مسرد مصطلحات التفاضل والتكامل

معظم المصطلحات المدرجة في قواميس ويكيبيديا مُعرّفة ومُوضّحة بالفعل داخل ويكيبيديا نفسها. مع ذلك، تُعدّ قواميس كهذا مفيدة للبحث عن عدد كبير من المصطلحات ومقارنتها ومراجعتها معًا. يمكنك المساهمة في إثراء هذه الصفحة بإضافة مصطلحات جديدة أو كتابة تعريفات للمصطلحات الموجودة.

هذا المعجم الخاص بحساب التفاضل والتكامل عبارة عن قائمة بتعريفات حول حساب التفاضل والتكامل وفروعه والمجالات ذات الصلة.

اختبار أبيل

طريقة لاختبار تقارب متسلسلة لانهائية .

التقارب المطلق

يُقال إن متسلسلة أعداد لانهائية تتقارب تقاربًا مطلقًا (أو أنها متقاربة تقاربًا مطلقًا ) إذا كان مجموع القيم المطلقة لحدودها محدودًا. وبشكل أدق، متسلسلة حقيقية أو مركبة${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty}a_{n}}$يقال إنها تتقارب تقارباً مطلقاً إذا${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L}$لبعض الأعداد الحقيقية${\displaystyle \textstyle L}$وبالمثل، فإن التكامل غير المحدود لدالة ما ،${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$يُقال إن الدالة تتقارب تقاربًا مطلقًا إذا كان تكامل القيمة المطلقة للدالة المراد تكاملها محدودًا، أي إذا${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }\left|f(x)\right|dx=L.}$

الحد الأقصى المطلق

أعلى قيمة تصل إليها الدالة.

الحد الأدنى المطلق

أدنى قيمة تصل إليها الدالة.

القيمة المطلقة

القيمة المطلقة أو المعيار | x | لعدد حقيقي x هي القيمة غير السالبة لـ x بغض النظر عن إشارته . أي أن | x | = x عندما يكون x موجبًا ، و | x | = −x عندما يكون x سالبًا (وفي هذه الحالة يكون −x موجبًا)، و |0| = 0. على سبيل المثال، القيمة المطلقة للعدد 3 هي 3، والقيمة المطلقة للعدد −3 هي أيضًا 3. يمكن اعتبار القيمة المطلقة للعدد بمثابة بُعده عن الصفر.    

سلسلة متناوبة

متسلسلة لانهائية تتناوب حدودها بين القيم الموجبة والسالبة.

اختبار السلسلة المتناوبة

هي الطريقة المستخدمة لإثبات أن المتسلسلة المتناوبة ذات الحدود المتناقصة في القيمة المطلقة هي متسلسلة متقاربة . وقد استخدم هذا الاختبار غوتفريد لايبنتز، ويُعرف أحيانًا باسم اختبار لايبنتز ، أو قاعدة لايبنتز ، أو معيار لايبنتز .

الحلقة

جسم على شكل حلقة، منطقة محصورة بدائرتين متحدتي المركز .

مضاد المشتق

الدالة الأصلية ، أو الدالة الأولية ، أو التكامل الأولي ، أو التكامل غير المحدد ^{[ ملاحظة 1 ]} للدالة f هي دالة قابلة للتفاضل F مشتقتها تساوي الدالة الأصلية f . ويمكن التعبير عن ذلك رمزياً كما يلي:${\displaystyle F'=f}$[ ^{1 ] [ 2 ]} تسمى عملية إيجاد الدوال الأصلية بالتفاضل العكسي (أو التكامل غير المحدد ⁾ وتسمى العملية المعاكسة لها بالتفاضل، وهي عملية إيجاد المشتقة.

دالة الجيب العكسية

المساحة تحت المنحنى

خط التقارب

في الهندسة التحليلية ، يُعرَّف الخط المقارب لمنحنى بأنه خط مستقيم تقترب المسافة بينه وبين المنحنى من الصفر عندما يقترب أحد إحداثيات x أو y أو كلاهما من اللانهاية . تشترط بعض المصادر ألا يتقاطع المنحنى مع الخط المقارب عددًا لا نهائيًا من المرات، إلا أن هذا الشرط نادر في الدراسات الحديثة. ^{[ 3 ]} أما في الهندسة الإسقاطية وما يتصل بها، فيُعرَّف الخط المقارب لمنحنى بأنه خط مستقيم يلامس المنحنى عند نقطة في اللانهاية . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

التفاضل التلقائي

في الرياضيات والجبر الحاسوبي ، يُعرف التفاضل التلقائي ( AD )، أو التفاضل الخوارزمي ، أو التفاضل الحسابي ، ^{[ 6 ] [ 7 ]} بأنه مجموعة من التقنيات لحساب مشتقة دالة محددة بواسطة برنامج حاسوبي. يستغل التفاضل التلقائي حقيقة أن كل برنامج حاسوبي، مهما بلغت درجة تعقيده، يُنفذ سلسلة من العمليات الحسابية الأساسية (الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، إلخ) والدوال الأساسية (الدالة الأسية، اللوغاريتم، الجيب، جيب التمام، إلخ). بتطبيق قاعدة السلسلة بشكل متكرر على هذه العمليات، يُمكن حساب مشتقات أي رتبة تلقائيًا، بدقة تصل إلى دقة العمل، وباستخدام عدد من العمليات الحسابية لا يتجاوز عامل ثابت صغير مقارنةً بالبرنامج الأصلي.

متوسط ​​معدل التغير

معامل ذي الحدين

أي عدد صحيح موجب يظهر كمعامل في نظرية ذات الحدين هو معامل ذات حدين . عادةً، يُرمز لمعامل ذات الحدين بزوج من الأعداد الصحيحة n ≥ k ≥ 0 ويُكتب على النحو التالي:${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$هو معامل الحد x ^k في مفكوك كثير الحدود لقوة ذات الحدين (1 + x ) ⁿ ، ويُعطى بالصيغة التالية :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.}$

نظرية ذات الحدين (أو مفكوك ذات الحدين )

يصف هذا النص التوسع الجبري لقوى ذات الحدين .

دالة محدودة

تُسمى الدالة f المعرفة على مجموعة X ذات قيم حقيقية أو مركبة دالة محدودة ، إذا كانت مجموعة قيمها محدودة . بعبارة أخرى، يوجد عدد حقيقي M بحيث

${\displaystyle |f(x)|\leq M}$

لكل x في X. يقال إن الدالة غير المحدودة هي دالة غير محدودة .

أحيانًا، إذا كانت f ( x ) ≤ A لجميع قيم x في X ، يُقال إن الدالة محدودة من الأعلى بـ A. من ناحية أخرى، إذا كانت f ( x ) ≥ B لجميع قيم x في X ، يُقال إن الدالة محدودة من الأسفل بـ B.

تسلسل محدود

.

حساب التفاضل والتكامل

(من اللاتينية calculus ، وتعني حرفيًا "حصاة صغيرة"، وتستخدم للعد والحسابات، كما هو الحال في المعداد ) ^{[ 8 ]} هي الدراسة الرياضية للتغير المستمر، بنفس الطريقة التي تكون بها الهندسة دراسة الشكل والجبر دراسة تعميمات العمليات الحسابية .

مبدأ كافالييري

مبدأ كافالييري ، وهو تطبيق حديث لطريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة ، والذي سمي على اسم بونافنتورا كافالييري ، هو كما يلي: ^{[ 9 ]}

• في الحالة ثنائية الأبعاد : لنفترض أن منطقتين في مستوى ما تقعان بين خطين متوازيين في ذلك المستوى. إذا تقاطع كل خط موازٍ لهذين الخطين مع المنطقتين في قطع مستقيمة متساوية الطول، فإن المنطقتين متساويتان في المساحة.
• في الحالة ثلاثية الأبعاد : لنفترض أن منطقتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد (مجسمات) محصورتان بين مستويين متوازيين. إذا تقاطع كل مستوى موازٍ لهذين المستويين مع المنطقتين بمقاطع عرضية متساوية المساحة، فإن المنطقتين لهما حجمان متساويان.

