قرص العسل ذو 5 خلايا

قرص العسل 4-simplex
(لا توجد صورة)
يكتب	قرص عسل رباعي منتظم
عائلة	قرص العسل البسيط
رمز شلافلي	{3 [5] } = 0 [5]
مخطط كوكسيتر
أنواع الوجوه الأربعة	{3,3,3} t 1 {3,3,3}
أنواع الخلايا	{3,3} t 1 {3,3}
أنواع الوجوه	{3}
شكل الرأس	t 0,3 {3,3,3}
التناظر	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس

في الهندسة الإقليدية رباعية الأبعاد ، يُعدّ قرص العسل رباعي الخلايا ، أو قرص العسل خماسي الخلايا ، أو قرص العسل خماسي الخماسي، شكلاً هندسياً يملأ الفراغ . ويتكون من 5 خلايا وأوجه 5 خلايا مُعدّلة بنسبة 1:1.

تتكون خلايا الشكل الرأسي من عشرة أهرامات رباعية الأوجه وعشرين موشورًا مثلثيًا ، تُقابل عشر خلايا خماسية الأوجه وعشرين خلية خماسية الأوجه مُقوَّمة تلتقي عند كل رأس. تقع جميع الرؤوس في نطاقات متوازية تُشكِّل فيها خلايا نحل مكعبة متناوبة ، حيث تُمثِّل الأهرامات رباعية الأوجه إما قممًا للخلية الخماسية المُقوَّمة أو قواعدها، بينما تُمثِّل الأهرامات ثمانية الأوجه قواعدها. ^{[ 1 ]}

• رباعي المشط ذو الخماسي الحلقي
• رباعي المشط خماسي الخماسي

يمكن إسقاط خلية النحل ذات الخمس خلايا على شكل مربع ثنائي الأبعاد عن طريق عملية طي هندسية تقوم برسم زوجين من المرايا في بعضهما البعض، مع مشاركة نفس ترتيب الرؤوس :

${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$
${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$

يمكن الحصول على نوعين مختلفين من التبليط غير الدوري ذي التناظر الخماسي عن طريق إسقاط شرائح ثنائية الأبعاد من قرص العسل: تبليط بنروز المكون من معينات، وتبليط مثلث توبنغن المكون من مثلثات متساوية الساقين. ^{[ 2 ]}

يُطلق على ترتيب رؤوس خلية النحل الخماسية اسم شبكة A4 ، أو شبكة 4-simplex . تمثل الرؤوس العشرون لشكلها ، وهي خلية خماسية مشوهة، الجذور العشرين لـ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$مجموعة كوكسيتر. ^{[ 3 ] [ 4 ]} إنها الحالة رباعية الأبعاد لقرص العسل البسيط .

The A^*₄ lattice^[5] is the union of five A₄ lattices, and is the dual to the omnitruncated 5-simplex honeycomb, and therefore the Voronoi cell of this lattice is an omnitruncated 5-cell

∪ ∪ ∪ ∪ = dual of

The tops of the 5-cells in this honeycomb adjoin the bases of the 5-cells, and vice versa, in adjacent laminae (or layers); but alternating laminae may be inverted so that the tops of the rectified 5-cells adjoin the tops of the rectified 5-cells and the bases of the 5-cells adjoin the bases of other 5-cells. This inversion results in another non-Wythoffian uniform convex honeycomb. Octahedral prisms and tetrahedral prisms may be inserted in between alternated laminae as well, resulting in two more non-Wythoffian elongated uniform honeycombs.^[6]

This honeycomb is one of seven unique uniform honeycombs^[7] constructed by the ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$Coxeter group. The symmetry can be multiplied by the symmetry of rings in the Coxeter–Dynkin diagrams:

A4 honeycombs
Pentagonsymmetry	Extendedsymmetry	Extendeddiagram	Extendedgroup	Honeycomb diagrams
a1	[3[5]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$	(None)
i2	[[3[5]]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2	1, 2, 3,  4, 5, 6
r10	[5[3[5]]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×10	7

Rectified 5-cell honeycomb

Rectified 5-cell honeycomb
(No image)
Type	Uniform 4-honeycomb
Schläfli symbol	t0,2{3[5]} or r{3[5]}
Coxeter diagram
4-face types	t1{33}t0,2{33}t0,3{33}
Cell types	TetrahedronOctahedronCuboctahedronTriangular prism
Vertex figure	triangular elongated-antiprismatic prism
Symmetry	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2[3[5]]
Properties	vertex-transitive

The rectified 4-simplex honeycomb or rectified 5-cell honeycomb is a space-filling tessellationhoneycomb.

