قرص عسل محدب وموحد

في الهندسة ، يعتبر قرص العسل المحدب المنتظم عبارة عن تبليط منتظم يملأ الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بخلايا متعددة السطوح محدبة منتظمة غير متداخلة .

تم التعرف على ثمانية وعشرين نوعاً من هذه الخلايا الشبيهة بخلايا النحل:

• قرص العسل المكعب المألوف وسبعة أجزاء مقطوعة منه؛
• قرص العسل المكعب المتناوب وأربعة أجزاء مقطوعة منه؛
• 10 أشكال موشورية تعتمد على تبليطات مستوية منتظمة (11 إذا تم تضمين قرص العسل المكعب)؛
• 5 تعديلات على بعض ما سبق عن طريق الاستطالة و/أو الدوران.

يمكن اعتبارها النظير ثلاثي الأبعاد للتبليطات المنتظمة للمستوى .

يشكل مخطط فورونوي لأي شبكة قرص عسل محدب منتظم تكون فيه الخلايا عبارة عن زونوهيدرا .

• 1900 : قام ثورولد جوسيت بحصر قائمة الأشكال المحدبة شبه المنتظمة ذات الخلايا المنتظمة ( الأجسام الأفلاطونية ) في منشوره " حول الأشكال المنتظمة وشبه المنتظمة في الفضاء ذي الأبعاد n" ، بما في ذلك قرص عسل مكعب منتظم واحد، وشكلين شبه منتظمين مع رباعيات الأوجه وثمانيات الأوجه.
• 1905 : قام ألفريدو أندريني بإحصاء 25 من هذه الأشكال الهندسية.
• 1991 : حددت مخطوطة نورمان جونسون بعنوان Uniform Polytopes قائمة تضم 28. ^{[ 1 ]}
• في عام ١٩٩٤ ، قام برانكو غرونباوم ، في بحثه " التبليطات المنتظمة للفضاء ثلاثي الأبعاد" ، بحصر جميع الأشكال الـ ٢٨ بشكل مستقل، بعد اكتشافه أخطاءً في منشور أندريني. فقد وجد أن بحث عام ١٩٠٥، الذي أدرج ٢٥ شكلاً، يحتوي على خطأ واحد، وأربعة أشكال مفقودة . ويذكر غرونباوم في هذا البحث أن نورمان جونسون يستحق الأسبقية لتحقيقه نفس الحصر في عام ١٩٩١. كما يشير إلى أن إي. أليكسييف من روسيا قد تواصل معه بشأن حصر محتمل لهذه الأشكال، لكن غرونباوم لم يتمكن من التحقق من ذلك في ذلك الوقت.
• في عام 2006 ، قام جورج أولشيفسكي، في مخطوطته " الأمشاط الرباعية المنتظمة ذات الصيغة الصبغية الكاملة" ، بالإضافة إلى تكرار القائمة المشتقة المكونة من 11 تبليطًا منتظمًا محدبًا، و28 قرص عسل منتظم محدب، بتوسيع قائمة مشتقة أخرى تضم 143 قرص عسل منتظم محدبًا (أقراص عسل من متعددات الوجوه الرباعية المنتظمة في الفضاء الرباعي). ^{[ 2 ] [ 1 ]}

تظهر 14 مجسماً فقط من المجسمات المتعددة الأوجه المحدبة المنتظمة في هذه الأنماط:

• ثلاثة من الأجسام الأفلاطونية الخمسة ( الهرم الرباعي ، والمكعب ، والهرم الثماني )،
• ستة من أصل ثلاثة عشر جسمًا من أجسام أرخميدس (الأجسام ذات التناظر الانعكاسي رباعي الأوجه أو ثماني الأوجه)، و
• خمسة من عائلة الموشورات اللانهائية (الموشورات ذات 3 و 4 و 6 و 8 و 12 ضلعًا؛ الموشور ذو 4 ضلعًا يكرر المكعب).

يظهر المجسم العشري الوجوه والمكعب المقطوع والمنشور المربع المضاد في بعض التناوبات، ولكن لا يمكن تحقيق تلك الأشكال الشبيهة بخلايا النحل مع جميع الحواف بطول وحدة واحدة.