قاعدة السلسلة

قاعدة السلسلة هي صيغة لحساب مشتقة تركيب دالتين أو أكثر . أي، إذا كانت f و g دالتين، فإن قاعدة السلسلة تعبر عن مشتقة تركيبهما f ∘ g (الدالة التي تربط x بـ f ( g ( x )) ) بدلالة مشتقات f و g وحاصل ضرب الدالتين كما يلي:

${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'.}$

يمكن التعبير عن ذلك بشكل مكافئ بدلالة المتغير. ليكن F = f ∘ g ، أو بشكل مكافئ، F ( x ) = f ( g ( x )) لجميع قيم x . عندئذٍ يمكن أيضًا كتابة

${\displaystyle F'(x)=f'(g(x))g'(x).}$

يمكن كتابة قاعدة السلسلة باستخدام ترميز لايبنتز على النحو التالي: إذا كان المتغير z يعتمد على المتغير y ، الذي يعتمد بدوره على المتغير x ، بحيث يكون y و z متغيرين تابعين ، فإن z ، عبر المتغير الوسيط y ، يعتمد على x أيضًا. وتنص قاعدة السلسلة على ما يلي:

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}.}$

يرتبط الشكلان المختلفان لقاعدة السلسلة؛ إذا${\displaystyle z=f(y)}$و${\displaystyle y=g(x)}$، ثم

${\displaystyle {\frac {dz}{dx}}={\frac {dz}{dy}}\cdot {\frac {dy}{dx}}=f'(y)g'(x)=f'(g(x))g'(x).}$

في التكامل ، المقابل لقاعدة السلسلة هو قاعدة الاستبدال .

تغيير المتغيرات

هي تقنية أساسية تُستخدم لتبسيط المسائل، حيث تُستبدل المتغيرات الأصلية بدوال لمتغيرات أخرى. والهدف من ذلك هو أنه عند التعبير عن المسألة بمتغيرات جديدة، قد تصبح أبسط، أو مكافئة لمسألة مفهومة بشكل أفضل.

الوظيفة المشتركة

تُسمى الدالة f دالة متممة للدالة g إذا كانت f ( A ) = g ( B ) عندما تكون A و B زاويتين متتامتين . ^{[ 10 ]} ينطبق هذا التعريف عادةً على الدوال المثلثية . ^{[ 11 ] [ 12 ]} يمكن إيجاد البادئة "co-" في كتاب إدموند غونتر " قانون المثلثات " (1620). ^{[ 13 ] [ 14 ]}

دالة مقعرة

الدالة المقعرة هي معكوس الدالة المحدبة . وتُسمى الدالة المقعرة أيضاً بالدالة المقعرة للأسفل ، أو المقعرة للأسفل ، أو المحدبة للأعلى ، أو ذات الغطاء المحدب ، أو المحدبة العلوية .

ثابت التكامل

التكامل غير المحدد لدالة معينة (أي مجموعة جميع الدوال الأصلية للدالة) على مجال متصل لا يُعرَّف إلا حتى ثابت جمعي، وهو ثابت التكامل . ^{[ 15 ] [ 16 ]} يعبر هذا الثابت عن غموض متأصل في بناء الدوال الأصلية. إذا كانت الدالة${\displaystyle f(x)}$يتم تعريفها على فترة و${\displaystyle F(x)}$هو مضاد للمشتقة${\displaystyle f(x)}$ثم مجموعة جميع الدوال الأصلية لـ${\displaystyle f(x)}$يتم تحديدها بواسطة الدوال${\displaystyle F(x)+C}$حيث C ثابت اختياري (بمعنى أن أي قيمة لـ C تجعل${\displaystyle F(x)+C}$(دالة أصلية صالحة). يتم حذف ثابت التكامل أحيانًا في قوائم التكاملات للتبسيط.

دالة متصلة

هي دالة تؤدي فيها تغييرات صغيرة كافية في المدخلات إلى تغييرات صغيرة جدًا في المخرجات. وإلا، تُسمى الدالة غير متصلة . أما الدالة المتصلة التي لها دالة عكسية متصلة فتُسمى تماثلًا شكليًا .

قابلة للتفاضل باستمرار

يقال إن الدالة f قابلة للتفاضل بشكل مستمر إذا كانت المشتقة f ′ ( x ) موجودة وهي نفسها دالة مستمرة.

تكامل الكونتور

في مجال التحليل المركب ، يُعد التكامل الكفافي طريقةً لتقييم بعض التكاملات على طول مسارات في المستوى المركب. ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

اختبارات التقارب

هل طرق اختبار تقارب أو تقارب مشروط أو تقارب مطلق أو فترة تقارب أو تباعد متسلسلة لانهائية${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

المتسلسلات المتقاربة

في الرياضيات ، المتسلسلة هي مجموع حدود متتالية لا نهائية من الأعداد. بفرض متتالية لا نهائية${\displaystyle \left(a_{1},\ a_{2},\ a_{3},\dots \right)}$، المجموع الجزئي رقم ن${\displaystyle S_{n}}$هو مجموع أول n حد من المتتالية، أي

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

تكون المتسلسلة متقاربة إذا كانت متتالية مجاميعها الجزئية${\displaystyle \left\{S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\dots \right\}}$تقترب المتسلسلة من حدٍّ معين ؛ أي أن المجاميع الجزئية تقترب أكثر فأكثر من عددٍ مُحدد كلما ازداد عدد حدودها. بتعبير أدق، تتقارب المتسلسلة إذا وُجد عددٌ ما.${\displaystyle \ell }$بحيث يكون لأي عدد موجب صغير بشكل تعسفي${\displaystyle \varepsilon }$يوجد عدد صحيح (كبير بما فيه الكفاية)${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n\geq \ N}$،

${\displaystyle \left|S_{n}-\ell \right\vert \leq \ \varepsilon .}$

إذا كانت المتسلسلة متقاربة، فإن العدد${\displaystyle \ell }$(الفريد بالضرورة) يسمى مجموع السلسلة .

أي متسلسلة غير متقاربة يقال إنها متباعدة .

دالة محدبة

في الرياضيات ، تُسمى الدالة الحقيقية المعرفة على فترة n- بُعدية محدبة (أو محدبة لأسفل أو مقعرة لأعلى ) إذا كانت القطعة المستقيمة الواصلة بين أي نقطتين على منحنى الدالة تقع فوق المنحنى أو عليه، في فضاء إقليدي (أو بشكل أعم ، فضاء متجهي ) ذي بُعدين على الأقل. وبصورة مكافئة، تكون الدالة محدبة إذا كان منحنىها العلوي (مجموعة النقاط على منحنى الدالة أو فوقه) مجموعة محدبة . بالنسبة لدالة قابلة للتفاضل مرتين لمتغير واحد، إذا كانت المشتقة الثانية دائمًا أكبر من أو تساوي صفرًا على كامل مجالها، فإن الدالة تكون محدبة. ^{[ 20 ]} من الأمثلة المعروفة للدوال المحدبة الدالة التربيعية.${\displaystyle x^{2}}$والدالة الأسية${\displaystyle e^{x}}$.

قاعدة كرامر

في الجبر الخطي ، تُعدّ قاعدة كرامر صيغةً صريحةً لحلّ نظام المعادلات الخطية الذي يحتوي على عدد من المعادلات يساوي عدد المجاهيل، وهي صالحةٌ عندما يكون للنظام حلّ وحيد. تُعبّر هذه القاعدة عن الحلّ بدلالة مُحدّدات مصفوفة المعاملات (المربعة) والمصفوفات المُستخرجة منها باستبدال أحد أعمدة المصفوفة بمتجه عمودي يُمثّل الطرف الأيمن للمعادلات. سُمّيت القاعدة نسبةً إلى غابرييل كرامر (1704-1752 ) ، الذي نشرها لعددٍ عشوائيّ من المجاهيل عام 1750، ^{[ 21 ] [ 22 ]} مع العلم أن كولين ماكلورين نشر أيضًا حالاتٍ خاصةٍ من القاعدة عام 1748 ^{[ 23 ]} (وربما كان على درايةٍ بها منذ عام 1729). ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}

نقطة حرجة

النقطة الحرجة أو النقطة الثابتة لدالة قابلة للتفاضل لمتغير حقيقي أو مركب هي أي قيمة في مجالها حيث تكون مشتقتها صفرًا. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

منحنى

المنحنى (يسمى أيضًا الخط المنحني في النصوص القديمة) هو، بشكل عام، جسم يشبه الخط ولكنه ليس بالضرورة أن يكون مستقيمًا .

