت وزارة التكنولوجيا قرارًا في عام 1968 يقضي باستخدام النقطة كفاصلة عشرية، ^{[ 10 ]} ومنذ ذلك الحين تم اعتماد معيار النظام الدولي للوحدات (SI) على نطاق واسع، فإن هذا الاستخدام موجود الآن فقط في المجلات التقليدية مثل مجلة لانسيت . ^{[ 11 ]}
• في الجبر ، غالبًا ما تُكتب عملية الضرب التي تتضمن متغيرات على شكل تجاور (مثلاً،${\displaystyle xy}$ل${\displaystyle x}$أوقات${\displaystyle y}$أو${\displaystyle 5x}$لخمس مرات${\displaystyle x}$)، ويُطلق عليه أيضًا الضرب الضمني . ويمكن استخدام هذا الرمز أيضًا للكميات المحاطة بأقواس (مثلًا،${\displaystyle 5(2)}$،${\displaystyle (5)2}$أو${\displaystyle (5)(2)}$(خمسة مضروبة في اثنين). ^{[ 12 ]} قد يُسبب هذا الاستخدام الضمني للضرب غموضًا عندما تتطابق أسماء المتغيرات المُدمجة مع أسماء متغيرات أخرى، أو عندما يُخلط بين اسم متغير أمام قوس واسم دالة، أو في التحديد الصحيح لترتيب العمليات . ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• في عملية ضرب المتجهات ، يوجد فرق بين رمز الضرب الاتجاهي ورمز النقطة. يشير رمز الضرب الاتجاهي عمومًا إلى حساب الضرب الاتجاهي لمتجهين ، وينتج عنه متجه، بينما يشير رمز النقطة إلى حساب الضرب القياسي لمتجهين، وينتج عنه عدد قياسي .

في برمجة الحاسوب ، لا تزال علامة النجمة (كما في 5*2) هي الأكثر شيوعًا. ويعود ذلك إلى أن معظم الحواسيب تاريخيًا كانت محدودة بمجموعات أحرف صغيرة (مثل ASCII و EBCDIC ) تفتقر إلى علامة الضرب (مثل ×أو ⋅)، بينما كانت علامة النجمة تظهر على جميع لوحات المفاتيح. ^{[ 15 ]} وقد نشأ هذا الاستخدام في لغة برمجة FORTRAN . ^{[ 16 ]} (حتى المترجمات الحديثة لا تتعرف على أو كعوامل ضرب).×⋅

تُسمى الأعداد المراد ضربها عمومًا بالعوامل (كما في التحليل إلى عوامل ). العدد المراد ضربه هو المضروب ، والعدد الذي يُضرب به هو المضاعف . عادةً ما يُوضع المضاعف أولًا، ثم المضروب ثانيًا؛ ^{[ 17 ] [ 18 ]} ومع ذلك، في بعض الأحيان يُعتبر العامل الأول هو المضروب والثاني هو المضاعف. أيضًا، بما أن نتيجة الضرب لا تعتمد على ترتيب العوامل، فإن التمييز بين المضروب والمضاعف مفيد فقط على مستوى أساسي جدًا وفي بعض خوارزميات الضرب ، مثل الضرب المطول . لذلك، في بعض المصادر، يُعتبر مصطلح المضروب مرادفًا للعامل . ^{[ 19 ]} في الجبر، العدد الذي يُضرب به متغير أو تعبير (مثل 3 في${\displaystyle 3xy^{2}}$) يُطلق عليه اسم معامل .

تُسمى نتيجة عملية الضرب بالناتج . عندما يكون أحد العوامل عددًا صحيحًا ، يكون الناتج مضاعفًا للعامل الآخر أو ناتج ضرب العوامل الأخرى. وبالتالي،${\displaystyle 2\times \pi }$هو مضاعف لـ${\displaystyle \pi }$كما هو${\displaystyle 5133\times 486\times \pi }$. حاصل ضرب الأعداد الصحيحة هو مضاعف لكل عامل؛ على سبيل المثال، 15 هو حاصل ضرب 3 و 5 وهو مضاعف للعدد 3 ومضاعف للعدد 5.

يمكن تعريف حاصل ضرب عددين أو الضرب بين عددين لحالات خاصة شائعة: الأعداد الطبيعية، والأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية، والأعداد الحقيقية، والأعداد المركبة، والأعداد الرباعية.