مجموعات كوكسيتر اللانهائية الأساسية للفضاء ثلاثي الأبعاد هي:

1. ال${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$، [4,3,4]، مكعب، (8 أشكال فريدة بالإضافة إلى تناوب واحد)
2. ال${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$، [4,3 ^1,1 ]، مكعب متناوب، (11 شكلاً، 3 أشكال جديدة)
3. ال${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$المجموعة الحلقية، [(3,3,3,3)] أو [3 ^[4] ]، (5 أشكال، شكل جديد واحد)

هناك تشابه بين العائلات الثلاث. إزالة مرآة واحدة من${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$منتج${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$وإزالة مرآة واحدة من${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$منتج${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$يُتيح ذلك إنشاء نماذج متعددة لنفس خلايا النحل. إذا تم تلوين الخلايا بناءً على مواقعها الفريدة داخل كل نموذج من نماذج Wythoff، فيمكن إظهار هذه التناظرات المختلفة.

بالإضافة إلى ذلك ، هناك 5 خلايا نحل خاصة لا تتمتع بتناظر انعكاسي نقي، وهي مبنية من أشكال انعكاسية مع عمليات استطالة ودوران .

يبلغ إجمالي عدد خلايا النحل الفريدة المذكورة أعلاه 18 خلية.

الحزم المنشورية من مجموعات كوكسيتر اللانهائية للفضاء ثلاثي الأبعاد هي:

1. ال${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$، [4,4,2,∞] مجموعة موشورية، (شكلان جديدان)
2. ال${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$، [6,3,2,∞] مجموعة موشورية، (7 أشكال فريدة)
3. ال${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$، [(3,3,3),2,∞] مجموعة موشورية، (لا توجد أشكال جديدة)
4. ال${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$، [∞,2,∞,2,∞] مجموعة موشورية، (تصبح جميعها خلية نحل مكعبة )

بالإضافة إلى ذلك، يوجد شكل خاص ممدود من قرص العسل المنشوري المثلثي.

يبلغ إجمالي عدد خلايا النحل المنشورية الفريدة المذكورة أعلاه (باستثناء المكعب الذي تم حسابه سابقًا) 10.

وبجمع هذه الأعداد، فإن 18 و 10 تعطينا المجموع الكلي وهو 28 خلية نحل متجانسة.

المجموعة C̃ ₃ ، [4,3,4] (مكعبة)

يُقدّم هيكل قرص العسل المكعب المنتظم، المُمثّل برمز شلافلي {4,3,4}، سبعة أشكال فريدة مُشتقّة من هيكل قرص العسل المنتظم عبر عمليات القطع. (يُدرج شكل زائد، وهو هيكل قرص العسل المكعب المقطوع ، من باب الإكمال، على الرغم من كونه مُطابقًا لهيكل قرص العسل المكعب). التناظر الانعكاسي هو زمرة كوكسيتر الأفينية [4,3,4]. توجد أربع زمر فرعية ذات دليل 2 تُولّد تناوبات: [1 ⁺ ,4,3,4]، [(4,3,4,2 ⁺ )]، [4,3 ⁺ ,4]، و[4,3,4] ⁺ ، حيث تُولّد الزمرتان الأوليان شكلين مُكرّرين، بينما الزمرتان الأخيرتان غير منتظمتين.

خلايا نحل من نوع C3
المجموعة الفضائية	فايبريفولد	التناظر الممتد	مخطط موسع	طلب	خلايا النحل
Pm 3 m (221)	4 − :2	[4,3,4]		×1	1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6
Fm 3 m (225)	2 − :2	[1 + ,4,3,4] ↔ [4,3 1,1 ]	↔	نصف	7 ، 11 ، 12 ، 13
I 4 3m (217)	4 o :2	[[(4,3,4,2 + )]]		نصف × 2	(7) ،
Fd 3 م (227)	2 + :2	[[1 + ,4,3,4,1 + ]] ↔ [[3 [4] ]]	↔	ربع × 2	10 ،
أنا 3 م (229)	8 o :2	[[4,3,4]]		×2	(1) ، 8 ، 9

[4,3,4]، المجموعة الفراغية Pm 3 m (221)