Alternate names

• small cyclorhombated pentachoric tetracomb
• small prismatodispentachoric tetracomb

Cyclotruncated 5-cell honeycomb

Cyclotruncated 5-cell honeycomb
(No image)
Type	Uniform 4-honeycomb
Family	Truncated simplectic honeycomb
Schläfli symbol	t0,1{3[5]}
Coxeter diagram
4-face types	{3,3,3} t{3,3,3} 2t{3,3,3}
أنواع الخلايا	{3,3} t{3,3}
أنواع الوجوه	مثلث {3} سداسي {6}
شكل الرأس	منشور مضاد رباعي الأوجه [3،4،2+ ] ، الرتبة 48
التناظر	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس

يُعدّ قرص العسل ذو الأربع خلايا المبسطة والمقتطع حلقياً، أو قرص العسل ذو الخمس خلايا والمقتطع حلقياً، قرص عسل مُرصّع يملأ الفراغ . ويمكن اعتباره أيضاً قرص عسل ثنائي التصحيح ذو خمس خلايا .

يتكون من 5 خلايا ، و 5 خلايا مقطوعة ، و 5 خلايا مقطوعة مرتين بنسبة 2:2:1. شكل رأسه هو منشور رباعي الأوجه مضاد ، مع 2 رباعي الأوجه منتظم ، و8 أهرامات مثلثة ، و6 خلايا رباعية الأضلاع ثنائية الوتدية ، تحدد 2 من 5 خلايا ، و8 من 5 خلايا مقطوعة ، و6 من 5 خلايا مقطوعة مرتين حول الرأس.

يمكن بناؤها على شكل خمس مجموعات من المستويات الفائقة المتوازية التي تقسم الفضاء إلى نصفين. تحتوي المستويات الفائقة ثلاثية الأبعاد على أشكال قرص العسل المكعبة الربعية كأوجه تجميع. ^{[ 8 ]}

أسماء بديلة

• مشط خماسي الأضلاع ذو حلقة مقطوعة
• مشط رباعي صغير مقطوع خماسي الأضلاع

قرص عسل مقطوع من 5 خلايا

قرص عسل مقطوع من 4-simplex
(لا توجد صورة)
يكتب	قرص عسل رباعي منتظم
رمز شلافلي	t 0,1,2 {3 [5] } أو t{3 [5] }
مخطط كوكسيتر
أنواع الوجوه الأربعة	t 0,1 {3 3 } t 0,1,2 {3 3 } t 0,3 {3 3 }
أنواع الخلايا	رباعي الأوجه، رباعي الأوجه المقطوع، ثماني الأوجه المقطوع، منشور ثلاثي
شكل الرأس	هرم ثلاثي ممدود مضاد للمنشور
التناظر	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس

يُعدّ قرص العسل ذو الأربع خلايا المبتورة أو قرص العسل ذو الخمس خلايا المبتورة قرص عسل مُرصّع يملأ الفراغ . ويمكن تسميته أيضاً بقرص العسل ذو الخمس خلايا المبتورة حلقياً .