حاصل ضرب عددين طبيعيين

حاصل ضرب عددين طبيعيين${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$يُعرَّف على النحو التالي:

$${\displaystyle r\cdot s\equiv \sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ مرات}}}\equiv \sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ مرات}}}.}$$

حاصل ضرب عددين مركبين

يمكن ضرب عددين مركبين باستخدام قانون التوزيع وحقيقة أن${\displaystyle i^{2}=-1}$، كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot cb\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}}$

يمكن فهم المعنى الهندسي لعملية الضرب المركب من خلال إعادة كتابة الأعداد المركبة في الإحداثيات القطبية :

${\displaystyle a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }}$

بالإضافة إلى،

${\displaystyle c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },}$

ومنها يحصل المرء

${\displaystyle (a\cdot cb\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.}$

المعنى الهندسي هو أن المقادير تُضرب والوسائط تُجمع.

تتطلب العديد من الطرق الشائعة لضرب الأعداد باستخدام القلم والورقة جدول ضرب يحتوي على نواتج ضرب أعداد صغيرة (عادةً أي عددين من 0 إلى 9) محفوظة أو مُستعان بها. إلا أن هناك طريقة واحدة، وهي خوارزمية الضرب البسيطة ، لا تتطلب ذلك. يوضح المثال أدناه "الضرب المطول" (الخوارزمية القياسية، أو ما يُعرف بـ"الضرب في المرحلة الابتدائية").

 23958233 × 5830 ——————————————— 00000000 ( = 23,958,233 × 0) 71874699 ( = 23,958,233 × 30) 191665864 ( = 23,958,233 × 800) + 119791165 ( = 23,958,233 × 5,000) ——————————————— 139676498390 ( = 139,676,498,390 )

في بعض البلدان مثل ألمانيا ، يتم تصوير عملية الضرب أعلاه بشكل مشابه ولكن مع كتابة المسألة الأصلية على سطر واحد وبدء الحساب بالرقم الأول من المضاعف: ^{[ 20 ]}

23958233 · 5830 ——————————————— 119791165 191665864 71874699 00000000 ——————————————— 139676498390

يُعدّ ضرب الأعداد يدويًا لأكثر من منزلتين عشريتين عمليةً شاقةً وعرضةً للأخطاء. وقد تم اختراع اللوغاريتمات العشرية لتسهيل هذه العمليات الحسابية، إذ أن جمع اللوغاريتمات يُعادل الضرب. وقد مكّنت المسطرة الحاسبة من ضرب الأعداد بسرعة بدقة تصل إلى ثلاث منازل عشرية تقريبًا. وبدايةً من أوائل القرن العشرين، قامت الآلات الحاسبة الميكانيكية ، مثل آلة مارشانت ، بأتمتة عملية ضرب الأعداد حتى عشرة أرقام. وقد قلّلت الحواسيب والآلات الحاسبة الإلكترونية الحديثة بشكل كبير من الحاجة إلى الضرب اليدوي.

الخوارزميات التاريخية

تم توثيق طرق الضرب في كتابات الحضارات المصرية واليونانية والهندية والصينية القديمة .

قد تشير عظمة إيشانغو ، التي يعود تاريخها إلى ما بين 18000 و20000  قبل الميلاد، إلى معرفة التكاثر في العصر الحجري القديم الأعلى في وسط أفريقيا ، لكن هذا يبقى مجرد تكهنات. ^{[ 21 ]}

المصريون

كانت الطريقة المصرية لضرب الأعداد الصحيحة والكسور، الموثقة في بردية ريند الرياضية ، تعتمد على الجمع المتتالي والمضاعفة. فعلى سبيل المثال، لإيجاد حاصل ضرب 13 و21، كان لا بد من مضاعفة 21 ثلاث مرات، فنحصل على: 2 × 21 = 42 ، 4 × 21 = 2 × 42 = 84 ، 8 × 21 = 2 × 84 = 168. ويمكن إيجاد الناتج الكامل بجمع الحدود المناسبة الموجودة في سلسلة المضاعفة: ^{[ 22 ]}

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

البابليون

استخدم البابليون نظامًا عدديًا ستينيًا موضعيًا ، مشابهًا للنظام العشري الحديث . ^{[ 23 ]} ولذلك، كانت عملية الضرب البابلية مشابهة جدًا لعملية الضرب العشرية الحديثة. ونظرًا لصعوبة تذكر 60 × 60 ناتج ضرب مختلف، استخدم علماء الرياضيات البابليون جداول الضرب . تتكون هذه الجداول من قائمة بأول عشرين مضاعفًا لعدد رئيسي معين ن : ن ، 2 ن ، ...، 20 ن ؛ متبوعة بمضاعفات 10 ن : 30 ن، 40 ن ، و50 ن . ^{[ 23 ]} ثم لحساب أي ناتج ضرب ستيني، مثل 53 ن ، يكفي جمع 50 ن و3 ن المحسوبة من الجدول.