المؤشرات المرجعية	اسم قرص العسل: مخطط Coxeter ورمز Schläfli	عدد الخلايا/الرؤوس ومواقعها في قرص العسل المكعب						الإطارات (المنظور)	شكل الرأس	خلية مزدوجة
		(0)	(1)	(2)	(3)	Alt	المواد الصلبة (جزئياً)
J 11,15 A 1 W 1 G 22 δ 4	مكعب (chon) t 0 {4,3,4} {4,3,4}				(8) (4.4.4)				المجسم الثماني	مكعب ،
J 12,32 A 15 W 14 G 7 O 1	مكعب مصحح (غني) t 1 {4,3,4} r{4,3,4}	(2) (3.3.3.3)			(4) (3.4.3.4)				متوازي المستطيلات	هرم ثنائي مربع
J 13 A 14 W 15 G 8 t 1 δ 4 O 15	مكعب مقطوع (tich) t 0,1 {4,3,4} t{4,3,4}	(1) (3.3.3.3)			(4) (3.8.8)				هرم مربع	هرم مربع متساوي الساقين
J 14 A 17 W 12 G 9 t 0,2 δ 4 O 14	مكعب مُقَسَّم (srich) t 0,2 {4,3,4} rr{4,3,4}	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)		(2) (3.4.4.4)				منشور مثلث مائل	هرم ثنائي مثلثي
J 17 A 18 W 13 G 25 t 0,1,2 δ 4 O 17	مكعب مجزأ (غريش) t 0,1,2 {4,3,4} tr{4,3,4}	(1) (4.6.6)	(1) (4.4.4)		(2) (4.6.8)				رباعي الأوجه غير منتظم	الهرم المثلثي
J 18 A 19 W 19 G 20 t 0,1,3 δ 4 O 19	مصفوفة مكعبة مقطوعة (غنية) t 0,1,3 {4,3,4}	(1) (3.4.4.4)	(1) (4.4.4)	(2) (4.4.8)	(1) (3.8.8)				هرم شبه منحرف مائل	ربع هرم مربع
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 h δ 4 O 21	مكعب متناوب (ثماني) h{4,3,4}				(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			مكعب ثماني الأوجه	دوديكاهيدريل
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	مكعب كانتيك (تاتوه) ↔	(1) (3.4.3.4)			(2) (3.6.6)	(2) (4.6.6)			هرم مستطيل	نصف مفلطح ثماني الأوجه
J 23 A 16 W 11 G 5 h 3 δ 4 O 26	مكعب رونتشيتش (سراتوه) ↔	(1) (4.4.4)			(1) (3.3.3)	(3) (3.4.4.4)			منشور مثلثي مدبب	ربع كوب
J 24 A 20 W 16 G 21 h 2,3 δ 4 O 28	مكعب رونسيكانتيك (غراتوه) ↔	(1) (3.8.8)			(1) (3.6.6)	(2) (4.6.8)			رباعي الأوجه غير منتظم	نصف هرمي
ب غير منتظم	دالة تكعيبية مصححة (serch) sr{4,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)	(1) (3.3.3)		(2) (3.3.3.3.4)	(4) (3.3.3)			مجسم عشريني الوجوه ثلاثي التناقص غير منتظم
غير منتظم	كانتيك سنوب مكعب (كاش) 2s 0 {4,3,4}	(1) (3.3.3.3.3)			(2) (3.4.4.4)	(3) (3.4.4)
غير منتظم	رونسيكانتيك سنوب كيوبيك (روش)	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.3.3)	(1) (3.6.6)	(3) كأس ثلاثي
غير منتظم	Runcic cantitruncated cubic (esch) sr 3 {4,3,4}	(1) (3.3.3.3.4)	(1) (4.4.4)	(1) (4.4.4)	(1) (3.4.4.4)	(3) (3.4.4)

[[4،3،4خلايا النحل ، المجموعة الفراغية Im 3 m (229)