أسماء بديلة

• مشط رباعي كبير ذو شكل معيني دائري خماسي
• مشط رباعي كبير مقطوع خماسي الأضلاع

قرص عسل ذو 5 خلايا مقسمة إلى خلايا

قرص عسل ذو 5 خلايا مقسمة إلى خلايا
(لا توجد صورة)
يكتب	قرص عسل رباعي منتظم
رمز شلافلي	t 0,1,3 {3 [5] } أو rr{3 [5] }
مخطط كوكسيتر
أنواع الوجوه الأربعة	t 0,2 {3 3 } t 1,2 {3 3 } t 0,1,3 {3 3 }
أنواع الخلايا	رباعي الأوجه المقطوع، ثماني الأوجه، مكعب ثماني الأوجه، منشور ثلاثي ، منشور سداسي
شكل الرأس	خماسي مصحح منقوص ثنائي
التناظر	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس

قرص العسل ذو الخلايا الأربع البسيطة المزخرفة أو قرص العسل ذو الخلايا الخمس المزخرفة هو قرص عسل يملأ الفراغ . ويمكن تسميته أيضًا بقرص العسل ذو الخلايا الخمس المزخرفة بشكل دائري .

أسماء بديلة

• Cycloprismatorhombated pentachoric tetracomb
• مشط رباعي كبير موشوري خماسي الأضلاع

قرص عسل ثنائي القطع مكون من 5 خلايا

قرص عسل ثنائي القطع مكون من 5 خلايا
(لا توجد صورة)
يكتب	قرص عسل رباعي منتظم
رمز شلافلي	t 0,1,2,3 {3 [5] } أو 2t{3 [5] }
مخطط كوكسيتر
أنواع الوجوه الأربعة	t 0,1,3 {3 3 } t 0,1,2 {3 3 } t 0,1,2,3 {3 3 }
أنواع الخلايا	مكعب ثماني الأوجه ثماني السطوح المقطوع، رباعي السطوح المقطوع، منشور سداسي ، منشور مثلثي
شكل الرأس	هرم مزدوج مستطيل مائل
التناظر	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×2 [3 [5] ]
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس

قرص العسل ذو الخلايا الأربع المبتورة أو قرص العسل ذو الخلايا الخمس المبتورة هو قرص عسل يملأ الفراغ . ويمكن تسميته أيضًا قرص العسل ذو الخلايا الخمس المبتورة حلقيًا .

أسماء بديلة

• مشط رباعي كبير ذو شكل دائري خماسي
• Grand prismatodispentachoric tetracomb

قرص العسل ذو الخمس خلايا المقطوع بالكامل

قرص عسل رباعي الأبعاد مقطوع بالكامل
(لا توجد صورة)
يكتب	قرص عسل رباعي منتظم
عائلة	قرص العسل البسيط المقطوع بالكامل
رمز شلافلي	t 0,1,2,3,4 {3 [5] } أو tr{3 [5] }
مخطط كوكسيتر
أنواع الوجوه الأربعة	t 0,1,2,3 {3,3,3}
أنواع الخلايا	t 0,1,2 {3,3} {6}x{}
أنواع الوجوه	{4} {6}
شكل الرأس	خلية واحدة غير منقطعة
التناظر	${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$×10، [5[ 3 [5] ]]
ملكيات	متعدٍ على الرؤوس ، متعدٍ على الخلايا

يُعدّ قرص العسل رباعي الخلايا المختصر بالكامل أو قرص العسل خماسي الخلايا المختصر بالكامل قرص عسل مُرصّع يملأ الفراغ . ويمكن اعتباره أيضًا قرص عسل خماسي الخلايا مُختصر حلقيًا .

يتكون بالكامل من أوجه ذات 5 خلايا مقطوعة بالكامل (أوجه ذات 4 خلايا بسيطة مقطوعة بالكامل).

يطلق كوكسيتر على هذا اسم خلية نحل هينتون نسبة إلى سي إتش هينتون ، الذي وصفها في كتابه البعد الرابع عام 1906. ^{[ 9 ]}

تُسمى أوجه جميع خلايا النحل البسيطة المقطوعة بالكامل بالمجسمات التبادلية ويمكن وضعها في فضاء n+1 بإحداثيات صحيحة، وهي تباديل للأعداد الصحيحة (0،1،...،n).