رسم المنحنيات

في الهندسة ، يشمل رسم المنحنيات (أو تتبعها ) تقنيات تُستخدم لإنتاج فكرة تقريبية عن الشكل العام لمنحنى مستوٍ بمعلومية معادلته، دون الحاجة إلى حساب عدد كبير من النقاط المطلوبة لرسم تفصيلي. وهو تطبيق لنظرية المنحنيات لتحديد خصائصها الرئيسية. هنا، المدخل هو معادلة. أما في الهندسة الرقمية، فهو أسلوب لرسم المنحنى بكسلًا بكسلًا. هنا، المدخل هو مصفوفة (صورة رقمية).

موجة جيبية مخمدة

هي دالة جيبية يقترب سعتها من الصفر مع ازدياد الزمن. ^{[ 29 ]}

درجة متعددة الحدود

هي أعلى درجة من بين حدودها (الحدود الفردية) ذات المعاملات غير الصفرية. درجة الحد هي مجموع أسس المتغيرات التي تظهر فيه، وبالتالي فهي عدد صحيح غير سالب.

المشتق

مشتقة دالة لمتغير حقيقي تقيس مدى حساسية قيمة الدالة (القيمة الناتجة) لتغير وسيطها (القيمة المدخلة). تُعدّ المشتقات أداة أساسية في حساب التفاضل والتكامل . على سبيل المثال، مشتقة موضع جسم متحرك بالنسبة للزمن هي سرعة الجسم : وهذا يقيس مدى سرعة تغير موضع الجسم مع مرور الوقت.

اختبار المشتقات

يستخدم اختبار المشتقة مشتقات الدالة لتحديد النقاط الحرجة لها، وتحديد ما إذا كانت كل نقطة تمثل قيمة عظمى محلية ، أو قيمة صغرى محلية ، أو نقطة سرجية . كما يمكن لاختبارات المشتقة أن توفر معلومات حول تقعر الدالة.

دالة قابلة للتفاضل

الدالة القابلة للتفاضل لمتغير حقيقي واحد هي دالة يكون مشتقها موجودًا عند كل نقطة في مجال تعريفها . ونتيجة لذلك، يجب أن يحتوي الرسم البياني للدالة القابلة للتفاضل على خط مماس (غير رأسي ) عند كل نقطة في مجال تعريفها، وأن يكون أملسًا نسبيًا، ولا يمكن أن يحتوي على أي انقطاعات أو انحناءات أو نقاط حادة .

التفاضلي (متناهي الصغر)

يُستخدم مصطلح التفاضل في حساب التفاضل والتكامل للإشارة إلى تغير متناهي الصغر (صغير جدًا) في كمية متغيرة . على سبيل المثال، إذا كان x متغيرًا ، فإن التغير في قيمة x يُرمز إليه غالبًا بـ Δx ( يُنطق دلتا x ). يُمثل التفاضل dx تغيرًا متناهي الصغر في المتغير x . تُعد فكرة التغير المتناهي الصغر أو البطيء جدًا مفيدة للغاية من الناحية البديهية، وهناك عدد من الطرق لجعل هذا المفهوم دقيقًا رياضيًا. باستخدام حساب التفاضل والتكامل، من الممكن ربط التغيرات المتناهية الصغر لمتغيرات مختلفة ببعضها البعض رياضيًا باستخدام المشتقات . إذا كانت y دالة في x ، فإن التفاضل dy لـ y يرتبط بـ dx بالصيغة التالية:

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx,}$

حيث يرمز dy / dx إلى مشتقة y بالنسبة إلى x . تلخص هذه الصيغة الفكرة البديهية القائلة بأن مشتقة y بالنسبة إلى x هي نهاية نسبة الفروق Δy / Δx عندما تصبح Δx متناهية الصغر .

حساب التفاضل

يُعدّ فرعًا من فروع حساب التفاضل والتكامل ^{[ 30 ]} يهتم بدراسة معدلات تغير الكميات. وهو أحد القسمين التقليديين لحساب التفاضل والتكامل، والآخر هو حساب التكامل ، الذي يدرس المساحة تحت المنحنى. ^{[ 31 ]}

معادلة تفاضلية

هي معادلة رياضية تربط دالة ما بمشتقاتها . في التطبيقات، تمثل الدوال عادةً كميات فيزيائية، وتمثل المشتقات معدلات تغيرها، وتحدد المعادلة علاقة بينهما.

المؤثر التفاضلي

.

تفاضل دالة

في حساب التفاضل والتكامل ، يُمثل التفاضل الجزء الرئيسي من التغير في الدالة y  = f ( x ) بالنسبة للتغيرات في المتغير المستقل. ويُعرَّف التفاضل dy كما يلي: 

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$

أين${\displaystyle f'(x)}$هي مشتقة f بالنسبة إلى x ، و dx متغير حقيقي إضافي (بحيث تكون dy دالة في x و dx ). الترميز المستخدم يجعل المعادلة

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$

ينطبق هذا، حيث يُمثَّل المشتق برمز لايبنتز dy / dx ، وهذا يتوافق مع اعتبار المشتق خارج قسمة التفاضلات. ويمكن كتابة ذلك أيضًا

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$

يعتمد المعنى الدقيق للمتغيرين dy و dx على سياق التطبيق ومستوى الدقة الرياضية المطلوب. قد يكتسب نطاق هذين المتغيرين دلالة هندسية خاصة إذا اعتُبر التفاضل شكلاً تفاضلياً معيناً ، أو دلالة تحليلية إذا اعتُبر التفاضل تقريباً خطياً لتزايد دالة. تقليدياً، يُعتبر المتغيران dx و dy صغيرين جداً ( متناهيي الصغر )، ويُضفى على هذا التفسير مزيد من الدقة في التحليل غير القياسي .

قواعد التمايز

.

اختبار المقارنة المباشرة

اختبار التقارب الذي تتم فيه مقارنة متسلسلة لانهائية أو تكامل غير صحيح بواحدة ذات خصائص تقارب معروفة.

اختبار ديريشلي

هي طريقة لاختبار تقارب متسلسلة . سُميت نسبةً إلى مؤلفها بيتر غوستاف ليجون ديريشليه ، ونُشرت بعد وفاته في مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية عام 1862. ^{[ 32 ]} ينص الاختبار على أنه إذا${\displaystyle \{a_{n}\}}$هي سلسلة من الأعداد الحقيقية و${\displaystyle \{b_{n}\}}$متتالية من الأعداد المركبة تحقق

• ${\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}$

• ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}$

• ${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}$لكل عدد صحيح موجب N

حيث M ثابت ما، فإن المتسلسلة

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}$

يتقارب.

تكامل القرص

تُعرف أيضًا في حساب التكامل باسم طريقة القرص ، وهي وسيلة لحساب حجم جسم صلب دوراني لمادة صلبة عند التكامل على طول محور "موازٍ" لمحور الدوران .

سلسلة متباينة

هي متسلسلة لانهائية غير متقاربة ، مما يعني أن المتتالية اللانهائية للمجاميع الجزئية للمتسلسلة ليس لها نهاية محدودة .

عدم الاستمرارية

تُعدّ الدوال المتصلة ذات أهمية بالغة في الرياضيات ، وتحديدًا في الدوال وتطبيقاتها. مع ذلك، ليست كل الدوال متصلة. إذا لم تكن الدالة متصلة عند نقطة ما في مجال تعريفها ، يُقال إنها غير متصلة عند تلك النقطة. قد تكون مجموعة جميع نقاط عدم الاتصال للدالة مجموعة منفصلة ، ​​أو مجموعة كثيفة ، أو حتى مجال تعريف الدالة بأكمله.