الصينية

في النص الرياضي "تشوبي سوانجينغ" ، الذي يعود تاريخه إلى ما قبل 300  قبل الميلاد، وفي كتاب "الفصول التسعة في الفن الرياضي" ، كُتبت عمليات الضرب لفظيًا، على الرغم من أن علماء الرياضيات الصينيين الأوائل استخدموا حساب رود الذي يتضمن الجمع والطرح والضرب والقسمة وفقًا للقيمة المكانية. وكان الصينيون يستخدمون جدول الضرب العشري بحلول نهاية فترة الممالك المتحاربة . ^{[ 24 ]}

الأساليب الحديثة

وصف براهمغوبتا لأول مرة الطريقة الحديثة للضرب القائمة على نظام الأرقام الهندية العربية . وقد وضع براهمغوبتا قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة. وكتب هنري بورشارد فاين ، الذي كان آنذاك أستاذًا للرياضيات في جامعة برينستون ، ما يلي:

لم يقتصر ابتكار الهنود على النظام العشري الموضعي فحسب، بل شمل أيضاً معظم العمليات الحسابية الأساسية التي تُجرى باستخدام هذا النظام. فقد أجروا عمليات الجمع والطرح بنفس الطريقة التي تُجرى بها اليوم، وأجروا عمليات الضرب بطرق عديدة، من بينها طريقتنا، أما عمليات القسمة فقد أجروها بطريقة معقدة. ^{[ 25 ]}

تم تقديم خوارزميات الحساب العشري ذات القيمة المكانية هذه إلى الدول العربية من قبل الخوارزمي في أوائل  القرن التاسع الميلادي، وانتشر استخدامها في العالم الغربي على يد فيبوناتشي في القرن الثالث عشر الميلادي. ^{[ 26 ]}

طريقة الشبكة

تُستخدم طريقة الضرب الشبكي ، أو طريقة المربعات، في المدارس الابتدائية في إنجلترا وويلز وفي بعض مناطق الولايات المتحدة الأمريكية لتعليم الطلاب كيفية ضرب الأعداد ذات الأرقام المتعددة. فعلى سبيل المثال، لضرب 34 في 13، يمكن ترتيب الأرقام في شبكة كما يلي:

×	30	4
10	300	40
3	90	12

ثم أضف المدخلات.

لا يمكن جمع أو طرح كميات ذات معنى إلا من النوع نفسه، بينما يمكن ضرب أو قسمة كميات من أنواع مختلفة دون مشاكل. على سبيل المثال، يمكن اعتبار أربع أكياس تحتوي كل منها على ثلاث كرات زجاجية كما يلي: ^{[ 4 ]}

[4 أكياس] × [3 كرات زجاجية لكل كيس] = 12 كرة زجاجية.

عند ضرب قياسين معًا، يكون الناتج من نوعٍ يعتمد على نوعي القياسين. وتُقدّم النظرية العامة من خلال التحليل البُعدي . يُطبّق هذا التحليل بشكلٍ روتيني في الفيزياء، ولكنه يُستخدم أيضًا في التمويل ومجالات تطبيقية أخرى.

من الأمثلة الشائعة في الفيزياء أن ضرب السرعة في الزمن يعطي المسافة . على سبيل المثال:

50 كيلومترًا في الساعة × 3 ساعات = 150 كيلومترًا.

في هذه الحالة، يتم إلغاء وحدات الساعة، مما يترك المنتج بوحدات الكيلومتر فقط.