المؤشرات المرجعية	اسم قرص العسل: مخطط Coxeter ورمز Schläfli	عدد الخلايا/الرؤوس ومواقعها في قرص العسل المكعب			المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس	خلية مزدوجة
		(0,3)	(1,2)	Alt
J 11,15 A 1 W 1 G 22 δ 4 O 1	مكعب مسنن (نفس المكعب العادي ) (chon)t 0,3 {4,3,4}	(2) (4.4.4)	(6) (4.4.4)				المجسم الثماني	مكعب
J 16 A 3 W 2 G 28 t 1,2 δ 4 O 16	مكعب ثنائي القطع (دفعة) t 1,2 {4,3,4} 2t{4,3,4}	(4) (4.6.6)					( العظم الوتدي )	رباعي الأوجه مفلطح
J 19 A 22 W 18 G 27 t 0,1,2,3 δ 4 O 20	مكعب مقطوع (gippich) t 0,1,2,3 {4,3,4}	(2) (4.6.8)	(2) (4.4.8)				رباعي الأوجه غير منتظم	الهرم الثامن
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 h δ 4 O 27	قرص عسل ربع مكعب (cytatoh) ht 0 ht 3 {4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)				منشور مضاد مثلثي ممدود	مكعب مفلطح
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 h δ 4 O 21	مكعب متناوب (ثماني) (نفس المكعب المتناوب) ht 0,3 {4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			مكعب ثماني الأوجه
غير منتظم	قرص العسل المكعب ثنائي الأضلاع (غابريث) 2s 0,3 {(4,2,4,3)}	(2) (4.6.6)	(2) (4.4.4)	(2) (4.4.6)
أ غير منتظم	مكعب متناوب ثنائي القطع (bisch) h2t{4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)		(4) (3.3.3)
غير منتظم	كانتيك بيسنوب مكعب (كابيش) 2s 0,3 {4,3,4}	(2) (3.4.4.4)	(2) (4.4.4)	(2) (4.4.4)
ج غير منتظم	مكعب متناوب مقطوع (سنيتش) ht 0,1,2,3 {4,3,4}	(2) (3.3.3.3.4)	(2) (3.3.3.4)	(4) (3.3.3)

B̃ ₃ ، [4,3 ^1,1 ] مجموعة

ال${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$تُقدّم المجموعة [4,3] إحدى عشرة صيغة مشتقة عبر عمليات الاقتطاع، أربع منها عبارة عن هياكل قرص عسل منتظمة فريدة. توجد ثلاث مجموعات فرعية ذات فهرس 2 تُولّد تناوبات: [1 ⁺ ,4,3 ^1,1 ]، و[4,(3 ^1,1 ) ⁺ ]، و[4,3 ^1,1 ] ⁺ . تُولّد المجموعة الأولى هيكل قرص عسل مُكرّر، أما المجموعتان الأخيرتان فهما غير منتظمتين، ولكنهما مُدرجتان من باب الإكمال.

تُسمى خلايا النحل من هذه المجموعة بالخلايا المكعبة المتبادلة لأن الشكل الأول يمكن اعتباره خلية نحل مكعبة مع إزالة الرؤوس المتبادلة، مما يقلل الخلايا المكعبة إلى رباعيات الأوجه ويخلق خلايا ثمانية الأوجه في الفجوات.

يتم ترقيم العقد من اليسار إلى اليمين كالتالي: 0، 1، 0'، 3، حيث يكون 0' أسفل 0 ويمكن استبداله به . وتستند الأسماء المكعبة البديلة المذكورة إلى هذا الترتيب.

خلايا نحل من النوع B3
المجموعة الفضائية	فايبريفولد	التناظر الممتد	مخطط موسع	طلب	خلايا النحل
Fm 3 m (225)	2 − :2	[4,3 1,1 ] ↔ [4,3,4,1 + ]	↔	×1	1 ، 2 ، 3 ، 4
Fm 3 m (225)	2 − :2	<[1 + ,4,3 1,1 ]> ↔ <[3 [4] ]>	↔	×2	(1) ، (3)
Pm 3 m (221)	4 − :2	<[4,3 1,1 ]>		×2	5 ، 6 ، 7 ، (6) ، 9 ، 10 ، 11

[4,3 ^1,1 ] خلايا نحل منتظمة، المجموعة الفراغية Fm 3 m (225)