منتج نقطي

في الرياضيات ، يُعرف الضرب القياسي أو الضرب الداخلي ^{[ ملاحظة 1 ]} بأنه عملية جبرية تأخذ سلسلتين متساويتين في الطول من الأرقام (عادةً متجهات إحداثية ) وتُرجع رقمًا واحدًا. في الهندسة الإقليدية ، يُستخدم الضرب القياسي للإحداثيات الديكارتية لمتجهين على نطاق واسع، ويُطلق عليه غالبًا اسم " الضرب الداخلي " (أو نادرًا " ضرب الإسقاط ") للفضاء الإقليدي، مع أنه ليس الضرب الداخلي الوحيد الذي يُمكن تعريفه على هذا الفضاء؛ انظر أيضًا: فضاء الضرب الداخلي .

التكامل المزدوج

التكامل المتعدد هو تكامل محدد لدالة تحتوي على أكثر من متغير حقيقي ، على سبيل المثال، f ( x , y ) أو f ( x , y , z ) . تُسمى تكاملات دالة تحتوي على متغيرين على منطقة في R² بالتكاملات الثنائية ، وتُسمى تكاملات دالة تحتوي ^على ثلاثة متغيرات على منطقة في ^R³ بالتكاملات الثلاثية . ^{[ 33 ]}

e (ثابت رياضي)

العدد e ثابت رياضي يُشكّل أساس اللوغاريتم الطبيعي : وهو العدد الوحيد الذي يساوي لوغاريتمه الطبيعي واحدًا. يُقارب قيمته 2.71828 [ ^{34 ] ،} وهو نهاية ( 1 + 1/ n ) ⁿ عندما يقترب n من اللانهاية ، وهو تعبير يُستخدم في دراسة الفائدة المركبة . ويمكن حسابه أيضًا كمجموع متسلسلة لانهائية ^{[ 35 ].}

${\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

التكامل الإهليلجي

في حساب التكامل ، نشأت التكاملات الإهليلجية في الأصل لحلّ مسألة إيجاد طول قوس القطع الناقص . وقد درسها لأول مرة جوليو فانيانو وليونهارد أويلر ( حوالي عام ١٧٥٠ ). ويُعرّف علم الرياضيات الحديث "التكامل الإهليلجي" بأنه أي دالة f يمكن التعبير عنها بالصيغة التالية:

${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt,}$

حيث R دالة كسرية لمتغيريها، و P متعددة حدود من الدرجة 3 أو 4 بدون جذور متكررة، و c ثابت.

انقطاع جوهري

بالنسبة لعدم استمرارية جوهرية، يكفي ألا توجد إحدى النهايتين أحاديتي الجانب أو أن تكون لانهائية. لنفترض الدالة

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\{\frac {1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

ثم، النقطة${\displaystyle \scriptstyle x_{0}\;=\;1}$يمثل انقطاعاً جوهرياً .

في هذه الحالة،${\displaystyle \scriptstyle L^{-}}$غير موجود و${\displaystyle \scriptstyle L^{+}}$هي لانهائية – وبالتالي تحقق ضعف شروط الانقطاع الأساسي. لذا فإن x ≠ ₀ هو انقطاع أساسي ، أو انقطاع لانهائي ، أو انقطاع من النوع الثاني . (يختلف هذا عن مصطلح التفرد الأساسي الذي يُستخدم غالبًا عند دراسة الدوال ذات المتغيرات المركبة ).

طريقة أويلر

طريقة أويلر هي طريقة عددية لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى والدرجة الأولى بقيمة ابتدائية معطاة. وهي أبسط طريقة صريحة للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية ، وأبسط طريقة رونج-كوتا . سُميت طريقة أويلر نسبةً إلى ليونارد أويلر ، الذي تناولها في كتابه "Institutionum calculi integralis " (نُشر بين عامي 1768 و1870). ^{[ 36 ]}

الدالة الأسية

في الرياضيات ، الدالة الأسية هي دالة على الصورة التالية:

${\displaystyle f(x)=ab^{x},}$

حيث b عدد حقيقي موجب، ويظهر المتغير x فيه كأس. بالنسبة للأعداد الحقيقية c و d، تكون الدالة على الصورة${\displaystyle f(x)=ab^{cx+d}}$وهي أيضًا دالة أسية، حيث يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle ab^{cx+d}=\left(ab^{d}\right)\left(b^{c}\right)^{x}.}$

نظرية القيمة القصوى

تنص هذه القاعدة على أنه إذا كانت دالة حقيقية f متصلة على الفترة المغلقة [ a , b ]، فلا بد أن تصل f إلى قيمة عظمى وقيمة صغرى ، كل منهما مرة واحدة على الأقل. أي أنه يوجد عددان c و d في [ a , b ] بحيث:

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad {\text{for all }}x\in [a,b].}$

ومن النظريات ذات الصلة نظرية التقييد التي تنص على أن الدالة المتصلة f في الفترة المغلقة [ a , b ] تكون محدودة على تلك الفترة. أي أنه يوجد عددان حقيقيان m و M بحيث:

${\displaystyle m<f(x)<M\quad {\text{for all }}x\in [a,b].}$

تُثري نظرية القيمة القصوى نظرية التقييد من خلال القول بأن الدالة ليست محدودة فحسب، بل إنها تصل أيضًا إلى حدها الأعلى الأدنى كقيمة عظمى وحدها الأدنى الأكبر كقيمة صغرى.

أقصى

في التحليل الرياضي ، تُعرف القيم العظمى والصغرى (جمع كلمة "عظمى" و "صغرى ") لدالة ما ، والتي تُسمى مجتمعةً بالقيم القصوى (جمع كلمة "قيمة قصوى ")، بأنها أكبر وأصغر قيمة للدالة، سواء ضمن نطاق معين ( القيم القصوى المحلية أو النسبية ) أو على كامل مجال الدالة ( القيم القصوى المطلقة أو العالمية ). ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]} كان بيير دي فيرما من أوائل علماء الرياضيات الذين اقترحوا تقنية عامة، تُسمى المتباينة ، لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال. وكما هو مُعرّف في نظرية المجموعات ، فإن القيمة العظمى والصغرى لمجموعة ما هما أكبر وأصغر عنصرين في المجموعة، على التوالي. أما المجموعات اللانهائية غير المحدودة، مثل مجموعة الأعداد الحقيقية ، فلا تحتوي على قيمة عظمى أو صغرى.

صيغة فا دي برونو

هي متطابقة في الرياضيات تُعمم قاعدة السلسلة إلى المشتقات العليا، سُميت نسبةً إلى فرانشيسكو فا دي برونو  ( 1855 ، 1857 )، مع أنه لم يكن أول من صاغ أو برهن هذه الصيغة. ففي عام 1800، أي قبل فا دي برونو بأكثر من 50 عامًا، صاغ عالم الرياضيات الفرنسي لويس فرانسوا أنطوان أربوغاست الصيغة في كتاب مدرسي في حساب التفاضل والتكامل، ^{[ 40 ]} ويُعتبر هذا أول مرجع منشور في هذا الموضوع. ^{[ 41 ]} ولعل أشهر صيغة لفا دي برونو هي:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,1!^{m_{1}}\,m_{2}!\,2!^{m_{2}}\,\cdots \,m_{n}!\,n!^{m_{n}}}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_{j}},}$

حيث يكون المجموع على جميع المجموعات المكونة من n من الأعداد الصحيحة غير السالبة ( m1 _، ...، mn ) التي تحقق القيد _.