ومن الأمثلة الأخرى على عمليات الضرب التي تتضمن وحدات ما يلي:

2.5 متر × 4.5 متر = 11.25 متر مربع

11 متر/ثانية × 9 ثوانٍ = 99 متراً

4.5 ساكن لكل منزل × 20 منزلاً = 90 ساكناً

عند تكرار عملية الضرب، تُعرف العملية الناتجة بالرفع إلى الأس . على سبيل المثال، حاصل ضرب ثلاثة عوامل للعدد اثنين (2×2×2) هو "اثنان مرفوع للأس 3"، ويُرمز له بـ 2³ ^، أي اثنان مرفوع للأس 3. في هذا المثال، العدد اثنان هو الأساس ، وثلاثة هو الأس . ^{[ 33 ]} بشكل عام، يُشير الأس (أو الرقم العلوي) إلى عدد مرات ظهور الأساس في التعبير، بحيث يكون التعبير

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}=\prod _{i=1}^{n}a}$

يشير هذا إلى أنه سيتم ضرب n نسخة من الأساس a معًا. يمكن استخدام هذه الصيغة كلما عُرف أن عملية الضرب تجميعية للقوى .

بالنسبة للأعداد الحقيقية والمركبة ، والتي تشمل على سبيل المثال الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والكسور ، فإن عملية الضرب لها خصائص معينة:

خاصية التبديل

لا يهم ترتيب ضرب العددين: ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x.}$

الملكية الترابطية

التعبيرات التي تتضمن الضرب أو الجمع فقط تكون ثابتة فيما يتعلق بترتيب العمليات : ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z).}$

الملكية التوزيعية

ينطبق هذا على الضرب مقابل الجمع. وتُعد هذه المتطابقة ذات أهمية بالغة في تبسيط التعبيرات الجبرية: ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z.}$

عنصر الهوية

العنصر المحايد للضرب هو 1؛ أي عدد مضروب في 1 يساوي نفسه. تُعرف هذه الخاصية للعدد 1 بخاصية العنصر المحايد : ^{[ 34 ] [ 35 ]}

${\displaystyle x\cdot 1=x.}$

ملكية ٠

أي عدد مضروب في صفر يساوي صفرًا. وهذا ما يُعرف بخاصية الصفر في عملية الضرب: ^{[ 34 ]}

${\displaystyle x\cdot 0=0.}$

النفي

-1 مضروبًا في أي عدد يساوي المعكوس الجمعي لذلك العدد:

${\displaystyle (-1)\cdot x=(-x)}$، أين${\displaystyle (-x)+x=0.}$

-1 مضروبًا في -1 يساوي 1:

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1.}$

العنصر العكسي

كل عدد x ، باستثناء 0 ، له معكوس ضربي .${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$بحيث${\displaystyle x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1}$[ ^{36 ]​}

حفظ النظام

يحافظ الضرب في عدد موجب على الترتيب :

بالنسبة لـ a > 0 ، إذا كان b > c ، فإن ab > ac .

يؤدي الضرب في عدد سالب إلى عكس الترتيب:

بالنسبة لـ a < 0 ، إذا كان b > c ، فإن ab < ac .

لا يوجد ترتيب للأعداد المركبة يتوافق مع كل من الجمع والضرب. ^{[ 37 ]}

قد لا تمتلك الأنظمة الرياضية الأخرى التي تتضمن عملية الضرب جميع هذه الخصائص. على سبيل المثال، لا تكون عملية الضرب، بشكل عام، تبديلية بالنسبة للمصفوفات والأعداد الرباعية . ^{[ 34 ]} تُظهر نظرية هورويتز أنه بالنسبة للأعداد فائقة التعقيد ذات البعد 8 أو أكبر، بما في ذلك الأعداد الثمانية ، والأعداد السداسية ، والأعداد الثلاثية ، فإن عملية الضرب ليست تجميعية بشكل عام. ^{[ 38 ]}

في كتابه "الأصول الحسابية، المنهج الجديد الموضح "، اقترح جوزيبي بيانو بديهيات للحساب استنادًا إلى بديهياته للأعداد الطبيعية. يحتوي حساب بيانو على بديهيتين للضرب:

${\displaystyle x\times 0=0}$

${\displaystyle x\times S(y)=(x\times y)+x}$

هنا ، يُمثل S ( y ) العدد التالي لـ y ، أي العدد الطبيعي الذي يلي y . ويمكن إثبات الخصائص المختلفة، مثل التجميعية، من هذه البديهيات وغيرها من بديهيات حساب بيانو، بما في ذلك الاستقراء الرياضي . على سبيل المثال، S (0)، الذي يُرمز له بـ 1، هو عنصر محايد ضربي لأن