المؤشرات المرجعية	مخططات كوكسيتر لأسماء خلايا النحل	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)				المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس
		(0)	(1)	(0')	(3)
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 h δ 4 O 21	مكعب متناوب (ثمانية) ↔			(6) (3.3.3.3)	(8) (3.3.3)			مكعب ثماني الأوجه
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	مكعب كانتيك (تاتوه) ↔	(1) (3.4.3.4)		(2) (4.6.6)	(2) (3.6.6)			هرم مستطيل
J 23 A 16 W 11 G 5 h 3 δ 4 O 26	مكعب رونتشيتش (سراتوه) ↔	(1) مكعب		(3) (3.4.4.4)	(1) (3.3.3)			منشور مثلثي مدبب
J 24 A 20 W 16 G 21 h 2,3 δ 4 O 28	مكعب رونسيكانتيك (غراتوه) ↔	(1) (3.8.8)		(2) (4.6.8)	(1) (3.6.6)			رباعي الأوجه غير منتظم

<[4,3 ^1,1 ]> خلايا نحل منتظمة، المجموعة الفراغية Pm 3 m (221)

المؤشرات المرجعية	مخططات كوكسيتر لأسماء خلايا النحل ↔	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)				المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس
		(0,0')	(1)	(3)	Alt
J 11,15 A 1 W 1 G 22 δ 4 O 1	مكعب (تشون) ↔	(8) (4.4.4)						المجسم الثماني
J 12,32 A 15 W 14 G 7 t 1 δ 4 O 15	مكعب مصحح (غني) ↔	(4) (3.4.3.4)		(2) (3.3.3.3)				متوازي المستطيلات
	مكعب مصحح (غني) ↔	(2) (3.3.3.3)		(4) (3.4.3.4)				متوازي المستطيلات
J 13 A 14 W 15 G 8 t 0,1 δ 4 O 14	مكعب مقطوع (tich) ↔	(4) (3.8.8)		(1) (3.3.3.3)				هرم مربع
J 14 A 17 W 12 G 9 t 0,2 δ 4 O 17	مكعب ذو زخارف (غني) ↔	(2) (3.4.4.4)	(2) (4.4.4)	(1) (3.4.3.4)				منشور مثلثي مائل
J 16 A 3 W 2 G 28 t 0,2 δ 4 O 16	مكعب مُقتطع (دفعة) ↔	(2) (4.6.6)		(2) (4.6.6)				رباعي الأوجه متساوي الساقين
J 17 A 18 W 13 G 25 t 0,1,2 δ 4 O 18	مكعب مقطوع (غني) ↔	(2) (4.6.8)	(1) (4.4.4)	(1) (4.6.6)				رباعي الأوجه غير منتظم
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 h δ 4 O 21	مكعب متناوب (ثمانية) ↔	(8) (3.3.3)			(6) (3.3.3.3)			مكعب ثماني الأوجه
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	مكعب كانتيك (تاتوه) ↔	(2) (3.6.6)		(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			هرم مستطيل
أ غير منتظم	مكعب متناوب مقطوع (bisch) ↔	(2) (3.3.3.3.3)		(2) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)
ب غير منتظم	مكعب متناوب مقطوع (بحث) ↔	(2) (3.3.3.3.4)	(1) (3.3.3)	(1) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)			مجسم عشريني الوجوه ثلاثي التناقص غير منتظم

à ₃ , [3 ^[4] ] مجموعة

هناك 5 أشكال ^{[ 3 ]} مبنية من${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$مجموعة كوكسيتر [3 ^[4] ، والتي لا يوجد منها سوى شكل قرص العسل المكعب الربع فريد من نوعه. توجد مجموعة فرعية واحدة ذات فهرس 2 [3 ^[4 ] ⁺ تولد شكل القطع، وهو غير منتظم، ولكنه مدرج من أجل الإكمال.