${\displaystyle 1\cdot m_{1}+2\cdot m_{2}+3\cdot m_{3}+\cdots +n\cdot m_{n}=n.}$

أحيانًا، ولإعطائها نمطًا لا يُنسى، تُكتب بطريقة تكون فيها المعاملات التي لها التفسير التوافقي الذي نناقشه أدناه أقل وضوحًا:

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m_{1}!\,m_{2}!\,\cdots \,m_{n}!}}\cdot f^{(m_{1}+\cdots +m_{n})}(g(x))\cdot \prod _{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m_{j}}.}$

يؤدي دمج الحدود التي لها نفس القيمة m ₁  + m ₂ + ... + m _n = k وملاحظة أن m _j يجب أن يكون صفرًا لـ j > n − k + 1 إلى صيغة أبسط نوعًا ما معبر عنها بدلالة كثيرات حدود بيل B _{n , k} ( x ₁ ,..., x _{n − k +1} ):              

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum _{k=1}^{n}f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right).}$

كثير الحدود من الدرجة الأولى

اختبار المشتقة الأولى

يختبر اختبار المشتقة الأولى خصائص رتابة الدالة (أي ما إذا كانت الدالة متزايدة أم متناقصة) بالتركيز على نقطة معينة في مجال تعريفها. إذا تحولت الدالة من التزايد إلى التناقص عند تلك النقطة، فإنها ستصل إلى أعلى قيمة لها عند تلك النقطة. وبالمثل، إذا تحولت الدالة من التناقص إلى التزايد عند تلك النقطة، فإنها ستصل إلى أدنى قيمة لها عند تلك النقطة. أما إذا لم تتحول الدالة، وبقيت متزايدة أو متناقصة، فلن تصل إلى أعلى أو أدنى قيمة.

حساب التفاضل والتكامل الكسري

هو فرع من التحليل الرياضي يدرس الاحتمالات المختلفة لتعريف قوى الأعداد الحقيقية أو قوى الأعداد المركبة لمؤثر التفاضل D

${\displaystyle Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)}$،

وعامل التكامل J

${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}\!\!\!\!f(s){ds}}$، ^{[ ملاحظة 2 ]}

وتطوير حساب تفاضلي لمثل هذه المؤثرات يعمم الحساب الكلاسيكي.

في هذا السياق، يشير مصطلح القوى إلى التطبيق التكراري لمؤثر خطي على دالة، على غرار تركيب الدوال الذي يعمل على متغير، أي f ^∘2 ( x ) = f ∘ f ( x ) = f ( f ( x ) )             .

مخروط ناقص

في الهندسة ، يُعرف المخروط الناقص (جمعه: مخروطات ناقصة أو مخاريط ناقصة ) بأنه الجزء من مجسم (عادةً ما يكون مخروطًا أو هرمًا ) الذي يقع بين مستوى أو مستويين متوازيين يقطعانه. والمخروط الناقص القائم هو قطع متوازٍ لهرم قائم أو مخروط قائم. ^{[ 42 ]}

وظيفة

هي عملية أو علاقة تربط كل عنصر x من مجموعة X ، وهي مجال الدالة، بعنصر واحد y من مجموعة أخرى Y (قد تكون المجموعة نفسها)، وهي المجال المقابل للدالة. إذا كانت الدالة تُسمى f ، يُرمز لهذه العلاقة بـ y = f ( x ) (تُقرأ f ( x ))، حيث يُمثل العنصر x وسيط الدالة أو مُدخلها ، بينما يُمثل y قيمة الدالة ، أو مُخرجاتها ، أو صورة x بواسطة f . ^{[ 43 ]} الرمز المُستخدم لتمثيل المُدخل هو مُتغير الدالة (يُقال غالبًا أن f دالة للمُتغير x ).

تركيب الدوال

هي عملية تأخذ دالتين f و g وتنتج دالة h بحيث h ( x ) = g ( f ( x )) . في هذه العملية، تُطبق الدالة g على نتيجة تطبيق الدالة f على x . أي أن الدالتين f : X → Y و g : Y → Z تُركبان معًا لإنتاج دالة تربط x في X بـ g ( f ( x ) ) في Z.

النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل

النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل هي نظرية تربط مفهوم اشتقاق الدالة بمفهوم تكاملها . ينص الجزء الأول من النظرية، والذي يُسمى أحيانًا النظرية الأساسية الأولى في حساب التفاضل والتكامل ، على أنه يمكن الحصول على أحد الدوال الأصلية (أو التكامل غير المحدد )، ولنسمه F ، لدالة ما f، كتكامل للدالة f بحد تكامل متغير. وهذا يستلزم وجود دوال أصلية للدوال المتصلة . ^{[ 44 ]} في المقابل، ينص الجزء الثاني من النظرية، والذي يُسمى أحيانًا النظرية الأساسية الثانية في حساب التفاضل والتكامل ، على أنه يمكن حساب تكامل الدالة f على فترة معينة باستخدام أي دالة أصلية، ولنسمها F ، من بين عدد لا نهائي من دوالها الأصلية . لهذا الجزء من النظرية تطبيقات عملية هامة، لأن إيجاد الدالة الأصلية للدالة صراحةً عن طريق التكامل الرمزي يُغني عن استخدام التكامل العددي لحساب التكاملات، مما يوفر دقة عددية أفضل بشكل عام.

قاعدة لايبنتز العامة

قاعدة لايبنتز العامة ، [ ^{45 ] التي} سُميت نسبةً إلى غوتفريد فيلهلم لايبنتز ، تُعمم قاعدة الضرب (المعروفة أيضًا باسم "قاعدة لايبنتز"). وتنص على أنه إذا${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$نكون${\displaystyle n}$إذا كانت الدوال قابلة للتفاضل مرات ، فإن الناتج${\displaystyle fg}$وهو أيضًا${\displaystyle n}$قابلة للتفاضل مرات عديدة و${\displaystyle n}$المشتقة من الرتبة n تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}$

أين${\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}}$هو معامل ذات الحدين و${\displaystyle f^{(0)}\equiv f.}$

يمكن إثبات ذلك باستخدام قاعدة الضرب والاستقراء الرياضي .

أقصى حد عالمي

في التحليل الرياضي ، تُعرف القيم العظمى والصغرى (جمع كلمة "عظمى" و "صغرى ") لدالة ما ، والتي تُسمى مجتمعةً بالقيم القصوى (جمع كلمة "قيمة قصوى ")، بأنها أكبر وأصغر قيمة للدالة، سواء ضمن نطاق معين ( القيم القصوى المحلية أو النسبية ) أو على كامل مجال الدالة ( القيم القصوى المطلقة أو العالمية ). ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} كان بيير دي فيرما من أوائل علماء الرياضيات الذين اقترحوا تقنية عامة، تُسمى المتباينة ، لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال. وكما هو مُعرّف في نظرية المجموعات ، فإن القيمة العظمى والصغرى لمجموعة ما هما أكبر وأصغر عنصرين في المجموعة، على التوالي. أما المجموعات اللانهائية غير المحدودة، مثل مجموعة الأعداد الحقيقية ، فلا تحتوي على قيمة عظمى أو صغرى.

الحد الأدنى العالمي

في التحليل الرياضي ، تُعرف القيم العظمى والصغرى (جمع كلمة "عظمى" و "صغرى ") لدالة ما ، والتي تُسمى مجتمعةً بالقيم القصوى (جمع كلمة "قيمة قصوى ")، بأنها أكبر وأصغر قيمة للدالة، سواء ضمن نطاق معين ( القيم القصوى المحلية أو النسبية ) أو على كامل مجال الدالة ( القيم القصوى المطلقة أو العالمية ). ^{[ 49 ] [ 50 ] [ 51 ]} كان بيير دي فيرما من أوائل علماء الرياضيات الذين اقترحوا تقنية عامة، تُسمى المتباينة ، لإيجاد القيم العظمى والصغرى للدوال. وكما هو مُعرّف في نظرية المجموعات ، فإن القيمة العظمى والصغرى لمجموعة ما هما أكبر وأصغر عنصرين في المجموعة، على التوالي. أما المجموعات اللانهائية غير المحدودة، مثل مجموعة الأعداد الحقيقية ، فلا تحتوي على قيمة عظمى أو صغرى.