${\displaystyle x\times 1=x\times S(0)=(x\times 0)+x=0+x=x.}$

تُعرّف بديهيات الأعداد الصحيحة عادةً على أنها فئات تكافؤ لأزواج مرتبة من الأعداد الطبيعية. يعتمد النموذج على اعتبار ( س ، ص ) مكافئًا لـ س - ص عندما يُعامل س و ص كعددين صحيحين. وبالتالي، فإن كلًا من (٠، ١) و (١، ٢) مكافئان لـ -١. بديهية الضرب للأعداد الصحيحة المُعرّفة بهذه الطريقة هي

${\displaystyle (x_{p},\,x_{m})\times (y_{p},\,y_{m})=(x_{p}\times y_{p}+x_{m}\times y_{m},\;x_{p}\times y_{m}+x_{m}\times y_{p}).}$

يمكن استنتاج القاعدة التي تنص على أن −1 × −1 = 1 من

${\displaystyle (0,1)\times (0,1)=(0\times 0+1\times 1,\,0\times 1+1\times 0)=(1,0).}$

يتم توسيع عملية الضرب بطريقة مماثلة لتشمل الأعداد النسبية ثم الأعداد الحقيقية .

يمكن تعريف حاصل ضرب الأعداد الصحيحة غير السالبة باستخدام نظرية المجموعات، وذلك بالاستعانة بالأعداد الأصلية أو بديهيات بيانو . انظر أدناه كيفية توسيع هذا التعريف ليشمل ضرب أي عدد صحيح، ثم أي عدد نسبي. يُعرَّف حاصل ضرب الأعداد الحقيقية بدلالة حاصل ضرب الأعداد النسبية؛ انظر بناء الأعداد الحقيقية . ^{[ 39 ]}

توجد العديد من المجموعات التي، عند تطبيق عملية الضرب عليها، تحقق البديهيات التي تحدد بنية المجموعة . وهذه البديهيات هي الانغلاق، والتجميع، واحتواء عنصر محايد ومعكوسات.

مثال بسيط على ذلك هو مجموعة الأعداد النسبية غير الصفرية . هنا، العنصر المحايد هو 1، على عكس الزمر في عملية الجمع حيث يكون العنصر المحايد عادةً 0. لاحظ أنه في حالة الأعداد النسبية، يجب استبعاد الصفر لأنه، في عملية الضرب، ليس له معكوس: لا يوجد عدد نسبي يمكن ضربه في صفر لينتج عنه 1. في هذا المثال، تكون النتيجة زمرة تبديلية ، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا.

لتوضيح ذلك، لننظر إلى مجموعة المصفوفات المربعة القابلة للعكس ذات بُعد مُحدد على حقل مُحدد . هنا، من السهل التحقق من الانغلاق والتجميعية واحتواء مصفوفة الوحدة ( مصفوفة الوحدة ) ومعكوساتها. مع ذلك، فإن ضرب المصفوفات ليس تبديليًا، مما يُبين أن هذه المجموعة غير تبديلية.

ومن الحقائق الأخرى الجديرة بالملاحظة أن الأعداد الصحيحة عند ضربها لا تشكل زمرة، حتى لو استُبعد الصفر. ويتضح ذلك جلياً من عدم وجود معكوس لجميع العناصر باستثناء 1 و  -1.

يُرمز لعملية الضرب في نظرية الزمر عادةً إما بنقطة أو بالتجاور (حذف رمز العملية بين العناصر). لذا، يمكن التعبير عن ضرب العنصر أ في العنصر ب بالرمز أ.${\displaystyle \cdot }$b أو ab . عند الإشارة إلى مجموعة باستخدام اسم المجموعة والعملية، تُستخدم النقطة. على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى مثالنا الأول بـ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} /\{0\},\,\cdot \right)}$[ ^{40 ]​}

يمكن للأرقام أن تعد (3  تفاحات)، أو ترتب (التفاحة الثالثة  )، أو تقيس (  ارتفاع 3.5 قدم)؛ ومع تطور تاريخ الرياضيات من العد على أصابعنا إلى نمذجة ميكانيكا الكم، تم تعميم الضرب ليشمل أنواعًا أكثر تعقيدًا وتجريدًا من الأرقام، وأشياء ليست أرقامًا (مثل المصفوفات ) أو لا تشبه الأرقام كثيرًا (مثل الكواترنيونات ).