أقراص العسل A3
المجموعة الفضائية	فايبريفولد	التناظر المربع	التناظر الممتد	مخطط موسع	مجموعة موسعة	مخططات خلية النحل
F 4 3m (216)	1 o :2	أ1	[3 [4] ]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$	(لا أحد)
Fm 3 m (225)	2 − :2	د2	<[3 [4] ]> ↔ [4,3 1,1 ]	↔	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×2 1 ↔${\displaystyle {\tilde {B}}_{3}}$	1 ، 2
Fd 3 م (227)	2 + :2	g2	[[3 [ 4 ] ]] أو [2 + [3 [4] ]]	↔	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×2 2	3
Pm 3 m (221)	4 − :2	د4	<2[3 [4] ]> ↔ [4,3,4]	↔	${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×4 1 ↔${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$	4
أنا 3 (204)	8 -o	r8	[4[3 [4] ]] + ↔ [[4,3 + ,4]]	↔	نصف${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×8 ↔ ½${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$×2	(*)
أنا 3 م (229)	8 o :2		[4[3 [4] ]] ↔ [[4,3,4]]		${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$×8 ↔${\displaystyle {\tilde {C}}_{3}}$×2	5

[[3 ^{[ 4 ]}]] خلايا نحل منتظمة، المجموعة الفراغية Fd 3 m (227)

المؤشرات المرجعية	مخططات كوكسيتر لأسماء خلايا النحل	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)		المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس
		(0,1)	(2,3)
J 25,33 A 13 W 10 G 6 q δ 4 O 27	ربع مكعب (cytatoh) ↔ q{4,3,4}	(2) (3.3.3)	(6) (3.6.6)			منشور مثلث مضاد

<[3 ^[4] ]> ↔ [4,3 ^1,1 ] خلايا نحل منتظمة، المجموعة الفراغية Fm 3 m (225)

المؤشرات المرجعية	مخططات كوكسيتر لأسماء خلايا النحل ↔	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)			المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس
		0	(1,3)	2
J 21,31,51 A 2 W 9 G 1 h δ 4 O 21	مكعب متناوب (ثماني) ↔ ↔ h{4,3,4}		(8) (3.3.3)	(6) (3.3.3.3)			مكعب ثماني الأوجه
J 22,34 A 21 W 17 G 10 h 2 δ 4 O 25	الكانتيك المكعب (تاتوه) ↔ ↔ h 2 {4,3,4}	(2) (3.6.6)	(1) (3.4.3.4)	(2) (4.6.6)			هرم مستطيل

[2[3 ^[4] ]] ↔ [4,3,4] خلايا نحل منتظمة، المجموعة الفراغية Pm 3 m (221)

المؤشرات المرجعية	مخططات كوكسيتر لأسماء خلايا النحل ↔	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)		المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس
		(0,2)	(1,3)
J 12,32 A 15 W 14 G 7 t 1 δ 4 O 1	مكعب مصحح (غني) ↔ ↔ ↔ r{4,3,4}	(2) (3.4.3.4)	(1) (3.3.3.3)			متوازي المستطيلات

[4[3 ^[4] ]] ↔ [[4،3،4خلايا نحل منتظمة ، المجموعة الفراغية Im 3 m (229)

المؤشرات المرجعية	مخططات كوكسيتر لأسماء خلايا النحل ↔ ↔	الخلايا حسب الموقع (وعددها حول كل رأس)		المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس
		(0,1,2,3)	Alt
J 16 A 3 W 2 G 28 t 1,2 δ 4 O 16	مكعب ثنائي القطع (دفعة) ↔ ↔ 2t{4,3,4}	(4) (4.6.6)				رباعي الأوجه متساوي الساقين
أ غير منتظم	مكعب متناوب مقطوع (bisch) ↔ ↔ h2t{4,3,4}	(4) (3.3.3.3.3)	(4) (3.3.3)

الأشكال غير الويثوفية (الملتوية والمستطيلة)

يتم توليد ثلاثة أشكال قرص العسل المتجانسة الأخرى عن طريق كسر أحد أشكال قرص العسل المذكورة أعلاه حيث تشكل وجوهها مستوى متصلًا، ثم تدوير الطبقات المتناوبة بمقدار 60 أو 90 درجة ( الدوران ) و/أو إدخال طبقة من الموشورات ( الاستطالة ).