اللولب الذهبي

في الهندسة ، اللولب الذهبي هو لولب لوغاريتمي يكون عامل نموه φ ، النسبة الذهبية . ^{[ 52 ]} أي أن اللولب الذهبي يتسع (أو يبتعد عن أصله) بمعامل φ لكل ربع دورة يقوم بها.

التدرج

يُعدّ التدرج تعميمًا متعدد المتغيرات للمشتقة . فبينما يمكن تعريف المشتقة على دوال ذات متغير واحد، فإن التدرج يحل محلها في حالة الدوال ذات المتغيرات المتعددة . والتدرج دالة متجهة ، على عكس المشتقة التي هي دالة قياسية .

التتابع التوافقي

في الرياضيات ، المتتابعة التوافقية (أو المتتابعة التوافقية ) هي متتابعة تتكون من أخذ مقلوبات متتابعة حسابية . وهي متتابعة على الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {1}{a}},\ {\frac {1}{a+d}}\ ,{\frac {1}{a+2d}}\ ,{\frac {1}{a+3d}}\ ,\cdots ,{\frac {1}{a+kd}},}$

حيث أن − a/ d ليس عددًا طبيعيًا و k عدد طبيعي.

وبالمثل، فإن المتتالية هي تقدم توافقي عندما يكون كل حد هو المتوسط ​​التوافقي للحدود المجاورة.

لا يمكن أن يكون مجموع المتتابعة التوافقية (باستثناء الحالة البسيطة حيث a = 1 و k = 0) عددًا صحيحًا . والسبب هو أنه بالضرورة، سيكون أحد مقامات المتتابعة على الأقل قابلاً للقسمة على عدد أولي لا يقسم أي مقام آخر. ^{[ 53 ]}

مشتق أعلى

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق، ولتكن f ′ مشتقتها. مشتقة f ′ (إن وجدت) تُكتب f ″ وتُسمى المشتقة الثانية لـ f . وبالمثل، مشتقة المشتقة الثانية، إن وجدت، تُكتب f ″′ وتُسمى المشتقة الثالثة لـ f . وبمتابعة هذه العملية، يمكن تعريف المشتقة النونية، إن وجدت، بأنها مشتقة المشتقة ( n -1) . تُسمى هذه المشتقات المتكررة بالمشتقات من الرتب العليا . وتُسمى المشتقة النونية أيضًا بالمشتقة من الرتبة n .

معادلة تفاضلية خطية متجانسة

يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية متجانسة من ناحيتين. يُقال إن المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى متجانسة إذا أمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle f(x,y)dy=g(x,y)dx,}$

حيث f و g دالتان متجانستان من نفس الدرجة لـ x و y . في هذه الحالة، يؤدي تغيير المتغير y = ux إلى معادلة من الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)du,}$

وهو أمر يسهل حله عن طريق دمج العنصرين.

بخلاف ذلك، تكون المعادلة التفاضلية متجانسة إذا كانت دالة متجانسة للدالة المجهولة ومشتقاتها. في حالة المعادلات التفاضلية الخطية ، يعني هذا عدم وجود حدود ثابتة. يمكن استنتاج حلول أي معادلة تفاضلية خطية عادية من أي رتبة بالتكامل من حل المعادلة المتجانسة الناتج عن حذف الحد الثابت.

الدالة الزائدية

الدوال الزائدية هي نظائر للدوال المثلثية العادية أو الدوال الدائرية .

دالة الهوية

تُعرف أيضًا باسم علاقة التطابق أو خريطة التطابق أو تحويل التطابق ، وهي دالة تُرجع دائمًا نفس القيمة التي استُخدمت كمعامل لها. في المعادلات ، تُعطى الدالة بالصيغة f ( x ) = x .

العدد التخيلي

العدد المركب هو عدد حقيقي يُكتب على صورة عدد حقيقي مضروب في الوحدة التخيلية i ، ^{[ ملاحظة 2 ]} والتي تُعرَّف بخاصيتها i² = -1 . ^{[ 54 ]} مربع العدد التخيلي bi هو -b² ^. على سبيل المثال، 5i عدد تخيلي، ومربعه هو -25 . يُعتبر الصفر عددًا حقيقيًا وتخيليًا في آنٍ ^واحد . ^{[ 55 ]}

دالة ضمنية

في الرياضيات ، المعادلة الضمنية هي علاقة على الشكل التالي:${\displaystyle R(x_{1},\ldots ,x_{n})=0}$، أين${\displaystyle R}$هي دالة لعدة متغيرات (غالباً ما تكون متعددة الحدود ). على سبيل المثال، المعادلة الضمنية لدائرة الوحدة هي${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$الدالة الضمنية هي دالة تُعرَّف ضمنيًا بواسطة معادلة ضمنية، وذلك بربط أحد المتغيرات ( القيمة ) بالمتغيرات الأخرى (الوسائط ) . ^{[ 56 ] : 204-206} . وبالتالي، فإن الدالة الضمنية لـ${\displaystyle y}$في سياق دائرة الوحدة ، يتم تعريفها ضمنيًا بواسطة${\displaystyle x^{2}+f(x)^{2}-1=0}$تحدد هذه المعادلة الضمنية${\displaystyle f}$كدالة لـ${\displaystyle x}$فقط إذا${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ويُؤخذ في الاعتبار فقط القيم غير السالبة (أو غير الموجبة) للدالة. تنص نظرية الدالة الضمنية على الشروط التي بموجبها تُعرّف بعض أنواع العلاقات دالة ضمنية، وتحديدًا العلاقات المُعرّفة كدالة مؤشر لمجموعة أصفار دالة متعددة المتغيرات قابلة للتفاضل باستمرار .

الكسر غير الفعلي

يمكن تصنيف الكسور الاعتيادية إلى كسور فعلية وكسور غير فعلية. عندما يكون كل من البسط والمقام موجبين، يُسمى الكسر كسرًا فعليًا إذا كان البسط أصغر من المقام، وغير فعلي في غير ذلك. ^{[ 57 ] [ 58 ]} بشكل عام، يُقال إن الكسر الفعلي كسرٌ صحيح إذا كانت قيمته المطلقة أقل من واحد تمامًا، أي إذا كان الكسر أكبر من -1 وأصغر من 1. ^{[ 59 ] [ 60 ]} ويُقال إنه كسر غير فعلي، أو كسر ذو بسط ثقيل، ^{[ 61 ]} إذا كانت قيمته المطلقة أكبر من أو تساوي 1. من أمثلة الكسور الفعلية: 2/3، -3/4، و4/9؛ ومن أمثلة الكسور غير الفعلية: 9/4، -4/3، و3/3.

التكامل غير المحدود

في التحليل الرياضي ، التكامل غير المحدد هو نهاية التكامل المحدد عندما تقترب نقطة نهاية فترة (فترات) التكامل من عدد حقيقي محدد ،${\displaystyle \infty }$،${\displaystyle -\infty }$أو في بعض الحالات عندما تقترب كلتا النقطتين من الحدود. غالبًا ما يُكتب هذا التكامل رمزيًا تمامًا مثل التكامل المحدد القياسي، وفي بعض الحالات تكون اللانهاية هي حد التكامل. تحديدًا، التكامل غير المحدود هو نهاية على الصورة التالية:

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,\qquad \lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx,}$

أو

${\displaystyle \lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)\,dx,\quad \lim _{c\to a^{+}}\int _{c}^{b}f(x)\,dx,}$

حيث يأخذ المرء حدًا في إحدى النقطتين النهائيتين (أو أحيانًا كلتيهما) ( أبوستول 1967 ، §10.23).

نقطة الانعطاف

في حساب التفاضل والتكامل ، نقطة الانعطاف ، أو نقطة الانعطاف ، أو الانعطاف (بالإنجليزية البريطانية: inflexion ) هي نقطة على منحنى مستوٍ متصل يتغير عندها المنحنى من كونه مقعرًا (مقعرًا لأسفل) إلى محدب (مقعرًا لأعلى)، أو العكس.