الأعداد الصحيحة

${\displaystyle N\times M}$هو مجموع N نسخة من M عندما يكون N و M عددين صحيحين موجبين. هذا يعطي عدد العناصر في مصفوفة عرضها N وارتفاعها M. يمكن تعميم ذلك على الأعداد السالبة بواسطة

${\displaystyle N\times (-M)=(-N)\times M=-(N\times M)}$و

${\displaystyle (-N)\times (-M)=N\times M}$

تنطبق قواعد الإشارة نفسها على الأعداد النسبية والحقيقية.

الأعداد النسبية

التعميم على الكسور${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}}$وذلك بضرب البسط والمقام على التوالي:${\displaystyle {\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}}$وهذا يعطي مساحة المستطيل${\displaystyle {\frac {A}{B}}}$مرتفع و${\displaystyle {\frac {C}{D}}}$واسع، وهو نفسه عدد العناصر في مصفوفة عندما تكون الأعداد النسبية أعدادًا صحيحة. ^{[ 34 ]}

الأعداد الحقيقية

يمكن تعريف الأعداد الحقيقية وحاصل ضربها بدلالة متتابعات الأعداد النسبية .

الأعداد المركبة

النظر في الأعداد المركبة${\displaystyle z_{1}}$و${\displaystyle z_{2}}$كأزواج مرتبة من الأعداد الحقيقية${\displaystyle (a_{1},b_{1})}$و${\displaystyle (a_{2},b_{2})}$المنتج${\displaystyle z_{1}\times z_{2}}$يكون${\displaystyle (a_{1}\times a_{2}-b_{1}\times b_{2},a_{1}\times b_{2}+a_{2}\times b_{1})}$هذا هو نفسه بالنسبة للحقيقيين.${\displaystyle a_{1}\times a_{2}}$عندما الأجزاء الخيالية${\displaystyle b_{1}}$و${\displaystyle b_{2}}$صفر.

بمعنى آخر، يشير إلى${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$مثل${\displaystyle i}$،${\displaystyle z_{1}\times z_{2}=(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}\times a_{2})+(a_{1}\times b_{2}i)+(b_{1}\times a_{2}i)+(b_{1}\times b_{2}i^{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})i.}$^{[ 34 ]}

أو بصيغة حساب المثلثات، إذا${\displaystyle z_{1}=r_{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1}),z_{2}=r_{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})}$، ثم${\textstyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\phi _{1}+\phi _{2})+i\sin(\phi _{1}+\phi _{2})).}$^{[ 34 ]}

تعميمات إضافية

انظر إلى الضرب في نظرية الزمر ، أعلاه، والزمرة الضربية ، التي تتضمن على سبيل المثال ضرب المصفوفات. يُعدّ مفهوم الضرب مفهومًا عامًا ومجردًا للغاية، وهو العملية الثنائية الثانية (المشار إليها ضربيًا) في حلقة . ومن أمثلة الحلقات التي لا تنتمي إلى أي من أنظمة الأعداد المذكورة أعلاه حلقة كثيرات الحدود (يمكن جمع كثيرات الحدود وضربها، لكنها ليست أعدادًا بالمعنى المعتاد).

قسم

غالباً ما يكون التقسيم،${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$، هو نفسه الضرب في معكوسه،${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$قد يكون لعملية الضرب لبعض أنواع "الأعداد" قسمة مقابلة، بدون معكوس؛ في مجال التكامل ، قد لا يكون لـ x معكوس.${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$" لكن${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$يمكن تعريفها. في حلقة القسمة توجد معكوسات، ولكن${\displaystyle {\frac {x}{y}}}$قد يكون الأمر غامضًا في الحلقات غير التبادلية لأن${\displaystyle x\left({\frac {1}{y}}\right)}$ليس بالضرورة أن يكون هو نفسه${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}\right)x}$[ ^{41 ]​}

• بوير، كارل ب. (مراجعة ميرزباخ، أوتا سي. ) (1991). تاريخ الرياضيات . جون وايلي وأولاده، شركة. ISBN 978-0-471-54397-8.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

• الضرب والعمليات الحسابية في أنظمة عددية مختلفة على موقع cut-the-knot
• تقنيات الضرب الصينية الحديثة على المعداد