أسماء بديلة

• مشط حلقي خماسي الأشواك مقطوع بالكامل
• مشط رباعي كبير المنشور ذو عشر طبقات

شبكة 4 ^*_​

إن شبكة A ^* ₄ هي اتحاد خمس شبكات A ₄ ، وهي ثنائية لشبكة قرص العسل ذات الخلايا الخمس المقطوعة بالكامل، وبالتالي فإن خلية فورونوي لهذه الشبكة هي خلية ذات خلايا خماسية مقطوعة بالكامل . ^{[ 10 ]}

∪ ∪ ∪ ∪ = ثنائي لـ

يمكن تبديل هذا الهيكل الشبيه بخلية النحل ، مما يُنشئ خلايا خماسية منتظمة مع خلايا خماسية غير منتظمة تتشكل عند الرؤوس المحذوفة. على الرغم من عدم انتظامها، إلا أن الخلايا الخماسية تتمتع بتناظر من الرتبة 10.

خلايا نحل منتظمة ومتجانسة في مساحة 4:

• قرص العسل المتشعب
• قرص العسل ذو 16 خلية
• قرص العسل ذو 24 خلية
• قرص عسل مقطوع مكون من 24 خلية
• قرص العسل ذو 24 خلية

• نورمان جونسون، متعددات الوجوه المنتظمة ، مخطوطة (1991)
• كتاب "المناظير: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر" ، حرره إف. آرثر شيرك، وبيتر ماكمولين، وأنتوني سي. طومسون، وآسيا إيفيك فايس، منشورات وايلي-إنترساينس، 1995، رقم ISBN 978-0-471-01003-6
  • (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10] (1.9 ملء الفراغات المنتظمة)
  • (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• جورج أولشيفسكي، مخطوطة " الأمشاط الرباعية المنتظمة ذات الصبغيات الكاملة " (2006) (قائمة كاملة تضم 11 تبليطًا محدبًا منتظمًا، و28 قرص عسل محدبًا منتظمًا، و143 مشطًا رباعيًا محدبًا منتظمًا) النموذج 134
• كليتزينغ، ريتشارد. "التقسيمات الإقليدية رباعية الأبعاد" .x3o3o3o3o3*a - cypit - O134، x3x3x3x3x3*a - otcypit - O135، x3x3x3o3o3*a - gocyropit - O137، x3x3o3x3o3*a - cypropit - O138، x3x3x3x3o3*a - gocypapit - O139، x3x3x3x3x3*a - otcypit - O140
• مجموعة أفين كوكستر Wa(A4)، الرباعيات، وأشباه البلورات العشرية، محمد كوكا، نظيف أو. كوكا، رمضان كوك (2013) أرخايف : 1209.1878

v ت هـ خلايا نحل أساسية محدبة منتظمة ومتجانسة بأبعاد 2-9
فضاء	عائلة	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$/${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	تبليط موحد	0 [3]	δ 3	h δ 3	q δ 3	سداسي
E 3	قرص العسل المحدب المنتظم	0 [4]	δ 4	h δ 4	q δ 4
E 4	قرص عسل رباعي منتظم	0 [5]	δ 5	h δ 5	q δ 5	قرص العسل ذو 24 خلية
E 5	قرص عسل موحد من 5	0 [6]	δ 6	h δ 6	q δ 6
E 6	قرص عسل موحد بستة أشكال	0 [7]	δ 7	h δ 7	q δ 7	2 22
E 7	قرص عسل موحد مكون من 7 خلايا	0 [8]	δ 8	h δ 8	q δ 8	1 33 • 3 31
E 8	قرص عسل موحد مكون من 8 أجزاء	0 [9]	δ 9	h δ 9	q δ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	قرص عسل موحد مكون من 9 خلايا	0 [10]	δ 10	h δ 10	q δ 10
E 10	قرص عسل موحد مكون من 10 أجزاء	0 [11]	δ 11	h δ 11	q δ 11
E n −1	قرص عسل منتظم ( ن - 1)	0 [ ن ]	δ n	h δ n	q δ n	1 كيلو 2 • 2 كيلو 1 • كيلو 21