معدل التغير اللحظي

مشتقة دالة لمتغير واحد عند قيمة إدخال مختارة، إن وجدت، هي ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة. يمثل المماس أفضل تقريب خطي للدالة بالقرب من قيمة الإدخال تلك. لهذا السبب، غالبًا ما تُوصف المشتقة بأنها "معدل التغير اللحظي"، أي نسبة التغير اللحظي في المتغير التابع إلى التغير اللحظي في المتغير المستقل.

السرعة اللحظية

إذا اعتبرنا v ​​السرعة و x متجه الإزاحة (التغير في الموضع)، فيمكننا التعبير عن السرعة (اللحظية) لجسيم أو جسم، في أي وقت معين t ، على أنها مشتقة الموضع بالنسبة للزمن:

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {x}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {x}}}{d{\mathit {t}}}}.}$

من هذه المعادلة التفاضلية، في الحالة أحادية البعد، يتضح أن المساحة تحت منحنى السرعة مقابل الزمن ( رسم بياني v مقابل t ) هي الإزاحة x . وبعبارة أخرى، فإن تكامل دالة السرعة v ( t ) هو دالة الإزاحة x ( t ) . في الشكل، يُمثل هذا المساحة الصفراء تحت المنحنى المُسمى s ( حيث s هو رمز بديل للإزاحة).

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\int {\boldsymbol {v}}\ d{\mathit {t}}.}$

بما أن مشتقة الموضع بالنسبة للزمن تعطي التغير في الموضع ( بالمتر ) مقسومًا على التغير في الزمن ( بالثانية )، فإن السرعة تُقاس بالمتر في الثانية (م/ث). ورغم أن مفهوم السرعة اللحظية قد يبدو غير بديهي للوهلة الأولى، إلا أنه يمكن اعتباره السرعة التي سيستمر الجسم في التحرك بها إذا توقف عن التسارع في تلك اللحظة.

أساسي

يُسند التكامل أرقامًا إلى الدوال بطريقةٍ تُمكن من وصف الإزاحة والمساحة والحجم وغيرها من المفاهيم التي تنشأ من خلال دمج البيانات المتناهية الصغر . يُعد التكامل أحد العمليتين الرئيسيتين في حساب التفاضل والتكامل، والعملية الأخرى هي التفاضل ، وهي العملية العكسية له.

رمز التكامل

رمز التكامل:

∫ ( يونيكود )،${\displaystyle \displaystyle \int }$( مطاط )

يُستخدم للدلالة على التكاملات والمشتقات الأصلية في الرياضيات .

الجزء المتكامل

الدالة المراد تكاملها في التكامل.

التكامل بالأجزاء

في حساب التفاضل والتكامل، وبشكل أعم في التحليل الرياضي ، يُعد التكامل بالتجزئة أو التكامل الجزئي عمليةً لإيجاد تكامل حاصل ضرب دوال بدلالة تكامل مشتقتها ودالتها الأصلية. ويُستخدم بكثرة لتحويل الدالة الأصلية لحاصل ضرب دوال إلى دالة أصلية يسهل إيجاد حل لها. ويمكن اشتقاق القاعدة بسهولة من خلال تكامل قاعدة حاصل الضرب في التفاضل . فإذا كان u = u ( x ) و du = u ′ ( x ) dx ، بينما v = v ( x ) و dv = v ′ ( x ) dx ، فإن التكامل بالتجزئة ينص على ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\end{aligned}}}$

أو بشكل أكثر إيجازًا:

${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.}$

اكتشف عالم الرياضيات بروك تايلور التكامل بالتجزئة، ونشر فكرته لأول مرة عام 1715. [ ^{62 ] [ 63 ] توجد} صيغ أكثر عمومية للتكامل بالتجزئة لتكاملات ريمان-ستيلتيس وليبيسغ -ستيلتيس . ويُطلق على النظير المتقطع للمتتاليات اسم الجمع بالتجزئة .

.

التكامل عن طريق الاستبدال

تُعرف أيضًا باسم طريقة التعويض u ، وهي طريقة لحل التكاملات . غالبًا ما يتطلب استخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل إيجاد دالة أصلية . لهذا السبب، ولأسباب أخرى، يُعد التكامل بالتعويض أداة مهمة في الرياضيات، وهو المقابل لقاعدة السلسلة في التفاضل .

نظرية القيمة المتوسطة

في التحليل الرياضي ، تنص نظرية القيمة المتوسطة على أنه إذا كانت دالة متصلة ، f ، مجالها الفترة [ a , b ] ، تأخذ القيمتين f ( a ) و f ( b ) عند طرفي الفترة، فإنها تأخذ أيضًا أي قيمة بين f ( a ) و f ( b ) عند نقطة ما داخل الفترة. ويترتب على ذلك نتيجتان مهمتان :

1. إذا كانت للدالة المتصلة قيم ذات إشارات متعاكسة داخل فترة ما، فإن لها جذراً في تلك الفترة ( نظرية بولزانو ). ^{[ 64 ]}
2. صورة الدالة المتصلة على فترة ما هي نفسها فترة .

الدوال المثلثية العكسية

(وتُسمى أيضًا دوال القوس، ^{[ 65 ] [ 66 ] [ 67 ] [ 68 ] [ 69 ]} أو الدوال المضادة للمثلثية ^{[ 70 ]} أو الدوال الدائرية ^{[ 71 ] [ 72 ] [ 73 ]} ) هي الدوال العكسية للدوال المثلثية (مع نطاقات محددة بشكل مناسب ). وتحديدًا، هي معكوسات دوال الجيب ، وجيب التمام ، والظل ، وظل التمام ، والقاطع ، وقاطع التمام ، وتُستخدم لحساب الزاوية من أي من نسبها المثلثية.

انقطاع القفز

ضع في اعتبارك الدالة

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\0&{\mbox{ for }}x=1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{cases}}}$

إذن، النقطة x ₀ = 1 هي انقطاع قفزي .

في هذه الحالة، لا توجد نهاية واحدة لأن النهايتين من جانب واحد، ^L− و L + ^، موجودتان ومحدودتان، لكنهما غير متساويتين: بما أن L− ^≠ L ⁺ ، فإن النهاية L غير موجودة. عندئذٍ، _تُسمى x₀ انقطاعًا قفزيًا ، أو انقطاعًا متدرجًا ، أو انقطاعًا من النوع الأول . بالنسبة لهذا النوع من الانقطاع، قد تأخذ الدالة f أي قيمة عند _x₀ .

تكامل ليبيغ

في الرياضيات، يمكن اعتبار تكامل دالة غير سالبة لمتغير واحد، في أبسط حالاته، المساحة المحصورة بين منحنى تلك الدالة ومحور السينات . أما تكامل لوبيغ، فيوسع نطاق التكامل ليشمل فئة أكبر من الدوال، كما يوسع نطاق تعريف هذه الدوال.

قاعدة المستشفى

تستخدم قاعدة لوبيتال، أو قاعدة لوبيتال، المشتقات للمساعدة في حساب النهايات التي تتضمن أشكالًا غير محددة . غالبًا ما يؤدي تطبيق القاعدة (أو تكرار تطبيقها) إلى تحويل الشكل غير المحدد إلى تعبير يمكن حسابه بالتعويض، مما يُسهّل حساب النهاية. سُميت القاعدة نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي غيوم دي لوبيتال ، الذي عاش في القرن السابع عشر . على الرغم من أن إسهام القاعدة يُنسب غالبًا إلى لوبيتال، إلا أن النظرية عُرضت عليه لأول مرة عام 1694 على يد عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي . تنص قاعدة لوبيتال على أنه بالنسبة للدالتين f و g القابلتين للتفاضل على فترة مفتوحة I باستثناء نقطة c ربما ، إذا${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,}$${\displaystyle g'(x)\neq 0}$لكل x في I حيث x ≠ c ، و${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$موجود، إذن

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.}$

إن تفاضل البسط والمقام غالباً ما يبسط ناتج القسمة أو يحوله إلى حد يمكن تقييمه مباشرة.

اختبار مقارنة الحدود

يسمح اختبار المقارنة الحدية بتحديد تقارب سلسلة ما بناءً على تقارب سلسلة أخرى.

نهاية دالة

.