تتشابه أشكال التبليط المكعبي المتناوب، سواءً كان مستطيلاً أو دائرياً، في شكل رؤوسه، لكنها ليست متطابقة. ففي الشكل المستطيل ، يلتقي كل موشور بهرم رباعي الأوجه عند أحد طرفيه المثلثيين، وبهرم ثماني الأوجه عند الطرف الآخر. أما في الشكل الدائري ، فتتبادل الموشورات التي تلتقي بهرم رباعي الأوجه عند كلا الطرفين مع الموشورات التي تلتقي بهرم ثماني الأوجه عند كلا الطرفين.

يحتوي التبليط المنشوري المثلثي المستطيل على نفس شكل الرأس مثل أحد التبليطات المنشورية البسيطة؛ ويمكن اشتقاق الاثنين من التبليطات المنشورية المثلثية المستطيلة والبسيطة، على التوالي، عن طريق إدخال طبقات من المكعبات.

المؤشرات المرجعية	رمز	اسم خلية النحل	أنواع الخلايا (عددها عند كل رأس)	المواد الصلبة (جزئياً)	الإطارات (المنظور)	شكل الرأس
J 52 A 2' G 2 O 22	h{4,3,4}:g	مكعب متناوب دوار (gytoh)	رباعي الأوجه (8) ثماني الأوجه (6)			قبة مثلثة الشكل
J 61 A ? G 3 O 24	h{4,3,4}:ge	مكعب متناوب مطول دائريًا (gyetoh)	منشور ثلاثي (6) رباعي الأوجه (4) ثماني الأوجه (3)
J 62 A ? G 4 O 23	h{4,3,4}:e	مكعب متناوب ممدود (إيثانول)	منشور ثلاثي (6) رباعي الأوجه (4) ثماني الأوجه (3)
J 63 A ? G 12 O 12	{3,6}:g × {∞}	موشور مثلثي دوار (gytoph)	منشور ثلاثي (12)
J 64 A ? G 15 O 13	{3,6}:ge × {∞}	منشور مثلثي مستطيل الشكل (gyetaph)	منشور ثلاثي (6) مكعب (4)

مجموعات موشورية

يتم الحصول على أحد عشر شكلاً من أشكال التبليط المنشورية عن طريق تكديس أحد عشر شكلاً من أشكال التبليط المستوية المنتظمة ، الموضحة أدناه، في طبقات متوازية. (أحد هذه الأشكال الشبيهة بخلايا النحل هو الشكل المكعب، الموضح أعلاه). شكل رأس كل شكل هو هرم ثنائي غير منتظم وجوهه مثلثات متساوية الساقين .

المجموعة المنشورية C̃ ₂ × Ĩ ₁ ( ∞ ), [4,4,2, ∞ ]

لا يوجد سوى 3 أشكال فريدة من أشكال خلايا النحل من التبليط المربع، ولكن تم إدراج جميع أشكال التبليط الستة أدناه من أجل الإكمال، ويتم عرض صور التبليط بالألوان التي تتوافق مع كل شكل.

المؤشرات	رموز كوكستر- دينكين وشلافلي	اسم خلية النحل	تبليط مستوي	المواد الصلبة (جزئياً)	تبليط
J 11,15 A 1 G 22	{4,4}×{∞}	مكعب (مربع منشوري) (تشون)	(4.4.4.4)
	r{4,4}×{∞}
	rr{4,4}×{∞}
J 45 A 6 G 24	t{4,4}×{∞}	منشور مربع مقطوع/مقطع ثنائياً (تاسييف)	(4.8.8)
	tr{4,4}×{∞}
J 44 A 11 G 14	sr{4,4}×{∞}	Snub square prismatic (sassiph)	(3.3.4.3.4)
غير منتظم	ht 0,1,2,3 {4,4,2,∞}

المجموعة المنشورية G̃ ₂ xĨ ₁ ( ∞ ), [6,3,2, ∞ ]

