التكامل باستخدام صيغة أويلر

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة عن طريق إضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "التكامل باستخدام صيغة أويلر" - الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( يوليو 2019 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل  ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل هندسي  ( حسابي هندسي ) متناسق متناوب قوة ثنائي الحدين تايلور اختبارات التقارب حد المجموع (اختبار المصطلح) نسبة جذر أساسي مقارنة مباشرة مقارنة الحدود سلسلة متناوبة تكاثف كوشي ديريتشليت هابيل
متجه التدرج التباعد حليقة لابلاسيان المشتق الاتجاهي الهويات نظريات التدرج جرينز ستوكس التباعد ستوكس المعمم تحلل هلمهولتز
متعدد المتغيرات الشكليات المصفوفة الموتر الخارج هندسي التعاريف Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

في حساب التكامل ، يمكن استخدام صيغة أويلر للأعداد المركبة لتقييم التكاملات التي تتضمن دوال مثلثية . باستخدام صيغة أويلر، يمكن كتابة أي دالة مثلثية من حيث الدوال الأسية المعقدة، وهي و و ثم التكامل. غالبًا ما تكون هذه التقنية أبسط وأسرع من استخدام الهويات المثلثية أو التكامل بالأجزاء ، وهي قوية بما يكفي لتكامل أي تعبير نسبي يتضمن دوال مثلثية. ^[1]${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle e^{-ix}}$

تنص صيغة أويلر على أن ^[2]

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\sin x.}$

يؤدي الاستبدال إلى الحصول على المعادلة ${\displaystyle -x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle e^{-ix}=\cos x-i\,\sin x}$

لأن جيب التمام دالة زوجية وجيب الزاوية دالة فردية. يمكن حل هاتين المعادلتين للحصول على الجيب وجيب التمام

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{and}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$

ضع في اعتبارك التكامل

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx.}$

النهج القياسي لهذا التكامل هو استخدام صيغة نصف الزاوية لتبسيط المتكامل. يمكننا استخدام متطابقة أويلر بدلاً من ذلك:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\,dx\,&=\,\int \left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}dx\\[6pt]&=\,{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx\end{aligned}}}$

في هذه المرحلة، سيكون من الممكن العودة إلى الأعداد الحقيقية باستخدام الصيغة e ^{2 ix} + e ^{−2 ix} = 2 cos 2 x . أو يمكننا تكامل الأسس المركبة وعدم العودة إلى الدوال المثلثية حتى النهاية:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right)dx&={\frac {1}{4}}\left({\frac {e^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {e^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}}$

ضع في اعتبارك التكامل

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx.}$

سيكون حل هذا التكامل باستخدام الهويات المثلثية أمرًا شاقًا للغاية، ولكن استخدام هوية أويلر يجعل الأمر غير مؤلم نسبيًا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx&=\int \left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {e^{4ix}+e^{-4ix}}{2}}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{2ix}-2+e^{-2ix}\right)\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)dx\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left(e^{6ix}-2e^{4ix}+e^{2ix}+e^{-2ix}-2e^{-4ix}+e^{-6ix}\right)dx.\end{aligned}}}$

في هذه المرحلة، يمكننا إما التكامل بشكل مباشر، أو يمكننا أولاً تغيير المتكامل إلى 2 cos 6 x − 4 cos 4 x + 2 cos 2 x والاستمرار من هناك. أي من الطريقتين تعطي

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\,dx=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C.}$

بالإضافة إلى متطابقة أويلر، قد يكون من المفيد الاستخدام الحكيم للأجزاء الحقيقية من التعبيرات المعقدة. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التكامل

${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$

بما أن cos x هو الجزء الحقيقي من e ^ix ، فإننا نعلم أن

${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx=\operatorname {Re} \int e^{x}e^{ix}\,dx.}$

من السهل تقييم التكامل الموجود على اليمين:

${\displaystyle \int e^{x}e^{ix}\,dx=\int e^{(1+i)x}\,dx={\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}+C.}$

هكذا:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int e^{x}\cos x\,dx&=\operatorname {Re} \left({\frac {e^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {e^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C\\[6pt]&=e^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}$

بشكل عام، يمكن استخدام هذه التقنية لتقييم أي كسور تتضمن دوال مثلثية. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التكامل

${\displaystyle \int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\,dx.}$

باستخدام هوية أويلر، يصبح هذا التكامل

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {6+e^{2ix}+e^{-2ix}}{e^{ix}+e^{-ix}+e^{3ix}+e^{-3ix}}}\,dx.}$

إذا قمنا الآن بالاستبدال ، فإن النتيجة هي تكامل الدالة الكسرية : ${\displaystyle u=e^{ix}}$

${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+6u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\,du.}$

من الممكن المضي قدمًا باستخدام تحلل الكسور الجزئية .

• التعويض المثلثي
• استبدال ويرشتراس
• استبدال أويلر