حدود التكامل

.

التركيبة الخطية

في الرياضيات ، التركيبة الخطية هي تعبير يُنشأ من مجموعة من الحدود بضرب كل حد في ثابت وجمع النتائج (على سبيل المثال، التركيبة الخطية لـ x و y هي أي تعبير على الصورة ax + by ، حيث a و b ثابتان). ^{[ 74 ] [ 75 ] [ 76 ]} يُعد مفهوم التركيبات الخطية أساسيًا في الجبر الخطي والفروع الرياضية ذات الصلة.

معادلة خطية

المعادلة الخطية هي معادلة تربط متغيرين أو أكثر ببعضهما البعض على شكل${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}$مع كون أعلى قوة لكل متغير هي 1.

النظام الخطي

.

قائمة التكاملات

.

اللوغاريتم

.

التفاضل اللوغاريتمي

.

الحد الأدنى

.

نظرية القيمة المتوسطة

.

دالة رتيبة

.

التكامل المتعدد

.

حساب الضرب

.

حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

.

اللوغاريتم الطبيعي

اللوغاريتم الطبيعي لعدد ما هو لوغاريتمه للأساس e ، حيث e عدد غير نسبي ومتسامي يساوي تقريبًا2.718 281 828 459. يُكتب اللوغاريتم الطبيعي لـ x عادةً على النحو التالي: ln x ، أو log _e x ، أو أحيانًا، إذا كان الأساس e ضمنيًا، ببساطة log x . ^{[ 77 ]} تُضاف الأقواس أحيانًا للتوضيح، فتُصبح ln( x )، أو log _e ( x )، أو log( x ). ويتم ذلك تحديدًا عندما لا يكون مُعامل اللوغاريتم رمزًا واحدًا، لتجنب الالتباس.

حساب التفاضل والتكامل غير النيوتوني

.

حساب التفاضل والتكامل غير القياسي

.

رمز التفاضل

.

التكامل العددي

.

حد من جانب واحد

.

معادلة تفاضلية عادية

.

نظرية مركز الثقل لبابوس

(المعروفة أيضًا باسم نظرية غولدينوس ، أو نظرية بابوس-غولدينوس، أو نظرية بابوس ) هي إحدى النظريتين المرتبطتين اللتين تتعاملان مع مساحات وأحجام الأسطح والأجسام الدورانية.

القطع المكافئ

هو منحنى مستوٍ متناظر انعكاسياً وله شكل حرف U تقريباً. وهو يتوافق مع العديد من الأوصاف الرياضية الأخرى المختلفة ظاهرياً ، والتي يمكن إثبات أنها جميعاً تحدد نفس المنحنيات تماماً.

القطع المكافئ

.

مشتق جزئي

.

معادلة تفاضلية جزئية

.

تحليل الكسور الجزئية

.

حل خاص

.

دالة معرفة على أجزاء

دالة معرفة بواسطة دوال فرعية متعددة تنطبق على فترات معينة من مجال الدالة.

متجه الموضع

.

حكم السلطة

.

التكامل الناتج

.

قاعدة المنتج

.

الكسر الصحيح

.

دالة كسرية مناسبة

.

نظرية فيثاغورس

.

متطابقة فيثاغورس المثلثية

.

الدالة التربيعية

في الجبر ، الدالة التربيعية ، أو كثيرة الحدود التربيعية ، أو كثيرة الحدود من الدرجة الثانية ، أو ببساطة الدالة التربيعية ، هي دالة كثيرة الحدود بمتغير واحد أو أكثر، حيث يكون الحد ذو الدرجة الأعلى من الدرجة الثانية. على سبيل المثال، الدالة التربيعية في ثلاثة متغيرات x و y و z تحتوي حصراً على الحدود التالية : x² ^، y² ، ^z² ، ^xy ، xz ، yz ، x ، y ، z ، وثابت.

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

مع وجود معامل واحد على الأقل من معاملات a أو b أو c أو d أو e أو f للحدود من الدرجة الثانية غير صفري.

تأخذ الدالة التربيعية أحادية المتغير (ذات المتغير الواحد) الشكل ^{[ 78 ]}

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}$

في المتغير الواحد x . الرسم البياني للدالة التربيعية أحادية المتغير هو قطع مكافئ يكون محور التناظر الخاص به موازياً للمحور y ، كما هو موضح على اليمين.

إذا تم مساواة الدالة التربيعية بالصفر، فإن النتيجة هي معادلة تربيعية . وتُسمى حلول المعادلة أحادية المتغير بجذور الدالة أحادية المتغير.

تأخذ الحالة ثنائية المتغيرات بدلالة المتغيرين x و y الشكل التالي

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!}$

مع وجود واحد على الأقل من a أو b أو c لا يساوي الصفر، فإن معادلة تجعل هذه الدالة تساوي الصفر تؤدي إلى قطع مخروطي ( دائرة أو قطع ناقص آخر ، أو قطع مكافئ ، أو قطع زائد ).

بشكل عام، يمكن أن يكون هناك عدد كبير من المتغيرات بشكل تعسفي، وفي هذه الحالة يُطلق على السطح الناتج اسم السطح التربيعي ، ولكن يجب أن يكون الحد ذو الدرجة الأعلى من الدرجة 2، مثل x ² ، xy ، yz ، إلخ.

كثير الحدود من الدرجة الثانية

.

قاعدة القسمة

صيغة لإيجاد مشتقة دالة تمثل نسبة دالتين.

راديان

الراديان هو وحدة قياس الزوايا في النظام الدولي للوحدات ، وهو الوحدة القياسية لقياس الزوايا المستخدمة في العديد من فروع الرياضيات . طول قوس دائرة الوحدة يساوي عدديًا قياس الزاوية المقابلة له بالراديان ؛ الراديان الواحد يساوي أقل بقليل من 57.3 درجة (التوسيع في OEIS : A072097  ). كانت الراديان سابقًا وحدة تكميلية في النظام الدولي للوحدات ، ولكن تم إلغاء هذا التصنيف في عام 1995، ويُعتبر الراديان الآن وحدة مشتقة من النظام الدولي للوحدات . ^{[ 79 ]} وبشكل منفصل، فإن وحدة قياس الزاوية المجسمة في النظام الدولي للوحدات هي الستراديان .

اختبار النسبة

.

الدالة التبادلية

.

قاعدة التبادل

.

تكامل ريمان

.

المعدلات ذات الصلة

.

انقطاع قابل للإزالة

.

نظرية رول

.

اختبار الجذر

.

كمية قياسية

.

الخط القاطع

.

كثير الحدود من الدرجة الثانية

.

المشتقة الثانية

.

اختبار المشتقة الثانية

.

معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية

.

مسلسل

.

تكامل الصدفة

.

قاعدة سيمبسون

.

جيب

.

موجة جيبية

.

حقل منحدر

.

نظرية الضغط

.

قاعدة الجمع في التفاضل

.

قاعدة الجمع في التكامل

.

المجموع

.

الزاوية التكميلية

.

مساحة السطح

.

نظام المعادلات الخطية

.

جدول التكاملات

.

سلسلة تايلور

.

نظرية تايلور

.

مماس

.

كثير الحدود من الدرجة الثالثة

.

المشتق الثالث

.

حلقة توريد

.

التفاضل الكلي

.

الدوال المثلثية

.

المتطابقات المثلثية

.

التكامل المثلثي

.

التعويض المثلثي

.

علم المثلثات

.

التكامل الثلاثي

.

الحد الأعلى

.

عامل

.

متجه

.

حساب المتجهات

.

غسالة

.

طريقة الغسيل

.

• مخطط حساب التفاضل والتكامل
• مسرد مجالات الرياضيات
• مسرد مصطلحات علم الفلك
• مسرد المصطلحات البيولوجية
• مسرد مصطلحات علم النبات
• مسرد مصطلحات الكيمياء
• مسرد مصطلحات علم البيئة
• مسرد المصطلحات الهندسية
• مسرد مصطلحات الفيزياء
• مسرد المصطلحات في الاحتمالات والإحصاء