المؤشرات	رموز كوكستر- دينكين وشلافلي	اسم خلية النحل	تبليط مستوي	المواد الصلبة (جزئياً)	تبليط
J 41 A 4 G 11	{3,6} × {∞}	موشور مثلثي (tiph)	(3 6 )
J 42 A 5 G 26	{6,3} × {∞}	منشور سداسي (hiph)	(6 3 )
	t{3,6} × {∞}
J 43 A 8 G 18	r{6,3} × {∞}	موشور ثلاثي سداسي (thiph)	(3.6.3.6)
J 46 A 7 G 19	t{6,3} × {∞}	موشور سداسي مقطوع (ثاف)	(3.12.12)
J 47 A 9 G 16	rr{6,3} × {∞}	موشور معيني ثلاثي سداسي (srothaph)	(3.4.6.4)
J 48 A 12 G 17	sr{6,3} × {∞}	أفطس المنشورية سداسية (snathaph)	(3.3.3.3.6)
J 49 A 10 G 23	tr{6,3} × {∞}	موشور ثلاثي سداسي مقطوع (غروثاف)	(4.6.12)
J 65 A 11' G 13	{3,6}:e × {∞}	منشور مثلثي ممدود (إيتوف)	(3.3.3.4.4)
J 52 A 2' G 2	h3t{3,6,2,∞}	رباعي الأوجه-ثماني الأوجه دوار (gytoh)	(3 6 )
	s2r{3,6,2,∞}
غير منتظم	ht 0,1,2,3 {3,6,2,∞}

تعداد نماذج Wythoff

جميع تركيبات Wythoff غير المنشورية بواسطة مجموعات Coxeter مذكورة أدناه، بالإضافة إلى بدائلها . الحلول المنتظمة مُفهرسة وفقًا لقائمة Branko Grünbaum . تظهر الخلفيات الخضراء على خلايا النحل المتكررة، مع توضيح العلاقات في مخططات التناظر الموسعة.

مجموعة كوكسيتر	التناظر الممتد	خلايا النحل		التناظر الممتد الكيرالي	خلايا النحل المتناوبة
[4,3,4]	[4,3,4]	6	22 | 7 | 8 9 | 25 | 20	[1 + ,4,3 + ,4,1 + ]	(2)	1 | ب
	[2 + [4,3,4 ]] =	(1)	22	[2 + [(4,3 + ,4,2 + ) ]]	(1)	1 | 6
	[2 + [4,3,4 ]]	1	28	[2 + [(4,3 + ,4,2 + ) ]]	(1)	أ
	[2 + [4,3,4 ]]	2	27	[2 + [4,3,4 ]] +	(1)	ج
[4,3 1,1 ]	[4,3 1,1 ]	4	1 | 7 | 10 | 28
	[1[4,3 1,1 ]] =[4,3,4] =	(7)	22 | 7 | 22 | 7 | 9 | 28 | 25	[1[1 + ,4,3 1,1 ]] +	(2)	1 | 6 | أ
				[1[4,3 1,1 ]] + =[4,3,4] +	(1)	ب
[3 [4] ]	[3 [4] ]	(لا أحد)
	[2 + [3 [4] ]]	1	6
	[1[3 [4] ]] =[4,3 1,1 ] =	(2)	1 | 10
	[2[3 [4] ]] =[4,3,4] =	(1)	7
	[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4 ]] =	(1)	28	[(2 + ,4)[3 [4] ]] + = [2 + [4,3,4 ]] +	(1)	أ

إذا سُمح للخلايا بأن تكون تبليطات منتظمة ، فيمكن تعريف خلايا نحل أكثر انتظامًا:

العائلات:

• ${\displaystyle {\tilde {C}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [4,4,2] خلايا قرص العسل المكعبة (3 أشكال)
• ${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [6,3,2] أقراص العسل ثلاثية السداسية (8 أشكال - هذه والعائلة السابقة تشكل موشورات التبليطات المنتظمة المحدبة الأحد عشر للمستوى الإقليدي)
• ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [(3,3,3),2] خلايا قرص العسل المثلثة (لا توجد أشكال جديدة)
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [∞,2,2] = خلايا قرص العسل العمودية المكعبة (شكل واحد)
• ${\displaystyle I_{2}(p)}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$: [p,2,∞] أعمدة قرص العسل متعددة الأضلاع (مماثلة للموشورات المزدوجة : تبدو هذه كبرج واحد لانهائي من الموشورات p-gonal، مع ملء المساحة المتبقية بالموشورات apeirogonal )
• ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$×${\displaystyle A_{1}}$: [∞,2,∞,2] = [4,4,2] - = (نفس عائلة خلايا النحل المكعبة ذات الألواح)